Análise de Incertezas Experimentais

As incertezas sempre estão presentes nas medidas experimentais. Ao analisar os bancos de dados e seus respectivos artigos, observamos que alguns destes estudos não apresentaram estas incertezas. Os bancos de dados de Castro (2013) e Rodriguez (2014) apresentaram uma incerteza média de 1,20% e 0,84% para o gradiente de pressão, respectivamente.

Porém entende-se que neste estudo, além do gradiente de pressão, é desejável conhecer as incertezas tanto nos cálculos de fator de atrito como na viscosidade aparente.

Neste sentido, com base no “Apêndice F” do livro “Introdução a Mecânica dos Fluidos”(Fox, 2006) é possível estimá-los.Seguindo esta metodologia, torna-se possível estimar a incerteza da viscosidade aparente como a sua propagação no cálculo do fator de atrito e gradiente de pressão e vice-versa.

A viscosidade é influenciada diretamente pela temperatura e por esta razão, a incerteza necessita ser considerada conforme a equação 3.6, que leva também em consideração a incerteza da temperatura. 𝐼_𝜇 = ±𝛿𝜇 𝜇 = 1 𝜇∗ 𝑑𝜇 𝑑𝑇∗ (±𝛿𝑇) 3.6

onde µ é a viscosidade do óleo ou da água, durante o escoamento monofásico, na temperatura do experimento e Iµ é a incerteza da viscosidade calculada para cada fase.

A derivada pode ser estimada a partir de dados coletados nos experimentos para temperaturas próximas do experimento, geralmente uma referência acima e outra abaixo, da temperatura do experimento e de suas viscosidades correspondentes.

𝑑μ 𝑑𝑇= ∆𝜇 ∆𝑇 = 𝜇2−𝜇1 𝑇2−𝑇1 3.7

Calculada a equação 3.7 tanto para a água como para o óleo, aplicamos a equação 3.6 e encontramos a incerteza da viscosidade para cada fase envolvida.

Os próprios dados tabulados de viscosidade também apresentam algum nível de incerteza e desta forma o cálculo da incerteza geral da mistura está apresentado na equação 3.8.

IGμ = √I_o2 _{+ Io} Tabela

2 _{+ I}

w2 + IwTabela2 3.8

onde 𝐼𝑜𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 e 𝐼𝑤𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎são as incertezas do óleo e da água encontradas nas tabelas, 𝐼𝑜 e 𝐼𝑤 são as incertezas do óleo e da água considerando a variação da temperatura e𝐼𝐺𝜇é a incerteza geral da viscosidade da mistura.

Para a estimativa da incerteza no cálculo da viscosidade aparente, partimos da equação de Einstein, equação 2.21, porém o mesmo raciocínio pode-se aplicar nos demais modelos de viscosidade apresentados neste estudo.

Sabendo-se a incerteza da viscosidade da mistura, o próximo passo é conhecer a incerteza do teor de água. Esta incerteza necessita ser obtida através dos próprios dados experimentais. Conhecidos estes valores aplicamos a derivada na equação de Einstein em função do teor de água e encontramos a equação 3.9.

dμe

dθ = +2,5 ∗ μ 3.9

Conhecida a derivada, apenas o sinal (positivo ou negativo) será considerado para o cálculo final da incerteza da viscosidade aparente, resultando na equação 3.10.

IGμe = √IGμ2 + Iθ2 3.10

Para o cálculo da incerteza do fator de atrito seguimos os mesmos passos aplicados na viscosidade aparente. Partindo da equação 2.16, a única variável é o número de Reynolds. Neste sentido, a incerteza calculada no número de Reynolds é a mesma do fator de atrito, onde as variáveis da equação 2.14 são a massa específica, a velocidade superficial, o diâmetro da tubulação e a viscosidade aparente.

A incerteza relacionada à viscosidade aparente é conhecida a partir dos cálculos anteriores. Já, em relação a velocidade superficial da mistura e o diâmetro da tubulação devem ser obtidos diretamente nos experimentos e nos equipamentos. Por fim, apenas a incerteza da massa específica deve ser calculada seguindo a mesma estrutura para o cálculo da incerteza da viscosidade, equações 3.6, 3.7 e finalmente 3.8. Na sequência, as derivadas parciais da equação de Reynolds requeridas são:

𝜕𝑅𝑒 𝜕𝜌 = + 𝑈∗𝐷 𝜇𝑒 3.11 𝜕𝑅𝑒 𝜕𝑈 = + 𝜌∗𝐷 𝜇𝑒 3.12 𝜕𝑅𝑒 𝜕𝐷 = + 𝜌∗𝑈 𝜇𝑒 3.13 𝜕𝑅𝑒 𝜕𝜇𝑒= − 𝜌∗𝑈∗𝐷 𝜇𝑒2 3.14

Desta forma, conhecidas as incertezas de todas as variáveis e os sinais indicativos pelas derivadas parciais, calcula-se a incerteza do número de Reynolds através da equação 3.15.

𝐼_𝑅𝑒 = √IGρ_mistura2 _{+ 𝐼}

𝑈2 + 𝐼𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2 − 𝐼𝐺𝜇𝑒2 3.15 onde 𝐼𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, 𝐼𝑈 e 𝐼𝐺𝜌𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎 são as incertezas do diâmetro da tubulação, velocidade superficial da mistura e da massa específica geral da mistura respectivamente.

Conhecido a incerteza do número de Reynolds ou do fator de atrito, agora aplicamos os mesmos passos para conhecer a incerteza do gradiente de pressão.

Na equação 2.12 referente ao cálculo do gradiente de pressão, as variáveis são o fator de atrito, a massa específica, a velocidade superficial e o diâmetro da tubulação. Encontrando as derivadas parciais, pode-se encontrar a equação 3.16.

𝐼_{𝜕𝑃/𝜕𝐿} = √IGρ_mistura2 _{+ 𝐼}

ƒ2− 𝐼𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2 + 𝐼𝑈2 3.16 onde 𝐼ƒ e 𝐼𝜕𝑃/𝜕𝐿 são respectivamente as incertezas do fator de atrito e do gradiente de pressão respectivamente.

O cálculo das incertezas também pode ser realizado a partir do gradiente de pressão. Utilizando-se da equação 2.12 e isolando o fator de atrito nesta equação, calculam-se as novas derivadas parciais do fator de atrito em relação ao gradiente de pressão, massa específica, velocidade superficial e diâmetro da tubulação.

𝐼_𝑓 = √−IGρ_mistura2 + 𝐼_{𝜕𝑃/𝜕𝐿}2 + 𝐼_{𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜}2 − 𝐼_𝑈2 3.17

Se resgatássemos as incertezas fornecidas pelos bancos de dados de Castro (2013) e Rodriguez (2014), poderíamos aplicá-la na equação 3.17.

Em sequência, como identificamos anteriormente, a incerteza do fator de atrito é a mesma do número de Reynolds. Desta forma, para encontrarmos a incerteza da viscosidade aparente, consideramos a equação 2.14, porém isolamos a viscosidade aparente de forma similar que realizamos no cálculo de fator de atrito.

Aplicando as derivadas parciais da viscosidade aparente em relação ao número de Reynolds, velocidade superficial da mistura e o diâmetro da tubulação, encontramos a equação 3.18.

𝐼𝐺𝜇𝑒 = √IGρmistura2 + 𝐼𝑈2+ 𝐼𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2 − 𝐼𝑅𝑒2 3.18

Enfim, o uso da incerteza é importantíssimo para todos os estudos experimentais. Nem sempre os dados são igualmente bons para as análises. Os equipamentos devem ser sempre calibrados para garantir a qualidade dos dados e a validade dos dados deve ser documentada antes que os resultados do teste sejam usados em projetos (FOX, 2006).

Nos bancos de dados estudados apenas algumas das incertezas necessárias estavam presentes, ou foram reportadas, assim, deixamos apenas o roteiro de cálculo para futuras análises em bancos de dados mais completos.