Explorando as propriedades geométricas no ensino dos números complexos

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO. Fabiana Gerusa Leindeker Da Silva. EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS. Santa Maria, RS 2016.

(2) Fabiana Gerusa Leindeker da Silva. EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS. Trabalho de conclusão apresentado no Curso de Especialização, em nível de PósGraduação Latu Sensu, Ensino de Matemática no Ensino Médio da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Ensino da Matemática no Ensino Médio.. Orientadora: Profª Drª. Maria Cecilia Pereira Santarosa. Santa Maria, RS 2016.

(3) Fabiana Gerusa Leindeker da Silva. EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS. Trabalho de conclusão apresentado no Curso de Especialização, em nível de PósGraduação Latu Sensu, Ensino de Matemática no Ensino Médio da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Ensino da Matemática no Ensino Médio.. Aprovada em 14 de maio de 2016:. Maria Cecilia Pereira Santarosa, Dr.ª (UFSM) (Presidente/Orientadora). Luciane Gobbi Tonet, Dr.ª (UFSM). Valeria de Fatima Maciel Cardoso Brum, Dr.ª (UFSM). Santa Maria, RS 2016.

(4) RESUMO EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO ENSINO DOS NÚMROS COMPLEXOS. AUTORA: Fabiana Gerusa Leindeker da Silva ORIENTADORA: Maria Cecilia Pereira Santarosa. Este trabalho de conclusão de curso apresenta uma proposta de ensino de Números Complexos explorando as suas propriedades geométricas e o uso de coordenadas polares com base na forma trigonométrica deste conjunto. Nas atividades propostas são exploradas com detalhe as operações de rotação, contração e dilatação no plano, proporcionadas pelas operações de multiplicação e potenciação de Números Complexos. Além disso, exibe-se um encontro com os polígonos regulares através da radiciação de números complexos e explora-se o cálculo da área destes polígonos levando a generalização de uma fórmula para o encontro da área de um polígono regular de. lados gerado a partir da raiz enésima de um número complexo. Estas propostas tem. o objetivo de ampliar as formas de exibição e discussão de Números Complexos e estão direcionadas ao professor de matemática do Ensino Médio que busque por novas estratégias de ensino..

(5) ABSTRACT EXPLORING THE GEOMETRIC PROPERTIES IN EDUCATION OF COMPLEX NUMBERS. AUTHOR: Fabiana Gerusa Leindeker da Silva ADVISER: Maria Cecilia Pereira Santarosa. This course conclusion work presents a Complex Numbers of teaching proposal exploring its geometric properties and the use of polar coordinates based on the trigonometric form of this set. The proposed activities are explored in detail the rotation operations, contraction and expansion in the plan, provided by the multiplication operations and leveraging Complex Numbers. It also displays up a meeting with the regular polygons by root extraction of complex numbers and explores the calculation of the area of these polygons leading to generalization of a formula to find the area of a regular polygon of n sides generated from nth root of a complex number. These proposals have the aim of expanding the forms of display and discussion of Complex Numbers and are directed to high school math teacher who seeks new teaching strategies..

(6) SUMÁRIO. 1 2 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 4 4.1 4.1.1 4.1.2 5 6. INTRODUÇÃO UM POUCO DA HISTÓRIA SOBRE O SURGIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ..................................................................... NÚMEROS COMPLEXOS ..................................................................... DEFINIÇÃO .............................................................................................. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA .......................................................... Considerações sobre a Unidade Imaginária ........................................... Igualdade entre Números Complexos ..................................................... Operações com Números Complexos na Forma Algébrica ................... Conjugado de um Número Complexo ..................................................... Conjugado da Soma, do Produto e de uma Potência .............................. Divisão entre Números Complexos.......................................................... PLANO DE ARGAND-GAUSS .................................................................. Módulo de um Número Complexo ........................................................... Propriedades Imediatas do Módulo ........................................................ A Trigonometria dos Números Complexos ............................................. A Forma Trigonométrica dos Números Complexos ............................... Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma Trigonométrica ......................................................................................... Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica .......... Radiciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica ........... PLANO DE AULA – ANÁLISE A PRIORI ........................................... O PLANO DE AULA ................................................................................. Exemplos apresentados no Início da Aula Inédita .................................. Soluções e Considerações sobre os Objetivos das Atividades Propostas ................................................................................................... ANÁLISE A POSTERIORI ..................................................................... CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................... REFERÊNCIAS ....................................................................................... ANEXO ...................................................................................................... 7 10 13 13 13 14 15 15 15 16 16 17 18 18 19 20 21 23 24 26 26 27 33 50 63 64 65.

(7) 7. 1 INTRODUÇÃO. A experiência com o ensino da Matemática mostra que no Ensino Médio pouco se vê sobre números complexos. Em algumas escolas, este não é mais um conteúdo a ser abordado. De acordo com CARNEIRO (2004) nos cursos superiores de Licenciatura e Bacharelado em Matemática, os números complexos são considerados como conteúdo trivial do Ensino Médio, sendo neste último, evitados por serem taxados de estranhos e de difícil compreensão. Além disso, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM) não fornecem muitas indicações quanto ao ensino de números complexos. Consta apenas a motivação de introduzir estes números com enfoque histórico na necessidade de se obter soluções para equações do segundo grau, sugerindo ainda, que isto seja feito a partir da equação. .. Os números complexos, quando fazem parte dos conteúdos do Ensino Médio, são, em geral, abordados no terceiro ano, quando também é estudada a Geometria Analítica. Mesmo existindo conexões entre os dois conteúdos, os números complexos são vistos isolados. Este conjunto, sem conexão com outras áreas do conhecimento ou com outros conteúdos matemáticos, torna-se desinteressante e sem utilidade prática. Os números complexos aparecem naturalmente em muitas aplicações das áreas cientificas. São eles uma ferramenta fundamental, por exemplo, nas engenharias, como na Engenharia Elétrica na análise de circuitos de corrente alternada, grandezas com a impedância (em ohm) e potência aparente (em volt-ampere) expressas por números complexos. Também no estudo de números complexos pode-se buscar conexões com outros conteúdos matemáticos, como a Geometria Plana, a Geometria Analítica já mencionada anteriormente, entre outros. Os números complexos facilitam o cálculo e a resolução de muitos problemas. Fazendo uso deste conjunto é possível demonstrar alguns teoremas da Geometria Plana com mais facilidade e também resolver problemas da Geometria Analítica mais rapidamente. O objetivo deste trabalho é apresentar uma aula inédita com foco na representação geométrica dos números complexos. Para tanto, apresentamos um breve histórico dos números complexos, como se deu seu surgimento e desenvolvimento, sendo a sua representação geométrica, dada por Gauss, o marco na história para que estes números fossem reconhecidos pela comunidade matemática. No que segue, serão apresentadas suas representações e propriedades. E por fim, será apresentada a aula.

(8) 8. inédita, vislumbrando a representação geométrica das operações de multiplicação, potenciação e radiciação de complexos. Deseja-se averiguar se a ênfase no enfoque geométrico contribui no processo de ensino e aprendizagem de números complexos e, também, na revisão de conteúdos já vistos, tais como áreas de polígonos regulares e Trigonometria. Para tanto, realizando o objetivo principal do Trabalho de Conclusão de Curso, elaboramos um plano de aula que foi colocado em prática após as aulas de explanação do conteúdo. Neste plano, elaboramos uma aula inédita, trabalhando com a representação geométrica dos números complexos na sua forma polar, ou trigonométrica, e as consequências geométricas quando são feitas as operações de multiplicação, potenciação e radiciação. A aula inédita deste trabalho foi aplicada no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul – IFRS – Campus Rio Grande. É uma escola da rede federal de Institutos de Educação Básica, Técnica e Tecnológica gerida pelo Ministério da Educação por meio da Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC/MEC). A autora deste trabalho é professora nesta Instituição e o início do ano letivo no ano de dois mil e dezesseis começou no final de fevereiro do mesmo ano. Foi aplicada a aula inédita na turma 2A, na disciplina de Matemática II, do curso de Ensino Médio integrado ao Técnico em Eletrotécnica, com 35 alunos, sendo alguns alunos do terceiro ano que estão repetindo a disciplina. Os alunos são oriundos dos diversos bairros da cidade de Rio Grande. O período é integral, com aulas pela manhã e a tarde e folga na segunda-feira e na quinta-feira à tarde. Os professores do curso disponibilizam horários de atendimento, onde os alunos podem tirar suas dúvidas individualmente ou em grupo. O programa do Curso Integrado Técnico em Eletrotécnica prevê o ensino de números complexos no segundo ano do Ensino Médio, sendo que no primeiro ano consta no programa a Trigonometria. A Geometria Analítica será vista apenas no terceiro ano, deste modo, a autora deste trabalho, na sua aula inédita, não pode fazer a conexão entre Números Complexos e a Geometria Analítica. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) destaca-se a importância em estabelecer conexões entre os conteúdos matemáticos e aplicações dos conhecimentos a situações diversas. Na aula inédita a autora procurou fazer a conexão de números complexos com ângulos, polígonos regulares e suas propriedades, conteúdos vistos no Ensino Fundamental. Alguns alunos tiveram dificuldade, pois não lembravam de algumas fórmulas de área, por exemplo, mas o que surpreendeu foi como.

(9) 9. alguns alunos, por caminhos diferentes do convencional, de acordo com o que lembravam, chegavam a solução. Na perspectiva da Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) de Ausubel (2003), a variável mais importante para novas aprendizagens é o conhecimento prévio do aluno. Isto quer dizer que, para aprender um conteúdo novo, o aluno deve apresentar na sua estrutura cognitiva conceitos subsunçores que servirão de “ancoradouro” para a interação com o novo conhecimento. O fato de alguns alunos não lembrarem de fórmulas de áreas, por exemplo, pode caracterizar que a aprendizagem deste conceito prévio não foi significativa, e sim, mecânica. Ou, simplesmente, não houve aprendizagem prévia. Na aprendizagem mecânica o conteúdo assimilado é facilmente esquecido. Alguns objetivos principais a serem atingidos pela aula inédita foram definidos: . Representar no plano complexo um número complexo dado na sua forma. trigonométrica sem encontrar a forma algébrica; . Entender o produto entre números complexos como uma rotação no. plano, seguida de dilatação ou de contração; . Desenvolver a análise da potenciação de números complexos,. investigando o que acontece quando o expoente para o módulo do número complexo : | |  raízes. | |. tende ao infinito nos possíveis casos e| |. ;. Identificar e representar no plano o polígono formado com os vértices nas de um número complexo;. . Encontrar a área destes polígonos, fazer conjecturas sobre as áreas. encontradas e determinar uma fórmula para a área em função de. e do argumento do. número complexo dado na sua forma polar. Para cada atividade proposta no plano de aula, foi feito um relato quanto aos objetivos desejados pelo professor, as dificuldades apresentadas pelos alunos e as diferentes formas que os alunos encontraram para chegar a solução do problema proposto para servir de guia para a análise a posteriori. Por fim, apresentamos as conclusões após a análise dos resultados obtidos..

(10) 10. 2 UM POUCO DA HISTÓRIA SOBRE O SURGIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS.. De acordo com Jacques Hadamard (apud Ripoll et al., 2009, p. 371), o caminho mais curto entre duas verdades do campo real passa através do campo complexo. Na História da Matemática, quando os matemáticos, ao resolverem problemas, se deparavam com raízes quadradas de números negativos, sempre foi muito claro para eles que tais problemas não tinham solução, pois um número negativo não tem raiz quadrada. De acordo com Roque (2012), povos como os babilônicos já sabiam resolver equações de segundo grau, ainda segundo Boyer (2012) para os babilônicos eram frequentes problemas de encontrar dois números, dado seu produto e sua soma ou diferença. Nas soluções de muitos destes problemas, apareciam radicais de números negativos. Mesmo assim, não foram estas equações que deram origem ao uso de números complexos, pois sempre que estas apareciam os matemáticos concluíam que a equação, ou o problema proposto que deu origem a equação, não tinha solução. Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501 – 1576). Conforme Pinto (2009), em 1545, em seu livro Ars Magna, Cardano resolve o problema de dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40. Tal problema é equivalente a resolver a equação. (1). √. Ao encontrar as raízes para a equação (1),. e. √. ,. Cardano propõe a existência de raízes quadradas de números negativos, admitindo serem estas as soluções. Conforme Carmo (2005), Cardano afirma ter deixado de lado toda a tortura mental envolvida em trabalhar com algo que, até então, não existia e multiplica as raízes encontradas, ( desejado no problema inicial,. √. ) (. √. ), obtendo o produto. . Cardano diz que tal resultado seria tão sutil quanto. inútil, pois as raízes satisfaziam o problema inicial, mas não tinham significado por se tratar de raiz de número negativo. Para resolver problemas concretos eram formuladas equações matemáticas. Na resolução das equações do segundo grau, sempre que apareciam radicandos com.

(11) 11. números negativos, isto indicava que o problema originalmente proposto não tinha solução. Foram as equações de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar com raízes de números negativos. De acordo com Pinto (2009), ainda no livro Ars Magna de Cardano, ele apresenta a fórmula para a resolução da equação de terceiro grau. Dada a equação. (2). a fórmula de Cardano-Tartaglia que permite obter uma raiz para (2) é. √. √( ). ( ). √. √( ). Observamos na equação (3) que quando ( ). ( ). ( ). (3). , teremos uma raiz. quadrada de número negativo e, portanto, parece que não existe tal raiz, isto é, a fórmula não resolve a equação do terceiro grau. Porém, isso não acontece. Mesmo que apareça raiz quadrada de número negativo, ainda assim é possível encontrar a raiz para equação do terceiro grau pela fórmula (3) que Cardano apresentou em seu trabalho, como veremos a seguir. Raphael Bombelli, matemático italiano, discípulo de Cardano, publicou por volta de 1560, o livro L’Algebra, em que descreve as ideias de Cardano de forma didática. Ele considera a equação. (4). e ao resolvê-la usando a fórmula de resolução (3), chega na seguinte expressão para uma das raízes de (4):. √. √. √. √. (5).

(12) 12. Bombelli sabia que. era uma solução da equação (4) e decide trabalhar. com as raízes quadradas de números negativos como se fossem números verdadeiros. Ele enuncia algumas regras para trabalhar com tais raízes e analisando a solução, percebe que se √ √. √. √. √. fosse da forma. , donde encontraria. e, neste caso, teria. e verificou que, de fato (. ainda que (. √. ). (. √ ). (. √ ). . Assim, aplicando as regras de cálculos algébricos,. Bombelli concluiu que √. √ , talvez também. fosse um número da forma. √. ). √. e. . Desta forma, Bombelli teve a necessidade. explícita de introduzir os números complexos nos cálculos para encontrar a solução real da equação (4) e fez a primeira apresentação do assunto. A partir dos estudos de Cardano e de Bombelli, outros matemáticos também pesquisaram sobre esse problema, mas obteve-se uma formalização rigorosa desse conjunto apenas dois séculos mais tarde quando Friedrich Gauss (1777 – 1855) apresentou a interpretação geométrica dos números complexos. Portanto, a história nos mostra que a representação geométrica dos números complexos é muito importante para o entendimento deste conjunto. Por esta entre outras razões, este trabalho tem a finalidade de trabalhar com as propriedades dos números complexos com vistas a representação geométrica no plano complexo..

(13) 13. 3 NÚMEROS COMPLEXOS. Apresentaremos o conjunto dos números complexos, denotado por. , sua. definição, as representações, propriedades algébricas e geométricas, dando o embasamento necessário para o nosso foco maior, a aula inédita. Os conceitos abaixo foram elaborados pela autora a partir da experiência lecionando-os, e na pesquisa de alguns livros didáticos citados nas referências.. 3.1 DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO. Na matemática, existe mais de uma maneira de se conceituar, formalmente, um número complexo. Neste material daremos a seguinte definição: Dado um número. , então. com. .. Sendo assim, o conjunto dos números complexos,. de todos os pares ordenados. de reais fica definido: {. }. (6). Observamos que há um isomorfismo entre o conjunto dos números complexos e o conjunto. dos pares ordenados. número complexo. onde. e. . De fato para cada. , existe um único ponto. , e para cada ponto. , tal que. , existe um único. , tal que. . Portanto valem para os números complexos todas as operações e propriedades entre pares ordenados. No que segue, faremos a apresentação das operações e propriedades com os números complexos na sua representação algébrica.. 3.2 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO. O número complexo √. pode ser reescrito como. , onde. . Esta é denominada forma algébrica de , onde os números reais. e. são,. respectivamente, denominados de parte real e parte imaginária de . Comumente usa-se as notações:. e. número imaginário puro, e quando. . Quando. e. , temos um número real.. , temos um.

(14) 14. Com o exposto acima, percebe-se que ao considerarmos o conjunto {. é fácil ver que para cada elemento para cada elemento função. :. }. (7). , existe um único elemento. e. , existe um único elemento. , que associa a cada elemento. . Ou seja, a. , um elemento. ,. é uma função bijetora e, portanto, podemos concluir que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos, isto é,. .. A seguir apresentaremos algumas propriedades dos números complexos com esta representação e faremos algumas considerações pertinentes sobre a unidade imaginária.. 3.2.1 Considerações sobre a Unidade Imaginária. Definimos como unidade imaginária o número complexo sendo. , ou seja,. ,. a propriedade fundamental da unidade imaginária. Observe o comportamento das potências naturais de :   . (propriedade fundamental da unidade imaginária). . (. . (. . (. . (. . (. ) ) ) ) ).  A proporção que. cresce, existe um período para. se repetindo periodicamente. Os valores que. , isto é, as potências. podem assumir são. forma, o período é de quatro unidades, e para encontrar o valor que escrever com efeito,. ,. , onde. , sendo. e. vão . Desta. assume, devemos. o resto da divisão de. por ,.

(15) 15. de onde concluímos que. .. 3.2.2 Igualdade entre Números Complexos. Dois números complexos são iguais, se e somente se, possuem as partes reais iguais e partes imaginárias também iguais. Dados os complexos e. e. , então. .. 3.2.3 Operações com Números Complexos na Forma Algébrica . Adição entre Números Complexos. Para somarmos dois números complexos na forma algébrica, somamos as partes reais e somamos as partes imaginárias. Isto é, dados [ . ]. e. [. , então ] .. Multiplicação entre Números Complexos. A parte real do produto de dois números complexos na forma é igual a diferença entre o produto das partes reais e o produto das partes imaginária dos dois complexos. E a parte imaginária é igual a soma dos produtos da parte real de um pela parte imaginária do outro. Isto é, dados Dados. e. , então. A multiplicação entre números complexos satisfaz a propriedade distributiva e a propriedade fundamental da unidade imaginária (. .. 3.2.4 Conjugado de um Número Complexo O conjugado do número complexo , denotado por ̅ é o número complexo tal que. ̅. e. ̅. . Assim dado ̅. , o conjugado de. .. Da definição de conjugado, resultam algumas propriedades a seguir listadas: (i). O conjugado do conjugado de. é o próprio ;. será. (8).

(16) 16. ̅ (ii) A soma entre um número complexo e o seu conjugado é um número real igual ao dobro da parte real, isto é, ̅ (iii) A diferença entre um número complexo e seu conjugado é um imaginário puro, cuja parte imaginária é o dobro da parte imaginária do complexo, isto é, ̅ (iv) O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real positivo igual a soma do quadrado da parte real com o quadrado da parte imaginária, isto é, ̅. [. ]. [. ]. 3.2.5 Conjugado da Soma, do Produto e de uma Potência. Dados dois números complexos quaisquer. e. , seguem algumas propriedades. decorrentes da definição de conjugado e das operações entre complexos: (i) O conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅. ̅. ̅. (ii) O conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é, ̅̅̅̅̅̅̅̅. ̅. ̅. (iii) O conjugado de uma potência é igual à potência do conjugado, isto é, ̅̅̅̅̅̅ ̅. 3.2.6 Divisão entre Números Complexos. Dados. , com. , observamos que para efetuar a divisão. precisamos saber o que significa dividir pela unidade imaginária. e, assim como na. divisão de números irracionais, não podemos fazer essa divisão diretamente. Desta forma, precisamos de um algoritmo que torne o denominador um número real. No decorrer deste texto, apresentamos que, sempre ao multiplicar um número complexo pelo seu conjugado, o produto será um número real positivo. Assim, se multiplicarmos a fração dada por uma fração igual a. formada pelo conjugado do denominador,.

(17) 17. estaremos tornando real o denominador e não vamos alterar o resultado da divisão. Observe ̅ ̅. [. ̅ [. ]. (9). ]. 3.3 PLANO DE ARGAND-GAUSS. A representação gráfica de um número complexo na Figura 1, segue da sua definição como par ordenado de números reais. e. . A cada número complexo. , corresponde um único ponto cada ponto do plano o ponto. do plano cartesiano, e, a. corresponde um único número complexo. Chamaremos. de imagem geométrica do complexo ,. Figura 1 – Representação geométrica do número complexo. .. .. Fonte: Autora. Carneiro (2004) observa que a representação gráfica dos números complexos foi introduzida através de estudos de Gaspar Wessel (1745 – 1818) e publicada em 1798 na Revista da Academia Dinamarquesa. Quando o plano cartesiano é utilizado para representar números complexos, passamos a chama-lo de Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss. Esta representação foi reconhecida apenas em 1806, quando Jean Robert Argand (1768 – 1822) publicou sua exposição, sendo que sua incorporação definitiva a matemática, se deu quando Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) divulgou seus trabalhos, durante a segunda década do século XIX. Algumas observações pertinentes a representação gráfica: . Todos os números reais têm sua representação gráfica no eixo ⃗⃗⃗⃗⃗ ;. chamado eixo real;.

(18) 18. . Os números imaginários puros têm sua representação gráfica no eixo ⃗⃗⃗⃗⃗ ,. denominado eixo imaginário.. 3.3.1 Módulo de um Número Complexo. Considerando um número complexo representação gráfica. A distância de. , temos no ponto. sua. até a origem , um número real não negativo, é. chamado módulo do número complexo . É comumente denotado por | | ou simplesmente . O módulo de. , ou. é facilmente obtido pelo Teorema de Pitágoras, o qual. afirma que em todo o triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Na Figura 2, está representado o triângulo retângulo de catetos hipotenusa | |, onde. e. e. .. Figura 2 – Módulo de um número complexo. .. Fonte: Autora . Algebricamente, o módulo do número complexo. é o número. real não negativo dado por:. √. | | . (10). Geometricamente, o módulo do número complexo. distância do ponto. até a origem | |. é a. . ̅̅̅̅. (11).

(19) 19. 3.3.2 Propriedades Imediatas do Módulo. Sendo. , valem as propriedades:. . | |. . |. |. . | |. |. |. |. |. . |. | ̅| | | | |. |. , com | |. | | (desigualdade triangular). 3.3.3 A Trigonometria dos Números Complexos. Sejam A medida. um número complexo não nulo e. o ponto que o representa.. do ângulo formado pelo semi-eixo positivo ⃗⃗⃗⃗⃗ e pelo segmento ̅̅̅̅. (tomada no sentido anti-horário) é chamada argumento principal do número complexo , e indicada por. , conforme ilustrada na figura 3.. Figura 3 – Argumento do número complexo. .. Fonte: Autora. No caso em que ⃗⃗⃗⃗⃗ , adotamos. e. , isto é, quando. está sob o semi-eixo positivo. . Percebemos então que. (12). Observamos que damos o nome de argumento principal a. pelo fato de também. serem considerados como argumento do número complexo. todos os. côngruos de , ou seja, os ângulos de medidas:.

(20) 20. (13). onde. . É frequente nos referirmos ao argumento principal. simplesmente como. argumento de .. 3.3.4 A Forma Trigonométrica dos Números Complexos. As definições de módulo e argumento de. nos permitem escrevê-lo numa nova. forma, além das já utilizadas (cartesiana e algébrica). , de módulo | | e argumento. Para todo número complexo. ,. valem as seguintes relações:. | | (14). e | |. donde segue que. | |. e. | |. .. Das relações em (14), podemos escrever | |. (15). a qual denominamos forma polar ou trigonométrica, do número complexo . Figura 4 – Forma Trigonométrica do número complexo. Fonte: Autora. ..

(21) 21. Para simplificação da escrita, adotaremos a seguinte notação. (16). Desta forma, dado o número complexo escrito na forma trigonométrica | |. , então na notação simplificada para este trabalho. .. A forma trigonométrica tem a vantagem de simplificar o trabalho na multiplicação, na divisão, na potenciação e na radiciação, conforme veremos a seguir.. 3.3.5 Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma Trigonométrica. Sejam. e. calcular o produto. números complexos não nulos. Vamos. , usando a propriedade distributiva:. Donde concluímos que [. (17). Da trigonometria, temos que:. (18). Substituindo as relações de (18) em (17): [. ]. (19). ou, usando a notação deste trabalho: (20).

(22) 22. Concluímos que, para multiplicar dois números complexos na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar seus argumentos. Esse procedimento pode ser generalizado para um número qualquer de fatores:. (21). Vamos calcular o quociente entre. e. :. Donde, concluímos que:. (22). Da trigonometria, temos que:. (23) e (24). Substituindo (23) e (24) em (22), concluímos que:. [. e usando a notação adotada neste trabalho:. ]. (25).

(23) 23. (26). Portanto, para dividir dois números complexos na forma trigonométrica, basta dividir seus módulos e subtrair seus argumentos.. 3.3.6 Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica. Com base na multiplicação, na forma trigonométrica, vamos verificar como se processa o cálculo de potências da forma. , sem que precisemos. recorrer a métodos exaustivos, tais como o binômio de Newton. Considere Se. e. , ambos não nulos. Vamos calcular. .. , temos:. (27). Aplicando em (27) o resultado obtido em (21), tem-se:. (28). Se. , temos. , podendo ser usado o resultado (28) para. . Então,. fazemos:. (29). Pela definição de número complexo,. , portanto temos uma divisão. entre números complexos. Logo, aplicando (26) em (29), obtemos:. (. ). (30).

(24) 24. O resultado (28) se repetiu para. , e também se verifica para. , temos que, para todo inteiro. , pois. vale o resultado obtido em. (28). Deste modo, para elevarmos um complexo qualquer, basta elevarmos o módulo ao expoente. a um expoente inteiro e multiplicarmos o seu argumento. por .. 3.3.7 Radiciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica. Dado complexo. e. não nulo, chamamos de raiz enésima de. que satisfaz a relação. .. Todo número complexo não nulo admite número. admite. a todo número. raízes enésimas. Por exemplo, o. raízes quartas, a saber. , uma vez. que:. No que segue, veremos como determinar as raízes de um número complexo. Dado. , seja. uma raiz enésima de . Então:. (31). e, portanto,. (32). Segue das propriedades de números reais positivos que o módulo da raiz enésima de um complexo. é igual a raiz enésima do módulo de , isto é. , ou seja. Sobre o argumento de argumento de , isto é,. √. , devemos considerar todas as determinações do ,. , e, portanto. (33).

(25) 25. (34). Ao atribuirmos para. os valores. distintos e não côngruos para. , em (34), obteremos. valores. e, para qualquer outro valor de , o valor resultante de. será côngruo de um dos já obtidos. Deste modo, concluímos que, determinado o módulo das raízes um dos. valores distintos e não congruentes do argumento. números complexos. √ e cada. , podemos formar. , todos eles raízes enésimas de , dados por:. √. (. ). (35).

(26) 26. 4 PLANO DE AULA – ANÁLISE A PRIORI. A aula inédita foi elaborada de modo que o processo de ensino e aprendizagem de números complexos, na sua forma trigonométrica, fosse feito exclusivamente através da geometria no plano, considerando circunferências centradas na origem e ângulos da primeira determinação positiva. Com o auxílio de material impresso contendo imagem de um plano e suas coordenadas polares, disponível no anexo 1 deste trabalho, e o uso das definições de operações na forma trigonométrica, espera-se contribuir no resgate da geometria, bem como livrar-se, sempre que possível, dos exaustivos cálculos algébricos. Durante as primeiras aulas do ano letivo, em especial naquela em que foi apresentada a forma trigonométrica dos números complexos, a professora fez uso do software GeoGebra, para apresentar aos alunos algumas propriedades das operações entre complexos na forma polar. O GeoGebra é um programa de Geometria Dinâmica, de uso livre onde podem ser desenvolvidas atividades que permitem as operações com Números Complexos e a verificação do cálculo do produto entre complexos de modo algébrico e geométrico, sendo desta forma uma ferramenta no processo de ensino e aprendizagem. Esta exposição foi feita com auxilio de um projetor multimídia que está a disposição em todas as salas de aula do Instituto Federal do Rio Grande do Sul, campus Rio Grande. Os alunos foram incentivados a fazer o download deste software em seus computadores pessoais e sempre que possível, manuseá-lo em seus estudos individuais.. 4.1 O PLANO DE AULA. O conteúdo da aula inédita foi trabalhado em sala de aula, com uso de material impresso das atividades contendo o plano e coordenadas polares. Num primeiro momento foram resolvidos alguns exercícios de maneira expositiva. Com o uso do projetor multimídia, a professora projetou no quadro branco o plano complexo com as coordenadas polares, o mesmo plano que consta no material impresso que foi entregue aos alunos, e resolveu alguns exercícios usando a lousa. O material em folhas de ofício com as atividades propostas foi impresso na escola e também disponibilizado em uma página da internet que a professora criou (sites.google.com/a/riogrande.ifrs.edu.br/matemática), vinculada a instituição, onde são disponibilizados atividades e material didático extras. Os alunos foram orientados.

(27) 27. anteriormente a aula inédita, a portar lápis, borracha, canetas, régua e transferidor. Qualquer material extra, tais como, canetas coloridas, lápis de cor, entre outros, fica a critério de cada aluno. Os alunos deveriam discutir e desenvolver as atividades em grupo. Em seguida, responder no material impresso que foi distribuído pela professora durante os períodos de execução da aula inédita. Para cada atividade havia um espaço para possíveis cálculos, mesmo que fosse cobrada apenas a representação geométrica. A avaliação dos alunos foi feita de forma qualitativa e quantitativa no decorrer das atividades propostas. Os alunos foram avaliados qualitativamente quanto a participação, comprometimento, trabalho em equipe, na capacidade de expressão e quantitativamente na analise, pela professora, das atividades resolvidas e entregue pelos alunos ao final da aula. As atividades propostas na aula didática foram testadas com antecedência pela professora e autora deste trabalho e são apresentadas na análise a priori da aula inédita. A aplicação da aula inédita foi realizada logo após a abordagem do conteúdo de números complexos na sua forma trigonométrica. Esta foi documentada por meio de fotografias e relatório de atividades. É importante saber que esta turma é de segundo ano do Ensino Médio, e os alunos ainda não tiveram contato com a Geometria Analítica. Portanto não faz sentido falar em equação de circunferência. Mesmo assim, com a ideia de que o módulo de um número complexo ponto. e a origem. é a distância entre o. , a noção de circunferência aparece. naturalmente. A professora apresentou para a turma a forma geométrica de encontrar o produto entre números complexos, potência de números complexos e radiciação entre números complexos, com pouco uso da álgebra envolvida nestes cálculos. O tempo previsto para a aula inédita foi de dois períodos de 60 minutos cada. A seguir, apresentam-se os exemplos que a professora abordou no início da aula inédita.. 4.1.1 Exemplos Apresentados no Início da Aula Inédita. Para todos os exemplos apresentados, foi projetado na lousa branca o plano elaborado no software GeoGebra com malha de coordenadas polares aparente como o.

(28) 28. da figura (5), assim como, para toda atividade, os alunos tiveram um semelhante no material impresso. Figura 5 – Plano Complexo com Coordenadas Polares.. Fonte: Autora  Exemplo 1: Dados os números complexos. , calcule:. a) b) A professora inicia a resolução do exemplo 1, encontrando no plano cartesiano os complexos. e. (Figura 6). Para isso, relembra a definição de circunferência, e. então, a partir de um diálogo com os alunos, chega-se a conclusão de que, se o módulo de um número complexo. é , então este complexo deve estar sobre a circunferência. com centro na origem e raio . Além disso, o ângulo formado entre a parte positiva do eixo ⃗⃗⃗⃗⃗ e o segmento ̅̅̅̅ é igual ao argumento de. . Desta forma, um número. complexo escrito na forma trigonométrica está bem definido. Figura 6 – Representação de. e. ..

(29) 29. Fonte: Autora. a) Para a solução do primeiro item do exemplo, a professora relembra com os alunos que o módulo do produto é o produto dos módulos, logo circunferência com centro na origem e raio. estará sobre a. Além disso, o argumento do. produto é a soma dos argumentos, logo. . Deste. modo, encontra-se a representação geométrica do complexo Figura 7 – Representação geométrica do produto. (Figura 7).. .. Fonte: Autora. b) Para este item, a professora novamente, relembra com os alunos que o quociente entre os complexos estará sob uma circunferência de raio igual ao quociente.

(30) 30. entre os módulos, portanto o complexo procurado está sobre a circunferência de raio |. |. |. |. logo. . Além disso, o argumento do quociente é igual a subtração dos argumentos, ( ). (Figura 8).. Figura 8 – Representação geométrica do quociente entre. e. .. Fonte: Autora  Exemplo 2: Sabendo que. é uma das raízes sextas de , encontre as outras raízes.. Para resolver este exemplo, o primeiro passo é representar no plano complexo a raiz dada (Figura 9): Figura 9 – Representação geométrica de. Fonte: Autora. ..

(31) 31. O segundo passo é lembrar que a representação gráfica das raízes enésimas de um número complexo são os vértices de um polígono regular de. lados, logo, as raízes. estão todas sobre uma mesma circunferência, neste caso de raio , pois o módulo da raiz dada é igual a , e as demais raízes possuem o mesmo módulo. Temos um polígono regular com. lados, visto que. é uma das raízes sextas de um número complexo. . Lembrando da propriedade de polígonos regulares, onde os ângulos centrais são congruentes, sabemos que o ângulo central do hexágono deve ser portanto o ângulo formado entre os segmentos ̅̅̅̅̅̅ e ̅̅̅̅̅̅̅̅̅. é de. , , isto é,. . Deste modo, geometricamente, basta “andar” sobre a circunferência de. em. para encontrar as outras raízes (Figura 10).. Figura 10 – Raízes sextas de .. Fonte: Autora. Exemplo 3: Dado. √. , determine. O primeiro passo é representar. e. .. no plano complexo (Figura 11):. Figura 11 – Representação geométrica de. √. ..

(32) 32. Fonte: Autora. Em seguida, lembramos que a potência enésima de um número complexo , tem módulo igual a potência enésima do módulo de argumento de . Mas | |. √ , logo | |. (√ ). duas vezes o argumento de , isto é, determinar. Fonte: Autora. e o argumento de. vezes o é igual a. . Já podemos. geometricamente (Figura 12):. Figura 12 – Representação geométrica de. e argumento igual a. ..

(33) 33. Percebemos então que o argumento da sequência de potências deste número complexo será de. em. e que o módulo, a cada iteração, será multiplicado por √. (Figura 13). Figura 13 – Representação geométrica de. e. .. Fonte: Autora. Nestas atividades, além da rotação no plano, poderiam ser resgatado conteúdos como Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. Não foi mencionado nada a respeito, pois conforme relatado anteriormente, a sequência de conteúdos no programa do Ensino Médio no Campus de Rio Grande do IFRS traz números complexos antes destes conteúdos.. 4.1.2 Soluções e Considerações sobre os Objetivos das Atividades Propostas. Apresentaremos aqui as soluções e os objetivos para cada uma das atividades propostas na aula inédita.  Atividade 01. Dados os números complexos .. ,. ,. e.

(34) 34. a) Represente os complexos no plano complexo ilustrado a seguir evidenciando o argumento e módulo de cada um (Figura 14). Figura 14 – Representação geométrica de. e. .. Fonte: Autora. b) Represente. e o produto. Figura 15 – Representação geométrica de. no plano a seguir (Figura 15).. .. Fonte: Autora. c) Represente no plano complexo. e o produto. (Figura 16)..

(35) 35. Figura 16 – Representação geométrica de. .. Fonte: Autora. d) Represente no plano. e o produto. Figura 17 – Representação geométrica de. (Figura 17):. .. Fonte: Autora. e) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo das multiplicações realizadas nos itens anteriores:. em cada uma.

(36) 36. Nesta atividade, espera-se que os alunos percebam que ao multiplicar o número complexo. por um complexo de módulo. e argumento , o produto permanece na. circunferência de raio igual a | |, porém rotaciona-se. em um ângulo .. Pode ser que eles falem isso apenas para o. do exercício, deste. modo apresenta-se a seguinte atividade para conduzir a uma generalização do produto entre um complexo. por um complexo unitário. ..  Atividade 2. | |. Dado o complexo. , representado. no plano complexo nos itens abaixo, e usando os complexos e. ,. ,. ,. ,. ,. , represente geometricamente os. produtos abaixo, fazendo uso do transferidor (Figura 18).. Figura 18 – Rotações de a). a partir do produto por complexos unitários b).

(37) 37. c). d). e). f). Fonte: Autora. d) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo. nas. multiplicações realizadas nos itens anteriores. O objetivo desta atividade é generalizar o resultado da atividade 1. Os alunos deveriam perceber que ao multiplicar qualquer número complexo. por um número. complexo unitário, isto é, módulo igual a um, e ângulo , é equivalente a rotacionar o número complexo. em um ângulo ..  Atividade 3. Dado o número complexo a) Represente no plano complexo. . (Figura 19)..

(38) 38. Figura 19 – Representação geométrica das potências de. .. Fonte: Autora b) Escreva a sequência de módulos das potências calculadas no item “a”. Que propriedade tem esta sequência? O módulo de todas as potências de módulo de é igual a 1, | |. será sempre unitário, pois o. . Portanto a sequência é constante e igual a .. c) Escreva a sequência de argumentos das potências calculadas no item “a”. Que propriedade tem esta sequência? A sequência de argumentos começa no argumento de , somando sempre. ao argumento anterior, observe:. A sequência de argumentos é. e segue.

(39) 39. d). E. se. continuássemos. calculando. ,. o. que. aconteceria. geometricamente? As potências de como o argumento de. estarão sempre sob a circunferência unitária e, além disso, é um divisor de. repetidos periodicamente, pois em. , então a partir de cabem exatamente. os complexos serão. ângulos de. e) O que você pode concluir sobre as potências de. .. analisando suas. representações geométricas? Pelo fato de o módulo de circunferência unitária. A potência. ser unitário, todas as potências estarão sob a é uma rotação de ângulo. a partir de ..  Atividade 4. Dado o número complexo. √. :. a) Represente no plano complexo. Figura 20 – Representação geométrica das potências de. e. (Figura 20).. √. .. Fonte: Autora b) Escreva a sequência de módulos das potências calculadas no item “a”. Que propriedade tem esta sequência?.

(40) 40. Os módulos desta sequência estão mudando, não são sempre os mesmos como na atividade anterior. O propósito deste item é que os alunos percebam que, para encontrar o módulo da potência. , basta multiplicar o módulo da potência. √ , ou ainda, conforme a fórmula De Moivre, | | |. | | .. √. | |. √. √. | |. √. | |. ( √ ). |. |. por. |. √. (√ ) c) Escreva a sequência de argumentos das potências calculadas no item “a”. Que. propriedade tem esta sequência? A sequência de argumentos das potências de de. em. potência. inicia no argumento de. e cresce. , isto é, de uma maneira recorrente, para encontrar o argumento da , basta somar. ao argumento da potência anterior. d) Se continuássemos calculando. .. ... o que aconteceria geometricamente?. Neste item, o intento é que o aluno perceba que as potências de. possuem. módulo cada vez maior, que tendem ao infinito e que o argumento aumenta de 45° em 45°, logo os complexos representados no plano complexo formam uma espiral em torno da origem.. e) O que você pode concluir sobre as potências de suas representações geométrica em relação as potencias de atividade 3?. √. analisando encontradas na.

(41) 41. Devido ao fato de o módulo de. ser maior que , o comportamento não seguiu. como na atividade 3, em que todas as potências ficaram sobre a circunferência centrada na origem e raio unitário. Mas ainda há um giro em torno da origem de. em. ..  Atividade 5. √. Dado o número complexo. :. a) Represente no plano complexo. e. Figura 21 – Representação geométrica das potências de. (Figura 21). √. .. Fonte: Autora b) Escreva a sequência de módulos das potências calculadas no item “a”. Que propriedade tem esta sequência? A sequência de módulos não é constante, mas sim decrescente, pois estamos fazendo as potências naturais de. √. . De maneira recorrente, para encontrar o. módulo da próxima potência, basta multiplicar o módulo da potência anterior pelo módulo de , ou seja, para encontrar | | |. √. |, resolvemos o produto. √. |. |..

(42) 42. | |. √ √. | |. |. √. |. √ ( ) √. √ ( ). | | c) Escreva a sequência de argumentos das potências calculadas no item “a”. Que. propriedade tem esta sequência? Os argumentos crescem na razão de. , isto é, a cada nova iteração, somamos. ao argumento da iteração anterior:. d) Se continuássemos calculando As potências de. ... o que aconteceria geometricamente?. vão formar uma espiral em torno da origem, com módulo cada. vez menor e o argumento aumentando de. em. .. e) O que você pode concluir sobre as potências de. √. analisando. suas representações geométrica? O objetivo deste item é que o aluno perceba que as potências vão girar em torno da origem, de quando. em. , com o módulo cada vez menor. Portanto, para | |. cresce, então. está se aproximando cada vez mais da origem do. sistema de coordenadas.  Atividade 6. Dado o número complexo. ,. .. a) Represente-o no plano complexo (Figura 22)..

(43) 43. Figura 22 – Representação geométrica de. .. Fonte: Autora. b) Se. é um dos vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma. circunferência com centro em e. , represente geometricamente os outros vértices. .. c) Por qual complexo deve-se multiplicar Para que o módulo de. , para obter. algebricamente?. não se altere temos que multiplica-lo por um complexo. de módulo unitário, e pelas propriedades de triângulo equilátero, o ângulo central mede , portanto temos que rotacionar por. em. . Deste modo devemos multiplicar. . d) Por qual complexo deve-se multiplicar. , para obter. Pelos mesmos motivos anteriores, multiplicamos. por. algebricamente? para obter. ,.

(44) 44. e). e. são raízes cúbicas de qual número complexo?. A atividade diz que equilátero, então. é um dos vértices de um triângulo. é uma das três raízes cúbicas de um número complexo. deve satisfazer a equação. e, portanto,. , logo. f) Qual é a área do polígono de vértices. e. ?. Para este item e para os que seguem onde pede-se a área do polígono encontrado, pretende-se resgatar o conteúdo visto no Ensino Fundamental sobre área de polígonos regulares. Além disso, temos o intuito de que o aluno, após encontrar algumas áreas, consiga generalizar a área do polígono com. lados, em função de. e de. | |, sendo os vértices do polígono as raízes enésimas de .  Atividade 7. Dado o número complexo a) Represente. .. no plano complexo (Figura 23).. Figura 23 – Representação geométrica de. .. Fonte: Autora. b) Se centro em 24).. é um dos vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com , represente geometricamente os outros vértices. e. (Figura.

(45) 45. Figura 24 – Representação geométrica dos vértices. e. .. Fonte: Autora. c) Por qual complexo deve-se multiplicar. , para obter. algebricamente?. Baseando-se nas propriedades do quadrado e considerando que o módulo de não deve se alterar, concluímos que. .. d) Por qual complexo deve-se multiplicar Analogamente,. Neste caso,. Se. algebricamente?. , para obter. algebricamente?. .. e) Por qual complexo deve-se multiplicar. f). , para obter. .. e. são raízes quartas de qual número complexo?. é raiz quarta de um número complexo , então a equação. deve. estar satisfeita, portanto encontramos :. g) Qual a área do quadrado?  Atividade 8. Dado o número complexo. √. . Sabe-se que. hexágono regular, inscrito na circunferência com centro em. é vértice de um ..

(46) 46. a) Represente no plano complexo. e. vértices do hexágono. regular (Figura 25). Figura 25 – Representação geométrica dos vértices do hexágono. e. .. Fonte: Autora. b) Sabemos que as raízes sextas de um número complexo representam um hexágono regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes sextas são os vértices do hexágono. ?. Para descobrir , basta resolver a equação √. :. (√ ). c) Represente cartesiano (Figura 26).. e o hexágono gerado pelas raízes sextas de. no mesmo plano.

(47) 47. Figura 26 – Representação geométrica de. e de suas raízes sextas.. Fonte: Autora e dos complexos √ ?. d) Qual a relação entre os módulos de. Os módulos dos complexos vértices do hexágono regular são todos iguais a √ e pela fórmula De Móivre para potências de números complexos, isto é, | | Além disso, o módulo das raízes sextas de. é menor que o módulo de , pois. (√ ) . | |,. observe: | |. | |. | |. √| |. | |. e) Qual é a área do hexágono? O hexágono é formado por seis triângulos equiláteros cujo lado é igual ao módulo de. : (√ ) (√ ). √.  Atividade 9. Dado o número complexo. √. . Se. é vértice de um octógono. inscrito na circunferência centrada na origem. a) Represente no plano complexo octógono regular (Figura 27).. e. , vértices do.

(48) 48. Figura 27 – Representação geométrica de. e. .. Fonte: Autora. b) Sabemos que as raízes oitavas de um número complexo representam um octógono regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes oitavas são os vértices do octógono. ?. Para descobrir , basta resolver a equação. :. √ ( ). c) Represente. e o octógono gerado pelas raízes oitavas de. cartesiano (Figura 28). Figura 28 – Representação geométrica de. Fonte: Autora. e das raízes oitavas de .. no mesmo plano.

(49) 49. d) Qual a relação entre os módulos de. e dos complexos √ ?. Os módulos dos complexos vértices do octógono regular são todos iguais a. √. e. da mesma forma que a atividade anterior, isto decorre da fórmula De Móivre para potências de números complexos, isto é, | |. √. ( ) . Nesta atividade, encontramos o. módulo das raízes oitavas de é maior que o módulo de , pois | | | |. | |. | |. | |. , observe:. √| |. e) Qual é a área do octógono com vértices nas raízes oitavas de ? O octógono é formado por oito triângulos isósceles congruentes com lados medindo. √. unidades de medida e ângulo do vértice (. √. √. , portanto ). √.  Atividade 10. Procure uma relação entre a área do polígono formado pelas raízes enésimas de , em função do natural. e do módulo . Dica: Para esta atividade, observe a figura. 29a, 29b, 29c e 29d e use a fórmula para área de um triângulo qualquer. (Equação. 36):. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. (36). Figura 29 – Polígonos regulares inscritos na circunferência com centro O .. (a) Triângulo equilátero. Fonte: Autora. (b) Quadrado. (c) Hexágono regular. (d) Octógono regular. e raio.

(50) 50. Observamos que as soluções da raiz enésima de um número complexo formam um polígono regular de lados, consequentemente triângulos isósceles e congruente, cujo lado é ( √| |) e ângulo do vértice (. . Portanto | |. (. )). 5 ANÁLISE A POSTERIORI. Conforme já comentado no capítulo 3, no início da aula inédita a professora apresentou três problemas resolvendo-os no quadro com ajuda do projetor multimídia. O conteúdo sobre números complexos já havia sido explanado em aulas anteriores. O objetivo da aula inédita era de observar as representações geométricas das operações entre números complexos. Após a explicação da professora sobre as representações geométricas através dos exemplos no inicio da aula, a turma dividiu-se em grupos e foram entregues as atividades em material impresso. A professora registrou com fotos os momentos durante as atividades, algumas imagens estão na figura 30. A orientação dada pela professora foi de que os grupos deviam discutir as questões e procurar solucioná-las em conjunto, porém um dos grupos dividiu as atividades entre seus integrantes para cada um fazer uma parte do trabalho. No momento em que a professora identificou esse procedimento por parte deste grupo, orientou a turma, falando que este não era um procedimento coerente e que a ideia de fazer grupos era para haver a discussão sobre a matemática dos números complexos entre os integrantes. Neste momento, decidiu-se que todos os integrantes do grupo deveriam entregar o trabalho individualmente, mas a discussão em grupo permaneceria com o intuito da troca de ideias e formas de soluções.. Figura 30.

(51) 51. Fonte: Autora. Atividade 01. De modo geral, não houve problemas na resolução da primeira atividade, pois esta consistia apenas em representar no plano os complexos dados e em seguida fazer a representação do complexo complexos. e. de módulo | |. e argumento. ambos de módulo unitário e argumentos. pelos e. respectivamente. Vale lembrar que apesar de os alunos terem a possibilidade da discussão em grupo, o trabalho deveria ser entregue individualmente. Observou-se que um aluno primeiro escreveu o número complexo na forma algébrica, para então representá-lo no plano, e isso gerou erro na sua representação conforme figura 31-a. Os demais alunos não tiveram dificuldades. A figura 31-b, 31-c, 31-d e 31-e apresenta algumas resoluções da atividade 1. Figura 31 – Atividade 1 a) Atividade 1 – a. b) Atividde 1 – a.

(52) 52. c) Atividade 1 – b. d) Atividade 1 – c. e) Atividade 1 – d. f) Atividade 1 – e. Fonte: Autora Observou-se que, em geral, nesta atividade os alunos conseguiram concluir que ao multiplicar um número complexo argumento , o complexo. por outro complexo de módulo unitário e. será rotacionado de um ângulo . Isto deu o embasamento. necessário para os alunos realizarem a atividade 2, onde o complexo. é genérico, isto é,. não é dado o módulo e o argumento numericamente, mas geometricamente..

(53) 53. Atividade 2. Conforme mencionado anteriormente, a partir da atividade 1, os alunos conseguiram perceber as rotações que acontecem com um complexo. quando este é. multiplicado por um complexo unitário. Mesmo assim, aconteceu um erro quanto ao entendimento da questão. Na atividade 2 – a, onde era pedido o produto aluno representou no plano o número complexo item b, erroneamente escreveu que. , um. e não representou o produto, no. , e no item c, representou o complexo. , conforme mostra a figura 32.. Figura 32 – Atividade 2 – itens a, b e c.. Fonte: Autora. Mas o mais surpreendente nesta atividade foi a falta de conhecimento, por parte dos alunos, no manuseio do transferidor. A professora registrou um aluno manuseando o transferidor para somar o ângulo de. ao argumento de , conforme figura 33..

(54) 54. Figura 33 – Aluno utilizando o transferidor para encontrar o argumento de. .. Fonte: Autora. A professora ensinou a maneira correta de posicionar o transferidor para se obter o argumento de. , isto é, o complexo cujo argumento é. . O centro do. transferidor deve ficar na origem do plano complexo e a linha base deve ficar na direção de , então deve-se marcar o ângulo de. , figura 34.. Figura 34 – Posicionamento correto do transferidor na atividade 2.. Fonte: Autora. Após solucionadas as dificuldades quanto ao manuseio do transferidor, os alunos conseguiram concluir a atividade 2, conforme alguns exemplos apresentados na figura 35. Figura 35 – Atividade 2 realizada por alguns alunos.. Fonte: Autora.

(55) 55. Ao analisar as respostas do item d da atividade 2, verificou-se que os alunos entenderam a ferramenta da multiplicação entre números complexos como uma rotação no plano, conforme ilustrado em algumas respostas na figura 36. Figura 36 – Alguns resultados da atividade 2 item d.. Aluno 1. Aluno 2. Aluno 3. Aluno 4. Aluno 5. Aluno 6. Aluno 7. Fonte: Autora. Com base no resultado da atividade 2, estima-se que os alunos compreenderam a consequência do produto entre números complexos na representação geométrica.. Atividade 3. No primeiro item da atividade 3, foi pedido a representação geométrica das potências de um número complexo unitário. Os alunos resolveram bem o problema, apesar de alguns ainda insistirem em encontrar a forma algébrica para então fazer a.

(56) 56. representação no plano, isto é, usando coordenadas cartesianas em vez de usar as coordenadas polares. Quanto ao item b e item c, onde foi solicitada a sequência de módulos e de argumentos das potências de. , os alunos não falavam sobre as propriedades. da sequência, porém não percebiam que estas seriam as propriedades. Foi necessário a professora argumentar com os alunos, perguntando o que acontecia com os valores da sequência, se havia alguma repetição ou alguma lei de recorrência. Muitas vezes, alunos no Ensino Médio resolvem de maneira errada as potências de , fazendo. . Não obstante, ocorreu um fato como este, o que levou ao erro. da representação geométrica e da sequência de módulos das potências de. na. atividade 3, conforme figura 37. Figura 37 – Exemplo de erro no desenvolvimento das potências de .. Fonte: Autora. Outra ocorrência, como já mencionado em itens anteriores, ao uso das coordenadas cartesianas, mesmo sendo apresentadas as coordenadas polares, conforme figura 38..

(57) 57. Figura 38 – Representação das potências de. usando coordenadas cartesianas.. Fonte: Autora. Os itens b, c, d, e e, foram bem resolvidos, sendo que no item d, os alunos perceberam que as potências de. começariam a se repetir a partir de. .. Houve comentários nos grupos sobre a formação de um polígono com 12 lados e vértices nas potências de . Na figura 39 está uma amostra do trabalho dos alunos quanto a atividade 3.. Figura 39. Fonte: Autora.

(58) 58. Atividade 4 e 5. Nas atividades 4 e 5 os alunos já estavam familiarizando-se melhor com a ideia de escrever matematicamente, entendendo que para completar o trabalho eles deveriam saber se expressar com palavras ou expressões algébricas para explicar a matemática envolvida nas atividades. As atividades 4 e 5 estão em um mesmo subitem deste trabalho, por se tratar de potências de um número complexo , sendo que na atividade 4, | | 5, | |. e na atividade. . Todos os alunos, sem exceção fizeram as atividades corretamente e. analisaram as espirais formadas em torno da origem do sistema de coordenadas (Figura 40). Alguns se expressaram mais claramente para informar as conclusões a respeito da atividade, outros tiveram mais dificuldade, mas o objetivo foi satisfeito visto que todos entenderam as rotações em torno da origem e a contração ou dilatação do módulo do complexo e suas potências.. Figura 40 – Atividades 4 e 5 de alguns alunos. Aluno 1. Aluno 2.

(59) 59. Aluno 3. Aluno 4. Aluno 5. Fonte: Autora. Atividades 6, 7, 8 e 9. As atividades de 6 a 9 tratam de raízes de números complexos e os polígonos regulares formados com vértices nestas raízes. Um dos objetivos destas atividades era de resgatar o conhecimento adquirido quando da realização das atividades 1 e 2, que tratavam de rotações de um ângulo. no plano, a partir do produto de um complexo. por um complexo unitário de argumento igual a . Além deste, outro objetivo alcançado foi o de resgatar as maneiras de encontrar a área de polígonos regulares. Os alunos ficaram livres para usar a estratégia que quisessem para encontrar a área dos polígonos regulares com três, quatro, seis e oito lados, e o resultado foi muito interessante, pois eles encontraram as áreas pedidas de maneiras diferentes, usando o conhecimento matemático adquirido no Ensino Fundamental e no primeiro ano do Ensino Médio..

(60) 60. A figura 41 ilustra a estratégia de um aluno que usou a lei dos cossenos para encontrar o lado do triângulo equilátero formado pelas raízes cúbicas de um número complexo.. Figura 41. Fonte: Autora. Continuando a análise quanto aos tipos de soluções feitas para encontrar a área do polígono regular, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de triângulos equiláteros e fizeram uso do Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do lado, conforme figura 42 e 43. Figura 42 – Encontro da base através do Teorema de Pitágoras.. Fonte: Autora Figura 43 – Triângulo retângulo em que foi aplicado o Teorema de Pitágoras.. Fonte: Autora. Ainda, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de qualquer triângulo cujas base e altura são conhecidas. Para isso, encontram a medida da base do triângulo por meio da forma algébrica do número complexo. , pois pela simetria do.

(61) 61. triângulo equilátero encontrado, o dobro da parte imaginária de. é igual ao lado, ou. uma das bases, do triângulo equilátero, conforme figura 44. Figura 44 – Estratégia para o cálculo da área do triângulo equilátero.. Fonte: Autora. Para encontrar a área do quadrado, do hexágono e do octógono, os alunos seguiram os mesmos raciocínios utilizados na solução da atividade 6.. Atividade 10. Em geral os alunos precisaram da ajuda da professora para a realização da atividade 10, pois tiveram dificuldade na generalização da fórmula. Eles resolviam as áreas separadamente, substituindo valores para o seno do ângulo encontrado. Após explicação dada pela professora, concluíram a tarefa e muitos voltaram nas atividades anteriores para verificarem a validade da fórmula e também confirmarem as áreas encontradas. Este procedimento foi interessante, porém alguns alunos apagaram a estratégia criada nas atividades de 6 a 9 e resolveram novamente as atividades encontrando as áreas a partir da fórmula encontrada na atividade 10, a figura 45 ilustra este fato.. Figura 45. Fonte: Autora.

(62) 62. Ao final das duas horas de atividades, apenas um grupo não concluiu o trabalho. Este grupo permaneceu na sala de aula, junto com a professora, e concluiu o trabalho durante os vinte minutos de intervalo..