Superf´ıcie de Riemann - Realizações de constelações de sinais hiperbolicas densas associadas a

Nesta se¸cão, apresentamos um resumo sobre superf´ıcies de Riemann, ambientes sobre os quais construiremos as tessela¸cões regulares do tipo {12g − 6, 3}. Para um estudo mais aprofundado sobre suprf´ıcies de Riemann, indicamos as referências [40] e [45].

Defini¸c˜ao 3.2.1 Chama-se variedade topol´ogica em duas dimens˜oes um espa¸co de Haus-

dorff, V, em que cada ponto tem uma vizinhan¸ca aberta homeomorfa a D2 _{= {z ∈ C : |z| < 1} .}

Defini¸c˜ao 3.2.2 Seja V uma variedade topológica em duas dimensões. V é dita uma

satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

1) Toda fun¸cão pertencente a A (p) é definida numa vizinhan¸ca do ponto p. 2) Existe uma fun¸cão τ ∈ A (p) e uma vizinhan¸ca W de p tais que

a) τ se anula em p e transforma W homeomorficamente numa vizinhan¸ca da ori- gem em C.

b) se q0 ∈ W ent˜ao f ∈ A (q0) se, e somente se, existe uma vizinhan¸ca W0 de q0,

W0 ⊂ W, na qual vale o desenvolvimento f (q) =

∞

n=0

an{τ (q) − τ (q0)}n, q ∈ W0.

As fun¸cões da classe A (p) são denominadas fun¸cões anal´ıticas ou holomorfas em p, e

τ ´e denominado parˆametro uniformizador1 _{em p.}

Consequentemente, se τ é um parâmetro uniformizador em p, então τ − τ (q0) é

parˆametro uniformizador em q0.

Proposi¸c˜ao 3.2.3 Seja p um ponto de uma superf´ıcie de Riemann S, τ um parˆametro

uniformizador em p e τ0 _{uma fun¸cão anal´ıtica em p. τ}0 _{será parâmetro uniformizador em}

p se, e somente se, existir uma vizinhan¸ca W de p onde vale o desenvolvimento τ0_{(q) =} ∞ X n=1 bnτ (q)n, com b1 6= 0, q ∈ W.

Proposi¸c˜ao 3.2.4 Se τ é um parâmetro uniformizador em p e f é uma fun¸cão anal´ıtica

na origem tal que f (0) = 0, f0 _{6= 0, então f ◦ τ é também um parâmetro uniformizador}

em p. Reciprocamente, se τ e τ0 _{são parâmetros uniformizadores em p, então f = τ}0_{◦ τ}−1

´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica na origem tal que f (0) = 0, f0_{(0) 6= 0.}

1_{Seja G uma das regiões - esfera, plano ou interior do c´ırculo unitário - nas condi¸cões do T eorema da}

U nif ormiza¸cão, Se¸cão 3.3. τ (parâmetro uniformizador) é uma fun¸cão que estabelece em cada um dos

36 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao

Se S ´e uma superf´ıcie de Riemann, diremos tamb´em que S possui uma estrutura de superf´ıcie de Riemann ou estrutura conforme.

Dada uma superf´ıcie de Riemann S e um aberto U ⊂ S, uma fun¸cão f é dita anal´ıtica em U se for anal´ıtica em cada ponto de U, isto é, f ∈ A (p) , ∀ p ∈ U.

Seja S uma superf´ıcie de Riemann e U ⊂ S um aberto; U é uma variedade topológica e tem uma estrutura de superf´ıcie de Riemann induzida pela de S, definida da seguinte maneira: dado p ∈ U, uma fun¸cão f é anal´ıtica em p se considerada como fun¸cão de S ela for anal´ıtica em p.

Defini¸c˜ao 3.2.5 Dadas duas superf´ıcies de Riemann S e S0_{, uma aplica¸c˜ao h de S em}

S0 _{dir-se-´a anal´ıtica num ponto p ∈ S se para qualquer fun¸c˜ao f anal´ıtica em h (p) , f ◦ h}

for anal´ıtica em p.

Defini¸c˜ao 3.2.6 Duas superf´ıcies de Riemann S e S0 _{dizem-se analiticamente equiva-}

lentes se existir uma aplica¸c˜ao biun´ıvoca h de S em S0 _{tal que h e h}−1 _{sejam anal´ıticas.}

h diz-se tamb´em uma aplica¸c˜ao conforme de S em S0_.

E claro que h ´e um homeomorfismo.

3.2.1 Exemplos de superf´ıcies de Riemann

Exemplo 3.2.7 Plano complexo. As fun¸c˜oes anal´ıticas num ponto p s˜ao as que podem

ser desenvolvidas em s´erie de potˆencias de z − p.

Exemplo 3.2.8 Esfera. Definimos uma estrutura de superf´ıcie de Riemann sobre a esfera

usando a proje¸cão estereográfica, que aplica homeomorficamente uma vizinhan¸ca de um ponto p 6= p∞ da esfera numa vizinhan¸ca π (p) = p0 no plano. As fun¸cões anal´ıticas em

p são as compostas das fun¸cões anal´ıticas em p0 _{com a proje¸cão π. Para o pólo norte}

p∞, 1_z ◦ π, que leva uma vizinhan¸ca do pólo numa vizinhan¸ca da origem, é parâmetro

uniformizador. As fun¸cões anal´ıticas no pólo norte são as compostas das fun¸cões que podem ser desenvolvidas em séries de potências de 1

z e π.

E claro que a esfera não é equivalente ao exemplo precedente, pois não é sequer topo- logicamente equivalente. De fato, a esfera é compacta, o plano não.

Seja S uma superf´ıcie de Riemann e G o grupo de todos os homeomorfismos holomorfos de S.

Defini¸c˜ao 3.2.9 Seja H ⊂ G um subgrupo de G. Dizemos que p1 e p2 s˜ao equivalentes

por H se existe T ∈ H tal que T (p1) = p2.

Defini¸c˜ao 3.2.10 Seja H ⊂ G um subgrupo de G. H diz-se propriamente descont´ınuo se

dado p ∈ S existir sempre uma vizinhan¸ca de p que n˜ao cont´em pontos equivalentes por H e distintos.

Assim, o espa¸co quociente de S pela rela¸cão de equivalência definida por H é uma variedade topológica S

H em duas dimens˜oes e sobre ela pode-se definir de modo natural,

uma estrutura de superf´ıcie de Riemann, tal que a proje¸c˜ao π : S −→ S

H seja uma aplica¸c˜ao

holomorfa. π estabelece uma correspondˆencia biun´ıvoca entre as fun¸c˜oes meromorfas em

S e invariantes por H (i.e., tais que f (p) = f (T (p)) para p ∈ S, T ∈ H) e as fun¸c˜oes

meromorfas em S H.

A seguir s˜ao introduzidos conceitos sobre superf´ıcies de Riemann que podem ser definidos intrinsecamente, i.e., independentemente da escolha do parˆametro uniformizador. Zero de Ordem k de uma Fun¸c˜ao

Seja f uma fun¸cão holomorfa num ponto p ∈ S e τ um parâmetro uniformizador em p. Então numa vizinhan¸ca de p

f =

∞

n=0

anτn (1)

Defini¸c˜ao 3.2.11 Se o primeiro coeficiente n˜ao nulo de f, for ak, diremos que f tem um

zero de ordem k em p.

Singularidades de uma Fun¸c˜ao

Seja agora f uma fun¸cão holomorfa numa vizinhan¸ca V de p com exce¸cão do ponto p, e seja τ um parâmetro uniformizador em p. Então vale ao redor de p um desenvolvimento de Laurent f = +∞ X −∞ anτn (2)

Temos trˆes poss´ıveis casos a considerar:

a) Existem infinitos termos n˜ao nulos com expoentes negativos. Dizemos ent˜ao que f tem uma singularidade essencial em p.

38 As Fun¸c˜oes Automorfas como Ferramentas de Conex˜ao

b) Existe somente um n´umero finito de termos com expoente negativo. Seja a−kτ−k o

primeiro deles: dizemos ent˜ao que f tem um p´olo de ordem k em p.

c) Não existem termos com expoente negativo. Então f pode ser estendida a uma fun¸cão definida em toda vizinhan¸ca V e anal´ıtica inclusive em p. p é então singularidade remov´ıvel.

Os conceitos acima citados além de serem invariantes em rela¸cão à mudan¸ca do parâmetro uniformizador podem ser relacionados no seguinte resultado:

Teorema 3.2.12 [40] Sendo S uma superf´ıcie de Riemann compacta, ϕ uma fun¸c˜ao

meromorfa em S, então a soma das ordens dos zeros de ϕ é igual à soma das ordens dos pólos.

No documento Realizações de constelações de sinais hiperbolicas densas associadas a sistemas lineares atraves das funções automorfas (páginas 46-50)