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N
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoInstituto Superior Politécnico de Viseu
Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Curso de Engenharia de Sistemas e Informática
Manuel A. E. Baptista, Eng.º
Processamento Digital de Sinal
Aula 15
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoPrograma:
1. Introdução ao Processamento Digital de Sinal
2. Representação e Análise de Sinais
3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR
4. Processamento de Imagem
5. Processadores Digitais de Sinal
6. Filtros na frequência
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoBibliografia
:
Processamento Digital de Sinal:
•Sanjit K. Mitra, “Digital Signal Processing – A computer based approach”, McGraw Hill, 1998
Cota: 621.391 MIT DIG
•Roman Kuc, “Introduction to Digital Signal Processing”, McGraw Hill, 1988.
Cota: 621.391 KUC INT
•Johnny R. Johnson, “Introduction to Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, 1989.
Cota: 621.391 JOH INT
G. Proakis, G. Manolakis, “Digital Signal Processing – Principles, Algorithms Applications”, 3ª Ed, P-Hall, 1996.
Cota: 621.391 PRO DIG
•James V. Candy, “Signal Processing – The modern Approach”, McGraw-Hill, 1988
Cota: 621.391 CAN SIG
•Mark J. T., Russel M., “Introduction to DSP – A computer Laboratory Textbook”, John Wiley & Sons, 1992.
Cota: 621.391 SMI INT
•James H. McClellan e outros, “Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5”, Prentice-Hall, 1998.
Cota: 621.391 MCC COM
Processamento Digital de Imagem:
•Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, “Digital Image Processing ”, Prentice Hall, 2ª Ed., 2002.
Cota: 681.5 GON DIG.
•I. Pittas H. McClellan e outros, “Digital Image Processing Algorithms and Applications”, John Wiley & Sons, 2000.
Cota: 621.391 PIT.
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoAvaliação:
A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática
ponderadas da seguinte forma:
Classificação Final = 80% * Frequência ou exame + 20% * Prática
O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de
melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a
classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota
da prova de frequência obtida.
A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar
em MATLAB
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoProcessamento de Imagem
•
Realce
–
Métodos de Realce no domínio espacial
–
Métodos de Realce no domínio da frequência
–
Filtros digitais: tipos básicos
–
Filtros espaciais ou de Kernel
–
Realce de imagens coloridas
–
Restauração de Imagens
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoConjunto de técnicas que têm como objectivo
processar uma imagem de modo a torná-la mais
adequada para a aplicação específica.
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoImagem
digital
(pixels)
Imagem
física
Aquisição
Imagem
digital
(pixels)
Realce
(regiões)
Segmen-tação
Extração
de
Atributos
(atributos)
(quem /
o que)
Reconhe-cimento
(regiões)
Pós-pro-cessamento
Conjuntos de
Técnicas de
Realce
-Técnicas no domínio do espaço
(têm em geral uma carga computacional mais baixa)
-Técnicas no domínio da frequência
(permitem em alguns casos uma representação mais
adequada do problema)
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonsof(x,y)
T
g(x,y)
( )
x
,
y
T
[
f
( )
x
,
y
]
g
=
operador T sobre f
definido numa
vizinhança de (x,y)
y
x
(x,y)
vizinhança
Casos particulares importantes:
• para uma vizinhança de 1x1, temos a função
de transformação de tons de cinzento
• quando a operação pode ser
expressa como uma convolução,
( )
r
T
s
=
operações pontuais
g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)
filtros lineares espaciais
Métodos de Realce no domínio espacial
T
pode operar
sobre um conjunto
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoFiltros lineares têm seus duais no domínio da frequência, definidos pelo
Teorema da Convolução.
f(x,y)
h(x,y)
g(x,y)
F(u,v)
H(u,v)
G(u,v)
g(x,y)= h(x,y)* f(x,y)
G(u,v)= H(u,v) F(u,v)
Função de
Transferência
Resposta
ao Impulso
Como a transformada de Fourier do Impulso é 1, aplicando-se
um impulso à entrada de um filtro linear obtém-se na saída:
g(x,y)=h(x,y) (resposta ao impulso), ou no domínio da frequência G(u,v)=H(u,v)
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoNegativo
r
T(r)
Ajuste de Contraste
T(r)
r
Operações pontuais
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoT(r)
r
T(r)
r
Correcção do brilho
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoT(r)
r
γ>1
T(r)
r
γ<1
Correcção da gama
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l A. E . B apti sta es to R. Afonso• Definição: O histograma de uma imagem digital com níveis na faixa [0, L-1] é uma
função discreta p(r
k
)= n
k
/n, onde r
k
é o k-ésimo nível de cinzento, e n
k
é o número de
pixels da imagem com este nível de cinza, n é o número total de pixels na imagem, e k
= 0, 1, ... L-1.
• p(r
k
)= dá uma estimativa da probabilidade de ocorrência do nível r
k
.
Imagem clara
imagem escura
Imagem com
baixo contraste
Imagem com
alto contraste
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso
O objectivo é transformar uma imagem de tal forma que a imagem resultante
tenha um histograma uniforme, melhorando assim o contraste.
Sejam p
r(r) e p
s(s) respectivamente o histograma de uma imagem de entrada e da
imagem de saída.
Admite-se que r e s representam os níveis de cinza, e que são variáveis
contínuas que foram normalizadas de modo a ficarem contidas no intervalo [0,1].
Procura-se uma transformação do tipo s = T(r), tal que p
s(s)=c, onde c é uma
constante;
A transformação deve satisfazer as condições:
T(r) é monotonamente crescente no intervalo [0,1]
0≤ T(r) ≤ 1, para 0≤ r ≤ 1.
A transformação inversa T
-1(r) deve satisfazer também ambas as condições.
Prova-se que a transformação que equaliza o histograma da imagem de entrada
é:
∫
≤
≤
=
=
T
r
r
p
r
w
dw
r
s
0
(
)
0
1
)
(
Equalização do Histograma
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l A. E . B apti sta es to R. Afonso
A forma discreta da transformação para equalizar um histograma é:
( )
( )
0
1
e
0
,
1
,...,
1
0
0
−
=
≤
≤
=
=
=
∑
∑
=
=
L
k
r
r
p
n
n
r
T
s
k
k
k
j
r
k
j
j
k
k
T(r)
r
Equalização
Equalização do Histograma
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso
Objectivo:
Transformar uma imagem de tal forma o resultado tenha um
determinado histograma.
Sejam p
r
(r) e p
z
(z) respectivamente o histograma original e o desejado.
Os histogramas serão equalizados
respectivamente através das
transformações:
Aplicando a transformação inversa G
-1
(v) a uma imagem com histograma
equalizado, obtém-se uma imagem com o histograma p
z
(z).
∫
=
=
T
r
r
p
r
w
dw
s
0
(
)
.
)
(
v
=
G
(
z
)
=
∫
z
p
z
(
w
)
dw
.
0
Procedimento:
1- Obter T(r) e equalizar o histograma da imagem original,
2- Especificar o histograma desejado e obter a função de transformação G(v),
3- Aplicar a transformação inversa G
-1aos níveis obtidos no ponto 1.
Pode-se combinar as duas transformações para formar a transformação
global:
( )
[ ]
.
1
T
r
G
z
=
−
Especificação do Histograma
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoT(r)
r
G(z)
z
G
-1
[T(r)]
r
p
z
(z)
p
r
(r)
p'
z
(z)
Imagem
original
Imagem
qualquer
Imagem
resultante
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso
Define-se uma vizinhança, cujo centro se vai mover pixel a pixel por toda a imagem.
Para cada posição, determina-se o histograma para aquela vizinhança e a respectiva função de
transformação.
Essa função é aplicada para determinar a intensidade do pixel central.
O move-se o centro da vizinhança para o pixel adjacente e repete-se o procedimento.
Quando se pretende realçar apenas detalhes em pequenas áreas da imagem,
convém usar o Realce Local porque o número de pixeis destas áreas quando
considerados na transformação global têm pouca influência.
Outros algoritmos locais são possíveis.
Imagem Original
Após Equalização Global
Após Equalização Local
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l A. E . B apti sta es to R. Afonso
É razoável considerar que uma imagem ruidosa g(x,y) é formada pela
adição do ruído
η
(x,y) à imagem original f(x,y), ou seja:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
f
x
y
x
y
g
=
+
η
Admite-se o ruído
η
(x,y) é não correlacionado e com média nula.
A média de M amostras de g(x,y) é:
∑
∑
=
=
+
=
=
M
i
M
i
i
x
y
M
y
x
f
y
x
g
M
y
x
g
1
1
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
η
i
Para valores crescentes de M este termo tende a zero
A média aproxima-se da imagem original à medida que cresce o
número de imagens ruidosas utilizadas.
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoM=1
M=2
M=32
M=8
M=16
M=128
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoH(u)
u
h(x)
x
Passa-baixo
H(u)
u
h(x)
x
Passa-alto
H(u)
u
h(x)
x
Passa-banda
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso
Nos filtros espaciais realiza-se uma operação do tipo:
g(x,y)=T [ f(x,y)], para qualquer (x, y)
onde f(x,y) é a imagem original, g(x,y) é a imagem filtrada e T um
operador definido numa vizinhança de (x,y).
Reposta de um filtro espacial linear:
R=w
1
f(x
1
,y
1
)+ w
2
f(x
2
,
y
2
)
+
⋅ ⋅ ⋅
+ w
9
f(x
9
,
y
9
)
. . .
w
1
w
2
w
3
w
7
w
8
w
9
w
4
w
5
w
6
. .
.
Imagem
Imagem
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l A. E . B apti sta es to R. Afonso1/25 ×
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1/9
3x3
5x5
7x7
15x15
Original
Exemplos:
Máscaras (kernel):
,
,
⋅⋅⋅
25x25
Aplicação mais frequente:
reduzir o efeito do ruído decorrente das
condições ou do método de aquisição da imagem.
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso Filtro mediana:
A mediana m de um conjunto de valores é tal que metade dos valores do conjunto são
menores do que m e metade dos valores maiores do que m.
Seja, por exemplo, os números {1, 3, 5, 91}. A média é 25 e a mediana é 5.
Filtro percentil:
O valor m de percentil p de um conjunto de valores é tal que p % dos valores no
conjunto são menores do que m, e (1-p) % dos valores são maiores do que m.
Filtro de máximo:
Atribui ao pixel em (x,y) o valor máximo na vizinhança em torno do pixel.
Filtro de mínimo:
Atribui ao pixel em (x,y) o valor mínimo na vizinhança em torno do pixel.
Filtro passa-baixo espacial não lineares
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoImagem original
Imagem com ruído “sal e pimenta”
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoFiltro passa-alto básico:
Aplicação:
Melhorar a nitidez de pequenos detalhes ou realçar detalhes que foram
esbatidos pelo método de aquisição utilizado.
H(u)
u
na frequência
h(x)
x
no espaço
-1 -1 -1
-1
8 -1
-1 -1 -1
1/9
Kernel
Observação:
em geral, o
filtro produz valores negativos pelo que é comum
fazer-se um ajuste de escala para se visualizar a imagem de saída.
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l A. E . B apti sta es to R. Afonso
Filtro Unsharp Masking:
Unsharp = Original - A*Passa-baixo
Filtro High Boost (análogo ao anterior):
Acrescenta a uma imagem a saída de um filtro passa-alto
High-boost = Original + B*Passa-alto,
• Exemplo de Máscara para um filtro High-boost:
8.B+1
-B
-B
-B
-B
-B
-B
-B
-B
=
8.B
-B
-B
-B
-B
-B
-B
-B
1
0
0
0
0
0
0
0
0
+
-B
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoImagem Original
B=2
B=4
B=8
B=10
B=6
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l A. E . B apti sta es to R. Afonso
Definição: O gradiente da função f(x,y) nas
coordenadas (x,y) é dado por:
∂
∂
∂
∂
=
∇
y
f
x
f
f
( )
2
1
2
2
/
y
f
x
f
mag
f
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
=
∇
f
A Magnitude:
Aproximações:
[
]
[
]
(
) (
)
(
8
9
) (
1
2
3
)
7
8
6
9
5
2
1
2
8
6
2
9
5
2
1
2
6
5
2
8
5
z
z
z
z
z
z
f
z
z
z
z
f
z
z
z
z
f
z
z
z
z
f
/
/
+
+
−
+
+
=
∇
−
+
−
=
∇
−
+
−
=
∇
−
+
−
=
∇
z
5
z
6
z
4
z
z
z
z
2
z
1
z
3
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonsoz
5
z
6
z
4
z
8
z
7
z
9
z
2
z
1
z
3
0
-1
0
1
0
-1
1
0
Roberts
0
0
0
1
1
1
-1
-1
-1
0
1
-1
0
-1
1
0
-1
1
Prewitt
0
0
0
2
1
1
-2
-1
-1
0
2
-2
0
-1
1
0
-1
1
Sobel
Kernels para o filtro de Gradiente
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l A. E . B apti sta es to R.Afonso
Imagem original
|Gx|+|Gy| (sobel)
|Gy| (sobel)
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoFiltragem no Domínio da Frequência
g(x,y)
G(u,v)
= H(u,v) •
F(u,v)
= h(x,y)
∗
f(x,y)
imagem
filtrada
imagem
original
resposta
ao impulso
Função de
Transferência
Filtragem Espacial
Filtros na frequência
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoTransformada de Fourier aplicada a Imagens
Sinais 1 D
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso
Em Imagens? Æ Sinais 2 D
Frequência = “velocidade” de variação de tonalidade da imagem.
Função também em 2D
Imagem original f
Espectro |F(u,v)|
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l A. E . B apti sta es to R.Afonso
Imagem de 512x512 pixeis
com uma janela de 20x40
Exemplo da DFT 2D de um rectângulo
Espectro centrado da imagem,
obtido pela DFT 2D
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TO DIGITAL
Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso( )
( )
( )
( )
(
2
2
)
1
/
2
0
0
,
,
,
0
,
1
,
onde
D
u
v
u
v
D
v
u
D
se
D
v
u
D
se
v
u
H
=
+
>
≤
=
-u
-v
|H(u,v)|
D
0
h(x,y)
Frequência de corte
SISTE
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l A. E . B apti sta es to R. AfonsoD
0=N/4
D
0=N/8
D
0=N/16
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoImagem Original: 2 impulsos
Imagem na saída de um FPBx
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TO DIGITAL
l A. E . B apti sta es to R. Afonso( )
( )
[
]
n
D
/
v
,
u
D
v
,
u
H
2
0
1
1
+
=
Grau do filtro
H(u,v)
u
v
Frequência de corte
SISTE
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N
TO DIGITAL
Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso( )
( )
( )
( )
(
2
2
)
1
/
2
0
0
,
,
,
1
,
0
,
onde
D
u
v
u
v
D
v
u
D
se
D
v
u
D
se
v
u
H
=
+
>
≤
=
u
v
|H(u,v)|
SISTE
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l A. E . B apti sta es to R. Afonso( )
( )
[
]
n
v
u
D
D
v
u
H
2
0
/
,
1
1
,
+
=
Grau do filtro
Grau do filtro
|H(u,v)|
u
v
Frequência de corte
Frequência de corte
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonsoa) Imagem original
b) Após FPAlto Butterworth de grau 1
c) Soma da imagem original para
preservar as baixas frequências
d) Após equalização de histograma
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TO DIGITAL
l A. E . B apti sta es to R. Afonso[ ]
N
N
de
complexos
es
coeficient
de
kernel
matriz
e
N
d
onde
N
k
i
j
-k
,
i
out
×
=
=
=
=
π
2
1
D
D
I
D
I
in
Fórmula matricial da DFT a 2 D
SISTE
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Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoAs componentes x e y podem ser
processadas independentemente
=
∑
∑
=
N
i
m
j
N
N
k
N
k
n
j
e
e
k
i
f
N
N
n
m
F
π
-
2
π
1
-0
=
i
1
-0
2
-)
,
(
1
1
)
,
(
soma segundo uma dimensão
Soma segundo a outra dimensão
DFT - 2D: Propriedade da separabilidade
SISTE
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N
TO DIGITAL
l A. E . B apti sta es to R. AfonsoSISTE
M
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N
TO DIGITAL
Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoDFT - 2D: Propriedade da rotação
Uma Imagem rodada de um ângulo θ resulta
num espectro da imagem rodado com o
mesmo ângulo
(
)
{
}
(
θ
θ
θ
θ
)
θ
θ
θ
θ
cos
sin
,
sin
cos
cos
sin
,
sin
cos
v
u
v
u
F
y
x
y
x
f
+
−
+
=
+
−
+
F
SISTE
M
AS DE PRO
CESSAME
N
TO DIGITAL
l A. E . B apti sta es to R. AfonsoSISTE
M
AS DE PRO
CESSAME
N
TO DIGITAL
Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. AfonsoProcedimento: Converte- se a imagem de RGB para o sistema de cores HSI (Hue, Saturation,
Intensity) mais adequado. Opera- se individualmente sobre cada uma das componentes e no final,
converte- se novamente para RGB.
Transformações sobre a
componente
Intensidade
(idêntica às imagens de
cinzentos):
High-boost
Transformações sobre a
componente
Saturação.
Para obter cores mais “vivas”
multiplica-se por um factor
maior que 1.
S = 2 × S
Transformações sobre a componente Cor.. Somar ou subtrair uma constante tem o efeito de alterar a
temperatura (mais ou menos vermelho) nas cores da imagem.
SISTE
M
AS DE PRO
CESSAME
N
TO DIGITAL
l A. E . B apti sta es to R. AfonsoRestauração de Imagens
Modelo de degradação
f(x,y)
h(x,y)
g(x,y)
n(x,y)
Σ
SISTE
M
AS DE PRO
CESSAME
N
TO DIGITAL
Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonso
Modelo de degradação variante no domínio
espacial
Modelo de degradação invariante no domínio
espacial
Representação no domínio da frequência
( , )
( , , , ) ( , )
( , )
g x y
=
∑∑
h x y m n f m n
+
η
x y
( , )
(
,
) ( , )
( , )
g x y
=
∑∑
h x m y n f m n
−
−
+
η
x y
( , )
( , ) ( , )
( , )
G u v
=
H u v F u v
+
N u v
SISTE
M
AS DE PRO
CESSAME
N
TO DIGITAL
l A. E . B apti sta es to R. Afonso
A maioria dos tipos de ruído são
modelados através de funções de
distribuição de probabilidade (fdp)
conhecidas.
O modelo para o ruído é escolhido
baseado no conhecimento físico da
fonte de ruído.
Gaussian: fraca iluminação.
Rayleigh: gama da imagem.
Gamma, Exponencial: imagem laser.
Impulse: comutações indesejáveis
durante a aquisição.
A fdp Uniforme é a menos usada.
Os parâmetros das fdp podem ser
estimados a partir do histograma de
uma pequena zona uniforme da
imagem.
SISTE
M
AS DE PRO
CESSAME
N
TO DIGITAL
Manue l A. E . B apti sta Ern es to R. Afonsof(x,y)
Modelo de
degradação
f(x,y)
Filtro
Restaurador
• Filtro Inverso
• Filtro Pseudo-inverso
• Filtro Wiener
Modelo de restauração
SISTE
M
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CESSAME
N
TO DIGITAL
l A. E . B apti sta es to R. Afonso
Imagem tremida:
Devido a movimentação rápida
da câmara ou do objecto.
Interferência da turbulência
atmosférica: