PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
VIVALDO DE SOUZA BARTOLOMEU
CONHECIMENTOS E DIFICULDADES DOS ESTUDANTES DO
ENSINO MÉDIO RELACIONADOS AO CONJUNTO DOS
NÚMEROS REAIS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2010
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
VIVALDO DE SOUZA BARTOLOMEU
CONHECIMENTOS E DIFICULDADES DOS ESTUDANTES DO
ENSINO MÉDIO RELACIONADAS AO CONJUNTO DOS
NÚMEROS REAIS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, com exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Doutor Armando Traldi Junior.
São Paulo
2010
Dedicatória Familiar
Em todo processo de elaboração deste projeto pude contar
com o carinho e o cuidado de minha esposa Leila, foi minha
companheira a cada dificuldade superada.
Meus pais e meus filhos, meu início e minha posteridade,
pessoas que me compõem, que estão aqui citadas pela diferença
que fazem ao me apoiar e compartilhar cada momento de um
processo de estudo iniciado há anos, concluído agora.
Dedicatória Geral
Os agradecimentos aqui vão para todos os estudantes que me
permitiram vivenciar a condição de educador e viabilizaram esta
pesquisa sendo muito mais que sujeitos participantes, sendo motivo
deste estudo. A SEESP pelo apoio financeiro neste mestrado. As
professoras Sandra e Rita da Comissão da Bolsa Mestrado –
DERSV. A professora Chrystina pela revisão dos textos. Meus
colegas de Matemática, Alexandre e Gilberto, pela dedicação frente
ao ensino, a todos os que veem na Educação um caminho para o
Bem, meus agradecimentos.
Não podendo deixar de citar meus colegas de curso que se
dedicam a avançar em seus conhecimentos matemáticos e aos
meus professores, verdadeiros mestres diante de questões tão
complexas - àqueles que estreitaram os laços entre mim e o mundo
acadêmico.
Especial agradecimento ao Prof. Dr. Armando Traldi Júnior
pela orientação deste trabalho e as Dras. Célia Maria Carolino Pires
e Edda Cury que aceitaram participar da banca examinadora deste
trabalho.
RESUMO
A presente pesquisa tem como objetivo verificar os conhecimentos e dificuldades dos estudantes do ensino médio relacionados ao conjunto dos números reais. Para isso, foi realizado uma avaliação diagnóstica com 54 alunos, sendo 18 do 1ºano, 18 do 2º ano e 18 do 3º ano do Ensino Médio; oriundos da Rede Pública Estadual - na resolução de questões envolvendo conceitos relativos a números reais. Trata-se de um estudo qualitativo, embasado por LUCKESI (2005) e suas considerações teóricas a respeito da avaliação e seus desdobramentos. As análises das respostas revelam uma lacuna na aprendizagem discente frente a este conteúdo matemático, propõe-se então uma revisão do processo de ensino de números reais, afinal para DIAS (2002), saber o conceito de números reais é fundamental ao ensino de matemática. Os resultados obtidos revelam que a maioria dos sujeitos participantes não tem esses conceitos claramente definidos, embora componham oficialmente a formação de qualquer estudante do Ensino Fundamental. Sendo necessária uma revisão do processo de ensino-aprendizagem dos números reais.
Palavras- chave: Números Reais. Dificuldades com Números Reais. Avaliação Diagnóstica. Análise de questão. Números no Ensino Médio.
ABSTRACT
The goal of this research is to examine the learning and difficulties of high school seniors students with the real numbers. For this, was made a diagnostic test with 54 students, with 18 from 1st year, 18 from 2nd year and 18 from 3rd year of high school seniors; everyone from State Public School System. This research has a qualitative approach, referenced by LUCKESI (2005) and his analyses show a blank between student learning and Mathematics knowledge, then is proposed a change on the methods to teach real numbers, according with DIAS (2002). The results revealed that most of the students are not familiar with this topic, although the Real number was taught at High School. It is necessary to review this teaching process with Real Numbers.
Key Words: Real Numbers. Difficulties with Real Numbers. Diagnostic Test. Questions Analyses. Numbers and High School Seniors.
SUMÁRIO
Introdução...11
Apresentação...15
Capitulo 1...17
Construção da Problemática...17
As questões de pesquisa...20
Capitulo 2...21
Fundamentação Teórico-metodológica...21
Revisão bibliográfica sobre números...
21
Papel da Avaliação Diagnóstica...
37
Metodologia de Pesquisa e procedimentos metodológicos...
40
Elaboração da avaliação diagnóstica...
41
Cenário da pesquisa...
50
Capitulo 3...53
Aplicação do questionário...
53
Análise das resposta
...54
Considerações Finais...75
Referências Bibliográficas...77
Anexos...79
Anexo I...79
Parte II...83
Anexo II...84
Introdução
Ao ministrar aulas de matemática ao Ensino Médio em instituições públicas de ensino no Estado de São Paulo desde 1990, pude perceber lacunas na aprendizagem deste grupo discente de conceitos comuns ao Ensino Fundamental, destacando-se conceitos relacionados a números racionais e irracionais. Neste processo de reflexão docente, observa-se nestes estudantes dificuldade latente em realizar cálculos com números racionais e irracionais, estimulando e justificando o estudo aqui apresentado.
A representação gráfica de pontos em um plano cartesiano não é tarefa simples a um grande número de estudantes do Ensino Médio, principalmente quando a atividade proposta pauta suas informações em linguagem matemática, a exemplo:
A = { x ∈ Z | -2 < x < -2}. Com a utilização desta linguagem, dificilmente os alunos iniciam a resolução da atividade sem uma intervenção docente, onde a linguagem matemática é desvelada, a saber, mostrando que os valores que o x pode assumir são -1, 0 e 1.
Observa-se que atividades onde as coordenadas são dadas por números inteiros, a possibilidade de leitura e compreensão destas amplia-se de maneira significativa frente aos estudantes do Ensino Médio, tornando possível a construção da representação gráfica de um produto cartesiano. Ao que se exemplifica na comanda: Considerando os conjuntos C ={1, 3, 5} e D = {2, 4}, determine a forma gráfica do produto cartesiano C X D.
Há, no entanto, outra dificuldade a ser abordada frente ao ensino-aprendizagem de números reais que está além da linguagem matemática, pois representar graficamente um produto cartesiano aos moldes de: [2, 5] X {1, 2}; parece ser algo distante do entendimento dos estudantes.
No livro didático destinado do primeiro ano do Ensino Médio, da coleção MATEMÁTICA AULA POR AULA, 1ª edição (2003), dos autores Benigno Barreto
Filho e Claudio Xavier da Silva, adotado pela instituição pública onde leciono, na página 48, está proposta a seguinte atividade:
Exercício que ao ser solicitado a uma classe com nível comum ao destinado pelo livro didático, revelou que alunos de primeiro ano não tinham conhecimento da densidade do conjunto dos números reais.
Como resposta ao item (a) foram obtidos gráficos com alguns pontos alinhados na horizontal entre 2 e 5 no eixo x, e na altura do 1, no eixo y. A ausência de resoluções que apresentassem a densidade dos números reais, impossibilitou a obtenção de um gráfico com um segmento de reta adequado, ou seja, nenhuma representação gráfica assemelhou-se ao correto demonstrado a seguir:
Diante das incongruências entre o conteúdo matemático específico aos alunos de Ensino Médio e sua aprendizagem real, interessou-me pesquisar sobre essas dificuldades latentes aos alunos. Pesquisa esta cabível ao grupo de pesquisa sobre inovações curriculares no Ensino Médio, coordenado pela Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires e pelo Professor Doutor Armando Traldi Junior, cujo objetivo é olhar para as inovações e implementações curriculares na área de Matemática, considerando alguns princípios apresentados nas Diretrizes e Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio.
Este grupo de pesquisa faz parte do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, qual seja, “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores”.
O enfoque do projeto de pesquisa deste grupo é construir, para diferentes expectativas de aprendizagem do Ensino Médio, trajetórias hipotéticas de aprendizagem (THA), que consistem de objetivos para a aprendizagem dos estudantes, de tarefas matemáticas que serão usadas para promover a aprendizagem dos estudantes e do levantamento de hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes, segundo SIMON (1995).
Desta forma, inserido ao objetivo de pesquisa comum ao grupo de estudo descrito, à sua pertinência e a avaliação de trabalhos já finalizados, é que se pretende descrever e analisar neste estudo, a relação dos conhecimentos e dificuldades de estudantes do Ensino Médio com os números reais. Para tanto, será por meio de uma avaliação diagnóstica que serão realizadas análises dos acertos e dos erros resultantes da mesma, apoiado às linhas teóricas e trabalhos que abordam este tema, contribuindo para o processo de ensino-aprendizagem dos números reais frente a estudantes do Ensino Médio.
Apresentação
Essa pesquisa que tem como objetivo, verificar os conhecimentos e dificuldades dos estudantes do Ensino Médio relacionados ao conjunto dos números reais, está inserida na linha de pesquisa do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, qual seja, “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores”, sobre inovações curriculares no Ensino Médio.
A estrutura desta pesquisa divide-se em três capítulos e as considerações finais, sendo o primeiro uma abordagem da orientação dos Documentos Oficiais (PCN) sobre números no ensino fundamental; as dificuldades descritas em trabalhos afins com referências ao ensino-aprendizagem dos números racionais e irracionais; avaliação diagnóstica; reiterando o objetivo e as questões desta pesquisa.
Há no segundo capítulo uma revisão bibliográfica sobre números; a metodologia de pesquisa e os procedimentos metodológicos utilizados para realizar a investigação proposta; cenário da pesquisa com a caracterização da escola e dos alunos colaboradores; o papel da avaliação diagnóstica e sua elaboração para esta pesquisa.
É no terceiro capitulo que tanto a aplicação do questionário quanto a análise das respostas apresentadas pelos alunos colaboradores desta pesquisa são descritas. Sequencialmente estão dispostas as considerações finas com base no trabalho realizado.
Capítulo 1
Construção da Problemática
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Fundamental (p. 95), é constatado com frequência, que grande parte dos alunos conclui este ciclo com um conhecimento insuficiente dos números, de como eles são utilizados e sem ter desenvolvido uma ampla compreensão dos diferentes significados das operações.
Corroboram para tais considerações as resoluções apresentadas às questões como: “Quantos ônibus de 33 lugares são necessários, no mínimo, para transportar 543 passageiros, se nenhum ônibus pode transportar mais que 33 pessoas?”. Onde são obtidas respostas como 16,454545... ou 16, e não 17 que no caso, é a correta. Outra constatação docente ao longo do Ensino Fundamental, disposta nos PCN de Matemática, é a dificuldade de estudantes das mais diversas origens economico-sociais em relacionar a situação-problema com a operação que permite obter a resposta.
Motivos pelos quais, a orientação para o terceiro e quarto ciclos, relativa ao trabalho com os conteúdos relacionados aos números e as operações, é de privilegiar atividades que possibilitem ampliar o sentido numérico e a compreensão do significado das operações, ou seja, atividades que permitam estabelecer e reconhecer relações entre os diferentes tipos de números e entre as diferentes operações.
No quarto ciclo, além da consolidação dos números e das operações já conhecidas pelos alunos, ampliam-se os significados dos números pela identificação da existência de números não-racionais, através de situações nas quais os números racionais são insuficientes para resolvê-las, tornando-se necessária a consideração de outros números: os irracionais.
Recomenda-se que a abordagem dos irracionais não siga uma linha formal, evitando a identificação de um número irracional como radical e que não
se enfatize os cálculos com radicais, como ocorre tradicionalmente, tal qual está nos PCN (1998, p. 83).
Estudos brasileiros realizados por IGLIORI, S. B. C. e SILVA, B. A. (2001), PENTEADO (2004), DIAS (2002), SOARES, FERREIRA, e MOREIRA, (1999), sobre ensino-aprendizagem de números, constatam que não apenas alunos brasileiros como também de outras nacionalidades, apresentam defasagem de conhecimento numérico, principalmente na classificação dos racionais e irracionais, bem como a propriedade da densidade dos reais.
Outros estudos recentes constatam que professores da rede pública inseridos em cursos de formação continuada, apresentam defasagens semelhantes às apresentadas por estudantes, a exemplo a representação decimal dos números racionais e irracionais.
A análise dos estudos mencionados anteriormente, permeia a necessária clareza de um conceito de número real, sendo fundamental para o ensino de matemática. Diante desta observação, a aplicação de uma avaliação diagnóstica possibilitaria verificar a atual situação do ensino e aprendizagem de números.
A concepção de avaliação diagnóstica concerne a este trabalho um caráter investigativo, onde objetiva-se identificar indicadores observáveis quanto ao conhecimento de conceitos e aplicabilidades dos números reais. Haja vista que a avaliação diagnóstica aqui possui um caráter de avaliação inicial, pois está articulada a um projeto de estudo, dando-lhe subsídio a propostas de reorientação da aprendizagem de números reais. A pertinência de uma avaliação inicial ou diagnóstica na análise da qualidade de ensino oferecida e até mesmo dos elementos humanos inerentes ao processo, a saber, professores, diretores e coordenadores, compõem a concepção aqui adotada, muito embora não seja o objetivo central deste estudo. Afinal:
A integração entre o processo de ensino e o de avaliação exige a utilização de formas e ensino totalmente abertas, nas quais as próprias atividades, a
organização grupal e as relações entre professor e aluno permitam um conhecimento constante do grau de aproveitamento do trabalho realizado. ZABALA, (2006, p.153).
As práticas de avaliação baseadas no estudo de apenas “no momento”, por exemplo, os controles ou provas seletivas são consequentemente, pouco confiáveis e deveriam ser substituídas, dentro do possível, por outras, que levem em consideração o caráter dinâmico do processo de construção de significados e considerem sua dimensão temporal. Ou seja, evitar a classificação de um bom ou mau desempenho, e sim ampliar, através de analises das respostas e com a participação do aluno, através do diálogo entender e juntos descobrir as dificuldades da aprendizagem, obtendo assim, uma avaliação diagnóstica.
O processo de construção de significados que, em maior ou menor medida, é realizado por alunos e alunas sobre os conteúdos do ensino, é inseparável do processo mediante o qual atribuem este ou aquele sentido a esses conteúdos, ocorrendo simultaneamente.
A aprendizagem significativa não é uma questão de tudo ou nada, mas de grau. Consequentemente, não cabe desenhar uma atividade de avaliação com o propósito de discernir se aprendizagem realizada pelos alunos é ou não significativa; o que procede é detectar o grau de significância da aprendizagem realizada.
Contudo aprendizagem significativa depende não apenas da amplitude e complexidade das relações que se estabelecem, mas sim dos significados construídos e os significados já existentes na estrutura cognitiva.
Há diferentes tipos de avaliação que desempenham funções distintas, com base em diversos contextos. Portanto, rever permanentemente o processo de ensino, adaptando e atualizando as técnicas avaliativas tanto do ensino como da aprendizagem, dentro de uma estrutura dinâmica, é necessário para elaborar o instrumento de avaliação, que seja inicial, formativa, somatória ou final.
Objetivos da pesquisa
Embasado na perspectiva de reorientar o ensino de números reais, visto sua relevância no estudo da matemática e não apenas na matemática escolar, intervindo positivamente no ensino-aprendizagem de números, estabeleceu-se o seguinte objetivo de pesquisa: Verificar os conhecimentos e dificuldades dos estudantes do ensino médio relacionados ao conjunto dos números reais.
As questões de pesquisa
As questões que norteiam e direcionam os objetivos deste estudo estão dispostas a seguir. Responder a cada uma de maneira satisfatória à luz de um embasamento teórico a ser descrito é o foco desta pesquisa:
Quais são os conhecimentos dos estudantes do Ensino Médio em relação aos números reais?
Quais são as dificuldades dos estudantes do Ensino Médio em relação aos números reais?
Capítulo 2
Fundamentação Teórico-metodológica
Revisão bibliográfica sobre números
Este capítulo propõe uma revisão bibliográfica realizada a partir de dissertações e artigos que abordam dificuldades dos alunos no estudo e exercício com números reais, a densidade dos racionais e irracionais nos reais. Compõem este foco de análise também os estudos que pontuam a importância e a presença dos números reais na maioria dos conteúdos de matemática.
As dissertações desenvolvidas no programa de estudos de Pós-Graduação da PUC-SP, vinculadas ao grupo de pesquisa sobre: a Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores; História, Epistemologia e Didática da Matemática; estão presentes nesta revisão bibliográfica como fonte de pesquisa.
O primeiro estudo analisado foi realizado por PENTEADO (2004), cujo foco objetivava investigar a concepção e a postura didático-metodológica dos professores do Ensino Médio frente aos diferentes registros de representações de números quando analisada a propriedade do conjunto dos números racionais e irracionais, nos reais. Penteado justifica sua pesquisa embasando-se no fato de estudos nacionais e internacionais evidenciarem que grande parte das dificuldades dos alunos na aprendizagem de limite e continuidade de função são decorrentes da falta de compreensão do conjunto dos números reais. Embora, os Parâmetros Curriculares Nacionais sugiram a introdução do estudo de números irracionais a partir do 4º ciclo. As questões de pesquisas foram duas:
(...) que concepções são explicitadas por professores do Ensino Médio a respeito da densidade do conjunto dos números reais, tanto a densidade do conjunto dos números racionais no conjunto dos números reais quanto a dos irracionais nos reais?” e, “como eles reagem frente a
questões que discutem o conceito de densidade enfocando diferentes registros de representação? PENTEADO (2004)
Na expectativa de responder suas questões, Penteado fundamentou-se na teoria de Registros de Representação Semiótica de DUVAL, RAYMOND (2003). Duval enfatiza a necessidade de se trabalhar com, no mínimo, dois registros de representação diferentes e de se realizar a articulação entre eles, tornando mais propícia à aquisição do conhecimento.
Sendo a Matemática uma ciência exata, fundamentada em representações para ser compreendida e desenvolvida, as diferentes representações, propostas por Duval, possibilitam conhecer vários pontos de vista sobre o mesmo objeto.
Penteado fundamentou-se metodologicamente nos princípios da Engenharia Didática de ARTIGUE, MICHÈLE(1988), para realizar uma intervenção por meio da aplicação e análise de uma seqüência de ensino composta por dez atividades, embasadas na teoria de Duval, já citada.
Esta sequência de ensino aborda a densidade dos reais por dois tipos de procedimentos distintos: localização do ponto na reta real e sua representação decimal, fazendo uso de média aritmética e um procedimento inspirado no processo de diagonal de Cantor. Dessa forma espera-se que estas atividades proporcionem uma reflexão a respeito da propriedade da densidade da reta, pois foram sugeridas questões que propiciam noções e particularidades da reta que, em geral, não são enfatizadas no Ensino Médio.
Os principais resultados apresentados foram: a conclusão que um sujeito forma e expressa conceito imagem e conceito definição de um conceito científico; neste referencial, os estudantes resolvem problemas matemáticos por meio de seu conceito imagem quando muitas vezes, é esperado por professores que utilizem o conceito definição. A pesquisa procura mostrar conceitos imagem a serem levados em consideração ao abordar o conceito de número real, em todo processo de ensino; fundamental, médio ou superior.
Penteado considera que a ausência de conceito definição relacionado com o nome densidade, para a maioria dos sujeitos, não impediu a revelação do conceito imagem, parte de imagens aqui reveladas, pareceu advinda de um conhecimento vago dos irracionais, proporcionado por uma generalização abusiva dos racionais para os reais, constituindo um conceito imagem de “reta racional”; procurou-se tornar fatores de conflito potencial em fator de conflito cognitivo para, ao menos iniciar, uma reformulação dos conceitos imagem e definição.
A hipótese desta pesquisa, de que concepções encontradas em estudantes do Ensino Fundamental e Médio - também são as dos professores deste mesmo segmento de ensino – sendo validada por meio das indicações de semelhança dos conceitos imagem revelados pelos professores, com as concepções de estudantes.
Destaca-se ainda, que além dessa comprovação, muitos termos expressos pelos professores eram idênticos aos que os estudantes apresentavam nas pesquisas, tomadas como referência.
A análise dos estudos de DIAS (2002) tem por objetivo apreender suas contribuições com o ensino de números reais. Este estudo é embasado na fundamental conceituação de número real frente ao ensino da matemática, sendo assim Dias culmina em resultados que permitem avaliar dificuldades apresentadas por estudantes. Soma-se a este estudo o levantamento de concepções sobre esse conceito frente a um grupo de professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio, com formação em faculdades distintas.
Foram referências as noções de conceito imagem e conceito definição desenvolvidas por TALL e VINNER (1981) e investigando a ausência de diferença significativa entre concepções apresentadas por estudantes do Ensino Fundamental e Médio, relativo à reta real, e às dos professores, sujeitos dessa pesquisa, dos segmentos de ensino citados.
Para desenvolver essa hipótese, Dias compara conceito imagem e conceito definição, expressos pelos sujeitos, com concepções de estudantes sobre número real. As observações realizadas proporcionaram estimar a existência ou não de coerência entre o conceito imagem e definição revelado pelos sujeitos e o conceito formal. Tendo como sujeitos dessa pesquisa 45 professores de matemática do Ensino Fundamental e Médio, em exercício e formação continuada.
Na expectativa de responder sua questão, Dias fundamentou-se nas noções de conceito imagem e conceito definição, proposições teóricas de VINNER (1991, pág.69): Adquirir um conceito significa formar um conceito imagem do mesmo. Considerando como conceito imagem o construído pelo indivíduo, a concepção que ele tem de um conceito construído na comunidade, podendo ser científica ou não.
Dias observa que os termos conceito e definição formal, utilizado neste estudo, referem-se ao científico. O conceito imagem pode ou não, ser coerente com o conceito. Ele é constituído na estrutura cognitiva do indivíduo, associado a um certo conceito. Essa associação contém representações mentais como: imagens de representações visuais, impressões, experiências e propriedades, as quais podem ser elaboradas pelo indivíduo por intermédio de processos de pensamento sobre as representações mentais.
O conceito imagem pode revelar-se por palavras ou símbolos matemáticos e pode não ser o mesmo para toda situação. Pode, contudo, não existir se, por exemplo, um conceito for introduzido por meio de uma definição, neste caso, o indivíduo poderá deixar de formar um conceito imagem desse conceito (VINNER, 1991).
O conceito definição é também formado na estrutura cognitiva do sujeito, é a especificação do conceito que o indivíduo expressa em forma de palavras e pode ser apreendido inserido ou não em um ambiente formal de ensino. O conceito definição pode ser uma reconstrução pessoal de uma definição formal, sem que ele e a definição do conceito tenham necessariamente significados
coincidentes, ou ainda, o conceito definição pode ser uma descrição do conceito imagem.
A formação do conceito definição pode ocorrer no ato em que o indivíduo é impelido a explicar um conceito, pois é neste momento que podem ocorrer conflitos entre as partes do conceito imagem, ou ainda, entre as partes do conceito imagem e conceito definição, possibilitando assim, a construção de um novo conceito definição.
O conceito definição, também pode existir e ser inativo, como a memorização de uma definição. Tanto o conceito imagem como o conceito definição podem ser formados independentemente, além disso, esses conceitos podem ou não interagir.
O conceito imagem é considerado inexistente quando nenhum significado é associado com o nome do conceito (VINNER, 1991, p. 70).
As noções de conceito imagem e conceito definição foram desenvolvidas, não só relativamente à formação de um conceito, mas também como são expressas pelo indivíduo em resolução de problemas. Nesta pesquisa, Dias focou a última situação, por meio de questões que possuam o potencial para expor o conceito imagem do sujeito, aplicando questionário com questões abertas e fechadas, respondidas por escrito pelos sujeitos-participantes dividida em duas fases.
A primeira parte constou de situações envolvendo o conceito de densidade, isto é, por meio delas procurou-se avaliar se os sujeitos possuíam a concepção de que frente a dois reais distintos quaisquer, há entre eles infinitos racionais, irracionais e reais.
A segunda parte, com três questões abertas, visa compor as informações das dificuldades encontradas nas questões iniciais propostas, experiências possíveis de compor conceito imagem e reflexões sobre a primeira parte. A terceira parte constitui-se num questionário de identificação com o objetivo de traçar um perfil dos sujeitos pesquisados.
Após esta fase exploratória, tem início a fase sistemática. Esta fase constitui-se da aplicação de um questionário respondido por 19 sujeitos e, entrevista com quatro desses sujeitos. Os participantes desta fase de pesquisa não foram os mesmos da fase exploratória, mas apresentaram o mesmo perfil, constituíam-se de professores do Ensino Fundamental e Médio em formação continuada, e tem o intuito de refinar os resultados da fase exploratória.
Por meio destes procedimentos revela-se o objetivo de ampliar a confiabilidade dos dados, possibilitando uma melhor averiguação da hipótese da pesquisa. Em cada fase foram apresentados os resultados e análises dos questionários. Os principais resultados apresentados foram, segundo o referencial teórico dessa pesquisa: um sujeito forma e expressa conceito imagem e conceito definição de um conceito científico.
Neste referencial, os estudantes resolvem problemas matemáticos por meio de seus conceitos imagem quando muitas vezes, é esperado por professores que utilizem à definição formal. A pesquisa procura mostrar conceitos imagem que necessitam ser levados em consideração, quando se pretende abordar conceito de número real, sem distinção quanto ao nível de ensino.
Dentre os poucos sujeitos que manifestaram conceito definição, encontramos o conceito de densidade permeado pela existência da bijeção entre o conjunto dos reais e a reta, procurou-se tornar fatores de conflito potencial em fator de conflito cognitivo para, ao menos, iniciar, uma reformulação dos conceitos imagem e definição próximo ao formal.
A hipótese desta pesquisa, de que concepções encontradas em estudantes, do ensino Fundamental e Médio, também são as dos professores deste mesmo segmento de ensino, foi validada por meio das indicações de semelhança dos conceitos imagem - revelados pelos sujeitos com as concepções dos estudantes.
Destaca-se ainda, que além dessa comprovação, observamos que os termos expressos pelos professores eram idênticos aos que os estudantes apresentavam nas pesquisas tomadas como referência. Deste modo, Dias entende que é possível sugerir que o conceito imagem do professor reflita em sua prática docente, repercutindo em seus alunos. Com base nos resultados acima expostos, a pesquisadora salienta e comprova a importância dos conceitos imagem e definição de densidade, para o processo de ensino-aprendizagem dos números reais.
Nesta pesquisa foi elencado o estudo realizado por CATTO (2000), onde o objetivo era observar como os diversos registros dos números racionais são dispostos em livros didáticos, como são introduzidos quer em sua representação fracionária ou decimal, e especificamente uma investigação sobre com o são trabalhadas conversões ou articulações que ocorrem entre os diferentes registros.
Catto questionou em que medida os diversos registros do número racional eram apresentados e como e se eram trabalhados os “tratamentos” (transformações no interior de um mesmo registro) e as diferentes possibilidades de conversão (transformações de um registro ao outro). Seu trabalho teve fundamentação teórica nos registros de representação de Raymond Duval que trata de aspectos do funcionamento cognitivo relacionado à aquisição dos conhecimentos matemáticos.
Segundo Duval, o desenvolvimento das representações mentais depende de uma interiorização das representações semióticas, mas também precisam de certas funções cognitivas essenciais que podem ser preenchidas unicamente pelas representações semióticas e não pelas representações mentais.
A metodologia utilizada neste estudo foi baseada em uma pré-análise comparativa dos conteúdos abordados nos volumes pesquisados. Foi a fase de organização propriamente dita, tendo por objetivo operacionalizar e sistematizar os procedimentos metodológicos, o que aconteceu em três momentos: a) a escolha dos livros didáticos a serem submetidos a exame; b) a formulação das
hipóteses e c) seleção dos objetivos e as constatações que fundamentaram as considerações finais e as conclusões.
A escolha dos livros didáticos recaiu em duas coleções que abrangiam todo o Ensino Fundamental e que também apresentam características distintas na abordagem dos conteúdos. Uma coleção apresenta estrutura compartimentalizada e a outra, estrutura em espiral.
No resultado de sua pesquisa, Catto entende que o conteúdo número racional é abordado ao longo de todo o Ensino Fundamental. Sendo o enfoque inicial dado a “fração” como representado e seu representante a/b, com a e b naturais e b ≠ 0, sua denominação em língua natural evolui em sua significação até atingir status de número para o qual o complemento de a/b da figura não é mais necessário e, portanto, é possível ser localizado na reta numérica. Assim, os decimais deixam de ser “números com vírgula” para serem admitidos como números na forma decimal. Para maior clareza, essa exposição é realizada em dois momentos distintos, sendo inicialmente uma abordagem para o registro fracionário e, posteriormente, o registro decimal.
Catto observou que a noção de fração é introduzida por meio de repartição de figuras, seja de grandezas contínuas ou discretas. As grandezas contínuas são representadas por figuras geométricas cujas repartições, em geral, não fazem parte das tarefas do aluno, cabe a ele identificar a fração correspondente àquela situação já pronta. Nos casos da repartição de segmentos, a questão da comensurabilidade não é abordada, pois os segmentos apresentados estão sempre adaptados a uma subunidade dada no enunciado.
Nas atividades de comparação e de equivalência, a pesquisadora observou que a coleção que apresenta estrutura compartimentalizada trabalha com articulações entre os registros fracionários e o figural tomando inicialmente como parâmetro a unidade “o todo” como abordagem na 3ª série. Estas comparações envolvem o emprego dos símbolos <, > ou =. Posteriormente, as comparações são executadas entre frações de mesmo denominador.
Na coleção que apresenta estrutura em espiral, as comparações e equivalência no registro fracionário da 3ª a 5ª série são feitas tomando como parâmetro o registro figural. Com o enfoque de “revendo frações” na 7ª série, o registro fracionário é articulado ao registro decimal.
Ao longo das coleções são observadas poucas atividades de ordenação de número no registro fracionário na reta numérica. Algumas representações figurais utilizadas pelos autores podem constituir dificuldades para a conceituação do número racional.
O emprego do registro na língua natural também apresenta enfoques diferenciados pelas coleções. A denominação de “número com vírgula” adotada para o número racional no registro decimal, parece ser um artifício usado pelos autores nos livros didáticos, de modo a aproveitarem os conhecimentos trazidos da vida cotidiana pelos alunos.
O registro decimal é introduzido com base na representação figural numa articulação com a noção de fração decimal e a língua natural, com ênfase nos décimos.
As coleções articulam de maneiras distintas a noção de medidas. Os autores apresentam em alguns momentos atividades que propiciam tanto a conversão de registros como a conceitualização de números, de ordenação e de localização de número na reta.
Na abordagem do Sistema Decimal, verificou-se que a compreensão da base 10 é essencial ao domínio do conceito de equivalência entre as diferentes unidades, tais como o entendimento da relação entre a unidade e o décimo, o décimo e o centésimo, o centésimo e o milésimo, etc.
Outro aspecto importante que vem ao encontro da fundamentação teórica, está relacionado aos momentos em que as conversões são realizadas. Assim, é preciso conhecer duas ou mais representações para o mesmo objeto
matemático e, sobretudo, saber realizar as conversões entre elas e o sentido em que estas ocorrem.
É comum serem propiciadas atividades de conversão num único sentido, por exemplo, a articulação dos registros figural para o decimal, e não no sentido contrário, assim como do registro decimal para a língua natural e vice-versa. A articulação entre os registros fracionário e o decimal é essencial para a formação do conceito de número racional.
O trabalho de NAKAMURA (2008), parte desta análise, tem por objetivo investigar as dificuldades históricas para o desenvolvimento do conteúdo matemático referente aos números irracionais e abordagens presentes em livros didáticos. A hipótese de Nakamura sobre o processo de ensino implementado para os números irracionais, é que os obstáculos podem ser encontrados na própria evolução histórica, principalmente na passagem do conjunto dos números Racionais para os Reais.
Na busca de resposta para a sua questão, Nakamura utilizou a noção de Organização Praxeológica proposta por CHEVALLARD (2001) presente em sua Teoria Antropológica do Didático, para analisar atividades desenvolvidas com números irracionais.
Na análise histórico-epistemológica dos números irracionais, o pesquisador constatou que a sua evolução trilhou um longo caminho, desde Pitágoras (586 a.C. - 212 a.C.) até Dedekind (1831 – 1916) e com muita dificuldade, sendo que a verificação da irracionalidade de um dado número só é possível, naturalmente, no âmbito da própria matemática. Nenhuma verificação empírica, nenhuma medição de grandezas, por mais precisa que seja, provará que uma medida tem valor irracional.
Para realizar a análise dos livros didáticos, Nakamura observou as orientações dos documentos oficiais das reformas curriculares. Os livros analisados foram os mais indicados pelos professores da região do Vale do Ribeira.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p.21), os documentos oficiais mais recentes não são conhecidos pelos professores, que por vezes não sabem de sua importância ou se quer o motivo de sua elaboração. Observa-se que as idéias ricas e inovadoras, veiculadas nos documentos oficiais não chegam aos professores ou são incorporadas superficialmente com diversas falhas de interpretação, não provocando as mudanças objetivadas.
Na análise dos livros didáticos, o pesquisador teve uma agradável surpresa, já que a prova da irracionalidade de n c ocorre em todas as coleções
com abordagem moderna assim e também pela equação polinomial, dando sentido ao conhecimento matemático e ao saber escolar, conforme recomendado nos documentos oficiais.
Quatro das seis coleções analisadas utilizam a situação da construção da técnica para provar a irracionalidade de outros números e todas as coleções apresentam outras caracterizações de números irracionais.
Na conclusão dos seus estudos, Nakamura verifica que a descoberta dos incomensuráveis, na antiguidade, representou um momento de crise no desenvolvimento da Matemática. Depois de mais de dois milênios, Dedekind construiu uma teoria rigorosa dos números reais e vários estudiosos em matemática colaboraram nesta conquista, desde as Antigas Civilizações, o Renascimento da Ciência, a Idade Moderna e o século dezenove.
Nakamura observa que nos documentos curriculares oficiais, os números irracionais são tratados em uma organização linear, por meio de acumulação nos conjuntos numéricos, ou seja, primeiro os naturais, depois os inteiros, depois os racionais e por último os irracionais. O tipo de abordagem dada ao seu ensino continua sendo o axiomático euclidiano, enquanto outros tipos de abordagens poderiam ser mais aproveitados pelos alunos e professores na sala de aula.
A maioria desses documentos propõe acompanhar a evolução dos números irracionais através do fio condutor que a história propicia, trocando uma sistematização prematura por uma abordagem mais rica em significados.
O pesquisador concluiu em seu trabalho que, nas coleções mais recentes, nas atividades com números irracionais, os autores estão construindo conexões entre os temas, evitando a idéia de conhecimento pronto e propõem a evolução dos números irracionais através do fio condutor que a história propicia dentro da sala de aula. O estudo do tema irracional é retomado várias vezes ao longo dos volumes, buscando acompanhar a evolução do aluno e das experiências matemáticas desenvolvidas.
Nakamura observou em seu estudo que os números naturais, inteiros e racionais são bastante trabalhados nos livros didáticos, mas os irracionais são tratados de forma mais superficial.
A fim de completar a presente revisão bibliográfica, há que se destacar o artigo intitulado: Concepções de professores do Ensino Médio do Brasil a respeito da densidade do conjunto dos números reais, assinado por Silva e Penteado. Neste artigo afirma-se que a noção de número real está presente na maioria dos conteúdos de Matemática, a exemplo tem-se o estudo de limite, continuidade, derivada e integral de funções reais de variável real.
Pesquisas brasileiras e de outros países evidenciam que dificuldades dos alunos na aprendizagem de limites e continuidade de funções vêm da confusão na classificação de números racionais e irracionais, bem como do desconhecimento da propriedade da densidade do conjunto dos números reais, isto é, a existência de infinitos números racionais e infinitos irracionais entre dois números reais distintos.
Algumas pesquisas também validam a confusão existente quanto às mesmas noções, entre os professores. Por exemplo, os resultados das pesquisas de ROBINET, J. (1993); FISCHBEIN, E., JEHIAM, R. e COHEN, D. (1995); e TIROSH, D. (1995) apontam certas dificuldades dos alunos em alguns conteúdos devido à falta de conhecimento a respeito dos números reais e suas propriedades como, por exemplo, a noção da distinção entre números racionais e irracionais ou a noção de densidade.
Duas pesquisas brasileiras foram inspiradas nestas, a primeira de IGLIORI, S. B. C. e SILVA, B. A. (2001) realizada com alunos iniciantes do curso de Ciências da Computação e com finalistas do curso de licenciatura em Matemática.
Este estudo concluiu que para os alunos investigados, a reta real não considera a propriedade da densidade. Evidenciou-se a confusão para classificar como sendo racional ou irracional, um número real dado na sua representação decimal. Constatou-se ainda que os alunos insistem em estender a noção de sucessor de um número inteiro para os números reais.
Ainda revelou que alguns alunos não percebem a existência de infinitos números reais entre dois dados. Certos alunos definiram número irracional como sendo aquele que contém infinitos dígitos após a vírgula. Definiram número racional como sendo exato ou inteiro. Número irracional foi considerado sinônimo de número negativo em algumas respostas. A grande maioria dos entrevistados não identificou a igualdade entre as representações 1,999... e 2.
Uma segunda pesquisa brasileira realizada por SOARES, E. F. E. , FERREIRA, M. C. C. e MOREIRA, P. C. (1999) com 84 alunos dos cursos de Matemática de duas Universidades Brasileiras identificou que o significado da incomensurabilidade de dois segmentos, o sentido e a necessidade dos irracionais não são dispostos na maioria das respostas. Esse parece ser o ponto central das dificuldades na compreensão de uma série de conceitos ligados à estrutura dos reais.
Esta pesquisa identificou as seguintes concepções dos alunos: um número irracional é aquele que não é exato ou que possui infinitas casas decimais, isto é, associam os irracionais com o que não é familiar ou bem compreendido, ou ainda, associam número irracional à imprecisão e não a exatidão.
As pesquisas aqui apresentadas corroboram para a pertinência do presente estudo, tanto junto ao público-alvo dos professores do Ensino Médio
quanto à escolha do tema: a densidade do conjunto dos números reais. Propõe-se então, realizar uma intervenção por meio de uma Propõe-seqüência de ensino junto a Professores do Ensino Médio. A escolha do público-alvo se deu pelo fato de o professor ser o agente do processo ensino-aprendizagem, tendo influência sobre um grande número de alunos.
Para tanto foi realizada uma intervenção por meio da elaboração e aplicação de uma seqüência de ensino e a análise dos resultados, composta de dez atividades, embasada na Teoria dos Registros de Representação Semiótica do psicólogo francês Raymond Duval, utilizando os registros da língua natural, decimal, fracionário e gráfico e a coordenação entre eles.
A coordenação entre ao menos dois registros de representação, segundo Duval, pode possibilitar a apreensão do objeto matemático, a conceitualização, pois ela estabelece as relações entre os registros evidenciando vários pontos de vista diferentes de um mesmo objeto matemático.
A sequência didática foi elaborada à luz dos princípios da Engenharia Didática, que é baseada nas análises de estudo de caso cuja validação é essencialmente interna decorrente da comparação entre a análise a priori e análise a posteriori das tarefas.
As questões foram elaboradas para que os participantes, depois de procedimentos operacionais, obtivessem: a) números racionais entre dois racionais distintos; b) números irracionais entre dois irracionais distintos; c) números racionais entre dois irracionais distintos; d) números irracionais entre dois racionais distintos; e) números racionais entre um racional e outro irracional e f) números irracionais entre um racional e outro irracional.
Dentre as atividades, procurou-se enfocar dois procedimentos: o primeiro deles objetivava a obtenção de números racionais entre dois racionais distintos por meio da média aritmética e o segundo, a obtenção de números irracionais entre dois irracionais distintos, sugerindo a troca de ao menos um algarismo na representação decimal de um deles.
Durante todo o experimento, em muitas situações, foi possível constatar que os participantes associam a irracionalidade do número com a infinitude de sua representação, ocasiões proveitosas para discutir a questão da representação decimal infinita dos números reais. Para alguns dos participantes esta associação manifestou-se até o final do experimento, evidenciado em comentários como: o racional é finito e o irracional é infinito..
O registro de representação decimal infinito leva alguns professores a uma contradição. Alguns relacionaram este registro, quando periódico, como sendo de um número racional e associaram o registro infinito a um número irracional. Foi destacado também que um dos grupos questionou a existência da biunivocidade entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto dos números reais, argumentando que se um número tem representação decimal infinita, o ponto a ele correspondente “pode variar” de acordo com o número de casas decimais representadas.
Aqui está evidenciada a identificação do número com sua representação, pois dependendo do número de casas decimais escritas, cada representação de um mesmo número parece significar, para este grupo, números diferentes.
Observou-se que a maioria dos participantes ao responder questões, recorria às suas respostas anteriores, podendo indicar com isto que, possivelmente houve uma tentativa de reprodução do procedimento sugerido em atividades anteriores.
Num panorama geral, foi observada receptividade dos participantes. Sendo o desenvolvimento das atividades com entusiasmo e seriedade, havendo um grande empenho na resolução e discussão das questões e como se pretendia, inquietações e motivações para os estudos, observados em comentários como:
• “Vou estudar isso e depois a gente conversa”, referindo-se à igualdade: 0,999... = 1;
• “Percebi como tenho defasagem, a gente só estuda o que dá aula”, mostrando que a intervenção proposta causou, como se pretendia, inquietações e motivações para o estudo.
Uma possível continuação deste trabalho seria a elaboração de atividades, juntamente com os professores do Ensino Médio, viabilizando a sua aplicação aos seus alunos. Numa seguinte etapa, poder-se-ia investigar a possibilidade do estudo da continuidade do conjunto dos números reais com professores e com alunos do Ensino Médio.
Pode-se perceber que tanto o estudo de Penteado como o estudo de Dias mostraram, através de questionários com questões abertas e fechadas, que a lacuna docente está na falta de clareza do conceito de densidade do conjunto dos números reais e sugerem a reflexão de que essa ausência conceitual necessita estar inserida em sua prática docente e repercutir em seus alunos, acordando com as reflexões no artigo assinado por Benedito Antonio da Silva e
Cristina Berndt Penteado. Destacam também que termos expressos pelos professores são idênticos aos que os alunos apresentam em pesquisas sobre esta temática.
O artigo que compõe esta análise, de Silva e Penteado, pontua os conteúdos matemáticos, nos quais a noção de número real é fundamental e destaca dificuldades docentes frente à representação decimal de número real.
Em seu estudo, Catto entendeu que os autores dos livros analisados usam artifícios como “números com vírgula” para aproveitar o conhecimento trazido da vida cotidiana pelos alunos e conduzem a evolução de sua significação até atingir status de número na forma decimal. Observa também, com base em sua fundamentação teórica que, a articulação entre os registros fracionários e o decimal é essencial para a formação do conceito de número racional.
Nakamura, em sua pesquisa sobre as dificuldades no desenvolvimento do conteúdo matemático de números irracionais, observa que os livros por ele analisados surpreendem positivamente com abordagem moderna, como a
dedekindiana para a construção do significado do número irracional como orientam os documentos oficiais, mas destaca que são tratados de forma mais superficial, se comparado ao trabalho dedicado aos naturais, inteiros e racionais.
Papel da Avaliação Diagnóstica
Avaliar de maneira diagnóstica significa dizer que serão levantados pontos positivos e negativos dos estudantes na área na qual serão desenvolvidas propostas de ensino-aprendizagem. Desta forma, diagnosticar possibilita identificar se os conhecimentos prévios do grupo a ser ensinado são suficientes para desenvolver os conteúdos propostos, ou se uma revisão, tanto do conteúdo quanto da metodologia, são necessários.
Esta concepção de avaliação é de elevada importância como instrumento auxiliar de aprendizagem, tendo como foco o crescimento intelectual do educando de maneira que este seja direcionado a uma auto-compreensão e participação mediante seu desempenho. É sob este mesmo enfoque de reflexão que a avaliação inicial pode ser um instrumento válido não somente aos alunos, mas aos professores e ao próprio sistema de ensino ao qual se inserem; possibilitando a descoberta de desvios e a busca de avanços.
Em outras palavras é possível afirmar que uma avaliação diagnóstica pautada nos preceitos descritos permite que o aluno perceba seu nível de aprendizagem, adquirindo consciência de seus limites e suas necessidades de avanço. Os docentes por sua vez além de comprometerem-se com o acompanhamento do processo de aprendizagem de seus alunos, ainda podem verificar a eficiência e eficácia de suas aulas e desfazer eventuais incoerências ou desvios.
Para LUCKESI (2005) a avaliação diagnóstica é de imprescindível valor didático, permitindo a correção dos rumos de qualquer sistema de ensino durante o processo de ensino-aprendizagem, colocando como central as figuras
principais do processo: alunos e professores. Destaca-se que este processo de compreensão não será completo sem diálogos entre educadores e alunos, pois a relação de identificação de desvios, conscientização dos mesmos e possível avanço, só ocorrem por meio da participação dos envolvidos, havendo respeito e reflexão acerca das considerações diagnosticadas.
Por avaliação diagnóstica é possível compreender e investigar as razões e identificar as falhas nas mais distintas práticas educativas, podendo ser realizada a qualquer tempo do processo de ensino. Realizá-la é subsidiar o alcance dos resultados almejados, por meio de uma atribuição qualitativa quanto ao desempenho apresentado nas avaliações e através deste arquitetar medidas de intervenção e redirecionamento de ações envolvidas ao processo de aquisição de conhecimento.
Neste estudo optou-se por uma análise da fase inicial do processo avaliativo, ou seja, a avaliação diagnóstica ou avaliação inicial. A concepção de avaliação está atrelada a aferição do aproveitamento escolar de discentes do Ensino Médio frente aos números reais, objetivando subsidiar um redirecionamento frente ao processo de ensino-aprendizagem deste conteúdo matemático.
Luckesi salienta que a avaliação compõe um processo dinâmico e não pode ter como objetivo final apenas a verificação e a sanção positiva ou negativa, a saber, a aprovação ou reprovação. O dinamismo de uma avaliação inicial consiste em estabelecer uma atribuição de qualidade aos resultados da aprendizagem discente, sendo neste caso uma atribuição de qualidade aos conhecimentos adquiridos ao longo do Ensino Fundamental frente a um conteúdo delimitado, tendo por base seus aspectos essenciais – direcionando as afirmações e considerações frente ao real aprendizado e consequente desenvolvimento do processo de ensino.
Na elaboração de uma avaliação diagnóstica é necessário que seja estabelecido um padrão, um nível de expectativa. Desta forma, as questões
dispostas numa avaliação inicial objetivam traçar um perfil dos educandos em relação ao aprendizado de números reais, tendo como padrão, conteúdos admitidos como básicos por especialistas de área e demais docentes habilitados no ensino matemático.
Atrelada à análise realizada a partir do desempenho dos estudantes está a necessidade de reconduzir o ensino de números reais, pois a qualidade insatisfatória do nível de aprendizagem reflete uma necessária reorientação do ensino, um redirecionamento aos estudantes e ao grupo docente.
O foco avaliativo neste estudo não é fixar médias frente ao aproveitamento dos estudantes, mas pontuar as lacunas existentes na aquisição de conteúdos pertinentes à formação básica de um estudante de matemática no ensino de números reais. Consequência de um ensino pautado no desenvolvimento de habilidades e convicções seria um desempenho pleno numa avaliação inicial, porém o revés deste desenvolvimento é o reflexo da necessidade eminente de uma revisão pedagógica da abordagem do conteúdo aferido e a alteração de encaminhamentos disponíveis ao avanço da qualidade de ensino.
Avaliação diagnóstica caracteriza-se aqui, como o mecanismo que subsidia a detecção dos níveis de aprendizagem discentes, pois diante de questões que exigem o padrão mínimo de apreensão do conteúdo em análise, garante-se a equalização entre os estudantes – tornando os resultados deste instrumento de pesquisa mais fieis à realidade dos estudantes do Ensino Público Paulista.
Metodologia de Pesquisa e procedimentos metodológicos
Sendo de natureza qualitativa, esta pesquisa objetiva compreender quais são os conhecimentos e dificuldades dos estudantes frente a um determinado conteúdo, porém é imprescindível destacar alguns elementos quantitativos ao apresentar quantidades de acertos por questão, dos estudantes envolvidos na pesquisa.
Segundo BOGDAN e BIKLEN (1994) a metodologia de pesquisa do tipo qualitativa apresenta cinco características:
(1) a fonte direta de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal. Os dados são obtidos na escola por meio de questionário, instrumento chave de análise.
(2) a investigação é descritiva. Os dados serão analisados com riqueza de detalhes.
(3) o interesse do investigador é mais no processo do que no produto. Vamos procurar investigar as razões pelas quis determinadas coisas acontecem.
(4) as análises dos dados tendem a acontecer de uma forma indutiva. Não procuraremos buscar evidências para comprovar hipóteses previamente construídas.
(5) o significado é de uma importância vital nesta abordagem. O significado que as pessoas dão às coisas e a sua vida são focos de atenção especial pelo pesquisador.
Esses mesmos autores destacam que não é necessário que todas as características estejam presentes no estudo qualitativo.
Os instrumentos de coleta de dados mais utilizados na metodologia qualitativa são: a observação, a entrevista, o questionário e a pesquisa documental e bibliográfica. Para coletar os dados, o questionário a ser utilizado
considera as características de uma avaliação diagnóstica sendo composto por doze questões de múltipla escolha e três questões dissertativas, abertas.
Um questionário com perguntas abertas e fechadas dá ao sujeito pesquisado maior liberdade nas respostas e ao pesquisador parâmetros iniciais de análise. Desta forma, podem ser obtidos mais dados sobre o assunto pesquisado sem prejuízo à tabulação. Acrescendo que a utilização de questionário é particularmente útil quando se propõe entender o que as pessoas sabem, o que gostam ou não gostam e o que pensam (TUCKMAN, 1994).
Elaboração da avaliação diagnóstica
A elaboração da avaliação inicial deste estudo está descrita abaixo, sendo possível verificar o objetivo de cada um das questões. A disposição da mesma está dividida em três distintas partes:
Parte I:
Composta de 12 questões objetivas com quatro alternativas, onde apenas uma está correta (anexo I).
Questão 1:
Objetivo do diagnóstico é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação à representação em forma de fração ordinária de uma dízima periódica;
• Em relação a representação na forma decimal de uma dízima periódica; • Em relação ao fato de que frações cujo denominador é uma potência de
base dez, não geram uma dízima periódica;
• Em relação ao conceito imagem de uma dízima periódica;
• Em relação à conversão de uma fração ordinária em um número decimal.
Questão 2 :
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação a reconhecer diferentes representações de números racionais e irracionais;
• Em relação ao conceito imagem do número irracional π; • Em relação ao conceito imagem da irracionalidade de n c.
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação a pertinência de um número a um determinado conjunto; • Em relação a diferentes representações para números inteiros e naturais; • Em relação ao conceito imagem de número racional e irracional.
Questão 4:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação às relações entre conjuntos numéricos;
• Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números naturais; • Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números racionais
positivos;
• Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números reais positivos; • Em relação ao conceito imagem do conjunto dos números inteiros
positivos;
Questão 5:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação ao conceito imagem de par ordenado; • Em relação a localização de pontos no plano cartesiano;
• Em relação a localizar número irracional dentro de um intervalo real.
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação ao conceito definição e conceito imagem de função;
• Em relação a localizar na reta real, a partir da representação de um gráfico de uma função, um intervalo para a imagem de um número do domínio;
• Em relação a fazer leitura e interpretação de um gráfico de função.
Questão 7:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação a reconhecer diferentes representações de um mesmo número;
• Em relação a fazer conversão (transformações de um registro ao outro); • Em relação a representação de uma dízima periódica como uma soma
infinita de frações;
Questão 8:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação a identificação do número irracional na forma n c ;
• Em relação as propriedades dos radicais que lhe permita fazer conversões;
• Em relação ao conceito imagem da irracionalidade de n c.
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação ao conceito definição e conceito imagem de função; • Em relação a localizar número irracional em um intervalo numérico;
• Em relação a fazer leitura e interpretação de gráfico de função quadrática,
Questão 10:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação ao conceito imagem da diagonal do cubo;
• Em relação a realização de cálculo exato com número irracional através do teorema de Pitágoras;
Questão 11:
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação a localização de número na reta por meio de uma soma de segmentos;
• Em relação ao conceito de comensurabilidade de um segmento; • Em relação a correspondência do número racional com medida; • Em relação ao conceito de número racional.
Objetivo do diagnóstico da questão é avaliar quais são os conhecimentos do aluno:
• Em relação a comparar números reais em diferentes representações; • Em relação ao valor aproximado do π;
Parte II
Composta de 3 questões abertas.
Objetivo do diagnóstico das questões 13, 14 e 15 da parte II, por serem questões abertas do tipo “O que são...?” é que o aluno revele o seu conceito definição sobre os números racionais, irracionais e reais. O referencial teórico, a saber DIAS (2002), diz que o conceito definição pode ocorrer no ato em que o indivíduo é questionado para explicar um determinado conceito.
O esperado como conceito definição correto é:
• Resposta à questão 13: Racionais – números que se pode escrever na
forma b a
, onde a e b são inteiros e b≠0.
• Resposta à questão 14: Irracionais – números que não se pode expressar como quociente de dois inteiros.
• Resposta à questão 15: Reais – designação dada a união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, ou seja, R = Q U I
A pesquisa de IGLIORI, S. B. C. e SILVA, B. A. (2001), realizada com alunos iniciantes do curso de Ciências da Computação e com finalistas do curso de licenciatura em Matemática evidenciou a confusão, por parte dos alunos investigados aoclassificar números como sendo racionais ou irracionais.
Parte III:
Composta por um questionário que possibilita traçar um perfil dos alunos participantes (anexo II).Cenário da pesquisa
A aplicação do questionário foi realizada numa Instituição de Ensino Estadual que divide seu período letivo em três, a saber, com Ensino Fundamental e Ensino Médio no período da manhã (8ª, 1º, 2º e 3º), Ensino Fundamental no período da tarde (5ª, 6ª e 7ª) e Ensino Médio no período da noite (1º, 2º e 3º).
Esta escola está localizada na cidade de Itanhaém na baixada santista e tem atualmente 781 alunos matriculados, sendo 454 no Ensino Fundamental e 327 no Ensino Médio.
Ao todo, 54 alunos participaram desta pesquisa, sendo 18 alunos do primeiro ano, 18 alunos do segundo ano e 18 alunos do terceiro ano. Em todas as séries contamos com a participação de estudantes do período da manhã e da noite numa distribuição equilibrada.
Dos 18 alunos de primeiro ano, 14 são do sexo feminino e 4 do sexo masculino, com idades variando entre 14 e 16 anos, sendo predominante estudantes de 15 anos. Entre os participantes de primeiro ano, 83,3% descrevem-se como alunos que gostam de matemática, porém 66,7% afirmam que não resolvem problemas de matemática com facilidade. Mais de 90% destes participantes têm em seu histórico escolar escolas públicas de ensino regular.
Dos 18 alunos de segundo ano, 7 são do sexo feminino e 11 do sexo masculino, com idades variando entre 15 e 20 anos, com predominância das idades de 15 ou 16 anos. Entre os participantes de segundo ano, 72,2% dizem gostar de matemática, porém 61,1% afirmam que não resolvem problemas de matemática com facilidade. Neste grupo, 84,3% dos participantes, sempre estudou em escola pública e 94,5% do grupo fez o ensino regular.
Dos 18 alunos de terceiro ano, 13 são do sexo feminino e 5 do sexo masculino, com idades variando entre 16 e 18 anos, sendo a maioria com 17anos. Neste grupo, 77,8% relatam gostar de matemática e 72,2% afirmam que resolvem problemas de matemática com facilidade. Mais de 94% destes participantes estudou em escola pública e no ensino regular até então.
