Comportamento Assint´ otico - Curvas pseudo-holomorfas

1.3 Curvas pseudo-holomorfas

1.3.1 Comportamento Assint´ otico

Em [26], Hofer, Wysocki e Zehnder estudam o comportamento das superf´ıcies furadas de energia finita nas vizinhan¸cas dos furos. No caso em que o limite de um furo (não-remov´ıvel) z _{∈ Γ de uma superf´ıcie furada de energia finita ˜u : Σ \ Γ → R × M é uma órbita fechada P} não-degenerada (sempre existe um limite, veja Teorema 1.53), observam que a superf´ıcie furada se aproxima, numa vizinhan¸ca pequena de z, de um cilindro trivial sobre P . Este aspecto é denominado comportamento assintótico. A defini¸cão abaixo torna esta no¸cão mais precisa. Defini¸cão 1.63. Sejam λ uma forma de contato definida numa 3-variedade fechada M , (Σ, j) uma superficie de Riemann, Γ_{⊂ Σ \ ∂Σ um conjunto finito e ˜u = (a, u) : Σ \ Γ → R × M uma} superf´ıcie furada de energia finita. Fixe um furo não-remov´ıvel z ∈ Γ. Dizemos que z ∈ Γ é um furo não-degenerado deu se, fixada uma carta holomorfa ϕ : (U, 0)˜ _{→ (ϕ(U), z) centrada} em z e ˜u(s, t) := ˜u_{◦ ϕ(e}−2π(s+it)_{), s} _{1, existem uma órbita fechada P = (x, T ) ∈ P(λ) e}

constantesc, d_{∈ R tais que}

(i) sup_t∈S1|a(s, t) − _zT s− d| → 0, quando s → +∞, onde _z =±1 ´e o sinal de (1.47);

(ii) u(s, t)→ x(zT t + c) na topologia usual de C0(S1, M ), quando s→ +∞;

(iii) seπ : T M → ξ é a proje¸cão ao longo de Xλ eπ· du não é identicamente nulo sobre Σ \ Γ,

(iv) se ζ(s, t) ´e definido por u(s, t) = exp_x(_z_{T t+c)}ζ(s, t), ent˜ao existe b_{∈ R}∗

+ tal que

sup

t∈S1

ebs|ζ(s, t)| → 0, quando s → +∞. (1.51)

Sez_{∈ Γ é um furo não-degenerado, dizemos que ˜u possui comportamento assint´}otico em z. A órbita fechada P = (x, T ) é chamada de limite assintótico de u em z˜ _{∈ Γ e dizemos que ˜u} é assintótica à P = (x, T ) em z∈ Γ.

Observa¸cão 1.64. Esta defini¸cão é independente da escolha da carta holomorfaϕ e da aplica¸cão exponencialexp (veja [25]).

Lembre que uma órbita fechada P = (x, T ) ∈ P(λ) é não-degenerada quando 1 não é autovalor de dφT

ξx(0) : ξx(0) → ξx(T ), onde{φt}t∈R´e o fluxo de Reeb. Uma forma de contato λ

é não-degenerada quando todas as órbitas fechadas de Reeb em _{P(λ) são não-degeneradas. O} seguinte resultado é provado em [25].

Teorema 1.65([25]). Sejam ˜u = (a, u) : Σ\ Γ → R × M uma superf´ıcie furada de energia finita ez _{∈ Γ furo (não-remov´ıvel). Seja ϕ : (U, 0) → (ϕ(U), z) uma carta holomorfa centrada em z} tal como na Defini¸cão 1.63. Sejam sn → +∞ uma sequência e z =±1 o sinal de (1.47). Se

existeP = (x, T )_{∈ P(λ) n˜ao-degenerada tal que, para alguma subsequˆencia s}nk → +∞,

u(snk, t)

k→+∞

−−−−→ x(zT t + c), para algum c∈ R (1.52)

na topologia usual de C∞(S1_{, M ), ent˜}_ao_{z ´e um furo n˜}_{ao-degenerado de} _u._˜

Em particular, temos a seguinte versão do Teorema 1.53 para o caso não-degenerado. Teorema 1.66([25]). Sejam ˜u = (a, u) : Σ\ Γ → R × M uma superf´ıcie furada de energia finita ez_{∈ Γ um furo (não-remov´ıvel). Seja ϕ : (U, 0) → (ϕ(U), z) uma carta holomorfa centrada em} z tal como na Defini¸cão 1.63. Sejam sn→ +∞ uma sequência e z =±1 o sinal de (1.47). Se

existeP = (x, T )_{∈ P(λ) n˜ao-degenerada tal que, para alguma subsequˆencia s}nk → +∞,

u(snk, t)

k→+∞

−−−−→ x(zT t + c), para algum c∈ R (1.53)

na topologia usual de C∞(S1_{, M ), ent˜}_ao_{u(s, t)}_{−−−−→ x(}s→+∞

zT t + c).

Invariantes Alg´ebricos

Em [26], Hofer, Wysocki e Zehnder introduzem os invariantes alg´ebricos windπ, wind∞

associados às esferas furadas de energia finita com dλ-energia não-nula e comportamento as- sintótico nos furos. Estes invariantes são úteis, por exemplo, quando desejamos verificar se uma esfera furada é uma imersão ou se a proje¸cão de uma esfera furada sobre a variedade de contato é um mergulho. Essencialmente, identificam os pontos em que a proje¸cão não tem posto máximo (windπ) e o modo como a esfera furada gira ao redor do limite assintótico (wind∞).

Seja λ uma forma de contato n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade M . Fixe J _∈ J (λ) e seja ˜J satisfazendo (1.14). Sejam S2 _{= C}_{∪ {∞} a esfera de Riemann, Γ ⊂ C um}

conjunto finito e ˜u = (a, u) : S2_{\ {∞} ∪ Γ = C \ Γ → R × M uma esfera furada de energia}

finita. Suponha que∞ é o único furo positivo e Γ é constitu´ıdo pelos furos negativos de ˜u. Seja π : T M _{→ ξ a proje¸cão na dire¸cão do campo de Reeb. Considere π · du como uma se¸cão suave} do fibrado_{E := Hom(T C \ Γ}, u∗_{ξ) cuja fibra Hom}

z(Tz C\ Γ, u∗zξu(z)) em z∈ C \ Γ ´e o espa¸co

das aplica¸c˜oes R-lineares entre Tz C\ Γ e u∗zξu(z). Como π· du satisfaz

π_{· du · i = J(u) · π · du,} (1.54)

o Princ´ıpio da Similaridade de Carleman ([47, Teorema 2.3.5]) implica que Zπ(˜u) :={z ∈ C : π · du(z) = 0}

é formado por pontos isolados quando π_{·du 6≡ 0 (veja [26, Proposi¸cão 4.1]). Pelo comportamento} assintótico de ˜u nos furos _{{∞} ∪ Γ, se π · du 6≡ 0, temos que #Z}π(˜u) <∞. Note que os zeros

emZπ(˜u) coincidem as interse¸c˜oes entre π· du e a se¸c˜ao nula de E.

Defini¸cão 1.67 ([26], Se¸cões 4 e 5). Sejam λ uma forma de contato não-degenerada definida numa 3-variedadeM e ˜u = (a, u) : C\ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita. Suponha que _{∞ é o único furo positivo e Γ é constitu´ıdo pelos furos negativos de ˜u. Se π · du 6≡ 0,} definimos

windπ(˜u) := #Zπ(˜u), (1.55)

onde # denota a soma alg´ebrica dos zeros em _Zπ(˜u).

Por defini¸cão, windπ(˜u)≥ 0. Além disso, windπ(˜u) = 0 se e somente se π· du é não-nulo,

isto ´e, se e somente se duz tem posto m´aximo, para todo z∈ C \ Γ.

Seja ˜u = (a, u) : C\Γ → R×M uma esfera furada de energia finita cujo único furo positivo é∞ e Γ é constitu´ıdo pelos furos negativos. Considere o fibrado dλ-simplético u∗_ξ_{→ C\Γ. Como}

C\ Γ tem o tipo de homotopia de um buquê20de finitas cópias de S1, a Proposi¸cão 1.21 mostra que existe uma trivializa¸cão dλ-simplética para u∗_ξ _{→ C \ Γ. Seja Z : C \ Γ → u}∗_{ξ uma se¸c˜}_ao

n˜ao-nula. Para todo z _{∈ Γ (n˜ao-remov´ıvel), escolha uma carta holomorfa ϕ : (U, 0) → (ϕ(U), z)} centrada em z e escreva ˜u(s, t) := ˜u◦ ϕ(e−2π(s+it)_{), s}_1.

Defini¸cão 1.68 ([26], Se¸cões 4 e 5). Sejam λ uma forma de contato não-degenerada definida numa 3-variedadeM e ˜u = (a, u) : C\ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita tal como no parágrafo acima. Fixe z _{∈ Γ um furo não-remov´ıvel. Se π · du 6≡ 0 e}z =±1 é o sinal de

z_{∈ Γ ∪ {∞} dado por (1.47), definimos}

wind∞(˜u, z, Z) = lim

s→+∞wind (t7→ π∂su(s, zt), t7→ Z(u(s, zt))) , (1.56)

20_{Sejam (S}1

j, xj)j∈{1,··· ,n}n cópias de S1com pontos xj∈ Sj1selecionados. Um buquê de S1é a união

onde Z(u(s, zt)) = Z◦ u ◦ ϕ(e−2π(s+it)). Seguindo [26], definimos

wind∞(˜u, Z) = wind∞(˜u,∞, Z) −

z∈Γ

wind∞(˜u, z, Z). (1.57)

Observe que wind∞(˜u, z, Z), para todo z ∈ Γ ∪ {∞}, depende da classe de homotopia

de se¸cões não-nulas α tal que Z ∈ α. Apesar disso, wind∞(˜u) é independente de α (veja [26]).

Tanto wind∞(˜u, z, Z), para todo z∈ Γ ∪ {∞}, quanto wind∞(˜u) independem da escolha de ϕ.

O seguinte resultado, provado em [26], relaciona os invariantes alg´ebricos windπ e wind∞.

Proposi¸cão 1.69([26], Proposi¸cão 5.6). Sejam λ uma forma de contato não-degenerada definida numa 3-variedadeM e ˜u = (a, u) : C\ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita com um ´

unico furo positivo em_{∞, Γ constitu´ıdo pelos furos negativos e satisfazendo π · du 6≡ 0. Ent˜ao}

windπ(˜u) = wind∞(˜u) + #Γ− 1, (1.58)

onde #Γ denota a cardinalidade de Γ.

No caso em que a esfera furada de energia finita ˜u no enunciado acima é um plano de energia finita (isto é, Γ = _{∅), a fórmula (1.58) se reduz a wind}π(˜u) = wind∞(˜u)− 1. Em

particular, wind∞(˜u)≥ 1, visto que windπ(˜u)≥ 0.

F´ormula assint´otica

Seja λ uma forma de contato não-degenerada definida numa 3-variedade M . Fixe J _∈ J (λ) e considere ˜J satisfazendo as equa¸cões (1.14). Recorde que, na Defini¸cão 1.35, seguindo [26], introduzimos o operador assintótico AP sobre órbitas fechadas P = (x, T ) ∈ P (λ). O

seguinte resultado mostra que os auto-valores do operador assintótico sobre a órbita fechada limite assintótico de um furo de uma superf´ıcie furada de energia finita ˜u fornecem informa¸cões sobre o comportamento assintótico de ˜u.

Teorema 1.70((Fórmula Assintótica), [26]). Sejam λ uma forma de contato não-degenerada definida numa 3-variedadeM e π : T M → ξ a proje¸cão na dire¸cão do campo de Reeb Xλ. Sejam

(Σ, j) uma superf´ıcie de Riemann, Γ⊂ Σ\∂Σ um subconjunto finito e ˜u = (a, u) : Σ\Γ → R×M uma superf´ıcie furada de energia finita. Fixez_{∈ Γ um furo (n˜ao-remov´ıvel) e seja P = (x, T ) ∈} P(λ) o limite assint´otico de ˜u em z ∈ Γ. Escolha uma carta holomorfa ϕ : (Br(0), 0)→ (U, z)

centrada emz, onde U ´e uma vizinhan¸ca aberta de z. Escreva21_:

• ˜u(s, t) = ˜u ϕ(e−2π(s+it)₎_{, para (s, t) ∈ R}+_{× S}1_{, se} _{z ´e furo positivo;}

• ˜u(s, t) = ˜u ϕ(e2π(s+it)_{, para (s, t) ∈ R}−_{× S}1_{, se}_{z ´e furo negativo.}

A menos de uma rota¸c˜ao da carta ϕ, podemos supor que ˜u(s, t)−−−−→ x(T t) na topologia usual|s|→∞ deC∞(S1_{, M ). Ent˜}_{ao, ou}_π_{· du ´e identicamente nulo, ou}

21_{Vamos usar a identifica¸c˜}_{ao R/Z}

(i) se z é furo positivo, existe uma fun¸cão suave não-nula f : R+_{× S}1 _{→ R tal que}

lim

s→+∞f (s, t)π· ∂su(s, t) = η(t) na topologia usual de C ∞

(S1, ξ), (1.59)

onde η ´e uma auto-fun¸c˜ao de AP associada a um auto-valor β < 0;

(ii) se z é furo negativo, existe uma fun¸cão suave não-nula f : R−× S1_{→ R tal que}

lim

s→−∞f (s, t)π· ∂su(s, t) = η(t) na topologia usual de C

∞_(S1_{, ξ),} _(1.60)

onde η ´e uma auto-fun¸c˜ao de AP associada a um auto-valor β > 0.

A seguir, vamos usar a fórmula assintóticapara relacionar o invariante algébrico wind∞(˜u)

de uma esfera furada de energia finita ˜u com o ´ındice de Conley-Zehnder (generalizado) das ´

orbitas fechadas que são limites assintóticos dos furos de ˜u. Lembre que estamos assumindo λ não-degenerada.

Fixe uma esfera furada de energia finita ˜w = (d, w) : C\ Γ → R × M tal que ∞ é o único furo positivo e Γ ={z1,· · · , zN} é o conjunto de furos negativos. Seja P∞= (x∞, T∞)∈ Pc(λ)

o limite assint´otico de ˜w em ∞ e, para todo k ∈ {1, · · · , N}, seja Pk = (xk, Tk) ∈ Pc(λ) o

limite assintótico de ˜w em zk. Como Pk, para todo k ∈ {1, · · · , N}, é contrátil, existe um disco

cont´ınuo vk : D ⊂ C → M tal que vk(e2πit) = x(Tkt), t ∈ R/Z. Repare que uma trivializa¸c˜ao

dλ-simplética Ψk : vk∗ξ → D × C fixa uma classe de homotopia de trivializa¸cões dλ-simpléticas

αk∈ SP para o fibrado simpl´etico (xTk)

∗_ξ _{→ R/Z. Esta classe ´e independente da trivializa¸c˜ao}

dλ-simpl´etica Ψk: v_k∗ξ→ D × C. Vamos usar os discos vkpara construir (i) um disco cujo bordo

é P∞e (ii) uma trivializa¸cão dλ-simplética de (xT∞)

∗_ξ

→ R/Z. Mais precisamente, seja C \ Γ a compactifica¸c˜ao de C\ Γ obtida por adicionar c´opias de S1 _{nas singularidades Γ}_{∪ {∞} e denote}

por ¯w a extens˜ao cont´ınua de w sobre C\ Γ. Seja η : D → M um disco cont´ınuo tal que

η(D) = ¯w(C\ Γ) ∪k∈{1,··· ,N }vk(D).

A não-degenerescência de λ implica que η : D → M é um disco cont´ınuo tal que η(e2πit_{) =}

x∞(T∞t) (Teorema 1.66). Seja Ψ : η∗ξ → D × C uma trivializa¸c˜ao dλ-simpl´etica. Observe que,

por constru¸cão, Ψ induz uma trivializa¸cão dλ-simplética de (xTk)

∗_ξ _{→ R/Z na classe especial}

αk∈ SP fixada acima.

Seja Z : D → η∗_{ξ a se¸c˜}_{ao n˜}_{ao-nula definida como Z(p) = Ψ}−1_{(p, ∂}

x), p ∈ D, onde

Ψ : η∗ξ _{→ D × C é a trivializa¸cão dλ-simplética constru´ıda acima. Sejam}

wind∞(˜u,∞) = wind∞(˜u,∞, Z) e wind∞(˜u, zk) = wind∞(˜u, zk, Z),

para todo zk ∈ Γ, k ∈ {1, · · · , N} (veja defini¸c˜oes na Subse¸c˜ao 1.3.1). Considere os operadores

assint´oticosAP∞e APk, para todo k∈ {1, · · · , N} (veja Defini¸c˜ao 1.35), e sejam LP∞e LPk, para

todo k ∈ {1, · · · , N}, os operadores induzidos por Ψ (veja (1.37)). Para todo k ∈ {1, · · · , N}, denote por Spec(LP∞) e Spec(LPk) os espectros, respectivamente, de LP∞ e LPk e escolha auto-

valores β∞neg e β_kpos satisfazendo

β∞neg= max{β∞∈ Spec(LP∞) : β∞< 0},

β_kpos= max{βk∈ Spec(LPk) : βk> 0}, para todo k ∈ {1, · · · , N}.

(1.61)

Se νneg _{: S}1 _{→ C ´e um autovetor correspondente ao autovalor β}neg_{, definimos o n´}_{umero de}

rota¸c˜ao wind(βneg_{) de ν}neg _{em rela¸c˜}_{ao `}_{a trivializa¸c˜}_{ao dλ-simpl´etica ¯}_{Ψ. Lembre que wind(β}neg₎

´e independente do autovetor νneg_.

Lema 1.71 ([26, 39]). Seja ˜w = (d, w) : C\ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita, onde∞ é o único furo positivo e Γ = {z1,· · · , zN} é o conjunto de furos negativos. Suponha que

π_{· dw 6≡ 0, onde π : T M → ξ é a proje¸cão na dire¸cão do campo de Reeb. Seja P}∞= (x∞, T∞)∈

Pc_{(λ) o limite assint´}_{otico de} _{w em}_˜ _{∞ e, para todo k ∈ {1, · · · , N}, seja P}

k = (xk, Tk) ∈ Pc(λ)

é o limite assintótico dew em z˜ k. São verdadeiras as seguintes afirma¸cões:

(i) wind∞( ˜w,∞) ≤ wind (β∞neg)

(ii) wind∞( ˜w, zk)≥ wind (βzposk ), para todo k∈ {1, · · · , N}.

Esbo¸co da Demonstra¸c˜ao: (i) Introduza coordenadas holomorfas ϕ : (B1(0), 0) → (V, ∞),

onde V ´e o complemento de algum compacto K _{⊂ C tal que Γ ⊂ K. Por abuso de nota¸c˜ao,} escrevemos

w(s, t) = ˜w(ϕ(e−2π(s+it)))

para (s, t)_{∈ R}+_{× S}1_{. Pelo item (i) do Teorema 1.70, existe f : R}+_{× S}1 _{→ R}∗ _{tal que}

lim

s→+∞f (s, t)π· ∂sw(s, t) = η(t) na topologia usual de C ∞

(S1, ξ) (1.62)

onde η ´e um autovetor do operador assint´otico AP∞ associado a algum autovalor β < 0. A

defini¸c˜ao de wind∞(˜u,∞) e a convergˆencia em (1.62) implicam wind∞( ˜w,∞) = wind(β). Pelo

item (iii) do Lema 1.30, wind(β)≤ wind(βneg_{). Isto conclui a prova de (i).}

(ii) A prova deste item ´e por um argumento an´alogo ao anterior tendo em vista o item (ii) do

Teorema 1.70.

O resultado a seguir fornece estimativas ´uteis para wind∞.

Lema 1.72. Sejaw = (d, w) : C˜ \ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita, onde ∞ ´e o ´

unico furo positivo eΓ =_{z1,· · · , zN} ´e o conjunto de furos negativos. Suponha que π · dw 6≡ 0,

onde π : T M → ξ é a proje¸cão na dire¸cão do campo de Reeb. Seja P∞ = (x∞, T∞) ∈ Pc(λ) o

limite assint´otico de w em˜ ∞ e, para todo k ∈ {1, · · · , N}, seja Pk = (xk, Tk) ∈ Pc(λ) o limite

assintótico dew em z˜ k. São verdadeiras as seguintes afirma¸cões:

(i) se µCZ(P∞)≤ 1, ent˜ao wind∞( ˜w,∞) ≤ 0;

(ii) se µCZ(Pk)≥ 2, para algum k ∈ {1, · · · , N}, ent˜ao wind∞( ˜w, zk)≥ 1;

(iii) se µCZ(Pk)≥ 3, para algum k ∈ {1, · · · , N}, ent˜ao wind∞( ˜w, zk)≥ 2.

de rota¸c˜ao de um auto-vetor νneg _{: S}1 _{→ C para β}neg_{. Pelo Teorema 1.31, o ´ındice de Conley-}

Zehnder generalizado ´e

µCZ(P ) = 2wind(βneg) + p, p∈ {0, 1} (1.63)

Se P satisfaz µCZ(P )≤ 1, ent˜ao wind(βneg)≤ 0. Como wind∞( ˜w,∞) ≤ wind(βneg), conclu´ımos

wind∞( ˜w,∞) ≤ 0.

(ii) Suponha que, para algum k ∈ {1, · · · , N}, tenh´amos µCZ(Pk) ≥ 2. Seja β_kpos definido em

(1.61) e considere wind(β_kpos). Ent˜ao wind∞( ˜w, zk) ≥ wind(β_kpos) ≥ 1, onde a ´ultima desigual-

dade segue do Lema 1.30.

(iii) Suponha que µCZ(Pzk) ≥ 3, para algum k ∈ {1, · · · , N}. Ent˜ao ou µCZ(Pzk) ≥ 4 ou

µCZ(Pzk) = 3. No primeiro caso, (1.63) e o item (i) do Lema 1.71 implicam wind∞( ˜w, zk)≥ 2.

No segundo caso, temos wind(βneg_k ) = 1 e a paridade p = 1. Lembre que p = 1₂(1 + (₋₁₎b_{) e}

b ´e o n´umero de auto-valores β _{∈ Spec(L}Pk)∩ (−∞, 0) contados com multiplicidade tais que

wind(β) = wind(βneg_{). Como p = 1, temos que b = 2 e, portanto, para todo β > 0, verificamos}

wind(β) > wind(β_kneg) = 1. O item (ii) do Lema 1.71 conclui o argumento.

No documento Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existência implicada de órbitas periódicas e uma caracterização dinâmica do toro sólido. (páginas 50-56)