Đ À O Đ Ì N H T H Ứ C
s ế l S É M
n ì i T v
V À ỨNG DỤNG
ếLÍ THUYẾT N1ỈÓM
ịTKONG liOÁ liỌC
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC
ỉ. T H U Y Ế T SỨC Đ ẨY C Ặ P Đ IỆ N T Ử H Ó A T R Ị
o e tVÀ HÌNH HỌC PHÂN TỬ
§1. HÌNH HỌC PHÂN TỬ
© Cấu tạo hình học của phân tử được xác định bởi độ dùi các
liên kết tức là khoảng cách giữa các hạt nhân của hai nguyên tử
liên kết trực tiếp với nhau và các iỊÓc liên kết tức là cảc góc tạo bởi hai nửa đường thẳng xuất phát từ hạt nhân nguyên tử trung tâm và đi qua hạt nhàn các nguyên tử liên kết trực tiếp với nguyên tử trền.
® Độ dài liên kết được xác định chủ yếu bởi kích thước của các nguyên tử liên kết và năng lượng liên kết. Vì vậy, chính từ độ dài liên kết người ta đưa ra định nghĩa quy ước về bán kính nguyên tử.
© Năng lượng liên kết là thước đo độ
bền của liên kết. Đối với 2 nguyên tử Hình ỉ - ỉ . Phân tử H20
xác định, khi bậc liên kết tăng thì năng lượng liên kết tăng theo và do đó dẫn đến sự giảm độ dài liên kết. Ví dụ:
Liên kết
c-c
c = co c
Năng lượng liên kết [kJ/mol] 348 612
815
Độ dài liên kết [A ]
1,54 1,341,2
• Tuỳ theo bản chất của các nguyên tử và các liên kết cũng như tuỳ theo số nguvên !• i ong phân í ử mà xuất hiện nhiều cách
Loại phân tử Dạng hình học Ví dụ AB Thặng 0 Ho . Ệ
— 0,74
A g W , H HO 1,27 Ẵ H1 ' ® a ÁB7 Thẳng . 1---1,16 A 1---1 r n 0 C ỏ N20 ,cs2,
BeCl2 Hình chữ V n ° 96 Ẵ / ^ 5\ H2S, so 2, H H " ■NO„H,Se c HgO ■ X a b3 Phẳng tam giác 0 ị5Ẳ SQs, N 03", Ị- V 19nũ _ ,, F 1 < c u . F m 2~ A i n STháp íam giác N ỵ < X \ ị 0 2 A ° H < ế £ 7 : \ - \ n PH” PF” ' " ' • V ' ' PCI,. CIO, H
■
AI H3 Hình chữ 1' c d ĩ , 5 ° ^ l i , 6 A 1 0 , C1F3 i u a b4 Tứ diện ì •/\
^ V i , 09Â c h4 s , ' ^ - H N H , \ s o 4:_ Vụỏnẹ phán ụ ịZ 0--- ( < ( c h4 ) XeF, >íí___ of [ * PđCl4 i,9+x Ạ v d /\ \p ểị Tứ diên iêch * \ ' iM Ẵ / Ị F < £ \ r s o\ Í,MẢ\ / > < Fv K \ i , 6 4 Ẳ \ \ \ » b f4 ^ V-T 4 "■H' F or 4A-
7
B
4
Phẳng
H qH t5
* Ẳ c T ,0<3Ẳc
9
h
4
/
\
NA
A ọ B ộLiên kết tứ diện
^
—
L’os% H H A é B ôLiên kết tam
giác phẳng
ữ°jL
//0ỔẲ C ó H óJ
N
3
B
3
H
6
§2.
v' THUYẾT SỨC ĐẨY CẶP ĐIỆN TỬ HOÁ 0 a TRỊ9• Trong việc xác định và xét đoán cấu tạo hình học của phân tử người ta thường sử dụng mõ hình tĩnh điện về phân tử được gọi ỉà
mô hình sức đẩy cặp điện tử hoá trị thường được gọi tắt là mô hình VSEPR (Valence Sheỉl Electron Pair Repulsion). Mô hình
này được Sidgewick và Powell đưa ra năm 1940 và được Lenard-Jones, Gillespie và Nyhoỉm phát triển và bổ sung.
• Mô hình sức đẩy cặp điện tử hoá trị cho phép xác định chính xác các góc liên kết trong những phân tử có đối xứng cao và xct đoán một cách định tính các góc liên kết trong những phân í ứ Í! đối xứng. Mô hình này có giá trị trực tiếp đối với những phân ỈU' loại ABn, tuy nhiên nó cũn£ có thể được mở rộng áp dụng cho Cík phân tử khác.
• Với mô hình này người ta chỉ chó ý đến những điện tử hoá trị trực tiếp bao quanh nsuyên tử trunẹ tâm A nghĩa ỉà những điện lử Iioá trị của nguyên tử này (bao gồm cá điện íử liên kết và điện lừ không liên Kết < và những điện tử tham gia íién kết của các phối lữ B. Mỗi cặp điện tử không liên kết thường được kí hiệu là E.
3 cặp điện tử tại 4 cặp điện tử 4 cặp điện íử 4 cập điện lử nguyên tử B tại nguyên tử c tại nguyên tử N tại o
a b 3 a b4 AB,E a b2e 2. © Cơ sở lí thuyết của mô hình này là 3 tính chất đại cương của các điện tử:
- Các điện tử đẩy lẫn nhau.
- Các điện íử có spin giốno nhau không thể ỏ' trèn cùn2 mót orbital (nguyên ì í Pauli).
- Mặc dù có sức đẩy tĩnh điện nhưng hai điện tử có spin khác nhau có thể ỏ’ trên cùng một orbital.
• Trên cơ sở của 3 tính chất trên người ta thừa nhận là với khuynh hướng phân bố cách xa nhau ở mức tối đa. mỗi cặp điện lử
(liên kếí cũng như tự do) cố một k h ó iiỊỊ xi.ti
/1
k h u t r ú xác định iiọiỊ à khônẹ. ai ao khu trú cặp diện tử.
Theo sự hình duns trèn, các cặp điện tử được coi ỉà phân bố tron0 một kh.ònẹ- ỉiiaọ hình cáu chuníỉ quanh hạt nhân nmiyén lử trunc tâm và mỗi cặp điện tử có một khônc eian khu trú I'icne. Hình 1-2 biểu d-ién các khỏns eian khu trú diện íủ' đối vứi nhữns trường hợp mà chun lĩ quanh nẹuyên' lử í rung tâm có 2, 3 và 4 cặp
điện tử.
Hình 1-2. \'hiìn:<i kltóỉiìi ạÌLin khu nu í ho 2, 3 \à 4 i ặp cliệiì tứ.
® Đc đơn giãn hoa* người ta íìình dunẹ ỉà các cặp điện íử lập trunsỉ ỏ' các cliếnì ỉ runs í âm của các khôn li gian khu trú và Cík điếm nàv được phân bỗ trên một mậi cái! mà tâm là hạt nhân của nguyên lử trung tâm. Sự phân bố các truníi tâm của các không íỉian khu trú đi én lừ đtrơc biểu diễn nhu' hình 1-3.
c..-
Kr---5
í linh 1-3, Sỉ(' Ịtlìòỉì b ỏ củ i' t n m i Ị í(!))ì riìii c ú c klìôììíỊ ạiiin
kỉìK trú trẽn ỉỉiủỉ l ầu
(Trên, thực tè thườn ụ Íí íĩập íru'0'ne hưp ma chun ạ quanh nguyên
tử trung tâm có số không gian khu trú lớn hơn sáu. Trong trường hợp này có thể có nhiều cách phân bố gần đẳng giá).
® Trên cơ sở của mô hình trên, các phối tử B và các cặp điện tử không liên kết E của nguyên tử trung tâm A được phân bố theo hướng của các trung tâm kHông gian khu trú điện tử. Từ đó người ta có thể suy ra sự phân bố hình học của các phối tử hay cấu trúc hình học của phân tử. Các khả năng phân bố hình học của các phối tử ứng với số các cặp điện tử liên kết và không liên kết khác nhau được tóm tắt trong bảng 1-2. Bảng. 1-2. Sự phân bố hình học các cấu tử Số không gian khu trú Số cặp điện íử tự do Loại Phân bố hình học các phân tử cấu tử Thí dụ 2 0 AB, BeH2
c a ;
0 AB, BF3#o3"
a b 2e n o 2so,
hn 0 0 a b2e2 c h4 so. 2-n h 3 so, 2' a p h2s p f5 PC15 AELE AB3E-> AB->E. s f4 SeF4 C1F3 BrF3 XC12'
• Mó hình sức dãy cặp đicỊì tư c h o phép la đè dà ỉm ílìáv lit NU ’ phào hô các neiiỵcn lir tron c B eH : (ỡ trạnạ thái khí) ỉa sư phân ho
I h á n s . imiììi p h á n iu' BF\ phấĩìii t a m ụiá c. t m n ẹ p h â n lu (11.; nr d i ệ n , troníi p h à n tử P F, hrỡn.ụ t h á p ta m iiiác va tr o n 2 p h â n tử S F fl
bát điện
• Trên cơ sơ của mỏ hình nàv ta CÙ11C thày ỉà các cặp điện tử tự do
c u a n ạ uy .én í ừ t r u n g t â m c ũ n 2 g i ữ vai !rò (Ịuyẽí đ ị n h tiế n s ự p h à n h ô
hình học của cãc phối ĩử siốníi như các cặp điẹn lử liên kếỉ.
Tronsz các phân tứ' CH.,. NH?, H X). chmiíi quanh neuvẽn tư
m u m t âm (C, N. O ) đ ề u c ó 4 c ậ p d i ệ n tử n h ư n h a u . T h e o m ỏ hỉ nil
(rên. các irune lâm của 4 khỏne cian khu Íìií được phân hò theo
k i ể u t ứ d i ệ n . T r è n t h ự c í é . 4 n g u v è n t ử H i r o n 2 p h â n t ử C I i 4 n ằ m
trên 4 dinh cùa một lứ diện đều mà íum ỉà nmiyên íử c. Trong phân lư NHV một irong 4 dính không có niỊuyên tử mà chi cỏ cặp
đ i ệ n t ư í ự d o n ê n t r ê n t h ự c t ế p h â n l ừ N H c ó c ấ u t r ú c t h á p t a m g i á c v ớ i n g u y c n t ừ N ở đ i n h v à 3 n ẹ u v é n t ư H ờ đ á y . Troii L’ p h a n
16
tử h 20, vì hai đỉnh không có nguyên tử mà chỉ có 2 cặp điện tử tự do nên phân tử H2Ó có .hình chữ V mà không phải là phân tử thẳng.
© Vì các cặp điện tử tự do chỉ thuộc về nguyên tử trùng tâm mà không bị hút bởi các phối tử như những cặp điện tử liên kết nên
cặp điện tử tự do đòi hỏi một không gian khu trú lớn hơn. Vì lí do
này mà trong phân tử NH3, sự phân bố tử diện bị biến dạng, góc 'HNỀ (107,5°) nhỏ hơn góc tứ diện (109°28'), trong phân tử H2Q,
gócíỉO H chỉ bằng 104,5° tức là cũng nhỏ-hơn góc tứ diện. .
© Khác với các cấu hình khác, cấu hình lưỡng tháp tam giác có hai loại vị trí không tương đương tức là cẩc vị trí ở xíchjđặo và các vi trí tỊên trục. Nếu quan sát từ một vị trí xích đạo ta chỉ thấy có hai vị trí (trục) nằm trên đường thẳng thẳng góc với phương quan sát và hai vị trí xích đạo khác nằm trên đường thẳng tạo với phương quan sát một góc là 120°, trong khi đó, ứng với một vị trí trục có 3 vị trí (xích đạo) nằm trên đường thẳng thẳng góc với phượng quan sát. Vì cặp điện tử. tự do đòi hỏi một không gian khu trú lớn nên nếu có những cặp điện tử tự do thì chúng sẽ chiếm cấc vị trí xích đạo. Điều này giải thích cấu hình tứ diện biến dạng của SF4, SeF4; hình chữ T của Q F3, BrF3 và cấu tạo thẳng của IQ 2“, I3~.
• Mộ hình trên cũng cho thấy là nếu nguyên tử trung tâm có từ hai cặp điện tử tự do trở lên thì các cặp điện tử tự do này sẽ phân bố ở những vị trí xa nhau với mức độ tối đa cho phểp. Điều này giảị thích cấu hình vuông phẳng của XeF4, I Ợ 4 với hai cặp điện tử tự do ờ các vị trí đối diện.
® ở trên ta đã xét những trường hợp mằ các phối tử đều giống nhau. Trong trường hợp mà nguyên íử trùng tâm không có cặp điện tử .tự do (trường hợp ÀBn với n = 2, 3, 4, 5, 6) thì phân tử có một cấu tạo hình học đều đặn với những góc liên kết là những góc hình học xác định.7 V
® Trong những trường hợp mà các phối tử không giống nhau thì sẽ có sự sai lệch so với những cấu hình hình học lí tưởng trên. Muốn xét đoán chiều hướng của sự sai lệch đó ta phải chú ý đến tương quan giữa độ âm điện của các phối tử. Phối tử càng âm điện nghĩa là khả năng kéo các điện íử càng lớn thì cặp điện tử liên kết càng có khuynh hướng đứng xa nguyên tử trung tâm và vì vậy cặp điện tử của phối tử âm điện ỉớn (B) cần một khoảng không yian khu trú nhỏ và ngược lại, không gian
khu trú dành cho các phối tử dương diện hơn (C) sẽ được mở rộng (hình 1-4).
Trên cơ sở đó ta dễ dàng giải thích sự biến thiên của các góc HCH, C1CC1, FCF khi các nguyên ĩử H, Cl hay F trong các phân t ử CH4, CC14, CF4, được thay thế bằng những nguyên tử âm điện hơn hay dương điện hơn (Xci > Xh» Xf >
Xã)-c h4 . CH3C1 CCÌ4 CFCI3
HCÌÌ = 109,5°, 110,3° c ĩ c c U 109,5° 111,5°
c f4 CF3C1
FCF = 109,5° ‘ 108,6°
• Trong trường hợp mà nguyên tử trung tâm có íham gia liên kết đôi, liên kết ba thì theo mô hình VSEPR các cặp ỉiên kết này có chung một không gian khu trú được gọi lí) khôỉịo ỳan kìm trú nhiều điện tử (không gian 4 điện tử cho liên kết đôi và khônq gian 6 điện tử cho liên kết ba). Như vậy trong trường hợp này khỉ xét
cấu hình hình học của phân tử người ta chỉ chú ý đến số cấp điện lử tự do và số các phối tử (số các liên kết đơn, đôi hoặc ha;. Đối
Hình 1-4. Sơ đồ biểu diễn các khô nạ íỊÌcm khu trú của các cặp điện tử hên kết trong phân tử có các phối tử khác nhau (Zb>Zc)
với yêu cầu về các không gian khu trú ta có quy tắc thực nghiêm sau:
Không gian hai Không gian Không gian hai điên tử cho cặp > bốn điện tử cho > điện tử cho liên kết điện tử tự do liên kết đôi đơn
- Trong các phân tử 0 = c = 0 và H - c = N, các nguyên tử c chỉ có 2 phối tử và không có cặp điện íử tự do nghĩa là chỉ có 2 không
ơi an khu trú. Vì vậy chúng là những phân tử thẳng.
p o ọ
I I 120°
íII ^ 124,4°
II ^ 1 ọao
S Ì
c 1
c
V
0^ ° C l ^ C l f < > f
111
,
2°
108°
Trong phân tử S 0 3, chung quanh nguyên tử s có 3 không gian khu trú tương đương (không gian 4 điện tử) vì vậy theo hình 1-3, phân tử S03 là phân tử tam giác phẳng.
- Trong các phân tử c o c u , COF9 chung quanh nguyên tử trung tâm c có 3 không gian khu trú, chúng đều có dạng tam giác phẳng. Tuy nhiên theo nguyên tắc trên, các cặp điện tử trong các liên kết đồi chiếm một không gian khu trú ỉớn hơn nên các góc OCC1 hay OCF đều lớn hơn 120°, trong khi đó các góc C10C1 hay FCF thì bé hơn 120°.
- Trong phân tử SOo, nguyên tử s có hai phối tử -g-và một cặp điện tử í ự do (3 không gian khu trụ). Vì /ỵ
vậy phân tử này có cấu hình tam giác phẳngv ^ ® - Trong các phân tử SOCỈ2, SQ32~, IỌ 3“, X e03 các nguyên íử trung tâm đều có 3 phối tử và một cặp điện tử tự dọ. Vì dạng phân bố hình học cơ bản là dạne tứ diện nên với 3 phối tử, các phân tử
này có dạng tháp tam giác.
® Trên cơ sở của mô hình trên ía dễ đàng giải thích sự giống nhau về dạng phân bố hình học củạ các phối tử trong những phân tử hay những ion có số phối tử và số điện íử bao quanh nguyên tử trung tâm giống: nhau. 'Thí dụ:
© Trong việc vận dụng mô hình sức đẩy cặp điện tử vào các tâ] phân íử phức tạp người ta coi phân tử như là gồm các nhóm
nguyên tở kiểu ABn và khảo sát cấu hình hình học' của từng nhóm riêng rẽ. Tuy nhiên, mô hình này không cho phép xét đoán chính
xác sự phân bố tương đối giữa các nhóm trong phân tử. Dưới đây tư là một số ví dụ về sự phân tách các nhóm trong phân íử:
, AB2E2 A ft ; AB4 AB4 PI
• Về nguyên tắc, mô hình VSEPR không áp dụng được cho các phân tử mà nguyên tử trung tâm là một nguyên tử của nguyên tố t ĩ chuyển tiếp vì ở đây, trong sự khảo sát về sự phân bố hình học của
phân tử phải xéí đến vai trò của các điện tử trên các phân lớp 4
chưa bão hoà.
Đối với các hơp chất halogenủa của các kim loai thổ kiềm thì X" nói chung ĨĨ1Ô hình VSEPR vẫn được nghiệm đúng đặc biệt ỉà đối
vói beri, các hợp chất BeF2, BeCl2, Bel2, BeBr9 đều có cấu tạo thẳng. Tuy nhiên, các phân tử haỉogenua cúa bari (chu kì 6) và các phân tử MgF2, CaF2 lại có cấu hình góc. Điều này được giải thích là các liên kết trong các hợp chất trên đã mang nhiều tính chất của các liên kết ion.
I . le Đối với mỗi phân tử sau đây: F20 , NH3, BF3 hãy cho biết:
a) Số cặp điện tử liên kết và không liên kết của nguyên tử trung tâm
b) Cấu trúc hình học của phân tử
c) Đánh giá các góc liên kết FOF, HNH, FBF (so sánh với góc tứ diện 109°28')
2o Hãy cho biết dạng cấu trúc hình học của các phân tử sau: . a) S02 b) S 03; c) S 032~; d) SCỈ2
đ) OF2; e) OCl2; f) PF3; g) PC13; h) PH3 3. a) Hãy so sánh các góc FOF và CIOCỈ trong các phân tử OF2
và OCỈ2.
b) Hãy so sánh các góc HPH, FPF, CỈPC1 trong các phân tử
p f 3, p c i3, p h 3.
4. a) Cho cáe phân tử H2Q, NH3 hãy so sánh các góc HOH , HNH với góc tứ diện (109°28')
b) Cho các phân tử H20 và H2S hãy so sánh các góc HOH và' HSÌÌ .
c) Cho các phân tử H20 và F20 hãy so sánh các góc HOH và FOF.
5c Cho phân tử HCHO
a) Hãy cho biết dạng cấu trúc hình học của phân tử.
6c Trên cơ sở biết cấu írúc hình
a) BeCl2, b) XeF2, k) N 0 2, 1)
của thuyết sức đẩy cặp điện íử học của các phân íử sầu đây:
3, c) CH4, d) m ự , e) SF6? g) m) 0 0 3”, n) S O / , o) PF5 !■> đối du góc (2t ỉ quí
o
L ĐỐI XỨNG PHÂN TỬ
i)
§1. KHÁt NIỆM
ĐỐI XỨNGr ú n g v ã mệt pấtrtníc hình học xác định, phân tử có tính chất đối xứng xấc định. Để cụ tóhoá khái niệm đối xứng phân tử ta xét ví
dụ vé trường hợp phân tử BF3. . .
, ^ * BF’ CÓ cấu *9° phẳns tam giác, các góc hên kết FBF đều bằng 120°.
® Trước hết ta giả dụ nếu quay phân tử này một góc băpg 120
(2iĩ/3) chung quanh trục thẳng góc với 'mặt phăng phân tư va đi
qua tâm hạt nhân nguyên tử B thì nguyên tử Fị sẽ đến vị trí trùng
(nn) 3 c ỉ
Hình 11-1« Cấc phép quày C3 tạỉ phân tửBF3
với vị trí của nguyên tử F2 ban đẩu, nguyên tử F2 sẽ đến trùng với
Vì các nguyên íử Fj, F2, F3 hoàn toàn giống nhau (đều là khônị nguyên tử flo) (sự đánh số các nguyên tử không có ý nghĩa vật lí) nhau,
nên người ta nói phép quay một góc 12 0° đưa phân tử trùng lên nó hí chính nó. Người ta còn nói phép quay nói trên đưa các hat nhân định
nguỵên tử về vị trí tương đương với vị trí ban đầu. Sự quay tiếp và đu
theo mộí góc 120° ỉại đưa phân tử trùng ỉên chính nó và sau đó, làmặ
nếu lại tiếp tục quay thêm mộí góc bằng;. 120° thì các hạt nhân chiếu nguyên tử được đưa về vị trí đồng nhất với vị trí ban đầu (I). trí ba
• Trong trường hợp chung, người ta gọi những phép biến đổi đầu đ đưa một hệ trùng ỉên chính nó là những phép đối xứng. Đối với ở phân tử, phép đối xứng là phép biến đổi vị trí của hạt nhận nguyên xứng tử về vị trí tương đựơng hay vị trí đdngjihất với vị trí ban đầu. các y
Theo định nghĩa trên phép quay một góc 2n/3 phung quanh trục c^c *■ thẳng góc với mặt phẳng phân tử và đi qua tâm điểm của nguyên tử B xuttg như vậy ỉà một trong những phép đối xứng đối với phân tử BF3. ® ' Vỉ góc quay 120° bằng 2n/3 nèn phép quay một góc bằng 120° phân nói trên được gọi là phép quay C3, kí hiệu là C3„ Trục quay nói hợp 1
trên được gọi là trục quay hay trục đối xứng bậc 3 và cũng được c c kí hiệu là C3.
vị trí của nguyên tử F3 và nguyên tử F3 sẽ đến vị trí trùng với vị trí củá nguyên tử Fj.
% I
trong
và ọh
Hình II—2. Các phép phân chiếu ơtại phân tử BF3
xứng
2.
ự®{ ỉ|Éòf'cáeh tương tự nếu ta phản chiếu tất cả các nguyên tử trí trbng phân tử BF3 qua mặt phẳng thẳng góc với mặí 'phang phâe tử
X c M a trục liên kết B-Fj chẳng hạn thì các nguyên tử B và ¥ l
te không thay đổi vị trí còn các nguyên tử F2 và F3 thi đổi vị trí cho lí)" ráaự. 'ỹhỊp phản chiếu như vậy cũng đưa phân tử trùng lên chính 'ên nó hay đưa các hạt nhân nguyên tử về vị trí tương đương.Theo ân đinh nghĩa nói trên, phép phản chiếu cũng ỉà một phép đổi xứng êp và dược kí hiệu là ơ, trong khi đó mặt phẳng phản chiếu được gọị tó là măt đối xứng và cũng được kí hiệu là ơ. Nếu ta lại tiếp.tục phản
ân • chiếu lần thứ hai thì các nguyên tử lại trở về vị trí đồng nhất với vị tri ban đầu. Nói chung các phép đối xứng đưa phân tử về vị trí bạn
tổ' đầu được gọi ỉà phép đồng nhất và được kí hiệu là E. 'ới ô trên ta đã nói đến trục đối'xứng và mặt đối xứng, trục đối ên xứng và mặt đối xứng được gọi là các yểu tố đối xứng. Nói chung,
các yếu tố đối xứng là các trục (đường thẳng), các mật phẳng hay uc các điểm hình học mà qua đó người ta thực hiện các phép đối
B xứng. .
• Tất cả các phép đối xứng có thể có của mỗi phân tử (thí dụ
0° phân tử BF3) xác định tính đối xứng của phân íứ đổ.'Trong trường 5i ■ hợp chung, tính đối xứng của một hệ (phân tử, tinh thể...) được
yc xác định bởi toàn.bộ các phép đối xứng'khả đĩ đối với hệ.đó.
§2. CÁC YỂU TỐ Đ ố i XỨNG VẢ CẮC PHÉP ĐỔI XỨNG ĐỐI
VÓỈPHÂNTỬ
® Có ba ỉoại cơ bản của các phép đối xứng:
1. Phép quay hệ thống một góc xác định chung quanh trục đối
xứng. “
2. Phép phản chiếu qua một mặt phẳng xấc định.
iT,
Các phép đối xứng khác là sự tổ hợp ba loại'đối xứng cơ bản quỉ
nói trên.
Phép tịnh tiến chỉ tồn tại đối với hệ thống vô hạn (thí dụ trong tinh thể). Vì phân từ là một hệ thống hữu hạn nên đối với phân tử chỉ có hai loại cơ bản 1 và 2. Dưới đây ta xét cụ thể hơh về hai loại đối xứng cơ bản này cũng như các phép đối xứng khác,' được coi là tổ hợp của hai loại nói trên.
3. Phép tịnh tiến hệ thống theo một chu kì tịnh tiến .xác định.
® Trong thí dụ về phân tử BF3 được nói ồ trên, sự quay, phân tử một góc bằng 2ix/3 (chung quanh trục thẳng góc với mặt phậng phân íử và đi qua hạt nhân B) đưa các hạt nhân nguyên tử về vị trí tương đương với vị trí ban đầu. Phép quay trên được gọi là phép quay C3 và trục quay trêíì được gọi là trục đối xứng bậc 3 và cũng được kí hiệu là C3. Trong trường hợp chung, phép quay một góc
2n/n cũng được gọi là phép quay c„ và trục quay tương ứng được
gọi ỉà trục đối xứng bậc n và cũng được kí hiệu là Cn.
• Với phép quay Cn (n > 2) các hạt nhân nguyên tử trong phân
tử được đưa về vị trí tương đương với vị trí ban đầu. Ngoài ra, ta cũng thấy, các phép quay với góc 2(2tĩ/ĩi), 3(2ft/n),... k(27t/n)... (n — l)(27i/n) cũng đưa các hạt nhân nguyên tử về vị trí tương đương. Sự thực hiện liên tiếp hai lần, ba lần... phép quay Cn được viết dưới dạng tích CnCn = Cn2; CnCnCn = Cn3.... Một cách tổng quát, người ta gọi. phép biến đổi bất kì ỉà phép biến đổi đồng nhất
E khi với phép biến đổi này tất cả các hạt nhân nguyên tử trong
phân tử giữ nguyên vị trí ban đầu. Từ đó, ta có Cnn = E.
© ứng với trục đối xứng bậc n như vậy ta có n phép đối xứng. ' ■ C„,Cn2,C n3,....,C n" -',C „ " (= E ) *jỊ
Ka I Dan 3ng 1 tử hai ươc 1 tử ẳng góc I, ta n)... 'ơng ược ■ổng 'ong
; ® Khi Ỉ33.C Ĩ1 cua true cỊUây ỈỄI t)oi sô ngụyên củ.9. số các phép
quay (k) thực hiện liên tiếp, ta sề có Cnk
Thí dụ, đối vối phân tử benzen, (xem hình vẽ) ta có:
4 ' 11 l5 y b' ì .
•Hình H-3. Những phép quay\C6k đối với phân tử benzen
c 62 - C3; C63 = c 2; C64 - C32; C66 = E
íSVối phép quay C6, cấu hình I chuyển sang cấu hình lĩ, nếu lại
thực hiện phé" quay C6, từ cấu hĩnh II ta lại có cấu hình III. Tuy nhiên, bằng một cách khác, cấu hình I có thể chuyển thẳng sang
cấu hình IU bằng phép quay C3 (C62 = C 3 ) với góc quay a = 2n/3 - 120°.
Một cách tương tự, cấu hình I có thể chuyển sang cấu hình IV bằng cách thục hiện nối tiếp ba lần phép quay C6 (Q. C6„ C6 = C63) hay bằĩìg cách thực hiện phép quay C, (C63 = Q ) với góc quay a = 2kỊ2 = 180°. •
Phân tử FC1SO FỚLS0 Phân tử AB2 hình chữ V (H2ỏ) ỈC2 hìn bằn bằn chu < qua trục 4 mô'
Phân tử phẳng tamgiác phân tử tứ diện (CHi> (BF3...), I C 3 ,30, NH%), 4C3, 3C2 Phân tử bát diện (SF6...) 3Q/4C, 3C21 4 AB chíi phâ của 4 4 đ trur 'èỉci, CO) 1C» ( tL1 ( ẽ -c•00 íĩ *0© Phân tử thẳng (Hạ, (C02, CS2) IC00, ooC2 Cl2,...) ICoo, ooC2
Hình II-4. Những trục quay của một số phân tử
qua trục tửl vẫn (cộ c 2,
9
Cấu hình I có thể chụyển sang cấu hình ĩ’ đồng nhất với cấu nh fraĩl c^ u bằns ^ quay C6 (C66), bằng cách thực hiện phép quay duy nhất C6/6 = Cị với góc quay bàn^ 2tt/l - 360° hay không thực hiện phép biến đổi nào cả. Nói
hung phép biến đổi này được gọi là phép đồng nhất E.
, Trong một phân íử đối xứng thường có nhiều trục quay, trục quay cố bậc n.lớn nhất được gọi là trục đối xứỉỉiỊ chính, những true quay của một số phân tử được trình bày trong hình
II-4-© Phân tử F-C1S.O được coi là phân tử khống đối xứng; chi có niôt phép đối xứng duy nhất là phép đồng nhất E.
Phân tử H20 loại AB2, hình chữ V có một trục đối xứng bậc 2. Nhiều phân tử có trục đối xứng bậc 3. Phân tử phẳng tam giác AB3 (BF3, N 0 3~...) có mộí trục đối xứng bậc 3 (trục đối xứng chính) đi qua nguyên tử trung tâm A và thẳng góc với mặt phẳng phân íử và 3 trục đối.xúng bậc 2, trùng vói các đường phân giác của tam giác đều tạo bởi vị trí của 3 phối tử.
• Phân tử tứ diện AB4 (CH4, NH4+...) có 4 trục quay bậc 3 (qua 4 đỉnh và qua nguvên tử trung tâm A) và 3 trục quay bậc 2 (qua trung điểm của các cạnh đối diện).
• Phân tử báĩ diện AB6 (SF6, PCỈ6~, ÍFe(CN)6]4_?...) có 3 trục quay bậc 4 (qua tâm và các đỉnh đối diện)5 4 trục quay bậc 3 và 6
trục quay bậc 2.
• Đối với những phân tử thẳng (HCỈ, H-,, ccx,...) thì trục phân tử là í rục quay bậc 00 (vô hạn), vói một góc quay bất kì phân' tử ■ vẫn trùng với chính nó. Riêng đối với phân tử thẳng H2, Cl2, C 02
(có tâm đối xứng) thì phân tử còn có một số vô hạn các trục quay Cọ, qua tâm phân tử và thẳng góc với trục phân tử.
r fzty / /
z.
5:>'3 / f - ' c - • Ta đã xét phân í ử phẳng AB3, phần lử có một írục Cx và ba trục G,, thực ra nếu phân tử có một trục C3 và một true C-, thẳng sóc với true c \ thì_ o o lự nhiên phân tủ' phái cỏ thêm 2 trục C2 khác cùng thẳng góc với true c v Phân (ử có trục Q , vì khi quay các góc 27r/25n47i/3ĩL phân tử tiling lên chính nó, nên chính ỉ rục C2 đầutiên cũn2 phải trùng ỉên chính nó, có Hình ĨI.r
nghĩa là phải tồn tại hai trạc khác tương đương với trục C2 thứ nhất. Trong trường hợp chung, nếu phân tử có một phép đỏi xứng
bất kì Ỉùỉỉì trục quay lìủv biếỉì thành trục quay kia thì các trục
aâHUy này tương đươỉHỊ với Ỉìỉìdiị.
• Tương tự như trường hợp C3, nếu có một trục đối xứng thẳng góc với trục C5 hoặc C7 thì sẽ tồn tại 4 hoặc 6 true khác tương, đương với trục nói í rên. Đối với trườn e hợp Cn có n là số chẩn thì tình hỉnh hơi khác. Ta giả thiết có trục c : thẳng góc với trục C4 thì khi thực hiện phép quav C4 (a = 2ĩi/4) trục C2 này đến trùng với vị trí tương đương nghĩa là phân íử tổn tại một trọc c \ khác. Tuy nhiên, nếu thực hiện phép quay c ? (~ C2) thì trục C, đến trùng với vị trí ban đầu, và nếu thực hiện phép quay C4?' thì trục Oi’ cũng đến trùng với vị trí ban đầu của RÓ. Đíéu đó có nghĩa ià nếu có một trục C, thẳng góc với trục C4 thỉ chỉ tồn tại một (mà không phải là ba) trục c \ kỉiác tương đương. Một cách tươrm tự, nếu có một trục Cy thẳng góc với trục C6 thì sẽ tổn tại 2 trục Q kỉìác tương đương (cùng loại).
Như ta đã biết, phân tử benzen có trục C6 đi qua trưng tâm ỉ ục
thtic
điểi' X,.) đượ s ngu quà chi é phé]đều
gọ* đưa 0 phâi c c c bởi.] © trìni xứn ơv c xứn 30th u ô c ^ loai (m ộ í loại đi q u a các đỉnh và m ộ t loại di q ua tru nụ
điểm cùa cạc cạnh đối diện) mỗi loại gổrn 3 trục tương đương.
2 Mat đqi xứng ơ và phép phản chiếu ơ
® (Phản chiếu một điểm A toạ độ X y, I qua-mặt phẳng xy sẽ thu được điếm A' có toạ độ X, y - z).
Sự phán chiếu tất cả các nơuyên tử LỊLia một mặt phăng đỉ
q u a phân tử được 2 ỌỈ ỉà p ìĩé p pỉìàìì H ì n h I I —6 . Pỉuìn chiếu m ột
chiểu (được kí hiệu ỉà ơ). Nêu qua điểm qua một mặt phẳniị
phép phán chiếu đó tấí cả các hạt nhân nguyên tử trong phân tử đều được đưa về những vị trí tương đương thì mặt phẳng trên được gọi là mặt đổi xứììg và cũng được kí hiệu là <7.
Sự phản chiếu hai lần liên tiếp qua cùng một mặt đối xứng sẽ đưa các hạt nhân nguyên tử về vị trí đồng nhất ơ2 = E.
• Đối với các phép phản chiếu và các mặt đối xứng nẹười ta phân biệt 3 trường hợp sau:
ơh: mặt phẳng đối xứng nằm thẳng góc với trục đối xứns chính ơv: mặt phẳng đối xứng chứa trục đối xứng chính
ơd: mặtphẳng đối xứng chứa trục đối xứng chính và chia đôi góc tạo bởi hai trục đối xứng bậc 2 nằm thẳng góc với trục đối xứng chính.
® Những mặt phắng đối xứng đối với một số ỉoại phân íử được trình bày trong hình 11-7.
- Phân tử phẳng tam giác AB3 (BF3, N 0 3~...) có .một mặt ..đối
xứng Gh thắng góc với trục đối xứng chính C3 và 3 mặt đối xứng ơv chứa trục đối xứng chính và các trục liên -kết B-F. Mặt đối
6’/ 6, 3, NO-,! lơ h, 3ơv a) /'■ ? ! ĩ \ ----T / «. '1- -\ ‘ L 1 J5 A ~ f / - 1 n K T \ 7 ì 1 \! * i 1 -- c. Ị.. ... 1 fì Phân tử thẳng Alen (H,C=C=CH,) HCl.CO,... H2, C1,, CQị oũơv, 2 o
°Oơv ( G o ) lơ h> (ooCj, Co,)
Hình ỈI-7. Những mặt đ ố i xứiìỊỊ ơ,„ ơ,., ƠJ đối với mội số phàn tử
- Phân từ bát diện AB6 (SF6j PC16“, [Fe(CN)6n có 3 mạt đối
. A /T _4 a"* /
g tâm A và ỉần ỉ xứng ơh và 6 mặt đối xứng ơ v
Ba mặt đôi xứng <Th đều qua nguyên tử trun qua phối tử ỉ, 2,-3, 4 - 2 ,6 , 4, 5 -,! 6 3 5
Một trong 6 mặt đối xứng ơ v đi qua nguyên tử A, các phối tử 5 6 và trung điểm các cạnh 1 - 2' 3 - 4 M và tri - I - I này c sau đ - í các p ơh íh; ® phép mặt Ị đươn ơv nà xứng tử thí tử H2 đối X benzi đươn các c một 1 chiếu đươc
Uột mặt xứĩlỗ ơv khác đi qua nguyên íử A, các phối tử 1' .3 và trUng điểm các cạnh 4 - 6, 2 - 5...
/ „ phân tử alen H2C=C=CH2 có 2 mặt đối xứog ơ d„
ì ày đều đi qua nguyên tử trung tâm A và lần lượt qua 2 phối tử ] aU đây: 1 và 2, 1 và 3, 1 và 4, 2 và 3, 2 và 4, 3 và 4.
_ Các phân tử thẳng (HC1, H2, C 0 2) có vô số mặt đối xứng ơ v và ^ 6’ các phân tử có tâm đối xứng (Hj, C 0 2) còn có một mặt đối xứng '* ơ thẳng góc với trục phân tử và qua tâm i. (H.II-7 d, e).
@ Tương tự như trường hợp trục đối xứng, ‘nếu phân tử cộ một phép đối xứng nào đó đưa mặt phẳng đối xứng này đến trùng với mặt phẳng đối xứng khác thì các mặt phẳng đối xứng trên tựờng „ đương với nhau.
- Trong phân tử BF3, với các phép quay C3, mặt phẳng đối xứng ơ này biến thành mặt đối xứng ơ v khác. Vì vậy 3 mặt phẳng đối
xứng ơv tương đương với nhau. Điều này cũng đúng đối VỚỊ phân tử tháp tam giác NH,, trong khi đó, 2 mặt-đối' xứng ơv trong phân C=CH rá ^2^ thì không tương đương vì phép đối xứng Cọ không đưa mặt đối xứng này đến trùng với mặt đối xứng khác. Trong phân tử )d benzen, 3 mặt đối xứng ơv đi qua các đỉnh đối diện thì tương
, L.
đương với nhau trong khi đó 3 mặt đôi xứng ơ v đi qua trang điếm
'hàn tu các cạnh cũng tương đương.
3 mặt à 30 Phép phản ehỉếii quay Sn và trụ c ph ản etiẫếii quay Sn ® Sự tổ hợp (theo thứ íự bất kì) của phép quay Cn chung quanh và lần Itímột trục đi qua phân tử (với một góc quay 2%/n) và phép-phản chiếu các nguyên tử quá một mặt phẳng thẳng góc vói trục trên . , tl’4ược gọi là phép phản chiếu quay và được kí hiệu là Sn:
2 píìvrl
s„ = Cơ,
"n h “Trục trên được gọi ỉà trục phản chiếu quay và cũng được kí hiệu ỉà Sn.
Như ta đã biết, phân tử BF3 có trục đối xứng €3 và mặt đối xứng ơh thẳng góc với trục đối xứng trên. Nếu quay phân tử một góc 2-71/3 và sail' đó phản chiếu các nguyên tử qua mặt phẳng ơh (chính ỉà mặt phẳng phân tử) thí phân tử trùng lên chính nó. Như vậy phân tử có trục quay S3.
• Trong trường hợp chung, nếu phân tử có mặí đối xứng Gh thì trục đối xứng Cn (thẳng góc với ơh) đồng thời ỉà trục đối xứng Sn.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, mặc dù phân tử không có trục đối xứng Cn và mặt đối xứng ơ tương ứng riêng rẽ nhưng phân tử vẫn có thể có trục đối xứng Sn. Chẳng hạn, ta xét phân tử'
trans-đicloetilen CHC1=CHC1, trục C-C không phải là trục đối
xứng Co và mặt phẳng qua trung điểm của trục C -C và thẳng góc với trục này cũng không phải là mặt phẳng đối xứng ơh của phân tử, tuy nhiên, trục này vẫn ỉà trục quay S9.
hìn hìn tử t trục và ] trùi qua bậc s 1 1 tía. thì,: đơn I điểi toạ I đối ĩ các gọi tâm Hình 11-8» Trục quay phản chiếu Sn
c k' Khi thực hiện phép quay C2 (a = Ỉ80°) từ cấu hình (I) ta có cấu h' h (II) và khi liên tiếp thực hiện phép phản chiếu ơ h ta được cấu h h (III) nghĩa là phân tử trùng lên chính nó. Như ta đã biết, phân tử tứ diện AB4 có 3 trục quay G |J>4 trục quay C3) và không có true quay C4 cũng như không có mặt đối xứng thẳng góc với trục N \ , c tuy nhĩên mỗi trục C2 lại đồng thời là một trục quay phản ^ chiếụ s ■ Khi quay một góc a = 2tc/4 (=90°) chung quanh trục này và phản chiếu qua mặt phẳng thẳng góc với trục trên, phân tử ỉạỉ
v hì t r ù n g lên chính nó.
e Theo định nghĩa ta có: Sn = ơ h.Cn nếu íhực hiện n lần phép lg CÓ quay phản chiếu ta có: Snn = ơ h".Cnn = ơhn (vì Cnn = E). Do đó nếu bâc của trục quay phản chiếu chẵn (n chẵn) thì. ơhn = E và do đó
ântị s = E.
" đ01 Nếu n lẻ thì ơhn = ơ h và do đó Snn = ơ h.
I góc
phân Như vậy ta thấy rằng chỉ khi n chẵn thì phép quay phản chiếu D Ịần mới đưa phân tử về vị trí đồng nhất (với vị trí ban đầu) còn nếu n ỉẻ
ỵ thì phép quay phản chiếu tương đương vái một phép phản chiếu ơ p a đơn giản qua một mặt phẳng thẳng góc với trục quay.
4. Tâm đối xứng I và phép đảo chuyển i
Phản chiếu một điểm qua một tâm điểm i là biến đổi vị trí của điểm này, toạ độ (x, y, z) sang vị trí có toạ độ (-X, -y, -z) khi gốc toạ độ đặt trùng với tâm i.
Hai điểm có toạ độ (x, y, z) và (-X, -y, -z) khi đó được coi là
đối xứng với nhau đối với tâm i.
Nếu phân tử có một tâm điểm i mà qua đó, sự phản chiếu tất cả các nguyên tử đưa phân tử trùng lên chính nó thì tâm điểm i được gọi là tâm đối xứnạ ị của phân tử và phép phản chiếu phân tử qua tâm đối xứng i được gọi ỉà phép đảo chuyển i.
Nếu thực hiện hai phép đảo chuyển liên tiếp thì' phân tử trở về vị trí đồng nhất với vị trí ban đầu: i.i = i2 = -E.
/ ^ ị Xryrx) ĩ t ^(xsyi*) \ : / --- te ' —£---4 o A ' L g ' Hi L H&
Phép phản chiếu qua tâm điểm i và phép đảo chuyển ị
■ * qua tâm.đối xứng
©Nhiều phân tử có'tâm đối xứĩìgj", thí dụ H2; írans-đicloetilen (ví dụ trên), XeF4 (vuông phẳng), C6H6, AB6 (bát diện),,..
Tại tâm đối xứng có thể có nguyên tử (XeF4, AB6) hay không có _ nguyên íử (H2, CHC1=CHC1, benzen,...)
Từ hình- vẽ dưới đây ta dễ dàng thấy rằng phép đảo chuyển i chính là sự tổ hợp của phép quay C9 và. phép phản, chiếu qua mặt.
phẳng thẳng góc vói trục C2 và qua tâm i (giao điểm, của trục C2 và mặt phẳng trên). Điều đó cũng có. nghĩa là phép đảo chuyển i
đồng nhất với phép quay phản chịệu S2 (= c ,.ơ h).
H is! ILICL Phép đảo chuyển ị là tổ hợp của phép quay
c 2
và phép vhả, chiếu Ơ Ị,. ƠL Í V \A>y»z) (-X, -y , z) —*• (-X, -y , -z ) ______________ ỉ ( xứr đó hai xứn phé ( xứn « thì ; trưc khô (ha’ hoá ỉ đến ứnglì tử trị' 5 Xích của các phép đối xứng
ở trên ta đã thường nói đến sự thực hiện ỉiên tiếp hai phép đối •'mg Theo thuật ngữ khái quát (của lí thuyết nhóm) người ta gọi
3 là phép "nhân" các phép đối xứng đó. Nếu kết quả thực hiện ký phép đối xứng này trùng với kết quả thực hiện của phép đối jnơ thứ ba duy nhất thỉ phép đối xứng này được gọi là tích của 2
lép đối xứng trên, vỉ dụ:
chuyển i (Xj z) = (_X( _y> _z) Ị
is-đicloeti ^ X’ ^ Zyí
),... , Trong trường hợp chung: RS = r thì T là tích của hai phép đối 5) hay któng R và s.
• Theo quy ước thống nhất chung, phép đối xứng nào viết trước lao chuyts t^ c hịện sau, phép đối xứng nào viết sau thì thực hiện trước, hiếu qua:
'ủa ♦r.uc c Vl dụ, khi viết C2ơh thì ta hiểu: phép phản chiếu ơh thực hiện lảo chuyiróc và sau đó mới thực hiện phép quay c>.
• Trong trường hợp, sự đảo thứ tự tiến hành hai phép đối xứng - lông ỉàm thay đổi kêí quả biến đổi thì hai phép đối xứng trên u. y.----„ay phểp nhân tương ứng) được coi là có tính giao hoán:
I RS = SR (S, R giao hoán).
Ví dụ hai phép đối xứng c ? và ơh được nói ỏ’ trên có tính giao
và phép ìẤArt.-r~- rr — C' _ -ỉ1 - r tan: v-?ơh = ơhu2 = L
Ngược lại, sự đảo thứ tự tiến hành hai phép đối xứng không dẫn cùng một kết qua thì hai phép đối xứng (hay ohép nhân tương
“
ị Ig) có tính không giao hoán: RS & SR (S, R không giao hoán)
H o l o Hãy cho biết tích của các phép đối xứng sau đây :
a) C2ơh b)
c3ơh
c) C9i2o Hãy cho biết phép đối xứng tương đương với:
a)S44 b )S,3 § T thưò xắ c i điều 1 . chun một Ấ G nhón quát, trong
'đối
y, nhân tiếp 1 xứng đối X nhưn; của h RS n: nhân trên, ] rồi saI l l . Đ ỊN H N G H ỈA VA Đ ỊN H LI c ơ s ỡ
CỦẤ Lí THUYẾT NHÓM
§1 đ ỊNH n g h ĩ a n h ó m
Trong toán học, nhóm là một tập hợp các phần
tử A,
B,c,
E,... tỉ ỉờng được kí hiệu lù GịA, B, c , E...J và một định luật hợp thành ác đinh trong nhóm, thường được gọi là phép "nhân", thoả mãn 4 điều kiện sau đây:1 Tích của hai phần tử hất kì cũng như hình phương (hay nói
chung mọi luỹ thừa) của mỗi phần tử thuộc nhóm cũng đều là
môt phần tử của nhóm.
Chẳng hạn AB = D; A2 = E (D, E cũng là các phần tử của nhóm). Khái niệm "nhân" và "tích" ở đây là những khái niệm khái quát không nhất thiết phải có ý nghĩa như các phép nhân và tích trong số học hay đại số. Ta đã biết sự thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng R và s lên một cấu hình nào đó cũng được gọi là phép nhân hai phép đối xứng đó và nếu kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai .phép đối xứng đó trùng với kết quả thực hiện phép đối xứng thứ ba T thì phép đối xứng này được coi là tích của hai phép đối xứng trên: RS = T. Phép "nhân" có thể là giao hoán RS = SR nhưng thường ỉà không giao hoán RS ^ SR vì vậy khi viết thứ tự của hai phần tử phải theo một quy ước thống nhất chung. Khi viết RS người ta nói s nhân trái với R và khi viết SR người ta nói s nhân phải với R. Đối với các phép đối xứng, như đậ nói ở phần trên, khi viết RS người ta hiểu là thực hiện phép đối xứng s trước rồi sau đó mới thực hiện phép đối xứng R.
2„ Phép "ỉỉììửìì" có tính kết ỉiợp: A(BC) = (AB)C y
Điều đó có nghĩa là ta có thể nhân hay í ổ hợp 2 phần tử B và 0 £-Ỉ£ theo t h ứ tự BC rồi sau đó tổ hợp tích
s
đó với A theo thứ tự AS hay J)-I _ta có thể tổ hợp A với B trước theo thứ tự AB rồi sau đó tổ hợp tích B
í hu được với c theo ĩhứ tự RC. Với hai cách đó ta đều thu được cùng * iiìộĩ kết qua (Vì vậy, không cần thiết phải viết dấu ngoặc). VƠ1 '
3, Tron ạ ìiỉìốìiỉ phải có ỉỉìộí phần tử đơn vị duy nhất, kí hiệu là
E sao cho XE = EX = X với mọi phần tử X thuộc nhóm. Điều đó T
có nghĩa là khi nhân E với mỗi phần tử thuộc nhóm thì phần tủ đêu
này phải khỏnu đổi (tương tự như số ỉ trong phép nhân, số 0 trong i phép cộng đại số hay số học: 1 .X = X; 0 + X = X) ọ
4o Mỗi phần tử X thuộc nhóm đền phải cố một phần tử nghicìị dảo tươiỉiỊ ứiiv, kí hìêỉi lù cũĩii> ỉù ỉĩiôt phần tử của nhóm sm
cho: x . x = X~'.X = E ' 3
Trong nhóm, nếu R là phần tử nghịch đảo của s thì s cũng li
phần ĩử nghịch đảo của R. 4
* Theo một định ỉí của lí thuyết nhóm: nghịch đảọ của tích há
hay nhiều phấn tử thuộc lỉỉỉóĩỉì tỉỉì bằn ^ tích các nghịch đảo củtí chúng nhưiỉiỊ theo thứ tư lìiỊươc lai.
(ABC) '1 = C "IB“'A“I ■
, «
Để đơn giản, khi chứng minh ta xét tích của 3 phần tử: ABC = D (1) ..
Nhân phải hai vế của hẻ thúc (1) với (T'ET'A‐1 ta có: ^ A B C C T'B 'A~' = Đ C 'E T '/V 1, vì c . c ' = E, nên: thàr
ABEB‘ 'A"' = DC'C '/V , vì E.B~' = B '1, nên: ’ > phả các ABB“'A”' = DCT'BT'A vìB B '1 = Enên: •
AE.A’1 = DC-'B-'A"1, vì EA‘‘ = A'1 nên: 1 = D C 'B T 'A "1, VÌAA~‘ = E nên:
= D C 'B -'A - ' ■ cíu
i và c s hay ích n cùng ệu là 'U đó ần tử •Tong \hịch ' sao ỉg là ’ hai của >(1). Vì theo hệ thức trên, tích củâ D và bằng E nên * Ịặ nẹhịch đảo của Đ nghĩa , là nghịch đáo cúa ABC. f S ( A B Ợ ' = C :,B-'A"
ví dụ, ta xét một nhóm í oán học đơn giản: Chẳns hạn, 1 Ịuật hợp thành là phép cộng đại số thì rấí cả các số nguvên: J g' âm và số 0 tạo thành một nhóm.
Xa dễ dàng thấy rằng 4 điểu kiện hay 4 tiêu chuẩn của nhóm đều được thoả mãn :
ỉ Tổng đại số hai số nguyên bấí kì đều là một sổ nsịiiyên.
2 phép tổ hợp (phép cộng đại số) có tính kết hợp: (+2)°+ [(+5) 4- (—ỉ)] — Ị(+2) -f (+5)] -f (—1) = +6 3 Với phép cộnơ đại số, phần tử đơn vị ỉà số 0
0 4- n = n + 0 - n
4 Mỗi số nguyên n đều có một nghịch đảo là ị —n ) vì:
n + (~n) = 0
§2. NHỎM ĐỔI XỨNG PHẪN TỬ
e Với một cấu trúc hình học xác định, mỗi phân íử có một số yếu tố đối xứng và từ đó có một số phép đối xứng xác định. Tập hợp các phép đối xứng này thoả mãn 4 điều kiện của nhóm và lập thành một nhóm gọi ỉà nhỏm
đôi
xứng.%
Vì khi í hực hiện các phép đối xứng đối với phân tử thì ít nhấí phải có một điểm không đổi nên các nhóm đối xứng này gọi ỉà các lìhốrn điểm dối xứng.
® Trước hết ta cần nhớ ỉại một số điểm sau đây:
- Phép đồng nhất E là phẻp biến đổi đối xứng đưa phân tử về cấu hình đồng nhất với cấu hình ban đầu nghĩa là không làm thay
<Jổi vị trí của các nẹuyên tử. Vì vậy, sự tổ hợp phép đồng nhất E
1'ó'i mọi phép đối xứna khác đều cho kết quá đổng nhất với kếi quả thu được khi thực hiện một mình phép đối xứng trên, ví dụ: EC, = c :; Bơ = ơ; Hi = i, EE = E... Do đó phép đồng nhất E giữ vai trò của phần từ đơn vị của nhóm. Mỗi phân tử đều phải có phép
5ng nhất E.
• Nhiều phép đối xứiì£ khi thực hiện hai lẩn liên tiếp sẽ đưa phân tứ về cấu hình đồng nhất với cấu hình ban đầu: ơơ = 0 2 = E;
ii = i2 = E; c :c 2 = C f = £.
Ta thấy ngay, phần tứ nghịch đảo cửa ơ chính là ơ (ơ’ 1 = ơ), của ị chính là i (i”} = ị) của C2 chính là C-. (C2_i = Co).
- Đối với phép đối xứng Cn ta có Cnn = E, do đó Cnm.Cnr
c 0 / / ^ /• / \ | \ y Hị . ! H í Ị ■ £ 6 ‘( y z ) Ti chín! mộí của r
- T J V I VUI I’ilCSJ! UU1 ALliỉg, v_n IU cu v^n — É,, uu uu v_n ,s. _ n = c n" = E.
Điểu đó có nghĩa là Cnm là nghịch đảo của Cnn-m hay ngược lại. - Tích của hai phép đối Xứỉì2 có tính kết hợp.
• Dưới đây ta xét 4 tiều chuẩn của nhóm đối với một số vỉ dụ cụ thể về nhóm điểm đối xứng. ® Trons* ví dụ ihứ nhất ta xét phân tủ' H20 . Pháo tử H20 có I1ÌỘI / trục quav Cọ tạo ra 2 phép -quay: C2 và C22 = E hai mặt đổi xứng thẳng góc với nhau và chứa ĩrục C2
tạo ra hai phép đối xứng ơ v(xz) và ơ'(yz) kí hiệu ỉà ơ và ơ \ Phản tử như vây» «/ có 4 phép đối xứng E, c :, ơ, ơ \ Nhóm điểm có 4 phép đối xứng này được gọi là nhỏm C2v. ( < c
Hình IIĨ-L Các yếu tố đối xứng,
của phân tử H20 Hí phần đầu V tương ghi ở thườn với ví giữ n; và sai nhau. Do đc ỉ à mộ hàng ! Vì chính trườỉiị chéo c
ỉ ất E i kếi
Tâp hợp tất cả các tích của mỗi phần tử của một rthóm với Ị [ h nó và với tất cả các phần tử khác được hệ thống hoá thành . . l à h / t t ì (í ĩ i ỉ i / í ỉ ì r - í ỉ a n h í ì m F ì? f ó ; i í t í ỉ V l à h ■}> n a n í - i í ì n í dụ: ' giữ pnep của nhóm C2
*
Bảng III-’1. Bảng nhân của nhómc ,v.
dv Ec2
ơ v ( & đưa = E- EẸ
G>
Gv ơ . .V ©c 2
Eơv?
< £) :ơ).
ơv
ơyơv’
E Vơv
ơv .
c.
E
' E. í du .ydầu với từng phần tử ghi ở cột đầu. Các tích được ghi ở các vị trí ĩươnơ ứng. Ví dụ C ạ . ' = ơ v. Theo quy ước chung, phép đối xứng crhi ở hàng đầu (ợ ’) thực hiện trước và viết ờ phía sau, Thông thường ta dễ dàng xác định các tích của hai phép đối xứng hất kì, với ví du trôn, khi thực hiên phép ơ v\ các nguyên tử O, Hị, H, đều ợiữ nsuvên vị trí (vì các nguyên tử này nằrn trên mặt phẳng ơ v’) và sau đó khi .thực, hiện phép quay C2 thì Hị và H-, đổi vị trí cho nhau. Kết quả này đồng nhất với kết quả của phép phản chiếu ơ v. Do dó C2ƠV' = <JV. Ta dỗ dàng thấy răng tích của hai phần tử cũng ỉ à một phần tử thuộc nhóm. Trona; bảng nhân nhóm ta thấy ỏ' mỗi hàng hav ở mỗi cột mỗi phần tử đều có mặt và chỉ có mặt một lần.
Vì trong trường hợp này mỗi phần íử trùng với nghịch đảo của chính nó nên các tích E đều nằm trên đường chéo của bảng. Trong trường hơp o . I -- . x -i 5Ế X thì các .1 lích E Cline o nằm đối xứng với đườnsW . '
chéo đó.
Từ bảng nhân nhóm này ta dề dàng thấv rằng các phép đối xứníi của phân từ thoá m ãn'4 tiêu chuẩn của một nhóm toán học vì vậv ĩập hợp các phép đối xứng đó tạo thành một nhóm.
® Tiếp theo ỉa xéí I rường hợp phân tử NH3
Phân tử NH3 .CÓ irục đối xứng C3 íạo ra 3 phép quay C3\ C-V, C'y = E, có .3 mặt đối xứng <x chứa trục đối xứng €3 (trục dối xứnc chính) và di qua các nsuyôn tử Hị, H2, Hv Gọi các mật ơ v tương ứng ỉ à ơ v, ơ ’\ ^ \ “ V 7 ^ ơv’\ Ba mặt đối xứng trên tạo ra 3 phép phản chiếu cũng kí hiệu ỉà ơ v, ơv?, ơ v’\ 6 phép đối xứng này tạọ nên một nhóm đối xứng (có tên ỉà G J V A1
Hinn III-2. Cúr yêu íô đôi .xứng
C3v I E, C3, c , :, ơv, ơv\ ơv” Ị //•(>/;í> tử NHỉ
Kết quả nhân mỗi phép đối xứng với chính nó và với các phép đối xứng khác được tóm íắt trong bảng nhân sau đây.
Bảng ỉĩl-2'Bảng nhảh của nhóm c 3v ở hàn đầu. Bả] - I cộ mẹ - T đường Ta C * E
©
C 32 ơy. ơv’ ơ v mãn 4 E E C 3 C32 ■ơv’ ơv” §3. c , Q C32 E < v— 99 ơy ơ v5 c , 3 c , 2 E c , ơ v’ ơ v” ơ v Nh<©
ơy©
ơv £' - . C‐Ị C32 nhộm của nỉ: ơy’ ơy’ _ 99 ơv ơv .... C 3 2 E ' c 3 vô han 1 . ƠVM , ơv ơ ’w V c , c , 2 E nhóm <đốị ?c v'|
phẩn cnieu ucp r ,uu6 ư
uyên tử đó sẽ đến vị trí của nguyên tử H3. VI từ vị trí 1 chuyển đến vi trí 3 nên tích của haỉ phép đối xứng đó đông nhất với phép
ận ph iếu ơ v’: ơ vC 3 = g v\
Ta Cần lưu ý là ở đây có' một số phép nhân không giao hoán, vì
^ _ 1_^1 y-ỈA-*** imiivr /> *>« *4 ‐a t~ v ấ~r ĩ"» n
'ừìg 3y ơy’ ơv C32 đầu.
Bảng nhân này cũng cho thấy:
r Trên mỗi hàng hay trên mỗi cột, mọi phần tử của nhóm đều có mặt và chỉ có mặt một lần.
- Tích E nằm trên đường chéo của bảng hay nằm đối xứng với đường chéo đó.
Ta dễ dàng thấy rằng các phép đối xứng của phân tử NH3 thoả mãn 4 điều kiện hay 4 tiêu chuẩn của một nhóm.
§3. CẤP CỦA NHỎM
Nhóm có thể là hữu hạn hay nhóm
là
hữu hạn hay vô hạn. Số ]của nhóm, cấp của nhóm hữu hạn
vô hạn có các phần tử biến thiên
nhóm liên tuc.
vô hạn-.tuỳ theo số phần tử của phần tử của nhóm được gọi ỉà cấp thường được kí hiệu là h. Nhóm một cách liên tục nên được gọi là
Hai nhóm được xét ở trên là các nhóm hữu- hạn. ỵỵ*ct
Nhóm C2v có 4 phần tử, cấp của nhóm h = 4. phầỉ
Nhóiĩi C3v có 6 phần tử, cấp eủa nhóm h = 6. ■ c Ta đã biết, các phâĩitử thẳng có một số vô hạn mặt dối xứng 0 00 n và riêng đối với các-)/hân tử thẳng có tâm đối xứng như H2, C 02v... *;*■’ còn có một số vô han' các trục đối xứng Q . Số phần tử của nhóm nhu n^OĨ vậy là vô hạn. Các phâiiÉỊử này thuộc các nhổm liên tục.
ĩ * xứnj
nhói
§4.
mÔM
GIA Ọ HOÁN
Trong 2 ví dụ được xét ở trên ta thấy đối với nhóm C2v (H20) §'
tất cả các phép nhân đều giao hoán, ¥1 dụ ƠVC2 = C2ƠV = ơv5; ơv’ơv
- ơ vơ v’ = Cj... trong một nhóm nếu tất eả các phép nhân đều giao
hoáq XY == YX thì nhóm đó gọi là nhổm giao hoán hay nhóm man
Abel. Nhóm C2v như vây là nhóm giao hoán.
G Cí
Trong nhóm C3v có một số phép nhân không giao hoán, ví dụ con
Không giao hoán. Nhóm như vậy là nhóm không gỉao hoán. câp
V
■
mỏM
" fUẲM
HOÀN ■ nhóiTrong một nhóm nếu mọi phần tử đều là những luỹ thừa khác nhaụ của cùng một phầe tử X nào đó:
c2,(
thì nhóm này gọi là nhóm tuần hoàn hay nhóm xicỉic. Nhóm tuần
hoàn luôn luôn là nhóm giao hoán.
xnx m = x mxn.
Tập hợptất
cả các phầntử
của. nhóm gọilà
chiH20) §6. NHÓM ơ
ơv c» - A/TAt Ivíôt tâp hợp nhỏ các phần tử của một nhóm G nếu cũng thoả tân hơn
Ỗlao gjj 4 tiêu chuẩn của nhóm đối với phép nhân của G thì được gọi
n^0ììi là nhậm con hay phân nhóm của nhóm G. Cùng một phần tử của
G có thể thưộc nhiều nhóm con khác nhau. Đặc biệt, mọi nhóm ví dụ con chứa phần tử đơn vị E của G. Riêng phần tử đơn vị E của G cũng được coi là một nhóm con của G nhưng là một.nhóm con
nhốn khộng thực sự. Cấp g của nhóm con phải là ước số nguyên của h,
cấp của nhóm: h/g = k, k là số nguyên.
Ví dụ: Nhóm C4 (gồm 4 phần tử {E, C4, C2, C43}, g = 4) là một nhóm con hay phân nhóm của nhóm C4v, gồm 8 phần tử {E, C4,
c2,
c 43, ơv, ơv\ ơd, ơd’ } h = 8. Ta thấy 8/4 = 2 (nguyên) §7. TÍCH TRỰC TIẾP CỦA HAI NHÓM KHẤC NHAU tuần ® Cho nhóm Gj có hj phần tử: G1{RpR9,...,R h }và nhóm G? có h2 phần tử: G7{SpS2,...,S h } à chu
Với giả thiết là mỗi phần tử của nhóm này giao hoán với moi phần tử của nlióm kia và trừ phần tử E của mỗi nhóm, các phần tỏ khác của nhóm này đều khác các phần tử của nhóm kia.
Ta thành lập tích hai phần tử RjSj (i = 1,2 , h1? j = 1, 2, h2) mỗi phần tử thuộc một nhóm. Tập hợp hjh2 tích đó tạo thành
một nhóm mới kí hiệu là G = Gj X G2, được gọi là tích trực tiểp
của hai nhóm Gt và G2. Mỗi nhóm G1? G2 đều trở thành nhóm con thực sự của nhóm G = Gi X G2.
Ví dụ: nhóm đối xứng C2h{E, C2? i, ơ hỊ ỉà tích trực tiếp của hai nhóm C2 1 C2? C22 (=E)} và Cj {E, i }
(Phân tử Trans-đicloetilee CHC1=CHC1 thuộc nhóm C2h)
§8.
PHẦN
TỦ TƯƠNG ĐƯONG, LỎP CỦA NHỎM ỉ• Hai phần tử A và B trong một nhóm gọi là tương đương hay
liên hợp với nhau nếu trong nhóm có phần tử X sao cho:
tron! với I 9 cửa với I
( 1)
£ giao phầrđược
« N Phép biến đổi này được gọi là phép hiến đổi đồng dạng. Người £g dạng thành B qua X. ỉtén X và nhân phải với X‐1 ta có: T
-1 _ r? A n - A n g h ĩ a là: h
A = XBX‐1 (2) *
Vì mỗi phần tử trong,nhóm đều có một phầĩỊ tử nghịch đảo nên . c :a sẽ có: h
r-ỉ ‐1
'đảo của X (Y = X
A _ X / - 1- D A /
(3)
Vì từ (1) suy ra (3) nên íìgười ta nói: Nếu A liên hợp với B thì h
vìtí<
mo' Vì ba hệ ihức tĩê!ì tương đương với nhau nên nếu chỉ có một ần tủ ng 1°ã hệ đó ta cũng có thể kết luận là A và B tương đương
với nhau.
) ề yiôi cách chặt chẽ toán học người ta còn nổi: mỗi phần tử
hành ■ iơ nhóm đều tương đương vởi chính nó. Điều đó có nghĩa là, đối
' tiếp vớ' mỗi phần tử A bất kì thuộc nhóm ta đều phải có:
ì con A = X_lAX (4)
Thưc vậy, nếu nhân trái hai vế vói A-ỉ ta có:
ahai A_1A = A_lX~'AX hay
E = (XA)“'(AX)
Điểu kiện này' chỉ thoả mãn khi AX = XA nghĩa là phần tử X ơịao hoán với A. Như ta đã biết, trong một nhóm ít nhất cũng có phần tự đơn vị E giao, hoán với A. Vì vậy hệ thức (4) luôn -luôn . được thoả mãn.
ĩ hay
9
Nếu Á liên hợp với B vã B liên hợp với c thì Á liên hợp với c . ígười Điều này cung có nghĩa là nếu B liên hợp với A và € thì A và c
liên hợp với nhau.
Thật vậy, nếu A liên hợp vói B ta có: A = X_1BX
hay: B = XAX_1 . (a)
Nếu B liên'hợp với c la có: B ^ Y ^ C Ỵ1 (b)... >nêĩ] Cân bắng (a) và (b)ta có: . XA5T1 ■= Y_1CY (c)
>: Nhân trái hai vế với X_I và nhân phải với X ta có: X”1XAX”1X ?= XT;1Y“1CYX.
B thi
hay
A = ( Y X ^ C í Y X )
vì tích của hai phần tử cùng là. một phần tử thuộc nhóm nên nếu ta .
ở đâv ta cũng cần nói đến định lí sau:
