FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.2 1

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C ENTRO DE C IÊNCIAS E XATAS E DA N ATUREZA

D EPARTAMENTO DE F ÍSICA

C URSO DE B ACHARELADO EM F ÍSICA DA UFPE

Lista de Exercícios 3 +

Prazo para entrega: 29 de outubro (durante as aulas)

Problema 1: Solução da equação de Laplace.

Considere o problema de fluido com velocidade estacionária ~v = vˆ ǫ _z , no regime laminar não perturbado. Uma esfera rígida de raio a, é colocada com seu centro na origem, como esquematizado na figura.

Determine a velocidade do fluido perturbado pela presença da esfera em um ponto qualquer.

Use as seguintes considerações:

(a) A velocidade do fluido é dada pelo vetor gradiente ~v = − ∇ ~ Φ( r, θ, φ ) onde

∇ ² Φ = 0

(b) As seguintes condições de contorno devem ser atendidas :

∂Φ

∂r = 0 em r = a, e

lim Φ

r →∞ ∼ − v r P ¹ (cos θ ) = − v r cos θ

Esboce o gráfico das linhas de fluxo para um valor de φ arbitrário.

Problema 2: Expansão de funções na base dos Polinômios de Legendre

Encontre a expansão da função f(x), com x ∈ ( − 1, 1) em termos dos Polinômios de Legen- dre.

f ( x ) =



 



 

 1

2 0 < x < 1

− 1

2 − 1 < x < 0

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FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.2 2 Problema 3: Relações de Recorrência para Polinômios de Legendre

Considere a expressão

P ℓ ^′ (x) =

[(ℓ − 1)/2]

X

n=0

(2ℓ − 4n − 1) P ^{ℓ − 2n − 1} (x)

Demonstre as seguintes relações de Recorrência para os Polinômios de Legendre (i) P ℓ+1 ^′ ( x ) − P ℓ ^′ − 1 ( x ) = (2 ℓ + 1) P ^ℓ ( x ) .

(ii) x P ℓ ^′ ( x ) − P ℓ ^′ − 1 ( x ) = ℓ P ^ℓ ( x ) .

(iii) P ℓ ^′ (x) − x P ℓ ^′ − 1 (x) = ℓ P ^{ℓ − 1} (x).

(iv) (x ² − 1) P ℓ ^′ (x) = ℓ x P ^ℓ (x) − ℓ P ^{ℓ − 1} (x) .

Problema 4: Integrais envolvendo Polinômios de Legendre Calcule as seguintes integrais

(i) Z 1

− 1

x P ^ℓ (x) P ^{ℓ − 1} (x) = 2ℓ 4 ℓ ² − 1 .

(ii) Z 1

− 1

(1 − x ² ) P ℓ ^′ (x) P ℓ ^′

(x) = 2ℓ(ℓ + 1)

2 ℓ + 1 δℓℓ ^′ .

Sugestão: faça uso das relações de recorrência e de ortogonalização para os Polinômios de Legendre.

Problema 5: Propriedades dos Polinômios de Legendre Associados Use a Fórmula de Leibnitz, e

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FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.2 3 (a) Prove que

(1 − x ² ) ^m D ˆ ^ℓ+m (x ² − 1) ^ℓ = ( − 1) ^m ( ℓ + m )!

(ℓ − m)! D ˆ ^{ℓ − m} (x ² − 1)

onde D ≡ ˆ d dx .

(b) Use o resultado do item (a) e mostre que

P ℓ ^{− m} ( x ) = ( − 1) ^m ( ℓ − m )!

(ℓ + m)! P ℓ ^m ( x )

Problema 6: Propriedades das Funções Harmônicas Esféricas Use o resultado do item (b) do problema 5 e prove que

{Y ℓ ^m (θ, φ) } ^∗ = ( − 1) ^m Y ℓ ^{− m} (θ, φ)

Problema 7: Propriedades dos Polinômios de Hermite (a) Prove que, se m < n,

d ^m

dx ^m H ⁿ (x) = 2 ^m n !

(n − m)! H ^{n − m} (x)

Sugestão: considere a aplicação do operador diferencial D ^m = _dx ^d

na definição da função geratriz dos Polinômios de Hermite.

(b) Mostre que

P ⁿ ( x ) = 2

√ πn!

Z ^∞

0

t ⁿ e ^{− t}

H ⁿ ( x t ) dt

onde P ⁿ (x) e H ⁿ (x) são os Polinômios de Legendre e de Hermite de grau n em x, respectivamente.

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FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.2 4 Problema 8: Propriedades dos Polinômios de Laguerre

Diferencie a equação para função geratriz dos Polinômios de Laguerreem relação e t e depois em relação a x para obter as seguintes relações de recorrência, respectivamente,

(i) (n + 1) L ⁿ⁺¹ = (2n + 1 − x) L ⁿ (x) − n L ^{n − 1} (x)

( ii ) x L ^′ n ( x ) = n L ⁿ ( x ) − n L ^{n − 1} ( x ) (+) Exercícios sugeridos:

G. B. Arfken e H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists,

12.2.2 12.2.5 12.2.6 12.2.8 12.3.2 12.3.3 12.3.6 12.3.9 12.3.10 13.4.3 13.4.4 13.4.7 13.4.11

(+) 13.1.3 13.1.6 13.1.7 13.1.8 13.1.9 13.1.10 13.1.11 13.1.12 13.2.2 13.2.6 13.2.7

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