(b) R RDxydxdy, sendo D a regi˜ao do primeiro quadrante, entre os c´ırculos x2+y2 = 4 ex2 +y2 = 25

MAT3120 - C ´ALCULO III - IO - 2017 Exerc´ıcios Lista 2

1. Calcular as integrais, usando coordenadas polares:

(a)^{R R}_Dydxdy, sendoDa regi˜ao do primeiro quadrante, limitada pelo c´ırculo x²+y² = 1 e pelas retasy=x ey = 0.

(b) ^{R R}_Dxydxdy, sendo D a regi˜ao do primeiro quadrante, entre os c´ırculos x²+y² = 4 ex² +y² = 25.

(c) ^{R R}_De^−x2−y2dxdy, sendo D a regi˜ao limitada pelo semic´ırculo y =

√4−x² e o eixox.

2. Calcule a ´area da regi˜ao D:

(a)D interior ao c´ırculox²+y² = 6ye exterior ao c´ırculox²+y² = 9.

(b) D ´e a parte superior do disco centrado na origem e de raio 2.

(c) D ´e limitada pela curva de equa¸c˜ao polar r=acos 2θ,

−^π₄ ≤θ ≤ ^π₄, (a >0).

3. Use coordenadas polares para combinar a soma

Z 1

√1 2

Z x

√1−x²xydydx+

Z

√ 2 1

Z x 0

xydydx+

Z 2

√ 2

Z

√4−x²

0

xydydx

em uma ´unica integral dupla, e calcule essa integral dupla.

4. Calcule o volume dos s´olidos S limitados pelas superf´ıcies dadas:

(a) x²+y² =a², z = 0 e x²+y² = 4a² −z, interior ao cilindro, (b) o cone z² =x²+y², o cilindro x²+y² = 1, acima do plano z = 0, (c) z =x²+y², z = 0 e x²+y² = 9, abaixo do parabol´oide e dentro do cilindro,

(d) z(x²+y²) = 2, z = 0, x²+y² = 1 e x²+y² = 4, (e) x²+y² =z² e x²+y² = 2y

1

5. Calcular as integrais, usando uma mudan¸ca de coordenadas conveniente:

(a) ^R₀^2R

√2x−x² 0

√4−x²−y²dydx, (b) ^R

√π

−√ π

R

√π−y²

−√

π−y²sen(x²+y²)dxdy,

(c) ^{R R}_D1dxdy, sendo D o interior da elipse ^x_a²2 + ^y_b2² = 1.

6. Calcule o volume do s´olido S limitado pelas superf´ıcies: z =x²+y²+ 1, x²+y² = 2x e z = 0.

Algumas Respostas 1. (b) ⁶⁰⁹₈ (c) ^π₂(1−e⁻⁴)

2. (a) 3π+ ⁹₂√

3 (b) 2π (c) ^πa₈² 4. (a) ^7πa₂⁴ (c) ⁸¹₂ (d) 4πln2 (e) ⁶⁴₉ 5. (a) ⁸₃(^π₂ − ²₃) (b) 2π (c) πab 6. ^5π₂

2