Constela¸c˜oes Geometricamente Uniformes - Realizações de constelações de sinais hiperbolicas d

ou seja, a proje¸c˜ao π : H2 _−→ H2

G ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento.

Teorema 2.3.17 Toda superf´ıcie compacta com gˆenero g ≥ 2, pode ser modelada no

plano hiperb´olico.

No Cap´ıtulo 3, modelaremos superf´ıcies compactas de gênero g ≥ 2, no plano hiper- bólico. Tais superf´ıcies serão obtidas considerando-se pol´ıgonos regulares de 12g −6 lados, em que g é o gênero da superf´ıcie. Como é de conhecimento, para que π : H2 _−→ H2

G seja

uma aplica¸cão de recobrimento o grupo fuchsiano G associado não pode ter elementos el´ıpticos. Desse modo a assinatura de G é dada por (g; m1, . . . , mk) = (g; 0, . . . , 0) , que

será denotada por (g; −) . Consequentemente, o grupo fuchsiano G é constitu´ıdo apenas de elementos hiperbólicos.

Finalizamos esta se¸cão definindo o conceito de tessela¸cão regular no plano hiperbólico e exibindo de maneira sucinta a diferen¸ca entre as tessela¸cões regulares nos planos euclidiano e hiperbólico.

Defini¸c˜ao 2.3.18 Uma tessela¸cão regular no plano hiperbólico é uma parti¸cão deste plano

por pol´ıgonos regulares não sobrepostos, todos congruentes, sujeitos à restri¸cão de somente se intersectarem em suas arestas ou vértices, de modo que se tenha o mesmo número de pol´ıgonos partilhando um mesmo vértice, independente do vértice.

Denotaremos a tessela¸cão formada por pol´ıgonos com p arestas, em que cada vértice é recoberto por q pol´ıgonos por {p, q} .

As tessela¸cões hiperbólicas {p, q} em que p = q são denominadas auto-duais.

Para que haja uma tessela¸cão regular {p, q} no plano euclidiano, basta que (p − 2) (q − 2) = 4. Diferentemente, no plano hiperbólico, haverá uma tessela¸cão regu- lar se, e somente se, (p − 2) (q − 2) > 4, resultado que está intimamente ligado ao fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo hiperbólico é menor do que π. Observa- se, portanto, que no plano euclidiano as únicas tessela¸cões regulares poss´ıveis são {4, 4} ,

{6, 3} e suas duais {4, 4} , {3, 6} . Por outro lado, como verifica Brandani em [43], existem

infinitas tessela¸c˜oes regulares no plano hiperb´olico.

2.4 Constela¸c˜oes Geometricamente Uniformes

No Cap´ıtulo 5, temos por propósito a constru¸cão de constela¸cões de sinais que são subcon- juntos de um espa¸co de sinais. Por isso, nesta se¸cão apresentaremos as no¸cões de espa¸co

de sinais e de constela¸c˜oes de sinais.

Defini¸c˜ao 2.4.1 Um espa¸co de sinais ´e um conjunto discreto de pontos em um espa¸co

m´etrico (E, d) em que seja poss´ıvel realizar uma identifica¸c˜ao dos pontos de (E, d) por sinais.

Defini¸c˜ao 2.4.2 Uma constela¸c˜ao de sinais ´e um subconjunto finito de sinais em um

espa¸co de sinais.

Defini¸c˜ao 2.4.3 Uma constela¸cão de sinais C é geometricamente uniforme se a a¸cão de Γ (C), grupo de simetrias de C, em C é transitiva.

Em outras palavras, a defini¸cão acima diz o seguinte: Dados u, v ∈ C, existe γ ∈ Γ (C) tal que γ (u) = v, ou para cada u ∈ C, a sua órbita por Γ (C) é todo C, C = {γ (u) : γ ∈ Γ (C)} .

As constela¸cões de sinais geometricamente uniformes são relevantes devido ao fato de apresentarem propriedades de simetria significativas em técnicas de demodula¸cão, tais como:

a) o espectro de distância independe do sinal considerado; b) as regiões de decisão são congruentes.

Defini¸c˜ao 2.4.4 A regi˜ao de Voronoi RV (u) associada a um ponto de sinal u ∈ C ´e o

conjunto

RV (u) = {x ∈ M: d (x, u) ≤ d (x, γ (u)) ∀ γ ∈ Γ (C)} .

Defini¸c˜ao 2.4.5 O perfil de distˆancia global com rela¸c˜ao a u ∈ C, denotado por P D (u) ,

é definido como sendo o conjunto de distâncias de C com rela¸cão a u.

Um resultado que associa constela¸cões de sinais geometricamente uniformes com regiões de Voronoi é dado por F orney em [22].

Teorema 2.4.6 Se C for uma constela¸c˜ao de sinais geometricamente uniforme, ent˜ao:

a) Todas as regi˜oes de Voronoi s˜ao congruentes;

2.4 Constela¸cões Geometricamente Uniformes 27 As condi¸cões a) e b) do T eorema 2.4.6 leva-nos a trabalhar apenas com constela¸cões de sinais geometricamente uniformes.

Nosso objetivo é o projeto de sinais (constru¸cão de constela¸cões de sinais geometricamente uniformes). Para isso, consideraremos como espa¸co de sinais os conjuntos dos pontos que sejam baricentros das tessela¸cões regulares no plano hiperbólico.

Como podemos ver em Carvalho [7], dentre todos os poss´ıveis conjuntos de sinais com cardinalidade n finita, obtidos pelos particionamentos nestes espa¸cos de sinais, aquele que apresenta a menor energia média m´ınima é denominado de região fundamental associada aos n pontos de sinais. A energia média m´ınima Emin de uma constela¸cão de sinais dada

por {u0, u1, . . . , un} ´e a fun¸c˜ao n

i=1

d2_(u

0, ui)_n1, onde d (u0, ui) denota a distˆancia do ponto

As Fun¸c˜oes Automorfas como

Ferramentas de Conex˜ao

O objetivo deste cap´ıtulo é estabelecer uma rela¸cão entre o contexto das linhas de trans- missão (sistemas lineares), Cap´ıtulo 4, e o contexto das constela¸cões de sinais(modula¸cão digital), Cap´ıtulo 5.

Come¸camos observando que sob o ponto de vista de circuitos em geral, uma linha de transmissão satisfaz todas as condi¸cões que definem o quadripólo, como será visto no

Cap´ıtulo 4 , Se¸c˜ao 4 .8 . Vimos, tamb´em, que existem a, b, c, d ∈ R, com ad − bc = 1,

que determinam o quadrip´olo, ou seja, tem-se associado a tal quadrip´olo a matriz A = Ã

a b c d

, denominada matriz de transferˆencia. Denominamos a fun¸c˜ao induzida por A, TA, definida por TA(z) = _zb+ajzdj−c, j =

√

−1, a fun¸c˜ao de tranferˆencia de uma linha de

transmiss˜ao (quadrip´olo) . Observe que:

(i) TAé um transforma¸cão de Möbius de SP D em SP D (semiplano direito);

(ii) Que o conjunto P SL(2, R) formado por todas as TA ´e um grupo que age tran-

sitivamente sobre o SP D, ou seja, para quaisquer z1 e z2 ∈ SP D, existe uma

TA∈ P SL(2, R) tal que TA(z1) = z2. Ressaltamos, tamb´em, que SP D, ´e um mode-

lo planar de Poincaré para a geometria hiperbólica, conforme Se¸cão 4.7;

(iii) Os subgrupos discretos de P SL(2, R), denominados grupos fuchsianos, Cap´ıtulo 2, s˜ao estruturas alg´ebricas importantes quando se deseja construir certos tipos de superf´ıcies de Riemann, por meio de quocientes de grupos;

30 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao

(iv) TA ´e uma transforma¸c˜ao conforme de SP D em SP D .

Por outro lado no Cap´ıtulo 5, apresentamos a constru¸cão de constela¸cões de sinais a partir de tessela¸cões regulares do tipo {12g − 6, 3} sobre uma superf´ıcie riemanniana compacta W. Sendo fW o seu recobrimento universal (simplesmente conexo) e eΓ o grupo de transforma¸cões do recobrimento de W, isto é, o grupo das transforma¸cões que levam cada ponto P em um outro ponto P0 _{que tem a mesma imagem em W, vê-se que cada}

transforma¸cão de eΓ é determinada por um par (P, P0_{) e, portanto, nenhuma transforma¸cão}

de eΓ tem ponto fixo, salvo a identidade. Tem-se tamb´em que W ´e equivalente a Wf

Γ. Como

W é homeomorfa a uma região G, o grupo eΓ corresponde a um grupo Γ de transforma¸cões de G em si mesma, e W é portanto conformemente equivalente a G

Γ. Como veremos,

no Cap´ıtulo 5, Γ é um grupo gerado por transforma¸cões de Möbius hiperbólicas que emparelham as arestas de G, região fundamental para Γ. Também, Γ é um grupo fuchsiano. Assim, conhecendo as poss´ıveis formas de G, pode-se classificar as superf´ıcies de Riemann estudando todos os poss´ıveis grupos Γ.

Uma superf´ıcie de Riemann simplesmente conexa é considerada como um espa¸co de cobertura universal. O Teorema da Uniformiza¸cão diz que por mais abstrata a defini¸cão de uma superf´ıcie de Riemann a superf´ıcie deve ser conformemente equivalente a uma região fundamental de uma das três superf´ıcies simplesmente conexas: o disco (D2_{), o}

plano complexo (C) , a esfera de Riemann (S2_{) .}

Seja W uma superf´ıce de Riemann e G a região da esfera complexa analiticamente homeomorfa ao seu recobrimento universal. Uma fun¸cão ϕ (z) meromorfa em W , induz em G uma fun¸cão meromorfa f (z) , que tem os mesmos valores em pontos que se projetam no mesmo ponto P de W. Isto quer dizer que a fun¸cão f é invariante pelo grupo Γ, equivalente ao grupo de recobrimento, isto é, para todo elemento S ∈ Γ e todo z ∈ G, tem-se f (S (z)) = f (z) .

Reciprocamente, se G é uma região da esfera complexa sobre a qual atua o grupo descont´ınuo Γ de transforma¸cões sem ponto fixo em G, então toda fun¸cão meromorfa em

G, invariante a Γ d´a origem a uma fun¸c˜ao meromorfa sobre G

Γ. Tais fun¸c˜oes existem e s˜ao

chamadas fun¸c˜oes automorfas relativas aos grupos de recobrimentos.

Na Se¸cão 3.1 apresentamos o conceito e as propriedades básicas sobre as transfor- ma¸cões conformes. Na Se¸cão 3.2 introduzimos um resumo sobre superf´ıcies de Riemann, ambiente no qual serão constru´ıdas as tessela¸cões regulares do tipo {12g − 6, 3} . Na Se¸cão 3.3 estudamos os aspectos da Teoria da Uniformiza¸cão que permitem o trânsito entre as superf´ıcies riemannianas estudadas no Cap´ıtulo 5 e as regiões simplesmente conexas no

SP D, o modelo planar para a geometria hiperb´olica apresentado no Cap´ıtulo 4. Obser-

vamos, Subse¸cão 3.3.4, que tal trânsito é feito por meio das fun¸cões automorfas.

3.1 Transforma¸c˜oes Conformes

A presente se¸cão será devotada ao problema de se aplicar uma transforma¸cão em uma região conduzindo a uma outra região tal que arestas são conformemente equivalentes. Este problema, tem uma rela¸cão importante com certas aplica¸cões das fun¸cões automorfas.

Seja U ⊂ C um dom´ınio simplesmente conexo do plano hiperb´olico.

Defini¸c˜ao 3.1.1 Uma fun¸c˜ao f : U −→ C ´e holomorfa se f possui derivada complexa

f0_{(z) em todos os pontos de U, ou seja, o limite}

lim

h −→ 0

f (z + h) − f (z)

h = f

0_(z)

existe e ´e finito para todo z ∈ U.

Defini¸c˜ao 3.1.2 Uma fun¸c˜ao holomorfa em U, exceto num conjunto de pontos isolados

S de U, tal que lim|f (z)| = ∞, quando z tende a algum destes pontos isolados é chamada fun¸cão meromorfa. Cada ponto de S é chamado pólo de f.

Defini¸c˜ao 3.1.3 Dizemos que f é conforme, se f preserva ângulos orientados. Com o uso das equa¸cões de Cauchy-Riemann prova-se que:

Proposi¸c˜ao 3.1.4 Uma fun¸cão f é conforme se, e somente se, f é holomorfa e f0_{(z) 6=}

0, qualquer que seja z ∈ U. `

A fun¸c˜ao f : U −→ C,(n˜ao necessariamente holomorfa) que possui derivadas parciais

fx e fy (z = x + iy), associamos as derivadas com respeito a z e z da seguinte forma

fz = 1 2(fx− ify) fz = 1 2(fx+ ify) ou equivalentemente fx = fz+ fz fy = ifz − ifz

32 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao

Proposi¸c˜ao 3.1.5 Se f ´e holomorfa em U, ent˜ao ∂f_∂z ≡ 0, em U.

O teorema de Looman-Menchoff fornece a rec´ıproca para a proposi¸c˜ao que acabamos de enunciar [17].

Teorema 3.1.6 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em U e assuma que as derivadas parciais fx

e fy existem em U, e satisfazem as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, isto ´e, ∂f_∂z ≡ 0. Tem-se

ent˜ao que f ´e holomorfa em U.

A seguir algumas propriedades das transforma¸cões conformes são apresentadas: Proposi¸c˜ao 3.1.7 Se f : A −→ B é conforme e bijetiva, então f−1 _{também é conforme.}

Proposi¸c˜ao 3.1.8 Se f : A −→ B e g : B −→ C s˜ao conformes bijetivas, ent˜ao g ◦ f :

A −→ C ´e igualmente conforme e bijetiva.

Defini¸c˜ao 3.1.9 Uma fun¸c˜ao f que satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace

∇2_{f =} ∂2f

∂x2 +

∂2_f

∂y2 = 0,

numa região U, é chamada harmônica em U.

Proposi¸cão 3.1.10 Se u é uma fun¸cão harmônica numa região B e se f : A −→ B é holomorfa então a fun¸cão u ◦ f é harmônica em A.

Observa¸c˜ao 3.1.11 Se f = u (x, y) + iv (x, y) é holomorfa em U, então u e v são har-

mˆonicas em U.

Exemplo 3.1.12 Se f (z) = 4z2 _{− 3iz = 4x}2 _{− 4y}2 _{+ 3y + (8xy − 3x) i. As fun¸c˜oes}

u (x, y) = 4x2 _{− 4y}2 _{+ 3y e v (x, y) = 8xy − 3x são harmônicas. u e v são chamadas}

conjugadas harmônicas, e, dada uma delas, a outra é determinada, a menos de uma constante aditiva arbitrária.

Defini¸c˜ao 3.1.13 Um espa¸co topol´ogico X ´e simplesmente conexo se, e somente se, toda

Teorema da Transforma¸c˜ao de Riemann

Seja C uma curva fechada simples no plano z formando o contorno de uma regi˜ao R. Seja

C0 _{um c´ırculo unitário formando o contorno da região R}0 _{no plano w. Então, o teorema}

da transforma¸c˜ao de Riemann assegura que existe uma fun¸c˜ao w = f (z) , holomorfa em

R, que leva cada ponto de R num ponto de R0 _{e cada ponto de C num ponto de C}0_{, sendo,}

al´em disso, biun´ıvoca.

Este resultado permite-nos saber que é sempre poss´ıvel encontrar uma transforma¸cão conforme entre quaisquer duas regiões simplesmente conexas diferentes em C.

3.1.1 Aplica¸c˜ao de transforma¸c˜oes conformes

Problemas de Contorno

Inúmeros problemas em Engenharia, quando formulados matematicamente, são modela- dos por equa¸cões diferenciais parciais e em condi¸cões associadas, chamadas condi¸cões de contorno. A questão sobre como encontrar as solu¸cões que satisfa¸cam às equa¸cões diferenciais parciais e às condi¸cões de contorno constitui o que chamamos um problema de contorno.

Existem dois tipos de problemas de contorno de grande importˆancia que surgem, quando trabalhamos com uma regi˜ao R simplesmente conexa limitada por uma curva

C :

1) Problema de Dirichlet O problema de Dirichlet procura determinar uma fun¸cão F que seja harmônica em R e assuma valores estabelecidos sobre a fronteira de C. 2) Problema de Newmann O problema de Newmann procura determinar uma fun¸cão

F que seja harmˆonica em R e cuja derivada normal ∂F

∂n assuma valores estabelecidos

sobre a fronteira de C.

Solu¸c˜oes dos Problemas de Dirichlet e de Newmann Utilizando as Transfor- ma¸c˜oes Conformes

Os problemas de Dirichlet e Newmann podem ser resolvidos em qualquer região simples- mente conexa R que possa ser transformada por meio de uma transforma¸cão conforme numa região limitada por um c´ırculo ou num semiplano. Isto pode ser feito, teoricamente, de acordo com o teorema da transforma¸cão de Riemann. As idéias básicas envolvidas são as seguintes:

34 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao

a) Usamos a fun¸cão para transformar o problema de contorno na região R em um cor- respondente no c´ırculo unitário ou no semiplano.

b) Resolvemos o problema no c´ırculo ou no semiplano.

c) Usamos a solu¸cão obtida para resolver o problema original, utilizando a inversa da fun¸cão de transforma¸cão.

Neste processo os resultados mais importantes s˜ao:

Teorema 3.1.14 Seja w = f (z) uma fun¸c˜ao holomorfa numa regi˜ao R do plano z.

Ent˜ao, existe uma ´unica inversa z = g (w) em R, desde que f0_{(z) 6= 0 em R (assegurando}

que a transforma¸c˜ao ´e conforme em cada ponto de R).

Teorema 3.1.15 Seja F (x, y) uma fun¸cão harmônica em R e suponhamos que R é

transformada em R0 _{pela fun¸c˜ao w = f (z) , onde f (z) ´e holomorfa e f}0_{(z) 6= 0, logo}

x = x (u, v) e y = y (u, v) . Assim, F (x, y) = F [x (u, v) , y (u, v)] ≡ G (u, v) é harmônica em R0_{. Em outras palavras, uma fun¸cão harmônica é transformada em uma fun¸cão har-}

mˆonica por uma transforma¸c˜ao holomorfa w = f (z) .

Teorema 3.1.16 Seja F = a (uma constante) sobre a fronteira ou parte da fronteira C

de uma regi˜ao no plano z, ent˜ao y = a sobre sua imagem C0 _{no plano w. Do mesmo modo,}

se a derivada normal de F ´e zero, i.e., ∂F

∂n = 0 sobre C, ent˜ao, a derivada normal de G ´e

zero sobre C0_.

No documento Realizações de constelações de sinais hiperbolicas densas associadas a sistemas lineares atraves das funções automorfas (páginas 38-46)