Unidade 01 (Aluno)Modelagem Matemática de Sistemas

Análise Dinâmica de

Sistemas Mecânicos e

Controle

Prof. Thiago da Silva Castro

thiago.castro@ifsudestemg.edu.br

Mestre em Engenharia Elétrica

Unidade 1 - Modelagem Matemática de Sistemas

1. Definições e Análises de Sistemas 1. Introdução

2. Definições

3. Formas de Descrição de Sistemas 4. Transformada de Laplace

5. Transformada de Laplace Inversa 6. Leitura e Exercícios complementares

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 1. Introdução

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 3. Função de Transferência

4. Matriz de Transferência

5. Leitura e Exercícios complementares

3. Modelagem Matemática de Circuitos de Sistemas Mecânicos

1. Introdução

2. Sistemas Mecânicos Translacionais 3. Sistemas Mecânicos Rotacionais 4. Analogia

4. Lista de Exercícios

 Sistemas:Conjunto de componentes interligados com objetivo de desempenhar uma

determinada função.

 Entrada:Sinal aplicado ao sistema e que é a “causa” de alguma observação à ser

feita.

 Saída:Sinal cujo comportamento é de interesse. É o "efeito" de algum sinal aplicado.

 Modelo Matemático:O Conjunto de equações que permite determinar o

comportamento da saída de um sistema, face à um sinal aplicado.

y1

Sistema Multivariável u1

u2

um yn

y2

... ...

3

1) Definições sobre Sistemas

 Em geral os Sistemas Dinâmicos, que são aqueles cujo comportamento muda com o

tempo, são descritos por equações diferenciais e podem ser elétricos, mecânicos, térmicos, econômicos, hidráulicos, biológicos, etc.

 É importante observar que um mesmo sistema pode ter mais de um modelo

matemático não só no que diz respeito ao binômio simplicidade x precisão mas também quanto aos objetivos da própria análise.



-

- Em problemas de controle ótimo é em geral vantajoso usar um sistema de equações

diferenciais de 1ª ordem, enquanto no estudo da resposta em frequência ou resposta transitória de sistemas monovariáveis, a função de transferência pode ser mais conveniente

4

 O uso dos computadores está permitindo que se use modelos matemáticos mais

complexos mesmo quando a precisão não é tão fundamental na análise.

 O desenvolvimento de um modelo matemático pode também ser obtido em etapas

quando o problema de análise refere-se a um “problema novo”. Nesse caso, em geral, constrói-se um primeiro modelo simplificado e que serve para aquisição de informações básicas do sistema. A partir do primeiro modelo e já de posse de algum conhecimento, constrói-se um segundo modelo já mais complexo e que será então utilizado em uma análise mais precisa.

5

1) Definições sobre Sistemas

a) Sistema Instantâneo (memória zero)

Aquele cuja saída no instante t1só depende da entrada no instante t1

b) Sistema Relaxado ou em Repouso

Um sistema é dito relaxado, ou em repouso, em um instante t0, se, e somente se, a saída

y[t0,oo) é única e exclusivamente determinada por u[t0,oo).

c) Operador H

Para um sistema relaxado pode-se escrever: Onde H é um operador (função) que especifica y em termos de u.

6

y(t) = H.u(t)

d) Sistema Causal (Não-Antecipativo, Fisíco ou Estacionário.)

É aquele na qual a saída no instante t1 não depende da entrada aplica depois de t1

Um sistema não causal é aquele capaz de prever a entrada aplicada no futuro, o que não é possível em sistemas físicos.

e) Sistema Variante no Tempo

Suas Características variam com o tempo. Ex. Foguete espacial

7

1) Definições sobre Sistemas

e) Sistema Invariante no Tempo (Fixo ou Estacionário)

É aquele cujas características não variam com o tempo

OBSERVAÇÃO: Operador de deslocamento Q_{: O conceito de invariância no tempo} pode ser caracterizado pelo operador de deslocamento:

 Um sistema relaxado é invariante no

tempo se, e somente se:

8

f) Sistema Linear

Um sistema relaxado é linear, se, e somente se atender aos dois princípios:

1º Adtividade

2º Homogeneidade

9

 Observação: se um sistema é linear,

ele satisfaz ao Princípio da Superposição

 Obervação: Expressão generalizada:

Um sistema é linear se, e somente se:

1) Definições sobre Sistemas

 Pode-se realizar dois tipos de descrições para um sistema: Interna e Externa.

 Descrição Interna: Considera-se nesse caso a constituição interna do sistema 1. Equações Dinâmicas

2. Equações Diferenciais

 Descrição Externa: Leva em consideração apenas as relações entre terminais de

entrada e saída. O sistema é uma caixa preta.

1. Matriz de Transferência

2. Resposta ao Impulso

10

 Sistemas representados por Equações Diferenciais podem ser difíceis de modelar. O

uso da transformada de Laplace pode auxiliar uma vez que sua inter-relação será algébrico (as operações no domínio de Laplace são algébricas) o que irá facilitar na representação das entradas e saídas do sistema.

 Como os sistemas físicos aqui trabalhados serão Causais, Relaxados e Invariantes

no tempo, é comum tomar a transformada de Laplace pela seguinte notação.

11 s = _+j

f(t) _F(s)

1) Definições sobre Sistemas

 Sistemas representados por Equações Diferenciais podem ser difíceis de modelar. O

uso da transformada de Laplace pode auxiliar uma vez que sua inter-relação será algébrico (as operações no domínio de Laplace são algébricas) o que irá facilitar na representação das entradas e saídas do sistema.

 Como os sistemas físicos aqui trabalhados serão Causais, Relaxados e Invariantes

no tempo, é comum tomar a transformada de Laplace pela seguinte notação.

12



Funções especiais:

 Impulso Unitário (Delta de Dirac)

 Transformada de Laplace

13

1) Definições sobre Sistemas



Funções especiais:

 Degrau Unitário:

 Transformada de Laplace

14



Tabelas de Transformadas

Laplace de

1) Definições sobre Sistemas 15



Pr

op

rie

da

de

s

.

16

1.

Obter a transformada de Laplace das seguintes expressões:

1) Definições sobre Sistemas 17

 A expressão geral para a transformada inversa de Laplace pode ser representada

abaixo:

 Tal expressão pode não apresentar solução analítica, ou a mesma pode ser difícil de

se encontrar. Uma outra forma mais fácil que se pode utilizar está em empregar a expansão em frações parciais. Convertendo essa função na soma de termos mais simples, para os quais a transformada de Laplace seja conhecida.

1) Definições sobre Sistemas 18

 O cálculo da expressão ao lado pode a princípio

nos parecer um tanto complexo utilizando a definição da transformada inversa.

 O uso de frações parciais pode vir a simplificar tal

 A expressão pode ser escrita como:

 Usando o processo de expansão em frações parciais, se é capaz de expandir uma

polinômio na soma de termos, e em seguida buscar na tabela a transformada de Laplace para cada termo.

 Os métodos de expansão em frações parciais podem ser divididos em três formas

diferentes, dependendo das raízes do denominador: 1. Raízes do denominador são REAIS e DISTINTAS 2. Raízes do denominador são REAIS e REPETIDAS 3. Raízes do denominador são IMAGINÁRIAS

1) Definições sobre Sistemas 19

 Raízes do denominador são REAIS e DISTINTAS

 Raízes do denominador são REAIS e IGUAIS

1) Definições sobre Sistemas 21

 Raízes do denominador são IMAGINÁRIAS

 Livro: Nise, Engenharia de Sistemas de Controle.

 Transformada de Laplace

 Leitura: Capítulo 2.2

 Estudar os exemplos de 2.6 a 2.13  Fazer os exercícios de 2.6 e 2.7

23

1) Definições sobre Sistemas

 Será apresentado agora a modelagem matemática para sistemas elétricos. Sistemas

elétricos são frequentemente utilizados em grande parte dos sistemas de controle devido a facilidade de manipulação e processamento dos sinais elétricos.

 Embora muitos controladores estejam implementando lógica digital, muitas funções

ainda são realizadas em circuitos analógicos, por serem mais rápidos que os digitais e em muitas vezes mais baratos (filtros analógicos, estimadores, amplificadores de potência para controladores eletromecânicos para citar alguns exemplos).

 Circuitos elétricos consistem de interconexões de fontes de tensão e corrente e

outros elementos eletrônicos, como resistores, transistores, amp-op, capacitores, etc.

 Essa modelagem pode ser linear ou não linear, dependendo do componente utilizado.

É comum a linearização (integral ou por partes) de componentes não lineares de modo a reduzir a complexidade dos modelos.

 Nesse estudo, focaremos apenas os circuitos lineares.

24

 A modelagem de circuitos elétricos se baseia nas leis de Kirchhoff:

1. Lei de Kirchhoff das correntes: a soma algébrica das correntes deixando um nó (junção) é

igual a soma algébrica das correntes que entram nesse nó. A soma algébrica das tensões tomadas

2. Lei de Kirchhoff das tensão: a soma algébrica das tensões tomadas em torno de um

caminho fechado em um circuito é zero

 Considerando um circuito RLC, aplicando as leis das tensões obtém-se as seguintes

equações

25

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos

Digite a equação aqui. Digite a equação aqui.

26

 Pode-se realizar a transformação do circuito diretamente para o domínio de Laplace

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 27

R[]

[]

sL[]

V(s) I(s)

R []

C [F]

L [H]

v(t) i(t)

= = 1 = .

Resistor Capacitor Indutor

 Exemplo 1: Determine a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor

Vc(s) com a tensão de entrada.

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 28

C [F]

L [H]

v(t) vc(t)

( ) = 1

+ + 1

 Exemplo 2: Malha

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 29

 Exemplo 3: Nó

 Exemplo 3: Thévenin

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 31

 Exemplo 4: Norton

 Para um sistema linear, invariante no tempo, relaxado e causal é sempre possível

escrever uma função que relacione a saída com a entrada. Logo:

 Tal função permite combinar algebricamente representações matemáticas de

subsistemas para a representação do sistema como um todo.

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 33

 Exemplo: Obtenha uma função no domínio s que relacione a saída do circuito abaixo

(corrente) com a entrada (tensão).

 Dada uma equação diferencial geral de ordem n, linear e invariante no tempo

Onde c(t) é a saída e r(t) a entrada.

 Aplicando Laplace

 Considerando condições iniciais nulas.

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 35

 Seja uma função de transferência, onde o grau do numerador seja maior que o grau

do denominador:

 Chamamos de zeros os termos de s que fazem com que, no limite, anule a função de

transferência.

 Exemplo: quais valores s anulam a função de transferência abaixo:

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 36

=



Chamamos de zeros os termos de s que fazem com que, no limite, a

função de transferência não convirja, seja instável, ou que tendam para

infinito.



Exemplo: quais valores s fazem com que a função de transferência

abaixo tenda para o infinito:



Logo:



Zeros: raízes do numerador

Polos: raízes do denominador

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 37

= _{+ 2}+ 1_{+ 3}



Tipos de função de transferência:



IMPRÓPRIA



Grau de N(s) > Grau de D(s)



PRÓPRIA



Grau de N(s) <= Grau de D(s)



ESTRITAMENTE PRÓPRIA



Grau de N(s) << Grau de D(s)



Mapa de polos e zeros é o nome dado ao gráfico traçado no domínio

Im

.



Exemplo: Traçar o mapa de polos e zeros da função abaixo.

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 38



Dado um sistema Multivariável:

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 39

Y s = ( ) ⋮ ( )

SLITRC

Multivariável

U s =

( )

⋮ ( )

G s = ⋮ ⋯⋱ ⋮( )

⋯ ( )

Vetor de entradas Vetor de saídas Matriz de Transferência



Exemplo: Obtenha a matriz de transferência no domínio s que

relacione as saídas do circuito abaixo (corrente e tensão no resistor)

com a entrada (tensão).

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 40

Y s = ( )_{( )} U s = ( )

Vetor de entradas Vetor de saídas Matriz de Transferência

G s = 1 +



Exemplo: Dada a matriz de transferência G(s), determine a saída y(t)

sabendo que

.

2. Modelagem Matemática de Circuitos Elétricos 41

= 4 cos − 90

3 + 4 cos − 90

=

2

+ 2 + 2 0 + 4 + 2

+ 2 + 2 1



Utilizando o Livro do Nise.



Estudar os exemplos de 2.1 a 2.13

Fazer os exercícios de 2.1 a 2.7



Matlab



Estudar o apêndice B do livro, executando os arquivos ch2p9 a ch2p12

Comentar cada um dos códigos e explicar seu funcionamento.



Salvar os códigos, junto do comentário, como PDF (utilize o comando

publicar,

publish,

do Matlab) compacte utilizando ZIP ou RAR, e submeta

os códigos no site.

 Será considerada agora a modelagem matemática de vários sistemas mecânicos, e

como eles podem fazer parte de um sistema de controle.

 A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton,

mas o seu equacionamento, no domínio da frequência apresentara expressões muito semelhantes ao modelo dos circuitos elétricos.

 Ao final do capítulo será apresentada uma analogia entre os dois sistemas, seus

componentes.

 Os sistemas mecânicos, assim como os sistemas elétricos apresentam componentes

passivos e componentes ativos. Dois deles armazenando energia, e um deles dissipando a energia.

 Sistemas mecânicos também possuem elementos ativos, e elementos não linear.

Uma mola por exemplo irá apresentar comportamento linear somente para forças e extensões aplicadas dentro dos padrões da mola. Forças maiores, poderão torce-la, e fazer com a mesma perca suas propriedades. A fadiga também é algo que deve ser considerado.

3.)Sistemas Mecânicos 43



A análise de sistemas mecânicos envolve praticamente dois tipos

distintos de movimentos: translacional e rotacional.



O equacionamento do sistema é realizado segundo leis de Newton, e

estarão associados a:



Translacionais: Força

Rotacionais: Torque

 Os sistemas mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três

componentes lineares passivos:

 Massa  Mola

 Amortecedor viscoso

 Mola e amortecedor são por natureza elementos não lineares. Uma mola quando

muito esticada pode perder suas propriedades

 A constante elástica real da mola é função:

 Deslocamento  Do tempo  Do desgaste

 De fatores externos (oxidação, fadiga)

 O mesmo pode-se dizer do amortecedor.

 Entretanto, os modelos lineares são válidos dentro dos padrões especificados pelo

fabricante. O engenheiro deve sempre levar em consideração esses fatores em seu projeto.

3) Sistemas Mecânicos 45

 Massa

 É uma propriedade do material que causa resistência a aceleração. Pode ser reconhecer

uma massa quando tentamos movimentá-la e necessitamos aplicar uma força para colocá-la em movimento (acelerá-la). Parte da força aplicada é devido ao atrito entre a superfície e a massa. Outra parte é devido a esta propriedade de resistir a aceleração.

Símbolo: M, Unidade de medida [kg] ou [N.s2_/m]

 Mola

 Uma mola é um componente que resiste a aplicação de força proporcionalmente com seu

alongamento. Também serve como acumulador de energia. O princípio que rege seu funcionamento é a lei de Hooke

Símbolo: K(constante elástica), Unidade [N/m]

 Amortecedor Viscoso

 Amortecedor é um componente mecânico que resiste a velocidade imposta. É um

componente que dissipa energia.

Símbolo: fvou D [N.s/m]

3) Sistemas Mecânicos 46

 Unidades

f(t) - [N]

x(t) – [m]

v(t) - [m/s2]

K – [N/s] fv – [N.s/m]

M – [kg] = [N.s2/m]

3) Sistemas Mecânicos 47

 As equações que descrevem o comportamento dinâmico de um sistema mecânimo

podem ser obtidas utilizando o princípio de D’Alembert.

 Definição - JUNÇÃO: é um conjunto de pontos que se movem com uma mesma

velocidade.

 É comum em sistemas mecânicos as massas rígidas serem considerados pontos de

junções, uma vez que todo o seu entorno move com a mesma velocidade.

 A conexão entre dois componentes pode ser considerada um ponto de junção quando

obedecer a definição. É necessária a análise de cada caso.

 Para obter as equações de um sistema mecânico deve-se fazer: 1. Identificar cada junção

2. Aplicar D’Alembert em cada junção

3) Sistemas Mecânicos 48

 Exemplo: Escreva as equações do sistema abaixo em função das velocidades

Solução:

1.Identificando as junções: O sistema possui três junções cada qual representada na figura acima.

1ª) _____________________ 2ª)______________________3ª)________________

2. Aplicar D’Alembert:

3) Sistemas Mecânicos 49

 Junção 1)

Forças resistentes: FD1, FM1, FD, FK

Forças externas: não possui. Logo: FD1+ FM1+ FD + FK= 0

 Junção 2)

Forças resistentes: Forças Externas:

3) Sistemas Mecânicos 50

 Junção 3)

 Equações em função da velocidade

Pode-se usar a transformada de Laplace nas equações acima para passar para o domínio da frequência.

3) Sistemas Mecânicos 51

 Equações em função do deslocamento

 Exemplo 2.17: Determine a função de transferência, ,para o sistema abaixo.

 Os sistemas mecânicos rotacionais são tratados da mesma maneira que os sistemas

mecânicos translacionais, substituindo a força pelo TORQUE e o deslocamento linear é substituído pelo DESLOCAMENTO ANGULAR.

 As constantes do sistema também são equivalentes. Dessa forma

 K – Constante de Mola.

 D – Coeficiente de Atrito Viscoso.  J – Momento de Inércia.

3) Sistemas Mecânicos 53

Mola de torção

Amortecedor Rotacional

 Unidades

T(t) - [N.m]

(t) – [rad]

(t) - [rad/s]

K – [N.m/rad]

D – [N.m.s/rad]

J – [kg.m2] = [N.m.s2/rad]

 Exemplo 2.19: Determine a função de transferência para o sistema rotacional labaixo. A barra é

suportada por mancais em ambas as extremidades e é submetida a uma torção. Um torque é aplicado à esquerda, e o deslocamento é medido a direita.

3) Sistemas Mecânicos 55

 Exercício 2.9: Determine a função de transferência, = , para o sistema rotacional

abaixo.

3) Sistemas Mecânicos _{MatLab: Encontrar a resposta ao impulso e ao degrau e plotar seu comportamento no tempo.} 56

= 1

 Nos sistemas mecânicos o número de equações de movimento necessárias é igual

ao número de moimentos linearmente independentes.

 A independência linear significa que o ponto de movimento em um sistema ainda

pode se mover mesmo que todos os demais pontos de movimento permaneçam imóveis.

 GRAU DE LIBERDADE: nome dado ao número de movimentos linearmente

independentes de um sistema mecânico.

 Movimentos translacionais.

 X  Y  Z

 Movimentos Rotacionais

 Euler ( )

 Aviação (Roll,Pitch,Yaw)

3) Sistemas Mecânicos 57



Série



Paralelo

3) Sistemas Mecânicos 59



Livro NISE:



Laplace



2, 5, 6, 7, 8, 9, 12



Circuitos Elétricos



16, 17, 18



Sistemas Mecânicos Translacionais



23, 24, 25, 26



Sistemas Mecânicos Rotacionais



31, 39, 40



Gerais



54, 62