Aula 2

UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 2

Evidências experimentais da teoria

quântica: efeito fotoelétrico e efeito

Efeito fotoelétrico

2

Em 1887 H. R. Hertz descobriu que a luz incidindo sobre certas superfícies metálicas fazia com que partículas negativas (hoje identificadas como elétrons) fossem

arrancadas dessas superfícies.

O efeito fotoel´

etrico

Efeito fotoel´etrico Efeito Compton

Aula 4 3 / 17

Em 1887 H. R. Hertz descobriu que a luz incidindo sobre certas superf´ıcies

met´alicas fazia com part´ıculas negativas (hoje identificadas como el´etrons) fossem arrancadas dessas superf´ıcies.

Fonte de potencial vari´avel

Catodo Anodo Fonte de luz monocrom´atica i i A Tubo com v´acuo

Montagem usada para estudar o efeito fotelétrico:

• A luz incide no alvo (catodo), ejetando elétrons, que são

recolhidos pelo coletor (anodo). • Os elétrons se movem no circuito

no sentido oposto ao sentido

convencional da corrente elétrica, indicado por setas na figura.

• A bateria é usada para produzir uma diferença de potencial entre alvo e coletor.

• O amperímetro mede a corrente no circuito.

Primeiro Experimento do Efeito Fotelétrico

Ajustando a diferença de potencial V podemos reduzir a velocidade dos elétrons ejetados. Em particular, podemos ajustar V até que o potencial atinja o valor, V0,

chamado potencial de corte, para o qual a corrente medida pelo amperímetro A é nula.

Para V = V0, os elétrons de maior energia ejetados pelo alvo são detidos pouco antes

de chegar ao coletor. Assim, Kmax, a energia cinética desses elétrons, é dada por:

onde e é a carga do elétron.

Os experimentos mostram que, para uma luz de uma dada frequência, o valor de Kmax não depende da intensidade da luz que incide no alvo.

Quer o alvo seja iluminado por uma luz ofuscante, quer seja iluminado por uma vela, a Kmax = 1₂mv2 _max = eV0

Esse resultado experimental não pode ser explicado pela física clássica: • Classicamente, a luz que incide no alvo é uma onda eletromagnética.

O campo elétrico associado a essa onda exerce uma força sobre os elétrons do alvo, fazendo com que oscilem com a mesma frequência que a onda.

• Quando a amplitude das oscilações de um elétron ultrapassa certo valor, o elétron é ejetado da superfície do alvo.

• Assim, se a intensidade (amplitude) da onda aumenta, os elétrons deveriam ser ejetados com maior energia.

• Entretanto, não é isso que acontece. Para uma dada frequência, a

energia máxima dos elétrons emitidos pelo alvo é sempre a mesma, qualquer que seja a intensidade da luz incidente.

Segundo Experimento do Efeito Fotoelétrico

O segundo experimento consiste em medir o potencial de corte V0 para

várias frequências f da luz incidente. O gráfico de V0 em função de f mostra

que:

5

• O efeito fotelétrico não é observado se a frequência da luz for menor que certa frequência de corte ft

• Ou seja, não há efeito fotoelétrico se o

comprimento de onda for maior que 𝜆t = c/ft

(comprimento de onda de corte).

• O resultado não depende da intensidade da luz incidente.

1061

38-3

THE PHOTOELECTRIC EFFECT

PA R T 5

HALLIDAY REVISED

Let us rewrite Eq. 38-5 by substituting for K_max from Eq. 38-4 (K_max ! eV_stop). After a little rearranging we get

(38-6) The ratios h/e and "/e are constants, and so we would expect a plot of the mea-sured stopping potential V_stop versus the frequency f of the light to be a straight line, as it is in Fig. 38-2. Further, the slope of that straight line should be h/e. As a check, we measure ab and bc in Fig. 38-2 and write

Multiplying this result by the elementary charge e, we find

h ! (4.1 # 10$15 _{V % s)(1.6 # 10}$19 _{C) ! 6.6 # 10}$34 _{J % s,}

which agrees with values measured by many other methods.

An aside:An explanation of the photoelectric effect certainly requires quan-tum physics. For many years, Einstein’s explanation was also a compelling argu-ment for the existence of photons. However, in 1969 an alternative explanation for the effect was found that used quantum physics but did not need the concept of photons. Light is in fact quantized as photons, but Einstein’s explanation of the photoelectric effect is not the best argument for that fact.

! 4.1 # 10$15 _{V% s.} h e ! ab bc ! 2.35 V $ 0.72 V (11.2 # 1014 _{$ 7.2 # 10}14_{) Hz} V_stop !

!

"

The figure shows data like those of Fig. 38-2 for targets of cesium, potassium, sodium, and lithium. The plots are parallel. (a) Rank the targets according to their work functions, greatest first. (b) Rank the plots according to the value of h they yield, greatest first.

V stop _Cesium

Potassium Sodium Lithium

Fig. 38-2 The

stopping potential

V_stopas a function of the frequency f of the incident light for a sodium target T in the apparatus of Fig. 38-1. (Data reported by R.A.

Millikan in 1916.) 2 6 8 10 12

1.0 2.0 3.0

Frequency of incident light f (1014 Hz)

Stopp in g potent ial Vstop (V) Ultraviolet 0 c b a Visible 4 0 Cutoff frequency f

Electrons can escape only if the light frequency

exceeds a certain value.

The escaping electron's kinetic energy is greater for a greater light frequency.

halliday_c38_1057-1082v2.qxd 30-12-2009 15:17 Page 1061

potencial de corte V

0

frequência da luz incidente f(1014 _Hz)

frequência de corte ft

6

Esse resultado constitui outro mistério para a física clássica.

• Se a luz se comportasse apenas como uma onda eletromagnética, teria energia suficiente para ejetar elétrons, qualquer que fosse a frequência, contanto que a luz fosse suficientemente intensa.

• Entretanto, não é isso que acontece. Quando a frequência da luz é menor que a frequência de corte ft, não são ejetados elétrons, por mais

Em 1905, Einstein postulou que a

quantização da energia usada por Planck no problema do corpo negro é uma

característica universal da luz. Em vez de estar distribuída

uniformemente no espaço no qual se propaga, a luz é formada por quanta discretos de energia E = hf.

Quando um desses quanta, denominados fótons, chega à superfície do alvo, toda a sua energia é transferida para um único elétron.

8

Função trabalho

Os elétrons são mantidos no metal por forças elétricas.

Para escapar do alvo, um elétron necessita de uma energia mínima, 𝜙_{, que depende do tipo de metal e} recebe o nome de função trabalho:

• se a energia cedida por um fóton a um elétron é maior que 𝜙, (hf > 𝜙), o elétron pode escapar do alvo.

• se a energia cedida é menor que a função trabalho (hf < 𝜙), o elétron não pode escapar.

3-3 The Photoelectric Effect 133

in a remarkable paper in the same volume of Annalen der Physik that contained his papers on special relativity and Brownian motion.

Einstein assumed that the energy quantization used by Planck in solving the

black-body radiation problem was, in fact, a universal characteristic of light. Rather than

being distributed evenly in the space through which it propagated, light energy con-sisted of discrete quanta, each of energy hf. When one of these quanta, called a photon, penetrates the surface of the cathode, all of its energy may be absorbed completely by a single electron. If F is the energy necessary to remove an electron from the surface (F is called the work function and is a characteristic of the metal), the maximum kinetic energy of an electron leaving the surface will be hf  F as a consequence of energy conservation; see Figure 3-9c. (Some electrons will have less than this amount because of energy lost in traversing the metal.) Thus, the stopping potential should be given by

eV₀  41

2 mv

2₅ max

 hf  F 3-21

Equation 3-21 is referred to as the photoelectric effect equation. As Einstein noted,

If the derived formula is correct, then V0, when represented in Cartesian

coordinates as a function of the frequency of the incident light, must be a straight line whose slope is independent of the nature of the emitting

substance.13

As can be seen from Equation 3-21, the slope of V₀ versus f should equal he. At the time of this prediction there was no evidence that Planck’s constant had anything to do with the photoelectric effect. There was also no evidence for the dependence of

Among the many applications of the

photoelectric effect is the photomultiplier, a device for making possible the accurate measurement of the energy of the light absorbed by the photosensitive surface. The SNO, Kamiokande and Ice Cube neutrino observatories (see

Chapter 12) use thousands of photomultipliers.

Hundreds more have been deployed in a number of deep-water high-energy-neutrino experiments. (a) (c) Bright light Dim light i (A) V –5 I₂ > I₁ I₁ 0 5 10 15 (b) i (A) V –5 –V₀₁ –V₀₂ –V₀ f₂ > f₁ f₁ f_t 0 5 10 15 Filled electron states 0
1 –– 2 mv2 hf hf Energy Distance Outside metal Inside metal Surface

FIGURE 3-9 (a) Photocurrent i versus anode voltage V for light of frequency f with two intensities I₁ and I₂, where I₂  I₁. The stopping voltage V₀ is the same for both. (b) For constant I, Einstein’s explanation of the photoelectric effect indicates that the magnitude of the stopping voltage should be greater for f2 than f1, as observed, and that there should be

a threshold frequency ft below which no photoelectrons were seen, also in agreement with

experiment. (c) Electric potential energy curve across the metal surface. An electron with the highest energy in the metal absorbs a photon of energy hf. Conservation of energy requires that its kinetic energy after leaving the surface be hf  F.

A energia cinética máxima de um elétron que deixa a superfície será hƒ- 𝜙 como conseqüência da conservação de energia.

Alguns elétrons terão menos do que esta quantidade por causa da energia perdida ao atravessar o metal).

Assim, usando a conservação da energia temos:

O elétron recebe do fóton uma energia hƒ, mas perde (no mínimo) uma energia 𝜙 para escapar do metal. O resto da energia aparece na forma de energia cinética do elétron.

A equação acima é chamada de equação do efeito fotoelétrico.

10

De acordo com a equação do efeito fotoelétrico, se representamos o potencial de corte V0 em função da frequência f da luz incidente, devemos

obter uma reta cuja inclinação é (h/e), ou seja, independente da natureza da substância emissora.

Experimentos realizados por Millikan entre 1914 e 1916 verificaram que a equação do efeito fotoelétrico estava correta.

O valor de h obtido a partir desses experimentos concordou com o valor que o Planck tinha obtido antes para o corpo negro!

Frequência de corte para o efeito fotoelétrico

Se potencial de corte V0 for

nulo, obtém-se o valor da frequência abaixo do qual não ocorre o efeito

fotoelétrico (frequência de corte ft).

A partir da equação do efeito fotoelétrico obtemos:

eV

= 0 = hf

)

= hf

=

hc

Os fótons de freqüências inferiores a ft (e, portanto, com comprimentos de

onda maiores que 𝜆t) não possuem energia suficiente para expulsar um

elétron do metal.

As funções de trabalho para metais são tipicamente da ordem de alguns elétrons volts.

O elétron volt (eV) é uma unidade de energia definida como:

1eV = 1Volt × |carga do elétron| = 1.6×10-19_J

12

A teoria de Einstein para o efeito

fotoel´

etrico

Efeito fotoel´etrico Efeito Compton

Aula 4 8 / 17

Para a maioria dos metais, φ ´e da ordem de alguns el´etrons-volts, conforme mostra a tabela abaixo. Elemento φ (eV) Na 2,28 Cd 4,07 Al 4,08 Ag 4,73 Pt 6,35 Mg 3,68 Ni 5,01 Pb 4,14

TESTE:

A figura mostra vários gráficos do potencial de corte em função da freqüência da luz incidente para alvos de césio, potássio, sódio e lítio. As retas são

Tempo de emissão dos fotoelétrons

Outra característica importante do efeito fotoelétrico que está em

desacordo física clássica, mas é facilmente explicada pela hipótese dos fótons é a ausência de um intervalo de tempo entre a ativação da fonte de luz e o aparecimento de fotoelétrons.

Classicamente, é seria possível ajustar a intensidade da luz incidente de forma que o atraso de tempo teórico seja de vários minutos, ou mesmo horas.

No entanto, se observa experimentalmente que ∆t 10-9_s.

A explicação deste resultado é que, embora a taxa a que os fótons

incidam no metal é muito pequena quando a intensidade é baixa, cada fóton tem energia suficiente para expulsar um elétron, e há chance de que um fóton seja absorvido imediatamente .

1062

CHAPTER 38

PHOTONS AND MATTER WAVES

HALLIDAY REVISED

38-4

Photons Have Momentum

In 1916, Einstein extended his concept of light quanta (photons) by proposing

that a quantum of light has linear momentum. For a photon with energy hf, the

magnitude of that momentum is

(photon momentum),

(38-7)

where we have substituted for f from Eq. 38-1 ( f ! c/l). Thus, when a photon

interacts with matter, energy and momentum are transferred, as if there were

a collision between the photon and matter in the classical sense (as in Chapter 9).

In 1923, Arthur Compton at Washington University in St. Louis carried out

an experiment that supported the view that both momentum and energy are

transferred via photons. He arranged for a beam of x rays of wavelength l to be

directed onto a target made of carbon, as shown in Fig. 38-3. An x ray is a form

of electromagnetic radiation, at high frequency and thus small wavelength.

Compton measured the wavelengths and intensities of the x rays that were

scattered in various directions from his carbon target.

Figure 38-4 shows his results. Although there is only a single wavelength

(l ! 71.1 pm) in the incident x-ray beam, we see that the scattered x rays

con-tain a range of wavelengths with two prominent intensity peaks. One peak is

centered about the incident wavelength l, the other about a wavelength l" that

is longer than l by an amount #l, which is called the

Compton shift. The value

p !

hf

c

!

h

$

Sample Problem

Calculations: From that last idea, Eq. 38-5 then gives us,

with f ! f

,

hf

!

0 % & ! &.

In Fig. 38-2, the cutoff frequency f

is the frequency at which

the plotted line intercepts the horizontal frequency axis,

about 5.5 ' 10

_{Hz. We then have}

(Answer)

! 3.6 ' 10

_{J ! 2.3 eV.}

& ! hf

!

(6.63 ' 10

J)s)(5.5 ' 10

Hz)

Photoelectric effect and work function

Find the work function & of sodium from Fig. 38-2.

We can find the work function & from the cutoff

fre-quency f

(which we can measure on the plot). The

reason-ing is this: At the cutoff frequency, the kinetic energy K

in Eq. 38-5 is zero. Thus, all the energy hf that is

trans-ferred from a photon to an electron goes into the

elec-tron’s escape, which requires an energy of &.

K E Y I D E A S

Additional examples, video, and practice available at WileyPLUS

Incident x rays Collimating slits λ T Scattered x rays φ λ ' Detector

Fig. 38-3 Compton’s apparatus.A beam

of x rays of wavelength l ! 71.1 pm is di-rected onto a carbon target T. The x rays scattered from the target are observed at various angles f to the direction of the inci-dent beam. The detector measures both the intensity of the scattered x rays and their wavelength. φ = 0° Wavelength (pm) 70 75 Intens ity φ = 45° Wavelength (pm) 70 75 Intens ity ∆ λ φ = 90° Wavelength (pm) 70 75 Intens ity ∆ λ φ = 135° Wavelength (pm) 70 75 Intens ity ∆ λ halliday_c38_1057-1082v2.qxd 30-12-2009 15:17 Page 1062 15

No efeito fotoelétrico temos absorção de fótons pela matéria. Esse efeito se

manifesta até energias de raios X, i. e., EX ~105eV. Para energias a partir das de

raios X os processos de interação de fótons com a matéria passam a ser do tipo espalhamento elétron-fóton.

Em 1923, Arthur Compton fez incidir um feixe de raios X, de comprimento de onda 𝜆, em um alvo de carbono, como mostra a Figura.

O efeito Compton

Os raios X são uma forma de radiação eletromagnética de alta frequência e pequeno

comprimento de onda.

Compton mediu o comprimento de onda e a intensidade dos raios X espalhados em diversas

16

A Figura mostra os resultados obtidos por Compton para quatro valores do ângulo de espalhamento 𝜃.

• Existe um único comprimento de onda (𝜆 = 71,1 pm) no feixe incidente. • No entanto, os raios X espalhados contêm vários comprimentos de onda,

com dois picos de intensidade.

• Um dos picos corresponde ao comprimento de onda do feixe incidente, 𝜆;

• O outro pico corresponde a um comprimento de onda 𝜆′ maior que 𝜆.

• A diferença entre os comprimentos de onda dos dois picos, Δ𝜆, conhecida como deslocamento de Compton, depende do ângulo no qual os raios X espalhados são medidos; quanto maior o ângulo, maior o valor de Δ𝜆.

Os resultados obtidos por Compton constituem mais um mistério para a física clássica.

• Classicamente, o feixe incidente de raios X é uma onda eletromagnética senoidal.

• A força associada ao campo elétrico da onda incidente deveria fazer os elétrons do alvo oscilarem com a mesma frequência que essa onda e, portanto, produzirem novas ondas com a mesma frequência que a onda incidente, como se fossem pequenas antenas transmissoras. • Assim, os raios X espalhados por elétrons deveriam ter todos a

mesma frequência e o mesmo comprimento de onda que os raios X do feixe incidente, o que simplesmente não é verdade.

18

Interpretação de Compton:

Um fóton de raios X do feixe incidente tem uma colisão relativística com os elétrons quase livres do alvo de carbono. Nessa colisão há troca energia e momento entre essas partículas.

A equa¸

c˜

ao de Compton

Efeito fotoel´etrico Efeito Compton

Aula 4 13 / 17

Segundo Compton, os resultados experimentais poderiam ser explicados atrav´es

das colis˜

oes relativ´ısticas

el´etron-f´oton, onde um f´oton de comprimento de onda

λ

colide com um el´etron inicialmente em repouso e praticamente livre.

λ0 Eγ,0 ⃗ pγ,0 Ee ⃗ pe λe Eγ ⃗ pγ

Conforme visto na Aula 2, de acordo com

a teoria da relatividade, a energia total e

o momento est˜ao relacionados atrav´es da

express˜ao E

= p

c

+ m

c

.

Para o f´oton, que possui massa zero,

E = pc, com p = |⃗

p|.

Por outro lado, de acordo com a teoria de

Einstein do efeito fotoel´etrico, a energia

do f´oton ´e E = hν = h

c

λ

Segue que o m´odulo do momento do f´oton ´e dado por p =

E

c

=

hν

c

ou p =

h

λ

.

ligado ao material (~ eV), é desprezível em relação a de fótons de raio X

(~105_eV).

Assim, o elétron ligado ao material pode ser

considerado como

inicialmente no estado de repouso.

De acordo com a teoria da relatividade, a energia total e o momento estão relacionados através da expressão

E2 _{= p}2_c2 _{+ m}2_c4_.

Para o fóton, que possui massa zero, obtemos E = pc. Para um fóton de energia hf, o módulo do momento é dado por:

onde foi usada a relação f = c/𝜆.

Durante o processo de uma colisão relativística, há a conservação da energia relativística total e o momento linear.

p =

E

c

=

hf

c

)

p =

20

Conservação da energia:

Visto de um referencial onde o elétron esta inicialmente no estado de repouso temos:

• energia inicial do elétron: Ee = mec2

• energia inicial do fóton: E𝛾= hf = hc /𝜆

• energia final do elétron: E‘e = (pe2c2 + me2c4)1/2

• energia final do fóton: E'𝛾= hf’ = hc /𝜆'

Substituindo, obtemos:

E

+ E = E

+ E

Eq. (1)

m

c

+

hc

= (p

c

+ m

c

)

+

hc

Conservação do momentum:

Lembrando que p=0 para o elétron em repouso, temos:

Estes três vetores são os lados de um triângulo como o da figura, cujos lados podem ser relacionados pela regra do coseno:

p

+ p = p

+ p

p = p

+ p

22

Substituindo p𝛾= h/𝜆 e p’𝛾= h/𝜆’ obtemos:

Eliminando pe’ das Eqs. (1) e (2) obtemos a equação de Compton:

onde

• 𝜆 é o comprimento de onda da radiação X incidente

• 𝜆' é o comprimento de onda da radiação X espalhada no ângulo 𝜃. • Define-se o comprimento de onda Compton do elétron como sendo

• Numericamente, tem-se que 𝜆C = 0.02426 Å

p

=

h

+

h

2

h h

cos ✓

₌

h

m

c

(1

cos ✓)

A equação de Compton, ∆𝜆 = 𝜆C (1-cos𝜃) consegue reproduzir o ∆𝜆 observado

no experimento de espalhamento.

Resta explicar o outro pico, que corresponde a 𝜆 da radiação incidente.

Esse pico não está associado a interações da radiação incidente com elétrons quase livres do alvo e sim a interações com elétrons fortemente ligados aos núcleos de carbono do alvo.

24

Nesse caso, tudo se passa como se a colisão ocorresse entre um fóton do feixe incidente e um átomo inteiro do alvo.

Fazendo m igual à massa do átomo de carbono (que é aproximadamente 22.000 vezes maior que a do elétron), vemos que Δλ se torna 22.000 vezes menor que o deslocamento de Compton para um elétron livre, ou seja, um deslocamento tão pequeno que não pode ser medido.

Assim, em colisões desse tipo, os fótons espalhados têm praticamente o mesmo comprimento de onda que os fótons incidentes, o que explica o outro pico dos gráficos.

A conclusão final é que o efeito Compton pode ser explicado se consideramos que a luz é formada quantos de energia (fótons) que possuem energia E = h f.