UNIVERSIDADEFEDERAL DOPARÁ
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
DEPARTAMENTO DE PESQUISA
PROGRAMAINSTITUCIONAL DEBOLSAS DE INICIAÇÃOCIENTÍFICA - PIBIC
CNPQ E PIBIC UFPA
RELATÓRIOTÉCNICO- CIENTÍFICO
Período: Fevereiro/2015 a Julho/2015 ( )PARCIAL
(X)FINAL
IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO
Título do Projeto de Pesquisa (ao qual está vinculado o Plano de Trabalho): QUAN -TIZAÇÃO DE CAMPOS EM ESPAÇOS-TEMPOS CURVOS E MODELOS ANÁLOGOS
Nome do Orientador: LUÍSCARLOSBASSALO CRISPINO
Titulação do Orientador: DOUTOR
Faculdade: FÍSICA
Unidade: ICEN
Laboratório: FÍSICA- PESQUISA
Título do Plano de Trabalho: PROPRIEDADES FÍSICAS DE BURACOS NEGROS E MODELOS ANÁLOGOS
Nome da Bolsista: AMANDALIMA DEALMEIDA
Tipo de Bolsa: (X) PIBIC/CNPQ
( ) PIBIC/UFPA ( ) PIBIC/INTERIOR ( ) PIBIC/FAPESPA ( ) PARD
( ) PARD - renovação
Sumário
1 Resumo do relatório anterior 3
2 Introdução 3 3 Justificativa 4 4 Objetivos 4 5 Materiais e métodos 5 6 Resultados 5 7 Atividades Programadas 5 8 Conclusão 5 9 Dificuldades 7 10 Parecer do orientador 8 2
1 Resumo do relatório anterior
No relatório anterior obtivemos duas das soluções das equações de Einstein. Em uma das soluções, consideramos uma configuração esférica composta por um fluido perfeito. A partir das equações de Einstein, obtemos uma solução que des-creve o interior da configuração (que chamamos de estrela). A segunda solução, conhecida por solução de Reissner-Nordström, é uma solução cuja fonte de gra-vitação também é fonte de campo eletrostático.
2 Introdução
Em 1905, o físico Albert Einstein publicou um artigo intitulado “Sobre a Ele-trodinâmica dos Corpos em Movimento", que, entre outras coisas, explorou a in-consistência das transformações de Galileu com o eletromagnetismo de Maxwell. Naquele artigo de 1905, consolidou-se o que hoje é conhecida como Relati-vidade Restrita (RR) que, entre outras coisas, mostra uma nova transformação de coordenadas entre sistemas inerciais que mantêm o eletromagnetismo invariante e, a baixas velocidades, reduz-se às transformações de Galileu. Nesse mesmo ar-tigo, Einstein também apresentava noções de espaço e tempo diferentes daquelas propostas por Galileu Galilei e Isaac Newton. Entretanto, sua teoria era tida como incompleta pois não conseguia descrever de maneira adequada os fenômenos gra-vitacionais. A teoria newtoniana para o campo gravitacional previa que a força gravitacional atuava instantaneamente à distância em corpos massivos, contrari-ando o segundo postulado da RR.
Em 1915, Einstein então finalizou sua teoria para o campo gravitacional, que ficou conhecida como Relatividade Geral (RG). Essa teoria descrevia a gravidade como uma consequência da curvatura do espaço-tempo, devido à presença de ma-téria. Além de vários fenômenos previstos por essa teoria, é válido destacar a possibilidade da existência de regiões no espaço-tempo nas quais o campo gravi-tacional seria tão intenso que nem mesmo a luz seria capaz de escapar destas re-giões. A fronteira dessas regiões de não-retorno (ou de aprisionamento) para a luz é conhecida na literatura por horizonte de eventos. A presença de um horizonte de eventos é uma característica chave dos espaços-tempos de Buracos Negros. Bu-racos Negros são objetos de extrema importância para a RG e o estudo de suas propriedades e de sua origem será um dos objetivos principais dessa Iniciação Científica.
3 Justificativa
A Relatividade Geral, desde a sua proposição, tem sido uma ferramenta fun-damental para a correta explicação de fenômenos já conhecidos (que não eram passíveis de serem explicados corretamente pela teoria da gravitação newtoniana) e para a previsão de novos fenômenos. O espaço-tempo que interage dinamica-mente com a quantidade de matéria e energia nele contida, lentes gravitacionais, buracos negros e arrasto de referenciais são apenas algumas das consequências previstas por essa teoria.
A elaboração de uma teoria que concilie a Mecânica Quântica com a Relativi-dade Geral se torna essencial. Fenômenos como os ocorridos nos instantes iniciais do Universo e na vizinhança de buracos negros seriam melhor entendidos com a elaboração desta nova teoria. A busca por uma teoria fundamental que explique tais fenômenos esbarra na dificuldade de descrever a física no regime da escala de Planck (o comprimento de Planck é da ordem de 10−35m). Neste sentido, o
pro-jeto de iniciação científica em questão caminha para o entedimento de uma teoria semiclássica da gravitação, válida no limite de baixas energias, a chamada Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos. A Teoria Quântica de Cam-pos em Espaços-TemCam-pos Curvos, mesmo sendo uma teoria efetiva válida para o limite de baixas energias, tem revelado efeitos importantes para o entedimento de processos quânticos que ocorrem em espaços-tempos curvos, dentre esses efeitos podemos citar, e.g., os efeitos Hawking e Fulling-Davies-Unruh.
No que diz respeito ao projeto em pauta, será dada ênfase aos estudos da teoria da Relatividade, suas aplicações e propriedades físicas de buracos negros e modelos análogos.
4 Objetivos
Entre os objetivos básicos deste plano de trabalho, destacamos um de caráter geral e outro de caráter específico. O primeiro, de caráter geral, refere-se ao ob-jetivo primeiro de qualquer projeto de Iniciação Científica, qual seja, a formação geral do estudante, introduzindo-o não somente ao método científico de trabalho, mas também consolidando conceitos de física básica e avançada.
O segundo, de caráter específico, é o estudo da Relatividade Restrita e Geral, bem como suas aplicações e implicações. Para tanto, requer-se um estudo de-talhado das ferramentas matemáticas necessárias para o estudo e análise dessas teorias.
A monografia que acompanha este relatório trata de três soluções das equações de Einstein. Uma solução diz respeito a solução de uma estrela, outra diz respeito a uma solução cuja fonte de gravitação também é fonte de um campo eletrostático
e a terceira diz respeito a uma solução para um buraco negro girante.
5 Materiais e métodos
Em se tratando de uma área essencialmente teórica, a metodologia utilizada se baseia principalmente no estudo de livros e artigos científicos. Paralelamente a isso, reuniões semanais individuais com o orientador e reuniões com o grupo de Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos da UFPA tem sanado as dúvidas da bolsista. Destaca-se também a ajuda que a estudante de Iniciação Científica recebeu por parte da aluna de doutorado Carolina Loureiro Benone, também orientada pelo Prof. Dr. Luís Carlos Bassalo Crispino.
6 Resultados
Os resultados obtidos até aqui pela bolsista envolvem desde o estudo das equa-ções de Einstein algumas de suas soluequa-ções, como já foi comentado em seequa-ções anteriores. Em anexo a este relatório consta uma monografia com os resultados detalhados obtido pela bolsista.
7 Atividades Programadas
Prosseguindo os estudos da Teoria da Relatividade, será dada ênfase ao estudo de estrelas no contexto da Relatividade Geral e como isso pode levar a formação de buracos negros.
8 Conclusão
Os estudos feitos no período deste relatório e o prosseguimento da graduação da bolsista foram de extrema relevância para a compreensão do que foi solicitado pelo orientador e garantiu o bom andamento das atividades.
Sendo assim, acredita-se que os objetivos pretendidos foram alcançados de maneira satisfatória.
Referências
[1] M. P. Hobson, G. Efstathiou e A. N Lasenby. General Relativity: An intro-duction for physicists, Cambridge University Press (2006).
[2] H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, H. Weyl e A. Sommerfeld. O Princípio da Relatividade [tradução de Mário José Saraiva, Fundação Ca-louste Gulbenkian] (1983).
[3] B. F. Schutz. Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press (1980).
[4] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler. Gravitation, W. H Freeman and Company (1973).
[5] B. F. Schutz. A First Course in General Relativity, Cambridge University Press (2009).
[6] S. M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relati-vity, Addison Wesley (2004).
[7] R. M. Wald. General Relativity, The University of Chicago Press (1984).
9 Dificuldades
As principais dificuldades enfrentadas decorreram da complexidade da teoria e al-guns de conceitos específicos do assunto estudado. Essas dificuldades acontecem porque a bolsista está no quarto ano de graduação e ainda está adquirindo alguns conhecimentos necessários. As reuniões semanais com o orientador e o auxílio de membros mais antigos do grupo têm sido de muito importantes para sanar as eventuais dúvidas e dificuldades que têm aparecido.
10 Parecer do orientador
Esta etapa do projeto de iniciação científica da aluna Amanda Lima de Almeida foi desenvolvida a contento. A bolsista continua tendo certa dificuldade em reali-zar algumas das atividades propostas no tempo estabelecido, devido, acredito eu, ao seu envolvimento com as atividades do curso de graduação, além de outros fa-tores. A monografia, ao final deste relatório, mostra parte dos assuntos estudados pela bolsista. Embora esta monografia pudesse ser melhorada, a mesma denota que a bolsista dedicou-se à iniciação cientíica.
DATA: 10/08/2015
LUÍS CARLOS BASSALO CRISPINO
AMANDA LIMA DE ALMEIDA
UNIVERSIDADEFEDERAL DOPARÁ
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
DEPARTAMENTO DE PESQUISA
PROGRAMAINSTITUCIONAL DEBOLSAS DE INICIAÇÃOCIENTÍFICA - PIBIC
CNPQ E PIBIC UFPA
MONOGRAFIA
E
XEMPLOS DE
S
OLUÇÕES DAS
E
QUAÇÕES
DE
E
INSTEIN
: S
OLUÇÃO DE UMA
C
ONFIGURAÇÃO
E
STELAR
, S
OLUÇÃO DE
R
EISSNER
-N
ORDSTRÖM E
S
OLUÇÃO DE
K
ERR
Aluna: Amanda Lima de Almeida
Sumário
Introdução 3
1 Relatividade Geral 5
1.1 Espaços-tempos esfericamente simétricos . . . 6
2 Elemento de linha de uma estrela Relativística 9
3 A solução de Reissner-Nordström 15
4 A solução de Kerr 19
4.1 Tétradas nulas . . . 20 4.2 O algoritmo de Newman-Janis . . . 21
Conclusão 24
A Rotina para a criação da Figura 2.1 25
Introdução
Em 1905, Albert Einstein formulou a que hoje é conhecida como Relatividade Restrita. Esta estabelecia um limite de propagação para qualquer tipo de informa-ção, entrando em contradição com a ação instantânea à distância que a gravitação de Newton assumia. Esta teoria foi confirmada através de vários experimentos, entretanto ela não incorpora fenômenos gravitacionais. Einstein então se propôs a formular uma teoria de gravitação que incorporasse os elementos da Relatividade Restrita. Foi em 1915 que Albert Einstein publicou o artigo que inaugurava a Relatividade Geral [1].
Desde sua formulação, a Relatividade Geral vem passando por testes expe-rimentais e os resultados têm se mostrado bastante favoráveis aos previstos pela teoria. Um dos experimentos mais famosos relacionados a esta teoria foi o lidera-do por Sir Arthur Stanley Eddington [2]. Em 1919, Eddington procurou medir se, de fato, haveria o encurvamento dos raios luminosos na presença de um campo gravitacional, de acordo com o previsto pela teoria de Einstein. Os resultados eram compatíveis com o previsto pela Relatividade Geral e, a partir de então, esta teoria passou a ser amplamente difundida na Academia.
A primeira solução das equações de Einstein foi obtida em 1916 por Karl Schwarzschild. Essa solução descreve um espaço-tempo externo a uma confi-guração esférica de matéria no vácuo. A importância dessa solução se dá não somente pelo seu caráter inaugural, mas também porque anos depois percebeu-se a possibilidade de essa solução descrever o que hoje se conhece como buracos negros. Buracos negros são objetos astrofísicos caracterizados por um horizonte de eventos, i.e., uma fronteira de não retorno para qualquer objeto, até mesmo um raio luminoso, que esteja no interior desta fronteira. Esses objetos são em geral formados a partir de um colapso estelar. Acredita-se que o colapso estelar é ini-ciado quando a razão da massa pelo raio da estrela excede um limite1, chamado
de limite de Buchdahl, chegando à uma configuração que não consegue se manter estável, levando à provável formação de um buraco negro. Uma discussão mais detalhada sobre o limite de Buchdahl será feita nesse trabalho.
1Este limite é válido para estrelas esfericamente simétricas e estáticas ou com baixa rotação, já
A solução de Schwarzschild descreve uma solução para o vácuo. Neste traba-lho, consideraremos uma configuração esférica de matéria com densidade cons-tante e usaremos as equações de Einstein para obter o elemento de linha gerado internamente à estrela. Em seguida, consideraremos uma configuração com carga eletrostática total não nula e obteremos sua solução. Feito isso, introduziremos o formalismo de tétradas nulas para obter a solução de Kerr a partir de uma trans-formação complexa, partindo do elemento de linha de Schwarzschild.
Capítulo 1
Relatividade Geral
A Relatividade Geral é a teoria relativística de gravitação proposta por Albert Einstein que incorpora os elementos da teoria da Relatividade Restrita. A Relati-vidade Geral é caracterizada pelas equações de Einstein e estas, por sua vez, são dadas por1
Rµν −
1
2Rgµν = 8πGTµν,
sendo Rµν o tensor de Ricci, R o escalar de curvatura (ou escalar de Ricci), gµν a
métrica, G a constante universal de Newton e Tµν o tensor momento-energia. No
entanto, é mais comum escrever as equações de Einstein em termos do tensor de Einstein, dado por
Gµν = Rµν−
1
2Rgµν. (1.1)
As equações se reduzem então à sua forma mais conhecida
Gµν = 8πGTµν. (1.2)
O tensor de Einstein é um tensor simétrico de segunda ordem que carrega as informações a respeito da geometria do espaço-tempo. Isso se dá porque, além de incorporar a métrica, tanto o tensor de Ricci quanto o escalar de Ricci também contêm derivadas dela. Já o tensor momento-energia contém informações sobre a energia e o momento do objeto ou sistema em estudo. A primeira solução exata desse conjunto de equações foi obtida em 1916 por Karl Schwarzschild. Nessa solução, é descrito um espaço-tempo exterior a uma distribuição de matéria está-tica e esfericamente simétrica no vácuo. O elemento de linha que descreve esse espaço-tempo é dado por
ds2 =− 1− 2GM r dt2+ 1− 2GM r −1 dr2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2, (1.3)
sendo M a massa do objeto fonte de gravitação.
Para o caso de uma estrela relativística esfericamente simétrica, o elemento de linha externo ao raio da estrela também é descrito pela expressão (1.3). Contudo, para obter uma solução na região interna da estrela é necessário incluir a equação de estado da estrela e seu respectivo tensor momento-energia, o que será feito no Capítulo 2.
1.1 Espaços-tempos esfericamente simétricos
Ao longo deste trabalho, trabalharemos com a solução de dois espaços-tempos esfericamente simétricos. Isso significa que, por mais que se tratem de espaços-tempos diferentes, o tratamento dado à parte geométrica é muito semelhante, por-que os dois podem ser descritos a partir de um mesmo elemento de linha genérico. Portanto, nessa seção encontraremos as componentes necessárias para a constru-ção do tensor de Einstein nestas condições. Para tal, partiremos de um elemento de linha geral que represente um espaço-tempo esfericamente simétrico e estático
2.
Um elemento de linha genérico pode ser escrito como3
ds2 = gµνdxµdxν, (1.4)
sendo gµν as componentes da métrica. A métrica, por sua vez, torna possível
definir distâncias em uma variedade [4].
Queremos então um elemento de linha que represente um espaço-tempo esfe-ricamente simétrico e estático. Um elemento de linha com esta simetria pode ser escrito na forma [5]
ds2 =−e2ν(r)dt2+ e2λ(r)dr2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2, (1.5) sendo ν(r) e λ(r) duas funções a determinar, as quais só dependem da coordenada radial.
A partir do elemento de linha (1.5) calcularemos as componentes do símbolo de Christoffel. O símbolo de Christoffel, escrito em termos da métrica, é dado por [6]
Γναµ = 1 2g
ρν(∂
µgαρ+ ∂αgρµ− ∂ρgµα), (1.6)
2Adotamos uma notação na qual nosso sistema de coordenadas é representado por xα, com α
podendo assumir valores inteiros entre 0 e 3. Nessa convenção, a componente 0 do sistema de coordenadas será associada à coordenada temporal e os demais valores representarão coordenadas espaciais.
3Neste trabalho utilizaremos a convenção da soma de Einstein. Isso significa que sempre que
houver índices covariantes e contravariantes repetidos o somatório fica subentendido.
sendo ∂µ≡
∂ ∂xµ.
A partir da relação (1.6), é possível encontrar as componentes dos símbolos de Christoffel em termos das componentes da métrica presentes no elemento de linha (1.5). As componentes não nulas do símbolo de Christoffel são dadas por4
Γ0 01 = ν0 Γ100 = e2(ν−λ)ν0 Γ111 = λ0 Γ2 12 = 1 r Γ 1 22 = −re−2λ Γ313 = 1 r Γ1
33 = −re−2λsin2θ Γ233 = − sin θ cos θ Γ323 =
cos θ sin θ, onde o símbolo0 indica derivada com respeito à coordenada radial.
O próximo passo é então calcular as componentes do tensor de Riemann, para daí então calcular as componentes do tensor de Ricci. O tensor de Riemann é definido pela seguinte expressão
Rβµνα = ∂µΓανβ− ∂νΓαβµ+ Γ ρ
βνΓαρµ− Γ ρ
βµΓαρν. (1.7)
Já o tensor de Ricci é definido como sendo o traço do tensor de Riemann do primeiro com o terceiro índice, i.e., Rµν = Rαµαν. As componentes não nulas do
tensor de Ricci são dadas por
R00 = e2(ν−λ)[ν00+ ν02− ν0λ0 + 2 rν 0], (1.8) R11 = −ν00− ν02+ ν0λ0+ 2 rλ 0, (1.9) R22 = e−2λ[r(λ0 − ν0)− 1] + 1, (1.10) R33 = sin2θR22. (1.11) (1.12) O escalar de curvatura, por sua vez, é dado pelo traço do tensor de Ricci, definido como R = gµνR
µν. No caso em estudo, o escalar de curvatura pode ser escrito
como
R = 2e
−2λ −1 + e2λ+ r ((λ0 − ν0) (2 + rν0)− rν00)
r2 . (1.13)
Agora que temos todos os elementos, é possível obter as componentes do ten-sor de Einstein. As componentes não nulas do tenten-sor de Einstein, calculadas a 4O símbolo de Christoffel possui simetria nos seus índices inferiores. Isso significa que o
partir da Eq. (1.1), são G00 = e−2λ+2ν −1 + e2λ+ 2rλ0 r2 , (1.14) G11 = 1− e2λ+ 2rν0 r2 , (1.15) G22 = e−2λr(−(λ0− ν0)(1 + rν0) + rν00), (1.16) G33 = sin2θG22. (1.17)
Nos capítulos que se seguem, usaremos as componentes do tensor de Eins-tein juntamente com as componentes do tensor momento-energia para encontrar as funções λ(r) e ν(r), que descrevem o espaço-tempo considerado em cada ca-pítulo.
Capítulo 2
Elemento de linha de uma estrela
Relativística
Conforme já foi mencionado nesta monografia, a solução de Schwarzschild des-creve o espaço-tempo externo a uma distribuição de matéria esfericamente simé-trica no vácuo. Nesse capítulo descreveremos o espaço-tempo interior de uma dis-tribuição de matéria com simetria esférica e com densidade constante. Esse tipo de solução é de grande interesse em Astrofísica, pois é uma solução que se apro-xima da descrição de uma estrela. Entretanto, para encontrar uma descrição para o espaço-tempo de uma estrela é preciso encontrar um tensor momento-energia que descreva o conteúdo de matéria e energia dessa estrela.
O tensor momento-energia carrega informações acerca do conteúdo de maté-ria e energia de uma dada configuração. A configuração que será considerada nesse capítulo é a de uma distribuição esférica de matéria constituída por um fluido perfeito. Um fluido perfeito é aquele que não oferece resistência à for-ças de cisalhamento, que não conduz calor e possui viscosidade nula [7]. Como essa configuração de massa (que a partir de agora será chamada de estrela) será modelada a partir de uma configuração de fluido perfeito, então é necessário obter o seu respectivo tensor momento-energia. Para tal, partiremos da configuração mais simples de matéria que se conhece. Esse tipo de configuração é chamada de poeira e sua principal característica é que não há qualquer tipo de interação entre as partículas. A caracterização desse tipo de configuração se dá apenas pela quadrivelocidade das partículas, a saber1
uµ= dx
µ
dτ , (2.1)
1Ao longo desde trabalho o símbolo τ será usado para se referir ao tempo próprio. O tempo
próprio é o tempo medido por um observador no referencial de repouso do centro de massa do sistema.
e da densidade própria ρ em cada posição. Com essas duas quantidades é possível construir um tensor simétrico de segunda ordem, dado por
Tµν = ρuµuν. (2.2)
O próximo passo é generalizar essa definição para um fluido perfeito, o qual também pode ser caracterizado pela quadrivelocidade e densidade própria. Entre-tanto, para caracterizar um fluido perfeito ainda é necessário adicionar um campo que descreva a pressão em cada ponto do fluido. Portanto, espera-se que esse tensor momento-energia tenha uma forma do tipo
Tµν = ρuµuν + pSµν. (2.3)
Ao tensor Sµν queremos associar quantidades que sejam relacionadas ao fluido.
Então, consideraremos novamente a quadrivelocidade e a métrica para construir um tensor de segunda ordem simétrico da forma
Sµν = λuµuν + µgµν. (2.4)
Nos resta agora determinar as constantes λ e µ. Para isso, usamos o fato de que a divergência do tensor momento-energia deve ser nula, i.e., ∇µTµν = 0, sendo
∇µ a derivada covariante [6]. Na Relatividade Especial, a divergência do tensor
momento-energia de poeira, dado pela Eq. (2.2), nos leva à equação da continui-dade e à equação da Navier-Stokes [6]. Como queremos que o tensor momento-energia de um fluido perfeito, dado pela Eq. (2.3), no limite em que a pressão seja nula se reduza ao tensor momento-energia de poeira, então é necessário escolher as constantes λ e µ de modo a garantir este limite. Uma boa escolha para estas constantes é λ = 1 e µ = 1, de forma que o tensor momento-energia toma a forma Tµν = (p + ρ)uµuν + pgµν (2.5) ou, na forma covariante,
Tµν = (p + ρ)uµuν+ pgµν, (2.6)
onde é possível notar que, quando p = 0, esta nada mais é do que a Eq. (2.2). Sabendo a forma do tensor momento-energia, é possível escrever as equações de campo com o intuito de encontrar a métrica que descreve esse espaço-tempo. Para tal, consideraremos que o fluido está em repouso no espaço-tempo descrito pelo elemento de linha (1.5). Desta forma, sua quadrivelocidade normalizada pode ser escrita como
uµ= (eν(r), 0, 0, 0),
e, portanto, o tensor momento-energia se torna diagonal, exatamente como as componentes do tensor de Einstein (cf. Eqs. (1.14) − (1.17)).
Considerando as Eqs. (1.14)-(1.17) e igualando as respectivas componentes do tensor momento-energia obtidas a partir da Eq. (2.6), o sistema de três2equações
obtidas a partir da Eq. (1.2), já simplificado, é dado por e−2λ −1 + e2λ+ 2rλ0 r2 = 8πGρ, (2.7) e−2λ r2 1− e 2λ+ 2rν0 = 8πGp, (2.8) e−2λ r [(ν 0− λ0)(1 + rν0) + rν00] = 8πGp. (2.9)
Para resolver esse sistema de equações, introduziremos uma função auxiliar m(r). Essa função é definida por
m(r)≡ r
2G(1− e
−2λ), (2.10)
e, portanto, podemos reescrever e−2λem termos da função auxiliar como
e2λ= 1− 2Gm(r) r −1 . (2.11)
A derivada de m(r) é dada por dm(r)
dr =
1
2G 1− 2rλ
0e−2λ− e−2λ. (2.12)
Vemos a semelhança entre o lado direito da Eq. (2.12) e o lado esquerdo da Eq. (2.7).
Desta forma, a Eq. (2.7) pode ser reescrita em termos da função auxiliar (2.10) como
dm
dr = 4πr
2ρ (2.13)
ou, escrita em termos de uma integral, como Z
dm = Z
4πr2ρdr. (2.14)
Essa expressão parece estar associada à quantidade de matéria contida em uma esfera de raio r e esta muito se parece com uma expressão newtoniana. Deve-mos lembrar que, no contexto da Relatividade Geral, a massa dada em terDeve-mos
2Como a componente G
33 nada mais é do que uma função de G22, então ela não acarreta
de um volume invariante, i.e., o volume medido por um observador no referen-cial de repouso da estrela, deveria conter informações do determinante da métrica [8]. Logo, podemos interpretar a Eq. (2.14) como sendo a massa medida por um observador muito afastado da fonte.
Podemos reescrever a Eq. (2.8) em termos da função auxiliar (2.10), a saber: dν
dr =
Gm(r) + 4πGr3p
r(r− 2Gm(r)) . (2.15)
A partir da divergência do tensor momento-energia ∇µTµν = 0, encontramos a
relação
−(ρ + p)dν dr =
dp
dr. (2.16)
Substituindo a Eq. (2.15) na Eq. (2.16) obtemos dp
dr =−
(ρ + p)Gm(r) + 4πGr3p
r(r− 2Gm(r)) , (2.17)
que é a chamada de equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff ou TOV. Essa equa-ção descreve o equilíbrio hidrostático e, para resolvê-la, é necessário uma equaequa-ção de estado que relacione a pressão e a densidade. Apesar de ainda não possuirmos esta expressão, se assumirmos que p = p(ρ) então é possível integrar a Eq. (2.17). É importante destacar que, em modelos mais complexos, dificilmente temos uma expressão analítica para a densidade e, portanto, uma equação de estado é normal-mente usada, uma vez que equações de estado nos fornecem todas as informações sobre as variáveis termodinâmicas do sistema. É importante destacar também que a densidade presente na Eq. (2.17) é a densidade contida no volume da estrela delimitada pelo raio r0, o que significa que estamos adotando um modelo do tipo
ρ(r0) =
ρ, para r6 R
0, para r > R, (2.18)
sendo R o raio da estrela. A função auxiliar m(r0) e a densidade ρ estão
relaci-onadas pela expressão (2.13). Sendo assim, é possível definir essa função m(r0)
para todos os valores de R (inclusive para além do raio R da estrela), a saber m(r0) = 4 3πr03ρ, para r6 R 4 3πR 3ρ, para r > R. (2.19)
Como queremos que a solução seja regular em todos os pontos da estrela, então definiremos os limites de integração para a variável p de 0 (borda da estrela) até uma pressão qualquer P . Já a variável r, integraremos do raio da estrela R até um raio interno r0. Integrando a Eq. (2.17) obtemos
p = ρ R√R− 2GM −√R3− 2GMr02 √ R3− 2GMr02− 3R√R− 2GM . (2.20) 12
Com isso, a partir da Eq. (2.9) encontramos que e2ν = " 3 2 1− 2Gm(r) R 1/2 − 1 2 1− 2Gm(r)r 2 R3 1/2#2 . (2.21)
Substituindo (2.11) e (2.21) em (1.5) o elemento de linha pode ser escrito como
ds2 = " 3 2 1− 2Gm(r) R 1/2 − 1 2 1− 2Gm(r)r 2 R3 1/2#2 dt2+ (2.22) + 1−2Gm(r) r −1 dr2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2, que é o elemento de linha para uma estrela relativística.
Como esperado para uma solução de distribuição de pressão de uma estrela, dada pela Eq. (2.20), a solução é regular em r = 0. Entretando, é possível perce-ber que a pressão dentro da estrela em p(r = 0) é infinita quando MB =
4 9GR, e este é chamado de limite de Buchdahl [9]. Na Figura 2.1 mostra-se o compor-tamento da pressão em função do raio. Se a estrela atingisse esse valor de massa
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.1 10 1000 r/R P Ρ M = 0.1 R M = 0.2 R M = 0.3 R M = 0.4444 R
Figura 2.1: Gráfico que mostra o comportamento da pressão, dada pela Eq. (2.20) para diferentes valores de M. Para obter estes valores, definimos G = 1.
seria necessário um valor de pressão infinito para manter a configuração estável e, portanto, esta possivelmente se tornaria um buraco negro, de acordo com o teo-rema de Buchdahl. Apesar de termos partido de um caso particular, espera-se que
o limite de Buchdahl seja válido não somente para estrelas de densidade constante, mas para quaisquer tipos de estrela com raio fixo. Digno de nota é que, no limite em que m(r) → M, sendo M a massa total da estrela, e R → r a solução recai no elemento de linha da Eq. (1.3), que é o elemento de linha de Schwarzschild.
Capítulo 3
A solução de Reissner-Nordström
Nesse capítulo será analisada a solução de Reissner-Nordström, que também é uma solução estática e esfericamente simétrica. Consideraremos que a fonte gra-vitacional também é fonte de um campo eletrostático e, portanto, diferente da solução de Schwarzschild, o tensor momento-energia já não pode mais ser consi-derado nulo já que há a contribuição de energia do campo eletrostático.Para encontrar o tensor momento-energia do campo eletromagnético, parti-remos do princípio de que, na teoria eletromagnética clássica, a densidade de energia, em unidades gausseanas, do campo eletromagnético é dada por [10]
ρ = 1 8(E
2+ B2), (3.1)
sendo E e B o módulo do campo elétrico e magnético, respectivamente. O tensor de Maxwell Fµν aparece quando condensamos o campo elétrico e o campo
mag-nético em um único tensor antissimétrico de segunda ordem. Em termos do tensor de Maxwell, as equações de Maxwell se reduzem a [5]
∇µFµν = jν, (3.2)
∇αFµν+∇νFαµ+∇νFαµ = 0, (3.3)
sendo jν o quadrivetor densidade de corrente. Este é um quadrivetor cuja primeira
componente é a densidade de carga e as demais componentes são compostas pela densidade de corrente do campo eletromagnético, i.e., jν = (ρ, j
x, jy, jz).
É possível também reescrever o tensor de Maxwell em termos de potenciais. Definiremos o quadripotencial em termos do potencial escalar φ e do potencial vetor ~A, i.e.,
Aµ= (φ, A
x, Ay, Az). (3.4)
Em termos do quadripotencial, o tensor de Maxwell é escrito como
O tensor momento-energia associado ao caso que estamos estudando deve ser um tensor de segunda ordem simétrico cuja componente T00seja a expressão (3.1).
Um tensor que cumpre todas essas exigências é dado pela expressão [7] Tµν = 1 4π FµρFνρ− 1 4gµνFαβF αβ . (3.6)
De fato, este é o tensor momento-energia do campo eletromagnético da confi-guração que estamos estudando. Faremos a seguir um procedimento semelhante ao feito no Capítulo 2 e, para isso, utilizaremos as componentes não nulas do tensor de Einstein dadas pelas Eqs. (1.14)-(1.17).
Como estamos em princípio tratando de uma distribuição esfericamente si-métrica de carga eletrostática, então espera-se que seja um campo eletrostático com simetria polar e azimutal. Portanto, as componentes não nulas do tensor de Maxwell são F01 = −F10 = E(r). Daí, as componentes não nulas do tensor
momento-energia dadas pela Eq. (3.6) são dadas por T00 = 1 8πe −2λE(r)2, (3.7) T11 = − 1 8π 1 2e −2νE(r)2 , (3.8) T22 = 1 8π 1 2e −2(λ+ν)r2E(r)2 , (3.9) T33 = T22sin2θ. (3.10)
O passo seguinte é descobrir qual a forma para o campo eletrostático E(r). Para isto, reescreveremos a divergência de Fµν da seguinte forma [11]
∇µFµν = 1 p |g|∂µ( p |g|Fµν) = 0.
Daí temos que para a componente F10
∂r[r2e2(ν+λ)E(r)] = 0 (3.11)
e, portanto, a quantidade entre colchetes é uma constante que denotaremos por k. Logo o campo elétrico tem a forma
E(r) = k
e2(ν+λ)r2. (3.12)
O traço do tensor momento-energia eletromagnético, i.e., gµνTµν, é nulo e,
portanto, rescreveremos as equações de Einstein de uma maneira diferente a da 16
Eq. (1.1) de modo a facilitar a resolução do sistema de equações que virá a apare-cer.
Escrevendo as equações de Einstein na forma mista, temos que Rµα− 1 2δµ αR = 8πGT µα, (3.13) sendo δα
µ a delta de Kronecker, definida como
δµα =
1, se µ = α
0, se µ 6= α. (3.14)
Tomando o traço da Eq. (3.13) obtemos que R = −8πGT e, portanto, podemos reescrever as equações de Einstein na forma
Rµν = 8πG(Tµν −
1
2gµνT ). (3.15)
A vantagem de escrever as equações de Einstein da forma (3.15) é que, sendo o traço do tensor momento-energia nulo, basta resolver
Rµν = 8πGTµν. (3.16)
É possível manipular as componentes T00e T11do tensor momento-energia, de tal
forma que
e2λT00+ e2νT11= 0. (3.17)
Então, das Eqs. (1.8)e (1.9), isso resulta que
e2λR00+ e2νR11= 0. (3.18)
Da Eq. (3.18) encontramos que
λ + ν = k1, (3.19)
sendo k1 uma constante de integração. Entretanto, essa constante de integração
pode ser escolhida de tal forma que o elemento de linha que estamos procurando recaia no elemento de linha de Schwarzchild em algum limite específico. Por ora, escolheremos esta constante sendo nula, i.e.,
λ + ν = 0 (3.20)
e veremos se isso trará algum problema ao tentar retomar o espaço-tempo de Schwarzschild.
Para a equação de R22 = 8πGT22, temos a expressão, já simplificada, ∂r e2νr = 1− 1 2 Gk2 r2 . (3.21)
Integrando a expressão (3.21) encontramos que
e2λ = 1 + k2 r + 1 2 Gk2 r2 , (3.22)
sendo k2 uma constante de integração. Escolhendo esta como sendo k2 =−2M,
podemos reescrever a expressão (3.22) como
e2λ= 1−2GM r + 1 2 Gk2 r2 . (3.23)
Nos resta agora interpretar o significado da constante k, que veio da expressão (3.12) para o campo elétrico. Assumindo a relação (3.20), a Eq. (3.12) se reduz a
E(r) = k
r2. (3.24)
Percebe-se então que esta nada mais é do que a expressão para o campo de Cou-lomb e, portanto, a constante k nada mais é do que a carga total Q do sistema. No limite em que esta constante k é zero, teremos de volta o elemento de linha de Schwarzschild. Portanto, a interpretação de que a constante é a carga líquida total do sistema é completamente aceitável e o fato de eliminar a constante de integração k1 não acarretou demais problemas. Logo, o elemento de linha de
Reissner-Nordström pode então ser escrito como
ds2 = − 1− 2GM r + GQ2 r2 dt2+ 1−2GM r + GQ2 r2 −1 dr2 + + r2dθ2+ r2sin2θdφ2. (3.25) 18
Capítulo 4
A solução de Kerr
Em 1916 quando a solução de Schwarzschild foi encontrada, demorou-se um tempo até que a interpretação de que aquela representava a solução de um buraco negro estático e esfericamente simétrico fosse dada, porque até então considerava-se apenas como considerava-sendo solução de uma estrela. Mesmo que objetos astrofísicos cuja velocidade de escape fosse maior que a velocidade da luz já existissem no contexto da gravitação de Newton, as chamadas de estrelas negras, o estudo de buracos negros1só começou na década de 30 e se intensificou na década de 60.
Um buraco negro de Schwarzschild, pelas próprias características do espaço-tempo, é um buraco negro estático e com simetria esférica. Desde então, procurou-se um espaço-tempo que descrevesprocurou-se o espaço-tempo externo à um buraco negro girante. A primeira solução com esse tipo de característica foi obtida por Lense e Thirring em 1918 [12], no entanto é uma solução válida apenas no regime de baixas rotações. Uma solução exata das equações de Einstein para um buraco negro com rotação seria dada apenas em 1963 por Roy Patrick Kerr.
Neste capítulo mostraremos uma das formas de se obter a solução de Kerr. Para obtê-la, diferentemente do que foi feito nos capítulos anteriores, usaremos o algoritmo de Newman-Janes (NJ) para obter os coeficientes da métrica. Entre-tanto, já que o algoritmo de NJ não é um método direto2de obtenção dos
coefici-entes da métrica, investigaremos quais propriedades devemos esperar do elemento de linha que queremos.
Partindo do elemento de linha do espaço-tempo de Minkowski escrito em co-ordenadas cilíndricas, dado por
ds2 =−dt2+ dr2+ r2dθ2+ dz2, (4.1) 1Termo cunhado por John Wheeler apenas na década de 60.
2Isto é, não partiremos de um elemento de linha genérico onde os elementos da métrica são
faremos uma transformação de coordenadas tal que θ = θ0− ωt,
sendo ω a velocidade angular do eixo polar e θ0 a nova coordenada polar medida
em cada instante t. Em termos dessas novas coordenadas, o elemento de linha (4.1) se reduz à
ds2 = (r2ω2− 1)dt2+ dr2+ r2dθ02− 2r2ωdθ0dt. (4.2)
A principal característica que podemos destacar do elemento de linha (4.2) é que, nesse sistema de coordenadas, temos a presença do termo cruzado dθ0dt.
Outra característica que podemos perceber é que o elemento de linha (4.2) só se mantém invariante sob a inversão simultânea das coordenadas de θ0 → −θ0 e
t → −t.
O algoritmo de NJ consiste em fazer uma transformação complexa de coor-denadas das tétradas nulas do espaço-tempo de Schwarzschild para obter os ele-mentos da métrica de Kerr. Com o elemento de linha (4.2), já temos algumas das características que se manifestam quando consideramos rotação.
4.1 Tétradas nulas
Nesta seção apresentaremos de maneira breve o que virá a ser o formalismo das tétradas (ou vierbeins3) nulas. As tétradas formam uma base de quatro vetores
linearmente independente entre si. Representaremos uma tétrada da seguinte ma-neira:
eµ(a)=eµ(0), eµ(1), eµ(2), eµ(3),
sendo µ o índice tensorial que vai de 0 a 3 e o índice entre parêntesis (a) o que identifica os vetores que compoem a base e que, neste caso, também varia de 0 a 3. Em geral, o módulo das tétradas pode assumir quaisquer valores , entretanto, para o caso que iremos tratar, as tétradas cujas componentes possuem módulo nulo serão mais eficazes. O que queremos dizer é que queremos uma métrica tal que
eµ(a)eµ(b) = g(a)(b), (4.3)
sendo g(a)(b)a frame metric, i.e., a métrica que manipula os índices das tétradas.
Podemos encontrar a inversa da frame metric a partir da definição g(µ)(ν)g(µ)(α)= δ(α)(ν),
3Do alemão que significa "quatro pernas".
e a partir disso podemos perceber que
gµν = g(α)(β)e(α)µ e(β)ν . (4.4)
As relações (4.3) e (4.4) nos dizem que sempre é possível passar do sistema de coordenadas antigo para o sistema de coordenadas das tétradas.
Queremos construir um sistema de coordenadas
eµ(a)= (lµ, nµ, mµ, ¯mµ), (4.5) tal que as componentes lµ, nµ, mµe ¯mµpossuam módulo nulo, i.e.,
e(a)µ eµ(a)= 0 (4.6)
e também que satisfaça a condição
lµnµ=−mµm¯µ= 1. (4.7)
Temos então a frame metric como sendo
−g(0)(1) = g(3)(2) = 1, (4.8) e o restante das componentes nulas. Com isso, a partir da relação (4.4) e (4.8) é possível decompor a métrica em termos da tétradas escolhidas, i.e,
gµν =−lµnν − lνnµ+ mµm¯ν + mνm¯µ, (4.9)
ou, em termos das componentes contravariantes,
gµν =−lµnν − lνnµ+ mµm¯ν + mνm¯µ. (4.10)
4.2 O algoritmo de Newman-Janis
Para encontrar a solução de Kerr, partiremos do elemento de linha de Schwarzs-child dado por
ds2 =−f(r)dt2+ f (r)−1dr2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2, (4.11)
sendo
f (r) = 1− 2GM
r . (4.12)
Fazendo a mudança de coordenadas
obtemos
ds2 =−f(r)du2 − 2dudr + r2dθ2+ r2sin2θdφ2. (4.14) A partir do elemento de linha (4.14), podemos escolher as tétradas nulas desse sistema de coordenadas como sendo
lµ = (0, 1, 0, 0), (4.15) nµ = 1,−1 2f (r), 0, 0 , (4.16) mµ = √1 2r 0, 0, 1, i sin θ , (4.17) ¯ mµ = √1 2r 0, 0, 1,− i sin θ . (4.18)
Assumiremos a partir de agora que a coordenada r pode assumir valores com-plexos, portanto reescrevemos o elemento de linha (4.14) e as tétradas (4.15)– (4.18) em termos da nova variável r0 = r + ¯√ r
2 . Ao fazer essa mudança de coorde-nadas, temos uma nova f(r) → ˜f (r, ¯r)dada por
˜
f (r, ¯r) = 1− 2GM
|r| , (4.19)
sendo |r| o módulo de r. O passo seguinte é fazer a seguinte mudança de coorde-nadas nas tétradas
u = u0− ai sin θ, r = r0+ ai cos θ.
Ao fazer essa mudança de coordenadas, obtemos as seguintes tétradas
l0µ = (0, 1, 0, 0), (4.20) n0µ = 1,−1 2f , 0, 0˜ , (4.21) mµ = √ 1 2(r0+ ai cos θ) 0, 0, 1, i sin θ , (4.22) ¯ mµ = √ 1 2(r0− ai cos θ) 0, 0, 1,− i sin θ . (4.23)
Com as novas tétradas (4.21)–(4.23), calcularemos as componentes da mé-trica, dadas pela expressão (4.10). As componentes da métrica são
g0µν = a2sin2θ ρ −1 − a2sin2θ ρ 0 a ρ −1 − a2sin2θ ρ f +˜ a2sin2θ ρ 0 − a ρ 0 0 1 ρ 0 a ρ − a ρ 0 1 ρ sin2θ, sendo ρ ≡ r2+ a2cos2θe ˜f (r) = 1− 2GM ρ .
Ao encontrar as componentes covariantes de g0µν, vemos que estas nada mais
são que as componentes da métrica de Kerr. Podemos então escrever o elemento de linha de Kerr
ds2 = − ˜f (r)du2− 2dudr + 2a( ˜f (r)− 1) sin2θdudφ + (4.24)
+ 2a sin2θdrdφ + ρ2dθ2+ sin2θ(ρ− a2( ˜f (r)− 2) sin2θ)dφ2.
Por conta de termos encontrado essa métrica partindo da solução de Schwarzs-child nas coordenadas de Eddington–Finkelstein, o elemento de linha (4.25) está no sistema de coordenadas chamado Eddington–Finkelstein adiantado. Nesta se-ção aplicamos o algoritmo de NJ para obter a soluse-ção de Kerr, a partir de uma transformação complexa da métrica de Schwarzschild. Da mesma forma, pode-mos também obter a solução de Kerr-Newman a partir da solução de Reissner-Nordström.
Apesar de termos encontrado o elemento de linha (4.25), este não é o melhor sistema de coordenadas para identificar as principais características que o espaço-tempo descrito por este elemento de linha possui. Para identificar essas caracterís-ticas, usaremos o elemento de linha de Kerr nas coordenadas de Boyer–Lindquist, dada por [9] ds2 = − 1−2GM r ρ2 dt2− 2GM ar sin 2θ ρ2 (dtdφ + dφdt) + + ρ 2 ∆dr 2+ ρ2dθ2+sin2θ ρ2 (r2+ a2)2− a2∆ sin2θdφ2, (4.25) sendo ∆ = r2− 2GMr + a2.
A primeira característica que podemos perceber é que, se fizermos a = 0, o elemento de linha (4.25) retorna ao elemento de linha de Schwarzschild em coordenadas esféricas e, portanto, podemos perceber que o parâmetro a está cer-tamente envolvimento com o momento angular do buraco negro. Vemos também que o elemento de linha (4.25) só é invariante sob inversão simultânea de t e φ, exatamente como imaginávamos.
Conclusão
Nesta monografia fizemos uma breve revisão da Relatividade Geral e apresenta-mos três de suas soluções.
A primeira solução apresentada diz respeito a uma configuração esférica de matéria de densidade constante composta por um fluido perfeito. Para obter essa solução, partimos de um elemento de linha genérico, com coeficientes a deter-minar de acordo com as características do espaço-tempo pretendido. A segunda solução foi para uma fonte pontual de matéria com carga líquida diferente de zero. O método de obtenção dessa solução foi semelhante ao utilizado para a solução de estrelas.
Para obter a terceira solução, referente ao espaço-tempo externo a um buraco negro girante, apresentamos de maneira breve o formalismo das tétradas nulas e, a partir delas, aplicamos o algoritmo de NJ para obter uma nova solução a partir de uma já conhecida, i.e., partimos do elemento de linha de Schwarzschild nas coordenadas de Eddington–Finkelstein e através de uma transformação complexa chegamos no elemento de linha de Kerr.
Apêndice A
Rotina para a criação da Figura 2.1
Para a realização da Figura 2.1 que representa a solução da Eq. 2.17, criou-se uma rotina no software Mathematica 8.0 para descrever o comportamento da pressão em função do raio. A seguir consta a rotinaReferências Bibliográficas
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[3] J. B. Hartle. “Slowly rotating relativistic stars. 1. Equations of structure,” Astrophys. J.150, 1005 (1967).
[4] B. F. Schutz. Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press (1980).
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[6] R. D’Inverno. Introducing Einstein’s Relativity, Oxford University Press (1992).
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[10] D. J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics, Pearson (2013).
[11] G. Mammadov. “Reissner-Nordströn Metric", retirado do endereço eletrô-nico http://gmammado.mysite.syr.edu/notes/rn_metric. pdf.
[12] J. Lense and H. Thirring. ”Ueber den Einfluss der Eigenrotation der Zentral-koerper auf die Bewegung der Planeten und Mond nach der Einsteinschen Gravitationstheorie", Phys. Z.19, 156 (1918).
