Exercício Escolar 2

(1)

FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1 1

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CURSO DE BACHARELADO EMFÍSICA DAUFPE

Exercício Escolar 2

05 de novembro de 2015, 10h. Tempo de duração: 2h30m

Questão 1: Funções de Legendre

(a) (1,5 pontos) Demonstre a partir da função geratriz dos Polinômios de Legendre que

(i) P^ℓ(1) = 1 e P^ℓ(−1) = (−1)^ℓ

(ii) Pℓ^′(1) = d

dxP^ℓ(x)

x=1 = 1

2ℓ(ℓ+ 1)

(b) (2,0 pontos) Obtenha a expansão da função δ-Dirac δ(x) em série de Polinômios de Legendre, usando o intervalo[−1,1].

Questão 2: Polinômios de Hermite

(a) (1,5 pontos) Demonstre a relação de recorrência para os Polinômios de Hermite

Hn^′(x) = 2nHn−1(x)

(b) (1,5 pontos) Resolva a integral

Z ^∞

−∞

xe⁻^x²Hn(x)H^′m+1(x)dx

Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE

(2)

Questão 3: Funções de Laguerre

(a) (2,0 pontos) Obtenha a expressão geral dos Polinômios de LaguerreLn(x) a partir da sua Fórmula de Rodriguez.

(b) (1,5 pontos) Prove a seguinte identidade entre as Funções de Laguerre

L^αn⁺^β⁺¹(x+y) =

n

X

j=0

L^αj(x)L^βn−j(y)

Questão 4: (bônus)

(a) O que são as Funções Harmônicas Esféricas?

(b) Como podem ser construídas a partir dos Polinômios de Legendre ?

Informações que podem ser úteis (ou não):

Polinômios de Legendre

(1−2xt+t²)⁻¹^/² =

∞

X

n=0

Pℓ(x)t^ℓ (Geratriz)

P_ℓ(x) = 1 2^ℓℓ!

d^ℓ dx^ℓ

(x² −1)^ℓ

. (Rodriguez)

Z 1

−1

P^m(x)Pⁿ(x)dx= 2

2n+ 1δ_mn (ortogonalidade)

(ℓ+ 1)P^ℓ⁺¹(x) = (2ℓ+ 1)xP^ℓ(x)−ℓP^ℓ⁻¹(x) (Recorrência)

Polinômios de Hermite

GH = exp [2tx−t²] =

∞

X

n=0

Hⁿ(x)

n! tⁿ (Geratriz)

(3)

Hⁿ(x) = (−1)ⁿe^x² dⁿ

dxⁿe⁻^x² (Rodriguez)

Z ^∞

∞

e⁻^x²Hn(x)Hm(x)dx= 2ⁿn!√

πδ_nm (ortogonalidade)

2nHⁿ⁻¹(x) =H^′n(x) (Recorrência)

2xHⁿ(x) = 2nHⁿ⁻¹(x) +Hⁿ⁺¹(x) (Recorrência)

Polinômios de Laguerre Associados

GLag^m = 1

(1−t)^m⁺¹ exp

− x t (1−t)

=

∞

X

n=0

L^mn(x)tⁿ (Geratriz)

L^mn(x) = e^xx⁻^m n!

dⁿ

dxⁿ(e⁻^xxⁿ⁺^m) (Rodriguez)

Z ^∞

0

e⁻^xx^mL^mn(x)L^mn^′(x)dx= (n+m)!

n! δ_nn′ (ortogonalidade)

Fórmula de Leibnitz

dⁿ

dxⁿ[f(x)g(x)] =

n

X

j=1

n j

d^j

dx^jf(x) dⁿ⁻^j dxⁿ⁻^jg(x)

Função Gamma

Γ(t) = Z ^∞

0

x^t⁻¹e⁻^xdx. Γ(t+ 1) =tΓ(t), t∈R

Γ(n+ 1) =n! n inteiro, positivo