Realizações de constelações de sinais hiperbolicas densas associadas a sistemas lineares atraves das funções automorfas

(1)

Faculdade de Engenharia El´etrica e de Computa¸c˜ao

Realiza¸c˜

oes de Constela¸c˜

oes de Sinais

Hiperb´

olicas Densas Associadas a Sistemas

Lineares Atrav´

es das Fun¸c˜

oes Automorfas

Autor: M´

ario Jos´

e de Souza

mariojsouza@gmail.com

Orientador: Prof. Dr. Reginaldo Palazzo Jr.

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computa¸cão -FEEC , UNICAMP, como requisito parcial para obten¸cão de T´ıtulo de Doutor em Engenharia Elétrica.

Banca Examinadora

Prof. Dr. Reginaldo Palazzo Jr. ... DT/FEEC/UNICAMP

Prof. Dr. Henrique L´azari ... DM/UNESP

Prof. Dr. Eduardo Brandani da Silva ... DM/UEM

Prof. Dr. Claudemir Murari ... DM/UNESP

Prof. Dr. Carlos Eduardo Cˆamara ... DM/USF

Prof. Dr. Dalton Soares Arantes ... DCOM/FEEC/UNICAMP

Campinas - SP 30 de junho de 2005

(2)

T´ıtulo: Realiza¸cões de Constela¸cões de Sinais Hiperbólicas Densas

Associ-adas a Sistemas Lineares Atrav´es das Fun¸c˜oes Automorfas

Autor: M´ario Jos´e de Souza

Tese de Doutorado defendida em 30 de junho de 2005 e aprovada

pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof. Dr. Reginaldo Palazzo Jr.

Departamento de Telem´atica - FEEC - UNICAMP

Prof. Dr. Henrique L´azari

Departamento de Matem´atica - UNESP - RIO CLARO

Prof. Dr. Eduardo Brandani da Silva Departamento de Matem´atica - UEM

Prof. Dr. Claudemir Murari

Departamento de Matem´atica - UNESP - RIO CLARO

Prof. Dr. Carlos Eduardo Cˆamara Departamento de Matem´atica - USF

Prof. Dr. Dalton Soares Arantes Departamento de Comunica¸c˜oes - UNICAMP

(3)

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co ao Professor Doutor Reginaldo Palazzo Jr. pelo est´ımulo e aux´ılio dados durante a elabora¸c˜ao deste trabalho.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio financeiro (Processo 140972/2001-3) concedido durante o per´ıodo de mar¸co de 2001 a mar¸co de 2005, sem o qual não seria poss´ıvel a realiza¸cão do Programa de Doutoramento em Engenharia Elétrica.

Agrade¸co ao amigo Mercio Botelho Faria do IMEC - UNICAMP por sua generozidade e pelas discuss˜oes em busca de novos conhecimentos.

Agrade¸co tamb´em a amizade e companhia de todos os colegas e amigos do Departa-mento de Telem´atica (DT) com quem convivi durante o doutorado.

Agrade¸co `a minha esposa Maria Aparecida de Faria por ter abdicado de alguns de seus sonhos e ter seguido-me durante esta caminhada.

Agrade¸co `a minha filha Sofia Rodrigues Faria de Souza por sua delicadeza e do¸cura. Agrade¸co ao Pai Celestial a permiss˜ao de efetuar este trabalho.

(5)

Neste trabalho apresentamos uma linha de transmissão como uma modelagem hiper-bólica; constru´ımos constela¸cões de sinais hiperbólicas a partir das tessela¸cões regulares do tipo {12g − 6, 3} ; estabelecemos um procedimento para a contagem do número de pon-tos (sinais) das constela¸cões acima citadas e apresentamos as fun¸cões automorfas como um meio de trânsito entre o ambiente das linhas de transmissão (semiplano direito) e o ambiente das constela¸cões constru´ıdas (as superf´ıcies de Riemann).

(6)

Abstract

In this work we have introduced a transmission line as a hyperbolic modeling; we have constructed a signal constellation in the hyperbolic plane from regular tessellations such as the ones generated by {12g − 6, 3} ; we have established a procedure for couting the number of points of the constellations mentioned above. We have also presented the automorphic functions as a means of transit between the context of transmission line (right semiplane) and the context of the constellations which were built (Riemann’s surfaces).

(7)

Agradecimentos vii

Resumo ix

Abstract xi

Lista de S´ımbolos xvii

Lista de Figuras xx 1 Introdu¸cão 1 2 Preliminares 7 2.1 Grupos . . . 8 2.1.1 Subgrupos . . . 9 2.1.2 Classes laterais . . . 10 2.1.3 Grupos quocientes . . . 10 2.1.4 Homomorfismos . . . 11 2.1.5 A¸cões de grupos . . . 11 2.2 Espa¸cos Métricos . . . 13 2.3 Geometria Hiperbólica . . . 15

2.3.1 A Geometria das Isometrias e sua Classifica¸c˜ao . . . 19

2.3.2 Grupos Fuchsianos . . . 21

2.4 Constela¸c˜oes Geometricamente Uniformes . . . 25

3 As Fun¸cões Automorfas como Ferramentas de Conexão 29 3.1 Transforma¸cões Conformes . . . 31

3.1.1 Aplica¸c˜ao de transforma¸c˜oes conformes . . . 33 xiii

(8)

xiv SUM ´ARIO

3.2 Superf´ıcie de Riemann . . . 34

3.2.1 Exemplos de superf´ıcies de Riemann . . . 36

3.3 Teorema da Uniformiza¸c˜ao . . . 38

3.3.1 Classifica¸c˜ao das superf´ıcies de Riemann . . . 39

3.3.2 Propriedades dos grupos de movimentos r´ıgidos n˜ao euclidianos . . 42

3.3.3 Dom´ınios Fundamentais . . . 43

3.3.4 Fun¸c˜oes Meromorfas sobre uma Superf´ıcie de Riemann . . . 44

4 Linhas de Transmissão: Uma Modelagem Hiperbólica 49 4.1 Linhas de Transmissão . . . 53

4.2 Equa¸c˜oes Diferenciais de uma Linha de Transmiss˜ao . . . 54

4.2.1 Linha n˜ao dissipativa (ideal ou sem perdas) . . . 55

4.2.2 Reflexões na linha ideal: coeficientes de reflexão de tensão e de corrente . . . 56

4.3 Linhas em Regime Estacion´ario Senoidal . . . 58

4.3.1 Solu¸c˜ao geral de tens˜ao e corrente na linha em regime permanente senoidal . . . 59

4.4 Linha Infinita, Velocidade de Fase e Comprimento de Onda . . . 61

4.4.1 Linha finita bem terminada . . . 64

4.4.2 Reflexões na linha: coeficiente de reflexão medido a partir da carga 65 4.4.3 Impedância na linha . . . 66

4.5 Distribui¸cão de Tensão e Corrente na Linha. Ondas Progressivas e Esta-cionárias . . . 67

4.5.1 Tens˜ao e corrente em fun¸c˜ao das grandezas de entrada . . . 67

4.5.2 Distribui¸c˜ao de tens˜ao e corrente na linha . . . 68

4.5.3 Linha bem terminada e suas distribui¸c˜oes - onda progressiva . . . . 69

4.5.4 Linha mal terminada - composi¸c˜ao de fasores . . . 71

4.6 Raz˜ao de Onda Estacion´aria e a Carta de Smith . . . 71

4.6.1 Raz˜ao de onda estacion´aria . . . 72

4.6.2 A carta de Smith . . . 72

4.7 Uma Aplica¸cão dos Modelos Planares de Poincaré em Linhas de Transmissão 76 4.8 Quadripólos . . . 86

4.9 Conex˜ao de Sistemas . . . 90

(9)

4.10.1 Conex˜ao de circuitos . . . 95

4.11 Transferˆencia de Potˆencias . . . 96

4.12 Circuitos El´etricos com Corrente Senoidal . . . 98

4.13 Conclus˜oes . . . 99

5 Constela¸c˜oes de Sinais Hiperb´olicas Densas 101 5.1 Emparelhamento de Arestas de um Pol´ıgono . . . 104

5.2 Cálculo do Número de Vértices de Constela¸cões de Sinais . . . 111

5.3 Coordenadas das Constela¸c˜oes 12g-6 . . . 115

6 Conclus˜oes 121 6.1 Trabalhos Futuros . . . 122

(10)

Lista de s´ımbolos

C capacitˆancia paralela da linha

C conjunto dos n´umeros complexos

C constela¸c˜ao de sinais

D2 _{c´ırculo unit´ario}

d_D2(.) métrica hiperbólica para o disco de Poincaré

dH2 m´etrica hiperb´olica para o semiplano superior

DP (G) regi˜ao de Dirichlet para G centrada em P

∂D2 _{fronteira de D}2

δ diferen¸ca de potˆencia

∆ um triˆangulo

(D2_{, d}

D2) modelo planar para a geometria hiperb´olica, o disco de Poincar´e

G condutˆancia paralela da linha

(g, m1, . . . , mk) assinatura do grupo G

G (z) G−´orbita de um ponto z ∈ H2

Γ grupo de homomorfismos

Γ grupo topol´ogico de transforma¸c˜oes de uma variedade V em si mesma

Γ (C) grupo de simetrias de C kγk norma de γ H2 _{semiplano superior} H2 G espa¸co quociente (H2_{, d}

D2) modelo planar para a geometria hiperb´olica, o plano hiperb´olico

i corrente

Isom (H2₎ _{grupo de isometrias de (H}2_{, d} D2)

j n´umero imagin´ario √−1

K conjunto compacto

L indutˆancia s´erie da linha

Λ (G) conjunto limite de um grupo fuchsiano G

µ (A) ´area de um conjunto A ⊂ H2

(11)

C (c, r) c´ırculo com centro c e raio r

g gˆenero de uma superf´ıcie

Pg pol´ıgono regular com 12g − 6 arestas

P D (u) perfil de distˆancia global

P SL (2, R) grupo ortogonal especial projetivo {4g, 4g} tessela¸c˜oes auto duais

R resistˆencia s´erie da linha

R2 _{espa¸co euclidiano bidimensional}

RV (u) regi˜ao de Voronoi associada ao ponto de sinal u

ROE raz˜ao de onda estacion´aria

SL (2, R) grupo especial (determinante igual a 1) das matrizes 2 × 2 com elementos reais

SP D semiplano direito

T r (γ) tra¸co de γ

TA transforma¸c˜ao induzida por uma matriz A

θ (z) fun¸c˜ao t´eta

v tens˜ao

W superf´ıcie riemanniana

f

W recobrimento universal da superf´ıcie de Riemann W

S2 _{esfera de Riemann}

Σx classe dos pontos de V equivalentes, por Γ, a um ponto x

Z0 impedˆancia caracter´ıstica

Γc coeficiente de reflex˜ao na carga

(12)

Lista de Figuras

1.1 Conexão entre a geometria hiperbólica e as três áreas . . . 4

4.1 Conex˜ao de um sistema de 1-porta com um de 2-portas . . . 51

4.2 Linha de transmiss˜ao uniforme . . . 53

4.3 Conven¸c˜ao de sinais para a tens˜ao e corrente na linha . . . 56

4.4 Reflex˜ao na carga . . . 57

4.5 Linha infinita . . . 62

4.6 Diagrama contendo nota¸c˜ao usada . . . 65

4.7 Trecho final da linha de transmiss˜ao . . . 68

4.8 Diagrama fasorial para a tens˜ao na linha . . . 69

4.9 Composi¸c˜ao fasorial de tens˜ao na entrada da linha para d = 0 . . . 71

4.10 Carta de Smith . . . 74

4.11 Esquema de obten¸c˜ao do coeficiente de reflex˜ao . . . 82

4.12 Ilustrando a transformac˜ao de c´ırculos hiperb´olicos e linhas radiais . . . 83

4.13 Representa¸cão gráfica de um quadripólo . . . 87

4.14 Conex˜ao de um sistema de 2 − portas com um de 1 − porta . . . 90

4.15 Conex˜ao de dois sistemas de 2 − portas . . . 92

4.16 Sistemas de 2 − portas mais comuns . . . 92

4.17 Circuitos com mais de dois fios . . . 94

4.18 Conectando geradores de tens˜ao em cada par de fios . . . 95

4.19 Fonte de tens˜ao . . . 97

5.1 Pol´ıgono para g = 3 . . . 106

5.2 Ilustra¸c˜ao dos v´ertices do tipo 2 e 3 . . . 114

5.3 Ilustrando alguns n´ıveis . . . 115

5.4 Ilustra a tessela¸c˜ao {6, 3} . . . 118 xix

(13)

5.5 Esquema dos subn´ıveis . . . 119 5.6 Possibilidades de emparelhamentos dos lados do pol´ıgono com 18 lados . . 120

(14)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

O primeiro objetivo deste trabalho, elaborado no Cap´ıtulo 4, é apresentar uma aplica¸cão do modelo planar de Poincaré para a geometria hiperbólica em linhas de transmissão. Nesta dire¸cão três pontos são investigados.

1) A carta de Smith; 2) Quadrip´olos;

3) Sistemas de m − portas.

No que diz respeito à carta de Smith verifica-se que a mesma é apresentada por de-terminados conjuntos de geodésicas e horociclos esbo¸cados no modelo acima citado.

Sob o ponto de vista de circuitos, em geral, a linha de transmissão satisfaz todas as condi¸cões que definem um quadripólo, caracterizado por dois terminais de entrada e dois terminais de sa´ıda, com tensão e corrente de entrada e tensão e corrente de sa´ıda, entre eles dispondo-se uma rede passiva definida pela impedância equivalente Z. Por sua vez, um quadripólo tem associado uma matriz

M ∈ SL (2, R) = (Ã a b c d ! , com a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1 ) ,

onde SL (2, R) denota o grupo especial (determinante igual a 1) das matrizes 2 × 2 com elementos no corpo dos reais, denominada matriz de transferência. Com isto, fica evidente que o estudo das linhas de transmissão pode ser feito, novamente, no contexto da geometria hiperbólica.

(15)

Já no estudo dos sistemas de m − portas alguns formalismos [25] são apresentados para descrevê-los, assim como suas conexões. Dentre os formalismos existentes, o forma-lismo em cadeia é aquele que oferece vantagens computacionais quando são consideradas conexões em cascata de dois sistemas de 2 − portas, pois a opera¸cão envolvida no processo é a multiplica¸cão de matrizes. Por outro lado, a conexão de um sistema de 2 − portas com um sistema de 1 − porta resulta em uma transforma¸cão fracionária linear na forma convencional.

O segundo objetivo, elaborado no Cap´ıtulo 3, é o de apresentar uma maneira que per-mita o trânsito do contexto dos circuitos elétricos, o semiplano direito (SP D) , estudado no Cap´ıtulo 4, para o contexto das constela¸cões de sinais constru´ıdas sobre superf´ıcies riemannianas, estudado no Cap´ıtulo 5. Vê-se neste sentido que as fun¸cões automorfas apresentam os requisitos necessários que permitem o trânsito entre os contextos acima citados. Ressaltamos que nossa contribui¸cão, por assim dizer, não está na apresenta¸cão de novos resultados matemáticos, mas sim no fato de se estabelecer uma rela¸cão entre o ambiente das linhas de transmissão e as superf´ıcies de Riemann, ambientes das conste-la¸cões de sinais a serem constru´ıdas. Até então os ambientes, acima mencionados, eram tratados isoladamente.

O terceiro objetivo deste trabalho é a constru¸cão de constela¸cões de sinais geometri-camente uniformes a partir das tessela¸cões regulares {12g − 6, 3}, onde g ≥ 2 é o gênero da superf´ıcie de Riemann associada; e apresentar uma forma de contagem dos pontos de uma constela¸cão de sinais num determinado n´ıvel da mesma. Para a constru¸cão das constela¸cões acima mencionadas, inicialmente, apresentamos um emparelhamento conve-niente de lados de um pol´ıgono Pg com 12g − 6 arestas e ângulos internos iguais a 2π₃ , que

representa a superf´ıcie riemanniana compacta orient´avel de gˆenero g.

Existem vários trabalhos que versam sobre a constru¸cão de constela¸cões de sinais hiperbólicas. Como exemplo, citamos os trabalhos [1], [7],[9], [30] e [43].

Em [30] Lázari propõe a constru¸cão de constela¸cão de sinais geometricamente uniforme no plano hiperbólico através do processo de constru¸cão de cadeias de parti¸cões geometri-camente uniformes a partir do grupo de isometrias do octógono, dom´ınio fundamental da tessela¸cão {8, 8} e do grupo de isometrias do p-ágono da tessela¸cão {p, 3} .

Em um trabalho pioneiro no contexto da Teoria de Comunica¸cões e projeto de Sistema de Comunica¸cões, Brandani [43] expõe um importante subconjunto das tessela¸cões, as chamadas auto-duais, que são as tessela¸cões {p, q} tais que p = q. Estas tessela¸cões geram os g − toros a partir de simples orienta¸cões. Embora não haja a explora¸cão entre os

(16)

3 aspectos de teoria de superf´ıcies e suas poss´ıveis rela¸cões com sistemas de comunica¸cões [43] já aponta nesta dire¸cão.

Uma modelagem de superf´ıcies compactas de gênero g ≥ 2, no plano hiperbólico pode ser vista em [7]. Estas superf´ıcies são obtidas a partir de pol´ıgonos regulares de 4g lados, onde g é o gênero da superf´ıcie. Tessela¸cões auto-duais {4g, 4g} no plano hiperbólico são consideradas, de modo que uma rela¸cão entre os aspectos da teoria de superf´ıcies com sistemas de comunica¸cões é estabelecida.

Em [1], Agustini apresenta um estudo anal´ıtico das superf´ıcies de gênero g ≥ 2 local-mente isométricas a H2 _{obtidas por quocientes de gupos fuchsianos. Também demonstra}

que para um g − toro, g ≥ 2, dado por um quociente H2

G, em que G ´e uma regi˜ao

funda-mental poligonal regular, e com a condi¸cão de que G tenha um número par de geradores, o grupo triângulo T∆ gerado pelas reflexões sobre o triângulo hiperbólico ∆ de ângulos

internos π

4,

π

4 e

π

2g gera uma constela¸c˜ao C de sinais geometricamente uniforme sobre o

g − toro com cardinalidade 8g.

Em [9], Cavalcante analisa o desempenho de constela¸cões de sinais geometricamente uniformes provenientes de tessela¸cões em espa¸cos bidimensionais com curvatura seccional constante, K. Verifica que as constela¸cões de sinais em espa¸cos com K < 0 apresentam os melhores desempenhos em termos da probabilidade de erro quando comparadas com as constela¸cões de sinais em espa¸cos com K ≥ 0.

Bavard em [3] mostra que as tessela¸cões do tipo {12g − 6, 3} apresentam densidade de empacotamento ótima, isto é, estas tessela¸cões tendem a ser mais densas que as tessela¸cões apresentadas nos trabalhos acima citados.

Com rela¸cão às constela¸cões auto-duais apresentadas em [1], [7], [30] e aquela gerada pelo grupo triângulo gerado pelas reflexões sobre o triângulo hiperbólico ∆ de ângulos internos π

4,

π

4 e

π

2g, cuja cardinalidade ´e 8g, observamos que nossas constela¸c˜oes apresentam

cardinalidade maior, qualquer que seja o gˆenero g.

Tendo em vista que os baricentros dos pol´ıgonos das tessela¸cões {12g − 6, 3} fornecem uma constela¸cão de sinais geometricamente uniforme e são aquelas que apresentam a maior densidade de empacotamento, implicando na menor probabilidade de erro quando comparada com qualquer outra constela¸cão de sinais em espa¸cos de curvaturas constante negativa. Observa-se ainda que se pode ter curvatura constante igual a zero e, neste caso, a tessela¸cão {6, 3} é a que fornece a melhor constela¸cão no plano euclidiano.

Ao considerarmos os baricentros desses pol´ıgonos temos uma constela¸c˜ao de sinais geometricamente uniforme. Descrevemos uma maneira de contar o n´umero de pol´ıgonos

(17)

Figura 1.1: Conexão entre a geometria hiperbólica e as três áreas

de uma constela¸cão regular, fato relevante no que diz respeito ao projeto de constela¸cões de sinais. Como exemplo, apresentamos um algoritmo que descreve as coordenadas dos pontos de uma constela¸cão {6, 3}.

Este trabalho está dividido em seis cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 2 apresentamos os conceitos básicos sobre geometria hiperbólica, topologia, teoria de grupos e códigos geometricamente uniformes.

A apresenta¸cão destes tópicos seria puramente casual não fosse a forte rela¸cão existente entre os mesmos.

A geometria hiperbólica e seus critérios geométricos têm aplica¸cão em diversas áreas da matemática. Ela surge em três principais áreas: i) Variáveis complexas e aplica¸cões conformes. De fato, a motiva¸cão original de Poincaré para definir o espa¸co hiperbólico se deu quando trabalhava com fun¸cões automorfas; ii) Topologia (de variedades tridimen-sionais em particular); iii) Teoria de grupos, em particular a teoria de grupo combinatorial a la Gromov.

Historicamente, a geometria hiperbólica fica no centro de um triângulo que tem por ”vértices”estes três tópicos. Ver figura 1.1.

Na Se¸cão 2.1 os conceitos básicos sobre a geometria hiperbólica são introduzidos de modo sucinto, os resultados são apresentados sem demonstra¸cões. As no¸cões sobre Topolo-gia são colocadas na Se¸cão 2.2, onde exibimos apenas as defini¸cões e resultados necessários

(18)

5 para o propósito deste trabalho. Na Se¸cão 2.3, a Teoria de Grupos é apresentada de forma resumida, mas voltada para os propósitos desta tese. Finalmente na Se¸cão 2.4, as condi¸cões, defini¸cões e propriedades para uma constela¸cão de sinais ser classificada como geometricamente uniformes são apresentadas.

No Cap´ıtulo 3 é estabelecida uma rela¸cão entre o ambiente das linhas de transmissão,

Cap´ıtulo 4, e o ambiente das constela¸c˜oes de sinais constru´ıdas no Cap´ıtulo 5. Na Se¸c˜ao

3.1, as transforma¸cões conformes, algumas propriedades e algumas aplica¸cões são abor-dadas. Na Se¸cão 3.2, discorremos sucintamente sobre as superf´ıcies de Riemann, alguns exemplos são considerados. Na Se¸cão 3.3, o Teorema da Uniformiza¸cão é apresentado; uma classifica¸cão das superf´ıcies de Riemann é realizada; uma análise das propriedades dos grupos de movimentos r´ıgidos não euclidianos é apresentada; a no¸cão de dom´ınio fun-damental é colocada e, finalmente, estuda-se as fun¸cões meromorfas sobre uma superf´ıcie de Riemann.

No Cap´ıtulo 4, uma linha de transmissão é vista como uma modelagem hiperbólica. Nas Se¸cões 4.1−4.6, são apresentados os conceitos básicos relativos a linha de transmissão

do ponto de vista euclidiano. Na Se¸cão 4.7, o semiplano direito (SP D) é apresentado como um modelo planar de Poincaré para a geometria hiperbólica. Na Se¸cão 4.8, estudamos os quadripólos que do ponto de vista dos circuitos em geral, representam uma linha de transmissão. Na Se¸cão 4.9, as conexões de sistemas de m − portas são introduzidas. E o formalismo utilizado para descrever tais sistemas e suas conexões foi o f ormalismo

de cadeia, [25]. Na Se¸cão 4.10 os circuitos elétricos acionados por corrente direta são

abordados. Na Se¸cão 4.11 definimos uma fonte de tensão ideal em série com um resistor e apresentamos a diferen¸ca de potência entre a fonte r e a carga z como sendo a distância de Poincaré entre os números r e z. Na Se¸cão 4.12 são considerados os circuitos elétricos com corrente senoidal.

No Cap´ıtulo 5, são constru´ıdas as constela¸cões de sinais geometricamente uniformes a partir das tessela¸cões regulares do tipo {12g − 6, 3} . Também, é apresentado um proce-dimento para a contagem do número de pontos num determinado n´ıvel de uma conste-la¸cão de sinais. A Se¸cão 5.1, tem por objetivo a apresenta¸cão de um emparelhamento conveniente das arestas de um pol´ıgono com 12g − 6 arestas e ângulos iguais a 2π

3 ,

rep-resentando uma superf´ıcie de Riemann compacta orientável de gênero g. Na Se¸cão 5.2, através do Teorema 5.2.2, Pr oposi¸cão 5.2.3 e Proposi¸cão 5.2.4 , um método de contagem para o número de pontos de uma constela¸cão obtida a partir de uma tessela¸cão {p, 3} com

(19)

subn´ıveis em cada n´ıvel de uma tessela¸c˜ao do tipo {12g − 6, 3} .

No Cap´ıtulo 6, s˜ao apresentadas as conclus˜oes relativas a esta pesquisa e as perspec-tivas para futuros trabalhos.

(20)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos os conceitos básicos sobre teoria de grupos, espa¸cos métri-cos, geometria hiperbólica, e constela¸cões geometricamente uniformes. Estes conceitos constituem o ponto de partida para os cap´ıtulos seguintes neste trabalho.

No estudo das linhas de transmissão o ambiente natural é o semiplano direito. Este por sua vez é um modelo planar de Poincaré para a geometria hiperbólica. Desse modo, utilizando-se as propriedades da geometria hiperbólica, a carta de Smith é apresentada por determinados conjuntos de geodésicas e horociclos esbo¸cados no semiplano direito e no disco de Poincaré. Por outro lado, uma linha de transmissão satisfaz todas as condi¸cões que definem um quadripólo. Como cada quadripólo tem associado uma matriz quadrada 2 × 2 com determinante igual a um, vemos que esta corresponde a uma transforma¸cão de Möbius. Assim, o comportamento de uma linha de transmissão pode ser visto no contexto da geometria hiperbólica. Já no estudo dos sistemas de m-portas e suas conexões, em particular dos sistemas de 2 − portas, vemos que estes equivalem a certas transforma¸cões fracionárias lineares.

Forney em [22] mostrou a real importância do estudo de códigos sobre grupos, isto é, um código C está casado a uma dada constela¸cão S, quando o alfabeto de C é um grupo gerador de S. Forney também mostra que códigos sobre grupos são úteis no projeto de novos conjuntos de sinais geometricamente uniformes, considerando-se sinais geometrica-mente uniformes conhecidos.

Uma constela¸cão de sinais C pode ser utilizada como alfabeto na constru¸cão de códigos corretores de erro, por exemplo. Em [30] vemos que o estabelecimento de um conceito adequado de distância e um processo de avalia¸cão de distâncias entre palavras recebidas e palavras-código são imprescind´ıveis no processo de decodifica¸cão. Isto requer o

(21)

cimento das no¸cões básicas sobre espa¸cos métricos.

O conteúdo deste cap´ıtulo está ordenado da seguinte forma. Na Se¸cão 2.1 apresenta-mos as no¸cões de grupo, subgrupo, classe lateral, grupo quociente, homomorfisapresenta-mos e a¸cão de grupo. Na Se¸cão 2.2 é feita uma breve revisão sobre espa¸cos métricos. Na Se¸cão 2.3, os conceitos sobre geometria hiperbólica e grupos fuchsianos são abordados. Na Se¸cão 2.4 são tratados os conceitos sobre constela¸cões de sinais, região de Voronoi e são apresentadas as condi¸cões que permitem trabalhar apenas com sinais geometricamente uniformes.

Para um tratamento mais completo sobre os assuntos acima citados, recomendamos as referˆencias [4], [12], [13], [15],[16], [18], [20], [22], [23], [27], [31], [33], [36], [41], [42].

2.1 Grupos

Nesta se¸cão são apresentadas no¸cões gerais sobre Teoria de Grupos. Não faremos demons-tra¸cões dos resultados pertinentes ao assunto.

Uma opera¸cão binária num conjunto não vazio G é uma fun¸cão

µ : G × G −→ G

que a cada par ordenado (a, b) de elementos de G associa um elemento µ (a, b) de G, chamado produto de a e b, o qual será denotado por a.b, ou simplesmente ab. Uma opera¸cão binária é dita associativa se (a.b) .c = a. (b.c) para quaisquer elementos a, b, c ∈ G.

Defini¸c˜ao 2.1.1 Um grupo consiste num conjunto n˜ao vazio G munido de uma opera¸c˜ao

bin´aria que satisfaz os seguintes axiomas:

(G1) (a.b) .c = a. (b.c) (Associatividade)

(G2) Existe e ∈ G tal que e.a = a ∀a ∈ G (Elemento neutro)

(G3) ∀a ∈ G, existe b ∈ G tal que b.a = e (Existˆencia de inverso)

Exemplo 2.1.2 O grupo geral linear GL (n, R) . Se G = GL (n, R) denota o conjunto

das matrizes n × n invers´ıveis com entradas reais e µ ´e a multiplica¸c˜ao usual de matrizes

(A, B) −→ AB, ent˜ao G ´e um grupo.

Exemplo 2.1.3 O grupo de permuta¸c˜oes de um conjunto X. Seja G = S (X) o conjunto

das fun¸cões bijetoras φ : X −→ X munido com a opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões. Então S (X) é um grupo, chamado o grupo das permuta¸cões de X.

(22)

2.1 Grupos 9 Exemplo 2.1.4 Seja G = Z o conjunto dos números inteiros com a adi¸cão usual. Então

G ´e um grupo.

Observa¸c˜ao 2.1.5 Se x, y ∈ G s˜ao dois elementos tais que xy = yx dizemos que eles

comutam. Um grupo onde dois elementos quaisquer comutam ´e chamado de grupo comu-tativo ou grupo abeliano.

2.1.1 Subgrupos

Um subconjunto H de um grupo G é dito um subgrupo de G se verificar: (S1) H é não vazio.

(S2) Se a, b ∈ H, ent˜ao ab ∈ H. (S3) Se a ∈ H, ent˜ao a−1_{∈ H.}

Usaremos a nota¸c˜ao H ≤ G para denotar que H ´e um subgrupo de G.

Defini¸c˜ao 2.1.6 Se S ´e um subconjunto n˜ao vazio de um grupo G, definimos o subgrupo

gerado por S, e denotado hSi , como:

hSi = ∩

jHj

onde Hj é um subgrupo de G contendo S. Assim, hSi é o menor subgrupo de G que contém

S.

Explicitamente:

Lema 2.1.7 Se S é um conjunto não vazio de um grupo G então

hSi =©a1, . . . , an : aj ∈ S ou a−1j ∈ S n ≥ 1

ª

.

Defini¸c˜ao 2.1.8 Um subgrupo de G da forma hai , para algum a ∈ G, ´e chamado subgrupo

c´ıclico de G.

Defini¸c˜ao 2.1.9 Se G = hgi para algum g ∈ G então dizemos que G é um grupo c´ıclico. Defini¸c˜ao 2.1.10 Um grupo G é dito finito se G, como conjunto, for um conjunto finito.

(23)

2.1.2 Classes laterais

Seja H um subgrupo de um grupo G e x ∈ G. O subconjunto de G

Hx = {hx : h ∈ H} ,

é chamado de classe lateral à direita de H em G. De maneira análoga define-se classe lateral à esquerda de H em G. Quando o conjunto das classes laterais (à direita ou à esquerda) de H em G for finito, dizemos que H é um subgrupo de ´ındice finito em G, e o número de classes laterais é chamado o ´ındice de H em G, e denotado por |G : H| .

Seja G = Z o grupo aditivo dos n´umeros inteiros e H = h2i o subgrupo dos n´umeros pares. Temos duas classes laterais distintas:

H + 0 = {. . . , −2, 0, 2, . . .} H + 1 = {−3, −1, 1, 3, 5, . . .}

e, portanto, |G : H| = 2.

Teorema 2.1.11 (Lagrange) Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G então

|G| = |H| |G : H| .

2.1.3 Grupos quocientes

Sejam G um grupo e H ≤ G. Ao conjunto de todas as classes laterais `a esquerda (`a direita) denominamos conjunto quociente e o denotamos por G

H.

Defini¸c˜ao 2.1.12 Um subgrupo H de um grupo G diz-se normal em G se ocorre uma (e

portanto todas) das condi¸c˜oes equivalentes

1) Hx = xH, para todo x ∈ G.

2) xHx−1 _{= H, para todo x ∈ G.}

3) xHx−1 _{⊂ H, para todo x ∈ G.}

Escrevemos H C G para dizer que H ´e um subgrupo normal de G. Quando H C G, G

H ´e grupo e chamado o grupo quociente de G por H. No caso de GH

ser um grupo finito a sua ordem ´e o ´ındice |G : H| de H em G. Se o pr´oprio G for finito, o Teorema de Lagrange diz que _¯

¯ ¯ ¯_HG ¯ ¯ ¯ ¯ = _|H||G|.

(24)

2.1 Grupos 11

2.1.4 Homomorfismos

Defini¸c˜ao 2.1.13 Sejam (G, .) e (G0_{, ∗) dois grupos. Uma aplica¸c˜ao f : G −→ G}0

satis-fazendo

f (a.b) = f (a) ∗ f (b)

para todos a, b ∈ G, é dita um homomorfismo de grupos. Se f for também uma fun¸cão bi-jetora, dizemos que f é um isomorfismo entre G e G0_{. Se G e G}0 _{são isomorfos escrevemos}

G ∼= G0_.

Defini¸c˜ao 2.1.14 Se f : G −→ G0 _{´e um homomorfismo de grupos, o subconjunto}

ker (f ) = {g ∈ G : f (g) = eG0} ´e chamado de n´ucleo de f.

Encerramos esta subse¸c˜ao, apresentando um resultado que avalia os subgrupos de G H

em fun¸c˜ao dos subgrupos de G.

Teorema 2.1.15 Seja H um subgrupo normal de um grupo G e π : G −→ G

H a proje¸c˜ao

canônica. Então π induz uma correspondência bijetora entre o conjunto SH dos subgrupos

de G que contˆem H e o conjunto S dos subgrupos de G

H, dada por:

V ∈ SH −→ π (V ) =

V

H ∈ S.

Al´em disso, tem-se:

(a) Se V, L ∈ SH, ent˜ao V ⊆ L ⇔ π (V ) ⊆ π (L)

(b) Se V, L ∈ SH, com V ⊆ L, ent˜ao |L : V | = |π (L) : π (V )| .

(c) Se V, L ∈ SH, ent˜ao V / L ⇔ π (V ) / π (L) .

(d) Se V, L ∈ SH, com V / L, ent˜ao _VL ∼= _{π(V )}π(L).

2.1.5 A¸c˜

oes de grupos

Uma a¸cão (à esquerda) de um grupo G num conjunto X é uma fun¸cão

(25)

satisfazendo:

(A1) φ (g, φ (h, x)) = φ(gh, x), ∀ g, h ∈ G, ∀ x ∈ X.

(A2) φ(e, x) = x, ∀ x ∈ X. (e ∈ G é a identidade de G) Analogamente define-se uma a¸cão à direita de um grupo G num conjunto X.

Exemplo 2.1.16 G = GL(n, R) e X = Rn_{. A a¸cão φ é a multiplica¸cão usual de uma}

matriz n × n por um vetor (coluna) n × 1.

Exemplo 2.1.17 Seja G um grupo e X = G. A fun¸c˜ao (g, x) −→ gxg−1 _{define uma a¸c˜ao}

de G em G chamada a¸c˜ao por conjuga¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.1.18 Se um grupo G age num conjunto X e x ∈ X, o subconjunto de X,

O (x) = {g.x : g ∈ G} , ´e chamado de ´orbita de x.

Lema 2.1.19 Se G ´e um grupo agindo num conjunto X, ent˜ao: (a) X = ∪

x∈XO (x)

(b) Se x, y ∈ X, ent˜ao O (x) ∩ O (y) = φ, ou O (x) = O (y) .

Defini¸c˜ao 2.1.20 Um subconjunto S de X que corta cada ´orbita da a¸c˜ao de G em X em

um único ponto é chamado conjunto de representantes de órbitas. (Tal conjunto sempre existe, pelo Axioma da Escolha.)

Defini¸c˜ao 2.1.21 Se G age num conjunto X e x ∈ X, o subgrupo de G

Gx = {g ∈ G : g.x = x}

´e chamado estabilizador de x ou grupo de isotropia de x.

Se para algum x0 ∈ X, Gx0 = G, diz-se que x0 ´e um ponto fixo pela a¸c˜ao de G. O

conjunto dos pontos fixos de X ´e denotado por F ix (X) . Exemplo 2.1.22 G = GL(n, R) e X = Rn_. G

X possui dois elementos {±I} e F ix (X) =

(26)

2.2 Espa¸cos M´etricos 13 A¸c˜oes Transitivas

Uma a¸cão de um grupo G num conjunto X diz-se transitiva se ocorrer uma (e portanto todas) das três condi¸cões equivalentes:

(1) ∃x ∈ X tal que O (x) = X.

(2) ∀ x, y ∈ X, ∃ g ∈ G tal que x = g.y. (3) ∀ x ∈ X, O (x) = X.

2.2 Espa¸cos M´

etricos

Defini¸c˜ao 2.2.1 Um conjunto E é dito um espa¸co métrico se existe uma fun¸cão

d : E × E −→ R

denominada m´etrica ou distˆancia satisfazendo para todos x, y, z ∈ E :

(E1) d (x, y) ≥ 0 e d (x, y) = 0 se, e somente se, x = y. (E2) d (x, y) = d (y, x) .

(E3) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) .

Geralmente o espa¸co métrico é denotado por (E, d) ou simplesmente E, quando não houver ambiguidade.

Exemplo 2.2.2 Um conjunto E finito torna-se um espa¸co m´etrico munido com a m´etrica

definida por: d (x, y) =            0, se x = y 1, se x 6= y

Então d é denominada métrica discreta. Sejam En _{um espa¸co n- dimensional e}

dH(x, y) =

n

X

i=1

(27)

com d (xi, yi) a métrica discreta. Então dH é uma métrica em En, chamada métrica de

Hamming. Seja E = Fq um corpo finito, onde q é uma potência de um número primo.

Definimos para um x ∈ Fn

q o peso de Lee do elemento x por: ωL(x) = n X i=1 |xi| , onde |xi| =            xi, se 0 ≤ xi ≤ q₂ q − xi, se ₂q < xi ≤ q − 1

Desse modo a distˆancia de Lee entre x, y ∈ Fn

q ´e dada por dL(x, y) = ωL(x − y) .

Seja p um elemento num espa¸co métrico E e δ > 0 um valor real. A bola aberta de centro p e raio δ é o conjunto S (p, δ) dos elementos de E cuja distância ao ponto p é menor do que δ, simbolicamente,

S (p, δ) = {x ∈ E : d (p, x) < δ} .

Dado um ponto p ∈ E dizemos que o mesmo é um ponto isolado quando ele é uma bola aberta em E, isto é, quando existe δ > 0 tal que S (p, δ) = {p} . Um espa¸co métrico é denominado discreto quando todos os seus pontos são isolados.

Defini¸c˜ao 2.2.3 Seja (E, d) um espa¸co métrico. Uma isometria é uma aplica¸cão f :

E −→ E tal que d (x, y) = d (f (x) , f (y)) para quaisquer x, y ∈ E.

A composi¸cão de duas isometrias, assim como a inversa de uma isometria são ainda isometrias. Uma aplica¸cão f : E −→ F é cont´ınua no ponto p ∈ E sempre que, para qualquer ² > 0 considerado, existe δ > 0 tal que dF (f (x) , f (y)) < ² toda vez que

dN(x, y) < δ. Uma fun¸c˜ao f : E −→ F cont´ınua bijetora cuja inversa f−1 : F −→ E

também é cont´ınua é denominada um homeomorfismo de E em F. E e F são ditos homeomorfos.

Ao conjunto de pontos limitados por uma região de um espa¸co métrico denomina-se figura geométrica.

Seja F uma figura geom´etrica. Uma isometria T que deixa F invariante, ou seja,

T (F ) = F é chamada uma simetria de F. O conjunto das simetrias de F, denotado por U (F ) , é um grupo com a opera¸cão de composi¸cão.

(28)

2.3 Geometria Hiperb´olica 15

2.3 Geometria Hiperb´

olica

Existem vários modelos interessantes para a geometria hiperbólica. Aqui apresentamos dois modelos para o espa¸co hiperbólico bidimensional: um deles baseia-se no semiplano superior

H2_{= {z = x + iy | Im(z) > 0} ,}

e o outro no disco unit´ario

D2 _{= {z ∈ C | |z| < 1} .}

Estes dois espa¸cos, juntamente com as respectivas métricas hiperbólicas são designados por semiplano superior de Poincaré e disco de Poincaré, respectivamente.

Para o semiplano superior H2 _{a métrica hiperbólica é obtida a partir do diferencial:}

ds = |dz| Im (z) = p dx2_{+ dy}2 y , onde z = x + yi.

Isto significa que para obtermos a distˆancia entre pontos z, w ∈ H2_{consideramos todos}

os caminhos seccionalmente regulares γ : [0, 1] −→ H2_{, tais que γ (0) = z e γ (1) = w, e}

definimos: dH2(z, w) = inf kγk γ , (2.1) onde kγk = Z ₁ 0 kγ0_(t)k y (t) dt = Z ₁ 0 q (dx/dt)2+ (dy/dt)2 y (t) dt. (2.2)

Prova-se, sem muito esfor¸co, que a fun¸c˜ao dH2 satisfaz os axiomas de uma m´etrica.

Para definirmos a métrica hiperbólica em D2 _{consideraremos a transforma¸cão}

f : H2 _{−→ D}2

definida por

f (z) = z − i

z + i (2.3)

que é uma isometria. Deste modo, a métrica hiperbólica para o disco de Poincaré é obtida por meio de: dD2(z, w) = d_H2(f−1(z), f−1(w)), para z, w ∈ D2. A distância d_D2 é a mesma

que se obt´em a partir do diferencial:

ds = 2 |dz|

(29)

Pode-se ainda provar, [27], p´agina 4, que as geod´esicas em (H2_{, d}

H2) s˜ao as semiretas

verticais e as semicircunferências com centro sobre o eixo real. Como a transforma¸cão (2.3) é conforme e transforma geodésicas de (H2_{, d}

H2) em geod´esicas de (D2, d_D2) , conclui-se que

as geod´esicas em (D2_{, d}

D2) são os diâmetros do c´ırculo D2 e os arcos de circunferências

que intersectam perpendicularmente ∂D2 _{(a fronteira de D}2_).

Teorema 2.3.1 a) A distância em H2 _{é definida por qualquer uma das fórmulas}

equiva-lentes: dH2(z₁, z₂) = ln ³ |z1−z2|+|z1−z2| |z1−z2|−|z1−z2| ´ (i) cosh (dH2(z₁, z₂)) = 1 + |z1−z2| 2

2 Im(z1) Im(z2) (ii)

sinh¡1

2dH2(z1, z2)

¢

= |z1−z2|

2(Im(z1) Im(z2))1/2 (iii)

cosh¡1

2dH2(z1, z2)

¢

= |z1−z2|

2(Im(z1) Im(z2))1/2 (iv)

tanh(1

2dH2(z1, z2)) =

|z1−z2|

|z1−z2| (v)

b) A distância em D2 _{é definida por qualquer uma das fórmulas equivalentes a seguir:}

dD2(z₁, z₂) = ln ³ |1−z1z2|+|z1−z2| |1−z1z2|−|z1−z2| ´ (i) sinh2¡1 2dD2(z1, z2) ¢ = |z1−z2|2 (1−|z1|2)(1−|z2|2) (ii) cosh2¡1 2dD2(z1, z2) ¢ = |1−z1z2|2 (1−|z1|2)(1−|z2|2) (iii) tanh(1 2dD2(z1, z2)) = |z1−z2| |1−z1z2| (v) .

Repare que para um ponto z ∈ D2 _{fixo, considerando w −→ ∂D}2_{, de acordo com (ii)}

da parte b) do T eorema 2.3.1 temos que dD2(z, w) −→ ∞. De modo equivalente, dado

z ∈ H2 _{e considerando w −→ a ∈ R ∪ {∞} temos tamb´em d}

H2(z, w) −→ ∞. Os pontos

em ∂D2 _{e em R ∪ {∞} s˜ao denominados pontos no infinito e os conjuntos c}_H2 _{= H}2_{∪ {∞}}

e cD2 _{= D}2_{∪ ∂D}2 _{s˜ao os fechos dos espa¸cos hiperb´olicos H}2 _{e D}2_{, respectivamente.}

Agora estudaremos as transforma¸c˜oes que s˜ao isometrias de (H2_{, d}

H2) . Para tal

come¸care-mos por considerar as transforma¸c˜oes de M¨obius γ : H2 _{−→ H}2 _{da forma}

γ (z) = az + b

(30)

2.3 Geometria Hiperb´olica 17 com a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1.

Um c´alculo simples mostra que

|γ0_(z)| Im(γ(z)) = 1 Im(z), (2.5) onde γ0_{(z) =} dγ(z) dz .

Sendo α = γ ◦ η o caminho que se obtém a partir do caminho η pela transforma¸cão de Möbius γ e utilizando-se (2.2) e (2.5) , temos

kαk = kγ ◦ ηk = R₀1 |dtdγ◦η(t)| Im(γ◦η(t))dt = R₁ 0 |γ0_(η(t))||η0_(t)| Im(γ(η(t))) dt = R₀1 _Im(η(t))|η0(t)| dt = kηk .

Devido a (2.1) fica provado que as transforma¸c˜oes em (2.4) s˜ao isometrias de (H2_{, d} H2) .

Prova-se tamb´em que o grupo das isometrias do espa¸co (H2_{, d}

H2) , Isom(H2), ´e gerado por

estas transforma¸cões juntamente com a transforma¸cão z 7→ −z, [27], página 8.

Para estudar as transforma¸cões em (2.4) convém representá-las na forma matricial. Consideremos assim o grupo das matrizes reais 2 × 2 com determinante igual a 1, em que a opera¸cão de grupo é a multiplica¸cão de matrizes:

γ = Ã a b c d ! , det γ = ad − bc = 1.

Este é o grupo unimodular, denotado por SL (2, R) . O conjunto das transforma¸cões de Möbius em (2.4) com a opera¸cão composi¸cão de transforma¸cões define um grupo, denotado por P SL (2, R) . Os dois grupos estão relacionados do seguinte modo: dadas duas transforma¸cões γA, γB ∈ P SL (2, R) , cujos elementos das matrizes A, B pertencem

a SL (2, R) , mostra-se que γA◦ γB = γAB, isto é, a composi¸cão de transforma¸cões em

P SL (2, R) corresponde ao produto de matrizes em SL (2, R) . A transforma¸c˜ao inversa γA´e γA−1. Observando que

az + b cz + d =

−az − b −cz − d ,

chegamos à conclusão que dada uma transforma¸cão γA ∈ P SL (2, R) existem duas

ma-trizes em SL (2, R) que a representam (A e − A) . De fato, pode-se mostrar que P SL (2, R) e SL (2, R) / {±Id} s˜ao isomorfos.

´

E fato conhecido que as transforma¸c˜oes de P SL (2, R) formam um subgrupo de Isom (H2₎

e assim transformam geodésicas em geodésicas. Além disso, essas transforma¸cões preser-vam os ângulos entre curvas e também circunferências e retas, pois são transforma¸cões de

(31)

Möbius. Estes dois fatos estão em concordância com o que já fora dito sobre as geodési-cas em (H2_{, d}

H2) , isto ´e, a fam´ılia das semiretas verticais e das semicircunferˆencias com

centros sobre o eixo real ´e invariante pelos elementos de P SL (2, R) .

Finalmente, estas transforma¸cões de Möbius são naturalmente extens´ıveis a cH2 _{: dada}

γ (z) = az+b cz+d, definimos γ ¡ −d c ¢ = ∞ e γ (∞) = a c (ou γ (∞) = ∞ se c = 0) .

Para o disco de Poincar´e (D2_{, d}

D2) , as isometrias que correspondem `as de P SL (2, R)

em (H2_{, d}

H2) são obtidas a partir de (2.3) e são as transforma¸cões do tipo:

z 7−→ az + c

cz + a, onde a, c ∈ R e |a|

2_{− |c|}2 _{= 1.}

O grupo de todas as isometrias no disco de Poincar´e, Isom (D2_{) , ´e gerado a partir}

destas e da transforma¸c˜ao z 7→ z.

Observamos que os c´ırculos hiperbólicos são c´ırculos euclidianos, embora os raios e os centros sejam em geral distintos. Esta observa¸cão é válida tanto para H2 _{quanto para D}2_,

visto que a transforma¸cão f em (2.3) que relaciona estes espa¸cos é uma transforma¸cão de Möbius e consequentemente preserva circunferências euclidianas, além de preservar circunferências hiperbólicas, visto que é uma isometria entre (H2_{, d}

H2) e (D2, d_D2) .

Com rela¸cão aos ângulos, tanto no modelo do semiplano superior quanto no modelo do disco de Poincaré, são definidos simplesmente como o ângulo, no sentido euclidiano, entre os vetores tangentes às geodésicas nos pontos de interseçcão.

A ´area de um conjunto A ⊆ H2 _{´e definida por}

µ (A) =

Z

A

dxdy y2

se esta integral existir. A fórmula de Gauss − Bonnet mostra que a área hiperbólica de um triângulo hiperbólico depende somente de seus ângulos.

Teorema 2.3.2 (Gauss − Bonnet) Seja ∆ um triângulo com ângulos α, β e γ. Então

µ (∆) = π − α − β − γ.

Teorema 2.3.3 A área hiperbólica é invariante pelas imagens das transforma¸cões em

P SL (2, R) . Se µ (A) existir para algum subconjunto A ⊆ H2_{, ent˜ao para γ ∈ P SL (2, R)}

(32)

2.3 Geometria Hiperb´olica 19

2.3.1 A Geometria das Isometrias e sua Classifica¸c˜

ao

As transforma¸cões de P SL (2, R) são classificadas em três classes. Esta classifica¸cão é feita a partir da matriz γ que representa cada transforma¸cão em SL (2, R) . Dada uma matriz

γ ∈ SL (2, R) , temos trˆes situa¸c˜oes distintas, dependendo do valor de |T rγ| = |a + d| :

1. Se |T rγ|_³ > 2, ent˜ao γ tem dois valores pr´oprios reais distintos λ1, λ2

|λ1| > 1 e |λ2| > _|λ1₁_| < 1

´

e, portanto, é conjugada a uma matriz diagonal que representa uma matriz hiperbólica. Diremos que Tγ é uma isometria hiperbólica.

Esta ´e conjugada a uma transforma¸c˜ao do tipo z 7→ az, onde a ∈ R+_{− {1} .}

2. Se |T rγ| = 2, então γ tem um único valor próprio, de multiplicidade 2. Dizemos então que Tγ é uma isometria parabólica. Esta é conjugada a uma transforma¸cão do tipo

z 7→ z + a, onde a ∈ R.

3. Se |T rγ| < 2, então γ tem dois valores próprios complexos conjugados e, portanto, a matriz γ é conjugada a uma matriz de rota¸cão. Dizemos então que Tγ é uma

isometria el´ıptica. Esta ´e conjugada a uma transforma¸c˜ao do tipo z 7→ z cos θ+sin θ −z sin θ+cos θ.

A classifica¸c˜ao das isometrias Tγ ∈ P SL (2, R) com base nas propriedades alg´ebricas

das matrizes γ ∈ SL (2, R) corresponde a uma divisão das isometrias em três grupos com a¸cões geométricas distintas. Particularmente, estas três classes diferem entre si pelo número e pela localiza¸cão dos pontos fixos dos seus elementos. Analisando as solu¸cões em H2 _{∪ R ∪ {∞} da equa¸cão z =} az+b

cz+d em fun¸c˜ao dos valores poss´ıveis de |T rγ| , obtemos o

seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 2.3.4 S˜ao v´alidas as seguintes propriedades:

1. Uma isometria hiperb´olica tem dois pontos fixos, ambos em R ∪ {∞} .

2. Uma isometria parab´olica diferente da identidade tem um ponto fixo em R ∪ {∞} . 3. Uma isometria el´ıptica tem um ´unico ponto fixo em H2_.

A seguir descrevemos de modo sucinto o comportamento geom´etrico de cada tipo de isometria.

Para uma isometria hiperbólica, verifiquemos primeiro o caso em que os dois pontos fixos pertencem ao eixo real, definindo a geodésica que é a semicircunferência que os

(33)

tem por extremos. A isometria transforma esta geodésica nela própria, uma vez que os seus extremos são os pontos fixos da isometria. Chamamos eixo da isometria a esta geodésica invariante pela isometria hiperbólica. A isometria realiza um movimento dos pontos ao longo deste eixo, orientado de um ponto fixo ao outro. Como a fam´ılia das geodésicas é invariante por uma isometria, se considerarmos a fam´ılia das geodésicas que intersectam perpendicularmente o eixo da isometria, conclu´ımos que essas geodésicas são permutadas entre si seguindo o sentido do deslocamento ao longo do eixo. Por fim, considerando uma isometria hiperbólica com um ponto fixo no eixo real e o outro sendo ∞, um racioc´ınio análogo permite-nos concluir que o eixo da isometria é a semireta vertical com extremo no ponto fixo do eixo real. A fam´ılia das geodésicas ortogonais a este eixo (as semicircunferências com centro no ponto fixo no eixo real) é invariante por esta isometria, sendo transformadas umas nas outras de acordo com um dos sentidos poss´ıveis ao longo do eixo. Em termos do modelo D2_{, os dois pontos fixos pertencentes a R∪{∞} correspondem}

a dois pontos fixos na circunferˆencia unit´aria.

No caso de uma isometria parabólica, consideremos inicialmente a situa¸cão em que o ponto fixo pertence ao eixo real. As geodésicas com um extremo comum no ponto fixo são uma fam´ılia invariante pela isometria em questão e são permutadas pela isometria segundo um movimento circular tangente ao ponto fixo. Quando o ponto fixo for ∞, ter-se-á uma isometria do tipo z 7→ z + a que faz um deslocamento das geodésicas para a direita ou para a esquerda. Em termos do modelo D2_{, o ponto fixo pertence a ∂D}2

e a isometria faz uma rota¸c˜ao ”deformada”, permutando as geod´esicas que terminam no ponto fixo de acordo com o sentido do movimento.

Finalmente, para isometrias el´ıpticas, existe um ´unico ponto fixo em H2_{. A fam´ılia de}

geodésicas que passam por este ponto fixo é invariante pela isometria, e logo as geodésicas são transformadas entre si obedecendo a um movimento de rota¸cão em torno do ponto fixo. Para o modelo D2_{, temos um movimento de rota¸cão (deformado, caso o ponto fixo}

não se encontre sobre a origem) centrado no ponto fixo e permutando as geodésicas que passam pelo ponto fixo de acordo com o sentido da rota¸cão.

C´ırculos isom´etricos Seja γ =

Ã

a b c d

!

∈ P SL (2, R) , com c 6= 0. Isto equivale a dizer que ∞ n˜ao ´e ponto fixo

de γ. O lugar de todos os pontos em C onde γ ´e uma isometria euclidiana ´e um c´ırculo euclidiano. |γ0_{(z)| = 1 sobre o c´ırculo} ¯¯z − −d

c

¯ ¯ = 1

(34)

2.3 Geometria Hiperbólica 21 isom´etrico de γ e o denotamos por Iγ. O c´ırculo isométrico de γ−1 é

¯ ¯z − a c ¯ ¯ = 1 |c| o qual denotamos por Iγ−1.

Verifica-se que γ (Iγ) = Iγ−1. Por conveniˆencia, nos referiremos a ambos I_γ e I_γ−1 como

os c´ırculos isométricos de γ. Os c´ırculos isométricos da transforma¸cão el´ıptica se inter-sectam no ponto fixo da transforma¸cão. Para as transforma¸cões parabólicas, os c´ırculos isométricos são tangentes no único ponto fixo. Os c´ırculos isométricos das transforma¸cões hiperbólicas são disjuntos.

2.3.2 Grupos Fuchsianos

O grupo de isometrias P SL (2, R) pode ser visto como um grupo topol´ogico, considerando a topologia obtida a partir da norma kγk =√a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2 _{sendo γ como em (2.4) .}

O grupo de todas as isometrias de H2 _{(Isom (H}2_{)) é também topológico.}

Defini¸c˜ao 2.3.5 Chama-se grupo fuchsiano a um subgrupo discreto do grupo P SL (2, R) . Uma forma de se identificar um grupo fuchsiano é através das propriedades topológicas da órbita de um ponto por elementos do grupo. Dado um grupo de isometrias G, define-se a G − órbita de um ponto z ∈ H2 _por

(o mesmo poder´a fazer-se em D2_).

Teorema 2.3.6 Seja G um subgrupo de isometrias de P SL (2, R) . Ent˜ao G ´e um grupo

fuchsiano se, e somente se, para qualquer z ∈ H2_{, G (z) ⊂ H}2 _{for um subconjunto discreto}

de H2_.

Defini¸c˜ao 2.3.7 Diz-se que um grupo de isometrias tem uma a¸c˜ao propriamente

descon-t´ınua no espa¸co hiperb´olico quando a G − ´orbita de qualquer ponto z ∈ H2 _{admitir uma}

cobertura constitu´ıda por abertos disjuntos, contendo cada um deles um dos pontos dessa G − ´orbita.

De acordo com o T eorema 2.3.6, dado um grupo fuchsiano G e um ponto z ∈ H2

existe um ponto w ∈ G (z) − {z} que está a uma distância m´ınima de z. Dessa forma, podemos definir uma bola hiperbólica aberta centrada em z e com raio r < 1

2dH2(z, w) e

(35)

um dos pontos de G (z) , pelo que afirma-se que um grupo fuchsiano é identificado pelo fato de ter uma a¸cão propriamente descont´ınua no espa¸co hiperbólico.

Dessa forma, um grupo fuchsiano é identificado pelo fato de ter uma a¸cão descont´ınua no espa¸co hiperbólico, na medida em que existe uma fam´ılia de abertos disjuntos, contendo cada um deles os pontos de uma determinada G − órbita.

A utiliza¸c˜ao do modelo H2_{, at´e aqui, justifica-se pela facilidade em identificar e}

clas-sificar as isometrias nesse espa¸co. Às vezes, é conveniente considerar o modelo do disco de Poincaré D2_{, pelo que passaremos entre os dois modelos de acordo com o que for mais}

apropriado para tratar cada aspecto apresentado.

Defini¸c˜ao 2.3.8 Seja G um grupo fuchsiano em D2 _{e G (z) a G − ´}_{orbita de um ponto}

z ∈ D2_{. Chama-se conjunto limite da G−´}_{orbita de z ao conjunto de pontos de acumula¸c˜ao}

de G (z) em cD2 _{= D}2_{∪ ∂D}2_.

O fato de G ser um grupo fuchsiano, qualquer G − ´orbita ´e um conjunto discreto e

logo o conjunto limite de G (z) ser´a um subconjunto de ∂D2_{, para qualquer z ∈ D}2_{. Na}

realidade, dados dois pontos distintos z, w ∈ D2_{, os conjuntos limite de G (z) e de G (w)}

s˜ao o mesmo. De fato, se recorrermos a (ii) da parte b) do T eorema 2.3.1, temos: sinh2 ³ d_D2(z,w) 2 ´ = sinh2 ³ d_D2(γ(z),γ(w)) 2 ´ = ₍ |γ(z)−γ(w)|2 1−|γ(z)|2)(1−|γ(w)|2), e, portanto, |γ (z) − γ (w)|2 ≤¡1 − |γ(w)|2¢sinh2 µ dD2(z, w) 2 ¶ .

Fazendo γ = γn, onde γn(w) −→ α ∈ D2, temos |γn(w)| −→ 1, e logo γn(z) −→ α,

i.e., se α é um ponto limite da G − órbita de w, então também será ponto limite da G − órbita de qualquer outro ponto z. Desse modo, faz sentido falar simplesmente do

conjunto limite do grupo G.

Defini¸c˜ao 2.3.9 O conjunto limite de um grupo fuchsiano G ´e o conjunto limite da

G − ´orbita de qualquer ponto em D2_.

Defini¸c˜ao 2.3.10 Um grupo fuchsiano é dito elementar se tiver uma G − órbita finita em cD2_{. Caso contrário ele é dito não elementar.}

(36)

2.3 Geometria Hiperbólica 23 Como os conjuntos D2 _{e ∂D}2 _{são G−invariantes, se G for um grupo elementar então}

existe uma G − ´orbita finita toda ela contida em D2 _{ou em ∂D}2_.

O resultado a seguir identifica os tipos de conjunto limite poss´ıveis para um grupo fuchsiano e sua demonstra¸c˜ao pode ser vista em [27].

Proposi¸c˜ao 2.3.11 Seja G um grupo fuchsiano em D2_{. Seu conjunto limite Λ (G) satisfaz}

uma das seguintes alternativas:

1. E um conjunto vazio.´

2. ´E um conjunto formado por um ´unico ponto.

3. ´E um conjunto formado por dois pontos.

4. ´E um conjunto com um n´umero infinito de pontos.

Defini¸c˜ao 2.3.12 Seja G um grupo fuchsiano. Para qualquer ponto p ∈ H2 _{que n˜ao seja}

um ponto fixo de nenhum elemento de G − {Id} , definimos a regi˜ao de Dirichlet para G centrada em p por: Dp(G) = © z ∈ H2 _{: d} H2(z, p) ≤ d_H2(γ(z), p) ∀γ ∈ G ª .

A regi˜ao de Dirichlet ´e um conjunto fechado que satisfaz as seguintes propriedades: S

γ∈G

(γ (Dp)) = H2 (a G− ´orbita de Dp´e igual a H2) e Int (Dp)

T

γ (Dp) = φ ∀γ ∈ G−{Id}

(as imagens de Dp pelas isometrias γ ∈ G s´o podem se intersectar mutuamente ao longo

das fronteiras). As condi¸cões acima mencionadas caracterizam um tipo de região mais geral do que a região de Dirichlet, chamada região fundamental.

Particularmente, a região de Dirichlet é convexa e faz uma tessela¸cão (divisão do espa¸co em regiões fundamentais G-equivalentes) do espa¸co hiperbólico H2_{. O interior de}

cada região da tessela¸cão é transformado no interior de outra região, visto que as regiões só podem intersectar-se ao longo das fronteiras. Esta equivalência entre as regiões leva à defini¸cão de uma classe de equivalência entre os pontos de H2 _{: dois pontos de H}2

pertencem à mesma classe de equivalência se, e somente se, pertencem à mesma G−órbita.

Deste modo o espa¸co quociente H2

G obtido, pode ser visto como o espa¸co das G − ´orbitas

dos pontos de H2_{, ou ainda, como sendo um conjunto formado a partir de um dom´ınio de}

Dirichlet no qual se identificam as arestas G-equivalentes e que herda a m´etrica hiperb´olica de H2_.

(37)

Seja G um grupo de transforma¸cões de Möbius, que atua de modo propriamente descont´ınuo sobre uma por¸cão do plano complexo. A região constru´ıda a partir da inter-se¸cão dos exteriores dos c´ırculos isométricos dos elementos de G é uma região, denominada região de Ford [21].

Recordemos que a topologia quociente H2

G em qualquer espa¸co topol´ogico m´odulo uma

rela¸cão de equivalência é a maior topologia que torna a proje¸cão π : H2 _−→ H2

G cont´ınua.

Defini¸c˜ao 2.3.13 Um pol´ıgono G ´e dito co-compacto se o quociente H2

G for compacto.

As condi¸cões necessária e suficiente para se obter grupos fuchsianos co-compactos são estabelecidas no seguinte resultado:

Teorema 2.3.14 Um grupo fuchsiano G ´e co-compacto se, e somente se, G n˜ao possui

elementos parab´olicos e µ ³ H2 G ´ < ∞.

No processo de aplica¸c˜ao de recobrimento em H2

G, alguns grupos fuchsianos G s˜ao

utilizados. Para a determina¸c˜ao de tais grupos o conceito de assinatura de um grupo fuchsiano se faz necess´ario.

Seja D (G) um dom´ınio de Dirichlet de G. Existe um número finito k de vértices que são fixos por elementos el´ıpticos de G.

Sejam m1, . . . , mk as correspondentes ordens dos elementos el´ıpticos e g o gˆenero da

superf´ıcie H2

G. A k + 1 − upla (g; m1, . . . , mk) ´e denominada a assinatura de G.

Uma forma de se associar a área de um pol´ıgono a um grupo fuchsiano de assinatura (g; m1, . . . , mk) é dada pelo T eorema 2.3.15 cuja demonstra¸cão pode ser vista em [20].

Teorema 2.3.15 Sejam G um grupo fuchsiano co-compacto e (g; m1, . . . , mk) sua

assi-natura. Ent˜ao µ µ H2 G ¶ = 2π " (2g − 2) + k X i=1 µ 1 − 1 mi ¶# .

A rec´ıproca do T eorema 2.3.15 ´e verdadeira e ´e dada a seguir:

Teorema 2.3.16 Dados dois inteiros g ≥ 0, k ≥ 0 e mi ≥ 2 (1 ≤ i ≤ k) tais que

(2g − 2) + k X i=1 ³ 1 − 1 mi ´

> 0, existe um grupo fuchsiano, co-compacto com assinatura

(38)

2.4 Constela¸cões Geometricamente Uniformes 25 O fato de G não possuir elementos el´ıpticos, implica que a a¸cão de G em H2 _{é livre,}

ou seja, a proje¸c˜ao π : H2 _−→ H2

G ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento.

Teorema 2.3.17 Toda superf´ıcie compacta com gˆenero g ≥ 2, pode ser modelada no

plano hiperb´olico.

No Cap´ıtulo 3, modelaremos superf´ıcies compactas de gênero g ≥ 2, no plano hiper-bólico. Tais superf´ıcies serão obtidas considerando-se pol´ıgonos regulares de 12g −6 lados, em que g é o gênero da superf´ıcie. Como é de conhecimento, para que π : H2 _−→ H2

G seja

uma aplica¸cão de recobrimento o grupo fuchsiano G associado não pode ter elementos el´ıpticos. Desse modo a assinatura de G é dada por (g; m1, . . . , mk) = (g; 0, . . . , 0) , que

será denotada por (g; −) . Consequentemente, o grupo fuchsiano G é constitu´ıdo apenas de elementos hiperbólicos.

Finalizamos esta se¸cão definindo o conceito de tessela¸cão regular no plano hiperbólico e exibindo de maneira sucinta a diferen¸ca entre as tessela¸cões regulares nos planos euclidiano e hiperbólico.

Defini¸c˜ao 2.3.18 Uma tessela¸cão regular no plano hiperbólico é uma parti¸cão deste plano

por pol´ıgonos regulares não sobrepostos, todos congruentes, sujeitos à restri¸cão de somente se intersectarem em suas arestas ou vértices, de modo que se tenha o mesmo número de pol´ıgonos partilhando um mesmo vértice, independente do vértice.

Denotaremos a tessela¸cão formada por pol´ıgonos com p arestas, em que cada vértice é recoberto por q pol´ıgonos por {p, q} .

As tessela¸cões hiperbólicas {p, q} em que p = q são denominadas auto-duais.

Para que haja uma tessela¸cão regular {p, q} no plano euclidiano, basta que (p − 2) (q − 2) = 4. Diferentemente, no plano hiperbólico, haverá uma tessela¸cão regu-lar se, e somente se, (p − 2) (q − 2) > 4, resultado que está intimamente ligado ao fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo hiperbólico é menor do que π. Observa-se, portanto, que no plano euclidiano as únicas tessela¸cões regulares poss´ıveis são {4, 4} ,

{6, 3} e suas duais {4, 4} , {3, 6} . Por outro lado, como verifica Brandani em [43], existem

infinitas tessela¸c˜oes regulares no plano hiperb´olico.

2.4 Constela¸c˜

oes Geometricamente Uniformes

No Cap´ıtulo 5, temos por propósito a constru¸cão de constela¸cões de sinais que são subcon-juntos de um espa¸co de sinais. Por isso, nesta se¸cão apresentaremos as no¸cões de espa¸co

(39)

de sinais e de constela¸c˜oes de sinais.

Defini¸c˜ao 2.4.1 Um espa¸co de sinais ´e um conjunto discreto de pontos em um espa¸co

m´etrico (E, d) em que seja poss´ıvel realizar uma identifica¸c˜ao dos pontos de (E, d) por sinais.

Defini¸c˜ao 2.4.2 Uma constela¸c˜ao de sinais ´e um subconjunto finito de sinais em um

espa¸co de sinais.

Defini¸c˜ao 2.4.3 Uma constela¸cão de sinais C é geometricamente uniforme se a a¸cão de Γ (C), grupo de simetrias de C, em C é transitiva.

Em outras palavras, a defini¸cão acima diz o seguinte: Dados u, v ∈ C, existe γ ∈ Γ (C) tal que γ (u) = v, ou para cada u ∈ C, a sua órbita por Γ (C) é todo C, C = {γ (u) : γ ∈ Γ (C)} .

As constela¸cões de sinais geometricamente uniformes são relevantes devido ao fato de apresentarem propriedades de simetria significativas em técnicas de demodula¸cão, tais como:

a) o espectro de distância independe do sinal considerado; b) as regiões de decisão são congruentes.

Defini¸c˜ao 2.4.4 A regi˜ao de Voronoi RV (u) associada a um ponto de sinal u ∈ C ´e o

conjunto

RV (u) = {x ∈ M: d (x, u) ≤ d (x, γ (u)) ∀ γ ∈ Γ (C)} .

Defini¸c˜ao 2.4.5 O perfil de distˆancia global com rela¸c˜ao a u ∈ C, denotado por P D (u) ,

é definido como sendo o conjunto de distâncias de C com rela¸cão a u.

Um resultado que associa constela¸cões de sinais geometricamente uniformes com regiões de Voronoi é dado por F orney em [22].

Teorema 2.4.6 Se C for uma constela¸c˜ao de sinais geometricamente uniforme, ent˜ao:

a) Todas as regi˜oes de Voronoi s˜ao congruentes;

(40)

2.4 Constela¸cões Geometricamente Uniformes 27 As condi¸cões a) e b) do T eorema 2.4.6 leva-nos a trabalhar apenas com constela¸cões de sinais geometricamente uniformes.

Nosso objetivo é o projeto de sinais (constru¸cão de constela¸cões de sinais geometri-camente uniformes). Para isso, consideraremos como espa¸co de sinais os conjuntos dos pontos que sejam baricentros das tessela¸cões regulares no plano hiperbólico.

Como podemos ver em Carvalho [7], dentre todos os poss´ıveis conjuntos de sinais com cardinalidade n finita, obtidos pelos particionamentos nestes espa¸cos de sinais, aquele que apresenta a menor energia média m´ınima é denominado de região fundamental associada aos n pontos de sinais. A energia média m´ınima Emin de uma constela¸cão de sinais dada

por {u0, u1, . . . , un} ´e a fun¸c˜ao n

X

i=1

d2_(u

0, ui)_n1, onde d (u0, ui) denota a distˆancia do ponto