Estimativas do ´ındice de µ CZ

B.3 Constru¸c˜ ao Cap´ıtulo 3: Disco especial

C.2.1 Estimativas do ´ındice de µ CZ

Nosso objetivo, no resto desta subse¸cão, é estimar o ´ındice µCZ das órbitas fechadas que

são limites assintóticos das esferas furadas de energia finita contidas numa árvore de bubbling- off Fassociada a uma sequência germinante ˜vn com limite não-constante ˜v. Denote por OF o

conjunto das órbitas fechadas P = (x, T ) ∈ P(λ) tais que existe uma esfera furada de energia finita ˜w : C\ Γ → R × M contida em F cujo limite assintótico em algum furo em {∞} ∪ Γ é P = (x, t). Vamos verificar que OF ⊂ Pc(λ). Nosso objetivo é exibir discos cont´ınuos para as

orbitas fechadas em OF. Estes discos serão induzidos por F. Nossa constru¸cão come¸cará pela base

de F. Lembre que na base de F est˜ao planos de energia finita. Fixe ˜w0 = (b0, w0) : C→ R×M um

plano de energia finita em F. Denote por P = (x, T )∈ Pc_{(λ) a ´}_{orbita fechada limite assint´}_otico

de ˜w0 no (único) furo positivo em ∞. Pelo comportamento assintótico de ˜w0 em ∞, se ¯C é a compactifica¸cão de C obtida por adicionar uma cópia de S1 _em_{∞ e ¯}_w

0 ´e a extens˜ao cont´ınua de

w0 sobre ¯C, então ¯w0 fornece um disco cont´ınuo cujo bordo é a órbita fechada P . Pelo Teorema

1.77, temos que µCZ(P, ¯w0) ≥ 2. Suponha agora que ˜w = (b, w) : C\ Γ → R × ˜M ´e uma esfera

furada de energia finita em F. Lembre que à árvore de bubbling-off F esta associada uma árvore finita T = (V, r, E), onde V é o conjunto dos vértices, r é um vértice especial chamado ra´ız e E é o conjunto de arestas, orientado emanando da ra´ız r. O par (V, E) pode ser interpretado como um grafo orientado. Seja e o vértice associado à ˜w e denote por (Vw˜, Ew˜) o subgrafo emanando

de e. Considere o subconjunto Rw˜ = { ˜wq : C\ Γq → R × M : q ∈ Vw˜ e q 6= e} de F. Note

que Rw˜ ´e constitu´ıdo das esferas furadas de energia finita ˜wq = (bq, wq) : C\ Γq → R × M

que estão associadas aos vértices que estão conectados (com a orienta¸cão positiva da árvore de bubbling-off) ao vértice e associado à ˜w. Seja C\ Γq a compactifica¸cão de C\ Γq obtida por

adicionar c´opias de S1 _{nas singularidades Γ}

q∪ {∞} e seja ¯wq a extens˜ao de wq sobre C\ Γq.

Podemos definir Dw˜ = ¯w [ q∈Vw˜\e ¯ wq (C.21)

Esta constru¸cão é ilustrada na Figura C.1. Suponha que ˜P = (˜x, ˜T )∈ P(λ) é o limite assintótico de ˜w no furo positivo em _{∞ e η : D → M é um disco cont´ınuo satisfazendo η(D) = D}w˜. Repare

que η satisfaz η(e2πit_{) = ˜}_{x(T t), para todo t}_{∈ R/Z ' S}1_{. Isto mostra que P ´e contr´}_{atil. Este}

procedimento pode ser repetido para toda esfera furada de energia finita ˜w0 = (b0, w0) : C\ Γ0 _→

R× Mν contida em F. Isto mostra que se P = (x, T )∈ OF ´e limite assint´otico de uma esfera

um disco cont´ınuo definido conforme (C.21) tendo como bordo a órbita fechada P = (x, T ). Isto é válido para todas as órbitas fechadas em OF e, portanto, OF ⊂ Pc(λ). Diremos que os discos

obtidos pela constru¸cão exposta acima são discos induzidos pela árvore de bubbling-off.

⇒

P = (x, T )

_{∈ P}

(λ)

D_w_˜

:= ¯w

_∪_q_∈V_w_˜

w¯q

Figura C.1: Discos induzido por F.

Já observamos no Apêndice A que a condi¸cão topológica c1

π2(M )(ξ)≡ 0 implica que o

´ındice de Conley-Zehnder de órbitas fechadas de Reeb contráteis P = (x, T )∈ Pc_{(λ) é indepen-}

dente do disco cont´ınuo cujo bordo é a própria P . Em geral, no Cap´ıtulo 3 não dispomos de c1

π2(M )(ξ)≡ 0. Isto motiva, em vista da existˆencia de discos induzidos pela ´arvore de bubbling-

off, provar o seguinte lema. Este resultado mostrar´a que ´e poss´ıvel minorar os ´ındices µCZ das

orbitas fechadas em OF.

Lema C.9. Sejaλ uma forma de contato não-degenerada definida numa 3-variedade fechada e conexaM . Seja ˜w = (d, w) : C\ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita cujo único furo positivo é _{∞ e Γ corresponde aos furos negativos. Considere z}1 =∞ e Γ = {z2,· · · , zn}. Para

todo j ∈ {1, · · · , n}, seja Pj = (xj, Tj)∈ Pc(λ) o limite assint´otico de w em z˜ j. Suponha que,

paraj≥ 2, existam discos cont´ınuos uj : D→ M tais que uj(e2πit) = xj(Tjt), para todo t∈ R/Z,

eµCZ(Pj, uj)≥ 2. Ent˜ao existe um disco cont´ınuo u1 : D→ M tal que u1(e2πit) = x1(T1t), para

todot_{∈ R/Z, e µ}CZ(P1, u1)≥ 2. Em particular, se π · dw ≡ 0 e #Γ ≥ 2, ent˜ao µCZ(P1, u1)≥ 3

Demonstra¸cão. Suponha primeiro que π_{· dw 6≡ 0. Por uma constru¸cão análoga à descrita} acima, os discos cont´ınuos uj : D → M, para j ≥ 2, induzem um disco cont´ınuo u1 : D → M

tal que u1(D) = ¯w∪j≥2uj e u1(e2πit) = x1(T1t). Aqui ¯w : C\ Γ → M ´e a extens˜ao de w sobre

a compactifica¸c˜ao C\ Γ de C \ Γ. Seja Z : D → u∗

1ξ uma se¸c˜ao n˜ao-nula de u∗1ξ → D. Para

todo j ≥ 2, seja Z

Pj : S

1 _{→ η}∗_{ξ a restri¸c˜}_{ao de Z sobre a ´}_{orbita fechada P}

j. J´a mencionamos que µCZ(Pj, Z Pj) = µCZ(Pj, uj), onde j ≥ 2 e µCZ(Pj, Z

Pj) ´e o ´ındice de Conley-Zehnder da

orbita fechada Pj calculado em rela¸cão à trivializa¸cão dλ-simplética induzida por Z

Pj. Vamos

aplicar o Teorema 1.77 considerando as trivializa¸c˜oes dλ-simpl´eticas induzidas por Z

Pj, para

todo j ∈ {1, · · · , n}. Lembre que Γ0 denota o conjunto dos furos zj ∈ Γ tais que µCZ(Pj, uj)

fechadas Pj, para j ≥ 2, satisfazem µCZ(Pj, uj)≥ 2, pelo Teorema 1.76, vemos que

µ+≥ µ−+ 4− 2#Γ0− #Γ1 ≥ µ−+ 4− 2#Γ0− 2#Γ1

≥ 2(#Γ0+ #Γ1− 1) + 4 − 2(#Γ0+ #Γ1) = 2

onde µ+_{, µ}− _{denotam a soma dos ´ındices dos furos positivos e negativos, respectivamente.}

Suponha agora que π _{· dw ≡ 0. A demonstra¸cão a seguir é uma adapta¸cão de um} argumento em [22]. Pelo Teorema 1.58, existe uma órbita fechada P = (x, Tmin) ∈ P(λ) e

polinˆomio p : C→ C tal que

p−1(0) = Γ e w(z) = F˜ P ◦ p(z),

onde FP ´e a aplica¸c˜ao ˜J-holomorfa FP : C\ {0} → R × M definida por

FP(e2π(s+it)) = (T s, x(Tmint)).

Lembre que z1 = ∞ e Γ = {z2,· · · , zn}. Para todo j ∈ {1, · · · , n}, existe kj ∈ Z∗+ tal que os

per´ıodos das ´orbitas fechadas Pj = (xj, Tj) ∈ Pc(λ) satisfazem Tj = kjTmin. Al´em disso, pela

Proposi¸c˜ao C.6, temos que

T1 = k1Tmin =

j≥2

kjTmin

Note que existe uma aplica¸c˜ao u1 : D → M tal que u1(D) := ∪j≥2uj(D) cuja imagem ´e a

união dos discos uj(D). Esta união induz um disco cont´ınuo para P1. Nosso objetivo é calcular

µCZ(P1, u1). Para j ≥ 2, sejam Ψj : x∗_T_jξ → S1 × C trivializa¸c˜oes dλ-simpl´eticas induzidas

por trivializa¸c˜oes dλ-simpl´eticas dos fibrados u∗_jξ _{→ D × C. Aqui x}Tj(t) = xj(Tjt), para todo

t_{∈ R/Z. Defina aplica¸c˜oes ϕ}j ∈ C∞(R, Sp(1)) satisfazendo ϕj(0) =1 e

ϕj(t) = Ψj,t◦ dφkjT t ξ_{xj (0)} ◦ (Ψj,0) −1 , onde dφkjT t

ξ_{xj (0)} : ξxj(0) → ξxj(kjT t) é a aplica¸cão fluxo linearizado restrita à ξ. Calcular

µCZ(P1, u1) significa calcular µCZ( ˆϕ), onde ˆϕ∈ C∞([0, T1], Sp(1)) ´e definida como:

ˆ ϕt= ϕ2(t), se t∈ [0, k2T ] ˆ ϕt= ϕ3(t− k2T )ϕ1(k2T ), se t∈ [k2T, (k2+ k3)T ] .. . ˆ ϕt= ϕ2  t₋   X j∈{2,··· ,n−1} kj  T  ϕn−1(kn−1T )· · · ϕ1(k2T ) , (C.22)

onde na ´ultima equa¸c˜ao t∈hP

j∈{2,··· ,n−1}kj T,P j∈{2,··· ,n}kj Ti. Vamos calcular µCZ( ˆϕ)

ϕ(T1t), para todo t∈ [0, 1]. Note que ˆϕT1 ∈ C

∞_{([0, 1], Sp(1)). Lembre que existe a fun¸c˜}_{ao suave}

θ1 : [0, 1]× [0, 1] → R satisfazendo ˆϕT1(t)e

2πis _{∈ R}+_eiθ1(t,s) _{e a fun¸c˜}_{ao varia¸c˜}_{ao ∆}

1 : [0, 1]→ R

definida por ∆1(s) = θ1(1,s)−2πs_2π . Seja I( ˆϕT1) o intervalo de varia¸c˜ao dado pela imagem de ∆1,

isto ´e, I( ˆϕT1) := {∆1(s) : s ∈ [0, 1]}. Queremos provar que I1( ˆϕT1) ⊂ (1, +∞). Para ver

isto, vamos estudar o intervalo de varia¸c˜ao das curvas ϕj, j ∈ {2, · · · , N}. Existem, para todo

j _{∈ {2, · · · , N}, fun¸c˜oes suaves θ}j : [0, 1]× [0, 1] → R satisfazendo ϕj(t)e2πis ∈ R+eiθj(t,s), e

∆j : [0, 1] → R dada por ∆j(s) = θj(1,s)−2πs_2π . Sejam I(ϕj) :={∆j(s) : s∈ [0, 1]} os respectivos

intervalos de varia¸cão. A no¸cão de ´ındice de Conley-Zehnder geométrico µCZ(ϕj) diz que

µCZ(ϕj) =

(

2k, se k_{∈ I(ϕ}j);

2k + 1, se I(ϕj)⊂ (k, k + 1).

(C.23)

Por hip´otese, estamos assumindo que µCZ(ϕj) = µCZ(Pj, uj)≥ 2. Disto conclu´ımos que I(ϕj)⊂

(1/2, +_{∞), para todo j ∈ {2, · · · , N}. Quando #Γ = 1, ent˜ao µ}CZ(ϕ1) ≥ 2. No entanto, se

#Γ _{≥ 2, como cada furo acrescenta pelo menos 1/2 ao intervalo de varia¸c˜ao de ˆ}ϕT1, significa

que I( ˆϕT1)⊂ (1, +∞), isto ´e, µCZ(P1, u1) = µCZ( ˆϕT1) > 2.

Como a base de F é constitu´ıda por planos de energia finita ˜w = (d, w) : C → R × M e µCZ(P, ¯w)≥ 2, onde C é a compactifica¸cão de C e ¯w é a extensão cont´ınua de w sobre C, o

resultado anterior tem o seguinte corolário para o caso de uma árvore de bubbling-off induzida por uma sequência germinante.

Corolário C.10. Seja ˜vnuma sequência germinante com limite não-constantev e F uma ´˜ arvore

de bubbling-off associada av˜n e˜v. Se P = (x, T )∈ OF eu : D→ M ´e o disco cont´ınuo induzido

Apˆendice D

Fluxos Geod´esicos

Sejam S uma superf´ıcie difeomorfa a S2 _:= _{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: x}2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1}_{} e g uma}

m´etrica Riemanniana em S. Considere a fam´ılia de difeomorfismos φt: T S→ T S dada por

φt(x, v) = (γ(t), γ0(t)),

onde t _{∈ R, x ∈ S, v ∈ T}xS e γ ´e a geod´esica satisfazendo γ(0) = x e γ0(0) = v. A fam´ılia

{φt}t∈R satisfaz φt+s = φt◦ φs e, portanto, define um fluxo em T S denominado fluxo geod´esico.

O campo G que gera o fluxo geodésico é chamado campo geodésico. A seguir, faremos algumas afirma¸cões a respeito deste fluxo. Tais propriedades encontram-se verificadas em [40] e [54], referências estas que seguiremos nesta exposi¸cão e sugerimos ao leitor interessado nos detalhes. Por abuso de nota¸cão, se γ : I ⊂ R → T S, onde I ⊂ R é um intervalo, é uma curva no fibrado tangente, escrevemos γ(t) = (α(t), Z(t)), para todo t ∈ I, onde α : I ⊂ R → S é uma curva em S e Z(t)_{∈ T}α(t)S, para todo t∈ I, é um campo de vetores sobre α. Comecemos

observando que o espa¸co tangente T_(x,v)T S, para todo (x, v)_{∈ T S, se decomp˜oe como}

T(x,v)T S = H(x, v)⊕ V (x, v),

onde H(x, v) e V (x, v) s˜ao denominados subespa¸cos horizontal e vertical, respectivamente, ambos isomorfos a TxS. Vamos construir primeiro o subespa¸co vertical V (x, v)⊂ T(x,v)S, onde (x, v)∈

T S. Fixe (x, v)_{∈ T S, w ∈ T}xS e considere a curva γw(t) = (x, v + tw), t∈ (−, ), > 0 em T S.

Como dim TxS = 2, o conjunto V (x, v) das curvas γw, w∈ TxS, ´e um subespa¸co de dimens˜ao 2

em T_(x.v)T S e a aplica¸c˜ao N : TxS → V (x, v) dada por w 7→ γw0 (0) ´e um isomorfismo. Note que,

se π : T S → S é a proje¸cão canônica (x, v) 7→ x, então V (x, v) = ker dπ(x,v). Resta construir

o subespa¸co horizontal H(x, v) ⊂ T(x,v)S. Novamente fixe (x, v) ∈ T S e seja ζ ∈ T(x,v)T S.

Considere a curva regular γζ : (−, ) → T S, > 0, satisfazendo

(

γζ(0) = (x, v),

dπ_(x,v)(ζ) = w _{6= 0. Ent˜ao, γ}ζ(t) = (α(t), Z(t)), onde α(t) ∈ S ´e uma curva regular com

α(0) = x, α0(0) = w, e Z(t)∈ Tα(t)S, t∈ (−, ), ´e um campo de vetores tangentes a S sobre α.

Seja Q(x,v): T(x,v)T S→ TxS a aplica¸c˜ao dada por

ζ _7→ DZ(t) dt

t=0∈ TxS, (D.2)

onde D_dt é a derivada covariante associada à metrica Riemanniana g em S, isto é, DZ(t)_dt

t=0 =

∇α0_(t)Z(t)

t=0e∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de g. Definimos H(x, v) := ker Q(x,v). O subespa¸co

H(x, v)_{⊂ T}(x,v)S também é isomorfo a TxS. De fato, sejam (x, v)∈ T S, w ∈ TxS não nulo e

α(t) _{∈ S, t ∈ (−, ), uma curva regular tal que α(0) = x e α}0_{(0) = w. Seja Z(t) o transporte}

paralelo de v _{∈ T}xS ao longo de α e defina a curva regular γ(t) = (α(t), Z(t)), t ∈ (−, ).

E imediato que a aplica¸c˜ao M(x.v) : TxS → H(x, v) dada por M(x,v)(w) = γ0(0) ´e injetora e,

portanto, dim M(x,v)(TxS) = 2. Disto segue que M(x,v) ´e um isomorfismo entre TxS e H(x, v).

Desta forma, a aplica¸c˜ao L(x,v): T(x,v)T S→ TxS×TxS definida como ζ 7→ (dπ(x,v)(ζ), Q(x,v)(ζ))

´e um isomorfismo. Note que dπ_(x,v)_{◦ M}_(x,v)= idTxS, donde segue que dπ(x,v)

H(x,v): H(x, v)→

TxS ´e a inversa de M(x.v) : TxS → H(x, v). Lembre que uma geod´esica γ0 : I → S, I ⊂ R

intervalo, satisfaz Dγ00

dt (t) = 0, para todo t ∈ I. Se γ : I → T S ´e definida como γ(t) =

(γ0(t), γ00(t)) ∈ T S, ent˜ao γ0(t)∈ H(γ(t)), para todo t ∈ I. Isto mostra que, na decomposi¸c˜ao

T_(x,v)T S = H(x, v)_{⊕V (x, v), o campo geod´esico G ´e dado por G(x, v) = (M}_(x,v)(v), 0), para todo (x, v)_{∈ T S. Como dπ(γ}0_{(t)) = γ}0

0(t), onde γ(t) = (γ0(t), γ00(t))∈ T S, usaremos a identifica¸c˜ao

G(x, v) = (v, 0), para todo (x, v)∈ T S.

Os isomorfismos H(x, v)M_{∼ T}xS, V (x, v) N

∼ TxS induzem m´etricash , ihx,h , ivxem H(x, v)

e V (x, v), respectivamente. Isto permite definir de maneira natural, tendo em vista a decomposi¸c˜ao T(x,v)T S = H(x, v)⊕ V (x, v), uma m´etrica em T(x,v)T S:

hhζ, ηii(x,v)=hζh, ηhihx+hζv, ηvivx, para todo (x, v)∈ T S,

para todo ζ = (ζh, ζv), η = (ηh, ηv)∈ H(x, v) ⊕ V (x, v). Esta métrica é denominada métrica de

Sazaki. Usando novamente que T(x,v)T S = H(x, v)⊕ V (x, v), est´a bem-definida uma estrutura

quase-complexa ˜J dada por

J(x,v)(ζh, ζv) = (−ζv, ζh), para todo (x, v)∈ T S e (ζh, ζv)∈ T(x,v)T S,

A m´etrica de Sazaki e a estrutura quase-complexa ˜J induzem uma 2-forma Ω em T S satisfazendo

Ω(x,v)(ζ, η) :=DD ˜J(x,v)ζ, η

(x,v)=hζh, ηvi v

x− hζv, ηhihx, (D.3)

para todo (x, v) _{∈ T S. Note que Ω est´a bem-definida visto que ˜}J_(x,v)(ζh, ζv) = (−ζv, ζh) ∈

Proposi¸c˜ao 1.24]). Considere a seguinte 1-forma α em T S

α(x,v)(ζ) =hhζ, G(x, v)ii(x,v) =hζh, vihx+hζv, 0ivx =hζh, vihx, (D.4)

para todo (x, v)_{∈ T S. Como dπ(ζ) = ζ}h, onde π : T S→ S é a proje¸cão canônica (x, v) 7→ x, e

h·, ·ih

x é induzida pela métrica g através da identifica¸cão H(x, v) M

∼ TxS, podemos escrever

α_(x,v)(ζ) = gx(v, dπ(ζ)), para todo (x, v)∈ T S e ζ ∈ T(x,v)T S.

E poss´ıvel verificar explicitamente (veja [54, Se¸cão 1.3.3]) que dα = _{−Ω, onde Ω é a forma} simplética definida em (D.3).

Estudaremos a seguir a restri¸cão de α ao fibrado tangente unitário SS := {(x, v) ∈ T S : |v| = 1}, onde | · | = pg(·, ·) é a norma induzida pela métrica g. É conhecido que o espa¸co tangente T(x,v)SS é um subespa¸co de dimensão 3 em T(x,v)T S, para todo (x, v)∈ T S, e é

constitu´ıdo pelos vetores ζ_{∈ T}_(x,v)T S tais que gx Q(x,v)(ζ), v = 0, onde Q(x,v) : T(x,v)T S → TxS

é definida em (D.2)(veja [54, Exerc´ıcio 1.28]). Considere a restri¸cão de α ao fibrado unitário SS. ´

E imediato verificar que α(x,v)(G(x, v)) = 1, para todo (x, v)∈ SS, e

i_G(x,v)dα_(x,v)(ζ) =_{− Ω}

(x,v)(G(x, v), ζ) =hv, ζvix = 0,

para todo (x, v)_{∈ SS e ζ ∈ T}(x,v)SS. Consequentemente, a restri¸c˜ao α

SS ´e forma de contato

em SS e o campo geod´esico G ´e o campo de Reeb para α

SS.

Contactomorfismo entre fibrados tangentes unit´arios

Sejam S2 ₌ _{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: x}2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= 1}_{} a 2-esfera unit´aria canonicamente}

mergulhada em R3 _{e g}

0 a m´etrica Riemanniana induzida em S2 pela m´etrica Euclidiana de R3.

Denotamos S2

0 := (S2, g0). Fixe b∈ R∗+ e seja Eb :={(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+z

b2 = _b12} ,→ R3.

Note que Eb é difeomorfa a S2. Seja gE a métrica induzida em Eb pela métrica Euclidiana de

R3. Considere uma c´opia da 2-esfera munida da m´etrica Riemanniana pull-back ˜g = φ∗gE. Aqui

φ : S2 _{→ E}

b ´e o difeomorfismo definido por (x, y, z)7→ (x_b,y_b, z). Denotamos, por simplicidade,

S2_{:= (S}2_{, ˜}_{g). Nosso objetivo nesta subse¸c˜}_{ao ´e construir um contactomorfismo entre os fibrados}

unit´arios de S2

0 e S2. Este contactomorfismo ser´a ´util no Exemplo 2.3 do Cap´ıtulo 2.

Por um instante, vamos considerar um superf´ıcie (Riemanniana) S := (S2_{, g), onde g ´e}

uma m´etrica Riemanniana. Neste contexto, g representa tanto g0 quanto ˜g. Seja T∗S o fibrado

cotangente de S. A m´etrica g induz um isomorfismoL : T S → T∗_{S entre T S e T}∗_{S dado por}

(x, v)7−→ (x, gL x(v,·)). Em T∗S est´a definida uma 1-forma canˆonica

αtaut (x,p)(ζ) = p dπ ∗ (x,p)(ζ), para todo (x, p) ∈ T ∗_{S e ζ} ∈ T(x,p)T∗S,

L αtaut

(x,v)(ζ) = αtaut (x,p)(dL(x,v)(ζ)) = p dπ(x,p)(dL(x,v)(ζ))

= p dπ_(x,v)(ζ0)) = gx(v, dπ(x,v)(ζ0)) = α(x,v)(ζ0),

(D.5)

onde π = π∗_{◦ L e α}

(x,v)(ζ0) = gx(v, dπ(ζ0)) ´e a 1-forma definida em (D.4). Note que a m´etrica

g induz uma m´etrica g∗ _{em T}∗_{S satisfazendo g}∗_{(p, q) = g(}_L−1_(p),_L−1_{(p)). Defina o fibrado}

cotangente unit´ario S∗S :={(x, p) ∈ T∗_{S :}_{|p| = 1}, onde | · | :=}_pg∗₍_{·, ·). ´}_{E natural considerar}

a restri¸c˜ao L

SS : SS → S

∗_{S. Note que, pela defini¸c˜}_{ao da com´etrica g}∗_{, a restri¸c˜}_ao _L

SS est´a

bem definida. Deste modo, (D.5) implica que _L∗ αtaut

_S∗_S = α _SS e, portanto, a restri¸c˜ao L SS : SS → S

∗_{S ´e um contactomorfismo. Para fixar nota¸c˜}_{ao, considere os seguintes contac-}

tomorfismos: _L0 SS₀2 : T S 2 0 → T∗S20,L

SS2 : T S2 → T∗S2, onde S02 e S2 s˜ao fixadas no in´ıcio

desta subse¸c˜ao. As aplica¸c˜oesL0

SS2 0 e L0

SS2 serão úteis na constru¸cão a seguir.

Nosso pr´oximo passo, ´e construir um contactomorfismo entre S∗_S2 _{e S}∗_S2

0. Considere o seguinte difeomorfismo Φ : S∗_S2 _{→ S}∗_S2 0 dado por (x, v)_7→ x, v pg∗ 0(v, v) ! .

Como a forma de contato αtaut

S∗_S2 0 em S

∗_S2

0 ´e dada por

αtaut S∗_S2 0 (x,p) ζ 0_{= p dπ}∗ (x,p)(ζ 0_{), para todo ζ}0 ∈ T(x,p)S∗S02, onde π∗ _{: S}∗_S2

0 → S2 ´e a proje¸c˜ao (x, p)7→ x, segue que

Φ∗αtaut S∗_S2 0 (x,p) ζ = Φ ∗ pdπ∗_(x,p)(ζ) = p pg∗ 0(p, p)   dπ ∗ x,√ p g∗_{0 (}p,p) !◦ dΦ(ζ)    = 1 pg∗ 0(p, p) pd˜π∗_(x,p)(ζ),

onde ˜π∗ := π∗◦ Φ : S∗_S2 _{→ S}2 _{´e a proje¸c˜}_{ao (x, q) = (x, Φ(p))}_{7→ x. Como}

αtaut S∗_S2 (x,p)(ζ) = p d˜π∗_(x,p)(ζ),

então Φ é um contactomorfismo satisfazendo Φ∗αtaut S∗_S2 0 (x,p) = 1 pg∗ 0(p, p) αtaut S∗_S2 (x,p). Consequentemente, a composi¸cão Ψ :=L0 SS2 0 −1 ◦ Φ ◦ L SS2 : SS2 → SS02 (D.6)

´e um contactomorfismo entre os fibrados tangentes unit´arios SS2 _{e SS}2 0.

D.1 C´alculo de

ρ de ´orbitas fechadas em

SS

Seja S ,₋_{→ R}i 3 _{uma superf´ıcie mergulhada munida da m´etrica} _{h·, ·i induzida pela m´etrica}

Euclidiana de R3_{. Suponha que a curvatura de S ´e positiva. Denote por −}→_{n o campo unit´}_{ario e}

normal a S_{⊂ R}3 _{e seja v}⊥ _{= −}→_n _{∧ v ∈ T}

xS. J´a mencionamos que

T(x,v)SS ={ζ ∈ T(x,v)T S :hv, Q(x,v)(ζ)i = 0}, para todo (x, v) ∈ SS, (D.7)

onde Q(x,v) : T(x,v)T S→ TxS ´e definida em (D.2). Em particular, H(x, v)⊂ T(x,v)SS. A parte

vertical V (x, v) intersecta T(x,v)SS em um subespa¸co de dimens˜ao 1 gerado por X1(x, v) :=

N(x,v)(v⊥) ∈ V (x.v), onde N ´e o isomorfismo N : TxS → V (x, v) constru´ıdo no in´ıcio deste

apˆendice. Por simplicidade, usando a identifica¸c˜ao induzida por N , denotamos X1 = (0, v⊥). De

maneira análoga, considerando a identifica¸cão dada pelo isomorfismo M , escrevemos (v, 0), (v⊥, 0)∈ H(x, v). Note que (v, 0), (v⊥, 0) são ortogonais em rela¸cão à métrica de Sazaki. Disto segue que

{X1 = (0, v⊥), X2= (v⊥, 0), X3 = (v, 0)}

´e uma base ortonormal para T(x,v)SS munida da m´etrica de Sazaki. Repare que X3 = (v, 0)

é o campo geodésico. Lembre que a 1-forma α_(x,v)(ζ) = _{hv, dπ(ζ)i}x, onde π : SS → S é a

proje¸cão (x, v) _{7→ x, é forma de contato em SS. Considere o subfibrado ξ de T SS dado por} ξ = span{X1, X2}. É imediato verificar que α

ξ ≡ 0, dα(X1, X2) = 1 e, portanto, {X1, X2}

´e uma base simpl´etica e gera a estrutura de contato ker α

SS. Note que {X1, X2} define uma

trivializa¸c˜ao global da estrutura de contato ξ = ker α

SS.

A seguir, apresentamos uma constru¸cão que permite calcular o número de rota¸cão transversal, em rela¸cão à trivializa¸cão global induzida pelo par {X1, X2}, de uma órbita fechada do

campo geod´esico (Reeb) em SS. Come¸caremos observando que a lineariza¸c˜ao dφt: T T S→ T T S

do fluxo geod´esico φ ´e dada por

(dφt)(x,v)ζ = Jζ(t), DJζ dt (t) ∈ H(x, v) ⊕ V (x.v), (D.8)

para todo (x, v) ∈ T S e ζ ∈ T(x,v)T S, onde Jζ(t) ´e um campo de Jacobi ao longo de uma

geodésica γ : (_{−, ) → S, > 0, satisfazendo γ(0) = x e γ}0(0) = v. Veja [40, 54] para a prova da decomposi¸cão em (D.8). Repare que o campo de Jacobi tem as condi¸cões iniciais Jζ(0) = dπ(x,v)ζ

e DJζ

dt (0) = Q(x,v)(ζ). O campo de Jacobi satisfaz a equa¸c˜ao (de Jacobi)

D2_J ξ

dt2 (t) + R(γ 0

(t), Jξ(t))γ(t) = 0, para todo t∈ (−, ), (D.9)

0, para todo t no dom´ınio de γ. ´E conhecido que Jξ ´e normal se e somente se hJξ(0), γ0(0)i =

hDJξ

dt (0), γ

0₍₀₎_{i = 0. Considere agora o fluxo geod´esico {φ}

t}t∈R restrito a SS. Se (x, v) ∈ SS e

y0 ∈ span{X1(x, v), X2(x, v)} ⊂ T(x,v)SS, ent˜ao

hJy0(0), γ

0₍₀₎

i = hdπ(x,v)(y0), vi = hav⊥, vi = 0, para algum a ∈ R,

e DJy0 dt (0), γ 0₍₀₎ =_hQ(x,v)(y0), vi = 0,

visto que y0 ∈ T(x,v)SS e T(x,v)SS ´e dado por (D.7). Deste modo, o campo de Jacobi Jy0 para

algum y0 ∈ span{X1(x, v), X2(x, v)} ⊂ T(x,v)SS ´e normal.

Seja (x, v) _{∈ SS e y}0 ∈ ξ = span{X1(x, v), X2(x, v)} ⊂ T(x,v)SS. O fluxo geod´esico

linearizado ao longo de uma solu¸c˜ao geod´esica t _{∈ (−, ) 7→ γ = (γ}0(t), γ00(t)) ∈ SS, γ(0) =

(x, v), tem a seguinte forma

y(t) = (dφt)(x,v)y0. (D.10)

Como ξ ´e invariante pelo fluxo geod´esico φt, podemos decompor (D.10) em

y(t) = a1(t)X1(β(t)) + a2X2(β(t)), t∈ (−, ), (D.11)

onde a1, a2: (−, ) C∞

−−→ R. Comparando (D.8), (D.10) e (D.11), vemos que

Jy0(t) = a2(t)γ 0_(t)⊥_, DJy0 dt (t) = a1(t)γ 0 (t)⊥. (D.12)

Lembre que Jy0 ´e normal a geod´esica γ e que, neste caso, a curvatura Gaussiana (seccional)

K(σ, γ(t)) de S no ponto γ(t) em rela¸cão à base σ =_{γ0_{(t), γ}0_(t)⊥_{}, é dada por}

K(σ, γ(t)) = hR(Jy0(t), γ 0_(t))γ0_{(t), J} y0(t)i |Jy0(t)|2|γ0(t)|2− hJy0(t), γ0(t)i = R Jy0(t) |Jy0(t)| , γ(t)0 γ0(t), Jy0(t) |Jy0(t)| ,

para todo t∈ (−, ). Note que hR(Jy0(t), γ

0_(t))γ0_{(t), γ}0_(t)_{i = 0, t ∈ (−, ). Ent˜ao}

K(σ, γ(t))Jy0(t) = R Jy0(t), γ

0_{(t) γ}0_(t), _t

∈ (−, ).

Denotando K(γ(t)) = K(σ, γ(t)), pela equa¸c˜ao (D.9), temos que D2_J y0 dt (t) =−K(γ(t))Jy0(t). (D.13) Como D dtγ 0_{(t) =} D dtγ

0_(t)⊥_{= 0, combinando (D.12) e (D.13), temos que o sistema de EDO’s}

˙a1(t) ˙a2(t) ! = 0 −K(γ(t)) 1 0 ! a1(t) a2(t) ! (D.14)

rege o fluxo geodésico linearizado, ao longo de uma solu¸cão geodésica, em rela¸cão à trivializa¸cão global da estrutura de contato dada pelos campos X1 e X2. Sejam (ρ, θ) coordenadas polares

em ξ = span{X1, X2} e (ρ(t), θ(t)) fun¸c˜oes tais que a1(t) = ρ(t) cos(θ(t)) e a2(t) = ρ(t) sin(θ(t)).

Conclu´ımos que as solu¸c˜oes n˜ao-triviais de (D.14) satisfazem

˙θ(t) = 1 + (K(γ(t)) − 1) sin2_θ(t). _(D.15)

Suponha que L = (x, T ) seja uma órbita fechada do campo geodésico (Reeb) em SS. Então a varia¸cão angular ∆θ do fluxo linearizado na estrutura de contato ao longo de uma solu¸cão

geodésica é dada pela seguinte fórmula

∆θ(T ) := θ(T )− θ(0) = Z T 0 ˙θ(t)dt =Z T 0 1 + (K(γ(t))_{− 1) sin}2_θ(t)dt. _(D.16)

Note que a dependência da condi¸cão inicial y0 ∈ span{X1(x, v), X2(x, v)} ⊂ T(x,v)SS está so-

mente em θ(t), visto que a1(t) = ρ(t) cos(θ(t)) e a2(t) = ρ(t) sin(θ(t)). Considerando iteradas

de L e o correspondente ∆θ, é poss´ıvel calcular o número de rota¸cão transversal ρ(L). Isto é o

Apˆendice E

Perturba¸c˜oes de formas de contato:

N˜ao-degenerescˆencia

Seja M1 = S1× D um toro s´olido mergulhado numa 3-variedade fechada M. Suponha

que λ ´e uma forma de contato definida em M tal que a restri¸c˜ao de λ a Mc

1 = M \ ˚M1 ´e n˜ao-

degenerada. Neste apˆendice, vamos provar que podemos perturbar λ sobre ˚M1 de maneira que

a nova forma de contato seja não-degenerada sobre M . Este fato já é conhecido e foi usado, por exemplo, na prova da Conjectura de Weinstein, no caso tight, para toros sólidos apresentada por Etnyre, Ghrist em [10]. A demonstra¸cão apresentada aqui é distinta daquela em [10]. Os argumentos a seguir são uma adapta¸cão daqueles encontrados na prova do Lema 2 em [4].

Come¸camos introduzindo uma no¸cão equivalente de não-degenerescência para as órbitas fechadas. Essencialmente, vamos relacionar órbitas fechadas de um fluxo com pontos fixos de um difeomorfismo. Sejam Φ : M → M um difeomorfismo e Γ(Φ) := {(p, q) ∈ M ×M : q = Φ(p)} o gráfico de Φ. Podemos considerar a aplica¸cão ΓΦ : M → M × M dada por p 7→ (p, Φ(p)).

Repare que se p_{∈ M ´e um ponto fixo de Φ, ent˜ao T}pΓΦ={(u, v) ∈ TpM × TpM : v = Φ∗(u)},

ou seja, o espa¸co tangente TpΓΦ coincide com o gr´afico da diferencial Φ∗. Denote por ∆M =

{(q, q) ∈ M × M : q ∈ M} a diagonal de M × M. Como Φ ´e um difeomorfismo, ou Γ(Φ) t ∆M

e, neste caso, TpΓΦ⊕ Tp∆M, para todo p∈ Γ(Φ) t ∆M, ou existe u∈ TpM tal que u = Φ∗(u),

de modo que a aplica¸cão Φ∗− id : TpM → TpM não é injetiva. Isto significa que 1 é autovalor

de Φ∗. Lembre que uma órbita fechada P = (x, T )∈ P(λ) é dita não-degenerada se o fluxo de

Reeb φT : M → M n˜ao possui 1 como autovalor de (φT)∗, onde {φt}t∈R´e o fluxo de Reeb. Pelo

que acabamos de observar, P = (x, T )∈ P(λ) ´e n˜ao-degenerada se e somente se Γ(φT) t ∆M,

onde Γ(φT) ´e o gr´afico de φT.

Usando esta no¸cão equivalente de não-degenerescência, será poss´ıvel eliminar, através de perturba¸cões da forma de contato, as órbitas fechadas do fluxo de Reeb {φt}t∈R que são

degeneradas. Por abuso de nota¸c˜ao, considere φN : [0, N ]× M → M o fluxo de Reeb restrito

a [0, N ]_{× M. Seja Γ(φ}N) ⊂ [0, N] × M × M o gr´afico de φN tal que (t, p, q) ∈ Γ(φN) se e

P de modo que, após a perturba¸cão, P seja uma órbita fechada não-degenerada. Observe que isto significa eliminar pontos de não-transversalidade entre Γ(φN) e ∆M.

Lema E.1. Seja λ uma forma de contato definida na 3-variedade fechada e conexa M . Seja M1 = S1× D ,→ M um toro sólido mergulhado em M e suponha que λ é não-degenerada em

Mc_{= M} _{\ ˚}_M

1. Suponha, al´em disso, que o bordo ∂Mc= ∂M1 ´e invariante pelo fluxo de Reeb.

Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao f : M −−→ RC∞ ∗

+ satisfazendo f Mc ≡ c, para algum c ∈ R ∗ +, e tal que

f λ é forma de contato não-degenerada em M . Demonstra¸cão. Fixe N _{∈ R}∗

+ e seja x ∈ Γ(φN)∩ [0, N] × ∆M, x = (T0, p0, p0), um ponto

n˜ao-transversal. Seja P0 = (x0, T0) a ´orbita fechada de Reeb tal que x0(T0) = x0(0) = p0. Seja

(U, Φ) um tubo de Martinet para P0= (x0, T0), isto ´e, sejam U ⊂ M uma vizinhan¸ca aberta de

x0(R), B = Br(0)⊂ R2 uma bola aberta de raio r > 0 centrada na origem e Φ : U → R/Z × B

um difeomorfismo satisfazendo Φ(x0(Tmint)) = (t, 0, 0), onde Tmin ´e o per´ıodo m´ınimo de x0, e

Φ∗(hλ0) = λ, onde (θ, x, y) s˜ao coordenadas em R/Z× R2, λ0 = dθ + xdy e h : R/Z× B C∞

−−→ R∗ +

satisfaz h|R/Z×{0}≡ Tmin e dh|R/Z×{0}≡ 0. Come¸camos estudando o fluxo linearizado da forma

de contato ¯λ := hλ0. Denotamos ¯ξ = ker ¯λ e{ ¯φt}t∈R ´e o fluxo de Reeb de ¯λ. Como ¯φt satisfaz d

dtφ¯t(p) = Xλ¯( ¯φt(p)), para todo (t, p)∈ [0, N] × M, verificamos que

d dtd ¯φt(p) = d d dtφ¯t(p) = dX_λ¯( ¯φt(p))· d ¯φt(p) (E.1)

isto é, d ¯φt(p) é a solu¸cão do sistema linear de equa¸cões diferenciais ordinárias

dtϑ(t, p) = dXλ¯· ϑ(t, p) (E.2)

com condi¸cão inicial ϑ(0, p) = 1. Como edXλ¯t é solu¸cão deste sistema, então ¯φ_t(p) = edXλ¯t.

Lembre que o fluxo linearizado d ¯φtdeixa a decomposi¸c˜ao R3= R× R2= RX¯_λ⊕ ¯ξ invariante ao

longo de uma linha de fluxo de Reeb. Em outras palavras,

d ¯φt(t, 0, 0) = edXλ¯(t,0,0)t=

1 0

0 R(t) !

Lembre que o campo de Reeb para hλ0, nas coordenadas do tubo de Martinet, ´e dado por

X_λ¯(θ, x, y) = 1 h(θ, x, y)2 h(θ, x, y) + xhx(θ, x, y), hy(θ, x, y)− xhθ(θ, x, y),−hx(θ, x, y) .

Fixe θ0 ∈ S1 e considere a aplica¸c˜ao Y : R2→ R2 definida por

(x, y)_7→ 1 h(θ0, x, y)2 hy(θ0, x, y)− xhθ(θ0, x, y),−hx(θ0, x, y) .

Ent˜ao, dY (θ0, 0, 0) = hxy(θ0, 0, 0) hyy(θ0, 0, 0) −hxx(θ0, 0, 0) −hxy(θ0, 0, 0) ! .

Como d ¯φtpreserva RX_λ¯⊕ ¯ξ sobre a ´orbita fechada P0 = (x0, T0), ent˜ao, nas coordenadas acima,

o fluxo linearizado d ¯φT0t|ξ¯_x0(0): ¯ξx0(0) → ¯ξx0(T0t)restrito `a estrutura de contato ´e dado por

d ¯φT0t|ξ¯_x0(0)= edY (θ0,0,0)t= e−JHess(h)t, (E.3)

onde J = 0 −1

1 0

´e a estrutura complexa canˆonica em R2_{. Como P}

0 = (x0, T0) ´e ´orbita

fechada degenerada, existe u _{∈ R}2 _{tal que d ¯}_φ

T0|ξ¯_x0(0)(u) = u e, pela equa¸c˜ao (E.3), temos

det(Hess(h)) = 0.

A seguir, vamos perturbar hλ0 por uma fun¸c˜ao g : R/Z× B → R∗+ de maneira que P0=

(x0, T0) seja ´orbita fechada n˜ao-degenerada. Seja f : R/Z×B → R∗+satisfazendo df

R/Z×{0}≡ 0

e com suporte numa vizinhan¸ca aberta pequena de R/Z× {0} ⊂ R/Z × B. Considere a forma de contato ¯λ,f = (1 + f )hλ0, onde ∈ R+∗. Denote por ¯φ,f o fluxo de Reeb de ¯λ,f. ´E imediato

verificar que o campo de Reeb1 _X ¯ λ,f é X_λ¯_,f(θ, x, y) = 1 h(1 + f )2    h(1 + f ) + xhx+ xhfx+ xhxf hy+ hfy+ hyf − xhz− xhfz− xfhz −hx− hfx− hxf   . Note que X¯_λ_,f(θ, 0, 0) = 1 h(1+f ) (1, 0, 0). Novamente, fixe θ0 ∈ S 1 _{e defina Y} ,f : R2 → R2 tal que (x, y)_7→ 1 h(1 + f )2(hy+ hfy+ hyf − xhz− xhfz− xfhz,−hx− hfx− hxf ) . Então, dY,f(θ0, 0, 0) = hxy hyy −hxx −hxy ! + (1 + f )2 fxy fyy −fxx −fxy ! , isto é, dY,f(θ0, 0, 0) =−JHess(h) − (1 + f )2JHess(f ).

Em outras palavras, a inclus˜ao do termo f em (1 + f )hλ0 corresponde ao termo adicio-

nal −

(1+f )2JHess(f ) no fluxo linearizado. Escolhendo f suficientemente pr´oximo da fun¸c˜ao

constante p _{∈ M 7→ 0 ∈ R, vemos que det dY},f(θ0, 0, 0)

6= 0, ou seja, P0 ´e ´orbita fe-

chada não-degenerada. Como o suporte de f está contido numa vizinhan¸ca aberta pequena de R/Z× {(0, 0)}, podemos compor f com Φ, onde Φ é o difeomorfismo do tubo de Martinet, e considerar uma fun¸cão suave fP : M → R∗+ que coincide com f ◦ Φ−1 em U e é constante

chadas distintas de P0 e com per´ıodo T ≤ N contidas em U. Escolhendo > 0 suficientemente

pequeno, estas ´orbitas fechadas com per´ıodo T ≤ N podem ser vistas como perturba¸c˜oes de ´

orbitas fechadas P0 = (x0, T0)∈ P(hλ0) com per´ıodo T0 ≤ N. De fato, suponha que exista uma

sequˆencia n→ 0+ tal que (1 + nf )hλ0 admite ´orbitas fechadas Pn(xn, Tn)∈ P((1 + nf )hλ0),

para todo n _{∈ N, com per´ıodo T}n ≤ N contidas em U. O Teorema de Ascoli-Arzel`a implica

que existem subsequˆencias nj → ∞, Tnj tal que Tnj → T

0_{, para algum 0 < T}0 _{≤ N, e x} nj

tal que xnj(Tnj·) → x

0_(T0_{·), onde P}0 _{= (x}0_{, T}0₎ _{∈ P(hλ), na topologia usual de C}∞_(S1_{, M ).}

Isto significa que, para > 0 suficientemente pequeno, não são criadas novas órbitas fechadas pela perturba¸cão, na verdade, as órbitas fechadas contidas em U podem ser entendidas como perturba¸cões de órbitas fechadas de Xhλ0, isto é, de órbitas fechadas que já existiam antes da

perturba¸cão. Desta forma, não precisamos nos preocupar com o aparecimento (sem controle) de novas órbitas fechadas a cada nova perturba¸cão. A constru¸cão acima mostra que o ponto x_{∈ Γ(φ}N)∩ [0, N] × ∆M, x = (T0, p0, p0), fixado no in´ıcio da demonstra¸cão é agora um ponto de

transversalidade. Isto nos diz que existe uma vizinhan¸ca aberta Ux de x∈ Γ(φN)∩ [0, N] × ∆M

tal que todas as órbitas fechadas com per´ıodo menor ou igual a N passando por Ux são não-

degeneradas.

Podemos repetir o procedimento acima para todos os pontos de n˜ao-transversalidade entre Γ(φN) e [0, N ]× ∆M. Observe que os pontos x∈ Γ(φN)∩ [0, N] × ∆M, x = (T0, p0, p0), s˜ao

tais que p0 ∈ ∂M/ 1. Isto é consequência da hipótese de λ

M \ ˚M1 ser n˜ao-degenerada. Portanto,

as perturba¸cões, tais como acima, são realizadas no interior de M1. Note também que Γ(φN)∩

[0, N ]_{× ∆}M ´e compacto, de modo que existe uma subcobertura finita formada por Uxi, xi ∈

Γ(φN)∩ [0, N] × ∆M, i∈ {1, . . . , n}. Seja gi = 1 + ifi, i ∈ R∗+ pequeno, a fun¸c˜ao que realiza

a perturba¸c˜ao correspondente ao ponto xi, i∈ {1, . . . , n}. Considere o espa¸co R gerado pelas

combina¸cões lineares das fun¸cões gi, i∈ {1, . . . , n}, isto é,

R := spangi ∈ C∞(M, R∗+) : i∈ {1, . . . , n} . (E.4)

Se g_{∈ R, denote por {φ}g_t_}_t∈R o fluxo de Reeb associado `a forma de contato gλ. Pela constru¸c˜ao acima, dado δ_{∈ R}∗

+ pequeno, o conjunto

Γλ,R:={(t, p, q) ∈ R+× M × M : φgt(p) = q, g ∈ R, kgk∞< δ} (E.5)

é transversal à diagonal [0, N ]_×∆M. Considere a aplica¸cão Π : Γλ,R∩[0, N]×∆M → R dada por

(t, p, q)7→ g, onde g ∈ R ´e tal que φgt(p) = q. Pelo Teorema de Sard, existe gN arbitrariamente

próxima da fun¸cão nula que é valor regular de Π. Deste modo, as órbitas fechadas P = (x, T )_∈ P(gNλ) com T ≤ N são não-degeneradas. Por fim, a no¸cão de transversalidade nos mostra que

o conjunto ΩN das formas de contato α cujas ´orbitas fechadas P = (x, T )∈ P(α) com per´ıodo

T ≤ N são não-degeneradas é aberto. O Teorema de Sard mostra também que ΩN é denso.

Portanto, o Teorema de Baire implica queT

No documento Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existência implicada de órbitas periódicas e uma caracterização dinâmica do toro sólido. (páginas 185-200)