1.3 Curvas pseudo-holomorfas
1.3.4 Estrutura Complexa Gen´erica
Nesta se¸c˜ao, definiremos ´ındices de Fredholm para algumas classes de superf´ıcies de energia finita. Estes ´ındices foram introduzidos por Hofer, Wysocki e Zehnder em [27]. Neste artigo, os autores provam que existem estruturas complexas emJ (λ) para as quais estes ´ındices s˜ao n˜ao-negativos quando calculados em curvas pseudo-holomorfas especiais. Este fato tem consequˆencias fundamentais para a an´alise de bubbling-off que faremos nos cap´ıtulos seguintes.
Disco furado de energia finita
Considere λ uma forma de contato n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade fechada M . Seja v : D ,→ M um mergulho cujo bordo v(∂D) ´e (positivamente) transversal `a estrutura de contato. Suponha que a folhea¸c˜ao caracter´ıstica FD
ξ = TD ∩ ξ, onde D := v(D), ´e Morse-Smale
e possui uma ´unica singularidade el´ıptica positiva e+ (veja Apˆendice B para defini¸c˜oes). Fixe
J ∈ J (λ) e seja ˜J a estrutura quase-complexa em R× M satisfazendo (1.14). Seja Γ ⊂ ˚D um conjunto finito n˜ao-vazio. Considere o seguinte problema de valor sobre o contorno:
˜
u = (a, u) : D\ Γ → R × M ´e um mergulho; ¯ ∂J˜(˜u) = 0, a(∂D)≡ 0, u(∂D) ⊂ D \ {e+}; wind(u(∂D), e+) = +1; R D\Γu ∗dλ > 0 e E(˜u) <∞;
todo z ∈ Γ ´e um furo negativo.
Suponha que ˜u : D\ Γ → R × M ´e uma solu¸c˜ao do problema (1.67). Dado z ∈ Γ, suponha que Pz= (xz, Tz)∈ Pc(λ) ´e o limite assint´otico de ˜u no furo negativo z. Em [27], Hofer, Wysocki e
Zehnder definem o ´ındice de Fredholm associado ao disco furado de energia finita ˜u como
Fred(˜u) = #Γ−X
z∈Γ
µCZ(Pz) + 1 (1.68)
(veja [27, Lema 11.1]). ´E poss´ıvel provar que existe um subconjunto residual deJ (λ) tal que se J ∈ J (λ) ´e uma estrutura complexa gen´erica e ˜u ´e um disco furado ( ˜J-holomorfo) de energia finita solu¸c˜ao de (1.67), ent˜ao Fred(˜u)≥ 0. Mais precisamente,
Teorema 1.78([27], Se¸c˜ao 11). Fixe k∈ Z∗
+, Γk⊂ ˚D, #Γk = k e{Pz = (xz, Tz)}z∈Γk ⊂ P
c(λ).
Ent˜ao existe um conjunto residual Jk
gen({Pz}z∈Γk) ⊂ J (λ) tal que se J ∈ J
k
gen({Pz}z∈Γk) e
˜
u : D\ Γk → R × M ´e uma solu¸c˜ao de (1.67) cujo limite assint´otico em cada z ∈ Γk ´e a ´orbita
fechada Pz = (xz, Tz)∈ Pc(λ), ent˜aoFred(˜u)≥ 0.
No teorema acima est˜ao fixados o inteiro positivo k, o conjunto dos furos negativos Γk
e as ´orbitas fechadas de Reeb contr´ateis Pz = (xz, Tz)∈ Pc(λ), onde z ∈ Γk. A seguir, vamos
estudar uma alternativa para diminuir esta restri¸c˜ao. SejaA(D) a ´area do disco D, isto ´e,
A(D) = Z D v∗dλ (1.69)
onde v : D ,→ M ´e o mergulho fixado acima. Seja ˜u : D \ Γ → R × M uma solu¸c˜ao de (1.67). Note que Z D\Γ ˜ u∗dλφ≤ Z ∂D u∗λ <A(D) =: C, (1.70)
onde λφ´e definida em (1.9). Como isto ´e verdade para toda φ∈ Λ := {φ ∈ C∞(R, [0, 1]) : φ0 ≥
0}, conclu´ımos que EH(˜u) ≤ C = A(D). Se P = (x, T ) ´e um limite assint´otico de ˜u, ent˜ao a
desigualdade (1.70) e o Teorema de Stokes implicam que T < C. Seja
σ1 := inf{T > 0 : T ´e per´ıodo de uma ´orbita fechada em Pc(λ)} (1.71)
e escolha
0 < σ0 < σ1 (1.72)
Existe um n´umero finito de inteiros positivos k∈ Z∗
+ satisfazendo k ≤ C/σ0. A n˜ao-degeneres-
cˆencia da forma de contato λ garante que existe um n´umero finito de ´orbitas fechadas P = (x, T )∈ Pc(λ) satisfazendo T ≤ C. Denote o conjunto destas ´orbitas fechadas por P(C). Isto
mostra que ´e necess´ario considerar apenas um n´umero finito de problemas tais como o Teorema 1.78. Ou seja, fixado k ∈ Z∗
+, existem finitas possibilidades de combina¸c˜oes{Pz}z∈Γk em grupos
de k elementos das ´orbitas fechadas emP(C). Cada combina¸c˜ao {Pz}z∈Γk produz um conjunto
residual Jk
gen({Pz}z∈Γk) ⊂ J (λ) satisfazendo as condi¸c˜oes do Teorema 1.78. Seja J
k
k∈ Z∗
+ fixo, a interse¸c˜ao destes conjuntos. Como a interse¸c˜ao (finita) de conjuntos residuais ´e
ainda residual, temos queJk
gen´e residual e, al´em disso,
Jgen(C) :=
\
k≤C/σ0
Jgenk (1.73)
´e tamb´em residual. Estas observa¸c˜oes podem ser resumidas no seguinte resultado:
Teorema 1.79. FixeC :=A(D), onde A(D) ´e a ´area de D, e seja Jgen(C) definido em (1.73).
Dado J ∈ Jgen(C), se ˜u : D\ Γ → R × M uma solu¸c˜ao do problema (1.67), ent˜ao Fred(˜u) ≥ 1.
Nos Cap´ıtulos 2 e 3, constru´ıremos solu¸c˜oes para o problema (1.67). A escolha de J gen´erico permitir´a exibir cotas superiores para os ´ındices µCZ(Pz) das ´orbitas fechadas Pz ∈
Pc(λ) limites assint´oticos dos furos negativos z∈ Γ.
Esferas de energia finita somewhere injective
A seguir, discutimos uma situa¸c˜ao an´aloga para o caso de esferas furadas de energia finita. Considere λ uma forma de contato n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade fechada M . Seja ˜w = (d, w) : C\ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita somewhere injective (conforme Defini¸c˜ao 1.56) satisfazendoR
C\Γw
∗dλ > 0. Suponha que∞ ´e o ´unico furo positivo e
Γ ={z1,· · · , zN} ´e o conjunto de furos negativos. Assuma que o limite assint´otico Pk= (xk, Tk)
de ˜u em zk ´e uma ´orbita fechada de Reeb contr´atil, para todo k∈ {1, · · · , N}. Seja η : D → M
um disco cont´ınuo induzido por discos cont´ınuos vk : D → M, k ∈ {1, · · · , N}, satisfazendo
vk(e2πit) = xk(Tkt), conforme constru´ıdo na Subse¸c˜ao 1.2.2, e considere Ψ : η∗ξ→ D × M uma
trivializa¸c˜ao dλ-simpl´etica. Seguindo [7, 27], definimos o ´ındice Fred( ˜w) dado por
Fred( ˜w) = µ+− µ−− 1 + #Γ (1.74)
onde µ+, µ−denotam a soma dos ´ındices µ
CZ (em rela¸c˜ao `a Ψ) dos furos positivos e negativos,
respectivamente. O seguinte resultado ´e o an´alogo do Teorema 1.78 para este contexto:
Teorema 1.80 ([7], Corol´ario 2; [24], Teorema 2.1). Fixe k ∈ Z∗+, Γk ⊂ C, #Γk = k,
{Pz = (xz, Tz)}z∈Γk ⊂ P
c(λ), e P
∞ = (x∞, T∞) ∈ Pc(λ). Ent˜ao existe um conjunto residual
Jk
gen(P∞,{Pz}z∈Γk)⊂ J (λ) tal que para todo J ∈ J
k
gen(P∞,{Pz}z∈Γk), se ˜w = (d, w) : C\ Γk →
R× M ´e uma esfera furada de energia finita somewhere injective, RC\Γ
kw
∗dλ > 0 e os limites
assint´oticos s˜ao P∞= (x∞, T∞) ∈ Pc(λ) no ´unico furo positivo em ∞ e Pz = (xz, Tz) ∈ Pc(λ)
em cada furo negativoz∈ Γk, ent˜ao Fred( ˜w)≥ 1.
Fixe C ∈ R∗+. Considere o conjunto P(C) das ´orbitas fechadas P = (x, T ) ∈ Pc(λ) tais
que T ≤ C. Como λ ´e n˜ao-degenerada, #P(C) < ∞. Fixe k ∈ Z∗
+ tal que k ≤ C/σ0, onde σ0
´e definido em (1.72). Fixe tamb´em uma ´orbita fechada P∞ = (x∞, T∞)∈ P(C). Sabemos que
existe apenas uma quantidade finita de combina¸c˜oes das ´orbitas fechadas P = (x, T ) ∈ P(C) em grupos de k elementos. Cada combina¸c˜ao{Pz}z∈Γk produz, pelo Teorema 1.80, um conjunto
residual Jk
gen(P∞,{Pz}z∈Γk). Para k ∈ Z
∗
+ fixo, seja Jkgen(P∞) a interse¸c˜ao destes conjuntos.
ComoP(C) ´e finito, a interse¸c˜ao dos conjuntos Jk
gen(P∞), para todo P∞∈ P(C), denotada por
Jkgen, ´e residual. Como existem finitos k∈ Z∗
+ satisfazendo k≤ C/σ0, ent˜ao
Jgen(C) := \
k≤C/σ0
Jkgen (1.75)
´e um conjunto residual. A escolha da constante C > 0 para as nossas aplica¸c˜oes depender´a do contexto. As observa¸c˜oes acima mostram o seguinte resultado:
Teorema 1.81. Fixe C > 0 e seja Jgen(C) definido em (1.78). Seja J ∈ Jgen(C). Seja ˜w =
(d, w) : C\ Γ → R × M uma esfera furada de energia finita somewhere injective satisfazendo R
C\Γw
∗dλ > 0. Suponha que ∞ ´e o ´unico furo positivo e Γ = {z
1,· · · , zN} ´e o conjunto de
furos negativos. Assuma que os limites assint´oticos de u s˜˜ ao ´orbitas fechadas de Reeb contr´ateis P = (x, T )∈ P(C). Ent˜ao Fred( ˜w)≥ 1.
Cap´ıtulo 2
Existˆencia de ´orbita fechada
n˜ao-enla¸cada a uma ´orbita dada.
Neste cap´ıtulo, estudaremos a dinˆamica de Reeb associada a uma forma de contato tight definida numa 3-variedade fechada e conexa M . Vamos supor que existe uma ´orbita fechada do fluxo de Reeb L = (y, Tmin) que ´e p-n´o trivial, p∈ Z∗+, cujos n´umeros de auto-enla¸camento
e de rota¸c˜ao transversal satisfazem, respectivamente, sl(L) = −1 p e ρ(L
p) < 1, e mostraremos
que, neste caso, existe uma ´orbita fechada de Reeb ¯P = (¯x, ¯T ) geometricamente distinta de L e n˜ao-enla¸cada em L. Note que, em particular, isto implica que L n˜ao pode ser bordo de uma se¸c˜ao global do tipo disco.
2.1
Resultado Principal
Assumiremos que M ´e uma 3-variedade fechada e conexa munida de uma forma de contato λ cuja estrutura de contato ξ = ker λ ´e tight. Seja Xλ o campo de Reeb associado `a
forma de contato λ. Lembre que P = (x, T ) ´e uma ´orbita fechada de Reeb se x : R→ M satisfaz
x0(t) = Xλ◦ x(t), para todo t ∈ R,
e ´e T -peri´odica, T > 0. No cap´ıtulo anterior, identificamos o conjuntoP(λ) das ´orbitas fechadas de Reeb com um subconjunto de C∞(S1, M )/S1. Recorde que o quociente C∞(S1, M )/S1 ´e
induzido pela a¸c˜ao ψ : S1 × C∞(S1, M ) → C∞(S1, M ) dada por ψ(c, η(·)) := η(· + c), para
todo c∈ R/Z ' S1. A identifica¸c˜ao que mencionamos associa a cada ´orbita fechada de Reeb
P = (x, T ) a classe de equivalˆencia em C∞(S1, M )/S1 contendo a aplica¸c˜ao
t∈ R/Z ' S17→ x
T(t) := x(T t)∈ M. (2.1)
Esta identifica¸c˜ao implica que duas ´orbitas fechadas de Reeb P = (x, T ), ¯P = (¯x, ¯T ) satisfazem [xT] = [¯xT¯]∈ C∞(S1, M )/S1 se e somente se xT(R) = ¯xT¯(R) e T = ¯T . Por abuso de nota¸c˜ao,
escrevemos P = (x, T )∈ P(λ)1. Dadas duas ´orbitas fechadas P = (x, T ), ¯P = (¯x, ¯T ) ∈ P(λ),
dizemos que P e ¯P s˜ao geometricamente distintas se a imagem geom´etrica x(R) ´e geometrica- mente distinta de ¯x(R), isto ´e, x(R)∩ ¯x(R) = ∅. Se P = (x, T ) ´e uma ´orbita fechada de Reeb e existe um disco cont´ınuo v : D→ M, onde D := {z ∈ C : |z| ≤ 1}, tal que
v(e2πit) = x(T t), para todo t∈ R/Z ' S1, (2.2)
dizemos que a ´orbita fechada P = (x, T ) ´e contr´atil e o conjunto das ´orbitas fechadas contr´ateis de λ ´e denotado por Pc(λ). Estamos interessados no caso em que v
D\∂D ´e um mergulho e
v
∂D ´e um recobrimento. Vamos explicar com mais detalhes. Recorde que uma ´orbita fechada
P = (x, T ) ´e prima (ou simplesmente recoberta) se o per´ıodo T > 0 ´e m´ınimo. Se P = (x, T )∈ Pc(λ) ´e uma ´orbita fechada prima diremos que P = (x, T ) ´e um p-n´o trivial, p ∈ Z∗
+, quando
o mergulho xT definido em (2.1) ´e um p-n´o trivial, isto ´e, se existe uma imers˜ao v : D → M
tal que v D\∂D ´e um mergulho em M \ xT(S 1) e v ∂D : ∂D p:1
−−→ xT(S1) ´e uma aplica¸c˜ao de
p-recobrimento. Neste caso, diremos que v : D→ M ´e um p-disco para a ´orbita fechada P . Lembre queJ (λ) denota o espa¸co das estruturas complexas em ξ que s˜ao dλ-compat´ıveis. Sabe-se queJ (λ) ´e n˜ao-vazio e contr´atil (veja Proposi¸c˜ao 1.17). A estrutura de contato ξ, quando munida de uma estrutura complexa J ∈ J (λ), pode ser vista como um fibrado complexo sobre M . Seja c1(ξ)∈ H2(M ) a primeira classe de Chern associada ao fibrado complexo (ξ, J)→ M.
Note que c1(ξ) n˜ao depende de J ∈ J (λ) uma vez que o espa¸co J (λ) ´e contr´atil. Assumiremos
durante todo este cap´ıtulo que c1
π2(M )(ξ) ≡ 0, isto ´e, c1(ξ) se anula sobre o segundo grupo
de homotopia π2(M ) (veja Apˆendice A). Esta hip´otese garante que os ´ındices dinˆamicos ρ(P ) e
µCZ(P ) est˜ao bem-definidos para toda ´orbita fechada contr´atil P = (x, T )∈ Pc(λ).
Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e provar a seguinte existˆencia implicada de ´orbita fechada: Teorema 2.1. Seja λ uma forma de contato tight definida numa 3-variedade fechada e conexa M satisfazendo c1
π2(M )(ξ)≡ 0. Se existe uma ´orbita fechada L = (y, Tmin)∈ P(λ), p-n´o trivial,
p ∈ Z∗
+, satisfazendo ρ(Lq) < 1 e sl(L) = −1p, ent˜ao existe uma ´orbita fechada ¯P = (¯x, ¯T ) ∈
Pc(λ) satisfazendo ρ( ¯P ) = 1 geometricamente distinta de L e n˜ao-enla¸cada em L.
Primeiramente, vamos assumir que a forma de contato λ ´e n˜ao-degenerada. Veremos que, neste caso, ρ(Lp) < 1 ´e equivalente a µ
CZ(Lp)≤ 1. O primeiro passo da demonstra¸c˜ao do
Teorema 2.1, quando λ ´e n˜ao-degenerada, ´e construir um p-disco especial2 u
L : D→ M para a
´
orbita fechada L. A folhea¸c˜ao caracter´ıstica3 FD
ξ = ξ∩ T D de um p-disco especial D := uL(D)
possui uma ´unica singularidade el´ıptica real e positiva e+∈ ˚D e as linhas de fluxo de FD
ξ s˜ao bem
comportadas no sentido de que emanam de e+ e intersectam transversalmente a ´orbita fechada
L. A constru¸c˜ao do p-disco especial uL : D→ M ´e feita no Apˆendice B. O restante da prova, 1Note que est´a subentendida uma classe de equivalˆencia de aplica¸c˜oes em C∞(S1, M ).
2Veja Defini¸c˜ao B.5.
3Em geral, a folhea¸c˜ao caracter´ısticaFD
ξ ´e definida como (ξ∩ T D)⊥. Aqui⊥ ´e o ortogonal simpl´etico
induzido por dλ em ξ. Lembre que dim M = 3 e dimD = 2. Neste caso, (ξ ∩ T D)⊥ = ξ
∩ T D. Veja Apˆendice B e o Exemplo 2.5.19 em [12].
no caso n˜ao-degenerado, segue m´etodos de preenchimento por discos4 e an´alise de bubbling-off
similares `a estrat´egia de demonstra¸c˜ao da Conjectura de Weinstein no caso overtwisted em S3
em [19], do Teorema 1.4 em [21], Teorema 1.6 em [23], Teorema 1.3 em [35] e do Teorema 1.3 em [39]. Vejamos as ideias principais. Fixe uma estrutura complexa J ∈ J (λ) em ξ. J´a observamos no cap´ıtulo anterior que ´e poss´ıvel definir uma estrutura quase-complexa ˜J na simpletiza¸c˜ao R× M satisfazendo as seguintes equa¸c˜oes:
( ˜ J(a,p) ∂a = Xλ(p) ˜ J(a,p)|ξp = Jp, (2.3)
para todo (a, p) ∈ R × M, onde ∂a ´e a dire¸c˜ao real em R× M. Fixe um p-disco especial
uL: D→ M para a ´orbita fechada L e denote D := uL(D). Lembre que um disco ˜J-holomorfo na
simpletiza¸c˜ao R×M ´e uma aplica¸c˜ao (suave) ˜u := (a, u) : D → R×M satisfazendo ˜us+ ˜J(˜u)˜ut=
0, onde s + it s˜ao coordenadas em D ⊂ C. Veremos na Se¸c˜ao 2.3.1 que existem discos ˜J- holomorfos mergulhados ˜u := (a, u) : D→ R×M com condi¸c˜ao de bordo em {0}× D\{e+∪L},
isto ´e, ˜u(∂D)⊂ {0} × D \ {e+∪ L}. Estes discos constituem um conjunto especial denominado
fam´ılia de Bishop e denotado por M. Numa vizinhan¸ca da singularidade e+∈ ˚D, esta fam´ılia
pode ser descrita da seguinte forma: sejam (V, Ψ) coordenadas de Darboux, onde V ⊂ M ´e uma vizinhan¸ca aberta da singularidade e+, Ψ : V → U ⊂ R3 ´e um difeomorfismo e U ´e um aberto
contendo (0, 0, 0). Sabemos que Ψ satisfaz Ψ∗(dz + xdy) = λ, onde (x, y, z) s˜ao coordenadas em R3 e dz + xdy ´e a forma de contato canˆonica em R3. Pelo Lema B.4, (Ψ, V ) pode ser
escolhido de modo que a imagem Ψ(V ∩ D) corresponda ao gr´afico da fun¸c˜ao (x, y) 7→ −1 2xy.
Seja ξ0 = ker(dz + xdy) e fixe uma estrutura complexa J0 : ξ0 → ξ0 definida em U e satisfazendo
J0e1 = e2, onde e1 = (1, 0, 0) e e2 = (0, 1,−x). Sejam ˜uτ = (aτ, uτ) : D → R × M, 0 < τ 1,
definidos por aτ(s + it) = τ2 4 s 2+ t2+ 1, Ψ◦ u τ(s + it) = τ s, τ t,−τ 2 2 st . (2.4)
Considere ˜J a estrutura quase-complexa em R× M induzida5 por J0. As aplica¸c˜oes ˜u τ s˜ao
discos ˜J-holomorfos mergulhados com condi¸c˜ao de bordo em {0} × D \ {e+∪ L}, para todo
0 < τ 1. Isto mostra que a fam´ılia de Bishop M ´e n˜ao-vazia. Na Se¸c˜ao 2.3.2, vamos escolher uma sequˆencia ˜u0n∈ M que provaremos ser n˜ao-compacta. Isto significa que o conjunto do pontos de bubbling-off6 ´e n˜ao-vazio. Escolhendo biholomorfismos do disco φ
n : D → D
adequados e considerando ˜un= ˜u0n◦ φn, podemos supor que o conjunto do pontos de bubbling-
off da (nova) sequˆencia ˜un∈ M, ainda denotado por Γ0, satisfaz Γ0 ⊂ ˚D. Veremos que existem uma subsequˆencia ˜unk tal que #Γ0 < +∞, e um disco furado ( ˜J-holomorfo) de energia finita
˜
u0 = (a0, u0) : D\Γ0 → R×M tal que ˜unk
nk→+∞
−−−−−→ ˜u0 na topologia usual de Cloc∞(D\Γ0, R×M).
´
E poss´ıvel provar que este disco furado de energia finita ´e um mergulho e que os pontos z0 ∈ Γ0 4Em inglˆes, disk-fillings.
5Isto ´e, considere J = Ψ−1∗
J0. ´E poss´ıvel estender J sobre M . Denotamos por ˜J a estrutura
complexa induzida por J e pelas equa¸c˜oes (2.3).
6Isto ´e, o conjunto Γ
0={z ∈ D : ∃nk→ ∞ e zk→ z tais que |d˜u0nk(zk)|
nk→∞
s˜ao furos negativos de ˜u0. Pelo Teorema 1.66, para todo z0 ∈ Γ0, o limite assint´otico em z0 ∈ Γ0
´e uma ´orbita fechada de Reeb Pz0 = (xz0, Tz0) ∈ P(λ). Seguindo [21], [22], [23], [39], podemos
reparametrizar adequadamente uma vizinhan¸ca de z0 ∈ Γ0 e produzir uma esfera furada ( ˜J-
holomorfa) de energia finita. A constru¸c˜ao desta esfera ´e essencialmente a seguinte. Fixado z0 ∈ Γ0, podemos escolher sequˆencias zn → z0, δn → 0+, Rn → +∞ e reparametriza¸c˜oes
˜
vn= (bn, vn) : BRn(0)→ R × M dadas por
bn(z) = an(zn+ δnz)− an(zn+ 2δn), vn(z) = un(zn+ δnz). (2.5)
Denotamos por Γz0 o conjunto de pontos de bubbling-off da sequˆencia ˜vn. Provaremos que
existem uma subsequˆencia ˜vnk tal que #Γz0 < ∞ e uma esfera furada de energia finita ˜vz0 :
C\ Γz0 → R × M tal que ˜vnk → ˜vz0 na topologia usual de C
∞
(C\ Γz0, R× M). Veremos que o
conjunto Γz0 ´e constitui os furos negativos de ˜vz0 e∞ ´e o ´unico furo positivo de ˜vz0. O Teorema
1.66 mostra que os limites assint´oticos de ˜vz0 em ˜Γz0 ={∞} ∪ Γz0 s˜ao ´orbitas fechadas de Reeb.
´
E importante observar que a ´orbita fechada P∞= (x∞, T∞)∈ P(λ) limite assint´otico de ˜vz0 em
∞ coincide com a ´orbita fechada Pz0 = (xz0, Tz0) ∈ P(λ) limite assint´otico de ˜u0 em z0 ∈ Γ0
(veja figura abaixo). Este fato n˜ao-trivial ´e provado no Lema 2.19.
˜ u0 Pz0 P∞ ˜ un ˜ vz0 L
Figura 2.1: Identifica¸c˜ao das ´orbitas fechadas Pz0 e P∞.
O processo de reparametriza¸c˜ao na vizinhan¸ca de pontos de bubbling-off descrito acima ´e denominado soft-rescalling. Podemos repetir esta reparametriza¸c˜ao na vizinhan¸ca de todos os pontos z ∈ Γ0. Deste modo, para cada z ∈ Γ0, dispomos de uma esfera furada de energia
finita ˜vz : C\ Γz → R × M, onde Γz ´e o conjunto de furos negativos de ˜vz. O procedimento de
soft-rescalling pode ser repetido tamb´em na vizinhan¸ca dos furos negativos das esferas ˜vz, para
todo z ∈ Γ0. Novamente s˜ao obtidas esferas furadas de energia finita ˜vz,y : C\ Γz,y → R × M,
para todo y ∈ Γz, onde Γz,y denota o conjunto dos furos negativos de ˜vz,y. Como antes,
os limites assint´oticos nos furos negativos de ˜vz,y s˜ao ´orbitas fechadas de Reeb. A itera¸c˜ao
do procedimento de reparametriza¸c˜ao (soft-rescalling) na vizinhan¸ca de pontos de bubbling-off associa a cada z ∈ Γ0 um conjunto F finito de esferas furadas de energia finita. Veja Figura
2.2. Cada um destes conjuntos ´e denominado uma ´arvore de bubbling-off (para z ∈ Γ0). O
Fest´a organizado em n´ıveis, isto ´e, no primeiro n´ıvel est´a a esfera ˜vz : C\ Γz → R × M obtida
a partir da reparametriza¸c˜ao numa vizinhan¸ca do furo z∈ Γ0 do disco furado de energia finita
˜
u0 : D\ Γ0 → R × M, no segundo n´ıvel est˜ao as esferas resultantes da reparametriza¸c˜ao nos
furos negativos da esfera ˜vz pertencente ao primeiro n´ıvel, e assim sucessivamente. Repare que
a cada z∈ Γ0 est´a associado um n´umero finito de ramos partindo de ˜vz (veja Figura 2.2). Note
tamb´em que o fato de F ser finita, implica que o ´ultimo n´ıvel de cada ramo corresponde a um plano ( ˜J-holomorfo) de energia finita ˜v : C→ R × M. Esta ´ultima observa¸c˜ao permite concluir que se OF denota o conjunto das ´orbitas fechadas de Reeb limite assint´otico de alguma esfera
furada de energia finita em F, ent˜ao OF ⊂ Pc(λ), isto ´e, as ´orbitas fechadas em OF s˜ao contr´ateis
(veja Se¸c˜ao C.2 no Apˆendice C). Outra observa¸c˜ao, essencial para a nossa an´alise e relacionada `
as ´orbitas fechadas em OF, ´e o fato de que, para toda P = (x, T )∈ OF, temos µCZ(P )≥ 2 (veja
Corol´ario C.10). Em particular, µCZ(Pz) ≥ 2, para todo z ∈ Γ0, visto que o limite assint´otico
em ∞ da esfera furada de energia finita ˜vz no primeiro n´ıvel coincide com o limite assint´otico
do furo negativo z∈ Γ0 do disco furado de energia finita ˜u0.
˜ u˜0 u0 ˜ vz,y ˜ vz,y,x ˜ vz L
Figura 2.2: ´Arvore de bubbling-off
Seguindo [7] e [27], vimos na Se¸c˜ao 1.3.4 que podemos fixar uma estrutura complexa J ∈ J (λ) gen´erica. Um detalhe importante ´e que a constru¸c˜ao de ˜u0 : D\ Γ0 → R × M
poderia ter sido realizada j´a com a hip´otese de genericidade de J ∈ J (λ). Isto ´e consequˆencia da transversalidade autom´aticadas solu¸c˜oes emM (veja Se¸c˜ao 2.3.1 para os detalhes). A seguir, veremos quais implica¸c˜oes a escolha de J ∈ J (λ) gen´erico tem sobre a demonstra¸c˜ao. Lembre que µCZ(Pz) ≥ 2, para todo z ∈ Γ0. Veremos que a genericidade de J ∈ J (λ) e o ´ındice de
Fredholm de ˜u0 (veja (1.68) na Se¸c˜ao 1.3.4) implicam que µCZ(Pz) < 3, para todo z∈ Γ0. Isto
mostra que o conjunto Γ0 ´e unit´ario, isto ´e, Γ0 = {z0}, para algum z0 ∈ ˚D, e, em particular, se P0 = (x0, T0) ∈ Pc(λ) ´e a ´orbita fechada limite assint´otico de ˜u0 em z0, ent˜ao µCZ(P0) = 2.
Este fato implica que se P = (x, T )∈ OF, ent˜ao µCZ(P ) = 2 (veja Lema 2.26).
A seguir, comentamos uma outra consequˆencia da escolha de J ∈ J (λ) gen´erico. Veremos que se F ´e a ´arvore de bubbling-off associada ao (´unico) furo negativo de ˜u0, ent˜ao F possui um
´
unico plano de energia finita. Mais precisamente, seja ˜v ∈ F a esfera furada de energia finita ˜
v = (b, v) : C\ Γ0 → R × M contida na ´arvore de bubbling-off F cujo limite assint´otico no ∞ ´e
a ´orbita fechada P0. Note que estamos escolhendo a esfera furada no primeiro n´ıvel de F visto
que P0 = (x0, T0) ´e tamb´em o limite assint´otico do disco furado de energia finita ˜u0 no ´unico
furo negativo Γ0 ={z0}. Na Se¸c˜ao 2.3.3, provaremos que a dλ-energia de ˜v ´e n˜ao-nula, isto ´e,
verificaremos que π· dv n˜ao ´e identicamente nulo. Se Γ0 6= ∅, a Proposi¸c˜ao 1.58 garante que
existe uma esfera furada de energia finita ˜w = (d, w) : C\ ˜Γ → R × M somewhere injective com π· dw n˜ao identicamente nulo, e um polinˆomio p : C → C tal que p(Γ0) = ˜Γ, p(∞) = ∞, de
modo que ˜v se fatora em ˜v = ˜w◦ p. Como as ´orbitas fechadas P ∈ OF satisfazem µCZ(P ) = 2,
conclu´ıremos que a esfera furada ˜v ´e tamb´em somewhere injective. Isto ´e consequˆencia do ´ındice de Fredholm de ˜w (veja (1.74) na Se¸c˜ao 1.3.4). De modo an´alogo, o ´ındice de Fredholm de ˜v implica que ˜v possui um ´unico furo (positivo) no ∞, isto ´e, ˜v ´e um plano de energia finita. A Teoria de Interse¸c˜ao de curvas ˜J-holomorfas introduzida por McDuff em [48] implica que P0 ´e
n˜ao-enla¸cada em L. As ´orbitas fechadas L e P0 s˜ao geometricamente distintas pelo fato de que
L ´e um p-n´o trivial, µCZ(Lp)≤ 1 e µCZ(P0) = 2. Segue que ¯P = P0´e a ´orbita fechada desejada,
no caso n˜ao-degenerado. A Figura 2.3 ilustra a proje¸c˜ao em M da ideia esbo¸cada acima.
˜ un∈ M ˜ v ˜ u0 F L µCZ(P0) = 2 P0
Figura 2.3: Ideia da Prova
O Teorema 2.1, no caso degenerado, ´e essencialmente um corol´ario do caso n˜ao-degenerado. Vamos explicar com um pouco mais de detalhes. O Lema 6.3 em [30] garante que podemos apro- ximar a forma de contato λ por formas de contato gnλ n˜ao-degeneradas, onde gn: M
C∞
−−→ R∗+e
gn n→∞
−−−→ 1 na topologia usual de C∞(M, R∗
+). Esta aproxima¸c˜ao pode ser feita de maneira que
a ´orbita fechada L satisfa¸ca L = (y, Tmin)∈ P(λn := gnλ), para todo n∈ N, isto ´e, L ´e ´orbita
fechada do campo de Reeb Xλn, para todo n ∈ N. Pelo Teorema 2.1, no caso n˜ao-degenerado,
L e n˜ao-enla¸cadas em L. ´E poss´ıvel provar que existe C ∈ R∗
+ tal que os per´ıodos satisfazem
Tn< C, para todo n∈ N. O Teorema de Ascoli-Arzel`a implica que existe uma subsequˆencia Pnk,
nk → +∞, convergindo para uma ´orbita fechada ¯P = (¯x, ¯T )∈ Pc(λ). Como as ´orbitas fechadas
Pnk s˜ao n˜ao-enla¸cadas em L, o fato de ρ(L
p) < 1 implica que ¯P ´e tamb´em geometricamente
distinta de L e n˜ao-enla¸cada em L. Isto concluir´a a prova do Teorema 2.1.