Conclus˜oes - Realizações de constelações de sinais hiperbolicas densas associadas a sistemas l

Este cap´ıtulo teve como objetivo principal a apresenta¸cão das linhas de transmissão como uma modelagem hiperbólica. Para tal identificamos o semiplano direito (SP D), ambiente natural das linhas de transmissão, como um modelo planar de Poincaré para a geometria hiperbólica. Aproveitando das propriedades desse modelo geométrico e fazendo uso das transforma¸cões lineares que atuam sobre o mesmo (SP D) observamos que:

1) A carta de Smith ´e representada por determinados conjuntos de geod´esicas e horoci- clos;

100 Linhas de Transmiss˜ao: Uma Modelagem Hiperb´olica

3) A diferen¸ca de potências corresponde à distância de Poincaré restrita ao conjunto (0, ∞);

4) A conexão em cascata de um sistema de 2 − portas sem perdas com um sistema de 1 − porta corresponde a uma transforma¸cão fracionária linear do SP D que aplica (0, ∞) em (0, ∞);

5) Um sistema de n − portas tem uma matriz impedância Z(w) de ordem n × n associada e sua classifica¸cão se dá através da parte real de Z(w), isto é,

(i) sem perdas ⇐⇒ Re Z(w) = Z(w) + Z∗_{(w) = 0;}

(ii) passivo ⇐⇒ Re Z(w) ≥ 0;

(iii) estritamente passivo ⇐⇒ Re Z(w) < 0;

6) A conexão em cascata de um sistema de 2−portas cuja impedância é Z com um sistema de 1−porta tendo impedância z dá um sistema de 1−porta com impedância TZ(z) .

Se Z ´e sem perdas, ent˜ao TZ aplica SP D em SP D;

7) Para um sistema de 1 − porta a razão de transferência de potência (ganho de potência de transdu¸cão - GP T ) para uma fonte com impedância z1 e carga com impedância

z2 é 1 − δ (z1, z2)2, onde a diferen¸ca de potência é δ (z1, z2) =

¯ ¯ ¯z1−z2 z1+z2 ¯ ¯ ¯ ;

8) Ao invés de se trabalhar com transforma¸cões fracionárias lineares sobre H2 _{ou SP D,}

pode-se trabalhar com transforma¸cões fracionárias lineares sobre o disco unitário, mediante a aplica¸cão z −→ 1−z

Constela¸c˜oes de Sinais Hiperb´olicas

Densas

Modelos conformes para as superf´ıcies riemannianas existem desde 1883. Poincaré descreveu a constru¸cão dos modelos para todas as superf´ıcies riemannianas hiperbóli- cas em seu primeiro artigo sobre grupos de transforma¸cões fuchsianos. Foram descritas as condi¸cões necessária e suficiente sobre os lados e ângulos de um pol´ıgono hiperbólico, Pg,

de modo que Pg seja um modelo conforme de uma superf´ıcie riemanniana, W. A condi¸c˜ao

sobre os lados é que os mesmos devem ser congruentes aos pares. Isto permite identificá- los. Com a identifica¸cão dos lados, chega-se a uma identifica¸cão induzida dos vértices do pol´ıgono. Os vértices de Pg que são identificados com o mesmo ponto v ∈ W formam o

que é denominado um ciclo. A condi¸cão sobre os ângulos é que os vértices em cada ciclo deve ter soma igual a 2π.

As identifica¸cões dos lados podem sempre ser efetuadas através de isometrias hiperbóli- cas segundo uma orienta¸cão apropriada. Estas identifica¸cões são denominadas transforma¸cões de emparelhamentos de lados ou transforma¸cões de cobertura. Considere um pol´ıgono hiperbólico, Pg, que modela uma superf´ıcie de Riemann, W . As transforma¸cões

de emparelhamentos de lados para Pg, geram um grupo, G, que ´e isomorfo a π1(W ) , o

grupo fundamental de W. A região que ladrilha o plano hiperbólico sob a a¸cão de G é chamada região fundamental de G. O pol´ıgono Pg é uma região fundamental de G.

Quando consideramos um grupo de transforma¸cões de Möbius, G, que atua de modo propriamente descont´ınuo sobre uma por¸cão do plano complexo, uma região fundamental pode ser constru´ıda usando os c´ırculos isométricos dos elementos do grupo. A interse¸cão dos exteriores dos c´ırculos isométricos de todos os elementos do grupo é uma região fun-

102 Constela¸c˜oes de Sinais Hiperb´olicas Densas

damental, denominada regi˜ao de Ford [21].

Somente pontos de fronteira isolados são permitidos em uma superf´ıcie riemanniana hiperbólica, W. Além disso, quando W é levantada ao seu espa¸co de recobrimento univer- sal, o disco D2_{, os pontos de fronteira de W coincidem com os pontos da fronteira de D}2_.

Nos referimos a estes pontos como pontos de fronteira ideais.

Em topologia um resultado, bem conhecido, diz que toda superf´ıcie orientável é uma soma conexa de g toros. Para uma superf´ıcie riemanniana orientável, o número g é denominado o gênero da superf´ıcie.

Seja g o gˆenero da superf´ıcie riemanniana, W, ignorando sua estrutura conforme, e

n o número de perfura¸cões na superf´ıcie. Então (g, n) é chamada a assinatura de W. ´E fato conhecido que duas superf´ıcies riemannianas são topologicamente equivalentes se, e somente se, elas têm a mesma assinatura.

Existem vários trabalhos que tratam sobre a constru¸cão de constela¸cões de sinais hiperbólicas. Como exemplo, citamos os trabalhos [30], [43], [7], [1] e [8].

No trabalho de Lázari [30], vemos a constru¸cão de constela¸cão de sinais geometricamente uniforme no plano hiperbólico através do processo de constru¸cão de cadeias de parti¸cões geometricamente uniformes a partir do grupo de isometrias do octógono, dom´ınio fundamental da tessela¸cão {8, 8} e do grupo de isometrias do p-ágono da tessela¸cão {p, 3} . Em um trabalho pioneiro no contexto da Teoria de Comunica¸cões e projeto de Sistema de Comunica¸cões, Brandani [43] expõe um importante subconjunto das tessela¸cões, as chamadas auto-duais, que são as tessela¸cões {p, q} tais que p = q. Estas tessela¸cões geram os g − toros a partir de simples orienta¸cões. Embora não haja a explora¸cão entre os aspectos de teoria de superf´ıcies e suas poss´ıveis rela¸cões com sistemas de comunica¸cões, [43] já aponta nesta dire¸cão.

Uma modelagem de superf´ıcies compactas de gênero g ≥ 2, no plano hiperbólico pode ser vista em [7]. Estas superf´ıcies são obtidas a partir de pol´ıgonos regulares de 4g lados, onde g é o gênero da superf´ıcie. Tessela¸cões auto-duais {4g, 4g} no plano hiperbólico são consideradas, de modo que uma rela¸cão entre os aspectos de teoria de superf´ıcies com sistemas de comunica¸cões é estabelecida.

[1] apresenta um estudo anal´ıtico das superf´ıcies de gênero g ≥ 2 localmente isométri- cas a H2 _{obtidas por quocientes de gupos fuchsianos. Também demonstra que para um}

g − toro, g ≥ 2, dado pelo quociente H2

G, em que G ´e uma regi˜ao fundamental poli-

gonal regular, e com a condi¸cão de que G tenha um número par de geradores, o grupo triângulo T∆gerado pelas reflexões sobre o triângulo hiperbólico ∆ de ângulos internos π₄,

4 e 2gπ gera uma constela¸c˜ao C de sinais geometricamente uniforme sobre o g − toro com

cardinalidade 8g.

Em [8] Cavalcante analisa o desempenho de constela¸cões de sinais geometricamente uniformes provenientes de tessela¸cões em espa¸cos bidimensionais com curvatura seccional constante, K. Verifica que as constela¸cões de sinais em espa¸cos com K < 0 apresentam os melhores desempenhos em termos da probabilidade de erro quando comparadas com as constela¸cões de sinais em espa¸cos com K ≥ 0.

Bavard em [3] mostra que as tessela¸cões do tipo {12g − 6, 3} apresentam densidade de empacotamento ótima, isto é, estas tessela¸cões tendem a ser mais densas que as constela¸cões apresentadas nos trabalhos supracitados.

Com rela¸cão às constela¸cões auto-duais apresentadas em [30], [7] e [1] e aquela gerada pelo grupo triângulo gerado pelas reflexões sobre o triângulo hiperbólico ∆ de ângulos internos π

4, π4 e 2gπ, cuja cardinalidade ´e 8g, observamos que nossas constela¸c˜oes apresentam

cardinalidade maior, qualquer que seja o gˆenero g.

Observamos que as constela¸cões obtidas a partir das tessela¸cões {12g − 6, 3} tendem a ser mais densas que as constela¸cões apresentadas nos trabalhos supracitados.

Tendo em vista que os baricentros dos pol´ıgonos das tessela¸cões {12g − 6, 3} fornecem constela¸cões de sinais geometricamente uniformes e são aquelas que apresentam a maior densidade de empacotamento, implicam na menor probabilidade de erro quando com- parada com qualquer outra constela¸cão de sinais em espa¸cos de curvatura constante nega- tiva. Observamos ainda que poder-se-ia ter curvatura constante igual a zero e neste caso, a tessela¸cão é a {6, 3} que fornece a melhor constela¸cão no plano euclidiano.

Neste cap´ıtulo, propomos a constru¸cão de constela¸cões de sinais a partir de tessela¸cões do tipo {12g − 6, 3} . Para isso, inicialmente, apresentamos um emparelhamento de lados de um pol´ıgono Pg com 12g − 6 arestas e ângulos internos iguais a 2π₃ , que representa

uma superf´ıcie de Riemann compacta orientável de gênero g. O pol´ıgono acima citado fornece uma tessela¸cão do tipo {12g − 6, 3} . Considerando os baricentros desses pol´ıgonos temos uma constela¸cão de sinais geometricamente uniforme. Descrevemos uma maneira de contar o número de pol´ıgonos de uma constela¸cão regular, fato relevante no que diz respeito a projeto de constela¸cões de sinais. Apresentamos um algoritmo que descreve as coordenadas dos pontos de uma constela¸cão {6, 3}.

Encerramos nossa introdu¸cão concluindo que as tessela¸cões {12g − 6, 3} são as candi- datas diretas para o projeto de sinais para a codifica¸cão de fonte ou de canal.

104 Constela¸c˜oes de Sinais Hiperb´olicas Densas

5.1 Emparelhamento de Arestas de um Pol´ıgono

O objetivo principal desta se¸cão é apresentar um emparelhamento das arestas de um pol´ıgono Pg com 12g − 6 arestas e ângulos iguais a 2π₃ , representando uma superf´ıcie de

Riemann compacta orientável de gênero g. As identifica¸cões dos lados serão efetuadas por isometrias hiperbólicas que aplicam lados congruentes um no outro com a orienta¸cão devida. Tais aplica¸cões serão denominadas transforma¸cões de emparelhamento de lados ou transforma¸cão de cobertura.

O pol´ıgono Pg apresenta as seguintes propriedades:

a) Nenhuma transforma¸c˜ao de G (grupo de simetrias) pode deixar fixo um lado do pol´ı- gono, a n˜ao ser a identidade;

b) Os lados de Pg se correspondem dois a dois, e a transforma¸c˜ao que leva um lado no

seu correspondente ´e ´unica;

c) Dois lados correspondentes têm o mesmo comprimento e são percorridos em sentido contrário, no per´ımetro de Pg;

d) Cada lado tem um ´unico correspondente;

e) Dois lados correspondentes não podem ser consecutivos, caso contrário a isometria seria el´ıptica ou parabólica;

g) O grupo G ´e gerado pelas transforma¸c˜oes que levam cada lado de Pg no seu

correspondente.

Das propriedades anteriores, deduz-se a constru¸c˜ao da superf´ıcie de Riemann no caso hiperb´olico, expressa pelo seguinte resultado.

Teorema 5.1.1 [40] Para obter uma superf´ıcie de Riemann na forma normal, no caso

hiperb´olico, basta identificar os lados correspondentes do pol´ıgono Pg do grupo de recobri-

mento dessa superf´ıcie.

Defini¸c˜ao 5.1.2 Chamamos de ciclo de v´ertices de Pg, a um conjunto maximal de v´er-

tices desse pol´ıgono, equivalentes entre si por G. Como esses pontos corresponder˜ao a um mesmo ponto de W e como a representa¸c˜ao de D2

G ´e conforme, a soma dos ˆangulos

nos vértices de um mesmo ciclo é sempre 2π. Cada ciclo só possui um número finito de vértices, pois a transforma¸cão que leva um vértice A em outro A0_{, do mesmo ciclo, leva}

Superf´ıcies de Riemann Compactas

Como a superf´ıcie de Riemann W ´e obtida de um pol´ıgono Pg identificando os seus lados

dois a dois, é claro que W é compacta se Pg é compacto, e reciprocamente. Ora Pg é

parte de um conjunto aberto C, e só será compacto se for fechado no plano complexo e, portanto, contido em um c´ırculo concêntrico ao c´ırculo unitário e de raio menor que 1. Da´ı decorre que o número de vértice de Pg é f inito e igual ao número de lados. Como

estes são agrupados dois a dois, esse número de lados é par: 2L. Seja k o número de ciclos; então, a soma dos ângulos internos de Pg é 2kπ.

Teorema 5.1.3 [40] Se W ´e uma superf´ıcie de Riemann de gˆenero g e se o pol´ıgono Pg

tem 2L lados e k ciclos, ent˜ao temos

2g − 2 = L − k − 1.

Defini¸c˜ao 5.1.4 Chama-se conteúdo não euclidiano de um triângulo de ângulos internos

α, β, γ, o número π − α − β − γ. Se um pol´ıgono Pg é decomposto em triângulos, então

o conteúdo de Pg é a soma dos conteúdos dos triângulos componentes.

A seguir duas consequˆencias do Teorema 5.1.3 s˜ao apresentadas.

Corol´ario 5.1.5 [40] O conte´udo do pol´ıgono Pg da superf´ıcie riemanniana W de gˆenero

g ´e J = 4π (g − 1) .

Corol´ario 5.1.6 [40] Entre os números L e g subsiste a desigualdade 2L ≤ 12g − 6. Note que no caso hiperbólico o número de lados não pode ser 4, pois neste caso só poderia haver um ciclo, e a soma dos ângulos internos teria que ser 2π, o que é absurdo, pois na geometria não euclidiana essa soma é certamente menor. Também não pode ser 6, pois para L = 3, o Teorema 5.1.3 daria k = 4 − 2g, o que é imposs´ıvel, pois temos certamente g ≥ 2, já que a esfera (g = 0) e toro (g = 1) estão exclu´ıdos.

De posse dos resultados e observa¸c˜oes acima mencionados descreveremos um empa- relhamento de lados para o pol´ıgono Pg.

Denotaremos as arestas do pol´ıgono Pg por {τ1, τ2, . . . , τ12g−6} e por γk a fun¸c˜ao de

emparelhamento que envia τkem τj invertendo a orienta¸c˜ao uma vez que ´e uma isometria

hiperb´olica, isto ´e, γk(τk) = τj. Deste modo, temos que um emparelhamento do pol´ıgono

106 Constela¸c˜oes de Sinais Hiperb´olicas Densas

Figura 5.1: Pol´ıgono para g = 3

Proposi¸c˜ao 5.1.7 Seja Pg (g ≥ 2) um pol´ıgono com ˆangulos iguais a 2π₃ . Suponha que

os pares apresentados a seguir tenham o mesmo comprimento hiperb´olico,

{τi, τi+6g−3} , {τi+1, τi+6g−2} , i ∈ Ig = {1, k0, k1, k2, . . . , kg−2} , km = (m + 1) 5 ∀g ≥ 2,

{τ3+5k, τ12g−6−k; τ4+5k, τ7+5k} , {τ5g−2, τ11g−5} , k = 0, 1, 2, . . . , g − 2, {τ6g+5k, τ6g−3−k; τ6g+1+5k, τ6g+4+5k} , k = 0, 1, 2, . . . , g − 2. As fun¸c˜oes Φ = n {γi, γi+1}i∈Ig, {γ3+5k, γ4+5k, γ5g−2, γ6g+5k, γ6g+1+5k} g−2 k=0 o fornecem um emparelhamento para Pg tal que D

Γg é homeomorfo a uma superf´ıcie de Riemann compacta orientável de gênero g, onde Γg é o grupo gerado pelas 6g − 3 fun¸cões de Φ e D2 é o disco

hiperb´olico.

Demonstra¸cão: Notando que as arestas emparelhadas têm o mesmo comprimento e percorrendo o emparelhamento Φ, assumindo que os ângulos do pol´ıgono são 2π

3 , temos

de Poincar´e [20] temos que o grupo Γg ´e discreto e que D

Γg ´e homeomorfa a uma superf´ıcie

de Riemann compacta orient´avel de gˆenero g.

O emparelhamento Φ apresentado foi escolhido a partir de um pol´ıgono com ˆangulos

2π

3 tendo o maior n´umero poss´ıvel de fun¸c˜oes emparelhadas diametralmente opostas, a

saber 2g + 1 fun¸cões. Supondo que o pol´ıgono tenha todas as arestas do mesmo tamanho, isto é, seja regular, teremos que o exterior dos c´ırculos isométricos, fornecidos pelas 6g − 3 fun¸cões de emparelhamento, é um dom´ınio fundamental que denotaremos por Pg.

Desta forma, admitindo que Pg seja um pol´ıgono regular em D2 temos que sua cons-

tru¸cão é poss´ıvel a partir das fun¸cões de emparelhamento Φ. Assim, o próximo passo será apresentar as matrizes das fun¸cões γj para j ∈ J e J o conjunto de ´ındices de Φ.

Para expressarmos as matrizes das fun¸cões de emparelhamento é suficiente conhecer uma das fun¸cões, digamos γ1, pois todas as outras se tornam conhecidas a partir desta

utilizando-se transforma¸c˜oes el´ıpticas. Admitindo ser conhecida a matriz de γ1 temos:

Proposi¸c˜ao 5.1.8 Dada a matriz γ1 , as demais matrizes s˜ao dadas por

{γ1, γ2} ↔ © γ1, ρ1γ1ρ−11 ª {γi, γi+1} ↔ © ρi−1γ1ρ−1i−1, ρiγ1ρ−1i ª , i ∈ {5, k1, k2, . . . , kg−2} e km = (m + 1) 5, {γ3+5k, γ4+5k} ↔ © ρ6g−4−kγ1ρ−1_2+5k, ρ3+5kγ1ρ−1_6g−5−5k ª , k ∈ {0, 1, 2, . . . , g − 2} , γ5g−2 ↔ ρ5g−3γ1ρ−15g−3 {γ6g+5k, γ6g+1+5k} ↔ © ρ6g−4−kγ1−1ρ−12+5k, ρ6g+3+5kγ1−1ρ−13+5k ª , k ∈ {0, 1, 2, . . . , g − 2} onde ρk= eik 2π 12g−6.

Demonstra¸c˜ao: Seja Pg o pol´ıgono regular com 12g − 6 arestas. Para determinar

as isometrias que emparelham seus lados, considere Pg centrado na origem, pois desse

modo suas arestas ser˜ao arcos de c´ırculos isom´etricos. Assim, se um par de tais arestas (τ0

k, τk) é emparelhado por uma isometria γk, ou seja, γk(τk0) = τk, então τk0 está contida

no c´ırculo isométrico I(γk) e τk em I(γk−1). Pg tem área 2π (2g − 2) , é formado por 12g-6

triângulos isósceles equivalentes, cada um com área π(2g−2)_6g−3 . Como o ângulo de cada um

destes triângulos no vértice (0, 0) é π

108 Constela¸c˜oes de Sinais Hiperb´olicas Densas

que os outros dois ˆangulos s˜ao iguais a π(2g−1)_6g−3 . Sejam

τi, τi+6g−3, com i ∈ Ig = {1, k0, k1, k2, . . . , kg−2} , km = (m + 1) 5 ∀g ≥ 2;

τ3+5k, τ12g−6−k; τ4+5k, τ7+5k; τ5g−2, τ11g−5; τ6g+5k, τ6g−3−k; τ6g+1+5k, τ6g+4+5k,

com k ∈ {0, 1, 2, . . . , g − 2} ,

as arestas de Pg emparelhadas pelas transforma¸c˜oes γi, γi+1, com i ∈ Ig e

γ3+5k, γ4+5k, γ6g+5k, γ5g−2, γ6g+1+5k, k ∈ {0, 1, 2, . . . , g − 2} .

Suponha que o ponto inicial e o ponto final da aresta τ1 encontram-se nas semiretas

definidas, respectivamente, pelas equa¸c˜oes arg (z) = −π 2 , arg (z) = −π(6g−5) 12g−6 . (5.1) Seja ρk = Ã e6g−3jkπ 0 0 e6g−3jkπ ! , com k=1,2, ... , g-2.

Após alguns cálculos simples obtém-se:

γ2 = ρ1γ1ρ−11 ; γi = ρi−1γ1ρ−1i−1, γi+1 = ρiγ1ρ−1i , i ∈ Ig = {1, k0, k1, k2, . . . , kg−2} , km = (m + 1) 5; γ3+5k = ρ6g−4−kγ1ρ−1_2+5k, γ4+5k = ρ3+5kγ1ρ−16g−5−5k, γ5g−2 = ρ5g−3γ1ρ−15g−3, γ6g+5k = ρ6g−4−kγ1−1ρ−12+5k, γ6g+1+5k = ρ6g+3+5kγ1−1ρ−13+5k, k ∈ {0, 1, 2, . . . , g − 2} .

Sendo Pg um dom´ınio fundamental do grupo fuchsiano gerador de uma superf´ıcie de

Riemann compacta orient´avel de gˆenero g, D2

Γg, apresentamos no pr´oximo resultado os

centros e os raios dos c´ırculos isométricos que contêm as arestas de Pg. Os vértices e

arestas do pol´ıgono ser˜ao denotados por {v1, v2, . . . , v12g−6} e {τ1, τ2, . . . , τ12g−6} , [1].

Proposi¸c˜ao 5.1.9 Seja Pg um pol´ıgono regular com 12g − 6 arestas centrado na origem

de D2 _{com v´ertices no eixo real positivo. Ent˜ao, os lados de P}

g est˜ao contidos nos c´ırculos

isom´etricos C     s 1 + sec π 6g−3 2 e i( π 6g−3(12+k)); tan π 6g−3 r 2 ³ 1 + sec π 6g−3 ´     ,

onde k = 0, 1,. . . , 12g − 7 e C (c; r) representa o c´ırculo euclidiano de centro c e raio r.

Demonstra¸c˜ao: Suponha que o v´ertice que est´a sobre o eixo real seja v1 e considere o

conjunto de c´ırculos isom´etricos {I1, I2, . . . , I12g−6} com Ij ⊃ τj, j mod (12g − 6) . Sejam

d1 a distância do centro o do disco de Poincaré D2 ao centro c1 do c´ırculo isométrico I1,

p1 o ponto de interse¸c˜ao de I1 com o disco D2 e q1 a interse¸c˜ao da reta tangente ao c´ırculo

I1 no ponto v1 com a reta determinada pelos pontos o e c1. Denote por ∆0, ∆1 e ∆2 os

triˆangulos com v´ertices {o, p1, c1} , {o, v1, q1} e {v1, q1, c1} , respectivamente. Em ∆1 os

vértices o e v1 têm ângulos iguais a θ = _2(12g−6)2π , pois a semireta iniciada em o passando

por c1 ´e o bissetor do ˆangulo oposto a aresta τ1 em o e o segmento com extremidades

{o, v1} é o bissetor do ângulo em v1. Desta forma, temos que oq1 e q1v1 têm a mesma

medida, que denotamos por ρ. Logo, d1 = ρ + δ, onde δ ´e a distˆancia de q1 a c1.

Note que ∆0 e ∆2 são triângulos retângulos donde seguem as equa¸cões

δ2 = r2₁+ ρ2 (5.1)

1 = (ρ + δ)2 = 1 + r12. (5.2)

Sendo o ˆangulo em q1 de ∆2 igual a 2θ, de (5.1) temos

r2₁ = δ2 − ρ2 = δ2− δ2cos22θ = δ2sin22θ. (5.3) De (5.2) segue

110 Constela¸c˜oes de Sinais Hiperb´olicas Densas De (5.3) e (5.4) temos r1 = √_{2(1+sec 2θ)}tan 2θ e d1 = q 1+sec 2θ 2 .

Portanto, temos que os centros euclidianos dos c´ırculos isométricos que contêm as arestas de Pg são

dkei(

2π

12g−6(12+k)),

onde k = 0, 1, . . . , 12g − 7 e dk = d1 ∀ k pois todos os c´ırculos isom´etricos s˜ao congruentes

já que o pol´ıgono é regular. Os raios são todos de mesma medida e iguais a

r = p tan 2θ 2 (1 + sec 2θ).

Nosso propósito não é discorrer sobre densidade de empacotamentos, no entanto sen- timos que, neste momento, cabe uma pequena observa¸cão sobre o assunto.

Observa¸c˜ao 5.1.10 De acordo com [3] uma tessela¸c˜ao do tipo {12g − 6, 3}, no caso

hiperbólico, está associada a uma densidade de empacotamento máxima. Verifica-se que com esta tessela¸cão, mediante um empacotamento por bolas, um valor bem próximo a 3

pode ser atingido escolhendo-se um gˆenero g apropriado. O valor exato de 3

π ´e atingido

para um empacotamento por horobolas, [18].

Seja

γ1 : D2 → D2

z 7−→ az+b

bz+a

uma isometria hiperbólica. Os c´ırculos isométricos de γ1 e γ1−1 são dados por I1 =

½ z ∈ D2 _|°°_{°z +}a b ° ° ° = _k1_b_k ¾ e I₁−1 = ½ z ∈ D2 _|°°_{°z −} a b ° ° ° = _k1_b_k ¾ . Da Proposi¸c˜ao 5.1.9 temos que −a b = s 1 + sec π 6g−3 2 e i(_12g−6π ) _(5.5) 1 ° °b°° = tan π 6g−3 r 2 ³ 1 + sec π 6g−3 ´ (5.6) a b = s 1 + sec π 6g−3 2 e i((12g−5)π_12g−6 ) _(5.7)

De (5.5) e (5.7) temos a = −eiπ_a e de aa − bb = 1 e (5.6) a = −cos π 6g−3 + 1 sin π 6g−3 ieiπ₂_. Por (5.5) temos b = r 2 cos π 6g−3 ³ cos π 6g−3 + 1 ´ sin π 6g−3 iei(6g−2)π12g−6 . Portanto,

Corol´ario 5.1.11 Seja Pg como na Proposi¸c˜ao 5.1.7. A isometria hiperb´olica γ1 que em-

parelha os pares {τ1, τ6g−2} ´e dada por

γ1(z) = − ³ cos π 6g−3 + 1 ´ ieiπ₂_{z +} r 2 cos π 6g−3 ³ cos π 6g−3 + 1 ´ iei(6g−2)π12g−6 − r 2 cos π 6g−3 ³ cos π 6g−3+ 1 ´ ie−i(6g−2)π12g−6 z + ³ cos π 6g−3+ 1 ´ ie−iπ 2 .

As outras isometrias podem ser obtidas por conjuga¸c˜ao como na Proposi¸c˜ao 5.1.8.

As constela¸cões de sinais são o objeto de interesse no projeto de sistemas de comunica¸cões digitais. Diferentemente do que ocorre no caso euclidiano, existem infinitas escolhas para novas constela¸cões de sinais no plano hiperbólico.

Do Cap´ıtulo 4, observamos que um resistor, variável com o tempo, é um sistema de 1 − porta e pode ser usado para gerar ou converter frequências de sinais senoidais. Esta propriedade é chamada ”modula¸cão”e é de grande importância em telecomunica¸cões. No nosso exemplo o modulador (resistor) atua modificando a frequência de um sinal padrão. Apresentamos, a seguir, um método de contagem para o número de pontos de uma constela¸cão obtida a partir de uma tessela¸cão {12g − 6, 3} com g ≥ 1.

Com o intuito de contar o número de pontos de certas constela¸cões de sinais, tanto euclidianas, quanto hiperbólicas alguns conceitos necessários são apresentados.

5.2 Cálculo do Número de Vértices de Constela¸cões

No documento Realizações de constelações de sinais hiperbolicas densas associadas a sistemas lineares atraves das funções automorfas (páginas 111-123)