3.3 Teorema da Uniformiza¸c˜ao
3.3.1 Classifica¸c˜ao das superf´ıcies de Riemann
Seja W uma superf´ıcie de Riemann, fW o seu recobrimento universal (simplesmente
conexo) e eΓ o grupo de transforma¸c˜oes do recobrimento de W , isto ´e, o grupo das trans- forma¸c˜oes que levam cada ponto P em outro ponto P0 que tem a mesma imagem em W.
Cada transforma¸c˜ao de eΓ ´e determinada por um par (P, P0) e, portanto, nenhuma trans-
forma¸c˜ao de eΓ tem ponto fixo, salvo a identidade. Temos tamb´em que W ´e equivalente a
f
W
e Γ.
Como W ´e homeomorfa a uma regi˜ao G, o grupo eΓ corresponde a um grupo Γ de transforma¸c˜oes de G em G, e W ´e, portanto, conformemente equivalente a G
Γ. Conhecendo
as poss´ıveis formas de G, podemos classificar as superf´ıcies de Riemann estudando todos os poss´ıveis grupos Γ. Sabemos que todas as transforma¸c˜oes deste grupo s˜ao lineares, isto ´e, s˜ao da forma
T (z) = az + b
cz + d , com ad − bc 6= 0.
Normalizaremos essas transforma¸c˜oes, impondo a condi¸c˜ao ad − bc = 1, multiplicando os quatro parˆametros a, b, c, d pelo fator λ tal que λ2 = 1
ad−bc; identificaremos tamb´em
a transforma¸c˜ao T com a que se obt´em mudando o sinal dos quatro parˆametros simulta- neamente. Feito isto, introduzimos uma topologia no grupo das transforma¸c˜oes lineares, dizendo que uma transforma¸c˜ao
Tn(z) =
anz + bn
cnz + dn
, com andn− bncn= 1
tende `a transforma¸c˜ao T , se tivermos ao mesmo tempo an −→ a, bn −→ b, cn −→
c, dn −→ d (multiplicando eventualmente os quatro parˆametros por − 1, se necess´ario) .
Esta topologia coincide com a que se obt´em naturalmente, tomando a qu´adrica no espa¸co complexo quadri-dimensional x1x4 − x2x3 = 1 e identificando os pontos sim´etricos em
40 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao
rela¸c˜ao `a origem. Com tal topologia, Tn −→ T e Sn −→ S, implica TnSn −→ T S e
T−1
n −→ T−1. Al´em disto, para qualquer ponto z teremos Tn(z) −→ T (z) e verifica-se
que esta ´ultima condi¸c˜ao de convergˆencia ´e equivalente `a anterior.
Sabemos que um grupo Γ de homeomorfismos de um espa¸co Y sobre si mesmo opera de maneira propriamente descont´ınua se para todo ponto y ∈ Y existe uma vizinhan¸ca U de y tal que para dois elementos distintos quaisquer g e g0 de Γ, temos g (U)Tg0(U) 6= ∅.
Observamos em particular, que nenhuma transforma¸c˜ao diferente da identidade admite ponto fixo. Esta defini¸c˜ao equivale a afirmar que cada ponto y ∈ Y tem uma vizinhan¸ca que n˜ao cont´em pontos equivalentes em rela¸c˜ao a Γ, pois se UTg (U) 6= ∅ qualquer que
seja g 6= e (identidade) , ent˜ao, sendo g e g0 elementos distintos de Γ, temos UTg−1(U) 6=
∅ ou g (U)Tg0(U) 6= ∅.
Para um grupo Γ ser um grupo de recobrimento de um espa¸co Y, ´e necess´ario e suficiente que Γ atue de maneira propriamente descont´ınua [32]. Desse modo segue-se que o grupo eΓ e, portanto, o grupo Γ operem sobre a superf´ıcie fW e sobre a regi˜ao G,
respectivamente, de maneira propriamente descont´ınua, e que a superf´ıcie de Riemann W seja homeomorfa `a variedade G
Γ.
Como podemos ver em [40] qualquer superf´ıcie de Riemann simplesmente conexa ´e conformemente equivalente a uma regi˜ao G da esfera S2, podendo-se distinguir trˆes casos:
1) G ´e toda a esfera. Neste caso, W ´e dita de tipo el´ıptico.
2) G ´e equivalente ao plano complexo C. Neste caso, a superf´ıcie diz-se de tipo parab´olico. 3) A superf´ıcie de Riemann W ´e conformemente equivalente ao interior do c´ırculo unit´ario.
Neste caso, ela ´e dita de tipo hiperb´olico.
O pr´oximo passo, consiste na classifica¸c˜ao destas superf´ıcies.
Para o caso el´ıptico, como qualquer tranforma¸c˜ao tem ao menos um ponto fixo, o grupo Γ se reduz `a identidade, e W ´e isomorfa a S2.
No caso parab´olico, fW = C, as transforma¸c˜oes lineares sem ponto fixo s˜ao da forma z0 = z + b, isto ´e, s˜ao transla¸c˜oes no plano complexo. Aqui temos trˆes tipos de grupos:
i) Γ = {e} ; a superf´ıcie de Riemann ´e homeomorfa ao plano complexo.
ii) Todas as transla¸c˜oes s˜ao paralelas entre si. Dado ent˜ao um ponto qualquer z0, existe
um ponto equivalente a distˆancia m´ınima, z0
das transla¸c˜oes z0 = z + nw
1, com n inteiro. A superf´ıcie de Riemann ´e isomorfa a
um cilindro que ´e equivalente `a esfera menos os dois p´olos.
iii) Existem duas transla¸c˜oes n˜ao paralelas. Ent˜ao existe certamente um subgrupo da forma anterior, mas existem tamb´em pontos equivalentes a z0 fora da reta que passa
por z0 e ´e paralela ao vetor w1; seja z0+ w2 um desses pontos que est´a a distˆancia
m´ınima do segmento que une z0 a z0 + w1. Demonstra-se que Γ ´e o grupo das
transla¸c˜oes da forma z0 = z + mw
1 + nw2 (m e n inteiros, ww21 imagin´ario). Neste
caso, a superf´ıcie de Riemann ´e homeomorfa a um toro, e ´e uma superf´ıcie compacta, de gˆenero 1.
Estudaremos o caso 3), interpretando a regi˜ao G = H2 como o plano hiperb´olico, e o
grupo Γ como o grupo de movimentos r´ıgidos nesse plano. Para classificar as superf´ıcies de Riemann bastar´a estudar os grupos de movimentos r´ıgidos sem ponto fixo, que atuam de maneira propriamente descont´ınua em H2.
Dados quatro pontos z, z1, z2, z3 da esfera complexa, chamaremos raz˜ao dupla, ou
raz˜ao anarmˆonica desses pontos (nesta ordem) ao n´umero
[z, z1, z2, z3] = z − z2 z − z3 ÷ z1− z2 z1− z3 .
Consideremos a transforma¸c˜ao T : H2 −→ H2 definida por T (z) = [z, z
1, z2, z3] . T
´e uma transforma¸c˜ao linear que leva os pontos z1, z2, z3, respectivamente, nos pontos 1,
0, ∞; esta condi¸c˜ao determina univocamente uma transforma¸c˜ao linear; se S ´e outra transforma¸c˜ao linear qualquer, T S−1 leva os pontos S (z
1) , S (z2) , S (z3) em 1, 0, ∞, logo
temos identicamente T S−1(S(z)) = [S (z) , S (z
1) , S (z2) , S (z3)] = T (z) = [z, z1, z2, z3] , o
que mostra que a raz˜ao dupla de quatro pontos ´e invariante para qualquer transforma¸c˜ao linear.
Consideremos novamente o plano hiperb´olico H2. Sejam z
1, z2 pontos de H2, z3, z4
os pontos em que a geod´esica que passa por z1 e z2 encontra a fronteira de H2. Existe
um movimento r´ıgido que leva esta geod´esica em um diˆametro qualquer, levando por exemplo z3, z1, z4 nos pontos −1, α, 1 (−1 < α < 1) , respectivamente, e z2 em um ponto
de coordenada real β (−1 < β < 1) . Desse modo a raz˜ao dupla [z1, z2, z3, z4] = [α, β, −1, 1]
´e um n´umero real positivo, logo seu logaritmo ´e real. O valor absoluto desse logaritmo chamaremos distˆancia d (z1, z2) ; este n´umero ´e invariante para qualquer movimento r´ıgido
e tem todas as propriedades da distˆancia na geometria plana conforme [21]. Sobre cada geod´esica, s˜ao distinguidos dois sentidos de percurso, podendo-se definir sobre a geod´esica
42 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao z1z2, tomando z2 como origem, a abscissa de z1, como o n´umero real log [z1, z2, z3, z4] , que
´e positivo se z1 est´a entre z2 e z4 e negativo se est´a entre z3 e z2. Qualquer transforma¸c˜ao
de H2 em si mesmo que conserve as distˆancias ´e uma representa¸c˜ao conforme direta ou
inversa, e no primeiro caso, ´e uma transforma¸c˜ao linear, isto ´e, um movimento r´ıgido no plano hiperb´olico. Verifica-se tamb´em que a topologia definida por essa distˆancia coincide com a topologia usual de H2.
Uma transforma¸c˜ao linear T (z) = az+b
cz+d, com ad − bc = 1 pode ser interpretada como
definindo uma mudan¸ca de coordenadas cartesianas dos pontos z de H2. Se Γ ´e o grupo
de transforma¸c˜oes de H2 sobre si mesmo, que corresponde a um grupo de recobrimento,
ent˜ao o grupo Γ = T ΓT−1 pode ser interpretado seja como grupo conjugado de Γ, isto ´e, o
grupo de movimentos r´ıgidos congruentes a Γ, seja como grupo Γ expresso em coordenadas
z0.
Defini¸c˜ao 3.3.1 Chama-se transforma¸c˜oes hiperb´olicas os movimentos r´ıgidos de H2sem
ponto fixo em H2.
O resultado a seguir resolve o problema que nos ocupa, no caso 3) :
Teorema 3.3.2 Dada uma superf´ıcie de Riemann W, cujo recobrimento universal ´e do
tipo hiperb´olico, e fixada a fun¸c˜ao uniformizante, a essa superf´ıcie corresponde um grupo de transla¸c˜oes, bem determinado, no plano H2, que opera sobre este de maneira pro-
priamente descont´ınua. Duas superf´ıcies s˜ao conformemente equivalentes se os grupos correspondentes s˜ao congruentes. Inversamente, a cada grupo Γ de transla¸c˜oes que atua em H2 de maneira propriamente descont´ınua, corresponde a uma superf´ıcie de Riemann
G
Γ.