Fun¸c˜oes Meromorfas sobre uma Superf´ıcie de Riemann

3.3 Teorema da Uniformiza¸c˜ao

3.3.4 Fun¸c˜oes Meromorfas sobre uma Superf´ıcie de Riemann

Seja W uma superf´ıcie de Riemann e G a regi˜ao da esfera complexa analiticamente ho- meomorfa ao seu recobrimento universal. Uma fun¸c˜ao ϕ (P ) meromorfa em W, induz em

G uma fun¸c˜ao meromorfa f (z) , que tem os mesmos valores em pontos que se projetam

no mesmo ponto P de W. Isto quer dizer que a fun¸cão f é invariante pelo grupo Γ, equi- valente ao grupo de recobrimento, isto é, para todo elemento S ∈ Γ e todo z ∈ G, temos

f (S (z)) = f (z) .

Reciprocamente, se G é uma região da esfera complexa sobre a qual atua o grupo descont´ınuo Γ de transforma¸cões sem ponto fixo em G, então toda fun¸cão meromorfa em

G, invariante relativamente a Γ, d´a origem a uma fun¸c˜ao meromorfa em G

Γ. Tais fun¸c˜oes

f (z) existem e s˜ao chamadas fun¸c˜oes automorfas relativas aos grupos de recobrimento.

Nos casos el´ıptico e parabólico, as fun¸cões automorfas são conhecidas. Se G é a esfera, Γ = {e} então temos apenas as fun¸cões racionais. Se G é o plano, temos fun¸cões meromorfas conforme Se¸cão 3.3 que no caso 2) são simplesmente periódicas ou duplamente periódicas, isto é, fun¸cões el´ıpticas.

Consideremos o caso hiperb´olico: G = H2_{. No caso de um grupo Γ finito (o que est´a}

exclu´ıdo no caso hiperbólico) seria fácil construir uma fun¸cão automorfa, pois bastaria tomar uma fun¸cão meromorfa H (z) e considerar a soma f (z) =PH (S (z)) , estendida

a todas as transforma¸cões S ∈ Γ. No caso de grupos infinitos surge o problema da con- vergência. Contornamos esta dificuldade introduzindo para cada grupo Γ fun¸cões que generalizam as fun¸cões teta de Jacobi, por meio das quais, se podem construir as fun¸cões el´ıpticas.

Defini¸c˜ao 3.3.6 Chama-se fun¸c˜ao teta relativa ao grupo de recobrimento Γ, uma fun¸c˜ao

θ (z) , meromorfa em H2_{, que satisfaz `a condi¸c˜ao}

θ (S (z)) = (cz + d)2mθ (z) para cada S ∈ Γ tal que S (z) = az+b

cz+d.

Observamos que o grupo Γ é descont´ınuo, e portanto enumerável, e que H2_{é invariante,}

logo as transforma¸c˜oes de Γ podem ser escritas sob a forma

Sn =

anz + bn

bnz + an

(n = 0, 1, 2, . . .) com zn = Sn(z) , anan− bnbn = 1, S0 = e, identidade, isto ´e, a0 = 1,

b0 = 0. Exclu´ıdo este caso, temos sempre bn 6= 0, do contr´ario, a origem seria ponto fixo.

Teorema 3.3.7 Se H(z) ´e uma fun¸c˜ao meromorfa em H2 _{e limitada numa coroa ρ <}

|z| < 1 ent˜ao para todo inteiro m≥ 2, pode-se definir uma fun¸c˜ao teta relativa ao grupo

Γ = {Sn} pela s´erie θ (z) =X n H (Sn(z)) ¡ bnz + an ¢2m.

Para demonstrar o T eorema 3.3.7, estabeleceremos alguns lemas.

Lema 3.3.8 A sucessão {bn} não tem ponto limite 0. Caso contrário, haveria uma sub-

sucess˜ao {Sp} , com bp −→ 0, e portanto |ap| −→ 1, e a sucess˜ao dos pontos Sp(0) teria

a origem como ponto de acumula¸cão, o que não é poss´ıvel.

Lema 3.3.9 Dado um conjunto compacto K ⊂ H2_{, se para cada n tivermos}

mn = inf z∈K ¯ ¯dzn dz ¯ ¯2 e Mn = sup z∈K ¯ ¯dzn dz ¯ ¯2 ent˜ao a sucess˜ao Mn

mn ´e limitada, i.e., existe L > 0, tal que Mn≤ Lmn.

Demonstra¸c˜ao: Do Lema 3.3.8, segue-se que existe um n´umero r > 0 tal que para

n > 0 temos |bn| ≥ r. De |an|2− |bn|2 = 1, deduzimos 1 < ¯ ¯ ¯ ¯a_bn n ¯ ¯ ¯ ¯ 2 = 1 + 1 |bn|2 ≤ 1 + r−2

e por outro lado, sendo K compacto, temos max z∈K |z| = δ < 1, e notando que dzn dz = ¡ bnz + an ¢₋₂ , obtemos Mn mn = ( sup¯¯bnz + an ¯ ¯ inf¯¯bnz + an ¯ ¯ )₄ =    sup ¯ ¯ ¯z +an bn ¯ ¯ ¯ inf ¯ ¯ ¯z +an bn ¯ ¯ ¯    4 ≤ ½ 2 + r−2 1 − δ ¾4

que ´e idependente de n.

Lema 3.3.10 A s´erie P ¡bnz + an

¢−4

converge uniformemente em qualquer compacto contido em H2_.

46 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao

Demonstra¸cão: Mostraremos que essa convergência é uniforme em uma vizinhan¸ca fechada de um ponto z0 arbitrário de H2. Escolheremos essa vizinhan¸ca V de tal modo que

os conjuntos Sn(V) sejam disjuntos dois a dois. Notamos ent˜ao que

¯ ¯dzn dz ¯ ¯2 ´e o jacobiano da transforma¸c˜ao Sn, e que portanto, temos, sendo s = x + iy, zn= xn+ iyn,

Jn= ´Area de Sn(V) = Z Z Sn(V) dxndyn= Z Z V ¯ ¯ ¯ ¯dz_dzn ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dxdy

e sendo J0 a ´area de V, combinando com o Lema 3.3.9, temos

mnJ0 ≤ Jn ≤ MnJ0 ≤ LmnJ0 ≤ LJn , donde se deduz ¯ ¯bnz + an ¯ ¯−4 ≤ Mn≤ L J0 Jn;

como PJn é certamente convergente, pois é uma soma de áreas de dom´ınios disjuntos

contidos no dom´ınio H2_{, fica demonstrado o Lema 3.3.10.}

Segue-se deste resultado que o termo geral dessa s´erie tende a zero uniformemente, e que portanto, para m ≥ 2, a s´erieP ¡bnz + an

¢−2m

é também uniformemente convergente. Agora mostraremos que a fun¸cão θ (z) definida acima satisfaz as condi¸cões que definem uma fun¸cão téta. Seja K um conjunto compacto contido em H2_{, que não contenha nenhum}

pólo de H (z) nem pontos equivalentes a esses pólos. Podemos construir vizinhan¸cas desses pólos de tal maneira que K não contenha também nenhum ponto equivalente a um ponto dessas vizinhan¸cas. Então, para z ∈ K, Sn(z) está sempre no conjunto C0 que se obtém

de H2_{, retirando as vizinhan¸cas dos p´olos de H. Ora, como H (z) ´e limitada num conjunto}

ρ ≤ |z| < 1, temos ent˜ao, para z ∈ K e para qualquer Sn ∈ Γ, |H (Sn(z))| ≤ M, que a

série é majorada pela série uniformemente convergente

MX ¡bnz + an

¢−2m

Sendo K arbitrário, a série dada representa, portanto, uma fun¸cão meromorfa em H2_.

Al´em disto, fazendo

temos que θ (znk) = P n H (Sn(Sk(z))) ¡_dz nk dz ¢m = P n H ((SnSk) (z)) ¡_dz nk dz ¢m¡_dz_k dz ¢−m = ¡bkz + ak ¢2m θ (z) ,

pois o produto SnSk percorre todas as transforma¸c˜oes do grupo Γ, para n = 0, 1, 2, ...

O número m chama-se peso da fun¸cão téta. As Fun¸cões Automorfas

As fun¸cões automorfas são generaliza¸cões das fun¸cões trigonométricas e el´ıpticas. Uma fun¸cão circular, como sin z, tem a propriedade de não mudar quando o valor z é substitu´ıdo por z + 2mπ, onde m é um número inteiro; isto é, a fun¸cão sin z, não se altera em valor se T1(z) = z é substitu´ıda pela transforma¸cão T2(z) = z + mπ.

Defini¸c˜ao 3.3.11 Uma fun¸c˜ao f(z) ´e dita automorfa com respeito a um grupo de trans-

forma¸cões lineares, G, se as condi¸cões a seguir são satisfeitas:

1. f(z) ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica univalente;

2.Se z está no dom´ınio de defini¸cão de f(z), T(z) também está, ∀ T ∈ G; 3. f(T(z)) ≡ f(z), ∀ T ∈ G.

Observa¸c˜ao 3.3.12 Existem fun¸c˜oes multivalentes anal´ıticas satisfazendo as condi¸c˜oes

(2) e (3), no entanto, neste trabalho ser˜ao abordadas apenas as fun¸c˜oes univalentes.

Observa¸c˜ao 3.3.13 Da Defini¸c˜ao 3.3.11, se f(z) ´e automorfa com respeito a um grupo

esta ´e automorfa com respeito a qualquer subgrupo do mesmo.

Os resultados a seguir mostram que para verificar se uma fun¸cão f (z) é automorfa com respeito a um grupo G de transforma¸cões lineares não é necessário investigar as condi¸cões (2) e (3) da Defini¸cão 3.3.11 para todos os pontos do dom´ınio de existência da fun¸cão

f (z), nem para todas as transforma¸c˜oes de G.

Teorema 3.3.14 [21] Seja f(z) uma fun¸c˜ao anal´ıtica univalente em z0. Seja T(z0), onde

T é uma transforma¸cão linear pertencente ao dom´ınio de existência da fun¸cão; e seja

48 As Fun¸cões Automorfas como Ferramentas de Conexão válida numa vizinhan¸ca de z0. Então, se z é um ponto no dom´ınio de existência da fun¸cão,

T(z) também é, e (3.1) verifica-se em todo o dom´ınio de existência. A transforma¸cão T leva o dom´ınio de existência de f(z) em si mesmo.

Teorema 3.3.15 [21] Se f(z) ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica univalente e se f[T(z)] ≡f(z), ∀T ∈

G um grupo de transforma¸cões lineares, então f(z) é automorfa com rela¸cão aos geradores de G. Cada transforma¸cão do grupo G leva o dom´ıno de defini¸cão da fun¸cão f(z) em si mesmo.

Observa¸c˜ao 3.3.16 A última parte do T eorema 3.3.15 é uma aplica¸cão da última parte

do T eorema 3.3.14.

Exemplo 3.3.17 Seja f(z) = cosz. Tem-se f(z+2π) = f(z) e f(-z) = f(z). Ent˜ao cosz ´e

automorfa com respeito ao grupo gerado por T1(z) = z+2π e T2(z) = -z.

Observe que para m = 0, na Defini¸cão 3.3.6, θ (S (z)) = θ (z) , isto é, θ é uma fun¸cão automorfa.

Observe, também, que o quociente de duas fun¸cões téta de mesmo peso, relativas ao mesmo grupo, é uma fun¸cão automorfa [21], que dá origem a uma fun¸cão meromorfa sobre a superf´ıcie de Riemann H2

Γ .

Com isso, conclu´ımos que as fun¸cões automorfas são um elo de liga¸cão entre as super- f´ıcies de Riemann em que se encontram as tessela¸cões do tipo {12g − 6, 3} e o semiplano direito, o ambiente das linhas de transmissão.

Linhas de Transmiss˜ao: Uma

Modelagem Hiperb´olica

Uma análise completa de qualquer problema de eletricidade que envolva sinais variantes no tempo pode ser feita através das equa¸cões de Maxwell tendo como as variáveis f´ısicas primárias os campos elétrico e magnético em toda a região do problema, [10] e [26]. A teoria eletromagnética é diretamente usada, por exemplo, nas seguintes aplica¸cões: estudo dos modos de propaga¸cão de microondas nos guias de onda (tubos metálicos ocos), propriedades de irradia¸cão das antenas, intera¸cão de ondas eletromagnéticas com o plasma etc.

No entanto, existe uma dificuldade em resolver as equa¸cões ´ıntegro-diferenciais nas regiões limitadas por estruturas dielétricas ou metálicas, quando a geometria é complicada. A análise de circuitos com parâmetros concentrados emprega os conceitos idealizados de resistências, indutâncias e capacitâncias a dois terminais para representar as fun¸cões de dissipa¸cão de energia, energias armazenadas no campo magnético e no campo elétrico, res- pectivamente. As variáveis elétricas primárias são as tensões e as correntes, relacionadas aos campos elétrico e magnético por integrais ou diferenciais.

Este segundo método substitui adequadamente o da teoria eletromagnética quando as ocorrências das três fun¸cões mencionadas podem ser identificadas separadamente e quando as dimensões de um circuito forem suficientemente pequenas a fim de que não haja varia¸cões apreciáveis na tensão ou corrente em qualquer ponto durante o per´ıodo em que as ondas eletromagnéticas se propagam pelo circuito. O critério da dimensão é obviamente em fun¸cão da frequência. De fato, para as linhas de 60 hertz, os métodos de análise de circuitos com parâmetros concentrados são aplicáveis com alta precisão a

50 Linhas de Transmiss˜ao: Uma Modelagem Hiperb´olica

circuitos de muitos quilômetros de extensão, enquanto nas frequências de microondas- gigahertz - os mesmos métodos não são apropriados para analisar um circuito menor do que uma polegada.

De modo a contornar o problema que acabamos de relatar, existe um terceiro processo anal´ıtico, conhecido por análise de circuito com parâmetros distribu´ıdos. Este método pode ser baseado no de análise de circuito concentrado. De fato, um circuito com parâ- metros concentrados pode ser considerado como o limite de uma sequência de circuitos com parâmetros distribu´ıdos.

Como vimos, a análise do comportamento de uma linha de transmissão pode ser feita de maneira rigorosa através da teoria eletromagnética, no entanto, neste trabalho nos ocuparemos com o método baseado na teoria de circuitos com parâmetros distribu´ıdos por uma questão de tradi¸cão.

O semiplano direito (SP D), ambiente natural dos problemas que envolvem linhas de transmissão, munido com a métrica de Poincaré, constitui um modelo para a geometria hiperbólica. Com isso verificamos que a carta de Smith é representada por determinados conjuntos de geodésicas e horociclos esbo¸cados nos modelos acima citados.

Do ponto de vista da geometria hiperbólica, observamos algumas vantagens com re- la¸cão aos estudos de circuitos (sistemas lineares): Um sistema de 1 − porta pode ser visto como uma fun¸cão constante S de SP D em SP D. Um sistema de 2 − portas (quadripólo), que conserva energia, corresponde a uma transforma¸cão linear Tg associada a uma matriz

g ∈ SL (2, R). A conex˜ao de um sistema de 1−porta com um sistema de 2−portas produz

um novo sistema de 1 − porta. Este novo circuito corresponde a uma nova transforma¸cão constante S0 _{em SP D que é obtida aplicando a transforma¸cão fracionária linear T}

g ao

sistema de 1 − porta S.

Portanto, a ´orbita OS de S sob Γ ⊂ SL (2, R) corresponde a todos os circuitos que

podem ser realizados com o circuito fixo S, como ilustra a figura 4.14.1. Isso nos motiva a estudar o SP D com rela¸c˜ao a a¸c˜ao de Γ sobre o SP D.

Observamos que as considera¸cões mais simples em teoria dos circuitos conduzem a uma vasta cole¸cão de questões matemáticas. Assim, neste cap´ıtulo restringiremos nossa aten¸cão a situa¸cões envolvendo ganho de potência e transferência de potência.

Certamente o t´opico restrito ao ganho de potˆencia leva a uma classe suficientemente grande de problemas. Temos como exemplos os projetos de filtros passivos (dissipando energia) e de amplificadores.

g S’

Figura 4.1: Conex˜ao de um sistema de 1-porta com um de 2-portas

exemplo: o problema de equipara¸cão de impedância de faixa larga e o problema de ganho de equaliza¸cão.

No que diz respeito aos amplificadores, estes fornecem uma outra grande classe de problemas de transferência de potência. Tipicamente, projetar um amplificador (estável) com ganho de potência máximo ou ganho de potência determinado.

Neste cap´ıtulo apresentamos os conceitos básicos sobre linhas de transmissão. Nossa abordagem não traz demonstra¸cões. Textos de linhas de transmissão que contêm, de forma complementar, os tópicos aqui apresentados são por exemplo [10], [14], [26], [29]. Apresentamos uma aplica¸cão dos modelos planares de Poincaré para a geometria hiper- bólica em linhas de transmissão, abordamos uma linha de transmissão como um quadripólo, no contexto da geometria hiperbólica e, finalmente, verificamos que sistemas de 1 e 2 − portas correspondem a transforma¸cões fracionárias lineares.

Na Se¸cão 4.1 é definida uma linha de transmissão, assim como seus elementos primários, resistência, indutância, capacitância e condutância. Na Se¸cão 4.2 são apresentadas as equa¸cões diferenciais de uma linha de transmissão só com tensão ou só com corrente. De posse destas equa¸cões encontra-se as solu¸cões no caso de uma linha ideal. A observa¸cão dessas solu¸cões leva às defini¸cões de coeficiente de reflexão de tensão e de corrente. A

52 Linhas de Transmiss˜ao: Uma Modelagem Hiperb´olica

nente senoidal e define a constante de propaga¸cão complexa ou fun¸cão de propaga¸cão. Na Se¸cão 4.4 são apresentadas a velocidade de fase e o comprimento de onda de uma linha infinita. O coeficiente de reflexão a partir da carga é apresentado e a impedância da linha é obtida, relacionando-se a tensão e corrente totais. Na Se¸cão 4.5 a análise das distribui¸cões de tensão e de corrente é feita em regime senoidal quando a linha está bem ou mal terminada. A tensão e corrente são expressas em fun¸cão das grandezas de entrada. Também são estudadas as ondas progressivas e estacionárias. Na Se¸cão 4.6 a razão de onda estacionária ROE é discutida, uma vez que ela fornece dados sobre as potências incidente e refletida na carga. A ROE, em conjunto com outros dados possibilita o co- nhecimento da impedância da carga. A carta de Smith é usada como uma alternativa para o conhecimento de várias grandezas de interesse numa linha de transmissão. Na

Se¸cão 4.7 o semiplano direito (SP D), ambiente das linhas de transmissão, é apresentado

como um modelo planar de Poincaré para a geometria hiperbólica. Na Se¸cão 4.8 uma linha de transmissão é vista como um quadripólo. Por sua vez, como um quadripólo tem associado uma matriz A =

a b c d

onde a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1, observa-se que o estudo das linhas de transmissão pode ser feito, novamente, no contexto da geometria hiperbólica. Na Se¸cão 4.9 é apresentado o formalismo em cadeia que permite a conexão em cascata entre sistemas. Verifica-se que o formalismo em cadeia resulta em transforma¸cões lineares. Vantagens computacionais são evidentes quando a conexão em cascata de dois sistemas de 2 − portas é considerada. Na Se¸cão 4.10 a conexão de circuitos é generalizada e a potência consumida por um circuito é definida. Na Se¸cão 4.11 é estu- dado o problema da transferência de potências. Analisa-se o que acontece quando uma fonte de tensão ideal é conectada a um sistema de 1 − porta. A diferen¸ca de potência entre a fonte com resistor r e impedância da carga z é definida como sendo a distância de Poincaré entre os números reais r e z. Na Se¸cão 4.12 os circuitos elétricos com cor- rente senoidal são analisados. Verifica-se que para um sistema de 1 − porta a razão de transferência de potência (ganho de potência de transdu¸cão) para uma fonte com impedância z1 e carga com impedância z2 é 1 − δ (z1, z2)2, onde a diferen¸ca de potência δ

´e dada por δ (z1, z2) =

¯ ¯ ¯z1−z2 z1+z2 ¯ ¯

¯ . Isto é, a diferen¸ca de potências é a distância de Poincaré entre z1 e z2.

Figura 4.2: Linha de transmiss˜ao uniforme

4.1 Linhas de Transmiss˜ao

Uma linha de transmissão é um elemento de circuito capaz de conduzir energia elétrica de um ponto a outro. Basicamente contém dois terminais, por onde a energia elétrica (ou sinal de informa¸cão) é introduzida, e dois terminais dos quais a potência (ou informa¸cão) é retirada. Como exemplos tem-se: o cabo que permite interligar um eletrodoméstico com a instala¸cão elétrica de uma residência; conexões entre computadores de uma rede local; enlaces, através do espa¸co livre, entre antenas emissoras e recptoras, etc. A análise do comportamento de uma linha de transmissão pode ser feita de maneira rigorosa através da teoria eletromagnética. Aqui, no entanto, seguiremos o caminho que emprega o método tradicional que se baseia na teoria dos circuitos com parâmetros distribu´ıdos. Sendo assim, define-se os quatro elementos primários de uma linha:

• R = Resistência série da linha por unidade de comprimento [Ω/m] • L = Indutância série da linha por unidade de comprimento [H/m] • C = Capacitância paralela da linha por unidade de comprimento [F/m] • G = Condutância paralela da linha por unidade de comprimento [S/m] .

Deste modo, uma pequena se¸cão de tamanho ∆x de uma linha de transmissão uniforme é modelada como mostrado na figura 4.2.

54 Linhas de Transmiss˜ao: Uma Modelagem Hiperb´olica

De acordo com a lei das malhas de Kirchhoff aplicada no circuito da figura 4.2, tem-se:

v (x, t) = R∆xi (x + ∆x, t) + L∆x∂

∂ti (x + ∆x, t) + v (x + ∆x, t) , (4.1)

onde v e i são as variáveis dependentes mais usuais, e x e t são as variáveis independentes (espa¸co e tempo).

Por outro lado, aplicando a lei dos n´os de Kirchhoff ao circuito da figura 4.2, tem-se:

i (x + ∆x, t) = i (x, t) − G∆xv (x, t) − C∆x ∂

∂tv (x, t) (4.2)

A combina¸cão das equa¸cões (4.1) e (4.2) leva às seguintes expressões: · R + L∂ ∂t ¸ i (x, t) = − ∂ ∂xv (x, t) , (4.3) · G + C ∂ ∂t ¸ v (x, t) = − ∂ ∂xi (x, t) . (4.4)

A equa¸cão (4.3) indica que há queda de tensão com a distância x pela passagem da corrente nos elementos R e L em série na linha.

A equa¸cão (4.4) mostra que há queda de corrente com a distância x devido à existência de tensão nos elementos paralelos (de fuga) da linha, ou seja, G e C. São correntes que retornam antes do sinal chegar ao final da linha.

No documento Realizações de constelações de sinais hiperbolicas densas associadas a sistemas lineares atraves das funções automorfas (páginas 56-66)