J´a observamos no in´ıcio deste cap´ıtulo que a prova do Teorema 3.1 no caso n˜ao-degenerado (isto ´e, da Proposi¸c˜ao 3.3) ´e, de certa forma, um corol´ario da demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.6. Vamos recordar rapidamente qual foi a nossa estrat´egia de demonstra¸c˜ao. Isto permitir´a enten- der quais modifica¸c˜oes s˜ao necess´arias para a prova da Proposi¸c˜ao 3.3. Para evitar confus˜oes, considere o seguinte contexto: seja λ0 uma forma de contato tight e n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade fechada e conexa N . Suponha que c1
π2(N )(ξ)≡ 0. Como hip´otese da Pro-
posi¸c˜ao 2.6, disp´unhamos de uma ´orbita fechada L0 = (y0, Tmin0 ) ∈ P(λ0), p-n´o trivial, p∈ Z∗ +,
satisfazendo µCZ(L0p) ≤ 1 e sl(L0) =−1p. Seja uL0 : D→ N um p-disco especial para L0. Fixe
J ∈ J (λ0) e defina uma estrutura quase-complexa ˜J em T (R× N) satisfazendo ( ˜ J(a,p) ∂a = Xλ0(p) ˜ J(a,p)|ξp = Jp, (3.2)
para todo (a, p) ∈ R × N, onde ∂a ´e a dire¸c˜ao real em R× N. Para uma escolha adequada
de J0 ∈ J (λ0), existe uma fam´ılia n˜ao-vazia de discos de energia finita, denominada fam´ılia de
Bishop e denotada por MJ0, com condi¸c˜ao de contorno no p-disco especial D := uL0(D) (veja
Se¸c˜ao 2.3.1). Lembre que as solu¸c˜oes em MJ0 satisfazem
˜
u = (a, u) : D→ R × N ´e um mergulho; ¯
∂J˜0(˜u) = 0, a(∂D)≡ 0, u(∂D) ⊂ D \ {e+};
wind(u(∂D), e+) = +1;
u(∂D)∩ ∂D = ∅.
(3.3)
Pela transversalidade autom´atica dos discos de energia finita emMJ0, foi poss´ıvel fixar J ∈ Jgen
gen´erico (para a constru¸c˜ao deJgenveja a Se¸c˜ao 1.3.4) tal queMJ 6= ∅. Recorde que escolhemos
uma sequˆencia ˜u0n= (a0n, u0n) : D→ R × N na fam´ılia de Bishop MJ cujo conjunto dos pontos
de bubbling-off ´e n˜ao-vazio e unit´ario, isto ´e, Γ00 ={z00}, para algum z00 ∈ D \ ∂D. Constru´ımos uma sequˆencia germinante ˜v0
n= (b0n, vn0) : BR0
n(0)→ R × N, BR0n(0)⊂ C, induzida pela an´alise
do ponto de bubbling-off, e satisfazendo ( b0 n(z) = a0n(zn0 + δn0z)− a0n(zn0 + 2δn0) v0 n(z) = u0n(zn0 + δ0nz) (3.4)
onde R0 n → +∞, zn0 n→∞ −−−→ z0 0 e δn n→∞
−−−→ 0+ s˜ao sequˆencias adequadamente escolhidas (veja
Se¸c˜ao 2.3.2). Esta sequˆencia possui um limite n˜ao-constante v0 : C\ Γ0 → R × N, onde Γ0 ⊂ C
´e finito. Portanto, existe uma ´arvore de bubbling-off F0 associada a ˜vn0 e ˜v0. A escolha de J ∈ J (λ0) gen´erico permitiu provar que F0 ´e constitu´ıda de apenas um plano de energia finita.
Mais precisamente, Γ0 =∅ e ˜v0 = (b0, v0) : C → R × N ´e um plano de energia finita. ´E muito importante observar que o plano ˜v0 ´e o limite, na topologia usual de C∞
loc(C, R× N), de uma
subsequˆencia ˜v0nk da sequˆencia germinante ˜v0n definida acima. Por (3.4), temos que ˜v0 pode ser aproximado por reparametriza¸c˜oes de discos de energia finita ˜u0nk = (a0nk, u0nk) : D → R × N na fam´ılia de Bishop, para k ∈ N suficientemente grande. Outro fato importante ´e que ˜v0 ´e assint´otico a uma ´orbita fechada P0
0= (x00, T00)∈ Pc(λ0) no ´unico furo positivo em∞ satisfazendo
µCZ(P00) = 2 (pois λ0 ´e n˜ao-degenerada), geometricamente distinta de L0 e n˜ao-enla¸cada em L0.
Vamos voltar ao contexto da Proposi¸c˜ao 3.3. Seja Mν um preenchimento de Dehn de
contato para M , onde ν ´e uma dire¸c˜ao sobre ∂M (provaremos adiante que este preenchimento de Dehn existe). Vamos supor que Mν ´e uma 3-variedade de contato fechada e conexa. Por
hip´otese, existe uma ´orbita fechada L = (y, Tmin) ∈ P(λ) contida em M, que ´e p-n´o trivial,
p ∈ Z∗
+, e satisfaz µCZ(Lp) ≤ 1 e sl(L) = −1p. Fixe um p-disco especial uL : D → Mν para
L. O esbo¸co da prova da Proposi¸c˜ao 2.6 apresentado acima, mostra que existe uma sequˆencia ˜
un= (an, un) : D→ R × Mν na fam´ılia de Bishop com condi¸c˜ao de contorno no p-disco especial
D = uL(D) cujo conjunto de pontos de bubbling-off ´e n˜ao-vazio. Isto produz uma sequˆencia
germinante ˜vncom limite n˜ao-constante ˜v e, pelo Apˆendice C, existe uma ´arvore de bubbling-off
F associada `a ˜vn e ˜v. Se provarmos que a proje¸c˜ao de F em Mν est´a contida4 em M , toda
a constru¸c˜ao feita na Se¸c˜ao 2.3.2 (e no Apˆendice C) est´a restrita ao interior de M . Como as esferas furadas de energia finita em F podem ser aproximadas por reparametriza¸c˜oes de discos de energia finita na fam´ılia de Bishop, uma condi¸c˜ao suficiente para que a proje¸c˜ao de F em Mν
esteja contida em M ´e que n˜ao existam interse¸c˜oes entre os discos ˜u ∈ M e o toro invariante ∂M . No caso em que a proje¸c˜ao de F em Mν est´a contida em M , os limites assint´oticos das
esferas furadas de energia finita em F tamb´em est˜ao contidos em M . Em particular, temos que ¯
P = (¯x, ¯T )∈ Pc(λ), a ´orbita fechada da tese da Proposi¸c˜ao 2.6, est´a contida em M . Isto mostra
que precisamos somente verificar que n˜ao existem interse¸c˜oes entre os discos de energia finita na fam´ılia de BishopMJ0 e o bordo ∂M . Isto ser´a feito nos Lemas 3.11 e 3.12.
Preenchimento de Dehn
Vamos construir um preenchimento de Dehn Mν, onde ν ´e uma dire¸c˜ao sobre ∂M , da
3-variedade M . Lembre que ∂M ´e n˜ao-vazio e difeomorfo ao toro T2 = S1 × S1. Observe
primeiramente que, pelo Teorema da Vizinhan¸ca do Bordo5 (veja [50, Corol´ario 3.5]), o bordo
∂M admite uma vizinhan¸ca abertaN (∂M) ⊂ M difeomorfa a T2× [0, ), para algum ∈ R∗ +. 4Isto ´e, se ˜w = (d, w) : C\ Γ → R × M
ν, onde Γ ⊂ C ´e finito, ´e uma esfera furada de energia finita
contida na ´arvore de bubbling-off F, ent˜ao w(C\ Γ) ⊂ M.
Seja ψ : T2× [0, ) → N (∂M) um difeomorfismo. Sabemos que T2 ´e difeomorfo a T (r, R) := (x, y, z)∈ R3:R−px2+ y22+ z2= r2 , r, R ∈ R∗
+ e r < R. Seja N− T (r, R) a interse¸c˜ao de uma vizinhan¸ca aberta de T (r, R) em
R3 com Tint(r, R), onde Tint(r, R) ´e a componente limitada de R3\ T (r, R). ´E conhecido que o
complementar de Tint(r, R) em S3' R3∪{∞} ´e um toro s´olido. Este fato ´e um resultado provado
por Alexandrov (veja [17]). Podemos remover a regi˜ao Tint(r, R) e colar M pelo difeomorfismo
ψ
T2 : T
2 → ∂M. Neste caso, ´e poss´ıvel considerar a dire¸c˜ao ν como sendo o paralelo
{(x, y, z) ∈ R3: z = 0 e p
x2+ y2 = R− r}.
Esta constru¸c˜ao mostra que Mν = M ∪ν Tint(r, R)c, onde Tint(r, R)c = S3\ Tint(r, R), ´e um
preenchimento de Dehn para M . Note que a forma de contato ψ∗λ, pela defini¸c˜ao de formas diferenciais em variedades com bordo, pode ser estendida para o complementar S3\ T
int(r, R).
Por simplicidade, denotamos esta extens˜ao por λ. Segue que (Mν, λ) ´e uma 3-variedade fechada
de contato e, portanto, um preenchimento de Dehn de contato para M . Pelo Lema E.1, podemos supor que, a menos de uma pertuba¸c˜ao com suporte6 em M
ν\ M, a forma de contato λ, agora
definida em Mν, ´e n˜ao-degenerada. Observe que a constru¸c˜ao acima n˜ao garante c1
π2(Mν)(ξ)≡
0, onde ξ = ker λ. Sabemos somente que, por hip´otese, c1
π2(M )(ξ)≡ 0.
Interse¸c˜oes entre toros e discos ˜J-holomorfos na fam´ılia de Bishop
Seja (Mν, λ) o preenchimento de Dehn de contato constru´ıdo acima. Nosso primeiro
passo ´e provar que, caso existam discos de energia finita na fam´ılia de BishopM cuja interse¸c˜ao com o complementar de Mν\ M ´e n˜ao-vazia, ent˜ao existe ˜u0 ∈ M que ´e o primeiro a intersectar
o bordo ∂M . Para evitar confus˜oes com as nota¸c˜oes e hip´oteses sobre M , vamos provar a observa¸c˜ao acima no contexto exposto a seguir.
Seja λ0uma forma de contato n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade fechada e conexa N . Suponha que T2 ´e um toro mergulhado em N e que divide N em duas variedades conexas,
isto ´e, existem 3-variedades compactas Nk, k = 1, 2, mergulhadas em N com bordo ∂Nk = T2,
k = 1, 2, satisfazendo N = N1∪ N2 e N1∩ N2 = T2. SejaD ,→ N1 um disco mergulhado cujo
bordo ∂D ´e um n´o transversal `a estrutura de contato e a folhea¸c˜ao caracter´ıstica FD
ξ = TD ∩ ξ
possui uma ´unica singularidade el´ıptica real e positiva e+. A princ´ıpio n˜ao precisamos supor que
λ ´e tight, a existˆencia do discoD ´e suficiente para a prova dos lemas adiante. Fixe J ∈ J (λ0) e
defina uma estrutura quase-complexa ˜J na simpletiza¸c˜ao R× N satisfazendo (3.2). Denote por M a fam´ılia de Bishop com condi¸c˜ao de contorno em D. Lembre que ˜u ∈ M se e somente se ˜u satisfaz (3.35). Fixe uma m´etrica Riemanniana g em N e uma folha l da folhea¸c˜ao caracter´ıstica FD
ξ sobre o disco D. Em (2.26) na Se¸c˜ao 2.3.1, definimos a fun¸c˜ao τ : M → R ∗
+ que associa a
cada ˜u∈ M o comprimento τ(˜u) entre e+ e a (´unica) interse¸c˜ao de u(∂D) com a folha l∈ FD ξ .
Este comprimento ´e medido em rela¸c˜ao `a m´etrica g. Seja G o grupo dos biholomorfismos do disco
6Aqui consideramos aproxima¸c˜oes f λ, onde f : M
ν→ R∗+ ´e uma fun¸c˜ao suave tal que f
M ≡ 1.
D eM/G o quociente de M pela a¸c˜ao induzida pela composi¸c˜ao com elementos em G. Denote por Π :M → M/G a proje¸c˜ao de M sobre M/G (para os detalhes, veja a Se¸c˜ao 2.3.1). Fixe Y uma componente conexa de M. A restri¸c˜ao de τ
Π−1(Y) `a componente Π−1(Y) ⊂ M permite
introduzir uma ordem em Π−1(Y), denotada por ˜u ≤ ˜v. Por defini¸c˜ao, se ˜u, ˜v ∈ M satisfazem Π(˜u), Π(˜v)∈ Y, ent˜ao ˜u ≤ ˜v se, e somente se, τ
Π−1(Y)(˜u)≤ τ
Π−1(Y)(˜v). Por simplicidade, se
τ
Π−1(Y)(˜u) < τ
Π−1(Y)(˜v), denotamos apenas ˜u < ˜v.
Lema 3.11. Seja λ0 uma forma de contato n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade N . Su- ponha que T2 divide N em duas variedades conexas N1, N2. Seja D o disco mergulhado em N1
escolhido acima e denote porM a fam´ılia de Bishop com condi¸c˜ao de contorno em D. Suponha que sejam v´alidas as duas seguintes condi¸c˜oes:
(i) existe C ∈ R∗
+ tal que, se u = (a, u)˜ ∈ M satisfaz u(D) ⊂ N1, ent˜ao7 kd˜uk∞< C;
(ii) existe uma componente conexa Y de M/G tal que existe ˜u1 = (a1, u1) ∈ M satisfazendo
Π(˜u1)∈ Y, u1(D)⊂ ˚N1, e existeu˜2 = (a2, u2)∈ M satisfazendo Π(˜u2)∈ Y e u2(z) /∈ N1,
para algum z∈ ˚D.
Ent˜ao existe u˜0= (a0, u0)∈ M satisfazendo Π(˜u0)∈ Y e ˜u0
(D)∩ R × T2 6= ∅ tal que se ˜v ∈ M
satisfaz˜v < ˜u0, ent˜aov(D)∩ R×T˜ 2 = ∅. Al´em disso, se z ∈ ˚
D satisfaz ˜u0(z)∈ ˜u0(D)∩ R×T2, ent˜aou˜0(z) ´e uma tangˆencia entre R× T2 eu˜0(D).
Demonstra¸c˜ao. Considere o mergulho R× N1 ,→ R × N induzido pelo mergulho N1 ,→ N.
Lembre que, como consequˆencia do Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita ([47], Teorema A.3.1) e da transversalidade autom´atica das solu¸c˜oes em M, dada uma solu¸c˜ao ˜u0∈ M e t0 = Π(˜u0), onde
Π : M → M/G, se s ´e uma se¸c˜ao do fibrado M → M/G numa vizinhan¸ca de t0 tal que
s(t0) = ˜u0, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M/G, t0 ∈ U, e uma aplica¸c˜ao
Φ : U× D → R × N
(t, z)7→ s(t)(z) (3.5)
tal que Φ ´e um mergulho suave sobre sua imagem. A existˆencia de cartas locais tais como (3.5) permitir´a, pelas hip´oteses (i) e (ii), obter solu¸c˜oes em M arbitrariamente pr´oximas do bordo R×T2. Isto for¸car´a interse¸c˜oes entre discos de energia finita emM e R×T2. A seguir provaremos
esta afirma¸c˜ao. Seja Y a componente conexa de M/G conforme item (ii). Considere a fam´ılia maximal Mint da solu¸c˜oes ˜u = (a, u) satisfazendo u(D) ∈ ˚N1. Sejam g e l, respectivamente,
a m´etrica Riemanniana e a folha l da folhea¸c˜ao caracter´ıstica fixadas acima. Denote por l2 o
comprimento do segmento em l conectanto e+e a interse¸c˜ao l∩ u
2(∂D), onde ˜u2 = (a2, u2)∈ M
´e dada no item (ii). Se ˜u ∈ Mint, seja τ (˜u) o comprimento do segmento em l conectando a
singularidade e+ e a interse¸c˜ao l∩ u(∂D). Defina
τ = sup
˜ u∈Mint
τ (˜u).
Pela condi¸c˜ao (ii) acima, sabemos que τ < l2. Seja τn→ τ e escolha ˜untal que τ (˜un) = τn. Como 7
kd˜uk∞:= supz∈D
kd˜unk∞< C, existe uma subsequˆencia ˜unk de ˜une um disco de energia finita ˜u
0 : D→ R × N tal
que ˜unk → ˜u
0 na topologia usual de C∞(D, R× N). Pela convergˆencia uniforme, ˜u0´e solu¸c˜ao do
problema de Bishop, isto ´e, ˜u0∈ M. Como Mint´e maximal, devemos ter que ˜u0(D)∩R×T26= ∅.
De fato, se isto n˜ao fosse v´alido, poder´ıamos escolher uma carta local Φ tal como em (3.5) e, a menos de uma reparametriza¸c˜ao, poder´ıamos identificar U = (−, ), para algum > 0, de maneira que s(0)(z) = ˜u0(z), onde s ´e uma se¸c˜ao do fibrado M → M/G numa vizinhan¸ca de
0. Dizemos que a carta Φ est´a centrada em ˜u0. Considere os seguintes passos:
a)Escolha um intervalo U = (−, ), suficientemente pequeno, de tal forma que u(D) ⊂ ˚N1para
todo ˜u = (a, u)∈ M satisfazendo Π(˜u) ∈ (−, ). Isto ´e poss´ıvel em vista do item (i); b) Dadas sequˆencias t±n → ±, escolha sequˆencias ˜u±
n ∈ M tais que Π(˜u±n) = t±n. Note que a
hip´otese (i) e o item a) acima implicam kd˜u±
nk∞< C, para todo n∈ N;
c) Segue do item b) que existem subsequˆencias ˜u± nk de ˜u
±
n e discos de energia finita ˜u± : D →
R× N tais que ˜u±n → ˜u± na topologia usual de C∞(D, R× N). Neste caso, kd˜u±k∞≤ C e, pela
convergˆencia uniforme, vemos que ˜u± s˜ao solu¸c˜oes do problema de Bishop, isto ´e, ˜u± ∈ M. Como as solu¸c˜oes ˜u ∈ M s˜ao duas a duas disjuntas8, em especial os bordos ˜u(∂D), um dos
extremos, ˜u± ´e maior que ˜u0, isto ´e, ou ˜u0 < ˜u+ ou ˜u0 < ˜u−. Isto mostra que existe ˜v ∈ M
satisfazendo a condi¸c˜ao (i) e ˜v > ˜u0. Isto contradiz a defini¸c˜ao de Mint. Portanto, ˜u0(D)∩ R ×
T2 6= ∅ ´e a solu¸c˜ao desejada.
Lembre que T2 divide N em duas variedades conexas N
1, N2. Seja ˜u0 = (a, u0) ∈ M o
disco de energia finita obtido na primeira parte da demonstra¸c˜ao. Recorde que se ˜v∈ M satisfaz ˜
v < ˜u0, ent˜ao ˜v(D)∩ R × T2 = ∅. Vamos provar que as interse¸c˜oes entre ˜u0
e R× T2, quando
projetadas em N , correspondem `as tangˆencias entre ˜u0 e R× T2. Suponha, por contradi¸c˜ao, que
z∈ ˚D satisfaz ˜u0(z)∈ ˜u0(D)∩ R × T2 e ˜u0(z) ´e uma interse¸c˜ao transversal entre ˜u0(D) e R× T2, isto ´e, Tu0(z) u˜0(D) t Tu0(z)(R× T2). Esta transversalidade em z for¸ca u0(z0) /∈ N1, para algum
z0 ∈ ˚D pr´oximo de z. De fato, como ˜u0 ∈ M, existe uma carta local Φ tal como em (3.5) centrada em ˜u0. Dado ¯v ∈ T˜u0(z) u˜0(D) \ Tu˜0(z)(R× T2), considere v = d(˜u0z)−1(¯v). Se γ : (−δ, δ) → D
´e uma curva suave tal que γ(0) = z e ˙γ(0) = v, ent˜ao a curva ˜γ := ˜u0 ◦ γ : (−δ, δ) → R × N
satisfaz
˜
γ(0) = ˜u0(z), ˜γ (−δ, δ) ⊂ ˜u0
(D), e ˙˜γ(0) = (a, ˜v),
para algum a ∈ R. Logo, para τ suficientemente pr´oximo de 0, temos ˜γ(τ) /∈ R × N1, isto ´e,
u(γ(τ )) /∈ N1. Seja z0 = γ(τ ). Como Φ : (−, ) × D → R × N em (3.5) ´e mergulho sobre a
imagem e est´a centrado em ˜u, isto ´e, Φ(0, D) = ˜u0(D), existe ˜6= 0 satisfazendo |˜| 1 tal que
a curva t 7→ Φ(t, z0) passando por ˜u0(z0) ´e suave e Φ(±˜, z0) /∈ R × N
1. Em outras palavras,
denotando ˜v±= Φ(±˜, D), temos ˜v±
(D)∩ R × T2 6= ∅. Mas isto contradiz a escolha do disco
de energia finita ˜u0 ∈ M e conclui a prova do Lema 3.11.
Verificaremos a seguir que n˜ao existem solu¸c˜oes na fam´ılia de Bishop satisfazendo a condi¸c˜ao (ii) do lema anterior quando se sup˜oe que T2 ´e invariante pelo fluxo de Reeb.
Lema 3.12. Seja λ0 uma forma de contato n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade N . Su-
ponha que T2 divideN em duas variedades conexas N1, N2 e T2 ´e invariante pelo fluxo de Reeb.
Seja D o disco mergulhado em N1 escolhido acima e denote por M a fam´ılia de Bishop com
condi¸c˜ao de contorno emD e que contenha elementos cuja proje¸c˜ao est´a contida em N1\ ∂N1.
Ent˜ao u(D)⊂ N1\ ∂N1, para toda solu¸c˜ao u˜∈ M.
Demonstra¸c˜ao. Argumentando indiretamente, suponha que a fam´ılia de Bishop M satisfaz as condi¸c˜oes (i) e (ii) do lema anterior, isto ´e, existe C ∈ R∗+ tal que se ˜u = (a, u)∈ M satisfaz u(D)⊂ N1, ent˜aokd˜unk∞< C, e existe uma componente conexaY de M/G tal que para algum
˜
u1 = (a1, u1) ∈ M com Π(˜u1) ∈ Y, temos u1(D)⊂ ˚N1, e para algum ˜u2 = (a2, u2) ∈ M com
Π(˜u2) ∈ Y, temos u2(z) /∈ N1, z ∈ ˚D. Pelo Lema 3.11, existe ˜u0 = (a0, u0) ∈ M que intersecta o bordo R× T2 de maneira que se ˜v ∈ M satisfaz ˜v < ˜u0, ent˜ao ˜
v(D)∩ R × T2 = ∅. Observe
que as interse¸c˜oes entre R× T2 e ˜u0 ∈ M s˜ao isoladas. De fato, seja z ∈ D uma interse¸c˜ao entre
R× T2 e ˜u0 ∈ M. Denote por π : T N → ξ a proje¸c˜ao na dire¸c˜ao do campo de Reeb Xλ. Como
u0 satisfaz π· du0+ J(u0)· π · du0· i ≡ 0, se v ∈ T
zD, ent˜ao {π · du0z(v), J(u0)· π · du0z(v)} ´e uma
base para π· du0
z(TzD). Se existisse v∈ TzD tal que π· duz0(v)6= 0, ent˜ao π · J(u0)· du0z(v)6= 0 e,
portanto, ter´ıamos que Xλ ∈ d˜u/ 0z(TzD). Isto mostra que o conjunto dos pontos z ∈ ˚D tais que ˜
u0(z)∈ ˜u0(D)∩ R × T2 est´a contido em
Zπ(˜u0) :={z ∈ D : π · du0(z) = 0}.
Pela Proposi¸c˜ao 4.1 em [26], o conjunto Zπ(˜u0) ´e constitu´ıdo de pontos isolados, logo as in-
terse¸c˜oes entre ˜u0(D) e R× T2 devem ser isoladas.
Provaremos que estas interse¸c˜oes isoladas n˜ao existem. Isto ser´a uma consequˆencia da Teoria de Interse¸c˜ao de Curvas ˜J-holomorfas de McDuff (veja [48]). Seja z ∈ D tal que ˜u0(z) ´e
uma interse¸c˜ao entre R× T2 e ˜u0∈ M. Como a condi¸c˜ao de contorno para ˜u0 ∈ M ´e
˜
u0(∂D)⊂ {0} × D ⊂ {0} × N
e D ⊂ N1\ ∂N1, segue que z∈ ˚D. Lembre que (3.5) fornece um > 0 e uma fam´ılia de discos de energia finita ˜uτ suavemente parametrizadas por τ ∈ (−, ) tal que ˜u0= ˜u0. Podemos supor,
sem perda de generalidade, que ˜uτ(D)∩ R × T2 = ∅, para todo τ ∈ (0, ). Isto ´e consequˆencia
da escolha de ˜u0 como o primeiro disco de energia finita emM intersectando R × T2. Considere,
para algum 0 < ϑ 1, a linha de fluxo de Reeb γu0(z): (−ϑ, ϑ) → N passando por u0(z), isto ´e,
γu0(z)(0) = u0(z). Uma vez que T2 ´e invariante pelo fluxo de Reeb, ent˜ao γu0(z) (−ϑ, ϑ) ⊂ T2.
Defina a curva ˜J-holomorfa ˜
w : R× (−ϑ, ϑ) → R × N (s, t)7→ s, γu0(z)(t) .
(3.6)
Note que u0(z) ´e interior em γu0(z) (−ϑ, ϑ) e, portanto, a interse¸c˜ao entre ˜w e ˜u0 ´e em um ponto
interior. A positividade e a estabilidade das interse¸c˜oes entre curvas ˜J-holomorfas, estabelecidas por McDuff em [48], implicam que ˜w deve intersectar ˜uτ para τ pr´oximo de 0, contradizendo
a nossa escolha de ˜u0 ∈ M. Isto conclui a prova do Lema 3.12 e do Teorema 3.1, no caso
n˜ao-degenerado.
Caso degenerado
Lembre que λ ´e uma forma de contato tight definida numa 3-variedade compacta M cujo bordo ∂M ´e difeomorfo a T2 = S1×S1. Supomos tamb´em que ξ satisfaz c
1
π2(M )(ξ)≡ 0. Vamos
provar o caso degenerado do Teorema 3.1. Recorde que estamos supondo que o bordo ∂M ´e invariante pelo fluxo de Reeb e n˜ao possui ´orbitas fechadas de Reeb. Nosso primeiro objetivo ´e provar que λ n˜ao possui ´orbitas fechadas contr´ateis com per´ıodo pequeno perto do bordo. Lema 3.13. Para todoN ∈ N, existe um aberto VN ⊂ M tal que ∂M ⊂ V e n˜ao existem ´orbitas
fechadas de Reeb contr´ateis com per´ıodo T ≤ N contidas em V . Demonstra¸c˜ao. Fixe N ∈ R∗
+. Seja PNc(λ) o conjunto das ´orbitas fechadas contr´ateis com
per´ıodo T ≤ N. Existe um difeomorfismo ψ : T2× [0, ) → N (∂M) entre T2× [0, ), para algum
∈ R∗
+ pequeno, e uma vizinhan¸ca aberta N (∂M) ⊂ M de ∂M. Suponha, por contradi¸c˜ao,
que para alguma sequˆencia n→ 0+, exista uma ´orbita fechada Pn= (xn, Tn)∈ PNc(λ) tal que
xn(R) ⊂ ψ(T2× [0, n)). Pelo Teorema de Ascoli-Arzel`a, existe uma subsequˆencia Pnk e uma
´
orbita fechada P = (x, T )∈ Pc
N(λ) tal que xnk(Tnk·) → x(T ·) na topologia usual de C
∞(S1, M ).
Como n→ 0+, temos que x(R)⊂ ∂M. Esta contradi¸c˜ao conclui a demonstra¸c˜ao.
Estamos assumindo, conforme enunciado do Teorema 3.1, que existe uma ´orbita fechada L = (y, Tmin) ∈ P(λ) que ´e um p-n´o trivial, p ∈ Z∗+, satisfazendo ρ(Lp) < 1 e sl(L) = −1p
contida em M . Escolha um p-disco u0
L : D→ M para L. Seja A(D0) :=
R D (u0 L)∗dλ a ´area de D0 := u0
L(D). Fixe N ≥ A(D0) + K, para K ∈ N grande. Considere um preenchimento de Dehn
de contato Mν para M de modo an´alogo ao que fizemos acima. Lembre que ν ´e uma dire¸c˜ao
sobre ∂M . Seja λ a forma de contato definida em Mν. O lema acima implica que n˜ao existem
´
orbitas fechadas do fluxo de Reeb em Mν com per´ıodo T ≤ N contidas numa vizinhan¸ca de
∂M ⊂ Mν. Sabemos que ´e poss´ıvel aproximar λ por formas de contato f λ, onde f : Mν → R∗+
satisfaz f
A ≡ 1 sobre um aberto A ⊂ ˚M ∪ M
c e Mc = M
ν \ M, tal que as ´orbitas fechadas
do fluxo de Reeb com per´ıodo T ≤ N contidas em A s˜ao n˜ao-degeneradas, n˜ao existem ´orbitas fechadas com per´ıodo T ≤ N contidas numa vizinhan¸ca pequena de ∂M em Mν e L ´e ´orbita
fechada de Reeb da forma de contato perturbada, isto ´e, L = (y, Tmin)∈ P(fλ). Esta afirma¸c˜ao
´e o conte´udo do lema a seguir. Este resultado ´e o correspondente do Lema 6.8 em [30] para o nosso contexto. A prova ´e por um argumento an´alogo `aquele apresentado na demonstra¸c˜ao do Lema E.1 no Apˆendice E.
Lema 3.14. Sejaλ a forma de contato definida na 3-variedade Mν = M∪νVν fechada e conexa
e L = (y, Tmin) ∈ P(λ). Ent˜ao existe um aberto V ⊂ Mν com ∂M ⊂ V e uma sequˆencia
{gn} ∈ C∞(Mν, R∗+) tal que gn n→∞ −−−→ 1 na topologia usual de C∞(M ν, R∗+) e gn L= 1 e dgn L= 0, para todo n∈ N, (3.7) egn
V = 1. Al´em disso, gn pode ser escolhida de modo que gnλ
Considere fixada uma sequˆencia {gn} ∈ Oλ tal que gn n→∞
−−−→ 1 na topologia usual de C∞(M, R∗
+) satisfazendo (3.7). Como antes, denotamos λn= gnλ e escrevemos Xλn,{φt,n}t∈R,
respectivamente, para o campo e o fluxo de Reeb associados `a forma de contato λn, n∈ N. Pelo
Lema B.8, fixe um p-disco especial, ainda denotado por uL: D→ Mν, para a ´orbita fechada L
e para a sequˆencia gn. Podemos supor que A(uL(D)) < N.
Neste momento ´e importante que se fa¸ca uma observa¸c˜ao a respeito do enunciado da Proposi¸c˜ao 2.6. No cap´ıtulo anterior, fizemos uma distin¸c˜ao entre o caso degenerado e o n˜ao- degenerado. Poder´ıamos ter considerado uma situa¸c˜ao um pouco mais geral. Fixado N ∈ N (de modo an´alogo ao que fizemos acima), a estrat´egia de demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.6 e, em particular do Teorema 3.1, para o caso n˜ao-degenerado funciona para a situa¸c˜ao em que supomos apenas que as ´orbitas fechadas com per´ıodo T ≤ N s˜ao n˜ao-degeneradas. Este tipo de hip´otese j´a foi explorada por Hofer, Wysocki e Zehnder em [23, 30] e Hryniewicz em [34]. Assim, a nossa escolha da sequˆencia gn implica que a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1 no caso
degenerado ´e apenas um corol´ario da estrat´egia de prova do Teorema 2.1. De fato, por uma constru¸c˜ao an´aloga `a Se¸c˜ao 2.4.1, ´e poss´ıvel provar que, para todo n ∈ N, existe uma ´orbita fechada Pn = (xn, Tn) ∈ Pc(λn = gnλ) satisfazendo ρ(Pn) = 1. Pelo Lema 2.34, os per´ıodos
satisfazem Tn ≤ N, para n ∈ N suficientemente grande, e, portanto, existe uma subsequˆencia
Pnk tal que xnk(Tnk·) → x(T ·) na topologia usual de C
∞(S1, M
ν), onde P = (x, T ) ∈ Pc(λ).
Pela Se¸c˜ao 2.4.1, P n˜ao ´e um recobrimento de L. Logo, P satisfaz as condi¸c˜oes da tese do Teorema 3.1. Note que P est´a contida no interior de M . Isto conclui a prova do Teorema 3.1.