Estudo teórico de modelos de viscosidade de mistura e fator de atrito de mistura aplicados a escoamentos óleo-água dispersos em tubulações horizontais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

JULIO CÉSAR SANTOS SALES DE OLIVEIRA

Estudo Teórico de Modelos de Viscosidade de

Mistura e Fator de Atrito de Mistura

Aplicados a Escoamentos Óleo-Água

Dispersos em Tubulações Horizontais

CAMPINAS

JULIO CÉSAR SANTOS SALES DE OLIVEIRA

Estudo Teórico de Modelos de Viscosidade de

Mistura e Fator de Atrito de Mistura

Aplicados a Escoamentos Óleo-Água

Dispersos em Tubulações Horizontais

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Souza de Castro

CAMPINAS 2019

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica, na Área de Térmicas e Fluídos.

ESTE TRABALHO CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO JULIO CÉSAR SANTOS SALES DE OLIVEIRA, E ORIENTADA PELO PROF. DR MARCELO SOUZA DE CASTRO.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

Estudo Teórico de Modelos de Viscosidade de

Mistura e Fator de Atrito de Mistura

Aplicados a Escoamentos Óleo-Água

Dispersos em Tubulações Horizontais

Autor: Julio César Santos Sales de Oliveira Orientador: Prof. Dr. Marcelo Souza de Castro

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Prof. Dr. Marcelo Souza de Castro DE/FEM/UNICAMP

Prof. Dr. Rogerio dos Santos Gonçalves DE/FEM/UNICAMP

Dr. Francisco Júlio do Nascimento EESC/USP

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria do Programa da Unidade.

Dedicatória

Dedico primeiramente a Deus, que mesmo em meus momentos mais sombrios e desoladores, me forneceu combustível suficiente para que eu pudesse mudar minha postura.

Aos meus pais, que investiram, mesmo sem recursos, em minha formação, na construção de meu caráter e da minha ética em um mundo desumano. Descansem em paz!

À minha esposa e filhos que se empenham em levantar minha cabeça para que continue olhar para frente, passando por obstáculos e que me inspiram a ser um pai e marido melhor, oferecendo o meu melhor para um mundo de esperança.

Agradecimentos

Ao meu orientador e professores que contribuíram de forma incessante na minha formação e de fato contribuíram para que a minha experiência e conhecimentos aflorassem.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

Resumo

O escoamento multifásico está intimamente ligado à realidade do dia a dia das pessoas. Pode-se observá-lo tanto em condições naturais como chuvas, correntes marítimas, ventanias ou mesmo exercendo funções em nossos corpos, como sistema circulatório e pulmonar, onde o plasma do sangue circula aminoácidos, proteínas, oxigênio entre outros para diferentes células e sistemas como o hormonal, digestivo e excretor. Em muitas oportunidades, nem sempre se nota a sua presença e como este está relacionado com a física, porém, seus princípios agem continuamente em nossas vidas. Por outro lado, conforme desenvolvem-se novos processos de produção, cada vez mais, o escoamento multifásico é parte essencial na indústria, atuando em diversos segmentos como, por exemplo, mineradoras, petrolíferas, farmacêuticas, automobilísticas entre muitas outras.

Com foco na indústria do petróleo, de acordo com as novas demandas e atento às condições de escoamento (líquido-líquido), ligados principalmente em aplicações offshore de campos maduros, estudos tornam-se cada vez mais necessários, com o propósito de compreender e mapear o comportamento do escoamento de diferentes óleos. Indo de encontro com esta realidade, o dimensionamento dos equipamentos está intrinsecamente ligado ao entendimento do escoamento multifásico desejado, permitindo maximizar a produtividade e reduzir os custos operacionais. Este estudo analisa dados experimentais da literatura (Castro, 2013, Rodriguez, 2009 e 2014 e Bulgarelli, 2018), com o objetivo de comparar o gradiente de pressão obtido em laboratório com os cálculos teóricos em função de duas abordagens teóricas, o fator de atrito da mistura e a viscosidade aparente. Para os cálculos de viscosidade aparente da mistura são considerados inúmeros autores e aplicados suas correlações matemáticas. Para o modelo de fator de atrito da mistura é considerado apenas o modelo de Rusche e Issa (2000), que relaciona o fator de atrito da mistura a partir do fator de atito monofásico da fase contínua. Em sequência é proposta uma equação de viscosidade aparente e uma de fator de atrito da mistura com o objetivo de prever o comportamento do gradiente de pressão para todas as faixas de teor de água. Por fim, as melhores equações para a previsão do gradiente de pressão são apresentadas neste trabalho.

Palavras Chave: Escoamento multifásico, fator de atrito bifásico, viscosidade aparente,

Abstract

Multiphase flow is closely linked to people's everyday reality. It can be observed in natural conditions such as rain, sea currents, windstorms or even performing functions in our bodies, such as the circulatory and pulmonary system, where the blood plasma circulates amino acids, proteins, oxygen among others to different cells and systems such as the hormonal, digestive and excretory. On many occasions, one does not always notice its presence and how it is related to physics, but its principles act continuously in our lives. On the other hand, as new production processes develop, increasingly, multiphase flow is an essential part of the industry, operating in various segments such as mining, oil, pharmaceutical, automotive and many others. With a focus on the petroleum industry, in accordance with the new demands and attentive to the flow conditions (liquid-liquid), mainly related to offshore applications of mature fields, studies are becoming increasingly necessary in order to understand and map. the flow behavior of different oils. Meeting this reality, equipment sizing is intrinsically linked to understanding the desired multiphase flow, allowing to maximize productivity and reduce operating costs. This study proposes to analyze experimental data from the literature (Castro, 2013, Rodriguez, 2009 and 2014 and Bulgarelli, 2018), in order to compare the pressure gradient obtained in the laboratory with the theoretical calculations as a function of two theoretical approaches, the factor of friction of the mixture and apparent viscosity. For calculations of apparent viscosity of the mixture, many authors will be considered and applied their mathematical correlations to understand its positive and negative aspects. For the mixture friction factor model, only the Rusche and Issa (2000) model that relates the mixture friction factor from the single phase will be considered. In sequence, we will propose both an apparent viscosity and a friction factor equation of the mixture in order to predict the pressure gradient behavior for all water content ranges. Finally, the best equations for predicting the pressure gradient will be suggested.

Key Word: Multiphase flow, mixture friction factor, apparent viscosity, pressure gradient

Lista de Ilustrações

Figura 2.1. Relação da tensão de cisalhamento e taxa de deformação

(Karwowski, 2012) 025

Figura 2.2. Adaptação, Representação esquemática da classificação dos fluidos

(Karwowski, 2012) 026

Figura 2.3. Viscosímetro Ostwald (sem escala) – Utilizado por Vand (1947) 027 Figura 2.4. Mapa de fluxo de Rodriguez e Oliemans (2006) 030 Figura 2.5. Padrão de escoamento líquido-líquido horizontal por Trallero (1995) 031 Figura 2.6. Padrão de escoamento líquido-líquido horizontal Elseth (2001) 032 Figura 2.7. Tradução, Processo de Transição de Fases (óleo e água)

– Arirachakaran et al. (1989) 033

Figura 2.8. Comportamento da viscosidade em função do teor de água 038

Figura 2.9. Transição entre fases (água-óleo) 039

Figura 2.10. Viscosidade relativa versus fração volumétrica (Richardson, 1933) 042 Figura 2.11. Viscosidade relativa versus fração volumétrica (Broughton e Squires,

1937) 044

Figura 3.1. Modelo de trabalho (Viscosidade x Fator de Atrito) 062

Figura 3.2. Visão Geral do Modelo de Viscosidade 063

Figura 3.3. Modelos de correlação da viscosidade 065

Figura 3.4. Visão Detalhada do Modelo de Viscosidade 069 Figura 3.5. Visão Detalhada do Modelo de Fator de Atrito da Mistura 070 Figura 4.1. Comportamento da Viscosidade – Experimento 3 (Castro, 2013) 077 Figura 4.2. Comportamento Fator de Atrito – Experimento 3(Castro, 2013) 079 Figura 4.3. Comportamento Gradiente de Pressão – Experimento 3 (Castro, 2013) 080 Figura 4.4. Resultado Geral Gradiente de Pressão – Experimento 3 (Castro, 2013) 081 Figura 4.5. Comportamento da Viscosidade – Experimento 6 (Rodriguez, 2009) 082 Figura 4.6. Comportamento Fator de Atrito – Experimento 6 (Rodriguez, 2009) 084 Figura 4.7. Comportamento Gradiente de Pressão – Experimento 6 (Rodriguez,

2009) 085

Figura 4.8. Resultado Geral Gradiente de Pressão – Experimento 6 (Rodriguez,

2009) 086

Figura 4.10. Comportamento Fator de Atrito – Experimento 3 (Rodriguez, 2014) 088 Figura 4.11. Comportamento Gradiente de Pressão – Experimento 3 (Rodriguez,

2014) 090

Figura 4.12. Resultado Geral Gradiente de Pressão – Experimento 3 (Rodriguez,

2014) 091

Figura 4.13. Comportamento da Viscosidade – Experimento 1 (Bulgarelli, 2018) 092 Figura 4.14. Modelo com problemas na previsão da viscosidade – Experimento 1

(Bulgarelli, 2018) 093

Figura 4.15. Comportamento Fator de Atrito – Experimento 1 (Bulgarelli, 2018) 094 Figura 4.16. Comportamento Gradiente de Pressão – Experimento 1 (Bulgarelli,

2018) 096

Figura 4.17. Resultado Geral Gradiente de Pressão – Experimento 1 (Bulgarelli,

2018) 097

Figura 4.18. Ponto de Transição em Função da Temperatura 099 Figura 4.19. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Einstein (1906) 100 Figura 4.20. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Taylor (1932) 101 Figura 4.21. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Richardson (1933) 101 Figura 4.22. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Levington e Leighton

(1935) 102

Figura 4.23. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Guth e Simha (1936) 103 Figura 4.24. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Broughton e Squires

(1937) 104

Figura 4.25. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Eiler (1941) 104 Figura 4.26. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Vand (1948) 105 Figura 4.27. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Mooney (1950) 106 Figura 4.28. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Brinkman (1951) 106 Figura 4.29. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Maron e Pierce (1952) 107 Figura 4.30. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Thomas (1964) 108 Figura 4.31. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Chong (1971) 109 Figura 4.32. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Furuse (1972) 110 Figura 4.33. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Barnea e Mizrahi (1973) 110 Figura 4.34. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Barnea e Mizrahi (1975) 111 Figura 4.35. Resultado Geral Modelo de Viscosidade Barnea e Mizrahi (1976)

Figura 4.36. Resultado Geral Modelo de Viscosidade Barnea e Mizrahi (1976)

- Polinomial 2 113

Figura 4.37. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Pal e Rhodes (1997) 113

Figura 4.38. Resultado Geral Modelo de Viscosidade de Guet et al. (2006) 114 Figura 4.39. Resultado Geral da Nova Equação de Correlação da Viscosidade

(2019) 117

Figura 4.40. Região do Ponto Crítico entre Fases 118

Figura 4.41. Comportamento Modelos Selecionados Fator de Atrito

– Experimento 6 (Bulgarelli, 2018) 119

Figura 4.42. Resumo Desempenho Fator de Atrito por Modelo de Viscosidade

Aparente 120

Figura 4.43. Resumo Desempenho Fator de Atrito da Mistura de Rusche e Issa

(2000) 121

Figura 4.44. Resumo Desempenho Nova Equação Fator de Atrito (2019) 123

Tabelas

Tabela 2.1. Valores constantes Barnea e Mizrahi (1976) “Polinomial 1 e 2” 052

Tabela 2.2. Valores constantes Rusche e Issa (2000) 056

Tabela 3.1. Visão Geral Banco de Dados Castro (2013) 058

Tabela 3.2. Visão Geral Banco de Dados Rodriguez (2009) 059

Tabela 3.3. Visão Geral Banco de Rodriguez (2014) 060

Tabela 3.4. Visão Geral Banco de Bulgarelli (2018) 061

Tabela 3.5. Modelo de Viscosidade Aparente Teórico 066

Tabela 3.6. Modelo de Viscosidade Aparente Semi-Teórico 067

Tabela 3.7. Modelo de Viscosidade Aparente Empírico 068

Tabela 4.1. Classificação Modelo de viscosidade aparente – Experimento 3

(Castro, 2013) 078

Tabela 4.2. Classificação Fator de Atrito – Experimento 3 (CASTRO, 2013) 079 Tabela 4.3. Classificação Gradiente de Pressão – Experimento 3 (Castro, 2013) 081 Tabela 4.4. Classificação Modelo de viscosidade aparente – Experimento 6

(Rodriguez, 2009) 083

Tabela 4.5. Classificação Fator de Atrito – Experimento 6 (Rodriguez, 2009) 084 Tabela 4.6. Classificação Gradiente de Pressão – Experimento 6 (Rodriguez, 2009) 085 Tabela 4.7. Classificação Modelo de viscosidade aparente – Experimento 3

(Rodriguez, 2014) 088

Tabela 4.8. Classificação Fator de Atrito – Experimento 3 (Rodriguez, 2014) 089 Tabela 4.9. Classificação Gradiente de Pressão – Experimento 3 (Rodriguez, 2014) 090 Tabela 4.10. Classificação Modelo de viscosidade aparente – Experimento 1

(Bulgarelli, 2018) 094

Tabela 4.11. Classificação Fator de Atrito – Experimento 1 (Bulgarelli, 2018) 095 Tabela 4.12. Classificação Gradiente de Pressão – Experimento 1 (Bulgarelli, 2018) 096

Tabela 4.13. Transição de Fases (Arirachakaran et al.) (1989) 098 Tabela 4.14. Classificação Geral Modelos de Viscosidade 115 Tabela 4.15. Constantes Propostas da Nova Equação de Viscosidade 116 Tabela 4.16. Lista dos Modelos Selecionados para Comparativo de Fator de Atrito 119 Tabela 4.17. Classificação Geral Cálculo Fator de Atrito 122 Tabela 4.18. Constantes Propostas da Nova Equação de Fator de Atrito da Mistura 123

Lista de Abreviaturas e Siglas

a, b, c, aE, q, k, k1, k2 … Constantes [-]

A Referente a área interna da tubulação [m²]

A, B Constantes de Barnea e Mizrahi [-]

C Fração volumétrica da injeção [-]

D Diâmetro interno da tubulação [m]

Do/w Dispersão de óleo em água [-]

Dw/o Dispersão de água em óleo [-]

∈_d,e Excedente de gotas grandes presentes na fração [-]

∈_d,c Fração onde ocorrem maior quebras nas gotas [-]

e Rugosidade [mm]

ƒ Fator de atrito [-]

g(θ) Razão do fator de atrito bifásico e monofásico da água [-] I Incerteza do experimento [mm] Q Vazão [m³/s] Re Número de Reynolds [-] U Velocidade superficial [m/s] Letras Gregas 𝛾 Taxa de deformação [1/s] δL Comprimento infinitesimal [m]

δPtotal Gradiente de pressão total no limite [Pa/m] δ_Aceleração Gradiente de pressão devido aceleração [Pa/m] δ_Fricção Gradiente de pressão devido ao atrito [Pa/m] δ_Gravidade Gradiente de pressão devido a gravidade [Pa/m]

θ Fração volumétrica da fase [-]

θ_max Fração volumétrica com maior aglomeração de partículas

[-]

(θ)nr = 100 Concentração equivalente a uma viscosidade relativa de 100%

μ Viscosidade [Pa.s]

ρ Massa específica [kg/m³]

τ_w Tensão de Cisalhamento na Parede do Tubo [N/m²]

∅ Indicador da fração relativa de gotas grandes presentes na mistura [-] Subscritos c Fase contínua [-] d Fase dispersa [-] e Aparente, efetiva [-] m Mistura [-] i Intrínseca [-] o Óleo [-] p Total [-]

sp Monofásico da fase contínua [-]

tp Bifásico [-]

x Referente a fase X [-]

w Água [-]

Sumário

2.3. Mapa de padrões líquido-líquido horizontais 029

2.4. Fundamentos do padrão de escoamento disperso água/óleo e óleo/água 032 2.5. Comportamento do padrão de escoamento disperso em tubulação horizontal 036 2.6. Correlações da viscosidade aparente do padrão de escoamento disperso 037 2.6.1. Modelo de viscosidade de Einstein (1906) 040

2.6.2. Modelo de Viscosidade de Taylor (1932) 040

2.6.3. Modelo de Viscosidade de Richardson (1933) 041 2.6.4. Modelo de viscosidade de Levinton e Leighton (1935) 042 2.6.5. Modelo de viscosidade de Guth e Simha (1936) 043 2.6.6. Modelo de viscosidade de Broughton e Squires (1937) 044

2.6.7. Modelo de viscosidade de Eiler (1941) 045

2.6.8. Modelo de viscosidade de Vand (1948) 046

2.6.9. Modelo de viscosidade de Mooney (1950) 047

2.6.10. Modelo de viscosidade de Brinkman (1951) 047 2.6.11. Modelo de viscosidade de Maron e Pierce (1952) 048

2.6.12. Modelo de viscosidade de Thomas (1964) 048

2.6.13. Modelo de viscosidade de Chong (1971) 049

2.6.14. Modelo de viscosidade de Furuse (1972) 050

2.6.15. Modelo de viscosidade de Barnea e Mizrahi (1973) 050 2.6.16. Modelo de viscosidade de Barnea e Mizrahi (1975) 051 2.6.17. Modelo de viscosidade de Barnea e Mizrahi (1976) –Polinomial 052 2.6.18. Modelo de viscosidade de Pal e Rhodes (1997) 052 2.6.19. Modelo de viscosidade de Guet et al. (2006) 053 2.7. Fator de atrito da mistura do padrão de escoamento disperso 054

2.7.1. Modelo de Rusche e Issa (2000) 055

2.8. Conclusões sobre a revisão da literatura 056

3. MATERIAIS E MÉTODOS 058

3.1. Modelagem de Viscosidade Aparente 062

3.2. Modelagem Fator de atrito da mistura 069

3.3. Cálculo de erros 070

3.4. Análise de Incertezas Experimentais 071

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 076

4.1. Banco de dados – Castro (2013) (Experimento 3) 076 4.2. Banco de dados – Rodriguez (2009) (Experimento 6) 082 4.3. Banco de dados – Rodriguez (2014) (Experimento 3) 087 4.4. Banco de dados – Bulgarelli (2018) (Experimento 1) 091

4.5. Informações Gerais 097

4.6. Resultado por modelo de viscosidade 099

4.6.1. Modelo de Einstein (1906) 099

4.6.2. Modelo de Taylor (1932) 100

4.6.3. Modelo de Richardson (1933) 101

4.6.4. Modelo de Levington e Leighton (1935) 102

4.6.5. Modelo de Guth e Simha (1936) 102

4.6.6. Modelo de Broughton e Squires (1937) 103

4.6.7. Modelo de Eiler (1941) 104

4.6.8. Modelo de Vand (1948) 105

4.6.9. Modelo de Mooney (1950) 105

4.6.10. Modelo de Brinkman (1951) 106

4.6.11. Modelo de Maron e Pierce (1952) 107

4.6.12. Modelo de Thomas (1964) 107

4.6.13. Modelo de Chong (1971) 108

4.6.14. Modelo de Furuse (1972) 109

4.6.15. Modelo de Barnea e Mizrahi (1973) 110

4.6.16. Modelo de Barnea e Mizrahi (1975) 111

4.6.17. Modelo de Barnea e Mizrahi (1976) – Polinomial 1 111 4.6.18. Modelo de Barnea e Mizrahi (1976) – Polinomial 2 112

4.6.19. Modelo de Pal e Rhodes (1997) 113

4.7. Classificação Geral 114 4.8. Propondo uma Nova Equação de Viscosidade Aparente 115

4.8.1. Modelo Híbrido Proposto (2019) 117

4.9. Análise Comparativa do Fator de Atrito 118

4.9.1. Resultado do Fator de Atrito dos Modelos Selecionados de Viscosidade

Aparente 120

4.9.2. Resultado do Modelo de Rusche e Issa (2000) 121

4.10. Classificação Geral 122

4.11. Propondo uma Nova Equação de Fator de Atrito da Mistura 122 4.11.1. Resultado do Modelo de Fator de Atrito da Mistura (2019) 123

4.12. Comparativo do Gradiente de Pressão 124

5. CONCLUSÕES 126

5.1. Considerações Finais 128

5.2. Propostas para Futuros Trabalhos 129

1 INTRODUÇÃO

A partir da Era Industrial o interesse por escoamentos multifásicos se tornou cada vez mais importante e expressivo para o desenvolvimento de novos equipamentos e tecnologias. Estudos começaram a ser direcionados de acordo com as diferentes demandas das indústrias. Porém, nas últimas décadas, a indústria petrolífera tornou-se uma das principais patrocinadoras destas pesquisas.

Geralmente durante a exploração de petróleo, no escoamento nas tubulações ocorre uma mistura imiscível (óleo, água, areia e gás) assumindo diferentes padrões de escoamento, proporcionando novos estudos dedicados para compreender seus comportamentos. Com a demanda crescente de petróleo associado a distâncias cada vez maiores nas operações offshore, entre o reservatório (localização do petróleo) e a plataforma onde o mesmo é armazenado ou processado, demanda a necessidade de garantir o fluxo da mistura multifásica de forma economicamente viável.

Historicamente, a indústria de petróleo sempre conviveu com problemas associados ao escoamento da sua produção. Para maximizar os resultados, a indústria adota uma série de procedimentos e estratégias denominados de “Garantia de Escoamento” ou “Flow Assurance” no termo em inglês, que visam garantir o escoamento com segurança. Os riscos associados a baixas temperaturas e altas pressões em atividades de exploração em águas profundas demandam investimentos cada vez maiores.

Preocupados com os altos investimentos, um dos grandes desafios na produção petrolífera é minimizar a quantidade de energia necessária para realizar a exploração e para isso torna-se fundamental conhecer o comportamento do escoamento multifásico. Conforme o nível de conhecimento é elevado, o dimensionamento dos equipamentos utilizados, como tubulações, bombas, válvulas e outros tornam-se mais assertivos.

Uma das frentes de estudo está associada ao escoamento bifásico líquido-líquido horizontal, com um foco maior, em alguns casos, nos escoamentos dispersos óleo-água, a depender do banco de dados utilizado.

Atualmente existem muitos artigos, teses e estudos voltados em compreender o comportamento dos escoamentos multifásicos, porém a grande maioria é direcionada ao escoamento gás-líquido. Uma das soluções utilizadas foi aplicar os conhecimentos adquiridos no escoamento gás-líquido aos escoamentos líquido-líquido, porém esta solução foi

equivocada para a estimativa de características de tais escoamentos, como o gradiente de pressão e a fração volumétrica (holdup).

Dispersões do tipo água em óleo (Dw/o), não são desejadas pela indústria petrolífera por apresentar uma elevada viscosidade e, consequentemente, um elevado gradiente de pressão, necessitando de equipamentos robustos e, possivelmente, inviabilizando a operação. Já dispersões do tipo óleo em água (Do/w) apresentam uma viscosidade da mistura próxima à viscosidade da água, proporcionando um melhor custo operacional.

Atualmente muitas técnicas são aplicadas para facilitar o escoamento desta mistura, desde adição de elementos químicos, aquecimento do óleo e a injeção de água junto a tubulação, porém cada uma com suas vantagens, limitações e custos operacionais.

Para o cálculo de gradiente de pressão de dispersão de óleo em água (Do/w) e de água em óleo (Dw/o), muitos autores consideram o modelo homogêneo adequado, entretanto o cálculo da viscosidade de mistura ainda é um ponto em aberto.

Por outro lado, existem ainda os modelos do tipo drift-flux que tratam o escoamento, independente ou dependente do padrão de escoamento como uma mistura, mas levando em consideração o deslizamento entre as fases. Em ambos os casos, o modelo homogêneo e os modelos drift-flux, um dos pontos em aberto ainda em escoamentos gás-líquido e mais ainda em casos líquido-líquido, é o modelo de viscosidade de mistura a ser utilizado para o cálculo do gradiente de pressão por fricção.

Nesse ponto, existem algumas linhas de pesquisa para a previsão do gradiente de pressão, porém serão abordados dois destes modelos, que são o modelo de viscosidade aparente (mistura) e o modelo do fator de atrito da mistura.

Nos experimentos água-óleo encontrados na literatura, observou-se que conforme ocorre o aumento da fração volumétrica de água no escoamento, o gradiente de pressão do sistema também aumenta até o limite denominado inversão de fase. A inversão de fases é o ponto de referência que separa o escoamento disperso de água em óleo (Dw/o) e óleo em água (Do/w) e é o ponto com o maior gradiente de pressão ou a maior “viscosidade” do sistema, podendo assumir valores muito maiores do que os escoamentos monofásicos de cada fase envolvida. A partir deste ponto, cada acréscimo de fração de água, permite uma queda abrupta da viscosidade do sistema e consequentemente do gradiente de pressão.

Para altas frações volumétricas de água, as dispersões são do tipo óleo em água (Do/w) com baixa viscosidade, em geral, próxima da observada para a água. Neste caso, a água é a fase contínua, servindo como lubrificante e reduzindo o atrito junto a tubulação.

Compreendido o comportamento da viscosidade em função da fração de água, para aumentar a produtividade no escoamento, vários estudos visam compreender este ponto de inversão de fases, tentando identificá-lo de forma precisa e o utilizando como referência para uma faixa onde o gradiente de pressão é menor, levando em consideração a demanda real da produção.

Com o comportamento destes experimentos mapeados, notou-se que a chave para o cálculo do gradiente de pressão, não estava mais relacionada à viscosidade de cada fase e sim, a viscosidade dinâmica do sistema ou aparente. A viscosidade aparente não é mais uma propriedade das fases e sim do escoamento.

Observa-se que a viscosidade aparente varia significativamente das viscosidades individuais de cada fase, e neste caso, o fluido pode apresentar comportamentos Newtonianos e não-Newtonianos. Geralmente, para baixas frações da fase dispersa, elas se comportam como fluidos Newtonianos, enquanto para altas frações da fase dispersa, elas se comportam como não-Newtonianos.

Quando a tensão superficial destas gotas não é suficiente para rompê-las, o fluido tende a ter um comportamento mais próximo ao Newtoniano para baixas frações da fase dispersa. Porém, o fato deste escoamento mudar de laminar para turbulento, fará com que estas gotas “procurem” uma forma mais estável (coalescência ou rompimento), apresentando um comportamento considerado não-Newtoniano.

Para que os modelos homogêneo ou drift-flux possam efetivamente calcular com maior precisão o gradiente de pressão, correlacionar a viscosidade aparente a partir das viscosidades individuais de cada fluido é essencial.

Muitos autores buscaram correlacionar estas viscosidades, apresentando equações matemáticas para comportamento de escoamento disperso desde 1906 com Albert Einstein. Atualmente existem inúmeras correlações apresentadas por diversos autores, que elaboraram seus modelos que podem ser teóricos, semi-teóricos e empíricos, algumas destas equações serão apresentadas neste estudo.

Conhecida a viscosidade aparente, o próximo passo é calcular o número de Reynolds e identificar o fator de atrito por correlações como as de Fanning/Blasius para tubulações lisas ou outras que incluam a rugosidade da tubulação.

O modelo de fator de atrito da mistura apresenta um grande potencial justamente por partir de um escoamento bifásico, porém não é tão difundido como o modelo da viscosidade aparente. A proposta deste modelo é relacionar o escoamento bifásico ao monofásico da fase

contínua. A partir de cálculos teóricos baseados no modelo homogêneo, encontramos o fator de atrito monofásico da água e do óleo, para as mesmas condições de velocidade.

Nesta linha, as duas formas de cálculo para o gradiente de pressão serão analisadas e comparadas com os dados experimentais da literatura.

1.1. Objetivo

O objetivo principal desta dissertação é o estudo teórico de modelos de viscosidade aparente e de fator de atrito de mistura para modelagem do gradiente de pressão em escoamentos óleo-água. Foram utilizados neste estudo dados experimentais coletados da literatura:

Como objetivos específicos podem-se elencar:

• Foi feito uma revisão da literatura sobre o tema de escoamentos bifásicos líquido-líquido, incluindo aqui padrões de escoamentos e demais características; • Foi feito um levantamento de modelos de viscosidade aparente elencando suas

especificidades e condições em que foram propostos;

• Foi feito um levantamento da literatura sobre o modelo de fator de atrito de mistura bem como sua aplicabilidade;

• Foram propostas novas equações de viscosidade aparente e de fator de atrito da mistura;

• Comparou-se os resultados de Castro (2013), Bulgarelli (2018) e Rodriguez (2009 e 2014) com os modelos de viscosidade aparente e de fator de atrito de mistura.

Este trabalho não tem por objetivo o estudo da reologia, propriamente dita, de misturas óleo-água, mas sim o estudo de modelos de viscosidade aparente que possam ser diretamente aplicados em engenharia em busca de melhores resultados para previsão de gradiente de pressão em escoamentos líquido-líquido.

1.2. Organização do Trabalho

O trabalho foi organizado nos seguintes capítulos:

Capítulo 2 (Revisão bibliográfica): Revisão da literatura relacionada aos fundamentos e comportamentos do padrão de escoamento disperso óleo-água e água-óleo em tubulação

horizontal, modelos de viscosidade aparente e de fator de atrito da mistura e apresentação de tabelas com as principais equações;

Capítulo 3 (Materiais e Métodos): Explicar a metodologia adotada neste estudo para aplicação nos bancos de dados de Castro (2013), Rodriguez (2009 e 2014) e Bulgarelli (2018).

Capítulo 4 (Resultados): Apresentação de gráficos e tabelas das equações de correlação da viscosidade aparente e do fator de atrito da mistura, avaliando os melhores modelos para a previsão do gradiente de pressão. Influências do ponto de inversão de fases e a presença de DRP (Fenômeno de Redução de Atrito).

Capítulo 5: Conclusão e sugestões de trabalhos futuros; Capítulo 6: Apresenta as referências bibliográficas;

2 REVISÃO DA LITERATURA

Neste capítulo é apresentada a revisão da literatura sobre os temas vistos como importantes para o desenvolvimento do trabalho. No início é discutida brevemente a viscosidade de fluidos. Na sequência, uma síntese da literatura para escoamento líquido-líquido para o padrão disperso é apresentada com discussões sobre temas como viscosidade, gotas e inversão de fase. Por fim, modelos de viscosidade de mistura (aparente) são discutidos em detalhes. Como fechamento, temos a discussão de modelo de fator de atrito da mistura.

2.1. O que é viscosidade

A reologia é a ciência que estuda a deformação e o escoamento de materiais, ou seja, o modo como os materiais reagem a aplicação de uma tensão. Em materiais sólidos, a propriedade de interesse é a elasticidade ao passo que em líquidos, a viscosidade é a propriedade de maior interesse (Karwowski, 2012).

A viscosidade é uma das propriedades físicas que caracteriza reologicamente uma solução e representa o nível de resistência deste fluido em relação ao escoamento, ou seja, viscosidades maiores representam uma velocidade menor de escoamento, conforme pode ser detectado em um viscosímetro. Ao observar microscopicamente, fluidos compostos por moléculas maiores, com longas cadeias moleculares ou muito complexas proporcionam viscosidades mais elevadas.

Compreende-se então, que a viscosidade, pode ser interpretada e calculada relacionando a taxa de deformação de uma solução devido a uma tensão aplicada a este fluido e pode ser representada pela equação 2.1 apresentada por Isaac Newton (1687).

𝜇 =𝜏

𝛾 2.1

onde 𝜇 é a viscosidade do fluido, 𝜏 é a tensão cisalhante e 𝛾 é a taxa de deformação.

Desta forma, os fluidos são classificados de acordo com seu comportamento reológico. Quando a taxa de deformação desta solução é proporcional a tensão de cisalhamento, o fluido é definido como newtoniano. Sendo a viscosidade influenciada apenas pela temperatura e pressão. Agora, quando esta proporcionalidade não ocorre, entende-se que a solução não é

newtoniana. Na figura 2.1 podemos observar o comportamento de fluidos newtonianos e não-newtonianos em sua relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação.

Figura 2.1. – Relação da tensão de cisalhamento e taxa de deformação (Karwowski, 2012)

Os fluidos newtonianos geralmente são substâncias puras e não possuem subdivisões conforme pode-se observar na figura 2.2.

Os fluidos não newtonianos ao contrário, são classificados em viscoelástico, dependentes e independentes do tempo. Os fluidos não-newtonianos independentes do tempo podem ser subdivididos em fluidos com ou sem a necessidade de se aplicar uma tensão de cisalhamento inicial para escoar, porém suas propriedades são mais estáveis.

Já os fluidos dependentes do tempo, suas propriedades variam conforme o tempo de aplicação da tensão de cisalhamento, como por exemplo, tendo a sua viscosidade aumentada ou diminuída.

E por fim, os fluidos viscoelásticos apresentam características viscosas e elásticas juntas.

Figura 2.2. – Adaptação, Representação esquemática da classificação dos fluidos (Karwowski, 2012)

A estimativa da viscosidade de misturas é uma tarefa muito mais desafiadora se comparadas aos fluidos puros.

Há muitos anos, muitos pesquisadores tratam deste assunto com o objetivo de conhecer a viscosidade de misturas de fluidos com aplicação na indústria. Para a determinação destas viscosidades é utilizado o viscosímetro, como, por exemplo, o apresentado na figura 2.3 utilizado por Vand (1947).

Neste experimento foram utilizadas esferas de vidro (raio da esfera entre 0,005 e 0,008 cm) em uma solução saturada de iodeto de zinco em uma mistura de água e glicerol.

Figura 2.3. – Viscosímetro Ostwald (sem escala) – Utilizado por Vand (1947)

O viscosímetro é mantido em um banho com temperatura controlada de 20°C (±0,1°C). O tubo (A) é anexado ao vaso (M) e ligado a um tubo de secagem (D) com cloreto de cálcio. Durante o experimento o tubo (D) é removido e substituído por um funil e adiciona-se a solução de iodeto de zinco no vaso (M) onde é medida a viscosidade do fluido puro. Após estas medições, as esferas são inseridas para novas medições.

Havendo excesso de solução, o nível pode ser alterado com precisão até a marca (G) por meio de pipetagem, presente no aparelho. Esta consiste em um capilar fino (K), com o excesso sendo eliminado no vaso (L) quando o grampo (P) é liberado. Neste mesmo capilar existe uma pequena peneira (S) evitando que as esferas não passem, permanecendo controlado a quantidade de esferas.

O tubo mais longo (H) do viscosímetro é conectado ao suprimento de ar comprimido por meio de outro tubo de secagem (E) preenchido também com cloreto de cálcio. Entre o tubo (H) e o vaso (E) está a abertura (F), através da qual a corrente de ar que passa lentamente através do vaso de secagem (E) escoa livre para a atmosfera. Se a abertura (F) for fechada, o ar não escapa e a pressão resultante conduzirá o líquido do bulbo inferior para o superior do viscosímetro até que o líquido alcance níveis acima da marca (B).

Liberando a abertura (F) a pressão é aliviada imediatamente e o fluido flui através do capilar por gravidade, saindo do bulbo superior do viscosímetro, passando pelas marcas (B) e (C) quando o cronômetro de medição do tempo é liberado, até que ele pare novamente no

começo do capilar (K), nivelado com a posição G. A medida de tempo é proporcional à viscosidade do fluido estudado.

2.2. Escoamento líquido-líquido

Os fluidos (água e óleo) escoam de acordo com suas vazões Qw e Qo respectivamente.

Por tratar-se de escoamento bifásico, para o trabalho necessita-se identificar qual a fração volumétrica de cada fase, ou “holdup” que é a média no tempo e em uma seção transversal da tubulação da área ocupada por cada fluido. Sendo assim, sabemos que uma seção transversal da tubulação é ocupada por água e óleo, sem espaços vazios.

θ_w+ θ_o= 1 2.2

Como está se lidando com comprimentos infinitesimais, calcula-se o “holdup” com base na equação 2.3:

θ_x= Ax∗∆L

AP∗∆L 2.3

onde “x” representa uma das fases. Ao tratar do escoamento óleo-água, entende-se que cada fluido ocupa diferentes áreas em uma seção transversal aleatória desta tubulação, sendo que a área total, Ap, é:

A_P = A_w+ A_o 2.4

Como a medida do holdup é complicada e, por vezes, impossível de ser feita, uma indicação de tal valor é a fração volumétrica sem escorregamento, ou do modelo homogêneo, C, que pode ser expressa em função da vazão do sistema ou de suas velocidades superficiais como descrito nas equações 2.4 e 2.5:

C_w = Qw Qw+Qo Co = Qo Qw+Qo 2.5 C_w = ∪w ∪w+∪o Co = ∪o ∪w+∪o 2.6

U_w = Qw

Ap Uo=

Qo

Ap 2.7

Assim, para calcularmos a velocidade superficial da mistura, utilizamos a equação 2.8:

U_m = U_w+ U_o 2.8

No modelo homogêneo, uma das premissas está relacionada ao não deslizamento entre fases, denominado de (s). O deslizamento entre fases (s), como descrito em Rodriguez (2009) é a razão da fração volumétrica interna a tubulação (ϴw/ϴo) e da injeção (Cw/Co).

s =θw_Cw⁄θo Co

⁄ 2.9

No modelo homogêneo, s=1, significa que a velocidade de injeção da mistura bifásica no sistema deverá ser a mesma do escoamento na tubulação. Quando o deslizamento entre fases for diferente de 1 significa que uma das fases está escoando mais rapidamente do que a outra. Para s>1 o óleo escoa mais rapidamente enquanto s<1, a água está mais rápida.

2.3. Mapa de padrões líquido-líquido horizontais

Durante o escoamento de dois líquidos, diferentes comportamentos das fases podem ser observados. O padrão de escoamento pode ser influenciado por características geométricas, material da tubulação, propriedades físico-químicas dos fluidos envolvidos tais como densidades e a viscosidade e pelas condições de operação, tais como pressão e temperatura de trabalho.

Quando tratamos de dimensionamento destes dutos, torna-se fundamental conhecer o padrão de escoamento predominante. Para compreender estes padrões torna-se necessário “medir” dentro da tubulação, através de experimentos, com o uso de técnicas que partem desde a utilização de dutos transparentes ou mesmo a utilização de fotografias, vídeos e sondas de condutividade elétrica e etc.

Ao desenhar o mapa, consideram-se as velocidades superficiais de cada fase e identifica-se qual é o padrão de escoamento e desta forma pode-se identificar as diferentes regiões do mapa. As regiões de transição nem sempre são óbvias, devido à dificuldade em

observar o tipo de escoamento predominante, por esta razão, estas linhas são previstas através de modelos para este fim.

Na figura 2.4 exemplifica-se a construção de um mapa de escoamento horizontal água-óleo (Rodriguez e Oliemans, 2006).

Figura 2.4. – Mapa de fluxo de Rodriguez e Oliemans (2006)

Um dos primeiros trabalhos para escoamento em tubulação horizontal foi feito por Russell et al. (1959), onde o autor trabalhou com a mistura água-óleo, sendo o óleo(viscosidade 0,018N.s/m² e massa específica de 832 kg/m³) e identificou três padrões distintos de escoamento; misturado, estratificado e gotas.

Charles et al. (1961) realizou experimento semelhante, sendo os óleos (viscosidades de 0,00629 N.s/m², 0,0168N.s/m², e 0,065N.s/m², e massa específica de 998 kg/m³) e observou quatro padrões de escoamento: gotas de água em óleo, água no centro com óleo escoando nas bordas, pistões de óleo em água e gotas de óleo em água.

Trallero (1995) identificou seis tipos de padrões de escoamento horizontal para uma mistura água-óleo: estratificado, estratificado com mistura na interface, dispersão de óleo em água sobre uma camada de água, emulsão de óleo em água, dispersão de água em óleo e óleo em água e emulsão de água em óleo.

Figura 2.5. – Padrão de escoamento líquido-líquido horizontal por Trallero(1995)

Nadler e Mewes (1995) também estudaram o escoamento água e óleo e obteve resultados similares de Trallero (1995), porém identificou um novo padrão de escoamento, padrão disperso água em óleo (Dw/o) e água. Além disso, o autor propôs uma distinção entre dispersão e emulsão. No caso de dispersão, a fase dispersa encontra-se distribuída de forma não uniforme, enquanto na emulsão a fase dispersa está homogeneamente distribuída.

Angeli e Hewitt (2000) realizaram experimentos e observaram basicamente os mesmos padrões de escoamento. Inclusive constatou-se a influência do material da tubulação (aço inoxidável e acrílico). Para identificação dos padrões utilizou-se de uma câmera de alta velocidade e uma sonda de impedância de alta frequência.

Por fim, Elseth (2001) estudou o escoamento água-óleo em tubulação horizontal e classificou o escoamento em duas classes, estratificado e disperso. Quanto ao escoamento estratificado identificou cinco padrões: estratificado leve, estratificado ondulado, estratificado misturado com gotas de água em óleo, estratificado misturado com gotas de óleo em água e estratificado misturado com gotas em ambas as fases (gotas de água em óleo e gotas de óleo em água).

Para o escoamento disperso, identificou seis padrões: dispersão contínua de óleo com camada densa de gotas de água, dispersão contínua de água com camada densa de gotas de óleo, dispersão contínua de óleo não homogênea, dispersão contínua de água não homogênea, dispersão contínua de óleo homogênea e dispersão contínua de água homogênea.

Figura 2.6. – Padrão de escoamento líquido-líquido horizontal Elseth (2001)

Castro (2013) estudou o escoamento óleo pesado e água no padrão estratificado. Foram observados sete padrões de escoamento e uma nova carta de fluxo experimental foi proposta.

Ibarra (2015) trabalhou em propor um mapa universal para as transições dos regimes em escoamentos horizontais líquido-líquido.

Observa-seque para o caso de escoamentos líquido-líquido ainda não há uma classificação unificada de padrões de escoamento como se observa no caso de escoamentos gás-líquido em tubulações.

2.4. Fundamentos do padrão de escoamento disperso água/óleo e óleo/água

No escoamento disperso líquido-líquido a fase dispersa está em forma de gotículas, sendo que seus tamanhos variam de acordo com o tipo de escoamento e as propriedades físico-químicas das fases. A fase contínua é o fluido predominante e que envolve estas gotículas. Estas gotas podem apresentar um comportamento estável ou instável de acordo com as características do escoamento. Em um comportamento instável, estas gotas tendem a coalescer ou a desintegrar, buscando uma forma mais estável. Na dispersão água em óleo, a

fase contínua é o óleo, enquanto a água é a fase dispersa. Já na segunda condição, a água é a fase contínua e o óleo é a fase dispersa.

No artigo de Arirachakaran et al. (1989) apresenta a Figura 2.7 onde ilustra o processo de transição de fases água-óleo. Considere um escoamento de vazão constante. Inicialmente escoamento apenas de óleo (escoamento monofásico).

Conforme introduzimos água ao escoamento (a mesma quantidade de óleo é retirada para que a vazão da mistura seja mantida constante) a água entra em forma de gotas, como estão em pequenas concentrações estão bem dispersas no óleo. Continua-se adicionando a água ao sistema e observa-se que as gotas se aproximam até um determinado ponto onde existe uma concentração máxima de água em forma de gotas.

A região do escoamento monofásico do óleo até o ponto de máxima concentração de água é denominada de dispersão água em óleo. Qualquer acréscimo de água, as gotas de água coalescem e prendem o óleo em formas de gotas até o momento que todo o óleo é retirado, tornando-se escoamento monofásico da água. Esta região é denominada de dispersão óleo em água. A região de transição é denominada de ponto de inversão de fases.

Figura 2.7. – Tradução, Processo de Transição de Fases (óleo e água) – Arirachakaran et al. (1989)

Para a obtenção destes dados, a tubulação é monitorada com sensores de pressão, para identificar o comportamento da queda de pressão.

Para a previsão dos cálculos para o escoamento disperso, o modelo utilizado é o homogêneo (Wallis, 1969). Para utilização deste modelo algumas hipóteses são adotadas, como por exemplo, que não exista deslizamento entre as fases água-óleo, o fluido é homogeneamente distribuído e incompressível. No modelo homogêneo, o gradiente de pressão pode ser associado a três componentes; associado ao atrito, a ação da gravidade e a aceleração. ∂Ptotal ∂L = − ∂PAceleração ∂L − ∂PFricção ∂L − ∂PGravidade ∂L 2.10

Por se tratar de um escoamento na horizontal de uma mistura homogênea e incompressível, a perda de carga associada à gravidade e aceleração é desconsiderada. Sendo assim, a fórmula é simplificada, levando em consideração apenas a perda de carga associada à fricção.

∂Ptotal ∂L = −

∂PFricção

∂L 2.11

Segundo o modelo homogêneo, o gradiente de pressão por fricção é dado pela expressão:

∂PFricção

∂L = −

fd∗ρm∗Um2

2∗D 2.12

onde 𝐷 é o diâmetro interno do tubo, Umé a velocidade superficial da mistura, fd é o fator de atrito de Darcy e ρ_m é a massa específica da mistura.

O diâmetro da tubulação (D) é uma informação conhecida durante o experimento. Quando as vazões das fases são definidas, tornam-se conhecidas as velocidades superficiais através da equação 2.7.

Para o cálculo da massa específica média da mistura, adota-se um valor que leva em consideração a massa específica de cada fase, tal como a equação 2.13:

onde os valores de Cw e Co podem ser calculados através das equações 2.5 e 2.6. Para o cálculo do fator de atrito existem alguns fatores que devemos considerar, tal como o tipo de escoamento e o nível de rugosidade das paredes da tubulação.

Para identificarmos o tipo de escoamento, aplicamos a fórmula de Reynolds e comparamos o valor encontrado com a referência de transição de escoamento (Re=2300) (Bulgarelli, 2018).

.

Re_e= ρm∗Um∗D

μe 2.14

onde, µe é a viscosidade aparente ou efetiva da mistura. O cálculo desta viscosidade leva em consideração a viscosidade das fases envolvidas e o teor de água/óleo. Muitos autores desenvolveram estas correlações para prever a viscosidade aparente. Neste estudo, vários modelos para previsão serão considerados e discutidos no capítulo 2.6.

Conhecidas todas as condições, torna-se possível calcular o fator de atrito, seguindo as situações abaixo:

Para escoamento laminar (Re<2300):

ƒ =64

Re 2.15

Esta equação pode ser utilizada tanto para tubulação lisa como rugosa, permitindo prever o fator de atrito teórico diretamente. Para o escoamento turbulento e tubulação lisa, aplicamos as fórmulas de Darcy para as condições abaixo:

Para escoamento turbulento (2300<Re<100000):

ƒ = 0,316

Re0,25 2.16

Para escoamento turbulento (Re>100000):

ƒ = 0,184

Re0,20 2.17

Para tubulações rugosas, encontramos diferentes autores propondo modelos para prever o fator de atrito, no entanto, selecionamos a equação 2.18 (Re>2300) proveniente da lei da

parede, Swamee-Jain (1976). Selecionamos este modelo pela sugestão indicada no artigo de Bulgarelli (2018). Nesta equação, a rugosidade relativa (ε/D) é considerada para determinar o fator de atrito. ƒ = 0,25 ∗ [log (5,74 Re0,9+ ε 3,7∗D)] −2 _2.18

Calculado o fator de atrito e considerando as demais variáveis, aplicamos a equação 2.12para prever o gradiente de pressão por fricção.

2.5. Comportamento do padrão de escoamento disperso em tubulação horizontal

Muitos dos estudos foram voltados para identificar os padrões de escoamento, porém Cengel et al. (1962) buscou analisar o comportamento do escoamento disperso em tubulação horizontal. Neste estudo as frações de volume da fase dispersa investigada foram de 5%, 20%, 35% e 50%. Considerou que a mistura bifásica a ser estudada, utilizaria conceitos a partir do escoamento monofásico, onde as propriedades individuais de cada fase seriam ponderadas para que o fluido apresentasse as características das fases envolvidas, tais como:

• Distribuição homogênea da fase dispersa na fase contínua, em qualquer ponto da seção do tubo em estudo;

• O escoamento em estudo não apresentaria deslizamento entre as fases;

• As gotas da fase dispersa são menores que a escala de Kolmogorov de turbulência, que é a menor escala onde a energia é dissipada pela viscosidade. Dentre os dados experimentais, as informações relacionadas ao gradiente de pressão foram coletadas. Relatou que em escoamento laminar, a viscosidade era função do diâmetro da tubulação e o escoamento interagia de forma Newtoniana. Porém, para vazões muito baixas, o fluido comportou-se de forma não-Newtoniana.

Para escoamentos turbulentos, com fração volumétrica da fase dispersa de 35% e 50% os fluidos interagiram como não-Newtonianos, e inclusive foram reportadas as ocorrências do fenômeno de redução de atrito.

Ward e Knudsen et al. (1967) utilizando-se de três diferentes tipos de óleo obtiveram dados relacionados ao gradiente de pressão, perfis de velocidade e distribuição dos tamanhos das gotas da fase dispersa.

Wilson e Thomas et al. (1985) analisaram o comportamento de fluidos não-Newtonianos em escoamentos turbulentos e relataram uma redução significativa de atrito comparados aos fluidos Newtonianos equivalentes, inclusive reportou que podem ocorrer dois tipos do fenômeno de redução de atrito, devido ao perfil de velocidade e a espessura da sub-camada da fase contínua.

Pal et al. (1987) estudou o comportamento das emulsões em tubulações e observou que o cálculo do gradiente de pressão pode ser equacionado por modelos monofásicos para emulsões estáveis e instáveis quando estiverem em escoamentos em regime turbulento com elevadas vazões. Para vazões menores e regime laminar, os dados experimentais apresentaram valores abaixo das equações monofásicas para o cálculo de gradiente de pressão. Emulsões instáveis em regime turbulento apresentaram uma significativa redução do fator de atrito.

Joseph et al. (1999) estudaram o mecanismo de auto lubrificação do sistema água-óleo, onde a partículas de água migravam para as paredes da tubulação, onde a taxa de cisalhamento é predominante. Este estudo explicou a razão de como o gradiente de pressão reduz quando a taxa de cisalhamento é elevada, a mudança do escoamento Newtoniano para não-Newtoniano.

Mata et al. (2003) estudou o comportamento reológico de um escoamento água-óleo. Observaram mudanças no comportamento da viscosidade aparente entre um escoamento em regime laminar e turbulento. Concluiu que a viscosidade do sistema disperso é consequência da região do escoamento, a inércia é essencial para o comportamento reológico e que este comportamento pode ser descrito através de números adimensionais como o Reynolds.

Lovick (2004) e Lovick e Angeli (2004) observaram que para a água em dispersão de óleo em altas velocidades da mistura o gradiente de pressão apresentou-se com um valor mínimo em altas dispersões de óleo e concluiu que o fator de atrito é menor quando a água é a fase contínua.

2.6. Correlações da viscosidade aparente do padrão de escoamento disperso

A previsão da viscosidade aparente, não é uma tarefa simples já que o comportamento da viscosidade não é simplesmente uma função puramente linear, exponencial ou potencial em relação a fase dispersa.

A viscosidade do sistema é dinâmica em função do teor de água, assumindo valores inclusive muito superiores às viscosidades de cada fase. Para ilustrar este comportamento, a

Fig. 2.8 apresenta o comportamento da viscosidade em função do teor de água para um caso de estudo de Bulgarelli (2018).

Figura 2.8. – Comportamento da viscosidade em função do teor de água (Bulgarelli, 2018)

Quando o teor de água se encontra na posição “0%” ou “100%” a viscosidade do sistema é exclusivamente a do óleo ou da água, respectivamente, pois o escoamento é monofásico. Nota-se nesta figura, além do ponto de transição de fases que ocorre aproximadamente a 25% do teor de água, observa-se duas regiões distintas. A primeira região onde o óleo é a fase contínua (para teores de água abaixo do ponto de transição), e a segunda região acima desta referência, onde a água é a fase contínua.

Na primeira região o comportamento da viscosidade tende a aumentar conforme aumentamos a fração de água (fase dispersa) para valores acima da monofásica do óleo, até atingir um pico, denominado de “inversão de fases”, onde ocorre a transição do padrão de escoamento água em óleo e óleo em água, (rever figura 2.7). Após ultrapassar este ponto, (segunda região) tanto a viscosidade do sistema e o gradiente de pressão são reduzidos drasticamente.

Este ponto de inversão de fases (ϴw,c) varia de acordo com as propriedades de cada óleo (leves, intermediários e pesados), conforme apresentado pela Fig. 2.9.

Figura 2.9. – Transição entre fases (água-óleo)

Buscando conhecer o ponto de transição (ϴw,c) também denominado de fração de água critica, Arirachakaran et al. (1989) propôs a equação 2.19:

θw, c = 0,5 − 0,1108 ∗ Log(μo

μw) 2.19

Desta forma, podemos identificar as regiões onde encontramos uma maior ou menor viscosidade do sistema. No entanto o fenômeno denominado fator de redução de atrito também pode ser observado quando passamos de um escoamento laminar para turbulento para uma mesma fração de óleo e água. De acordo com Pal (1993 e 2007) a redução estaria atrelada às deformações das gotículas da fase dispersa. Gotas menores resistem mais a deformação devido à alta tensão interfacial. O fator de redução de atrito ocorre mais intensamente pelo fato do fluido apresentar um comportamento não-Newtoniano, em regiões com elevada concentração da fase dispersa e em geral ocorre mais frequentemente quando a água é a fase dispersa.

Em síntese, a viscosidade aparente é dinâmica, não sendo mais uma propriedade dos fluidos e sim do escoamento. Neste caso o comportamento não-newtoniano do fluido somente é identificado devido a significativas diferenças da viscosidade do sistema com a dos fluidos envolvidos.

Na literatura encontramos inúmeros autores propondo modelos de correlação da viscosidade aparente (de mistura). Buscou-se trazer alguns destes autores, baseado no artigo da Vielma (2006) para este estudo sem desvalorizar o trabalho dos demais. A relevância em correlacionar a viscosidade dos fluidos envolvidos com a viscosidade aparente continua estimulado diversos autores a desenvolverem diferentes equações teóricas para alcançar diferentes soluções práticas.

2.6.1. Modelo de viscosidade de Einstein (1906)

Em 1906, com a tese de doutorado “Uma nova determinação das dimensões moleculares” propôs calcular o tamanho das partículas em soluções. Sua inspiração surgiu através do movimento browniano, onde uma partícula percorre de forma aleatória uma solução aquosa. Em seu trabalho, considerou como modelo o açúcar dissolvido em água. Considerou que o movimento desta partícula e do líquido é tão pequeno, que mesmo a energia cinética poderia ser desprezível. O autor propôs algumas hipóteses como a de que as partículas de açúcar seriam esféricas e rígidas, e o raio desta esfera seria muito menor do que a região envolta de água. Não haveria interação entre as partículas e a solução seria incompressível.

Seu modelo de viscosidade efetiva (aparente), µe, era função da viscosidade da fase contínua, µc, água e da fração volumétrica da fase dispersa, θ. Em sua primeira dedução encontrou a equação 2.20:

μe = (1 + θ) ∗ μc 2.20

Porém, em comparação com os experimentos da equipe do Sr. Perrin, observou que seus resultados estavam abaixo dos valores previstos. Este erro estava associado à componente de velocidade definidos em seu modelo matemático. Em 1911, Einstein reapresentou seu trabalho, corrigindo o seu modelo (1906) propondo a equação 2.21:

μe = (1 + 2,5 ∗ θ) ∗ μc 2.21

Desta forma, relacionou a viscosidade aparente em função da fração volumétrica da fase dispersa.

2.6.2. Modelo de Viscosidade de Taylor (1932)

O trabalho de Einstein deu origem a muitas pesquisas experimentais. A viscosidade aparente de um fluido apresentada por Einstein, tinha como hipótese, esferas sólidas suspensas em um líquido. Até então, ninguém havia proposto um modelo quando a esfera desenhada por Einstein fosse substituída por gotas (líquido), justamente pela dificuldade de definir o volume de controle em que a gota deformaria sob a ação combinada de forças

viscosas e tensão superficial. O modelo de Taylor (1932) propõe estudar partículas com formato elipsoidais em um fluido viscoso. Em suas hipóteses, considerou que as gotas são pequenas e permanecem quase esféricas. Não há deslizamento na superfície da gota e a tensão tangencial a superfície é contínua. Em 1932, Taylor adicionou à equação de Einstein (1906) um fator de correção devido ao formato elipsoidal. A fórmula apresentada é a 2.22, onde (µd) é a viscosidade da fase dispersa:

μe = (1 + 2,5 ∗ ( μc+2,5∗μd

2,5∗μc+2,5∗μd) ∗ θ) ∗ μc 2.22

2.6.3. Modelo de Viscosidade de Richardson (1933)

Richardson (1933), partindo da hipótese de Einstein de que as partículas suspensas estavam tão afastadas uma das outras para que não interagissem, reconheceu que a aplicabilidade da equação de Einstein estava condicionada a baixas concentrações da fase dispersa. Entendia que deveria existir um fator multiplicador como apresentado por Taylor para corrigir a equação. As correlações de Einstein e Taylor foram desenvolvidas para partículas sólidas como fase dispersa em líquido e não retratando em muitas situações o comportamento do escoamento líquido-líquido. Em seu experimento líquido-líquido (água e benzeno) correlacionou seus resultados com os princípios da lei de Hooke, como se a viscosidade tivesse um comportamento elástico em função da concentração do soluto multiplicado por uma constante de proporcionalidade.

∆μ μ = k ∗

∆θ

θ 2.23

Ao analisar seus gráficos observou que havia um comportamento logarítmico da viscosidade relativa em função da concentração da mistura. Desta forma, construiu um gráfico onde o eixo das abscissas estava relacionado ao teor de água e o eixo das ordenadas o logaritmo da viscosidade relativa. O valor da constante (k) é a inclinação da reta, ajustando-a a uma equação linear:

logμe

Desta forma ao plotar o gráfico, identificou uma equação do primeiro grau, onde a inclinação da reta equivale a constante de proporcionalidade, representado pela figura 2.10. Neste experimento, descobriu que a constante para a mistura água-benzeno é de k=6.

Figura 2.10. - Viscosidade relativa versus fração volumétrica (Richardson, 1933)

Por fim, em 1933 apresentou a sua equação 2.25 para viscosidade aparente:

μe = ekθ∗ μc ou logμe

μc = k ∗ θ 2.25

Para a mistura água-óleo, o valor de k varia em função da fase contínua, Vielma (2006) propôs o uso de k=2,37 para água dispersa em óleo e k=3,44 para óleo disperso em água.

2.6.4. Modelo de viscosidade de Levington e Leighton (1935)

Inspirado pelo material apresentado por Taylor (1933), o trabalho apresentado procurou estender a faixa de concentrações e por esta razão, adotou o modelo de equação do físico Smoluchowski (1916) que estudou a limitação de aplicação da fórmula de Einstein (1906).

Para este fim, o leite e o teor de gordura foram a base para a análise (líquido-líquido). A temperatura de trabalho foi de 64°C para facilitar o manuseio. A equação 2.26 apresenta a proposta para o cálculo de viscosidade aparente.

lnμe μc = (1 + 2,5 ∗ ( μc+2,5∗μd 2,5∗μc+2,5∗μd) ∗ (θ + θ 5 3 ⁄ _{+ θ}11⁄_{3)) 2.26}

Em adição a formulação de Talyor (1933), podemos explicar que o segundo termo(θ5⁄3_{) é o próximo período em conformidade com a sugestão de Smoluchowski que} permite estender a fórmula para concentrações mais elevadas. O termo (θ11⁄3_{) é o fator de} precisão da equação para altas concentrações.

2.6.5. Modelo de viscosidade de Guth e Simha (1936)

Guth e Simha (1936) compreenderam que a equação de Einstein deveria ser mais ampla para a previsão da viscosidade aparente. Para o desenvolvimento desta equação trabalharam com a correlação utilizada por Lorentz que estudou a influência das paredes e levou a uma correção similar à lei de resistência de Stokes para determinar a viscosidade aparente.

μe

μc = 1 + a ∗ θ + b ∗ θ

2_{+ c ∗ θ}3_{+ ⋯ 2.27}

Nesta equação, é notório que o aumento da viscosidade de uma mistura pode ser representado por uma série de potenciais da concentração (θ). De acordo com os autores, as potências utilizadas nas equações poderiam não ser números inteiros.

Os valores (a,b,c...) são constantes. No caso da constante, a, o mesmo foi determinado por Einstein e o valor (a=2,5). Porém, Einstein havia considerado em seu estudo que as interações entre as “esferas” não ocorreriam, o que permitiu que as demais constantes fossem desprezadas. Neste mesmo artigo Guth e Simha reconhecem a necessidade de atuarem nas concentrações até a segunda potência, sendo necessário desenvolver matematicamente o valor da constante (b). No artigo os autores propõem a constante b =109

14 . μe μc = 1 + 2,5 ∗ θ + 109 14 ∗ θ 2 _2.28

Para os cálculos deste trabalho a equação apresentada no artigo de Vielma (2006) que ajusta o valor de b=14,1 será utilizada.

μe

μc = 1 + 2,5 ∗ θ + 14,1 ∗ θ

2 _2.29

2.6.6. Modelo de viscosidade de Broughton e Squires (1937)

Em 1937, Broughton e Squires discutiram em seu artigo que a maioria dos pesquisadores consideraram em seus estudos apenas a concentração de volume da fase dispersa e a taxa de cisalhamento, porém outros aspectos foram pouco explorados tais como a viscosidade da fase contínua e da fase dispersa, o uso de agente emulsificante e o tamanho das partículas da emulsão.

Em seu experimento preparou sete tipos de emulsões usando soluções aquosas de oleato de sódio, saponina e oleato de trietanolamina (1, 2 e 3% em massa, respectivamente) como fases contínuas, e Nujol, benzeno e azeite como as fases dispersas.

Concluiram que ao traçar os gráficos de viscosidade relativa, o modelo preferível seria de forma logarítmica similar ao modelo de Richardson (1933), porém observou em seus gráficos que as curvas quando extrapolavam para concentrações “zero”, as curvas não cortavam o eixo das ordenadas pelo ponto zero, ver figura 2.11.

Figura 2.11. – Viscosidade relativa versus fração volumétrica (Broughton e Squires, 1937)

Desta forma, concluíram que o modelo matemático que representaria melhor a equação de correlação seria:

Logμe

μc = a + b ∗ θ 2.30

onde “a” e “b” são constantes obtidas do gráfico. O valor de “a” equivale ao valor onde o eixo da ordenada é cortado quando o soluto é zero. O valor de “b” é a inclinação da reta conforme apresentado por Richardson (1933).

μe = (k1 ∗ ek2∗θ) ∗ μc 2.31

Para os cálculos deste trabalho adotar-se-á as constantes apresentadas no artigo de Vielma (2006), sendo k1=2,22 e k2=-0,90 para água dispersa em óleo e k1=0,04 e k2=8,53 para óleo disperso em água.

2.6.7. Modelo de viscosidade de Eiler (1941)

Em 1941, Eiler trabalhando com dois tipos de emulsão de betume, com dispersões e particulados (tamanhos) diferentes, avaliou vários modelos de viscosidade disponíveis. Observou que alguns modelos de viscosidade na época se encaixavam melhor em determinadas faixas de concentração. Inclusive que o perfil das partículas deveria estar influenciando nos resultados. Em colaboração com van Dijck propôs a equação que melhor atendia suas curvas de viscosidade para esferas rígidas:

μe

μc = (1 +

1,25∗θ 1−1,35∗θ)

2 _2.32

Porém observou que o valor 1,35 resultava em viscosidades de valores acima das de suas emulsões. Analisando seus resultados, em alguns casos observou que o valor que se ajustava melhor seria 1,28 e em outros este fator poderia ser 1,30. Desta forma, a sua equação apresenta uma constante aE, que a faixa usual seria (1,28<aE<1,30).Para fins deste estudo, a constante aE=1,28.