2 REVISÃO DA LITERATURA
2.6. Correlações da viscosidade aparente do padrão de escoamento disperso
A previsão da viscosidade aparente, não é uma tarefa simples já que o comportamento da viscosidade não é simplesmente uma função puramente linear, exponencial ou potencial em relação a fase dispersa.
A viscosidade do sistema é dinâmica em função do teor de água, assumindo valores inclusive muito superiores às viscosidades de cada fase. Para ilustrar este comportamento, a
Fig. 2.8 apresenta o comportamento da viscosidade em função do teor de água para um caso de estudo de Bulgarelli (2018).
Figura 2.8. – Comportamento da viscosidade em função do teor de água (Bulgarelli, 2018)
Quando o teor de água se encontra na posição “0%” ou “100%” a viscosidade do sistema é exclusivamente a do óleo ou da água, respectivamente, pois o escoamento é monofásico. Nota-se nesta figura, além do ponto de transição de fases que ocorre aproximadamente a 25% do teor de água, observa-se duas regiões distintas. A primeira região onde o óleo é a fase contínua (para teores de água abaixo do ponto de transição), e a segunda região acima desta referência, onde a água é a fase contínua.
Na primeira região o comportamento da viscosidade tende a aumentar conforme aumentamos a fração de água (fase dispersa) para valores acima da monofásica do óleo, até atingir um pico, denominado de “inversão de fases”, onde ocorre a transição do padrão de escoamento água em óleo e óleo em água, (rever figura 2.7). Após ultrapassar este ponto, (segunda região) tanto a viscosidade do sistema e o gradiente de pressão são reduzidos drasticamente.
Este ponto de inversão de fases (ϴw,c) varia de acordo com as propriedades de cada óleo (leves, intermediários e pesados), conforme apresentado pela Fig. 2.9.
Figura 2.9. – Transição entre fases (água-óleo)
Buscando conhecer o ponto de transição (ϴw,c) também denominado de fração de água critica, Arirachakaran et al. (1989) propôs a equação 2.19:
θw, c = 0,5 − 0,1108 ∗ Log(μo
μw) 2.19
Desta forma, podemos identificar as regiões onde encontramos uma maior ou menor viscosidade do sistema. No entanto o fenômeno denominado fator de redução de atrito também pode ser observado quando passamos de um escoamento laminar para turbulento para uma mesma fração de óleo e água. De acordo com Pal (1993 e 2007) a redução estaria atrelada às deformações das gotículas da fase dispersa. Gotas menores resistem mais a deformação devido à alta tensão interfacial. O fator de redução de atrito ocorre mais intensamente pelo fato do fluido apresentar um comportamento não-Newtoniano, em regiões com elevada concentração da fase dispersa e em geral ocorre mais frequentemente quando a água é a fase dispersa.
Em síntese, a viscosidade aparente é dinâmica, não sendo mais uma propriedade dos fluidos e sim do escoamento. Neste caso o comportamento não-newtoniano do fluido somente é identificado devido a significativas diferenças da viscosidade do sistema com a dos fluidos envolvidos.
Na literatura encontramos inúmeros autores propondo modelos de correlação da viscosidade aparente (de mistura). Buscou-se trazer alguns destes autores, baseado no artigo da Vielma (2006) para este estudo sem desvalorizar o trabalho dos demais. A relevância em correlacionar a viscosidade dos fluidos envolvidos com a viscosidade aparente continua estimulado diversos autores a desenvolverem diferentes equações teóricas para alcançar diferentes soluções práticas.
2.6.1. Modelo de viscosidade de Einstein (1906)
Em 1906, com a tese de doutorado “Uma nova determinação das dimensões moleculares” propôs calcular o tamanho das partículas em soluções. Sua inspiração surgiu através do movimento browniano, onde uma partícula percorre de forma aleatória uma solução aquosa. Em seu trabalho, considerou como modelo o açúcar dissolvido em água. Considerou que o movimento desta partícula e do líquido é tão pequeno, que mesmo a energia cinética poderia ser desprezível. O autor propôs algumas hipóteses como a de que as partículas de açúcar seriam esféricas e rígidas, e o raio desta esfera seria muito menor do que a região envolta de água. Não haveria interação entre as partículas e a solução seria incompressível.
Seu modelo de viscosidade efetiva (aparente), µe, era função da viscosidade da fase contínua, µc, água e da fração volumétrica da fase dispersa, θ. Em sua primeira dedução encontrou a equação 2.20:
μe = (1 + θ) ∗ μc 2.20
Porém, em comparação com os experimentos da equipe do Sr. Perrin, observou que seus resultados estavam abaixo dos valores previstos. Este erro estava associado à componente de velocidade definidos em seu modelo matemático. Em 1911, Einstein reapresentou seu trabalho, corrigindo o seu modelo (1906) propondo a equação 2.21:
μe = (1 + 2,5 ∗ θ) ∗ μc 2.21
Desta forma, relacionou a viscosidade aparente em função da fração volumétrica da fase dispersa.
2.6.2. Modelo de Viscosidade de Taylor (1932)
O trabalho de Einstein deu origem a muitas pesquisas experimentais. A viscosidade aparente de um fluido apresentada por Einstein, tinha como hipótese, esferas sólidas suspensas em um líquido. Até então, ninguém havia proposto um modelo quando a esfera desenhada por Einstein fosse substituída por gotas (líquido), justamente pela dificuldade de definir o volume de controle em que a gota deformaria sob a ação combinada de forças
viscosas e tensão superficial. O modelo de Taylor (1932) propõe estudar partículas com formato elipsoidais em um fluido viscoso. Em suas hipóteses, considerou que as gotas são pequenas e permanecem quase esféricas. Não há deslizamento na superfície da gota e a tensão tangencial a superfície é contínua. Em 1932, Taylor adicionou à equação de Einstein (1906) um fator de correção devido ao formato elipsoidal. A fórmula apresentada é a 2.22, onde (µd) é a viscosidade da fase dispersa:
μe = (1 + 2,5 ∗ ( μc+2,5∗μd
2,5∗μc+2,5∗μd) ∗ θ) ∗ μc 2.22
2.6.3. Modelo de Viscosidade de Richardson (1933)
Richardson (1933), partindo da hipótese de Einstein de que as partículas suspensas estavam tão afastadas uma das outras para que não interagissem, reconheceu que a aplicabilidade da equação de Einstein estava condicionada a baixas concentrações da fase dispersa. Entendia que deveria existir um fator multiplicador como apresentado por Taylor para corrigir a equação. As correlações de Einstein e Taylor foram desenvolvidas para partículas sólidas como fase dispersa em líquido e não retratando em muitas situações o comportamento do escoamento líquido-líquido. Em seu experimento líquido-líquido (água e benzeno) correlacionou seus resultados com os princípios da lei de Hooke, como se a viscosidade tivesse um comportamento elástico em função da concentração do soluto multiplicado por uma constante de proporcionalidade.
∆μ μ = k ∗
∆θ
θ 2.23
Ao analisar seus gráficos observou que havia um comportamento logarítmico da viscosidade relativa em função da concentração da mistura. Desta forma, construiu um gráfico onde o eixo das abscissas estava relacionado ao teor de água e o eixo das ordenadas o logaritmo da viscosidade relativa. O valor da constante (k) é a inclinação da reta, ajustando-a a uma equação linear:
logμe
Desta forma ao plotar o gráfico, identificou uma equação do primeiro grau, onde a inclinação da reta equivale a constante de proporcionalidade, representado pela figura 2.10. Neste experimento, descobriu que a constante para a mistura água-benzeno é de k=6.
Figura 2.10. - Viscosidade relativa versus fração volumétrica (Richardson, 1933)
Por fim, em 1933 apresentou a sua equação 2.25 para viscosidade aparente:
μe = ekθ∗ μc ou logμe
μc = k ∗ θ 2.25
Para a mistura água-óleo, o valor de k varia em função da fase contínua, Vielma (2006) propôs o uso de k=2,37 para água dispersa em óleo e k=3,44 para óleo disperso em água.
2.6.4. Modelo de viscosidade de Levington e Leighton (1935)
Inspirado pelo material apresentado por Taylor (1933), o trabalho apresentado procurou estender a faixa de concentrações e por esta razão, adotou o modelo de equação do físico Smoluchowski (1916) que estudou a limitação de aplicação da fórmula de Einstein (1906).
Para este fim, o leite e o teor de gordura foram a base para a análise (líquido-líquido). A temperatura de trabalho foi de 64°C para facilitar o manuseio. A equação 2.26 apresenta a proposta para o cálculo de viscosidade aparente.
lnμe μc = (1 + 2,5 ∗ ( μc+2,5∗μd 2,5∗μc+2,5∗μd) ∗ (θ + θ 5 3 ⁄ + θ11⁄3)) 2.26
Em adição a formulação de Talyor (1933), podemos explicar que o segundo termo(θ5⁄3) é o próximo período em conformidade com a sugestão de Smoluchowski que permite estender a fórmula para concentrações mais elevadas. O termo (θ11⁄3) é o fator de precisão da equação para altas concentrações.
2.6.5. Modelo de viscosidade de Guth e Simha (1936)
Guth e Simha (1936) compreenderam que a equação de Einstein deveria ser mais ampla para a previsão da viscosidade aparente. Para o desenvolvimento desta equação trabalharam com a correlação utilizada por Lorentz que estudou a influência das paredes e levou a uma correção similar à lei de resistência de Stokes para determinar a viscosidade aparente.
μe
μc = 1 + a ∗ θ + b ∗ θ
2+ c ∗ θ3+ ⋯ 2.27
Nesta equação, é notório que o aumento da viscosidade de uma mistura pode ser representado por uma série de potenciais da concentração (θ). De acordo com os autores, as potências utilizadas nas equações poderiam não ser números inteiros.
Os valores (a,b,c...) são constantes. No caso da constante, a, o mesmo foi determinado por Einstein e o valor (a=2,5). Porém, Einstein havia considerado em seu estudo que as interações entre as “esferas” não ocorreriam, o que permitiu que as demais constantes fossem desprezadas. Neste mesmo artigo Guth e Simha reconhecem a necessidade de atuarem nas concentrações até a segunda potência, sendo necessário desenvolver matematicamente o valor da constante (b). No artigo os autores propõem a constante b =109
14 . μe μc = 1 + 2,5 ∗ θ + 109 14 ∗ θ 2 2.28
Para os cálculos deste trabalho a equação apresentada no artigo de Vielma (2006) que ajusta o valor de b=14,1 será utilizada.
μe
μc = 1 + 2,5 ∗ θ + 14,1 ∗ θ
2 2.29
2.6.6. Modelo de viscosidade de Broughton e Squires (1937)
Em 1937, Broughton e Squires discutiram em seu artigo que a maioria dos pesquisadores consideraram em seus estudos apenas a concentração de volume da fase dispersa e a taxa de cisalhamento, porém outros aspectos foram pouco explorados tais como a viscosidade da fase contínua e da fase dispersa, o uso de agente emulsificante e o tamanho das partículas da emulsão.
Em seu experimento preparou sete tipos de emulsões usando soluções aquosas de oleato de sódio, saponina e oleato de trietanolamina (1, 2 e 3% em massa, respectivamente) como fases contínuas, e Nujol, benzeno e azeite como as fases dispersas.
Concluiram que ao traçar os gráficos de viscosidade relativa, o modelo preferível seria de forma logarítmica similar ao modelo de Richardson (1933), porém observou em seus gráficos que as curvas quando extrapolavam para concentrações “zero”, as curvas não cortavam o eixo das ordenadas pelo ponto zero, ver figura 2.11.
Figura 2.11. – Viscosidade relativa versus fração volumétrica (Broughton e Squires, 1937)
Desta forma, concluíram que o modelo matemático que representaria melhor a equação de correlação seria:
Logμe
μc = a + b ∗ θ 2.30
onde “a” e “b” são constantes obtidas do gráfico. O valor de “a” equivale ao valor onde o eixo da ordenada é cortado quando o soluto é zero. O valor de “b” é a inclinação da reta conforme apresentado por Richardson (1933).
μe = (k1 ∗ ek2∗θ) ∗ μc 2.31
Para os cálculos deste trabalho adotar-se-á as constantes apresentadas no artigo de Vielma (2006), sendo k1=2,22 e k2=-0,90 para água dispersa em óleo e k1=0,04 e k2=8,53 para óleo disperso em água.
2.6.7. Modelo de viscosidade de Eiler (1941)
Em 1941, Eiler trabalhando com dois tipos de emulsão de betume, com dispersões e particulados (tamanhos) diferentes, avaliou vários modelos de viscosidade disponíveis. Observou que alguns modelos de viscosidade na época se encaixavam melhor em determinadas faixas de concentração. Inclusive que o perfil das partículas deveria estar influenciando nos resultados. Em colaboração com van Dijck propôs a equação que melhor atendia suas curvas de viscosidade para esferas rígidas:
μe
μc = (1 +
1,25∗θ 1−1,35∗θ)
2 2.32
Porém observou que o valor 1,35 resultava em viscosidades de valores acima das de suas emulsões. Analisando seus resultados, em alguns casos observou que o valor que se ajustava melhor seria 1,28 e em outros este fator poderia ser 1,30. Desta forma, a sua equação apresenta uma constante aE, que a faixa usual seria (1,28<aE<1,30).Para fins deste estudo, a constante aE=1,28.
μe
μc = (1 + 1,25∗θ 1−aE∗θ)
2 2.33
2.6.8. Modelo de viscosidade de Vand (1948)
Vand (1948), analisando a equação de Einstein, entendia que para maiores concentrações deveria-se adicionar uma constante que representasse a interação entre as partículas. Em seu trabalho teórico, similar ao modelo de Richardson (1933), identificou para baixas concentrações (sem interação entre partículas) que os resultados apresentavam um comportamento logaritmo, conforme descrito pela equação 2.34:
logeμe
μc= k ∗ θ 2.34
A proposta agora seria equacionar as interações entre as partículas. Em seu estudo modelou que cada partícula em suspensão desenvolve uma interação seguindo a relação
Q∗θ
(1−Q∗θ), onde (Q) seria uma constante de interação entre partículas. Concluiu que sua expressão deveria seguir a eq.2.35:
dk K = −kdc − k ∗ ( Q∗c 1−Q∗c)dc − k d dc( Q∗c 1−Q∗c)dc 2.35
onde o primeiro termo representa a não interação entre as partículas da mistura (baixa concentração). O segundo termo é o efeito das interações aumentadas devido ao aumento de partículas e o terceiro termo está associado à mudança da concentração no campo de interações devido as partículas já existentes na suspensão. Com a integração da equação acima, a fórmula obtida foi:
lnμe
μc = k ∗ θ/(1 − Q ∗ θ) 2.36
onde k é a constante encontrada por Einstein e o seu valor é de 2,5. A constante de interação é Q=0,609.
2.6.9. Modelo de viscosidade de Mooney (1950)
Em seu estudo, Mooney (1950) discute que as interações são essencialmente um efeito devido a aglomerações e que os modelos apresentados desprezaram um número maior de interações de partículas.
Em seu entendimento a forma como Vand (1948) equacionou as interações estava correta, porém a constante relacionada às interações não era adequada. Percebeu que a constante possuía valores diferentes. Por fim, sugeriu que o valor de 1,35< k <1,91.
μe μc = e
2,5∗θ/(1−k∗θ) 2.37
Neste estudo serão utilizados os valores fornecidos no artigo de Vielma (2006), para as constantes. Para água dispersa em óleo, k=-0,37 e óleo disperso em água k=0,50.
2.6.10. Modelo de viscosidade de Brinkman (1951)
Neste modelo proposto, o objetivo era desenvolver um método muito simples para estimar a viscosidade a partir de qualquer concentração. Em sua análise, considerou que a concentração com “n” partículas em um volume “V”. A viscosidade é uma função da concentração “n/V” e que foi considerada como “µ*(n/V)”.
Considerando o efeito de adição de mais partículas, se tal partícula for adicionada a um solvente puro de volume “V” pode expressar uma equação para o aumento da viscosidade. Se a partícula tiver um volume “v0” e uma forma esférica, a viscosidade será multiplicada pelo fator de Einstein (1+2,5*v0/(V+v0)). μ ∗ (n+1 V+v0) = μ ∗ ( n V) ∗ (1 + 2,5 ∗ v0 V+v0) 2.38
Derivando em função da concentração o autor propôs a eq. 2.39:
μe μc =
1
2.6.11. Modelo de viscosidade de Maron e Pierce (1952)
O modelo apresentado baseia-se na equação de Brinkman e Roscoe (1952). Com o propósito de ampliar a equação de Einstein para maiores concentrações, derivou a viscosidade em relação a concentração encontrando a eq. 2.40:
μe
μc = (1 − θ)
−2,5 2.40
Considerou informações de Vand (1948) em relação às colisões entre partículas e que estas interações devem estar inclusas na equação, introduziu nesta formula um fator para a máxima densidade de aglomeração de partículas sólidas que corresponde a 1,350.
μe μc = (1 − 1,350 ∗ θ) −2,5 ou μe μc = (1 − θ 0,74) −2,5 2.41
Maron e Pierce (1952) discutem que o expoente 2, ao invés de 2,5 traduzia melhor os resultados e a sugeriram que a concentração máxima (ϴmax=0,8):
μe
μc = (1 − θ θmax)
−2 2.42
2.6.12. Modelo de viscosidade de Thomas (1964)
Em 1964, partindo da equação de Einstein para baixas concentrações propôs que quando as soluções se tornam mais concentradas é necessário considerar as interações e colisões entre as partículas, bem como rotações e outras influências. Em seu trabalho discutiu que muitas equações teóricas são expressas em séries de potência como exemplificado pela eq. 2.43:
μe
μc = 1 + k1 ∗ θ + k2 ∗ θ
2± k3 ∗ θ3 ± ⋯, 2.43
O valor de k1 foi determinado por Einstein. O valor de k2 foi apresentado por vários pesquisadores, tais como Guth e Simha (1936) e Vand (1948) entre outros. Em seu ponto de
vista, a principal desvantagem nesta estrutura é que os termos a partir da segunda potência pode apresentar erros significativos.
O autor, utilizando inúmeros bancos de dados, buscou identificar os valores das constantes utilizando a eq. 2.44 como base:
μe
μc = 1 + 2,5 ∗ θ + k2 ∗ θ
2+ k3 ∗ θ3+ k4 ∗ θ4+ k5 ∗ θ5+ k6 ∗ θ6+ k7 ∗ θ7 2.44
Dentro deste modelo, o único valor que conseguiu fixar em algumas faixas de concentração foi de k2=10,05. As demais constantes não foram eficazes, chegando na equação 2.45:
μe
μc = 1 + 2,5 ∗ θ + 10,05 ∗ θ
2, 2.45
Para concentrações abaixo de 25%, a equação acima apresentou bons resultados. De acordo com a teoria de Vand (1948), o terceiro termo considera as interações hidrodinâmicas e colisões partícula-partícula. O trabalho de Eyring et al. (1964) sugere que este termo deve ter uma forma exponencial. Os formatos selecionados foram: A*exp(B*ϴ) e C1*exp(C2*ϴ/(1-C3*ϴ). Porém, apenas a primeira forma demonstrou convergir com os resultados. Enfim as constantes definidas foram A=0,00273 e B=16,6 definido a eq. 2.46:
μe
μc = 1 + 2,5 ∗ θ + 10,05 ∗ θ
2+ 0,00273 ∗ e16,6∗θ 2.46
2.6.13. Modelo de viscosidade de Chong (1971)
De acordo com o artigo publicado (1971), muito dos autores que trabalharam a viscosidade relativa consideraram as partículas como esferas sólidas e com dimensões de tamanho uniforme e em concentrações relativamente baixas. Para elevadas concentrações, não havia equações teóricas ou empíricas satisfatória. Neste trabalho foi utilizado um viscosímetro especialmente projetado para determinar viscosidades de misturas altamente concentradas.
Em seu estudo, observou que o modelo de Eiler (1941) se encaixava em alguns pontos, com uma constante diferente. Entendeu que a viscosidade relativa estava em função da concentração das partículas (ϴ) e do aglomerado máximo de partículas (ϴmax). Ao modelar a sua curva propôs a seguinte expressão (eq. 2.47):
μe μc = (1 + 0,75 ∗ ( θ θmax ⁄ 1−θ θmax⁄ ) 2 2.47
O autor discute que a viscosidade relativa dos sistemas monodispersos é independente do tamanho da partícula e temperatura. Apenas das concentrações de sólidos. Para concentrações acima de 50% a viscosidade eleva-se muito mais rapidamente comparado as outras faixas e definiu que a aglomeração máxima onde a viscosidade tende ao maior valor é (ϴmax=0,605).
2.6.14. Modelo de viscosidade de Furuse (1972)
Em 1972, o modelo proposto de Furuse tem a equação de Einstein (1906) como inspiração. Em seu estudo, realiza os mesmos passos do trabalho de Einstein, porém, considera as interações das partículas próximas, chegando na equação 2.48:
μe μc =
1+0,5∗θ
(1−θ)2 2.48
2.6.15. Modelo de viscosidade de Barnea e Mizrahi (1973)
Barnea e Mizrahi (1973) tinham a intenção de propor uma equação generalizada para correlacionar a viscosidade aparente de misturas líquido-sólido e líquido-líquido. Em 1973 o objetivo era propor um modelo para concentrações de partículas sólidas e desenvolver uma equação de aplicação generalizada e não apenas a determinadas faixas de concentrações. Utilizou para o estudo os bancos de dados publicados anteriormente de outros autores.
Em sua análise, identificou que o modelo desenvolvido por Vand (1948) apresentaria maior concordância para prever a viscosidade, porém sem considerar as suas constantes.
μe μc = e
k1∗θ/(1−k2∗θ) 2.49
Com base nos dados divulgados por Thomas (1964) propôs que as constantes mais coerentes seriam k1=2,66 ±0,20 e k2=1,00 ± 0,03.
Neste estudo serão utilizadas as constantes apresentadas no artigo da Vielma (2006). A constante k1=1,97 e k2=0,60 para água dispersa em óleo e k1=1,38 e k2=0,94 para óleo disperso em água.
2.6.16. Modelo de viscosidade de Barnea e Mizrahi (1975)
Neste modelo, uma continuação do trabalho dos autores em 1973, o objetivo era ampliar a aplicação para sistemas multiparticulados nos quais os fluidos dispersos possuem uma forma esférica, pequenas gotas ou bolhas de gás dispersas em líquido, por exemplo.
Em seu modelo o cálculo é baseado no coeficiente de arraste para o cálculo da viscosidade aparente. Nesta correlação adicionou o fator de correção de Taylor (1932) e denominou esta expressão como B, por conveniência:
B = e5∗A∗θ/3∗(1−θ) 2.50
onde
A = ( μc+2,5∗μd
2,5∗μc+2,5∗μd) 2.51
Para gotas, modelou a viscosidade com base no fator de correção de Hadamard (1911) e Rybcznski (1911) para correlacionar a viscosidade de uma única partícula.
μe=μc* [ 2 3+ μd μc 1+μdμc] 2.52
Considerando a interações entre partículas, seu modelo final é descrito pela equação 2.53. μe=B* [ 2∗B 3 + μd μc B+μdμc ] 2.53
2.6.17. Modelo de viscosidade Barnea e Mizrahi (1976) - Polinomial
Quando analisamos as equações polinomiais, observamos que a sua utilização tem sido feita por diversos autores, tais como Guth e Simha e Thomas para a previsão da viscosidade (ver equação 2.27).
Einstein, em seu modelo identificou uma equação com apenas o 1° grau, onde a sua constante vale 2,5.
Enfim, a equação polinomial busca prever a viscosidade aparente para maiores concentrações. Neste trabalho são abordadas apenas as equações polinomiais de 2° e 3° graus, apresentadas por Barnea e Mizrahi (1976).
Barnea e Mizrahi (1976) propuseram os valores das constantes conforme indicado na tabela abaixo:
Tabela 2.1. – Valores constantes Barnea e Mizrahi (1976) “Polinomial 1 e 2”
Equação Água dispersa em óleo Óleo disperso em água Polinomial 1 k1=-4,89; k2=12,42 k1=-5,55; k2=11,65
Polinomial 2 K1=-1,39; k2=-17,83; k3=60,66 K1=-9,0; k2=23,27; k3=-9,56
2.6.18. Modelo de viscosidade de Pal e Rhodes (1997)
Pal e Rhodes (1997) apresentaram um novo método para correlacionar a viscosidade. Sua idéia partia do conceito de máxima aglomeração da solução (ϴmax) proposto por outros autores, porém em seus experimentos sugeriu alterá-lo para um valor que correspondesse a uma viscosidade relativa equivalente ao dobro ou 100% da concentração máxima (ϴ/(ϴ)ղr=100).
Em 1998, Pal e Rhodes introduziram este conceito para encontrar a equação que pudesse correlacionar a viscosidade aparente. Para o seu estudo, considerou dados de Eiler, Van Der Waarden e os seus próprios. Para alcançar a sua equação, partiu de suas hipóteses e da equação de Einstein, chegando na equação empírica 2.54:
μe μc = (1 + θ (θ)nr=100 ⁄ 1,187−θ (θ)nr=100⁄ ) 2,492 2.54
O valor de (ϴ)ղr=100 para dispersão de água em óleo corresponde a 1,02 enquanto dispersão de óleo em água é de 0,89 (Vielma, 2006).
2.6.19. Modelo de viscosidade de Guet et al. (2006)
Diferente das propostas anteriores, este modelo sugere que as regiões das fases contínuas devem ser tratadas de forma distinta. Para dispersão de água em óleo, para teores de água abaixo da fração de água crítica (ϴ<ϴw,c) existem ainda duas regiões de acordo com o autor. Para teores de água abaixo de 0,089 a equação 2.29 é aplicável.
Para teores acima de 0,089, aplica-se a equação 2.55:
μe = [1 + 2,5 ∗∈d,c+ 14,1 ∗∈d,c2 ] ∗ μc ∗ (1 − ∅) + [∈d,e∗ μd + (1 −∈d,e) ∗ μc] ∗ ∅ 2.55
No qual
∈d,e= θ − 0,089 2.56
e
∅ =θ−0,089
θ 2.57
Para teores de água acima do valor crítico (ϴ>ϴw,c) a viscosidade da mistura é igual a viscosidade da água.
μe = μc 2.58
Enfim, o comportamento da viscosidade aparente é resultado de diferentes parâmetros conforme pode-se observar nas equações apresentadas. Todos estes modelos são aplicados a mistura água-óleo. Desde as correlações mais simples às mais sofisticadas percebe-se que