Modelando a Variância

(1)

Modelando a Variˆ

ancia

6.1 Introdu¸

c˜

ao

Nos modelos vistos até aqui a variância dos erros foi assumida constante ao longo do tempo, i.e. V ar(t) = E(2t) = σ2. Muitas séries temporais no entanto exibem per´ıodos de grande volatilidade seguidos de per´ıodos de relativa tranquilidade. Nestes casos, a suposi¸cão de variância constante (homocedasticidade) pode não ser apropriada. Na verdade, embora a variância incondicional dos erros ainda possa ser assumida constante, sua variância condicional pode estar mudando ao longo do tempo.

Além disso, em muitas situa¸cões práticas tem-se interesse em prever a var-iância condicional da série além da série propriamente dita. Por exemplo, no mercado de a¸cões o interesse é não apenas prever a taxa de retorno mas também a sua variância ao longo de um certo per´ıodo. Esta variância condicional é tam-b´em chamada de volatilidade. Algumas referˆencias para este cap´ıtulo são Taylor (1986), Franses (1998), e Tsay (2002).

Exemplo 6.1 : Nas Figuras 6.1 e 6.2 os gr´aficos apresentam indices de pre¸cos di´arios de fechamento de algumas bolsas de valores europ´eias: DAX (Frankfurt), SME (Su´ı¸ca), CAC (Paris) e FTSE (Londres).

Exemplo 6.2 : Na Figura 6.3 os gr´aficos apresentam as taxas de câmbio diárias do Dólar Australiano, Libra Esterlina, Dolar Canadense, Florim Holandes, Franco Frances, Marco Alemão, Iene Japones e Franco Sui¸co, em rela¸cão ao Dolar Amer-icano, enquanto nos gráficos da Figura 6.4 estão os logaritmos das taxas de vari-plot(EuStockMarkets, xlab=”, main=”)

Figura 6.1: Indices de pre¸cos di´arios de fechamento de bolsas de valores europ´eias: DAX (Frankfurt), SME (Su´ı¸ca), CAC (Paris) e FTSE (Londres).

(2)

plot(EuStockMarkets, xlab=”, main=”, ylab=”, plot.type=’single’)

Figura 6.2: Indices de pre¸cos di´arios de fechamento de bolsas de valores europ´eias: DAX (Frankfurt), SME (Su´ı¸ca), CAC (Paris) e FTSE (Londres).

a¸cão (retornos diários). O per´ıodo amostral vai de 31 de dezembro de 1979 a 31 de dezembro de 1998. Uma caracter´ıstica comum nestes retornos é que em-bora as médias pare¸cam ser aproximadamente constantes as variâncias mudam ao longo do tempo. Na Figura 6.5 estão os histogramas com uma curva normal superposta para os mesmos dados (retornos). Pode-se notar que muitos valores aparecem nas caudas das distribui¸cões. Finalmente, nas Figuras 6.6 e 6.7 temos as autocorrela¸cões amostrais dos retornos e dos retornos ao quadrado. Note como existe bastante aucorrela¸cão entre os retornos ao quadrado. Todas estas carac-ter´ısticas são em geral verificadas em séries reais de retornos e devem ser levadas em conta pelo modelo.

1.0 1.4 1.8 Dolar A us 0.4 0.6 0.8 Libr a 1.2 1.4 Dolar Can 1.5 2.5 3.5 Flor im 1980 1985 1990 1995 4 5 6 7 8 9 Fr anco 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Marco 100 200 Iene 1.5 2.0 2.5 Fr anco Sui 1980 1985 1990 1995

Figura 6.3: Taxas de câmbio diárias em rela¸cão ao Dolar Americano do Dólar Australiano, Libra Esterlina, Dolar Canadense, Florim Holandes, Franco Frances, Marco Alemão, Iene Japones e Franco Sui¸co, entre 31 de dezembro de 1979 e 31 de dezembro de 1998.

(3)

−0.05 0.05 0.10 Dolar A us −0.04 0.00 0.04 Libr a −0.020 −0.005 0.010 Dolar Can −0.04 −0.01 0.02 Flor im 1980 1985 1990 1995 −0.04 0.00 0.04 Fr anco −0.04 0.00 Marco −0.04 0.00 Iene −0.04 0.00 Fr anco Sui 1980 1985 1990 1995

Figura 6.4: Retornos diários em rela¸cão ao Dolar Americano do Dólar Aus-traliano, Libra Esterlina, Dolar Canadense, Florim Holandes, Franco Frances, Marco Alemão, Iene Japones e Franco Sui¸co, entre 31 de dezembro de 1979 e 31 de dezembro de 1998.

A idéia aqui é tentar modelar simultaneamente a média e a variância de uma série temporal. Para fixar id´eias, suponha que um modelo AR(1), Xt = αXt−1+t foi estimado e deseja-se fazer previsões 1 passo à frente,

ˆ

xt(1) = E(Xt+1|xt) = αxt. A variˆancia condicional de Xt+1 ´e dada por

V ar(Xt+1|xt) = V ar(t+1|xt) = E(2t+1|xt).

At´e agora assumimos que E(2t+1|xt) = σ2, mas suponha que a variância condi-cional n˜ao seja constante, i.e. E(2t+1|xt) = σ2_t+1. Uma poss´ıvel causa disto é que os dados se distribuem com caudas muito longas. Para facilitar a nota¸cão vamos denotar por It={xt, xt−1, . . . , t, t−1, . . .}, ou seja σt2 = V ar(t|It−1).

(4)

Dolar Aus −0.05 0.05 0.10 0 40 80 Libra −0.04 0.00 0.04 0 20 40 60 Dolar Can −0.02 0.00 0 50 150 Florim −0.04 −0.01 0.02 0 20 60 Franco −0.04 0.00 0.04 0 20 40 60 Marco −0.04 0.00 0 20 40 60 Iene −0.06 −0.02 0.02 0 20 40 60 Franco Sui −0.04 0.00 0 20 40

Figura 6.5: Histogramas dos retornos di´arios do Exemplo 6.2.

6.2 Modelos ARCH

Existem v´arias formas de especificar como a variˆancia condicional (volatilidade) varia com o tempo. Uma estrat´egia utilizada para modelar σ_t2, proposta em Engle (1982), consiste em assumir que ela depende dos quadrados dos erros passados,

t−1, t−2, . . . atrav´es de uma autoregress˜ao. No caso mais simples, faz-se

t= vt

q

c + α2

t−1 (6.1)

onde {vt} é uma série puramente aleatória com média zero e variância igual a 1

e vt e t são independentes. Segue que a esperan¸ca e a variância condicionais são dadas por,

E(t|It₋₁) = E(vt) q

c + α2

t−1 = 0

(5)

0 5 15 25 35 −0.04 0.02 Dolar Aus 0 5 15 25 35 −0.02 0.04 Libra 0 5 15 25 35 −0.04 0.02 Dolar Can 0 5 15 25 35 −0.04 0.00 0.04 Florim 0 5 15 25 35 −0.04 0.02 Franco 0 5 15 25 35 −0.04 0.02 Marco 0 5 15 25 35 −0.02 0.04 Iene 0 5 15 25 35 −0.04 0.00 0.04 Franco Sui

Figura 6.6: Correlogramas dos retornos no Exemplo 6.2.

Neste caso dizemos que a variˆancia segue um processo autoregressivo

condicional-mente heteroced´astico de ordem 1, ARCH(1). Note que ´e necess´ario impor as

restri¸c˜oes c > 0 e α ≥ 0 para que σ_t2 seja sempre positiva. Quando α = 0 a variância condicional ´e constante e t é um processo condicionalmente homo-cedástico. Além disso queremos garantir a estacionariedade da autoregressão de modo que a restri¸cão imposta ´e 0 < α < 1. Note tamb´em que (6.2) não inclui um termo de erro e portanto não é um processo estocástico.

A esperan¸ca e variˆancia incondicionais podem ser obtidas como, E(t) = E[E(t|It−1)] = 0

V ar(t) = E(2t) = E[E(

2

t|It−1)]

= E[c + α2_t₋₁] = c + αE(2_t₋₁).

Se o processo ´e estacion´ario ent˜ao E(2_t) = E(2_t₋₁) = V ar(t) e portanto

V ar(t) =

c 1− α.

(6)

0 5 15 25 35 −0.02 0.04 Dolar Aus^2 0 5 15 25 35 0.00 0.10 Libra^2 0 5 15 25 35 0.00 0.10 0.20 Dolar Can^2 0 5 15 25 35 0.00 0.10 Florim^2 0 5 15 25 35 −0.02 0.04 Franco^2 0 5 15 25 35 0.00 0.10 Marco^2 0 5 15 25 35 0.00 0.10 0.20 Iene^2 0 5 15 25 35 0.00 0.10 Franco Sui^2

Figura 6.7: Correlogramas dos retornos ao quadrado no Exemplo 6.2.

Al´em disso,

Cov(t, t+k) = E(tt+k) = E[E(tt+k)|t+k−1, . . . , t−1]

= E[tE(vt+k q

c + α2

t+k−1)] = 0, para k > 0.

Ou seja, ao postular o modelo ARCH(1) estamos assumindo que os {t} s˜ao n˜ao correlacionados.

Exemplo 6.3 : Para ilustra¸c˜ao a Figura 6.8 apresenta dois processos ARCH de ordem 1 simulados a partir de uma sequência{vt} de 200 números aleatórios i.i.d. gerados de uma distribui¸c˜ao N (0, 1). A sequˆencia {t} foi construida usando a equa¸c˜ao (6.1) com c = 1 e α = 0, 8. Note como a sequência {t} continua tendo média zero mas parece ter tido um aumento de volatilidade em alguns per´ıodos. Em um modelo AR(1), a forma como esta estrutura nos erros afeta a série original depende do valor do parâmetro autoregressivo e duas poss´ıveis situa¸cões são mostradas nos gráficos inferiores da figura. Na Figura 6.9 temos o histograma dos valores {t} gerados, com uma curva normal superimposta,

(7)

além do gráfico de probabilidades normais (QQ-plot normal). Note como há um excesso de valores nas caudas ocorrendo com uma frequência maior do que seria esperado na distribui¸cão normal.

processo aleatório 0 50 100 150 200 −5 0 5 10 ε(t)=v(t) 1+0.8ε(t−1)2 0 50 100 150 200 −5 0 5 10 x(t)=0.5x(t−1)+ ε(t) 0 50 100 150 200 −5 0 5 10 x(t)=0.9x(t−1)+ ε(t) 0 50 100 150 200 −5 0 5 10

Figura 6.8: Processos autoregressivos com erros ARCH(1) simulados.

Basicamente a equa¸cão (6.2) nos diz que erros grandes (ou pequenos) em valor absoluto tendem a ser seguidos por erros grandes (ou pequenos) em valor absoluto. Portanto o modelo é adequado para descrever séries aonde a volatilidade ocorre em grupos. Além disso, na equa¸c˜ao (6.2) somando 2

t e subtraindo σt2 de ambos os lados obtemos que

2_t = c + α2_t₋₁+ νt

com νt = 2t − σ2t = σt2(vt2− 1). Ou seja, o modelo ARCH(1) pode ser reescrito como um AR(1) estacion´ario para 2

t com erros n˜ao normais (vt2 ∼ χ21 se vt ∼

N (0, 1)) que tˆem média zero e variância não constante. Portanto, a fun¸cão de

autocorrela¸c˜ao do processo {2

t} ´e dada por ρ(k) = αk e o correlograma amostral

deve apresentar um decaimento exponencial para zero.

(8)

densidades −10 −5 0 5 0.00 0.10 0.20 −3 −2 −1 0 1 2 3 −10 0 5 Q−Q plot Normal quantis teoricos quantis amostr ais

Figura 6.9: Caracteristicas de um processo ARCH(1) simulado.

de curtose que ´e dado por

κ = E(

4

t) [V ar(t)]2

. Denotando por E(v4

t) = λ o quarto momento do erro segue que o quarto momento condicional ´e dado por

E(4_t|It₋₁) = E(v4_tσ_t4|It₋₁) = λE(σ_t4|It₋₁) = λ(c + α2_t₋₁)2.

(se assumirmos que vt ∼ N(0, 1) ent˜ao λ = 3). Portanto, o quarto momento incondicional fica,

E(4_t) = E[E(4_t|It₋₁)] = λE(c2+ α24_t₋₁+ 2cα2_t₋₁).

Se o processo ´e estacion´ario de quarta ordem ent˜ao podemos escrever E(4

t) = E(4 t−1) = µ4 e portanto, µ4 = λ c2+ α2µ4+ 2cα c 1− α = λc2 1 + α 1− α + λα2µ4

(9)

e finalmente,

µ4 =

λc2_{(1 + α)}

(1− α)(1 − λα2₎.

O coeficiente de curtose ent˜ao fica,

κ = λc 2_{(1 + α)} (1− α)(1 − λα2₎ (1− α)2 c2 = λ 1− α2 1− λα2, para λα 2 _{< 1}

que ´e sempre maior do que λ. Ou seja, qualquer que seja a distribui¸c˜ao de vt o coeficiente de curtose ser´a maior do que a curtose de vt (desde que α > 0 e

λ > 1). Em particular, processos ARCH(1) tˆem caudas mais pesadas do que a

distribui¸cão normal e são portanto adequados para modelar séries temporais com esta caracter´ıstica. Séries de retornos, como as do Exemplo 6.2, frequentemente apresentam caudas mais pesados do que a normal devido ao excesso de curtose.

Previs˜

oes da Volatilidade

Suponha que uma s´erie temporal Xt segue um processo ARCH(1), i.e. Xt =

vt

√

ht, vt ∼ N(0, 1). As previs˜oes da volatilidade, k passos `a frente, no tempo

t = n s˜ao obtidas como,

ˆ

hn(k) = E(hn+k|In) = c + αE(Xn+k2 −1|In). Para k = 1 segue que E(X2

n+k−1|In) = Xn+k2 −1 e para k > 1 temos que E(X_n+k2 ₋₁|In) = E(hn+k−1v2n+k−1|In)

= E(hn+k−1|In)E(vn+k2 −1|In) = E(hn+k−1|In) = ˆhn(k− 1) pois hn+k−j e vn+k−j são independentes. As previsões então ficam,

ˆ hn(k) = ( c + αX2 n, k = 1 c + αˆhn(k− 1), k = 2, 3, . . .

O Modelo ARCH(p)

Estas id´eias podem ser generalizadas para processos mais gerais ARCH(p) em que a variˆancia condicional depende dos quadrados de p erros passados, i.e.

t= vt

q

(10)

e então a variância condicional é modelada como,

σ2_t = E(2_t|It−1) = c + α12t−1+· · · + αp

2

t−p. Neste caso, para garantir que σ2

t seja sempre positiva ´e necess´ario impor a seguintes restri¸c˜oes c > 0 e α1 ≥ 0, . . . , αp ≥ 0 e para garantir estacionariedade

é necessário também que as ra´ızes de 1− α1B − · · · − αpBp = 0 estejam fora do

c´ırculo unit´ario. Juntando estas restri¸c˜oes equivale a impor a restri¸c˜ao c > 0 e Pp

i=1αi < 1.

Analogamente podemos reescrever o modelo ARCH(p) como um modelo AR(p) para 2_t definindo os erros νt como anteriormente, i.e.

2_t = c + α12t−1+· · · + αp

2

t−p+ νt. com νt = σt2(vt2− 1).

Identifica¸

c˜

ao

A caracter´ıstica chave dos modelos ARCH é que a variância condicional dos er-ros t se comporta como um processo autoregressivo. Portanto deve-se esperar que os res´ıduos de um modelo ARMA ajustado a uma série temporal observada também sigam este padrão caracter´ıstico. Em particular, se o modelo ajustado for adequado então a FAC e a FACP dos res´ıduos devem indicar um processo pu-ramente aleatório, no entanto se a FAC dos quadrados dos res´ıduos, ˆ2

t, tiver um decaimento caracter´ıstico de uma autoregressão isto é uma indica¸cão de que um modelo ARCH pode ser apropriado. A ordem p do modelo pode ser identificada através da FACP dos quadrados dos res´ıduos.

Previs˜

oes da Volatilidade

Suponha que uma s´erie temporal Xtsegue um processo ARCH (p). As previs˜oes da volatilidade, k passos `a frente, no tempo t = n s˜ao obtidas como,

ˆ hn(k) = E(hn+k|In) = c + p X i=j αjE(Xn+k2 −j|In).

Para k≤ j segue que E(X2

n+k−j|In) = Xn+k2 −j e para k > j temos que E(X_n+k−j2 |In) = E(hn+k−jv2_n+k−j|In)

= E(hn+k−j|In)E(v2n+k−j|In) = E(hn+k−j|In) = ˆhn(k− j)

(11)

j´a que hn+k−j e vn+k−j s˜ao independentes.

6.3 Modelos GARCH

Uma generaliza¸cão natural dos modelos ARCH consiste em assumir que a var-iância condicional se comporta como um processo ARMA, i.e. depende também de seus valores passados. Fazendo t= vt

√ ht onde ht= c + p X i=1 αi2t−i+ q X j=1 βjht−j

segue que a esperan¸ca condicional de t é zero e a variância condicional é

σ2

t = ht. Este modelo ´e chamado ARCH generalizado, ou GARCH, de ordem (p, q). Aqui as restri¸c˜oes de positividade e estacionariedade impostas sobre os parˆametros s˜ao dadas por c > 0, αi ≥ 0, i = 1, . . . , p, βj ≥ 0, j = 1, . . . , q e Pp

i=1αi+ Pq

j=1βj < 1.

Embora a primeira vista pare¸ca um modelo mais complexo, sua vantagem sobre os modelos ARCH é basicamente a parcimônia. Assim como um modelo ARMA pode ser mais parcimonioso no sentido de apresentar menos parâmetros a serem estimados do que modelos AR ou MA, um modelo GARCH pode ser usado para descrever a volatilidade com menos parâmetros do que modelos ARCH.

Em termos de identifica¸c˜ao dos valores de p e q as ferramentas b´asicas são mais uma vez a FAC e a FACP dos quadrados dos res´ıduos. Assim, se o modelo ajustado for adequado a FAC e a FACP dos res´ıduos devem indicar um processo puramente aleatório, no entanto quando estas fun¸cões são aplicadas aos quadrados dos res´ıduos elas devem indicar um processo ARMA(p, q). A identifica¸c˜ao pode não ser muito fácil em algumas aplica¸cões embora na maioria dos casos um modelo GARCH(1,1) seja suficiente. Na prática recomenda-se também tentar outros modelos de ordem baixa como GARCH(1,2) e GARCH(2,1).

As previsões da volatilidade em modelos GARCH são obtidas de forma similar a de um modelo ARMA. Por exemplo, após estimar os parâmetros de um modelo GARCH(1,1) e assumindo-se que 0 = h0 = 0 pode-se construir as sequências

1, . . . , t e h1, . . . , ht e a previs˜ao 1 passo `a frente da volatilidade fica

ˆ

σ_t2(1) = c + α2_t + βht.

6.3.1 Estima¸

c˜

ao

Para uma s´erie x1, . . . , xn observada e um modelo GARCH(p, q), denotando-se o vetor de parˆametros por θ=(c, α1, . . . , αp, β1, . . . , βq) e destacando-se a densidade

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conjunta das p primeiras realiza¸c˜oes segue que p(x1, . . . , xn|θ) = p(x1, . . . , xp|θ) n Y t=p+1 p(xt|xt₋₁, . . . , xt−p, θ).

Assumindo normalidade segue que

Xt|xt₋₁, . . . , xt−p ∼ N(0, ht) e portanto p(x1, . . . , xn|θ) = p(x1, . . . , xp|θ) n Y t=p+1 (2πht)−1/2exp − x2t 2ht .

Em geral o número de observa¸cões será grande o suficiente para que o termo

p(x1, . . . , xp|θ) possa ser desprezado. Por exemplo, para um modelo ARCH(1) a

fun¸c˜ao log-verossimilhan¸ca fica −0.5 n X t=2 log(2π) + log(c + αx2_t₋₁) + x2_t/(c + αx2_t₋₁).

Note que algum algoritmo de otimiza¸cão não linear deverá ser utilizado e nada garante sua convergência para um ótimo global. No R pode-se usar a fun¸cão garch do pacote tseries para fazer a estima¸cão por máxima verossimilhan¸ca.

6.3.2 Adequa¸

c˜

ao

Se um modelo ARCH ou GARCH foi ajustado a uma s´erie Xt não correlacionada então os res´ıduos padronizados são dados por

˜

Xt = √Xt

ht

e formam uma sequˆencia i.i.d. com distribui¸c˜ao normal padr˜ao. Assim, a ade-qua¸c˜ao do modelo pode ser verificada aplicando os testes usuais de normalidade a estes residuos padronizados e os testes de aleatoriedade (Box-Pierce e Ljung-Box) aos quadrados dos res´ıduos.

Exemplo 6.4 : Na parte superior da Figura 6.10 est˜ao os pre¸cos diários no fechamento de um indice de mercado da Alemanha (DAX), entre 1991 e 1998. O interesse ´e em analisar os chamados retornos dados por log(xt/xt₋₁) e estes estão no gráfico inferior da Figura 6.10. Existe evidência na literatura que mod-elos GARCH(1,1) conseguem captar bem os movimentos caracter´ısticos dos

(13)

re-tornos. Foi usada a fun¸c˜ao garch no pacote tseries do R para ajustar um modelo GARCH(1,1). D AX 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 2000 5000 retor nos 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 −0.10 0.00

Figura 6.10: Pre¸cos di´arios no fechamento de um indice de mercado da Alemanha (DAX), entre 1991 e 1998 e respectivos retornos.

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

a0 0.00 0.00 6.14 0.00

a1 0.07 0.01 6.07 0.00

b1 0.89 0.02 53.82 0.00

Tabela 6.1

Assim, o modelo ajustado obtido foi

Yt = vt

p

ht, vt∼ N(0, 1)

ht = 0.00005 + 0.068Yt2−1+ 0.889ht−1

sendo todos os coeficientes significativos. O teste de Ljung-Box aplicado nos quadrados dos residuos indicou aleatoriedade (p-valor = 0,71), no entanto o teste

(14)

de normalidade de Jarque-Bera aplicado aos residuos rejeitou a hip´otese nula (p-valor<0,001). Assim a hip´otese de normalidade condicional parece estar sendo violada.

Na Figura 6.11 estão os histogramas, gráficos de probabilidades normais dos retornos e res´ıduos do modelo GARCH(1,1) estimado, além dos correlogramas dos quadrados dos retornos e res´ıduos.

DAX −0.10 −0.05 0.00 0.05 0 10 30 Residuos −10 −5 0 5 0.0 0.2 −3 −2 −1 0 1 2 3 −0.10 0.00 0.10 DAX −3 −2 −1 0 1 2 3 −5 0 5 Residuos residuos Time 1992 1994 1996 1998 −10 0 5 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.4 0.8 Residuos^2

Figura 6.11: Histogramas e probabilidades normais dos retornos do indice de mercado da Alemanha (DAX) e res´ıduos do modelos GARCH(1,1) e correlogramas dos seus quadrados.

Um fato estilizado presente em séries temporais financeiras é que o mercado tem baixa volatilidade quando está em alta e alta volatilidade quando está em baixa. Tal assimetria não é levada em conta pelos modelos GARCH e para con-tornar esta limita¸cão outros modelos foram propostos na literatura. Por exemplo, no modelo EGARCH (ou GARCH exponencial) modela-se o logaritmo da volatil-idade como, log(σ_t2) = c + αt−1 σt−1 + γt−1 σt−1 + βσ_t2₋₁.

(15)

β s˜ao irrestritos já que estamos modelando o logaritmo da volatilidade. A única restri¸cão ´e γ < 0 pois assim a volatilidade aumenta quando t−1 < 0.

6.4 Volatilidade Estoc´

astica

As f´ormulas para modelar σ2

t vistas até agora foram todas determin´ısticas, i.e. sem uma componente de erro aleatório. No entanto, pode ser mais razoável assumir que a variância condicional varia estocasticamente ao longo do tempo ao invés de deterministicamente, especialmente se existem mudan¸cas abruptas na volatilidade (e.g. como resultado de greves, guerras, etc.).

Assim, uma alternativa aos modelos (G)ARCH consiste em assumir que σ_t2 segue um processo estoc´astico. Geralmente modela-se o logaritmo de σ2

t. Em sua forma mais simples um modelo de volatilidade estoc´astica (VE) ´e dado por

Xt = vt exp(ht/2), vt ∼ N(0, 1) ht = c + αht−1+ ηt, ηt ∼ N(0, σ2η)

com |α| < 1 e ht = log(σ_t2). Note que não há necessidade de restri¸cões de

positividade nos parˆametros pois estamos modelando o logaritmo da volatilidade. O modelo pode ser estendido para uma estrutura AR(p) em ht, ou seja

Xt = vt exp(ht/2), vt ∼ N(0, 1) ht = c + p X i=1 αiht−i+ ηt, ηt∼ N(0, σ2η)

Estimar modelos de volatilidade estocástica é mais dif´ıcil porque a fun¸cão de verossimilhan¸ca é dificil de ser avaliada.

Propriedades

1. E(Xt) = E(vt eht/2) = E(eht/2)E(vt) = 0, j´a que ht e vt s˜ao independentes.

2. V ar(Xt) = E(Xt2) = E(eht vt2) = E(eht)E(vt2) = E(eht). Mas, como estamos assumindo que ht ´e estacion´aria segue que,

E(ht) = µ = c/(1− α) e V ar(ht) = σ2 = ση2/(1− α2)

e a distribui¸c˜ao incondicional do log-volatilidade ´e ht ∼ N(µ, σ2). Portanto, eht _{segue uma distribui¸c˜}_{ao log-normal com par ˆ}_{metros µ e σ}2 _{cuja m´}_{edia e}

(16)

variˆancia s˜ao dados por

E(eht_{) = e}µ+σ2/2_{= V ar(X}

t)

V ar(eht_{) = (e}σ2 − 1)e2µ+σ2

3. E(X4

t) = E(vt4 e2ht) = E(vt4)E(e2ht). Se t ∼ N(0, 1) ent˜ao E(vt4) = 3 e

E(X4

t) = 3E(e2ht). Mas

E(e2ht_{) = V ar(e}ht_{) + E}2_(eht_{) = (e}σ2 − 1)e2µ+σ2 _{+ (e}µ+σ2/2₎2

= e2µ+σ2(1 + eσ2 − 1) = e2µ+2σ2. Portanto, a curtose ´e dada por

κ = 3 e

2µ+2σ2

e2µ+σ2 = 3e

σ2

que ´e sempre maior do que 3 pois eσ2 > 1. Um resultado mais geral ´e que

κ = E(v_t4)eσ2 ou seja a curtose induzida por este modelo ´e sempre maior

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Exerc´ıcios

1. Um modelo ARIMA foi identificado e estimado para uma série temporal ob-servada mas há indica¸cão de que a variância condicional deve ser modelada por um processo GARCH(1,1). Explique como se chegou a esta conclusão. 2. Refa¸ca o exemplo da Figura 6.8 e estime um modelo AR(1) para a série Xt. Verifique se existe estrutura autoregressiva nos quadrados dos res´ıduos e identifique um modelo ARCH para os erros.

3. Obtenha as previs˜oes 1, 2 e 3 passos a frente para um modelo GARCH(1,2). 4. Descreva duas vantagens de modelos EGARCH sobre modelos GARCH.