Estatísticabásica-2

Mestrado em Meio Ambiente e

Recursos Hídricos

Estatística Básica – 2009

2.

Análise descritiva de uma distribuição de frequências a duas variáveis qualitativas.

Análise descritiva de uma distribuição de frequências a duas variáveis qualitativas.

Estudo da associação em tabelas 2 x 2

Exemplo: exame de fezes feito por dois

métodos.

FAUST e MIFC

Exames de fezes classificados segundo o método coprológico usado e o resultado encontrado.

MIFC FAUST + - Total + 80 = f11 2 = f12 82 = f1. - 3 = f21 115 = f22 118 = f2. Total 83 = f.1 117 = f.2 200 = n

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Existência de independência ⇒ ausência de

concordância

n

f

f

f

_.1 . 1 11

₌

n

f

f

f

_.1 . 2 21

₌

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Quando as condições não são aceitas ⇒ as

duas variáveis estão associadas

Os dois métodos estão associados

positivamente . 2 21 . 1 11

f

f

f

f 〉

. 2 22 . 2 21

f

f

f

f 〈

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Tabela 2 x 2

Verificar se há independência

Caso não haja, conhecer a magnitude e o

sinal da asociação existente entre as variáveis A e B.

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Valores esperados se houvesse independência:

118 69,03 48,97 -82 47,97 34,03 + Total -+ FAUST MIFC

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Comparando-se as duas tabelas pelos

desvios entre os valores:

80 – 34,03 = 45,97

3 – 48,97 = - 45,97

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Estatística para medir a discrepância ⇒ Karl

Pearson ⇒ X2 _{(qui – quadrado)}

n f f n f f f n f f n f f f n f f n f f f n f f n f f f X 2 . . 2 2 2 . . 2 22 1 . . 2 2 1 . . 2 21 2 . . 1 2 2 . . 1 12 1 . . 1 2 1 . . 1 11 2       − +       − +       − +       − =

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Pode ser representada do seguinte modo:

Onde:

O = representa as frequências observadas

(

)

∑

      ₋ = E E O X 2 2

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

X2 = 0 ⇒ existência de independência

X2 > 0 ⇒ existência de associação

Para o exemplo da tabela:

X2 = 179,919

Qui- quadrado ⇒ não possui um limite

Variáveis A e B associadas

positivamente de forma perfeita

X2 = 100 B A B1 B2 Total A1 60 - 60 A2 - 40 40 Total 60 - 100

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

X2 = 1000 B A B1 B2 Total A1 600 - 600 A2 - 400 400 Total 600 - 1000

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Associação perfeita, positiva ou negativa:

Phi – quadrado 2 2

Φ

=

n

X

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

No exemplo das tabelas anteriores:

Φ resolve o problema do limite superior ⇒

varia entre zero e a unidade.

1 1000 1000 100 100 + = = = Φ

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Associação perfeita negativa: X2 = 100 e Φ =

+1 B A B1 B2 Total A1 - 60 60 A2 40 - 40 Total 40 60 100

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Φ ⇒ indicador da intensidade da associação,

variando entre zero e a unidade, de

independência para associação perfeita.

Não dá indicação sobre o sinal da

associação.
No exemplo do exame: 948 , 0 200 919 , 179 + = = Φ

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Coeficiente de associação de Yule

21 12 22 11 21 12 22 11

f

f

f

f

f

f

f

f

Q

+

−

=

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Para as tabelas que apresentam associação

perfeita positiva:

(

)

(

60 40

)

0 1 0 40 60 + = + × − × = Q

(

)

(

600 400

)

0 1 0 400 600 + = + × − × = Q

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Q atinge o valor máximo de +1 e independe

da ordem de magnitude dos dados.

Para a associação negativa, tem-se:

(

)

(

40

60

)

1

0

60

40

0

−

=

×

+

×

−

=

Q

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

No caso de independência, Q = 0

Para a tabela referente ao exame:

999

,

0

2

3

115

80

2

3

115

80

+

=

×

+

×

×

−

×

=

Q

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Resumo:
X2 = + 179,919
Φ = + 0,948
Q = + 0,999

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Magnitude de Q ⇒ quase perfeita

Método alternativo para cálculo de X2:

2 . 1 . . 2 . 1 2 21 12 22 11 2 ( ) f f f f n f f f f X + − = 919 , 179 117 83 118 82 200 ) 2 3 115 80 ( 2 2 = × × × × − × = X

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Restrições de uso de X2 em tabelas de

associação 2 x 2, segundo Cochran:

Caso n≥40, X2 pode ser utilizado, mas é

preferível usar o corrigido:

2

n 

Estudo da associação em

tabelas 2 x 2.

Se 20 ≤ n <40, X2 somente poderá ser

utilizado se todas as frequências da tabela esperada (no caso de independência) forem maiores ou iguais a 5. Em caso contrário

deverá ser utilizado o método exato de Fischer.

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Duas variáveis qualitativas apresentam uma r

e a outra s modalidades mutuamente exclusivas.

Tabela teórica de contingência,

para as variáveis A e B

B A B1 B2 ... Bj ... Bs Total A1 f11 f12 ... f1j ... f1s f1. A2 f21 f22 ... f2j ... f2s f2. . . . ... . ... . . . . . ... . ... . . Ai fi1 fi2 ... fij ... Fis fi. . . . ... . ... . . . . . ... . ... . . Ar fr1 fr2 ... frj ... frs fr. Total f.1 f.2 ... f.j ... f.r n

Estudo da associação em

tabelas de r x s

As variáveis A e B são independentes,

quando:

Para i = 1, 2, ...r e j = 1, 2, ... S

Caso contrário, A e B estão associadas.

n

f

f

Ilustração de associação

perfeita positiva entre A e B.

B A B1 ... Bj ... Br Total A1 f11 ... _- ... _- f1. . . . . . . ... . ... . . . . ... . ... . . Aj _- ... fij ... _- fi. . . ... . ... . . . . ... . ... . . Ar _- ... _- ... frs fr. Total f.1 ... f.j ... f.r n

Ilustração de associação

perfeita negativa entre A e B

B A B1 ... Bj ... Br Total A1 f11 ... _- ... f1r f1. . . . . . . ... . ... . . . . ... . ... . . Aj _- ... fij ... _- fi. . . ... . ... . . . . ... . ... . .

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Contingência quadrática: n f f n f f f X j i j i ij s j r i . . 2 . . 1 1 2       − =

∑

∑

= =

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Restrições de Cochran

Pelo menos 80% das frequências esperadas

precisam ser iguais ou maiores do que 5 e nenhuma menor do que a unidade.

Se a condição anterior não for satisfeita,

Estudo da associação em

tabelas de r x s

No caso de 1) não estar satisfeita e 2) não

puder ser realizada, dever-se-á recorrer ao método exato de Freeman e Halton.

Exemplo de aplicação:

Idade ao morrer Nível de instrução da mãe. Antes do 28º dia Do 28º dia até 1 ano de idade (exclusive) De 1 a 4 anos completos Total Ensino médio ou superior 193 89 17 299 Ensino básico 399 324 101 824 Nenhum 424 529 167 1120

Valores esperados

Idade ao morrer Nível de instrução da mãe. Antes do 28º dia Do 28º dia até 1 ano de idade (exclusive) De 1 a 4 anos completos Total Ensino médio ou superior 135,4 125,6 38,0 299 Ensino básico 373,2 346,1 104,7 824 Nenhum 507,3 470,4 142,3 1120 Total 1016 942 285 2243

O valor da contingência quadrática:

X2 = 75,421

Coeficiente de contingência de Pearson ⇒

grau de associação entre as variáveis A e B

2

Estudo da associação em

tabelas de r x s

C se anula caso haja independência

Não atinge o valor de 1, exceto ser houver

um número infinito de modalidades dos atributos A e B

No estudo ⇒ r = s = 2 ⇒ C (valor máximo) =

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Outros valores de r = s, no caso de

associação perfeita: Valor máximo r = s = 3 0,816 4 0,866 5 0,894 6 0,913 7 0,926

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Para a tabela exemplo, o valor de C:

180 , 0 421 , 75 2243 421 , 75 + = + + = C

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Confrontando-se com o valor máximo de C

para r = s = 3 (0,816) ⇒ fraco grau de

associação entre o nível educacional da mãe e a época do óbito infantil.

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Coeficiente de contingência de Tschuprov

Para o exemplo: T = +0,130

T se anula no caso de independência e

somente atinge a unidade se r = s.

(

1

)(

1

)

2 2 − − = s r n X T

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Coeficiente de Cramér:

Onde min(r-1, s-1) é igual ao menor valores

entre (r-1) e (s-1).

)

1

,

1

min(

2 2

−

−

×

=

s

r

n

X

V

Estudo da associação em

tabelas de r x s

Para r = s = 2
Para r = s, V = T
Para o exemplo, V = +0,130 Φ = = n X V 2

Medidas baseadas no conceito de

melhor predição da associação

Verificar se a tabela é ou não simétrica

Nível de mensuração das duas variáveis

qualitativas: nominais ou ordinais.

Assimétrica ⇒ quando a politomia

correspondente a uma das variáveis precede a outra no sentido de que uma variável é

Exemplo:

Aparecimento da rubéola em gestante

precede a condição que apresentará o recém-nascido.

Período de gestação ⇒ variável

independente

Variável dependente ⇒ condição do

exemplo

Condição do recém-nascido (B) Período de gestação

(A) Defeituoso (B1) Normal(B2) Total

Até o 3º mês (A1) 14 36 50

Depois do 3º mês (A2)

3 51 54

Reações de pacientes hospitalizados e acamados, de 14 a 44 anos, á intrusão visual no seu espaço pessoal durante o banho no leito, segundo o sexo. Reação(B) Gênero (A) Indiferente(B1) Não-indiferentel(B2) Total Feminino (A1) 17 40 57 Masculino (A2) 32 20 52 Total 49 60 109

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

Onde:

(f.j) = maior valor entre os totais marginais f.1, f.2, ..., f.s;

max (f1j) = maior valor dentre as frequências da

( )

( )

[

]

(

f j

)

n f f r i j ij b . max max max 1 . − − =

∑

= λ

Exemplo:

Meios anticoncepcionais usados (B) Religião (A) Lavagem

+ geléias B1 Pílula (B2) Ogino-KnaussB3 Esteriliza-çãoB4 Interrup-çãoB5 Preservati-voB6 OutrosB7 Total Católica(A1) 218 138 165 169 415 307 385 1797 Protestante(A2) 15 5 11 9 25 16 22 Protestante n(A3) 2 4 7 5 6 5 10 39 Espírita(A4) 6 1 3 7 6 11 15 49 Outra(A5) 8 9 7 8 16 18 14 80 Total 249 157 193 198 468 357 446 2068

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

Mulher selecionada ao acaso, a chance de

ela usar, por exemplo, o meio

anticoncepcional Ogino-Knauss é da ordem de 9,33% (193/2068)

Será que o conhecimento da religião de uma

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

n = 2068
max(f.j)= 468
max(f1j)= 415
max(f2.j)= 25
max(f3.j)= 10
max(f4.j)= 15
max(f5.j)= 18

( )

[

]

∑

=

=

5 1

483

max

i ij

f

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

Ou seja, o conhecimento prévio da religião

da mulher praticamente não melhora a

0094

,

0

468

2068

468

483

=

−

−

=

n

b

λ

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

Para o exemplo da reação em hospital:

n = 109
max(f.j) = 60
max(f1j) = 40
max(f2j) = 32

( )

[

]

∑

=

=

2 1

72

max

i ij

f

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

Para o exercício anterior:

Mostrando que o conhecimento do sexo do

245

,

0

60

109

60

72

=

−

−

=

b

λ

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

λb = indeterminado se todos os indivíduoas

estiverem classificados na mesma modalidade de B.

Caso contrário, λb varia de 0 a 1.

λb = zero quando o conhecimento de A não

melhorar em nada a predição de B.

λb = um quando o conhecimento de A

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

Para o exemplo de gestantes com rubéola:

No caso de haver independência.

Mas a recíproca não é verdadeira.

0

87

104

87

87

=

−

−

=

b

λ

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

assimétricas e atributos nominais

Ainda para o exemplo anterior, não há

independência, como demonstra o coeficiente de Yule:

737

,

0

36

3

51

14

36

3

51

14

=

×

+

×

×

−

×

=

Q

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

simétricas e atributos nominais

Quando nenhum dos atributos precede o

outro:

( )

[

]

[

( )

( )

( )

]

( )

_.

( )

_. 1 1 . . max max 2 max max max max i j r i s i i j ij ij f f n f f f f − − − − + =

∑

∑

= = λ

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

simétricas e atributos nominais

λ = 1 se e somente se todos os indivíduos

estiverem distribuídos de tal maneira que em cada linha e em cada coluna da tabela só

exista uma cela ocupada.

λ = 0 no caso de independência, mas a

recíproca não é verdadeira.

λ = indeterminado se todos os n indivíduos

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

simétricas e atributos nominais

Para o exemplo de comparação de métodos coprológicos:
n = 200
max(f1.) = 118
max(f.j) = 117

( )

[

]

∑

2

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

simétricas e atributos nominais

max(fi1) = 80
max(fi2) = 115

∑

[

( )

]

=

=

2 1

195

max

i ij

f

939

,

0

118

117

200

2

118

117

195

195

=

−

−

−

−

+

=

X

λ

Estatística λ

λ

λ

λ

para tabelas

simétricas e atributos nominais

O valor de 0,939 para λ mostra que o

conhecimento de um resultado do exame de fezes por um dos métodos permite melhorar em 93,9% a predição do resultado do mesmo exame pelo outro método e vice-versa.

Estatística ν

ν

ν

ν

_{para tabelas}

simétricas e atributos ordinais

Para tabela de contingência r x s em que

nenhum dos dois atributos A e B têm

precedência sobre o outro e onde ambos são de natureza ordinal.

ν ⇒ a magnitude da probabilidade de se

obter ordem semelhante do que diferente, nas duas politomias, quando dois indivíduos são escolhidos ao acaso.