y ax b y x Cálculo I Limite de uma função Sartori, C. S. 01 Revisão - Funções: - Definição:

(1)

1

Revisão - Funções:

- Definição:

Lembrando que uma função é uma relação entre dois conjuntos que obedecem às restrições:

1) Esta relação envolve um elemento do primeiro conjunto, chamado domínio da função f em apenas um elemento do outro conjunto denominado

contra-domínio.

2) Uma vez definido o conjunto X (domínio) todos elementos deste devem ser relacionados.

Notação:

f X

:

Y

Classificação:

Sobrejetora: Uma função é sobrejetora,

quando seu conjunto imagem é igual ao seu contra domínio.

Injetora: Uma função é injetora quando todos

os elementos de seu domínio possuem imagens distintas.

{ x1,x2 Dom f(x) (x1 x2) f(x1) f(x2)} Bijetora: Quando for injetora e sobrejetora. Classificação quanto á Paridade:

Função Par:

Uma função é quando f(+x)=f(-x)

O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo Oy.

Exemplo 1 - Esboce o gráfico de f(x) = 1/x2

Função Ímpar

Uma função é quando f(+x)=-f(-x)

O gráfico da função ímpar é simétrico em relação à origem.

Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função: f(x) = 1/x.

I - Funções Elementares: I.a - A Função Linear:

A função linear é definida, em sua forma reduzida, por: y = ax + b.

O valor de a é denominado de coeficiente angular e relaciona-se com a inclinação da reta com o eixo x. Já o valor de b é a interceção da reta com o eixo Oy, ou seja o ponto de coordenadas (0,b). Sejam dois pontos por onde a reta passa:

P x y

₁

( ,

₁ ₁

);

P x y

₀

( ,

₀ ₀

)

y

ax b

a

y

x

y

x

1 0 1 0

É útil também sabermos a equação do feixe de retas que passa pelo ponto

P x y

₀

( ,

₀ ₀

)

:

)

(

)

(

)

(

x

f

x

₀

a

x

₀

f

Graficamente, quando a > 0, a reta tem inclinação aguda com o eixo x, quando a < 0, a reta possui inclinação obtusa: a) a > 0 b) a < 0 -3 -2 -1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 1 2 3 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3

(2)

-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3

Tente encontrar, a partir do gráfico, as equações destas retas. Observe que o domínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem (Im f = R).

I.b. Função módulo.

A função módulo é definida por:

y

x

x x

;

0

a) Domínio: R; conjunto imagem: y [ 0 , ). b) Gráfico: c) Propriedades: i) ii) iii) iv) v) x x R x y x y x a a R x a x a x a a R a x a x x 0 2 ; ; ;

I.c - A Função Quadrática:

A função quadrática é toda expressão do tipo:

F A

:

B f x

; ( )

ax

2

bx

c a

;

0

Raízes: Ao resolvermos a equação:

f x

( )

ax

2

bx

c

0

; teremos como solução:

x

b

ac

a

b

a

b

ac

2 2

4

2

4

(Equação de Báscara)

Dependendo do valor do delta teremos os seguintes casos:

I. > 0 f(x) possui 2 raízes reais e distintas.

II. = 0 f(x) possui 1 única raiz real.

III. < 0 f(x ) Nenhuma raiz real.

A função quadrática, ou parábola, poderá ter um ponto de máximo ou de mínimo, conforme o sinal de a:

IV. a > 0 Concavidade para cima - Ponto de mínimo em yv.

V. a < 0 Concavidade para baixo - Ponto de máximo em yv.

VI. f(x) = ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)

Onde x1 e x2 são raízes de f(x)

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:

V

x y

x

b

a

y

a

v v v v

(

,

);

;

2

4

VI. Conjunto Imagem:

Se a > 0 _{Im f = [ yv , )} Se a < 0 _{Im f = (- , yv ]}

- VII. Relação entre coeficientes e raízes: Soma e Produto :

S

x

b

a

P

x x

c

a

1 2 1

.

2 VIII. Gráficos: a > 0 > 0 a < 0 > 0 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 2 4 6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 2 4 6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

(3)

I.d - A Função exponencial:

A função exponencial é definida

nida por:

f R

:

R f x

; ( )

a a

x

,

0 ;

a

1

. Quando a for maior que 1 , a função é crescente; quando 0 < a < 1 a função é dita decrescente. O Domínio da função exponencial é o conjunto dos números reais (Dom f = R). Já o conjunto imagem é o intervalo: {y R y > 0} , ou seja, a função exponencial é extritamente positiva, tanto a crescente como a decrescente.

I. Gráficos:

Note que a reta y = 0 nunca intercepta o gráfico da função exponencial; ela é dita uma assíntota

à função.

II. Conjunto Imagem: {y R y > 0} III. Domínio: x R .

IV - Propriedades: Seja a > 0 e a 1. Sejam

x e y R. As seguintes propriedades são válidas:

y

x

a

y

x

a

y x y x x x x y x y y x y x y x y x y x y x

1 <

0 e

Se

viii)

1 e

Se

vii)

1 )

vi

1 v)

iv)

ii)

)

(

iii)

.

i)

0 .

I.e - A Função logarítmica:

A função logarítmica é definida por :

f R y x x a x a a a y :( , ) ; log , 0 0 0 1 Condições de Existência: e .

Assim, temos para que a função logarítmica seja definida, deve-se satisfazer sempre as condições de existência. x é chamado de logaritmando e a de base.

I. Domínio: x (0, ) II. Imagem: y R.

III. Propriedades: A função logarítmica é a função

inversa da função exponencial de mesma base.

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi) Se

e

vii) Se 0 <

e

vii) Seja

e

viii)

log

log ( .

)

log (

)

log

,

log

lo g a y a a a a a a a a n a a a a a b a a x

x

y

x

a

x

x x

x

n

x

a

x

a

x

a

b

a b

x

b

a

x

1 0

1

0

1

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 iv) Gráficos:

A função logarítmica pode ser crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a < 1).

O gráfico abaixo ilustra cada caso.

Notar que a assíntota à função logarítmica é a reta x=0

-4 -2 0 2 4 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 -4 -2 0 2 4 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(4)

II - Funções Trigonométricas

II.a - Triângulo Retângulo: Relações Métricas: a b c

tg

c

b

tg

sen

a

c

a

b

sen

1 cos

cos

tg

b

c

ctg

sen

b

a

c

a

1

1 sec

cos

1 sec

Estudo de sinais: Círculo Trigonométrico:

cosx senx tgx x I Q II Q III Q IV Q 0 90 180 270   /2 3 2  2

Quadrante senx cosx tgx

I Q (0 < x < 90)0₎

+

I IQ (900_{< x < 180}0₎

+

-

I Q (1800_{< x < 270}0₎

-

I Q (2700_{< x < 360}0₎

-

+ -

Tabela de Conversão:

Seja x I quadrante e um ângulo qualquer: Podemos encontrar as funções trigonométricas desse ângulo a partir do correspondente ângulo do primeiro quadrante, fazendo a chamada conversão ao primeiro quadrante.

Então:

Quadrante: sen cos tg II Q 900< < 1800 sen( - ) -cos ( - ) - tg ( -x) III Q 1800< < 2700 -sen ( - ) -cos ( - ) tg ( - ) IV Q 900 < < 3600 -sen (2 - ) cos (2 - ) -tg(2 - )

II.b) Relações Fundamentais:

sen x x x tg x x ctg x 2 2 2 2 2 2 1 1 1 cos sec cossec Observação: 2

cos

sen

Valores particulares: sen cos tg 0 0 1 0 6 2 1 2 3 3 3 4 ₂2 ₂2 1 3 2 3 2 1

₃

2 1 0 _ 0 -1 0 2 3 -1 0 _ 2 0 1 0 II.c) Gráficos:

IIc.1) Função seno:

-10 -5 0 5 10 -1 -0.5 0 0.5 1

(5)

Domínio: {x } Imagem: {y [-1.1]} Período: 2

IIc.2) Função cosseno:

Domínio: {x } Imagem: { y [-1.1]} Período: 2

IIc.3) Função tangente:

Domínio: {x  x k + /2 ;k }

Imagem: {y } Período:

IIc.4) Função secante:

Domínio: {x  x k + /2 ;k }

Imagem: {y (- ,-1)(1, )} Período:

IIc.5) Função Cossecante:

Domínio: {x  x k ; k } Imagem: {y (- ,-1)(1, )} Período: 2

IIc.3) Função Cotangente:

Domínio: {x  x k ; k } Imagem: {y }

Período: 2

II.d) Relações: Soma e subtração de arcos, arco

duplo, arco metade:

1) Soma e Subtração:

sen( ) sen .cos sen .cos cos( ) cos .cos sen .sen

( ) . a b a b b a a b a b b a tg a b tga tgb tga tgb   1 -10 -5 0 5 10 -1 -0.5 0 0.5 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 -30 -20 -10 0 10 20 30 -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 -20 -10 0 10 20

(6)

2) Arcos Duplos: sen a sena a a a sen a tag a tga tg a ( ) .cos cos( ) cos ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 ) Transformação Soma-Produto: sen A B sen A B A B sen A B A B sen A B A B A B A B A B sen A B sen B A ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( )

cos( ) cos ( ) cos ( )

cos( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

II - Introdução à teoria de Limite

Vizinhança de um ponto:

Como os números reais são representados por pontos de uma reta, através de suas abcissas, é costume utilizar a palavra “ponto” em lugar de número”.

Dizemos que um número real x é ponto interior a um conjunto dado C se esse conjunto contém um intervalo (a,b), que por sua vez contém x, isto é :

x  (a,b)  C

Segundo essa definição, todos os elementos de um intervalo aberto são pontos interiores desse intervalo. O interior de um conjunto C é o conjunto de todos seus pontos interiores. Logo, o intervalo (a,b) é seu próprio conjunto interior. Também é o interior do intervalo fechado [a,b].

Dizemos que o conjunto C é aberto, se todo ponto de C é interior a C, isto é, se o conjunto coincide com seu interior. O conjunto vazio é aberto pois coincide com seu interior, que é vazio.

Denomina-se vizinhança de um número ou ponto a a qualquer conjunto que contenha a interiormente. Se esse conjunto estiver simetricamente distribuido, com a no centro, e à distância de + e - de a; dizemos que temos uma vizinhança de centro a e de raio . Podemos representar da seguinte maneira:

V (a-,a+)

Representamos na reta real:

a- a a+ x  

Podemos considerar uma vizinhança de a excluindo o próprio valor de a:Denominamos V’(a):

V’(a)= V(a)-{a}={x  0 <

0 x

a

}

Diz-se que o número a é ponto de acumulação de um conjunto C se toda vizinhança de a contém infinitos elementos de C. Equivale-se dizer que: toda vizinhança de a contém algum elemento de C diferente de a. Ou: Dado  > 0 :V’(a) contém

algum elemento de C.

Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto. Exemplo: os pontos a e b de um intervalo aberto (a,b) são pontos de acumulação desse conjunto, mas não pertencem a ele. Todos os pontos do intervalo também são seus pontos de acumulação e pertencem a ele.

Dizemos que um ponto x é ponto de aderência de um conjunto C, ou ponto aderente a um conjunto C, se qualquer vizinhança de x contém algum elemento de C. Isso significa que x pode ser um elemento de C ou não, se não for será ponto de acumulação de C. O conjunto dos pontos aderentes a C é chamado de fecho ou aderência de C, denotado pelo símbolo

C

. Observe que

C

é a união de C com o conjunto C’de seus pontos de acumulação.

C

(7)

Diz-se que um conjunto é fechado quando ele coincide com sua aderência:

C



C

, ou seja, quando ele contém todos seus pontos de acumulação:

C

. Esse é o caso de um intervalo [a,b], do tipo que já se conhecia como “fechado”.

Como exemplo citamos o conjunto:

,...}

,...,

,

{

₄3 ₁ 3 2 2 1 n n

A

discreto, pois seus pontos são todos isolados, e seu único ponto de acumulação é o número 1, que não pertence ao conjunto. Se o incluirmos ao conjunto A, teremos a aderência de A, que é o conjunto:

,...}

,...,

,

1 {

}

1 {

₄3 ₁ 3 2 2 1 n n

A

B



Observamos que esse conjunto C é fechado. Isso acontece sempre que juntarmos o conjunto C com o C’ de seus pontos de acumulação, a aderência

C



não terá outros pontos de acumulação além dos que já estavam em C’. Assim veremos alguns teoremas que confirmam isso:

Teorema: A aderência

C

de qualquer conjunto C é um conjunto fechado.

Teorema:

a) A interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

a) A união de uma família qualquer de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Teorema: Um conjunto F é fechado se e

somente se seu complementar A = FC=R-F é aberto.

Teorema: A união de um conjunto finito de u

conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Exercícios:

1. Dada o centro a e o raio , represente na reta as vizinhanças dadas V (a-,a+):

a)  = 0,1 e a =1 b)  = 0,2 e a =2 c)  = 0,1 e a =-2 d)  = 0,1 e a =1/2 e)  = 0,03 e a =1/5 f)  = 0,025 e a =4 g)  = 0,005 e a =-5

2. Escreva na forma de intervalo aberto as vizinhanças do problema anterior.

3. Dê 2 pontos de acumulação das vizinhanças do problema 2.

II.q - O Limite de uma Função:

Significação intuitiva:

No cálculo e suas aplicações, é importante explorar valores e comportamento de funções próximos a determinados números a de seu domínio, ou de valores que não estão definidos em seu domínio.

Considere a função :

6

3

2 )

(

2 3

x

f

Vamos explorar seu comportamento em torno de a = 2. Veja que ela não é definida em x = 2 pois torna-se nulo o denominador. Cuidado! Divisão por zero não é definida!

Com o auxílio do programa Excel construimos a tabela (x,f(x)) .( Faça: Coluna A1 idêntica à mostrada e digite na B1:= (A1^3-2*A1^2)/(3*A1-6))

Parece que quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 4/3 está f(x); entretanto não podemos ter certeza disto pois calculamos apenas alguns valores da função para x próximos de 2. Para obtermos um valor mais convincente fatoramos o numerador e o denominador de f(x):

)

2 (

3 )

2 (

)

(

2

x

f

Se x2 podemos simplificar e vemos que:

3 )

(

2

x

f

Veja que o ponto

)

3

4 ,

2 (

deve ser omitido para essa função. Assim, quanto mais próximo de 2 estiver x, mais próximo de 4/3 estará f(x).

Em geral, se uma função f é definida em todo um intervalo aberto contendo um número real a, exceto possivelmente no próprio a podemos perguntar:

1,9000000000 1,2033333333 1,9900000000 1,3200333333 1,9990000000 1,3320003333 1,9999000000 1,3332000033 1,9999900000 1,3333200000 1,9999990000 1,3333320000 1,9999999000 1,3333332011 1,9999999900 1,3333333333 1,9999999990 1,3333333333 1,9999999999 1,3333333333

(8)

1. A medida que x está cada vez mais próximo de a (mas x a) o valor de f(x) tende para um número real L?

2. Podemos tornar o valor da função f(x) tão próximo de L quanto queiramos, escolhendo x suficientemente próximo de a (mas x a)?

Caso seja possível isso escrevemos:

L

x

f

a x

(

)

lim

Dizemos que o limite de f(x), quando x tende para a é L, ou que f(x) se aproxima de L quando x se aproxima de a.

Exemplo 1 - Outro comportamento interessante ocorre com a função:

x

senx

x

f

(

)

Veja a tabela abaixo: (Construa no Excel). x x senx x f( ) 2,0000000000 0,4546487134 1,0000000000 0,8414709848 0,5000000000 0,9588510772 0,4000000000 0,9735458558 0,3000000000 0,9850673555 0,2000000000 0,9933466540 0,1000000000 0,9983341665 0,0100000000 0,9999833334 0,0010000000 0,9999998333 0,0001000000 0,9999999983 0,0000100000 1,0000000000 0,0000010000 1,0000000000 Observe que quanto mais x se aproxima de 0, tanto atravéz de valores positivos como através de valores negativos, o valor de

x senx x

f( ) se aproxima de 1. Assim dizemos que esse limite, denominado de limite trigonométrico fundamental, vale:

1 lim

0

_x

senx

x

Mais tarde demonstraremos tal relação. Exemplo 2 – Considere agora a função:

x x

x

f

(

)

(

1

)

Vamos tomar valores bastante grandes de x. De novo construa uma tabela no Excel, nos tempos de hoje isso é facil e barato.

x x x

x

f

(

)

(

1

)

1 2,0000000000 10 2,5937424601 100 2,7048138294 1000 2,7169239322 10000 2,7181459268 100000 2,7182682372 1000000 2,7182804692 10000000 2,7182816940 100000000 2,7182817864 1000000000 2,7182820308

Veja que há uma certa convergência nas casas decimais. Provaremos mais tarde que esse limite dessa função, quando x torna-se incrivelmente grande; diz-se x tende a infinito, aproxima-se do número de Napier e 2.71828, que é um número irracional.

1) Definição:

Seja f uma funçãoError! Bookmark not defined. definida em todo número de algum intervaloError!

Bookmark not defined. aberto I, contendo a, exceto

possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima-seError! Bookmark not defined. Error! Bookmark not defined.de a é L, que pode ser escrito por:

lim ( )

x af x L

se para qualquer > 0 , mesmo pequeno, existir um > 0 tal que:

f x( ) L sempre que 0 x a

Isto significa que os valores da função f se aproximam-se de um limite Error! Bookmark not defined.L quando x aproxima-se de um número a se o valor absoluto da diferença entre f(x) e L puder ser tão pequeno quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo a a mas não igual a a.

É importante notar que nada é mencionado sobre o valor da função quando x=a. Isto é, não é necesssário que a função seja definida em a para que exista o limite.

Exemplo 3: Seja a função definida por :f(x)=4x-1. dado que lim ( ) . ( ) . x f x f x x 3 11 0 01 11 0 01 0 3

encontre um para tal

que sempre que

Solução: f x x x x x x x x x x ( ) ( ) . . . ( ) . . 11 4 1 11 4 12 4 3 4 3 0 01 0 3 3 0 0025 0 3 0 0025 4 1 11 0 01 0 3 0 0025 sempre que ou sempre que sempre que

Teorema 1: Se m e b são constantes quaisquer:

lim(

)

(9)

Teorema 2: Se c é uma constante, então:

lim

;

x a

c

a

Teorema 3: Se:

lim ( )

;lim ( )

lim( ( )

( ))

x a

f x

L

x a

g x

M

x a

f x

g x

L

M

Teorema 4: Se:

M

L

x

g

x

f

M

x

g

L

x

f

a x a x a x

.

))

(

).

(

lim

)

(

lim

;

)

(

lim

Teorema 5: Se:

lim ( )

;

; lim[ ( )]

x a x a n n

f x

L n

Z

f x

L

Teorema 6: Se:

lim ( )

;

; lim[

]

x a x a n n

f x

L n

Z

f (x)

L

Teorema7: Se

M

L

x

g

x

f

M

x

g

L

x

f

a x a x a x

/

))

(

/

)

(

lim

0 ,

)

(

lim

;

)

(

lim

Exemplo 4: Encontre os limites:

a) lim ) lim )( ) ( ) lim( ) x x x x x x x x x x x 3 3 3 2 3 2 27 3 3 3 9 3 3 9 27 ( (

b) Seja a função definida por:

0 se

2

0 se

x

)

(

x

f

determine x

f x

0

lim

( )

x

f x

0

lim

( )

2) Limites Unilaterais: Ao considerarmos o valor de x a

f x

L

lim ( )

estamos interessados nos valores de x num intervalo aberto contendo a , mas não no próprio, isto é, em valores de x maiores ou menores do que a. Supomos que x se aproxima de a pela direita e pela esquerda, respectivamente.e denotamos por:

x a

f x

L

lim ( )

; x a

f x

L

lim ( )

. Teorema: x a

f x

L

lim ( )

se e somente se existirem x a

f x

lim ( )

; x a

f x

lim ( )

e: x a x a x a

f x

lim ( ) lim ( ) lim ( )

Exemplo 5 : Seja h definida por:

1 se

2

1 se

4 )

(

₂ 2

x

h

Encontre os limites unilaterais:

lim ( ) lim ( ) x x h x x 1 1 2 4 3 lim ( ) lim ( ) x x h x x 1 1 2 2 3; Portanto:lim ( ) x h x 1 3

Exemplo 6 : Calcule os limites unilaterais em torno de 0 para a função:

x x

x

f

(

)

Observe, lembrando da definição da função módulo, que quando x tende a zero pela esquerda:

1

1 lim

lim

0 0 0 x x x

_x

x

1

1 lim

lim

0 0 0 x x x

_x

x

Exemplo 7: Determine os limites :

0 lim

)

(

lim

2 0 0 0

x

x x x

0 lim

)

(

lim

2 0 0 0

x

x -4 -2 2 4 -20 -10 10 20 -4 -2 2 4 -1 -0.5 0.5 1

(10)

3) Limites no infinito

Definição: Seja f uma função definida em todo número

de um intervalo aberto (a,+ ) , o limite de f(x), quando x cresce ilimitadamente é L, que pode ser transcrito como:

lim ( )f x L x

Da mesma forma, se x tende a um número negativo que cresce em módulo e possui no limite o valor L, denotamos por:

lim ( )f x L x

Teorema: Se r é um número inteiro e positivo,

então: i x ii x x r x r ) lim 1 0 ) lim 1 0 Exemplo 8 : Encontre o limite abaixo:

lim lim ( ) / ( ) / x x x x x x x x x x x x 2 5 3 5 2 5 3 5 2 2 2 2 2 2 lim lim lim x x x x _x x x _x x 2 1 5 3 5 2 1 5 3 5 2 3 2 2 4) Limites Infinitos:

Definição: Seja f uma função definida em todo

número do intervalo aberto I contendo um número a, exceto, possivelmente no próprio número a. Quando x se aproxima de a, f cresce ilimitadamente, o que é escrito como:

lim ( )f x

x a

Caso x se aproxime de a e f(x) decresce ilimitadamente, escrevemos como:

lim ( )f x x a Definição: lim ( )f x x a é equivalente a lim ( ) x a x a f x

Teorema: Se r é um número inteiro positivo

qualquer, então: i) lim x 0_xr 1 ii) lim x 0 _xr 1 iii)

ímpar

é

r

se

par

é

r

se

1 lim

0 r x

x

Teorema: Se a é um número real qualquer e se lim ( )f x

x a

0 e lim ( )g x c

x a

, onde c é uma constante não nula, então:

(i) Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores positivos de x, lim ( )

( )

x a

g x f x

(ii) Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores negativos de x, lim ( )

( )

x a

g x f x

(iii) Se c <0 e se f(x) 0, através de valores positivos de x, lim ( )

( )

x a

g x f x

(iv) Se c <0 e se f(x) 0, através de valores negativos de x, lim ( )

( )

x a

g x f x

O teorema também é valido se "x a" for substituído

por x a ;x a ,x ;x . Exemplo 9: Encontre: a) lim lim ( )( ) x x x x x x x x x x 3 2 2 ₃ 2 2 2 3 2 3 1

O limite do numerador é 14 e no denominador é 0, o que pode ser verificado por:

lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) .

x x x

x x x x

3 3 3

3 1 3 1 0 4 0

Verificamos que o denominador está se aproximando de 0 através de valores positivos. Aplicando o terorema de limite (i), teremos:

lim x x x x x 3 2 2 2 2 3 b) lim lim ( )( ) x x x x x x x x x x 3 2 2 ₃ 2 2 2 3 2 3 1

O limite do numerador é 14 e no denominador é 0, o que pode ser verificado por:

lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) .

x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 3 x 1 0 4 0

Verificamos que o denominador está se aproximando de 0 através de valores negativos. Aplicando o terorema de limite (ii), teremos:

lim x x x x x 3 2 2 2 2 3 c)lim x x x x x 3 2 2 2 2 3 pois lim x x x x x 3 2 2 2 2 3 -4 -2 2 4 -6 -4 -2 2 4 6

(11)

Teorema:

Se lim ( ) lim ( )

x a x a

f x e g x c , onde c é uma constante qualquer, então:

lim [ ( ) ( )] x a f x g x Teorema: Se lim ( ) lim ( ) x af x e x ag x c , onde c é uma constante qualquer, exceto 0, então:

(i) Se c > 0 lim [ ( ). ( )] x a f x g x (ii) Se c < 0 lim [ ( ). ( )] x a f x g x Teorema: Se lim ( ) lim ( ) x a x a f x e g x c onde c é

uma constante qualquer, exceto 0, então: (i) Se c > 0 lim [ ( ). ( )]

x a f x g x

(ii) Se c < 0 lim [ ( ). ( )]

x a

f x g x

O teorema também é valido se "x a" for

substituído por x a ;x a ,x ;x .

5) Assíntotas

:

Definição: Diz-se que a reta x=a é uma

assíntota vertical do gráfico de uma função f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:

(i) x a

f x

lim ( )

(ii) (ii) x a

f x

lim ( )

(iii) x a

f x

lim ( )

(iv) x a

f x

lim ( )

Definição: Diz-se que a reta y=b é uma

assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: (i) lim ( ) x f x b (ii) lim ( ) x f x b

Exemplo 10 : Encontre as assíntotas verticais e horizontais da equação xy2 2y2 4x 0 e trace um esboço do gráfico: Resolvendo a equação: y x x 2 2 Vemos que: f x x x 1 2 2 ( ) e f x x x 2 2 2 ( )

Assíntotas verticais: lim

x x x 2 2 2 e lim x x x 2 2 2 Assíntotas horizontais: lim lim x x x x x x 2 2 2 2 2 2 lim lim x x x x x x 2 2 2 2 2 2

A seguir representamos os gráficos de f x x x

1( ) 2 ₂ e

f x x

x

2( ) 2 ₂ , observando suas assíntotas para:

f x x x 1( ) 2 ₂: y = 2 e x = 2 e para f x x x 2( ) 2 ₂ : y = - 2 e x = 2

6) Continuidade de uma função:

Continuidade em um número:

Definição: Diz-se que uma função é contínua em um

número se, e somente se as seguintes condições são satisfeitas: (i) Existe f(a)

(ii) Existe lim ( )

x af x

(iii) lim ( ) ( )

x a

f x f a

Se uma ou mais destas condições não for verificada em a, dizemos que a função é descontínua em a.

Exemplo 6) A função do exemplo 5 é descontínua em x=2, pois não é definida neste x.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x=2 y=-2 y=2 x y y=-[x/(x-2)]1/ 2 y=[(x/(x-2)]1 /2

(12)

Exemplo 11: Seja a função definida por:

3 se

2

3 se

3 )

(

x

f

Discuta sua continuidade em x=3. Observe que: lim ( ) lim ( ) x x f x x f 3 3 3 0 3 2. Portanto a

condição (iii) não é satisfeita; a função é descontínua em x=3.

Exemplo 12: Discutir a continuidade da função:f x

x

( ) 1 2

Esta função não é contínua em x=2 pois seu valor não é definido.

II.r -

Teoremas sobre continuidade

:

Teorema 1. Se f e g são funções contínuas em

um número a, então:

I) f+g é contínua em a II) f-g é contínua em a

III) f.g é continua em a IV) f/g é contínua em a desde que g(a) 0

Teorema 2. Uma função polinomial é

contínua em todo número.

Teorema 3. Uma função racional é contínua

em todo número do seu domínio.

Teorema 4. Se lim ( )

x a

g x b e se a função f é contínua em b,

lim ( ( )) ( ) lim ( ( ( ))) ( lim ( ))

x a fog x f b x a f g x f x ag x

Continuidade em um intervalo

Definição: Diz-se que uma função é contínua em

um intervalo aberto se e somente se ela for contínua em todo número do intervalo aberto.

Definição: Dizemos que uma função cujo

domínio inclui o intervalo fechado [a,b] é contínua em [a,b], se e somente se for contínua para todo c (a,b) e se ela for contínua em a à direita e em b à esquerda e também, para c (a,b) as condições abaixo forem satisfeitas:

(i) Existe f(c) (ii) Existe lim ( )

x c

f x

(iii)lim ( ) ( )

x cf x f c

Definição: Dizemos que uma função f é contínua no

número a à direita se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas:

(i) Existe f(a) (ii) Existe lim ( )

x a f x

(iii) lim ( ) ( )

x a

f x f a

Definição: Dizemos que uma função f é contínua no

número a à direita se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas:

(i) Existe f(a) (ii) Existe lim ( )

x a

f x

(iii) lim ( ) ( )

x a f x f a

Observação: dizemos que a descontinuidade de uma função é essencial quando não existir o limite da função no ponto; é removível quando existir o limite da função.

Trataremos agora a descontinuidade com um puco de rigor.

Seja a um ponto de acumulação do domínio D de uma função f; dizemos que f é descontínua em x = a se, ou f não tem limite unilateral em a, ou esse limite existe e é diferente de f(a) ou f não está definida em a. Analogamente define-se descontinuidade à esquerda e descontinuidade à direita. De acordo com essa definição, estamos admitindo que um ponto possa ser descontinuidade de uma função mesmo que ele não pertença ao domínio de f. A rigor, não deveríamos assim admitir, só deveríamos aceitar descontinuidades em pontos pertencentes ao domínio de f. Mas é natural considerar o que se passa nas proximidades de pontos de acumulação do domínio de uma função, mesmo que tais pontos não pertençam ao domínio.

Como exemplo observe que as funções:

x

sen

x

t

x

h

x

g

x

senx

x

f

(

)

;

(

)

;

(

)

1 ;

(

)

1

são todas contínuas em seu domínio: x -{0} e embora x = 0 não pertença a esse domínio é natural considerar o que acontece com essas funções quando x tende a zero, tanto pela esquerda como pela direita. Identifique as curvas nos gráficos abaixo:

(13)

De acordo com a nossa definição, a primeira funçáão f(x) seria classificada como descontínua em x = 0 simplesmente por não estar aí definida. Atribuindo o valor 1 em x = 0 ela será definida e será contínua em todo x. Por isso dizemos que sua descontinuidade é removível. A segunda, g(x), tem limites laterais diferentes quando x tende a 0. Ela será contínua à direita se impusermos g(0)=1 e contínua à esquerda se impusermos g(0)=-1. A terceira função tende a quando x tende a 0.Não há pois, como remover a descontinuidade, o que acontece com a função t(x) por não apresentar limite.

A descontinuidade é de primeira espécie ou do tipo salto quando a função possui, no ponto considerado, limites à direita e à esquerda porém distintos. É o caso da função g(x). A descontinuidade é de segunda espécie quando, a função tende a no ponto considerado (caso da função h(x)), ou não tem limite neste ponto (caso da função t(x)).

Teorema – Os pontos de descontinuidade de

uma função monótona f num intervalo I (limitado ou não) só podem ser do tipo salto; e formam um conjunto no máximo enumerável.

Definição:

Chama-se conjunto compacto a todo conjunto C que seja limitado e fechado. Um conjunto C diz-se compacto se toda

sequência xn C possui uma

subsequência convergindo para um ponto de C.

Teorema: Todo conjunto compacto C possui

máximo e mínimo.

Teorema : Se f é uma função contínua num

domínio compacto D, então f(D) é um conjunto compacto.

Teorema (de Weierstrass):

Seja f uma função com domínio compacto D. Então f assume valores máximo e mínimo em D, isto é, existem pontos a e b em D tais que:

f(a) f(x) f(b) Para todo x D.

Teorema (Do valor intermediário)

Seja f uma função contínua num intervalo I=[a,b], com f(a) f(b). Então, dado qualquer número d compreendido entre f(a) e f(b), existe c (a,b) tal que f(c) = d. Em outras palavras, f(x) assume todos os valores compreendidos entre f(a) e f(b), com x variando entre (a,b).

Teorema :

Se f é uma função contínua num intervalo I = [a,b] , então f(I) é também um intervalo [m,M] , onde m e M são os valores mínimo e máximo respectivamente, da função f.

Teorema :

A imagem de qualquer intervalo por uma função contínua f é um intervalo.

Teorema :

Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I é crescente ou decrescente. Sua inversa também é contínua.

Teorema do Confronto ou Sanduíche:

Suponhamos que f(x) h(x) g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente para o próprio a . Se:

)

(

lim

)

(

lim

f

x

L

g

x

a x a x Então:

L

x

h

a x

(

)

lim

Como aplicação desse teorema vamos demonstrar que

1 lim

0

_x

senx

x , que é o limite trigonométrico fundamental. É possível mostrar que, para x pequeno ocorre uma ordem entre algumas funções de acordo com:

Senx<x <Tgx Isso é ilustrado no gráfico a seguir:

-10 -5 0 5 10 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(14)

senx

tgx

senx

x

senx

Simplificando, invertendo e trocando a ordenação, consequentemente obteremos:

1 cos

x

senx

x

Observamos que:

1

1 lim

cos

lim

0 0 x x

x

e portanto, aplicando o teorema do confronto, teremos:

1 lim

0

_x

senx

x Aplicações:

A velocidade média é definida como sendo a razão entre a variação da posição num certo intervalo de tempo:

t

s

v

Para definirmos velocidade instantânea necessitamos que o intervalo de tempo tenda a zero, ou seja a velocidade instantânea é o limite quando o intervalo de tempo vai a zero da razão entre a variação da posição e o intervalo de tempo:

t

s

v

t 0

lim

Exercícios:

1) Encontrar os limites indicados: a) lim x x x x x 3 2 2 5 6 12 b) lim x x x x x 1 2 2 2 2 c) lim x x x 1 2 1 1 d) lim x x x 1 3 1 1 e) lim x x x 2 3 8 2 f) limx x x x 3 2 2 9 2 7 3 g) lim x x x 0 2 2 h) lim t t t 0 2 4 i) lim x x x 0 3 _{1 1} j)lim x x x x x x x 3 3 2 3 2 2 5 2 3 4 13 4 3 2) Se

x

F

(

)

9

3

encontre seu limite quando x tende a 0. 3) Dada

2 se

3

2 se

3 )

(

x

f

Encontre: a) lim ( ) x f x 2 b) lim ( ) x 2 f x 4) Dada

1 se

1

1 se

)

(

2

x

f

Encontre: a) lim ( ) x 1 f x b)

lim

(

)

1

x

f

x 5) Dada f x( ) 3 2x 4 encontre: a) lim ( ) x 2 f x b) lim ( ) x 2 f x c)lim ( ) x 2f x 6) Dada f x x x ( ) encontre: a) lim ( ) x 0 f x b) lim ( ) x 0 f x c)lim ( ) x 0f x

7) Discutir a continuidade das funções dos problemas 4), 5) e 6). 8) Determine os limites: a) lim x x x 2 1 5 2 b) xlim x x 4 3 2 1 2 2 c) lim x x x 2 4 4 d) xlim x x x x 4 2 5 8 2 3 2 3 e) lim x x2 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

(15)

f) lim x x x 4 4 g) lim t t t 2 2 2 4 h) lim t t t 2 2 2 4 i) lim t t t 2 2 2 4 j) lim x x x 0 2 3 k) lim x x x 0 2 3 l) lim x x x 0 2 3 m) lim x x x 3 2 9 3 n) lim y y y 2 4 5 3 3 o) lim ( ) x 0 x _x2 1 1 p) lim ( ) x 2 x x2 1 2 3 4 q) lim x x x 3 5 3

9) Nos problemas abaixo, encontre as assíntotas verticais e horizontais e trace um esboço do gráfico. a) f x x ( ) 4 5 b) f x x ( ) ( ) 3 2 2 c) f x x x ( ) 1 5 6 2 d) f x x x ( ) 4 9 2 2 e) f x x ( ) 2 4 2 f) f x x x ( ) 3 3 2 g) f x x x ( ) 4 2 2 2 h) f x x x ( ) 2 ₉

10) Nos exercícios abaixo, encontrar as assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do gráfico:

a) 3xy 2x 4y 3 0 b) x y2 2 x2 4y2 0 c) (y2 1)(x 3) 6

11) Determine se a função é contínua ou descontínua nos intervalos indicados:

a) f x x ( ) 2 ;( , );[ , ];( , ) 5 3 7 6 4 0 b) f x( ) x2 9;( , 3),( , 3],( 3 3, ),[ ,3 ) c)

)

1 ,

2 [

);

1 ,

2 (

);

,

2 (

);

1 ,

(

;

1 se

3

1

2 se

5

2 se

3

2 )

(

x

f

d) f x x x ( ) 2 ( , ),[ , ]; ( , );[ , ) 2 2 2 2 2 2 2

12) Nos exercícios abaixo determine o valor das constantes de k e c que fazem com que a função f seja contínua em (- ,+ ) e trace um esboço da função resultante:

a)

4 se

1

4 se

7

3 )

(

x

kx

x

f

b)

2 se

1 )

(

₂

x

kx

x

kx

x

f

c)

4 se

2

4

1 se

)

(

x

k

cx

x

f

13) Trace um esboço do gráfico e discuta a continuidade das funções abaixo:

a) f x x x ( ) 2 ₄ 2 b) h x( ) (x 3 4)( x)

(16)

II - RESUMOS

Y = Secx 1. Áreas A= r2 A = bh/2 r h b A = b.h A = r2 /2 (s=r ) r s r

A

r₂2

(

sen

)

Funções trigonométricas e Identidades

trigonométricas

sen =y/r cos =x/r y tg =y/x cotg =x/y csc =r/y sec = r/x x

cos

)

2 (

sen

)

2 cos(

cos

sen

tg

1 cos

2

sen

2 2 2

1 sec

tg

2 2

cot

1 sec

g

c

cos

2

2 sen

sen

1 2 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 sen sen

sen

(

)

cos

sen



cos

)

cos(

tg



1 )

(

)

(

cos

)

(

2

₂1 2 1

_

sen

)

(

cos

)

(

cos

2 cos

cos

₂1 2 1

)

(

)

(

2 cos

cos

₂1 2 1

_sen

sen

Triângulos

C b a A B D c

c

senC

b

senB

a

senA

C

ab

b

a

c

2 2 2

2 cos

D=A+C

Teorema Binomial

)

1 ...(

!

2 )

1 (

!

1

2 2

x

n

nx

x

n

)

1 ...(

!

2 )

1 (

!

1

2 2

x

n

nx

x

n



Expansões em séries

0 3 2

!

...

!

3 !

2

1

n n x

n

x

e

)

1 ...(

3

2 )

1 ln(

3 2

x

...

!

5 !

3

5 3

sen

...

!

4 !

2

1 cos

4 2

isen

e

i

cos

2 cos

i i

e

i

e

sen

i i

2 Funções Hiperbólicas

2

x x

e

senhx

2 cosh

x x

e

x

1 cosh

2

x

senh

2

x

senhx

tghx

cosh

senhx hx x hx tghx ghx ;cossec 1 cosh 1 sec ; 1 cot

(17)

Volumes

Cilindro: V= r2h Paralelepípedo: V=abc

Prisma: V = Sb.h Pirâmide: V = Sb.h/3 Cone: V= r2h/3

Vetores

1 ˆ

ˆ

_i

_j

_k

i

0 ˆ

ˆ

_j

_k

_i

i

0 ˆ

ˆ

_i

_j

_k

i

j

i

k

i

k

j

k

j

i

ˆ

;

ˆ

;

ˆ

Qualquer vetor pode ser escrito como CL de

{

i

ˆ

,

ˆ

j

,

k

ˆ

}

, que formam uma base ortonormal do R3

k

a

j

a

i

a



_x

ˆ

_y

ˆ

_z

ˆ

z y x z y x

b

a

k

j

i

a

b

a

ˆ



Produtos especiais e fatoração:

1) 2) 3) 4) 5) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ... x y x xy y x y x x y xy y x y x y x y x y x y x xy y x y x n x y n x y n n y n n n n n 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 1 2 2 2 3 3 1 2 

Números Binomiais

:

n

p

n

p p

n

n n

!

(

)! !

;

0 !

1 !

(

1 1

)...

Alfabeto Grego

: alfa ( , beta gama ( delta ( épsilon ( zeta ( eta ( teta ( iota ( capa ( lambda ( mu ( nu ( csi ( ômicron ( pi ( ro ( sigma ( tau ( upsilon ( fi ( chi ( psi ( omega (

Propriedades: Funções Logarítmicas e Exponenciais

:

x a b x x b a b a x x x x a x x x x a x n x x x x x x x x x a a x y x x a a b a a a a a n a a a a a a a a y a a lo g 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 viii) log log log 1 , e 0 , 0 Seja vii) log log e 1 < 0 Se vii) log log e 1 Se vi) log log v) log log ) ( log iv) ) . ( log log log iii) 0 1 log ii) log i)

i)

iii ) (

ii )

iv )

v )

vi )

vii ) Se

e

viii ) Se

e 0 <

a

x

y

a

x

y

x y x y x y x y x y x y x y y x x x x y x y

.

)

. 0

₁

1

(18)

Referências:

“Matemática”, Astor e Remo, Volume 1, Volume 2 e Volume 3. Editora Scipione.

"O Cálculo com Geometria Analítica", Swokovski, Volume 1.

"O Cálculo com Geometria Analítica", L. Leithold, Volume I.

"Introdução à Análise Matemática", Geraldo Ávila. Editora Edgard Blücher

"Mathematica", Stephen Wolfram, A System for doing Mathematics by computer. Addison Wesley Publishing Company