Apostila Fundamentos de Topografia

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Edição

A primeira intenção ao elaborar este documento foi cooperar e auxiliar os trabalhos didáticos das disciplinas de Topografia Teórica e Prática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

Além deste objetivo, que já justifica todo o empenho, este trabalho busca contribuir com a literatura das ciências geodésica e topográfica.

É com muita satisfação que repasso este conhecimento à família “cefetiana” e aos demais leitores de outras instituições, reconhecendo que ao elaborar este projeto, iniciei-o com afinco, executei-o com paixão e finalizei-o com satisfação.

Agradeço a minha família à compreensão pelas horas dedicadas na confecção deste documento, e ao Centro Federal de Educação Tecnológica pelo apoio de recursos humanos e materiais.

13 de fevereiro de 1998. Marcelo Tuler de Oliveira Engenheiro Agrimensor [email protected]

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Edição

Com satisfação faço a apresentação deste documento, agradecendo ao amigo Marcelo Tuler, autor desta obra, pela oportunidade de prestar minha colaboração a esse trabalho. Sei que foi elaborado com muita dedicação, esforço e pesquisa. A sua grande preocupação com o ensino e sua capacidade e competência, criou uma excelente fonte de consulta para estudantes e profissionais das áreas de Topografia e Geodésia.

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entendimento, destes estudantes e profissionais que necessitem de aprendizado no dia a dia, ou aprimoramento de seus conhecimentos. Com certeza é uma importante contribuição à literatura técnica.

Com conteúdo atualizado, bem ilustrado, com vários exemplos e exercícios, este trabalho demonstra dedicação a anos de estudos e pesquisa na área. Com sua experiência em docência, o

Professor Tuler, compartilha seus conhecimentos com clareza e muito profissionalismo.

Com certeza esta obra ajudará muitas pessoas no seu desenvolvimento profissional, em especial aos estudantes dos Cursos Técnicos e aos alunos de Engenharia de Agrimensura.

A exemplo da 1a Edição, que é fonte de consulta bibliográfica de muitos trabalhos e pesquisas, esta 2a Edição, ainda melhorada, contribuirá ainda muito mais à comunidade técnica.

04 de março de 2002. Sérgio Luiz Costa Saraiva Engenheiro Civil [email protected]

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Prefácio ... ii

Sumário ... iv

Lista de Figuras ... x

Lista de Quadros e Tabelas ... xvi

Capítulo 1 - Generalidades e Definições 1 - Introdução ... 1

2 - Resumo Histórico ... 2

2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga ... 2

2.2 - Da Idade Média à Revolução Científica ... 6

2.3 - Da Revolução Industrial ao Contemporâneo ... 7

3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia ... 8

3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal e Esférica ... 9

4 - Conceitos Fundamentais da Topografia ... 14

4.1 - Divisão da Topografia ... 14

4.2 - Importância e Aplicações ... 16

5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia ... 17

5.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ... 18

5.1.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas ... 18

5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas ... 19

5.1.3 - Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ... 19

5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas ... 20

5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM ... 20

5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas ... 22

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6.2 - Novas Propostas para Implantação de Redes Fundamentais ... 26

Capítulo 2 - Planimetria 1 - Introdução ... 29

2 - Sistemas de Unidades de Medidas ... 29

2.1 - Unidade de Medida Linear ... 30

2.2 - Unidade de Medida de Superfície ... 32

2.3 - Unidade de Medida de Volume ... 34

2.4 - Unidade de Medida Angular ... 34

2.4.1 - Sistema Sexagesimal ... 34

2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano ... 37

3 - Gramometria ... 40

3.1 - Processos Diretos ... 40

3.2 - Processos Indiretos ... 43

3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal ... 43

3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado ... 45

3.2.3 - Diferença de Nível ... 46

3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas ... 47

4 - Goniologia ... 50 4.1 - Ângulos Horizontais ... 50 4.1.1 - Ângulos Azimutais ... 51 4.1.2 - Ângulos Goniométricos ... 52 4.1.3 - Azimutes Calculados ... 53 4.2 - Ângulos Verticais... 54 4.2.1 - Ângulo de Inclinação ... 54 4.2.2 - Ângulo Zenital ... 54 4.3 - Magnetismo Terrestre ... 55 4.3.1 - Declinação Magnética ... 55

5 - Métodos de Levantamento Planimétrico ... 58

5.1 - Métodos Principais e Secundários ... 59

5.1.1 - Métodos Principais ... 59

5.1.2 - Métodos Secundários ... 61

5.1.3 – Exemplo 30 – Ponto Inacessível ... 62

5.2 - Poligonal Topográfica ... 65

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6.1 - Cálculo do Fechamento Angular ... 69

6.1.1 - Determinação do Erro Angular ... 70

6.1.2 - Tolerância do Erro Angular ... 72

6.1.3 - Distribuição do Erro Angular ... 73

6.2 - Cálculo de Azimutes ... 74

6.3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas ... 76

6.4 - Cálculo do Fechamento Linear ... 78

6.4.1 - Determinação do Erro Linear ... 78

6.4.2 - Tolerância do Erro Linear ... 78

6.5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas ... 79

6.6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas ... 80

6.7 - Exemplos de Cálculos de Planilhas de Coordenadas ... 81

6.7.1 - Exemplo 39 ... 81

6.7.2 - Exemplo 40 ... 87

7 - Cálculo de Áreas Planas ... 94

7.1 - Método Analítico pela Fórmula de Gauss ... 94

7.2 - Método de Decomposição em Polígonos ... 97

7.3 - Método de Comparação por Quadrículas ... 98

Capítulo 3 - Altimetria 1 - Introdução ... 101

1.1 - Superfícies de Referência de Nível ... 101

1.1.1 - Erro de Nível Aparente ... 103

1.2 - Altitude, Cota e Diferença de Nível ... 105

2 - Instrumentos Altimétricos ... 107

2.1 - Plano de Visada Horizontal ... 107

2.2 - Plano de Visada Inclinado ... 110

2.3 - Acessórios ... 111 2.4 - Barômetros ... 111 3 - Processos de Nivelamento ... 112 3.1 - Introdução ... 112 3.2 - Nivelamento Geométrico ... 112 3.3 - Nivelamento Trigonométrico ... 113 3.4 - Nivelamento Barométrico ... 115 3.5 - Nivelamento Taqueométrico ... 116

3.6 - Fatos Atuais em Altimetria ... 116

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4.1 - Nivelamento Geométrico Simples ... 121

4.2 - Nivelamento Geométrico Composto ... 124

4.3 - Verificação dos Cálculos da Caderneta ... 126

4.4 – Erro no Nivelamento Topográfico ... 127

4.4.1 – Determinação do Erro ... 128

4.4.2 - Definição da Tolerância ... 129

4.4.3 - Distribuição do Erro Admissível ... 130

4.5 - Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico ... 130

5 - Perfis Longitudinais e Transversais ... 133

5.1 - Perfil Longitudinal ... 134

5.2 - Perfil Transversal ... 134

5.2.1 - Nivelamento das Seções Transversais a Nível ... 135

5.2.2 - Nivelamento das Seções Transversais a Régua ... 135

5.2.3 - Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro ... 137

6 - Representação Altimétrica ... 138 6.1 - Planta Baixa ... 139 6.2 - Perfil ... 140 Capítulo 4 - Planialtimetria 1 - Introdução ... 143 2 – Levantamento Planialtimétrico ... 143

3 - Exemplo de Cálculo Planialtimétrico ... 144

3.1 – Planimetria – Planilha de Coordenadas ... 147

3.2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico ... 152

3.3 – Planialtimetria ... 154

Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos 1 - Introdução e Histórico ... 159

2 - Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS ... 160

3 - Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS ... 162

3.1 - Observações no Modo Relativo ou Diferencial ... 164

4 - Informações Básicas para Utilização do Sistema ... 167

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6 - Instrumento Receptor ... 168

7 - Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS ... 168

8 – Aplicações do Sistema GPS ... 170

Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos 1 - Definições e Generalidades ... 173

2 - Câmaras Aéreas ... 174

2.1 Câmaras Aéreas Digitais ... 175

3 - Formação do Modelo Estereoscópico ... 177

3.1 - Restituição Fotogramétrica ... 178

4 - Medição Aproximada de Altura ... 180

5 - Plano de Vôo Aerofotogramétrico ... 182

5.1 - Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico ... 186

5.2 - Problema de Orientação das Fotos ... 187

6 - Produtos Aerofotogramétricos ... 189

6.1 - Aplicações na Fotointerpretação ... 190

Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos 1 - Generalidades e Definições ... 193

2 - Conceitos e Classificação dos Erros de Observação ... 195

2.1 - Conceitos Iniciais ... 196

2.2 - Classificação dos Erros de Observação ... 197

2.2.1 - Estudos Experimentais dos Erros Acidentais ... 198

3 - Aplicações Estatísticas ... 201

3.1 - Exemplo 1 ... 202

3.2 - Exemplo 2 ... 204

3.3 - Exemplo 3 ... 207

Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos 1 – Generalidades e Definições ... 213

2 – Locação para Construção de Estradas ... 214

2.1 – Locação das Tangentes e PI´s ... 215

2.2 – Locação das Curvas ... 217

2.1.1 – Curva Circular Simples ... 218

Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos 1 – Introdução ... 249

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2.2 – Escorpiões ... 253

2.3 – Abelhas, vespas e marimbondos ... 253

2.4 – Taturanas e Lacraias ... 254

2.5 – Cobras ... 255

2.5.1 – Identificação de Cobras ... 255

3 – Prevenção de Acidentes ... 259

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pg. Capítulo 1 - Generalidades e Definições

Figura 1.1: Determinação do raio da Terra, por Erastótenes ... 4

Figura 1.2: Narrativa da experiência de Erastótenes ... 5

Figura 1.3: Astrolábio ... 6

Figura 1.4: Elipsóide de Revolução ... 9

Figura 1.5: Extensão do campo topográfico ... 12

Figura 1.6: Sistema de coordenadas astronômicas ... 17

Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodésicas ... 18

Figura 1.8: Relação entre superfícies da Geodésia ... 19

Figura 1.9: Algumas superfícies de projeção ... 20

Figura 1.10: Projeção UTM ... 20

Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM ... 21

Figura 1.12: Deformações do sistema de projeção UTM ... 21

Capítulo 2 - Planimetria Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro ... 30

Figura 2.2: Sistema sexagesimal ... 35

Figura 2.3: Sistema centesimal ... 37

Figura 2.4: Sistema radiano ... 38

Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB ... 40

Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro ... 41

Figura 2.7: Erro de catenária ... 42

Figura 2.8: Desvio vertical da baliza ... 42

Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro ... 42

Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I ... 43

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Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica ... 46

Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo ... 48

Figura 2.16: Máxima distância teórica sem conferência ... 48

Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo ... 48

Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico ... 49

Figura 2.19: Ângulos na Topografia ... 50

Figura 2.20: Ângulo horizontal α ... 51

Figura 2.21 : Medição de azimutes ... 51

Figura 2.22: Azimute de vante e ré ... 51

Figura 2.23: Medição dos rumos ... 52

Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos ... 52

Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos ... 52

Figura 2.26: Medição dos ângulos de deflexão ... 53

Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo ... 53

Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexão ... 53

Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ângulo horário ... 54

Figura 2.30: Ângulo de inclinação e zenital ... 54

Figura 2.31: Declinação magnética ... 55

Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH ... 57

Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro ... 57

Figura 2.34: Levantamento por triangulação ... 59

Figura 2.35: Levantamento por caminhamento ... 60

Figura 2.36: Levantamento por interseção de ângulos ... 60

Figura 2.37: Levantamento por interseção de distâncias ... 61

Figura 2.38: Levantamento por irradiação ... 61

Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares ... 62

Figura 2.40: Pontos inacessíveis ... 62

Figura 2.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica ... 66

Figura 2.42: Poligonal topográfica ... 66

Figura 2.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade ... 67

Figura 2.44: Erro de fechamento angular I ... 71

Figura 2.45: Erro de fechamento angular II ... 72

Figura 2.46: Cálculo de azimutes I ... 75

Figura 2.47: Cálculo de azimutes II ... 76

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Figura 2.49: Cálculo das coordenadas relativas II ... 77

Figura 2.50: Poligonal topográfica I ... 82

Figura 2.51: Poligonal topográfica II ... 87

Figura 2.52: Cálculo de área I ... 95

Figura 2.53: Cálculo de área II ... 95

Figura 2.54: Cálculo de área III ... 97

Figura 2.55: Cálculo de área IV ... 98

Capítulo 3 - Altimetria Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide ... 101

Figura 3.2: Alturas ortométricas ... 102

Figura 3.3: Superfície de referência verdadeira e aparente ... 103

Figura 3.4: Altitudes de pontos topográficos ... 105

Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos ... 106

Figura 3.6: Níveis esféricos ... 108

Figura 3.7: Nível cilíndrico ... 108

Figura 3.8: Níveis de luneta ... 108

Figura 3.9: Nível de pedreiro ... 109

Figura 3.10: Níveis laser ... 109

Figura 3.11: Nível de mangueira ... 109

Figura 3.12: Corpos suspensos ... 110

Figura 3.13: Clinômetro ... 110

Figura 3.14: Estação Total ... 111

Figura 3.15: Miras ... 111

Figura 3.16: Altímetro ... 111

Figura 3.17: Nivelamento geométrico ... 113

Figura 3.18: Nivelamento trigonométrico ... 114

Figura 3.19: Nivelamento barométrico ... 115

Figura 3.20: Nivelamento geométrico simples ... 122

Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I ... 124

Figura 3.22: Nivelamento geométrico composto II ... 131

Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal ... 134

Figura 3.24: Nivelamento de seção transversal a régua ... 135

Figura 3.25: Perfil transversal ... 136

Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal à clinômetro ... 137

Figura 3.27: Planta com pontos cotados ... 139

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Figura 3.31: Desenho em perspectiva ... 141

Capítulo 4 - Planialtimetria Figura 4.1: Croqui de área ... 144

Figura 4.2: Planta planialtimétrica do terreno ... 154

Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno ... 154

Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos Figura 5.1: Segmento de controle ... 160

Figura 5.2: Segmento dos usuários ... 161

Figura 5.3: Princípio de observação ... 163

Figura 5.4: Fase codificada ... 163

Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial ... 164

Figura 5.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras ... 165

Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS ... 168

Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos Figura 6.1: Escala da fotografia aérea ... 173

Figura 6.2: Câmaras terrestre e aérea ... 174

Figura 6.3: Relação entre distância focal e escala ... 176

Figura 6.4: Estereoscópio de espelhos ... 177

Figura 6.5: Restituidor universal ... 179

Figura 6.6: Medição aproximada de altura ... 180

Figura 6.7: Plano de vôo ... 183

Figura 6.8: Apoio terrestre ... 187

Figura 6.9: Ortofotocarta ... 190

Figura 6.10: Construção de cartas e mapas ... 190

Figura 6.11: Fotointerpretação urbana ... 191

Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos Figura 7.1: Acurácia x Precisão ... 196

Figura 7.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica ... 201

Figura 7.3: Nivelamento geométrico ... 207

Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos Figura 8.1: Estaca testemunha ... 213

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Figura 8.2: Referência do greide ... 213

Figura 8.3: Utilização de cruzetas ... 213

Figura 8.4: Exemplo da marcação de off-set ... 215

Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s ... 215

Figura 8.6: Amarração de um PI por interseção de ângulos ... 216

Figura 8.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias ... 217

Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples ... 217

Figura 8.9: Elementos de uma curva de transição ... 218

Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada ... 218

Figura 8.11: Elementos as curva circular ... 219

Figura 8.12: Cálculo da tangente externa ... 220

Figura 8.13: Ângulo AC ... 220

Figura 8.14: Cálculo das estacas do PC e PT ... 221

Figura 8.15: Cálculo das estacas do PI ... 222

Figura 8.16: Distância PC-PT, considerando as tangentes e o desenvolvimento ... 223

Figura 8.17: Diferença entre distância reta e curva ... 226

Figura 8.18: Locação das curvas através da corda ... 228

Figura 8.19: Locação I. Arcos de 20 m ... 229

Figura 8.20: Locação II. Arcos de 10 m ... 230

Figura 8.21: Locação III. Arcos de 5 m... 231

Figura 8.22: Cálculo do afastamento ... 232

Figura 8.23: Aplicação do cálculo de afastamento ... 232

Figura 8.24: Grau da curva ... 233

Figura 8.25: Deflexão ... 233

Figura 8.26: Deflexão total I ... 234

Figura 8.27: Deflexão total II ... 234

Figura 8.28: Deflexão acumulada I ... 235

Figura 8.29: Deflexão acumulada II ... 236

Figura 8.30: Deflexão acumulada III ... 237

Figura 8.31: Cálculo da cordas I ... 238

Figura 8.32: Cálculo da cordas II ... 238

Figura 8.33: Cálculo das coordenadas da curva ... 242

Figura 8.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos ... 243

Figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes ... 243

Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões ... 245

Figura 8.37: Ilustrativo da locação por deflexão ... 245

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Figura 9.1: Animais perigosos ... 251

Figura 9.2: Espécies de aranhas ... 252

Figura 9.3: Escorpião ... 253

Figura 9.4: Lacraia ... 254

Figura 9.5: Espécies de cobras ... 255

Figura 9.6: Fosseta loreal ... 256

Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras ... 257

Figura 9.8: Identificando cobras ... 258

Figura 9.9: Percentual de picadas de cobras nas partes do corpo ... 259

Figura 9.10: Equipamentos de segurança ... 259

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pg. Capítulo 1 - Generalidades e Definições

Quadro 1.1: Classificação dos Levantamentos Geodésicos ... 24

Tabela 1.1: Alguns elipsóides e seus parâmetros ... 10

Tabela 1.2: Transformação entre sistemas geodésicos ... 26

Capítulo 2 - Planimetria Quadro 2.1: Outros sistemas lineares ... 30

Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares ... 38

Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) ... 39

Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão ... 40

Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas ... 47

Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais ... 68

Tabela 2.6: Classificação dos teodolitos ... 68

Tabela 2.7: Classificação dos MED ... 68

Tabela 2.8: Classificação de estações totais ... 68

Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b ... 72

Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d ... 79

Capítulo 3 - Altimetria Tabela 3.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente ... 104

Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos ... 107

Tabela 3.3: Classificação dos instrumentos (níveis) ... 117

Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções ... 117

Tabela 3.5: Especificações para nivelamento geométrico – IBGE ... 119

Capítulo 4 - Planialtimetria Tabela 4.1: Resumo das equações taqueométricas ... 144

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Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos

Tabela 5.1: Configuração Original do NAVSTAR-GPS ... 161

Tabela 5.2: Configuração em 1990 do NAVSTAR-GPS ... 161

Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS ... 169

Tabela 5.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão ... 169

Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos Tabela 7.1: Experimento de Bradley ... 199

Tabela 7.2: Medidas de uma base geodésica ... 202

Tabela 7.3: Resumo dos cálculos I ... 203

Tabela 7.4: Medidas do ângulo horizontal ... 205

Tabela 7.5: Resumo dos cálculos II ... 206

Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível ... 208

Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III ... 208

Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Quadro 9.1: Acidentes x soro ... 261

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Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas pa-ra representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medi-da de ângulos e distâncias, considerando o plano horizontal. Para estudo medi-da planimetria, divide-se inicial-mente o conteúdo em dois temas, baseado nas duas grandezas básicas a serem avaliadas em campo, ou seja, as distâncias (Gramometria - Item 3) e ângulos (Goniologia - Item 4).

No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. Nos pró-ximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. Como o assunto está associa-do à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma revisão associada aos sistemas de unidades de medidas.

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Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada padrão, e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão.

Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades -

SI”, apesar de alguns sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. A seguir são co-mentadas as unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfície, volumé-tricas e angulares, e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro.

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A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m), que corresponde à décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema métrico decimal envolve seus múltiplos e submúltiplos (Figura 2.1):

Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.

Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos múltiplos e submúltiplos do metro.

Solução:

10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm. 98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km.

Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km.

Solução: 21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km.

Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal, unidade antigas ainda são utilizadas, como:

Quadro 2.1: Outros sistemas lineares. # 1 polegada inglesa1

= 25,4 mm; # 1 pé = 30,479 cm;

# 1 jarda = 3 pés = 0,91438 m; # 1 milha terrestre = 1.609,34 m;

# 1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m; # 1 milha náutica ou marítima = 1.852,35 m; # 1 vara = 5 palmos = 1,10 m; # 1 milha (bras.) = 2.200 m;

# 1 braça2

= 2 varas = 2,20 m; # 1 corda = 15 braças = 33 m; # 1 légua de sesmaria = 6.600 m. # 1 légua geométrica = 6.000 m.

Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros.

1

(20)

Solução:

1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m 1 pé = 30,479 cm, logo 5 pés = 152,39 cm, ou 1,524 m

Saiba desta ... !

Curiosidades sobre o Metro

A comissão de acadêmicos constituída por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda, formulando um esboço do sistema de medidas, encarregou os astrônomos João Delambre e Pedro Nadré Mechain, a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de 10o do meridiano, que vai de Dunquerque, no norte da França, a Monjony, próximo a Bar-celona.

Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés), do qual se dedu-ziria a quarta parte do mesmo meridiano para, então, ser determinado o padrão da unidade fundamental escolhida.

O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas, cuja décima-milionésima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominação proposta por Borda, de metro (metron = medida).

O padrão, protótipo em platina, que dá o comprimento legal do metro, construído pelo físico fran-cês Fortin, de seção retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês.

Em 1909 após seus trabalhos geodésicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre 10.002,286, chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja, o metro ar-quivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, não modificar o metro dos arquivos, razão por que na Convenção Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais países do mundo entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil, próximo a Paris, para a sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos trabalhos de metrologia. Foram então confeccionadas 30 cópias do metro, de seção especial, numa liga de 90% de platina e 10 % de irídio, e por deliberação da primeira conferência geral, realizado em 26/09/1899, a cópia mais aproximada seria o metro protótipo internacional, e as outras distribuídas pelos países participantes da conferência, seriam os protótipos nacionais.

(21)

32

Saiba também ... !

Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ?

A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos – esta no “Mille passus”, unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a 1.000 passos dados por um centurião, o comandante das suas milícias. Os passos do centurião tomados como base eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente a 63.360 polegadas, ou 1.690,34 metros. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica. Como a terra possui um for-mato arredondado, qualquer linha a contorná-la terá 360o. A linha do equador mede aproximadamente 40.000 quilômetros. Dividiu-se, então esse perímetro por 360 partes (1o) e depois por 60 (1’). Ou seja, 1 mi-nuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que é a milha marítima. Por convenção internacional, esse va-lor foi arredondado para 1.852 metros.

Saiba ainda... !

Qual a medida da LÉGUA ?

Do latim “leuca”, esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias interpretações, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a época e o povo. A légua de sesmaria equivale a 3.300 braças ou a 6, 6 km. A légua de uma hora, légua de 4,875 km. Légua geométrica possui 6.000 metros enquanto a légua marítima, a 20a parte do grau, contada num círculo máximo da terra, que vale 3 milhas, ou cerca de 5,556 km. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau. Tem-se ainda a légua quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum, légua de 4,445 km, também chamada de vinte e cinco ao grau.

Não satisfeitos, tem-se ainda a légua de beiço, distância indicada por uma pessoa que a expressa esticando o lábio inferior, para dar a entender que é longe, principalmente se for precedida de um “logo a-li” do mineirinho.

2

2 .

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2

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–

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A unidade padrão é o metro quadrado (m2), porém em topografia, em razão da avaliação de gran-des extensões da superfície, utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000 m2.

Are (a) => 100 m2

Múltiplo => 1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a Submúltiplo => 1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a

(22)

# 23,34 ha = 233.400 m2

# 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2 # 1 km2 = 1.000.000 m2

Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (An-tigo Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regiões; citando:

# 1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2

= 4,84 ha # 1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2

= 2,42 ha # 1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2

= 2,7225 ha # 1 alqueire goiano = 96.800 m2

Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geométricos.

Solução:

200 ha = 2.000.000,000 m2 = 41,3223 alqueires geométricos.

Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !), como: # 1 milha quadrada = 2,788 x 107 pés2 = 640 acres # 1 pé quadrado = 929,0 cm2 # 1 acre3 = 43.560 pés2 = 4.046,8 m2 (cerca de 0,4 ha) # 1 Braça quadrada = 4,84 m2 Saiba desta ... !

# Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 bra-ças, também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças.

# Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo, equivalente a 5 alquei-res de 100 x 100 braças.

# Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas.

# Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado. Na Bahia corresponde à superfície de um quadrado de 30 braças de lado, por exemplo.

# Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, se-ja um quadrado de 50 m de lado.

# Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares.

2

2 .

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3 –

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3

(23)

34

A unidade padrão é o metro cúbico (m3), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m. Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas:

# 1 litro = 1 dm3

; # 1 jarda cúbica = 0,7645 m3.

Exemplo 6: Transforme:

1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3

= 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3

Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa de água com as seguintes di-mensões (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm).

Solução:

Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3 Capacidade = 200 m3 = 200.000 litros

Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbi-cas por viagem.

Solução: 1 jarda cúbica = 0,7645 m3 24 jardas cúbicas = 18,348 m3 Capacidade = 18,348 m3

2

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As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e o radiano.

2

2 .

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4

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1

1 -

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l

É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é divi-dido em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 2.2).

(24)

Figura 2.2: Sistema sexagesimal. Círculo: 360o Unidade básica: 1o Submúltiplos: Minuto: 60’ = 1o Segundo: 3.600” = 1o Logo: 1o = 60’ = 3.600”

Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte, em sentido horário. As modalidades de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 – Goniologia).

Exemplo 9: 30o 49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cin-co segundos).

Pode-se executar as seguintes operações algébricas: a) Adição

# Adicionar as unidades comuns.

Exemplo 10: Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43” Solução: 50o 20’ 30” + 20o 45’ 43” 70o 65’ 73” = 71o 06’ 13” Logo, 70o 65’ 73” = 70o 66’ 13” = 71o 06’ 13”

(25)

36

# Subtrair as unidades comuns e iguais.

Exemplo 11: Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40” Solução: 50o 20’ 30” 50o 19’ 90” 49o 79’ 90” 10o 42’ 40” 10o 42’ 40” 10o 42’ 40” 39o 37’ 50” c) Multiplicação

# Multiplicar apenas por números adimensionais; # Não multiplicar ângulos por ângulos.

Exemplo 12: Multiplique 80o 20’ 30” por 5

Solução: 80o 20’ 30” x 5 400o 100’ 150” Corretamente tem-se 401o 42’ 30” d) Divisão

# Dividir apenas por números adimensionais. # Não dividir ângulos por ângulos.

Exemplo 13: Divida 80o 40’ 20” por 4.

Solução: 80 40' 20' ' 4 20 10' 05' o o = '

Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes devem ser “decimalizados”, ou seja, por exemplo:

# sen 30o_{30’ ≠ sen 30,30}o

(erro muito comum em operações trigonométricas). pois sen 30o 30’ = 0,507538362921

sen 30,30o = 0,504527623815

A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas, de-vendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais.

Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule: a) 30o 30’

(26)

b) 20o 06’ 18” c) tan 30o 20’ 01,20”

Solução: a) 60’ equivalem a 1o, logo, 30’ equivale a 0,5o, então: 30o 30’ = 30o + 0,5o = 30,5o

b) 60’ equivale a 1o, logo 06’ equivale a 0,1o; e 3600” equivale a 1o, logo, 18” equivale a 0,005o; então:

20o 06’ 18” = 20o + 0,1o + 0,005o = 20,105o

c) tan 30o 20’ 01,20” = tan 30,3336666667 = 0,585141328646

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O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, não ocorrendo com freqüência na atu-alidade. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como unidade bási-cao grado (Figura 2.3).

Círculo - 400g Unidade básica: 1g

Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g

Figura 2.3: Sistema centesimal.

Exemplo 15: 382,4839g (lê-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta e nove decimiligrados).

(27)

38

O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura 2.4). 2 π R ==> 360o a ==> α

'

18

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3 ,

57

2

360 R

a

se

R

2 a

360

0 0 0 0

≈

=

π

∴

=

π

⋅

=

α

Logo 1 radiano ≈ 57 180 _{' = α}

Figura 2.4: Sistema radiano.

Na tabela 2.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormen-te.

Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares.

Graus Grados Radianos

0o 0gr 0 rd

90o 100gr π/2 rd

180o 200gr π rd

270o 300gr 3π/2 rd

360o 400gr 2π rd

Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, principalmente ao confeccionar algum programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (Estações Totais, por exemplo) possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima.

(28)

Exemplo 16: Seja transformar: a) 358o (para grado) = 397,7g b) 120o (para grado) = 133,3g c) 76o (para grado) = 84,4g d) 104g (para grau) = 93,60 = 93o 36’ e) 96g (para grau) = 86o 24’ f) 78g (para grau) = 70o 12’ g) 100o (para radiano) = 1,74 rd h) 2 rd (para grau) = 114o 36’

A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral.

Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI).

Grandeza Nome Símbolo Definição

Comprimento Metro m “ ... a distância percorrida pela luz no vácuo em

1/299.792.458 do segundo. ” (1983).

Massa Quilograma kg

“ ... este protótipo (um determinado cilindro de platina e i-rídio) será, daqui em diante, considerando a unidade de massa. ” (1889).

Tempo Segundo s

“ ... a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação cor-respondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967).

Corrente elétrica Ampére A

“ ... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circu-lar transversal desprezível, situados no vácuo e distantes um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro.” (1946).

Área Metro quadrado m2 -

Volume Metro cúbico m3 -

Freqüência Hertz Hz s-1

Densidade Quil. por metro cúbico kg/m3 -

Velocidade Metro por segundo m/s -

Aceleração Metro por seg. quadr. m/s2 -

Força Newton N kg . m/s2 Pressão Pascal Pa N/m2 Trabalho/Energia Joule J N.m Potência Watt W J/s

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A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre dois pontos. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto.

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40

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Pelo método direto, as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamen-te os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros.

Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona, de aço ou de nylon, enrolada no interior de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m. As fitas de aço temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e até 100 metros. Na tabela abaixo (Tabela 2.3) tem-se uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão.

Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão. * Passo (por ex.: p ≅ 0,80 m)

* Régua graduada (por ex.: bambu) Baixa precisão * Medidor topográfico - De aço * Fitas - De fibra de vidro - De lona - De aço Média precisão * Trenas - De fibra de vidro Alta precisão * Fio ínvar

Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos pontos considerados. Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num plano hori-zontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distâncias devem ser feitas na horihori-zontal. Logo, caso o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das extremidades no ponto mais alto, e a ou-tra num ponto mais baixo, com auxílio de duas balizas (Figura 2.5).

Ainda, na medição de uma distância, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo são citados os erros mais comuns.

a) Erro no comprimento do diastímetro Deve ser corrigido.

(30)

Exemplo 17: Suponha um diastímetro, inicialmente, com a marcação de 25 metros.

Em segunda análise, suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório), e sua verda-deira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usuário estar medindo 25m, mas na realidade teria apenas 24,9 m.

Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distância no campo igual 100 m, qual seria a distância real ?

Solução: 100 m ⇒ 25,0 m

x m ⇒ 24,9 m

x = 99,60 m (distância real medida pelo usuário)

Exemplo 19: Ainda, para obter a distância real de 100 m, com o diastímetro acima, quanto deve-se medir no campo ?

Solução: x m ⇒ 25,0 m

100 m ⇒ 24,9 m

x = 100,40 m (a ser medido no campo para obter os 100,00 m)

b) Erro de dilatação do diastímetro Deve ser corrigido.

e

=

L

* * (

α

T

−

t

)

, onde:

e - Erro; L - Distância medida; α - Coeficiente de dilatação; T - Temperatura ambiente; t - Temperatura de aferição (± 20o

C).

c) Falta de horizontalidade do diastí-metro

Como os pontos A e B devem ser proje-tados considerando um plano horizontal, caso o-corra uma inclinação do diastímetro, a distância tomada será sempre maior que a real. Deve ser evi-tado, por exemplo, com auxílio de uma 3o pessoa verificando a posição do diastímetro (Figura 2.6).

(31)

42

Erro devido ao peso do diastímetro. Para evitá-lo deve-se esticar o diastímetro, avaliar trechos me-nores ou adotar escoras intermediárias. (Figura 2.7).

e) Desvio vertical da baliza

Em virtude das balizas não estarem perfeita-mente na vertical, a distância medida pode ser maior ou menor que a distância real AB (Figura 2.8).

Deve ser evitado, por exemplo, com a utiliza-ção de um nível de cantoneira.

f) Erro de desvio lateral do diastímetro Considerando dois pontos topográficos, a dis-tância horizontal entre eles deve ser tomada materiali-zando um alinhamento reto, ou seja um traço da interse-ção do terreno com apenas um plano vertical que contém estes pontos. Deve ser evitado, por exemplo, através do balizamento (Figura 2.9).

g) Enganos

Ocorre pela inabilidade do operador. Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posição do ze-ro no diastímetze-ro, erze-ro de leitura, omissão de trenadas, anotação errada, etc. Este erze-ro tem de ser evitado.

3

3 .

.

2

2 -

-

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Na medição indireta de distâncias, estas são determinadas sem percorrer o alinhamento. Os ins-trumentos de medida indireta de distância são denominados distanciômetros. Estes podem ser:

# Óticos # Mecânicos # Eletrônicos

Os instrumentos óticos e mecânicos são designados de taqueômetros ou taquímetros. Figura 2.7: Erro de catenária.

Figura 2.8: Desvio vertical da baliza.

(32)

O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria, por este ser um processo de levantamento muito aplicado em levantamentos topográficos, contudo com o avanço da utilização de instru-mentos eletrônicos para obtenção de distâncias, reafirma-se a divisão proposta.

Taqueometria é a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias horizontais e das diferenças de nível, quer por meios óticos, quer por meios mecânicos, empregando-se instrumentos de-nominados taqueômetros.

Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos esta-dimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados às miras verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal e a diferença de nível entre dois pontos.

Nos itens a seguir (3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4), dá-se ênfase ao processo de obtenção de distâncias e diferenças de nível com uso de taqueômetros, associados à miras verticais.

3

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2

2 .

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l

O princípio de construção está ilustra-do figura 2.10, onde: AC AF BC EF = (01) AC AF CD FG = (02) AC AF BC CD EF FG BD EG = + + = (03) sendo

AC - Distância a ser determinada (D) AF - Distância focal (f)

BD - Leitura estadimétrica (m) (FS - FI) EG - Altura dos fios do retículo (h)

h f * m D h m f D = ∴ = (04) ) te tan cons ( g h f =

D

= ⋅

m g

onde # D - Distância horizontal;

# m - Leitura estadimétrica onde: m = FS - FI;

(33)

44

onde FS - Fio superior do retículo; FI - Fio inferior do retículo; FM - Fio médio do retículo; # g - Constante do aparelho. Em 99% dos casos, g = 100;

Existe ainda a seguinte relação:

Obs.: Muitas vezes é considerando a igualdade ao invés da aproximação da igualdade.

Exemplo 20: Dados os fios FS, FI e g, calcule o FM e a distância (Figura 2.11):

Solução: FS = 2,800 m; FI = 1,200 m g = 100 2 . FM ≅ (FS + FI) => 2 . 2,000 = (2,800 + 1,200) => 4,000 = 4,000 OK ! m = FS - FI = 2,800 - 1,200 = 1,600 m D = m . g = 1,600 . 100 = 160 m

Em alguns taqueômetros, a luneta pode não coincidir com o centro do instrumento (alática) ou coincidir (analática) (Figura 2.12).

No caso da luneta alática, para determinação das distâncias ho-rizontal e vertical, deve-se considerar a constante “c” mais a distância focal “f”.

A maioria das lunetas dos taqueômetros é analática.

Figura 2.12: Tipos de luneta – Alática e Analática.

3

3 .

.

2

2 .

.

2

2 -

-

D

i

s

t

â

n

c

i

a

H

o

r

i

z

o

n

t

a

l

-

P

l

a

n

o

I

n

c

l

i

n

a

d

o

2 . FM ≅ FS + FI

Figura 2.11: Fios estadimétri-cos.

(34)

Seja agora a figura 2.13, considerando um plano inclinado: BD = m - Leitura estadimétrica com a mira na vertical; FG = n - Leitura estadimétrica com a mira normal à visada;

AC = n . g (05);

AE = AC . cosα (06)

AE = n . g . cosα (07)

Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulos semelhantes ao triângulo ACE) (Figu-ra 2.13), os ângulos: FCB=DCG=CAE= α (08) α ⋅ = ∴ = α / ⋅ / = α ∴ = α cos m n m n cos m 2 2 n cos 2 m 2 n cos n = m . cosα (09) (09 em 07) D = m . g . cosα . cosα (10)

Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia), a fórmula estadimétrica será:

3

3 .

.

2

2 .

.

3

3 -

-

D

i

f

e

r

e

n

ç

a

d

e

N

í

v

e

l

Considere a figura 2.14, para avaliar a diferença de nível FG, ou seja, a distância vertical entre o ponto F e a projeção do ponto A.

BD => Leitura estadimétrica - m; FG => Diferença de nível;

LE => D = m . g . cos2α (12)

CF => Leitura feita na mira com o fio médio - alvo; EG => i - Altura do instrumento.

Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II.

D = m . g . cos

2

α

(35)

46 Definição: FG = CG - CF (13) CG = CE + EG (14) (14) em (13) FG = CE + EG - CF (15) CE = LE . tgα (16) (16) em (15) FG = LE . tgα + EG - CF (10) (17) Substituindo, tem-se: dn = m . g . cos2α . tgα + i – alvo (18)

(

)

dn

=

⎡

m g

⋅ ⋅

sen

⋅

+ −

i

l

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

2

2 α

Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia), a fórmula taqueométrica será:

(

)

l

i

2 Z

2 sen

g

m

dn

=

⋅

+

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

Na tabela 2.4 tem-se um resumo das equações taqueométricas para avaliar distâncias horizontais e diferenças de nível.

Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas. Analática Plano horizontal Distância horizontal D = m . g Plano inclinado Distância horizontal D = m . g . cos2 α (α) D = m . g . sen2 Z (Z) Plano inclinado Diferença de nível

(

)

dn=⎡m g⋅ ⋅sen ⋅ i l ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + − 2 2 α _(α)

(36)

(

)

l i 2 Z 2 sen g m dn + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _⋅ _⋅ ⋅ = (Z)

Igualmente à medida direta de uma distância, ao avaliar indiretamente uma distância por taqueome-tria, alguns cuidados devem ser considerados, evitando alguns erros como:

# Na leitura da mira - Distância imprópria, capacidade de aumento focal da luneta, desvios causa-dos pela refração atmosférica;

# Erros nas constantes c, f, g; # Falta de verticalidade da mira;

# Erro na medição do ângulo de inclinação (α ou Z).

3

3 .

.

2

2 .

.

4

4 -

-

D

i

s

t

â

n

c

i

a

s

M

á

x

i

m

a

s

e

M

í

n

i

m

a

s

Através de exemplos, pode-se demonstrar as máximas e mínimas distâncias que podem ser obtidas pela taqueometria. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto teórico, ou seja, matematicamente, ou pelo aspec-to prático, ou seja, a real distância que se pode obter pelo taqueômetro.

Na consideração teórica estão em questão o tamanho da mira e sua menor subdivisão, e o valor da constante g.

Para a prática, depende diretamente do foco do instrumento, sendo que a distâncias superiores a 150 m, e inferiores a aproximadamente 5 m, a imagem do objeto começa a ficar prejudicada.

Exemplo 21: Sejam os dados abaixo, calcule a máxima distância teórica conferindo (Figura 2.15) e sem conferência (Figura 2.16).

Dados:

L (tamanho da mira) = 4,000 m g = 100

Solução:

Obs.: A máxima distância entre dois pontos é aquela tomada na horizontal, logo:

D = m . g m = FS - FI

m = 4,000 - 0,000 = 4,000 m

(37)

48 D = 4,000 x 100 = 400 m (conferindo)

Obs.: Para determinar a distância máxima sem conferência, um dos fios (superior ou inferior) está impossibilitado de ser lido, logo, deve ser calculado pela fórmula:

FM= FS+FI∴ m= FS+ ∴FS= m 2 4 000 0 000 2 8 000 , , , m = 8,000 - 0,00 = 8,000 m D = 8,000 x 100 = 800 m (sem conferência)

Exemplo 22: Sejam os dados a-baixo, calcule a mínima distância teórica conferindo (Figura 2.17). Dados: menor subdivisão = 0,010 m g = 100 Solução: D = m . g m = 1,010 - 1,000 = 0,010 m D = 0,010 x 100 = 1,000 m (conferindo)

Exemplo 23: Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de distâncias é tomada considerando um plano inclinado. Considerado os dados abaixo e as fórmulas da tabela 2.4, calcule a distân-cia horizontal e diferença de nível entre dois pontos (Figura 2.18).

Dados: FS = 2,344 m; FI = 1,200 m; FM = 1,772 m; g = 100; α = 30o 30’; i = 1,5 m Solução: a) Distância horizontal D = m . g . cos2α D = (FS - FI) . 100 . cos2 (30o 30’) D = (2,344 - 1,200) . 100 . cos2 (30,5o) = 1,144 . 100 . 0,74240 = 84,931 m b) Diferença de nível

Figura 2.16: Máxima distância teórica sem confe-rência.

(38)

dn= ⋅ ⋅m g sen2⋅ + −i l 2 α _{∴ dn} FS FI sen o =( − )⋅100⋅ 2 30 30. '+ , − , 2 1 500 1 772

(

)

dn sen dn o = ⋅ ⋅ + − = ⋅ ⋅ + − = 1 144 100 2 30 5 2 1 500 1 772 1 144 100 0 43730 1 500 1 772 , . , , , , , , , 49,756 m

4

4 -

-

G

o

n

i

o

l

o

g

i

a

A Goniologia estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo. Para seu es-tudo alguns autores a dividem em:

# Goniografia - Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos;

# Goniometria - Estuda os processos e instrumentos necessários para a medida dos ângulos em campo.

Na figura abaixo (Figura 2.19) têm-se os vários tipos de ângulos utilizados na topografia, comenta-dos nos itens 4.1 e 4.2.

(39)

50

Figura 2.19: Ângulos na Topografia.

Os instrumentos utilizados para medir estes ângulos em campo (e escritório) são denominados de goniômetros. O teodolito é um goniômetro que possui limbos vertical e horizontal (Figura 2.19), internos ou externos. O limbo é a parte específica do goniômetro que permite fazer a avaliação numérica dos ângu-los. É constituída de uma coroa graduada podendo ter os seguintes sistemas de graduação:

# Sexagesimal (grau) # Centesimal (grado)

4

4 .

.

1

1 -

-

Â

n

g

u

l

o

s

H

o

r

i

z

o

n

t

a

i

s

O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais, considerando um eixo (Figura 2.20). Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que serve de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos.

Os ângulos horizontais azimutais, têm por origem a direção norte-sul, sendo denominados de a-zimutes e rumos;

Os ângulos goniométricos são medidos com relação a um alinhamento qualquer, sendo denomina-dos de ângulos entre alinhamentos (interno ou externo) e deflexões.

(40)

Figura 2.20: Ângulo horizontal α.

4

4 .

.

1

1 .

.

1

1 -

-

Â

n

g

u

l

o

s

A

z

i

m

u

t

a

i

s

a) Azimutes

É o ângulo horizontal formado entre a direção te-sul e um alinhamento, tendo por origem o sentido do nor-te e grandeza variável entre 0o e 360o (Figura 2.21).

O azimute recíproco de um alinhamento AB (van-te) é o azimute deste alinhamento em sentido contrário, isto é, o azimute de BA (ré), os quais diferem de 180o, ou seja (Figura 2.22):

AZ_BA =AZ_AB+180o₍₁₉₎

b) Rumos

É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como origem a dire-ção norte ou sul, ou seja, com grandeza variável entre 0o e 90o (Figura 2.23).

c) Conversão de Rumo em Azimute

Figura 2.21 : Medição de azimutes.

(41)

52

Algumas vezes avalia-se em campo o valor do azimute, e este deve ser transformado em rumo pa-ra cálculos posteriores, logo como os rumos e os azimutes são referidos à uma mesma direção, estes podem ser relacionados entre si (Figura 2.24).

4

4 .

.

1

1 .

.

2

2 -

-

Â

n

g

u

l

o

s

G

o

n

i

o

m

é

t

r

i

c

o

s

a) Ângulos horários internos e externos

É o ângulo formado entre dois alinhamentos, contado no sentido horário e variável de 0o a 360o, internamente (interno) ou externamente (externo) ao polígono (Figura 2.25).

b) Ângulos de deflexão

Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos. Figura 2.23: Medição dos rumos.