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Sec¸c˜ao de ´Algebra e An´alise
6
a
Ficha de Exerc´ıcios
I. Primitiva¸c˜ao por Partes.
Determine primitivas para as seguintes fun¸c˜oes:
1) x sen x 2) x cos x 3) xex 4) x log x 5) (log x)2 6) x2 sen x 7) x2 cos x 8) x2 ex 9) x2 log(1 + x) 10) sen2 (x) 11) cos2 (x) 12) sen3 (x) 13) cos3 (x) sen2 (x) 14) x3 ex2 15) eaxsen(bx)
16) cos(log x) 17) arcsen x 18) arctan x
19) x arctan x 20) √x arctan(1/√x) 21) √x arctan(√x)
22) x 3 √ 1 + x2 23) x5 √ 1 + x3 24) (log x) 3 25) log(log x) x 26) √ x log x 27) x(log x)2 28) log x√ x 29) log(1 + x) √
1 + x 30) cos(x) log(1 + cos x)
31) sen(x) log(1 + sen x) 32) cosh(x) cos(x) 33) x2
senh x 34) x2
II. Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais.
Determine uma primitiva para cada uma das seguintes fun¸c˜oes, usando uma decomposi¸c˜ao apropriada em frac¸c˜oes parciais.
1) 1 (x + 1)(x − 2) 2) 1 x2 − 1 3) x4 1 − x 4) x x2 − 25 5) 1 x2 + x + 1 6) x x2 + x + 1 7) x + 4 x2 + 1 8) 2x (x2 − 1)(x + 1) 9) 6 + x (4 − x2 )(x + 2) 10) x 2 + 1 (x2 − 1)(x + 1) 11) 3x + 1 x3 − x 12) x + 1 x(x − 2)2 13) 3x − 1 (x2 − 1)(x + 1) 14) x + 10 (x2 − 4)(x + 2) 15) 1 + x2 x3 − 2x2 + x 16) x 2 + 3x − 2 (x + 1)2 (x − 3) 17) x2 − 4x + 6 (x + 2)(x − 1)2 18) 3x2 + 3x + 2 (x − 1)(x2 + 2x + 1) 19) 2x 2 + x + 1 (x + 3)(x − 1)2 20) 1 + x 1 − x4 21) 1 (x + 1)(x2+ 1) 22) x − 2 (1 + x2)(x + 3) 23) x + 2 (4 − x2)(1 + x2) 24) x2 + x − 1 (1 + x2)(x + 3) 25) x 2 − 3x + 4 (x − 2)(x2 − 2x + 2) 26) x2 − x (x − 2)(x2 − 2x + 2) 27) 2x2 + 4x + 3 (1 + x)(x2 + 2x + 2) 28) 2x 2 + 7x − 1 x3 + x2 − x − 1 29) 2x + 1 x3 − 3x2 + 3x − 1 30) 3x2 + 3x + 1 x3 + 2x2 + 2x + 1
III. Primitiva¸c˜ao por Substitui¸c˜ao (2).
Usando a substitui¸c˜ao indicada, determine uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸c˜oes.
1) 5 2(x + 1)(√x + 2), x = t 2 2) √ x − 1 x , x − 1 = t 2 3) 1 (2 − x)√1 − x, 1 − x = t 2 4) 1 (2 + x)√x + 3, x + 3 = t 2 5) 1 (x + 3)√x + 2, x + 2 = t 2 6) 1 1 +√x + 1, x + 1 = t 2 7) 1 x√1 + 2x, 1 + 2x = t 2 8) 1 3 √ x(1 +√3 x4 ), x = t 3 9) √ 1 x +√3 x, x = t 6 10) 1 x2 r x x + 2 , t 2 = x x + 2 11) 1 x2 r x − 1 x + 1, t 2 = x − 1 x + 1 12) 1 1 + ex , t = e x 13) √ 1 1 + ex , t 2 = 1 + ex 14) e 2x (e2x − 1)(1 + ex ), t = e x 15) e 4x e2x + 1, t = e 2x 16) 1 x(1 + log2 (x)), t = log x 17) log x x(log(x) − 1)2, t = log x 18) 1
x log x(1 − log x), t = log x
19) cos x 4 + sen2 (x), t = sen x 20) cos x p1 + sen2(x), t = sen x 21) sen x 4 + cos2 (x), t = cos x 22) sen x p1 + cos2(x), t = cos x 23) cos x 1 + sen x − cos2 (x), t = sen x 24) sen x 1 + cos x − sen2 (x), t = cos x 25) sen(2x)
(1 − sen x) cos2(x), t = sen x 26)
sen(2x)
27) 1
cos x, t = sen(x) 28)
1
sen x, t = cos(x)
29) 1
cos x(1 − sen x), t = sen(x) 30)
1
sen x(1 + cos x), t = cos(x)
31) 1 cosh x, t = senh(x) 32) 1 senh x, t = cosh(x) 33) 1 2 + tan x, t = tan x 34) 1 − tan x 1 + tan x, t = tan x 35) √1 + x2 , x = tan t 36) √1 + x2 , x = senh t 37) √x2 − 1 , x = cos t1 38) √x2 − 1 , x = cosh t 39) √1 − x2 , x = sen t 40) 1 x√1 − x2 , x = sen t 41) 1 x√1 − x2 , t 2 = 1 − x2 42) 1 x√1 + x2 , t 2 = 1 + x2 43) 1 x√1 + x2 , x = tan t 44) 1 x√1 + x2 , x = senh t 45) 1 x√x2 − 1, t 2 = x2 − 1 46) 1 x√x2 − 1, x = 1 cos t 47) 1 x√x2 − 1, x = cosh t 48) 1 px(1 − x), x = sen 2 (t)
IV. Exerc´ıcios Complementares.
Usando qualquer um dos m´etodos de primitiva¸c˜ao indicados anteri-ormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸c˜oes.
1) ex−1(1 + ex) 2) e x e2x + 2ex + 1 3) 1 √ x − 1 +√x + 1 4) √1 − x 1 − x2 5) 1 + x 1 + x2 6) 2x x2 − 4x + 3 7) √ 1 x(1 +√x) 8) 1 √ x(1 + x) 9) 1 √ 2x − x2 10) √x + 1 4 − x2 11) x3 √ 1 − x2 12) x √ x2 − 2x + 2 13) x 3 + 7x2 − 5x + 5 (x − 1)2 (x + 1)3 14) 1 (x2 + 1)2 15) x3 + x + 2 x4 + 2x2 + 1 16) log(cos x) tan x 17) sen
3 (x) cos2 (x) 18) tan x cos3 (x) 19) x tan2 (x) 20) 1 cos3(x) 21) 1 sen3(x) 22) arctan x x2 23) arctan x 1 + x2 24) x arctan(1 + x) 25) x2 arctan x 26) x arctan x (1 + x2 )3 27) arctan( √ x) 28) log(√1 + x2 ) 29) x log(√1 + x2 ) 30) log(a2 + x2 )
31) arcsen(1/x) 32) x arcsen(1/x) 33) arcsen(√x)
34) e√x 35) log(x +√x) 36) (arcsen x)2 37) log x (1 + x)2 38) e x log(1 + e2x ) 39) x + 1 x5 + 4x3 40) 1 (x2 + 1)3 41) 1 x4 + 1 42) √ tan x 43) 2x (x2 + x + 1)2 44) 3x (x2 + x + 1)3 45) 1 x6 + 1 46) ex−1(1 + ex ) 47) e x e2x + 2ex + 1 48) 1 √ x − 1 +√x + 1 49) 1 1 + sen x 50) 1 sen x + cos x 51) sen x sen x + cos x
V. Defini¸c˜ao de Integral e Crit´erios de Integrabilidade. 1) Sejam a, b, c, d ∈ R, com a < b < c < d, e f : [a, d] → R uma
fun¸c˜ao integr´avel em [a, d]. Prove que f ´e integr´avel em [b, c]. 2) Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel, c ∈ [a, b] e g : [a, b] → R
uma fun¸c˜ao tal que g(x) = f (x), para x 6= c. Mostre que g ´e integr´avel em [a, b] e Rb
ag =
Rb
a f .
3) Seja f : [a, b] → R, c ∈]a, b[ e suponha que f ´e integr´avel em [a, c] e em [c, d]. Mostre que f ´e integr´avel em [a, b].
5) Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua e n˜ao-negativa. Mostre que se Rb
a f = 0 ent˜ao f ´e identicamente nula.
6) Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua e n˜ao-negativa (i.e. f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b]). Mostre que se existe c ∈ [a, b] tal que f (c) > 0 ent˜ao Rb
a f > 0.
7) Considere a fun¸c˜ao h : [0, 1] → R definida por h(x) = ( 0 , se x ∈ Q x , se x ∈ R \ Q. Mostre que Z 1 0 h = Z 1 0 x dx = 1 2 .
O que pode dizer quanto `a integrabilidade de h em [0, 1] ? 8) Seja F : [a, b] → R uma fun¸c˜ao definida por
F (x) = Z x
a
f (t) dt ,
onde f ´e uma fun¸c˜ao limitada e integr´avel no intervalo [a, b]. Mos-tre que existe uma constante K > 0 tal que
|F (x) − F (y)| ≤ K|x − y| , ∀x, y ∈ [a, b] .
9) Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel tal que m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x ∈ [a, b]. Mostre que
Z b
a
f (x) dx = (b − a)µ , para algum µ ∈ R tal que m ≤ µ ≤ M.
10) Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Mostre que Z b
a f (x) dx = (b − a)f(ξ) ,
para algum ξ ∈ [a, b].
11) Mostre que se f : [a, b] → R ´e uma fun¸c˜ao integr´avel ent˜ao |f| : [a, b] → R tamb´em ´e integr´avel.
12) Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao limitada. Mostre que se f ´e integr´avel em [a, x] para todo o x ∈ [a, b[, ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b] e Z b a f = lim x→b− Z x a f .
