Estabilização de Semigrupos

(1)

& Aplica¸

c˜

oes

Jaime E. Mu˜

noz Rivera

Laboratório Nacional de Computa¸cão Cient´ıfica Petrópolis, Rio de Janeiro - Brasil

Instituto de Matem´atica

Universidade Federal de Rio de Janeiro

(2)

(3)

Estas notas foram feitas com o propósito de desenvolver o minicurso de semi-grupos dissipativos que lecionei no departamento de Matemática da Univer-sidade Federal do Pará na semana de 22 a 26 de janeiro de 2007, como parte das atividades acadêmicas de verão da UFPA. A idéia deste minicurso é intro-duzir os conceitos de semigrupos e resultados recentes sobre a estabilidade de semigrupos de forma simples e elementar fazendo uso de diversos exemplos em elasticidade e de modelos de difusão. Estabelecendo os principais resultados que caraterizam o decaimento exponencial de um semigrupo C0.

Um ponto importante deste texto é a caracteriza¸cão da estabilidade assintótica de semigrupos através de espectro do gerador infinitesimal. Os avan¸cos nesta ´

area são devidos aos resultados nos artigos [21, 52, 99, 100], assim como os re-sultados e aplica¸cões do livro [48] os quais enunciamos e aplicamos neste texto, para diversos tipos de equa¸cões diferenciais parciais.

Nestas notas tivemos o cuidado de fazer às demonstra¸cões usando racioc´ınio direto, o que é importante para encontrar taxas ótimas de decaimento, assim como mostrar a chamada propriedade de crescimento definida pelo espectro (PCDE) que estabelece que a cota superior da parte real do espectro, que a denotamos como ωσ, é igual ao tipo de semigrupo. Na prática isto significa que a taxa ótima de decaimento do semigrupo é igual a ωσ.

Antes destes resultados às ferramentas usadas eram baseados no método da energia, que consiste no uso de técnicas multiplicativas para chegar a uma estimativa chave, que implica no decaimento exponencial. A limita¸cão deste método é que se a estimativa chave não era atingida, nada podiamos concluir sobre a estabilidade do semigrupo. Outra desventagem do método da energia é quando o operador não é dissipativo. Neste caso o método é inoperante. Outro ponto importante a resaltar é que antes dos resultados que divulagamos nestas notas, não se contava com uma técnica geral para mostrar a falta de estabilidade exponencial.

Este texto está dividido em 8 cap´ıtulos. No primeiro fazemos uma in-trodu¸cão aos espa¸cos normados e Teoremas de Compacidade. No segundo cap´ıtulo apresentamos resultados clássicos da teoria de semigrupos nos espa¸cos

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de Hilbert. São mostrados os Teorema de Hille-Yosida, de Lummer Phillips e de Stone. Apresentamos uma série de exemplos, que incluem a equa¸cão do calor, ondas, KdV, termoelasticidade, entre outros. No terceiro cap´ıtulo estudamos `

as rela¸cões entre a estabilidade exponencial e a caracteriza¸cão do resolvente do gerador infinitesimal. A teoria que desenvolvemos neste textos segue os argu-mentos do artigo de J. Prüss [99], que relaciona às propriedades espectrais do gerador infinitesimal à boa coloca¸cão do problema per´ıodico. Introduzimos aqui também uma grande quantidade de exemplos que acreditamos de utilidade para o melhor entendimento destes resultados. O Cap´ıtulo 4 é dedicado ao estudo dos modelos elásticos, termoelásticos, viscosos e com efeito de memória.

No cap´ıtulo 5 estudamos o decaimento polinomial de semigrupos. Isto é, mostramos, quando o semigrupo não é exponencialmente estável que exis-tem normas adequadas onde o semigrupo é polinomialmente estável. Nestas notas caraterizamos a estabilidade polinomial também atravez do operador resolvente. Mostramos diversos modelos em elasticidade que não possuem de-caimento exponencial mas que possuem dede-caimento polinomial. No cap´ıtulo 6 estudamos os semigrupos anal´ıticos. O cap´ıtulo 7 está dedicado ao estudo do decaimento uniforme para sistemas com dissipa¸cão indefinida. Isto é, sistemas para os quais o correspondente gerador infinitesimal não é dissipativo. Final-mente, no cap´ıtulo 8 aplicamos a teoria estudada nos cap´ıtulos anteriores para a resolu¸cão de problemas lineares e não lineares.

Quero agradecer ao Prof. Mauro de Lima Santos pelo convite para oferecer este minicurso e pelo incentivo para escrever estas notas. Agrade¸co também aos alunos e professores do departamento de Matemática da Universidade Federal do Pará, que participaram deste minicurso pela hospitalidade e amizade, que em muito contribuiu ao bom desenvolvimento do curso.

Finalmente, aceito a completa responsabilidade pelos erros ou poss´ıveis pontos obscuros na exposi¸cão destas notas e são bem vindos comentários ou corre¸cões por parte dos leitores.

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1 Preliminares 9

1.1 Espa¸cos m´etricos e normados . . . 9

1.2 Espa¸cos normados . . . 13

1.3 Espa¸cos vetoriais topol´ogicos . . . 15

1.4 Espa¸cos das fun¸c˜oes testes . . . 17

1.5 Fun¸c˜oes de decrescimento r´apido . . . 21

1.6 Transformada de Fourier . . . 23

1.7 Transformadas de Fourier em L2 _{. . . .} ₂₆

1.8 Aplica¸c˜ao a equa¸c˜ao do calor . . . 29

1.9 Distribui¸c˜oes vetoriais . . . 31

1.10 Teoremas de compacidade . . . 34

2 Semigrupos e grupos de operadores 43 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 43

2.2 Motiva¸c˜ao: Exponencial de uma matriz . . . 44

2.3 Operadores limitados . . . 47

2.4 Operadores lineares n˜ao limitados . . . 50

2.5 Semigrupos C0 . . . 51

2.6 O problema de Cauchy . . . 58

2.7 Teorema de Hille-Yosida . . . 63

2.8 Aplica¸c˜oes do teorema de Hille-Yosida . . . 70

2.9 Problemas de valor inicial e de contorno . . . 80

2.10 O problema de Cauchy n˜ao homogˆeneo . . . 86

2.11 Regularidade do problema n˜ao homogˆeneo . . . 88

2.12 Teorema de Lummer Phillips . . . 88

2.13 Teorema de Stone . . . 92

2.14 Equa¸c˜ao de ondas . . . 93

2.15 O sistema termoviscoel´astico . . . 94

2.16 Sistemas viscol´asticos com mem´oria . . . 96

(6)

3 Espectro de semigrupos e estabilidade exponencial 101

3.1 Semigrupos em dimens˜ao finita . . . 103

3.2 Dimens˜ao infinita . . . 106

3.3 Espectro e resolvente . . . 107

3.4 Tipo de um semigrupo . . . 111

3.5 Espectro Essencial . . . 113

3.6 Solu¸c˜oes peri´odicas . . . 113

3.7 Aplica¸c˜oes . . . 122

4 Modelos dissipativos nos espa¸cos de Hilbert 131 4.1 Decaimento da equa¸c˜ao de ondas . . . 131

4.2 Decaimento do sistema termoel´astico . . . 136

4.3 Decaimento de sistemas n˜ao homogˆeneos . . . 140

4.4 Sistemas dissipativos sem decaimento exponencial . . . 144

4.5 Equa¸c˜ao de ondas abstratas . . . 146

4.6 Existˆencia de solu¸c˜oes . . . 146

4.7 Falta de estabilidade exponencial . . . 148

4.8 Problemas em aberto . . . 152

5 Espectro Esencial de um semigrupo 155 5.1 Operadores de Fredhom . . . 155

6 Estabilidade polinomial 159 6.1 Decaimento uniforme . . . 159

6.2 Representa¸c˜ao integral do semigrupo . . . 160

6.3 Caracteriza¸c˜ao pelo resolvente . . . 164

6.4 Aplica¸c˜ao 1: Equa¸c˜ao de placas . . . 168

6.5 Aplica¸c˜ao 2: Dissipa¸c˜ao fraca . . . 171

7 Semigrupos anal´ıticos 175 7.1 Carateriza¸c˜ao dos semigrupos anal´ıticos . . . 176

7.2 Analiticidade do sistema termoviscoel´astico . . . 183

8 Decaimento de sistemas n˜ao dissipativos 189 8.1 Teoremas de ponto Fixo . . . 189

8.2 Equa¸c˜ao de ondas com dissipa¸c˜ao indefinida . . . 191

8.3 Equa¸cão viscoelástica com dissipa¸cão indefinida . . . 197

8.4 Nota¸c˜oes . . . 199

8.5 O n´ucleo resolvente . . . 200

8.6 Decaimento exponencial . . . 205

8.7 Decaimento polinomial . . . 209

(7)

8.8.1 Placas . . . 211

8.8.2 Elasticidade com termo inercial . . . 211

8.8.3 Dom´ınios n˜ao limitados . . . 211

9 Aplica¸cão às equa¸cões não lineares 213 9.1 Equa¸cões semilineares . . . 213

9.2 Equa¸c˜oes n˜ao lineares . . . 218

9.3 A equa¸c˜ao do calor n˜ao linear . . . 220

9.4 A equa¸c˜ao de ondas n˜ao linear . . . 225

(8)

(9)

Preliminares

Antes de definir os espa¸cos de distribui¸cões faremos uma breve introdu¸cão aos espa¸cos vetoriais topológicos.

1.1 Espa¸

cos m´

etricos e normados

Os espa¸cos métricos são às estruturas matemáticas mais simples. Constitui de um conjunto não vazio e de uma aplica¸cão que me¸ca a distância entre seus elementos. Não é necessário que exista uma opera¸cão binária entre eles. Mais precisamente.

Defini¸cão 1.1.1. Diremos que um conjunto não vazio X é um espa¸co métrico, se sobre ele está definida uma fun¸cão

d : X_{× X → R} satisfazendo `as seguintes propriedades

• d(x, y) = 0 se, e somente se x = y.

• A fun¸cão d é simétrica, isto é, d(x, y) = d(y, x) • d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular) A fun¸cão d é chamada de métrica.

Um espa¸co m´etrico esta definido desta forma pelo par ordenado (X, d).

(10)

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.1.1. Tomemos o conjunto de pontos P =_{x1, x2,· · · , xn}. Defin-imos sobre este conjunto a fun¸c˜ao

d : P× P → R da seguinte forma

d(xi, xj) = 1− δij onde δij ´e o delta de Kronecker, definido como

δij = 0, se i6= j, δii= 1.

Exemplo 1.1.2. Denotemos por X =nx = (x1, x2, x3)∈ R3; kxk := p

x2

1+ x22+ x23≤ 1 o

. Sobre este conjunto definimos a fun¸c˜ao

d : X_{× X → R} da seguinte forma

d(x, y) =_{kx − yk}

A fun¸cão d satisfaz às condi¸cões de métrica, portanto o par (X, d) é um espa¸co métrico.

Exemplo 1.1.3. Denotemos por X = C1_{(a, b) o conjunto de todas `}_{as fun¸c˜}_oes cont´ınuas definidas sobre o conjunto fechado [a, b] com derivadas cont´ınuas. Sobre este conjunto definimos a fun¸c˜ao

d(f, g) = sup

x∈[a,b]|f(x) − g(x)| + supx∈[a,b]|f 0_(x)

− g0(x)_| é simple de verificar que este é um espa¸co métrico.

Exemplo 1.1.4. Seja X = f _{∈ C}1_{(a, b);}

|f(x)| ≤ 1, ∀ x ∈ [a, b] . Se defini-mos sobre este espa¸co a m´etrica

d(f, g) = sup

x∈[a,b]|f(x) − g(x)|. Conclu´ımos que este (x, d) ´e um espa¸co m´etrico.

Defini¸cão 1.1.2. Seja (X, d) um espa¸co métrico. Diremos que (xµ)µ∈N é uma seqüência convergente para x no espa¸co métrico X se para todo > 0 existe N > 0 tal que

(11)

Defini¸cão 1.1.3. Seja (X, d) um espa¸co métrico. Diremos que (xµ)µ∈N é uma seqüência de Cauchy no espa¸co métrico X se xµ ∈ X para todo µ_{∈ N e ainda verifica que para todo > 0 existe N > 0 tal que}

µ, ν_{≥ N} _⇒ d(xµ, xν) <

Quando toda seqüência de Cauchy é convergente, diremos que o espa¸co métrico é completo.

Exemplo 1.1.5. O conjunto dos números reais com a métrica dada pelo valor absoluto é um espa¸co completo. De fato, suponhamos que (xµ)µ∈N seja uma seqüência de Cauchy, então teremos que ela é limitada. Dado > 0 existe N > 0 tal que

µ, µ0> N ⇒ |xµ− xµ0| < .

Fixemos agora o ponto µ0. Da desigualdade triangular, temos |xµ| < |xµ− xµ0| + |xµ0| < + |xµ0|.

Tomando como C0= +|xµ0|, encontramos

|xµ| < C0,∀ µ ≥ N. Tomando C como

C = max{x1,· · · xµ0, C0} ,

encontramos

|xµ| < C, ∀ µ ∈ N.

Como a seqüência é limitada, do teorema de Bolzano-Weierstrass segue que existe uma subseqüência de (xµ)µ∈N que a denotaremos por (xµk)k∈N e um

n´umero real x tal que

xµk→ x.

Finalmente, mostraremos que toda a seqüência converge para x. Tomemos > 0, então existe N > 0 tal que

µ, µk> N ⇒ |xµ− xµ0| <

2. Portanto, temos que

µ > N _⇒ _|xµ− x| < |xµ− xµ0| + |xµ0− x| <

2+

(12)

Exemplo 1.1.6. O espa¸co métrico dado por X = C(a, b), o conjunto das fun¸cões cont´ınuas sobre o intervalo [a, b] com a métrica

d(f, g) = sup

x∈[a,b]|f(x) − g(x)|

é um espa¸co métrico completo. De fato. Seja fµ uma seqüência de Cauchy, então teremos que para todo > 0 existe N > 0 tal que

µ, ν_{≥ N} _⇒ d(fµ, fν) < isto ´e,

µ, ν_{≥ N} _⇒ sup x∈[a,b]|f

µ(x)− fν(x)| <

Como em R toda seqüência de Cauchy é convergente teremos que para cada x, (fµ(x))µ∈N é convergente. Isto é

fµ(x)→ f(x)

Denotemos por f(x) este limite. Para provar que C(a, b) é completo, bastará mostrar que f é uma fun¸cão cont´ınua. De fato, seja > 0 pela convergência existem N1 e N2, tais que

µ_{≥ N}1 ⇒ |fµ(x)− f(x)| < 3 µ_{≥ N}2 ⇒ |fµ(y)− f(y)| < 3.

Denotemos por N = max_{N1, N2}. Por outro lado, pela continuidade de fµ teremos que existe δ > 0 tal que

|x − y| < δ ⇒ |fµ(x)− fµ(y)| < 3. Da desigualdade triangular obtemos que

|f(x) − f(y)| ≤ ₃+ 3+

3 = .

De onde segue a continuidade da f. Portanto, f ∈ C(a, b). Logo o espa¸co ´e completo.

Finalmente, (fµ)µ∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy em C(a, b). Temos que para todo x_{∈ [a, b] e para todo > 0 existe N > 0 tal que}

µ, ν _{≥ N} _⇒ _|fµ(x)− fν(x)| ≤ sup x∈[a,b]|f

(13)

Fazendo ν→ ∞ temos que para todo x ∈ [a, b]

µ_{≥ N} _⇒ _|fµ(x)− f(x)| ≤ Tomando supremo, concluimos que a convergˆencia ´e uniforme.

1.2 Espa¸

cos normados

A estrutura de espa¸co métrico é uma estrutura básica onde isolamos o conceito de métrica, para definir sobre ela uma convergência de seus elementos. Os espa¸cos normados são estruturas mais ricas, isto é, são conjuntos não vazios que possuem duas opera¸cões fechadas definidas sobre ele. Uma delas é a soma de vetores, e a outra o produto por um escalar, isto é, um espa¸co normado é um espa¸co vetorial munido de uma norma (uma distância).

Defini¸cão 1.2.1. Diremos que um espa¸co vetorial é um espaco normado, se existe uma fun¸cão N : E→ R satisfazendo às seguintes propriedades

• N(x) ≥ 0 para todo x ∈ E e se N(x) = 0 ⇒ x = 0 • N(x + y) ≤ N(x) + N(y) para todo x, y ∈ E

• N(αx) = |α|N(x)

A defini¸cão de espa¸co normado exige que E seja um espa¸co vetorial. Em particular todo espa¸co normado é um espa¸co métrico, com a métrica d(x, y) = N (x− y). Um espa¸co Normado é chamado de espa¸co de Banach se ele é completo, isto é, toda seqüência de Cauchy é convergente em E.

Exemplo 1.2.1. Denotemos por L1_{(a, b) o espa¸co de todas `}_{as fun¸c˜}_{oes definidas} sobre [a, b] integr´aveis a Lebesgue. ´E simple de verificar que este espa¸co munido da norma

kfk1= Z b

a |f(x)| dx

é um espa¸co normado. Utilizando os resultados de teoria da medida mostra-se que toda seqüência de Cauchy é convergente.

Exemplo 1.2.2. Denotemos por C([a, b]) o conjunto de todas às fun¸cões cont´ınuas no intervalo [a, b]. Isto é,

C([a, b]) ={f : [a, b] → R; f´e cont´ınua}

(14)

cont´ınua. Este espa¸co vetorial tem estrutura de espa¸co normado se sobre ele definimos uma norma. Por exemplo, a norma:

kfk∞= sup{|f(x)|; x ∈ [a, b]} ´

E simples verificar que k · k∞ ´e uma norma. De fato, kfk∞= 0 ⇒ f = 0. Por outro lado, temos que

kf + gk∞≤ kfk∞+kgk∞ E Finalmente, que

kλfk∞=|λ|kfk∞

Exemplo 1.2.3. Consideremos o mesmo espa¸co do exemplo 1.2.2, C([a, b]). Podemos dar a este espa¸co uma estrutura de espa¸co normado, introduzindo a norma

kfk1= Z b

a |f(x)| dx. ´

E simples verificar que k · k1´e uma norma. De fato, Z b a |f(x)| dx = 0 ⇒ f = 0. e ainda _Z b a |f(x) + g(x)| dx ≤ Z b a |f(x)| dx + Z b a |g(x)| dx.

A pesar que algebricamente o espa¸co C(a, b) é igual ao do exemplo 1.2.2, eles possuem carater´ısticas diferentes. O espaco C(a, b) munido da norma_{k · k}1não é um espa¸co completo. Para isto, basta considerar a seqüência de fun¸cões

fn: [0, 1]→ R, fn(x) = xn. ´ E simples verificar fn(x)→ f(x), onde f(x) = 0, 0≤ x < 1 1, x = 1. Por outro lado, temos

Z 1 0 |f n(x)− f(x)| dx = Z 1 0 xndx = 1 n + 1 → 0.

(15)

1.3 Espa¸

cos vetoriais topol´

ogicos

Defini¸cão 1.3.1. Diremos que (X, τ ) é um espa¸co vetorial topológico se X é um conjunto não vacio e τ é uma cole¸cão de subconjuntos de X chamados de abertos satisfazendo às seguintes propriedades:

(i) X e∅ pertencem a τ.

(ii) A interse¸cão finita de abertos é aberta e a união arbitrária de abertos é aberta.

A cole¸c˜ao τ ´e chamada de topologia de X

A seguir enumeramos os conceitos mais utilizados nos espa¸cos topológicos: • Diremos que um conjunto é Fechado, se seu complementar é um aberto. • O Fecho E de E é a interse¸cão de todos os fechados que contém a E • Chama-se Interior E0 _{de um conjunto E, a uni˜}_{ao de todos os abertos}

que s˜ao subconjuntos de E.

• Uma Vizinhan¸ca de x ´e todo aberto que cont´em x

• O espa¸co (X, τ) é chamado espa¸co de Hausdorff , se τ é uma topologia de Hausdorff. Isto é se pontos diferentes de X possuem vizinhan¸cas disjuntas.

• Um subconjunto K de X ´e chamado de Compacto se toda cobertura aberta de K possui uma subcobertura finita.

• Uma subcole¸cão G ⊂ τ é chamada de base de uma topológia se todo membro de τ pode ser expresso como união dos elementos de_G. • Uma cole¸cão γ de vizinhan¸cas de um ponto p é chamada de Base local

em p, se toda vizinhan¸ca de p cont´em um membro de γ.

• Um conjunto A ´e chamado de Absorvente, se para todo x ∈ E existe t > 0, tal que tx_{∈ A.}

• Um conjunto B ´e chamado de Balanceado, se tB ⊂ B, para todo |t| < 1.

(16)

Definamos os operadores Ta e Mλ como

Ta(x) = x + a, Mλ(x) = λx

Os operadores Ta : E → E e Mλ : E → E, são bije¸cões lineares e cont´ınuas, portanto são homeomorfismos topológicos de E sobre E. Como conseqüência, toda topologia τ de um espa¸co vetorial topológico é invariante por transla¸cões. Isto é, S _{⊂ E é um aberto se, e somente se a + S é um aberto. Portanto, τ} está completamente definida por qualquer base local.

A seguir definiremos o conceito de conjuntos limitados em espa¸cos topológicos, onde não necessariamente existe definida uma métrica.

Defini¸cão 1.3.3. Diremos que um subconjunto B é um conjunto limitado de um espa¸co vetorial topológico X, se para toda vizinhan¸ca V de 0 em X existe s > 0, tal que

B_{⊂ tV,} _{∀ t > s}

Faremos agora uma lista dos diferentes espa¸cos topológicos que aparecem com mais freqüência.

• Um EVT ´e chamado de Localmente Convexo se existe uma base local cujos membros s˜ao convexos.

• Diremos que um EVT ´e Localmente Limitado, se 0 possui uma vizin-han¸ca limitada no sentido da Defini¸c˜ao 1.3.3.

• Diremos que um EVT ´e Localmente Compacto, se 0 possui uma viz-inhan¸ca cujo fecho ´e compacto.

• Um EVT é Metrizável se sua topologia é induzida por uma métrica. • Diremos que um EVT é um espa¸co de Fréchet ou F -espa¸co se é um

espa¸co localmente convexo cuja topologia é induzida por uma métrica invariante (invariante por trasla¸cões)

(17)

Defini¸cão 1.3.4. Seja E um espa¸co vetorial e p uma fun¸cão a valores reais. Diremos que p é uma seminorma se satisfaz às seguintes pro-priedades

(i) p(x + y)_{≤ p(x) + p(y).} (ii) p(αx) =|α|p(x).

Se além das propriedades acima temos que p(x) = 0 implica que x = 0 então diremos que p é uma norma.

Da defini¸cão acima segue p é não negativo. Para verificar isto, veja que do item (ii), segue p(0) = 0. Assim aplicando a condi¸cão (i) para y =_{−x teremos} que 0 = p(0)_{≤ p(x) + p(−x). Aplicando a condi¸cão (ii) conclu´ımos que p(x) ≥} 0. Outra propriedade imediata de verificar é que o conjunto_{{x; p(x) = 0} é um} subespa¸co vetorial de E, e que o conjunto B =_{{x ∈ E; p(x) < 1} é convexo e} absorvente. (Veja Exerc´ıcios)

1.4 Espa¸

cos das fun¸

c˜

oes testes

Seja Ω um aberto do Rn_{. Denotaremos por} C∞_{(Ω) =}

{f ∈ C(Ω); Dα_f

∈ C(Ω) ∀ α ∈ Nn } .

O suporte de uma fun¸cão é o conjunto é denotado por Supp(f) e definido como Supp f =_{{x ∈ R}n_{; f(x)}_{6= 0}.}

Topolog´ıa de Frechet em C

∞ Seja K um compacto de Ω, denotaremos por

DK ={f ∈ C∞(Ω); Supp f ⊂⊂ K}

Com estas nota¸cões, podemos definir uma topologia, e uma métrica, que faz de C∞_{(Ω) um espa¸co de Fréchet, com a propriedade de Heine Borel, isto é, todo} fechado e limitado de C∞_{(Ω) é um compacto. Para isto, tomemos uma cole¸c˜}_ao de compactos Ki, tal que

Ki ⊂ Ki+10 (interior de Ki+1), Ω =∪i∈NKi Definamos a seminorma

(18)

A fam´ılia P = {pn; n∈ N} de seminormas define uma topologia localmente convexa sobre C∞_{. Uma base local para esta topologia ´e dada pela fam´ılia de} conjuntos Vn = ϕ_{∈ C}∞(Ω); pn(ϕ) < 1 n

é simple de verificar que Vné um conjunto convexo. Esta topologia é metrizável, para isto basta considerar a métrica

d(f, g) = ∞ X i=1 2−i_p i(f− g) 1 + pi(f− g) .

d(_{·, ·) definida acima é uma métrica invariante por transla¸cões, que faz que o} espa¸co C∞_{(Ω) seja completo. Portanto, C}∞_{(Ω) é um espa¸co de Fréchet. Cada} espa¸co _DK é um subespa¸co fechado de C∞(Ω).

Topolog´ıa de Frechet em C

∞ 0

De forma an´aloga podemos definir uma topologia sobre C∞

0 (Ω). Para isto definamos a fam´ılia de normas

Pn(ϕ) =kϕkn= max{|Dαϕ(x)|; x ∈ Ω, |α| ≤ n} .

Esta topologia coincide sobre _DK. Uma base local para esta topologia ´e dada por Vn= ϕ∈ DK; kϕkn< 1 n

Nestas condi¸cões à topologia definida acima é localmente convexa e metrizável, embora apresente uma séria deficiência com respeito à topologia definida para DK, é que com esta topologia o espa¸co C0∞(Ω) não é completo. Para ver isto basta considerar a seqüência

ψm= φ(x− 1) + 1 2φ(x− 2) + 1 3φ(x− 3) + · · · + 1 mφ(x− m), onde φ ∈ C∞

0 (R), Supp(φ)= [0, 1] e φ ≥ 0. Pode-se mostrar que ψm é uma seqüência de Cauchy, mas o limite dela não tem suporte compacto. Portanto, o espa¸co não é completo.

(19)

Defini¸cão 1.4.1. Denotemos por τK à topologia de Fréchet associada a DK e por β a fam´ılia de conjuntos:

β =_{{W ⊂ C}0∞(Ω); W Convexo e Balanceado, DK∩ W ∈ τK, ∀ K ⊂⊂ Ω, } , onde ⊂⊂ indica subconjunto compacto. Denotemos por T a fam´ılia de todas `as uni˜oes de conjuntos da forma φ + W com φ∈ D(Ω) e W ∈ β

Nestas condi¸cões é simples verificar que_{T é uma topologia que faz C}∞ 0 (Ω) um espa¸co topológico localmente convexo e que tem β como uma base local.

Todo conjunto limitado (no sentido da Defini¸c˜ao 1.3.3) em C∞

0 (Ω) est´a contido em_DK, para algum K conjunto compacto contido em Ω.

Defini¸cão 1.4.2. Toda aplica¸cão linear e cont´ınua sobre _{D(Ω) com} re-speito à topologia anterior é chamada de Distribui¸cão. O conjunto de todas distribui¸cões é chamado de espa¸co de distribui¸cões e é denotado por D0_.

`

a topologia anterior induz o seguinte conceito de convergência. Uma seqüência de fun¸cões _{ϕν} de elementos C0∞(Ω) é dito que converge para ϕ ∈ C0∞(Ω) quando se verificam às seguintes condi¸cões

(i) Existe K⊂⊂ Ω, tal que supp{ϕν− ϕ} ⊂ K, e

(ii) limν→∞Dαϕν = Dαϕ ´e uniforme sobre K, para todo multi´ındice α. O espa¸co_D0_{(Ω) ´e dotado da topologia fraca estrela como dual de}

D(Ω), e é um espa¸co topológico localmente convexo. Isto é, diremos que uma seqüência de distribui¸cões Tmconverge para a distribui¸cão T se, e somente se

Tm(ϕ)→ T (ϕ) em IC para toda fun¸c˜ao ϕ∈ D(Ω).

Defini¸cão 1.4.3. Diremos que uma distribui¸cão tem ordem m se m é o menor número que satisfaz

|T (φ)| ≤ CKkφkCm, ∀ φ ∈ D(K)

(20)

Defini¸c˜ao 1.4.4. Diremos que uma distribui¸c˜ao se anula num abertoO se para toda φ ∈ C∞

0 (Ω), tal que Supp φ ⊂ O teremos que T (φ) = 0. Denotemos por Ω0 o maior aberto onde a distribui¸cão T se anula. O conjunto fechado Ω_\Ω0é chamado de suporte da convolu¸cão e é denotado por Supp(T )

Da defini¸c˜ao anterior, conclu´ımos que se existe um fechado F , tal que T se anula em Ω_{\ F , ent˜ao}

Supp T ⊂ F

Teorema 1.4.1. Seja T ∈ D0_{(Ω) de ordem N e x}

0∈ Ω tal que Supp(T )⊂ {x0}. Ent˜ao existem constantes cα tais que

T = X

|α|≤N

cαDαδx0,

onde δx0 é a fun¸cão de Dirac, isto é, δx0(φ) = φ(x0).

Demonstra¸c˜ao.- Seja φ_{∈ D(Ω) e suponhamos que x}0= 0, provaremos que se

(Dαφ)(0) = 0, _{∀α, |α| ≤ N} (1.1) ent˜ao, teremos que

T (φ) = 0.

De fato, tomemos > 0 e uma bola compacta B(0, )⊂ Ω, tal que |Dα_φ(x)

| ≤ , ∀ x ∈ B(0, ), |α| = N.

Usando o Teorema de Taylor para fun¸c˜oes de varias vari´aveis, pode-se mostrar que

|Dα_φ(x)

| ≤ nN−|α|

|x|N−|α|_,

∀ x ∈ B(0, ), |α| ≤ N. (1.2) Seja ψ uma fun¸c˜ao de C∞

(21)

Usando `as f´ormulas de Leibniz’s teremos que Dα(ψrφ) = X β≤α cαβ(Dα−βψ( x r)(D β_φ)(x)r|β|−|α|

Usando a desigualdade (1.2) para α = β temos que |ψ(x_r)(Dβ_φ)(x)r|β|−|α| | ≤ nN−|β| |x|N−|β|_r|β|−|α| ≤ 2nN−|β|N−|β||β|−|α| ≤ nN−|β|_C ||N−|α|_. De onde segue kψrφkCN ≤ kφk_CN (1.3)

Como T possui ordem N , existe uma constante C > 0, tal que _{|T (ψ)| ≤} C_kψkCN, para todo ψ∈ D(K). Como ψ_r= 1 numa vizinhan¸ca do suporte de

T , segue

|T (φ)| ≤ |T (ψrφ)| ≤ CkψrφkCN ≤ Ckψk_CN.

Como ´e arbitrario segue T (φ) = 0. Em outras palavras temos que Dα_δ

x0(φ) = 0, ∀ |α| ≤ N ⇒ T (φ) = 0.

Disto, segue o resultado

1.5 Fun¸

c˜

oes de decrescimento r´

apido

Nesta se¸cão estudaremos às principais propriedades da transformada de Fourier. Denotemos por S(Rn_{) o espa¸co das fun¸c˜}_{oes rapidamente decrescentes, isto é,} fun¸cões infinitamente diferenciaveis satisfazendo

sup |α|≤N sup x∈Rn(1 +|x| 2₎m |(Dαf)(x)_{| < ∞, ∀ m ∈ N, ∀ N ∈ N} ´e simples verificar que

lim

|x|→∞P (x)D

α_{f(x) = 0} e que

C₀∞(Rn)_{⊂ S.}

(22)

onde por ρ(v) estamos denotando ρ(v) = sup |α|≤N sup x∈Rn (1 +_|x|2)m_|(Dαf)(x)_| .

Com esta métrica o espa¸co das fun¸cões rapidamente decrescentes é completo. Note que d(·, ·) não é uma norma devido a que não é homogeneo. (pela mesma razão não é seminorma). O conjunto de funcionais lineares e continuos respeito `

a topologia induzida pela métrica d, é denotado por S(Rn_{) e é chamado de} espa¸co das Distribui¸cões Temperadas. Um funcional T é linear e cont´ınuo respeito `_{a topologia induzida por D(.·, ·) se, e somente se}

|T (φ)| ≤ C sup |α|≤N sup x∈Rn (1 +_|x|2₎m |(Dα_φ)(x) | .

Para algum m _{∈ N. De fato, se φ}ν é uma seqüência de fun¸cões convergindo para zero em_S(Rn_{), ent˜}_{ao teremos que}

(1 +|x|2₎m |(Dα_φ ν)(x)| → 0, uniforme em Rn. De onde segue T (φν) → 0. `

a topologia de _S(Rn_{) quando restrita a}

D(Rn_{) coincide. Portanto, toda} dis-tribui¸c˜ao temperada pertence a_D0_(Rn_{). O rec´ıproco ´e falso. Veja o seguinte} exemplo.

Exemplo 1.5.1. _D0_(Rn₎

6⊂ S0_(Rn_{). De fato, tomemos a fun¸c˜}_{ao f(x) = e}x_. é simples verificar que f _{∈ D}0_(Rn_{), pois ela é localmente integr´}_{avel. Mas} f _{6∈ S}0_(Rn_{). Raciocinemos pelo absurdo. Suponhamos que existe um m, tal} que a distribui¸cão Tf satisfaz

|Tf(φ)| ≤ C sup |α|≤N sup x∈Rn (1 +_|x|2)m_|(Dαφ)(x)_| _{∀ φ ∈ S} como Tf(φ) = Z Rn f(x)φ(x) dx = Z Rn f(x) (1 +_|x|2₎m(1 +|x| 2₎m |(Dαφ)(x)_{| dx} ≤ C sup |α|≤N sup x∈Rn (1 +_|x|2)m_|(Dαφ)(x)_| _{∀ φ ∈ S} Isto implica que

f(x)

(23)

1.6 Transformada de Fourier

Nesta se¸cão introduciremos a transformada de Fourier para fun¸cões de decresci-mento rápido e estenderemos esta transformada para às distribui¸cões temper-adas.

Defini¸c˜ao 1.6.1. Seja f _{∈ S(R}n_{), ent˜}_{ao denotaremos por}

Ff a Transformada de Fourier de f dada por

Ff(y) = ₁ 2π n 2Z Rn f(x)e−ixydx

Proposi¸c˜ao 1.6.1. A transformada de Fourier satisfaz `as seguintes propriedades: (i)_F(∂u ∂xi) = iξiFu (ii)_{F(f ∗ g) = (}√2π)n F(f)F(g) (iii)RRnF(f)g dx = R RnfF(g) dx

Demonstra¸c˜ao.- A propriedade (i) obtem-se fazendo integra¸c˜ao por partes. Demostraremos a identidade (ii). Para isto utilizaremos o Teorema de Fubini. De fato, Z Rn f _{∗ ge}ixξdξ = Z Rn Z Rn

f(ξ_{− y)g(y) dye}−ixξdξ =

Z Rn

f(ξ_{− y)g(y)e}−ixξ dξdy = Z Rn Z Rn f(ξ− y | {z } :=σ )e−ixξdξg(y)dy fazendo mudan¸ca de vari´aveis =

Z Rn

f(σ)e−ix(σ+y)_dσg(y)dy = Z Rn Z Rn f(σ)e−ixσ dσ e−ixyg(y)dy = (√2π)nF(f)F(g)

De onde segue a demonstra¸cão. De forma análoga se mostra (iii). Calcularemos a seguir a transformada da fun¸cão e−ax2

Lema 1.6.1. A transformada de Fourier da fun¸c˜ao x_{7→ e}−ax2

´e dada por F(e−ax2

)(ξ) = √1 2ae

(24)

Demonstra¸c˜ao.- Denotemos por f(ξ) = F(e−ax2

)(ξ), ´e simple de verificar que a derivada da fun¸c˜ao

f(ξ) =_√1 2π Z R e−ay2_e−iξy_dy satisfaz f0(ξ) =₋√i 2π Z R

ye−ay2e−iξy dy. Integrando por partes teremos

f0(ξ) =− ξ 2a√2π

Z R

e−ay2e−iξy dy. De onde segue

f0_{(ξ) =}

−_2aξ f(ξ). Resolvendo a equa¸c˜ao de primeira ordem obtemos:

f(ξ) = f(0)e−4aξ. Lembrando que f(0) = Z R e−ay2 _{dy =} r π a segue o resultado

Outra rela¸c˜ao importante ´e dado no seguinte Lema.

Lema 1.6.2. _Z _∞ 0 sen x x dx = π 2.

Demonstra¸c˜ao.- Este valor pode ser calculado usando a fun¸c˜ao F (t) =

Z ∞ 0

e−xt sen x x dx.

De fato, note que o valor que desejamos calcular ´e dado por F (0). Por outro lado, ´e simples verificar que

lim

t→∞F (t) = 0. (1.4)

Derivando a fun¸c˜ao F , temos F0(t) =₋

Z ∞ 0

(25)

Integrando por partes a express˜ao anterior, encontramos (1 + 1 t2)F 0_{(t) =} −_t12, ⇒ F 0_{(t) =} −_{1 + t}1 2. De onde segue F (t) =−arctag t + c. Aplicando a identidade (1.4) conclu´ımos que

c = arctag∞ =π₂. Disto, segue o resultado.

Introduzamos o funcional e Ff = 1 2π n 2 Z Rn f(x)eixydx.

Mostraremos que e_{F ´e a transformada inversa de Fourier de F. Isto ´e,} e

F(F(φ)) = φ, ∀ φ ∈ S(Rn₎ Para isto precisaremos da seguinte identidade.

Lema 1.6.3. Sejam u e v fun¸c˜oes em_S(Rn_{). Ent˜}_{ao ´e v´}_alido Z

Rn

v(y)F(u)eixy _{dy =}Z Rn

u(σ + x)F(v) dξ. Demonstra¸c˜ao.- De fato, consideremos

Z Rn

v(y)F(u)eixy dy = Z

Rn

Z Rn

v(y)u(ξ)e−iξyeixy dξdy = Z Rn u(ξ) Z Rn

v(y)e−i(ξ−x)y dydξ =

Z Rn

u(ξ)_{Fv(ξ − x) dydξ}

Fazendo mudan¸ca de vari´aveis =

Z Rn

u(σ + x)_{Fv(σ) dσ} De onde segue a identidade

Proposi¸c˜ao 1.6.2. Para toda fun¸c˜ao φ_{∈ S(R}n_{) temos que} e

(26)

Demonstra¸c˜ao.- Do Lema 1.6.3 temos que Z

Rn

v(y)_F(φ)eixy dy = Z

Rn

φ(σ + x)_{F(v) dξ} Tomemos agora v = ke−x2

2, onde k ´e, tal que R

Rnv dx = 1. Denotemos por

v(x) = v(x), nestas condi¸c˜oes lembrando o Lema 1.6.1 chegamos a Z

Rn

v(y)F(φ)(y)eixy dy = −n Z

Rn

φ(σ + x)e−ξ22 dξ

Fazendo mudan¸ca de vari´aveis = Z Rn φ(x + y)e−ξ2 dy Fazendo _{→ 0 chegamos a} Z RnF(φ)e ixy_{dy = (2π)}n 2φ.

Teorema 1.6.1. (Identidade de Plancherel) Para toda fun¸c˜ao φ_{∈ S(R}n₎

temos que _Z

Rn|φ|

2_{dx =}Z

Rn|F(φ)|

2_dx.

Demonstra¸c˜ao.- De fato, considere Z Rn|φ| 2_{dx =} Z Rn φφ dx = Z Rn e F(F(φ))φ dx = Z RnF(φ) eF(φ) dx = Z RnF(φ)F(φ) dx

1.7 Transformadas de Fourier em L

2

Note que a transformada de Fourier est´a bem definida para fun¸c˜oes f ∈ L1_(Rn₎ e ainda temos que

(27)

Mas para fun¸c˜oes em L2_{, o produto com e}−ixy _n˜_{ao ´e em geral uma fun¸c˜}_{ao L}1_. Portanto, a integral _Z

Rn

f(x)e−iξxdx,

não está definida neste espa¸co. Utilizando a identidade de Plancherel definire-mos a transformada de Fourier no espa¸co L2_(Rn_{) por densidade. De fato, seja} u uma fun¸cão de L2_(Rn_{), ent˜}_{ao existe uma seq¨}_{uência de fun¸cões φ}

ν emS(Rn) tais que

φν → u forte em L2(Rn). Utilizando a Identidade de Plancherel, temos

kF(φν)− F(φµ)kL2_(Rn₎≤ kφ_ν− φ_µk_L2_(Rn₎.

De onde conclu´ımos que a transformada de Fourier da seqüência φν é também uma seqüência de Cauchy em L2_(Rn_{), portanto existe uma fun¸cão ˆ}_u

∈ L2_(Rn₎ tal que

F(φν) → u forte emˆ L2(Rn). O Limite ˆu ´e tomado como a transformada de Fourier de u.

Definiremos a seguir a transformada de Fourier de uma Distribui¸cão tem-perada. Isto é feito por transposi¸cão na seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 1.7.1. A transformada de Fourier de uma distribui¸cão temperada T , é definida como a distribui¸cão ˆT satisfazendo

ˆ

T (φ) = T ( ˆφ).

(28)

Z b a sen k(x_{− x}0) x− x0 dx = Z k(b−x0) k(a−x0) sen σ σ dx = Z 0 k(a−x0) sen σ σ dx + Z k(b−x0) 0 sen σ σ dx Usando o Lema 1.6.2 temos que

lim k→∞ Z b a sen k(x_{− x}0) x_{− x}0 dx = π

Do Lema de Riemann Lebesgue e da identidade 1.5 segue o resultado.

Exemplo 1.7.1. É simples verificar que todas às fun¸cões constantes são dis-tribui¸cões temperadas. Portanto, todas elas possuem Tranformada de Fourier no sentido das distribui¸cões temperadas. Utilizaremos o Lema anterior para calcular a transformada de 1. Consideraremos o caso unidimensional. Seja T1 sua correspondente distribui¸cão. Pela defini¸cão, temos

ˆ

T1(φ) = T1( ˆφ)

Note que a transformada de T1 pode ser aproximada por ˆ T1 = 1 √ 2πβ→∞lim Z β −β e−ixydy = 1 −ixe −ixy |y=βy=−β = 2sen βx x De onde segue pelo Lema 1.5, que

ˆ T (φ) =√1 2πβ→∞lim Z R sen βx x φ dx = 2πφ(0) Portanto, temos ˆ 1 =√2πδ0

Outra forma mais direta de calcular o valor da transformada de 1, ´e utilizando a tranformada inversa, isto ´e,

(29)

Exemplo 1.7.2. Calcularemos agora a Transformada de Fourier da fun¸c˜ao sen(x). Procedendo como no exemplo anterior temos que calcular a transfor-mada da distribui¸c˜ao Tsen que pode ser aproximada da seguinte forma

ˆ Tsen = √1 2πβ→∞lim Z β −β sen ye−ixydy = _√1 2πβ→∞lim Z β −β eiy − e−iy 2i e −ixy_dy = √1 2πβ→∞lim ( 1 2i Z β −β e−i(x−1)y dy₋ 1 2i Z β −β e−i(x+1)ydy ) = √1 2πβ→∞lim −isen (β(1₁ − x) − x − isen (β(1 + x) 1 + x De onde segue ˆ Tsen =−i r π 2δ1− i r π 2δ−1

1.8 Aplica¸

c˜

ao a equa¸

c˜

ao do calor

Faremos nesta se¸cão uma aplica¸cão a equa¸cão do calor. Isto é, a equa¸cão que modela o fluxo do calor num corpo configurado sobre um conjunto Ω ⊂ R3_. Para a dedu¸cão do modelos sugerimos a leitura de [96] entre outros. A equa¸cão do calor na sua forma adimensional é dada por

yt− ∆y = 0 em Rn×]0, ∞[ y(x, 0) = y0(x) em Rn

onde y0é uma fun¸cão dada. Note que neste caso não temos condi¸cão de con-torno, porque não temos borde. Suponhamos que y0 ∈ L2(Rn). Procuremos uma solu¸cão utilizando a Transformada de Fourier. Assim depois de tomar transformada de Fourier na equa¸cão do calor, teremos

ˆ

yt+|ξ|2y = 0ˆ ˆ

y(ξ, 0) = ˆy0.

Agora a equa¸cão em derivadas parciais se transformou numa equa¸cão diferencial ordinária de primeira ordem, cuja solu¸cão está dada por

ˆ

(30)

Pela parte (ii) da proposi¸c˜ao 1.6.1, temos ˆ y = 1 √ 2π n F( eF(e−|ξ|2t)_{∗ e}_F(ˆy0)) = 1 √ 2π n F((√1 t) n_e−|x|2_4t ∗ y0)). Depois de tomar transformada inversa, segue

y = (√1 2πt) nZ Rn e−|x−ξ|24t y 0(σ) dξ, (1.6)

onde y representa a solu¸cão da equa¸cão do calor. Em virtude da fórmula (1.6) podemos obter às seguintes conclusões.

Proposi¸cão 1.8.1. Seja y0 ∈ L2(Rn), então existe uma única solu¸cão da equa¸cão do calor, satisfazendo:

(i) O problema está bém colocado e a solu¸cão depende cont´ınuamente do dado inicial y0, isto é,

ky(·, t)kL2_(Rn₎≤ ky₀k_L2_(Rn₎

Em geral temos que se y0∈ Lp(Rn), pela desigualdade de Young segue y(_{·, t) ∈ L}p_(Rn₎

pois n´ucleo da convolu¸c˜ao,

S(x, t) := (√1 2πt)

n_e−|x|2_4t ´e uma fun¸c˜ao que pertence a L1_(Rn_{), e ainda satisfaz:}

(√1 2πt)

nZ Rn

e−|x|24t dx = 1

(ii) Se m≤ y0(x)≤ M então a solu¸cão da equa¸cão do calor satisfaz: m ≤ y(x, t) ≤ M para todo t > 0. Esta propriedade é conhecida como Princ´ıpio do Máximo da equa¸cão do calor.

(iii) A norma de y em L2_(Rn_),

ky(·, t)kL2_(Rn₎ decai uniformente quando t→

∞, isto ´e,

ky(·, t)kL2_(Rn₎≤

C √

(31)

(iv) Como a fun¸cão S(x, t) é uma fun¸cão infinitamente diferenciável para x∈ Rn _{e t > 0 a convolu¸c˜}_{ao y = S}_{∗ y}

0 é também uma fun¸cão infinitamente diferenciável para t > 0. Note que esta propriedade não depende do dado inicial. Isto é, o dado inicial y0 pode ser irregular que a solu¸cão y será infinitamente diferenciável para t > 0. Esta propriedade é conhecida como Efeito Regularizante.

1.9 Distribui¸

c˜

oes vetoriais

Nesta se¸cão introduziremos brevemente o conceito de Distribui¸cões vetoriais. Seja X um espa¸co de Banach, com norma _{k · k}X. Seja f um fun¸cão definida a valores em X.

Defini¸c˜ao 1.9.1. Diremos que f

f : [a, b] _→ X

é uma fun¸cão simple se a imagem de f é constitu´ıda por um número finito {x1,· · · , xm} de vetores de X. Diremos que uma fun¸cão simples f é mensurável se para todo x∈ X f−1₍_{{x}) é um conjunto mensurável de ]a, b[. Finalmente,} diremos que uma fun¸cão

g : [a, b] → X

é uma fun¸cão mensurável se existe uma seqüência de fun¸cões simples fν tal que

fν(s) → g(s) q.s. em ]a, b[.

Uma caracteriza¸cão das fun¸cões mensuráveis é dada pelo seguinte Proposi¸cão. Proposi¸cão 1.9.1. Uma fun¸cão F :]a, b[_{→ X é mensurável se, e somente se} verificam às seguintes propriedades:

(i) A imagem de ]a, b[ por F é separável quase sempre. Isto é existe um conjunto S de medida nula, tal que F (]a, b[_{\S) é separável.}

(ii) F é fracamente mensurável. Isto é, para todo w ∈ X∗ _{a fun¸c˜}_{ao s} _7→ hF (s) , wi é mesurável

Defini¸cão 1.9.2. Diremos que uma fun¸cão F :]a, b[→ X é integrável se F é

mensur´avel e _Z

b

a kF (s)k

X ds <∞

A defini¸cão anterior também é chamada de Teorema de Bochner.

(32)

Teorema 1.9.1. (Teorema da Convergência Dominada) Seja f uma seqüência de fun¸cões integráveis tal que

fν(s) → f(s) q.s. em ]a, b[ e que exista uma fun¸c˜ao integr´avel ϕ :]a, b[_{→ R satisfazendo}

kfν(s)kX ≤ ϕ(s) ∀ ν ∈ N. Então, f é integrável e ainda temos

lim ν→∞

Z b a kf

ν(s)− f(s)kX ds = 0.

Lema 1.9.1. (Lema de Fatou) Seja fνuma seqüência de fun¸cões integráveis tal que

fν(s) → f(s) fracamente q.s. em ]a, b[

Isto ´e, _hfν(s) , wi → hfν(s) , wi quase sempre em ]a, b[ para todo w ∈ X∗. Suponhamos que exista uma constante C, tal que

Z b a kf

ν(s)kXds≤ C, ∀ ν ∈ N.

Então f é integrável e ainda temos que Z b a kf(s)k X ds≤ lim inf ν→∞ Z b a kf ν(s)kX ds.

Denotaremos por Lp_{(a, b; X), o conjunto}

Lp(a, b; X) ={f mensur´avel; s 7→ kf(s)kX ∈ Lp(a, b)} O espa¸co acima, munido da norma

kfkLp_(a,b;X)= (Z b a kf(s)k p_ds )1 p

(33)

Defini¸cão 1.9.3. Seja P uma parti¸cão de ]a, b[, isto é, P ={a = a1<· · · < an = b}. Diremos que uma fun¸cão f :]a, b[→ X é de varia¸cão limitada, se

sup P ∈P m X k=1 kf(ak)− f(ak−1)kX <∞,

onde por P estamos denotando o conjunto de todas `as parti¸c˜oes sobre ]a, b[. Denotaremos por Var(f, [a, b]) o valor

Var(f, [a, b]) = sup P ∈P

m X k=1

kf(ak)− f(ak−1)kX

Var(f, [a, b]) é chamado varia¸cão total de f. Denotaremos por V B(a, b; X) o conjunto de todas às fun¸cões de varia¸cão limitada sobre X. Por simplicidade escreveremos Vf(s) = Var(f, [a, s]).

Proposi¸cão 1.9.2. Seja X um espa¸co reflexivo e seja f uma fun¸cão de varia¸cão limitada f _{∈ V B(a, b; X). Então, f é derivavel quase sempre,}

df ds ∈ L

1_{(a, b; X)}

e ainda temos que

Z b a k

df

dt(s)k ds ≤ V ar(f; [a, b]), kdf_dt(s)k ≤ _dsdVf(s), q.s. ]a, b[.

Defini¸cão 1.9.4. Diremos que uma fun¸cão f :]a, b[_{→ X é absolutamente} cont´ınua sobre X se para todo > 0 existe um δ > 0 tal que para toda seqüência de subintervalos ]ai, bi[ disjuntos dois a dois se verifica

m X i=1 |ai− bi| < δ ⇒ m X i=1 |f(ai)− f(bi)| < .

Mostra-se como no caso escalar que toda fun¸cão f absolutamente integrável é de varia¸cão limitada. Além do mais a aplica¸cão s7→ Vf(s) é absolutamente cont´ınua e ainda temos que

Vf(s) = Z s

a d

dtVf(τ ) dτ.

(34)

Diremos que uma fun¸c˜ao f ∈ Lp_{(a, b; X) possui uma derivada fraca em} Lp_{(a, b; X) se existe uma fun¸c˜ao v}_{∈ L}p_{(a, b; X) satisfazendo}

Z b a f(s)α0(s) ds =− Z b a v(s)α(s) ds, ∀ α ∈ D(a, b). Assim definimos o espa¸co

W1,p(a, b; X) =

{f ∈ Lp_{(a, b; X); tal que f tenha derivada fraca em L}p_{(a, b; X)} } Este espa¸co munido da norma

kfkpW =kfk p

Lp_(a,b;X)+kf

0

kpLp_(a,b;X),

´e um espa¸co de Banach.

Proposi¸cão 1.9.3. Seja X um espa¸co reflexivo. Então, às seguintes pro-priedades são equivalentes.

(i) f∈ W1,1_{(a, b; X)}

(ii)R_ab−hkf(s + h) − f(s)kX ds≤ Ch ∀ h ∈]a, b[.

(ii)_|R_ab−h_hf(s),dϕ_ds(s)_{i| ≤ Ckϕk}L∞_(a,b;X) ∀ ϕ ∈ D(a, b; X∗).

Proposi¸c˜ao 1.9.4. As propriedades seguintes s˜ao equivalentes (i) f_{∈ W}1,p_{(a, b; X).}

(ii) Existe v∈ Lp_{(a, b; X) tal que} lim h→0 Z b−h a k f(s + h)_{− f(s)} h − v(s)k ds = 0. (iii) Existe k_{∈ L}p_{(a, b; X) tal que}

f(s) = f(a) + Z s

a

k(τ ) dτ.

1.10 Teoremas de compacidade

(35)

Defini¸c˜ao 1.10.1. Seja X um espa¸co de Banach. Diremos que um op-erador

S : X_{→ X}

´e um operador compacto, se S leva conjuntos limitados em conjuntos rel-ativamente compactos de X

Como conseqüência disto temos a seguinte proposi¸cão.

Proposi¸c˜ao 1.10.1. Seja E um espa¸co normado. Todo operador linear e compacto de E ´e cont´ınuo

Pelo Teorema de Heine-Borel sabemos que em dimensão finita, todo op-erador linear é compacto. Portanto esta defini¸cão é interessante quando se trabalha sobre espa¸cos de dimensão infinita. Um resultado que é carater´ıstico dos espa¸cos de dimensão finita é o seguinte.

Proposi¸cão 1.10.2. Seja E um espa¸co normado de dimensão infinita e S um operador compacto de E. Se S possui inversa (à ezquerda) então S−1 _{é um operador n˜}_{ao limitado}

Demonstra¸cão.- Razonemos por contradi¸cão. Suponhamos que a inversa de S seja um operador limitado, então a identidade IE= S−1◦ S ser´ıa compacta, por ser a composi¸cão de um operador compacto com um operador cont´ınuo. Isto significa que a bola unitária B1(0) = IE(B1(0)) é compacta. Mais isto é contraditório, porque a bola é compacta somente em dimensão finita.

Proposi¸cão 1.10.3. Seja S um operador compacto de E, então S é sobre se e somente se E é de dimensão finita

Demonstra¸cão.- A demonstra¸cão é análoga ao caso anterior. Se S é sobre, então S possui inversa à direita. isto é existe S−1 _{tal que}

S−1 _{: E} → E

linear e cont´ınuo (Teorema da aplica¸cão aberta). Portanto a composi¸cão S◦S−1 faz com que a identidade seja um operador compacto, mais isto somente é verdade em dimensão finita.

(36)

Se S for injetor, ent˜ao ele seria sobrejetor apenas sobre a imagem de S, isto ´e S : E _{→ Im(S) ⊂ E}

Portanto podemos invertir este operador. Denotemos por A = S−1_{, ent˜}_ao A : Im(S)⊂ E → E

O que nos fornece o primer exemplo de operador não limitado de E. Como principal propriedade é que este operador não está definido sobre todo o espa¸co.

Defini¸cão 1.10.2. Seja E um espa¸co normado. Chamaremos de operador linear não limitado de E a todo operador A : D(A)⊂ E → E cujo dominio seja um subconjunto de E. Isto é D(A)⊂ E

Defini¸cão 1.10.3. Seja E um espa¸co normado. Diremos que um oper-ador A é fechado se para toda seqüência satisfazendo

uν → u, Auν → χ forte em H Temos que u_{∈ D(A) e Au = χ}

Observa¸cão 1.10.2. Todo operador cont´ınuo é fechado. Porém a rec´ıproca é falsa.

Observa¸cão 1.10.3. Se A é um operador fechado, podemos munir o dominio de A, D(A), com a norma do gráfico, isto é

kwk2

D(A)=kwk2H+kAwk2H

Com esta norma o espa¸co D(A) passa ser um espa¸co completo, como ´e simples verificar.

Defini¸cão 1.10.4. Seja E um espa¸co normado completo e V um sube-spa¸co fechado de E. Diremos que V tem imersão compacta em E se aplica¸cão

(37)

Proposi¸cão 1.10.4. Seja E um espa¸co normado completo e A um op-erador fechado não limitado e sobrejetor de E. Se o dom´ınio de A tem imersão compacta em E, então a inversa de A é um operador compacto.

Demonstra¸cão.- A inversa de A está definida em todo E, com valores em D(A) isto é

A−1: E→ D(A) Como a imers˜ao iA

iA: D(A)→ E ´e compacta, temos que a aplica¸c˜ao

A−1 = A−1◦ iA: E→ E ´e compacta, de onde segue a demonstra¸c˜ao.

Teorema de Lions-Aubin

Denotemos por B0, B e B1 espa¸cos de Banach onde B0 e B1 s˜ao espa¸cos reflexivos satisfazendo:

B0⊂ B ⊂ B1, A imers˜ao de B0 em B compacta. (1.7) Definamos o espa¸co

W = {v; v_{∈ L}p0_{(0, T ; B}

0), vt∈ Lp1(0, T ; B1)} ,

com T finito e 1 < pi < ∞, i = 0, 1. ´E simples verificar que W munido da norma

kvkW=kvkLp0(0,T ;B0))+kvtkLp1(0,T ;B1),

´e um espa¸co de Banach.

Lema 1.10.1. Suponhamos que (1.7) seja v´alida, ent˜ao para todo η > 0 existe uma constante C(η) > 0 tal que

kvkB ≤ ηkvkB0+ C(η)kvkB1

Demonstra¸cão.- Caso contrário existe uma subseqüência de fun¸cões (uνk), e

um n´umero η0> 0 que verifica

(38)

Podemos tomar cηk≥ k de onde, temos

kuνkkB ≥ η0kuνkkB0+ kkuνkkB1.

Denotando por wk = uνk/kuνkkB obtemos

1_{≥ η}0kwkkB0+ kkwkkB1. (1.9)

De onde segue que

kwkkB = 1, kwkkB1 ≤

1

k, ∀ k, (1.10)

Portanto, teremos

wk→ 0 em B1, wk * 0 fraco em B0 Da imers˜ao compacta de B0 em B segue que

wk→ 0 forte em B. De onde temos que

1 = lim

k→∞kwkkB = 0. Esta contradi¸c˜ao mostra o resultado

Nestas condi¸c˜oes temos o seguinte teorema devido a Lions.

Teorema 1.10.1. Sejam 1 < p0, p1 < ∞ e suponhamos que (1.7) seja válida. Então, a imersão deW sobre Lp0_{(0, T ; B) é compacta.}

Demonstra¸cão.- Seja uνuma seqüência de fun¸cões limitadas emW. Mostraremos que existe uma subseqüência, que a denotaremos da mesma forma, que con-verge forte em Lp0_{(0, T ; B). Da reflexividade de}W existe uma subseqüência

de uν e uma fun¸c˜ao u∈ W tal que

uν → u fraco em W,

sem perda de generalidade podemos supor que u = 0, caso contrário, considere a seqüência ûν= uν− u no lugar de uν. Do Lema 1.10.1 segue que para todo η > 0 existe uma constante cη > 0 para o qual temos:

kuνkLp0(0,T ;B)≤ ηkuνkLp0(0,T ;B0)+ cηkuνkLp0(0,T ;B1). (1.11)

(39)

kuνkLp0(0,T ;B) ≤

2 + cηkuνkLp0(0,T ;B1).

Finalmente, para provar que uν converge forte para zero, bastará mostrar que uν converge forte para zero em Lp0(0, T ; B1). É simples verificar que uν pode ser identificada por uma fun¸cão cont´ınua em C(0, T ; B1), portanto limitada em [0, T ]. Do teorema de Lebesgue, falta apenas verificar que uν converge pontualmente. Integrando por partes temos a identidade

Z s+h s (s + h_{− τ)u}0 νdτ = (s + h− τ)uν(τ )|s+hs + Z s+h s uνdτ. De onde segue uν(s) = 1 h Z s+h s uν(τ ) dτ− 1 h Z s+h s (s + h− τ)u0 ν(τ ) dτ. ´

E simples verificar que 1 h Z s+h s (s + h_{− τ)u}0ν(τ ) dτ ≤ Z s+h s ku 0 ν(τ )kB1dτ ≤ 2. Para h pequeno. Da compacidade segue

1 h Z s+h s uν(τ ) dτ → 0 fraco em B0, ⇒ 1 h Z s+h s uν(τ ) dτ→ 0 forte em B1, conclu´ımos assim que

uν(s) → 0, ∀ s ∈ [0, T ] O que completa a demonstra¸c˜ao

Finalmente, estudaremos uma melhora do Teorema anterior devido a J.U. Kim [?].

Teorema 1.10.2. Seja uν uma seqüência de fun¸cões tal que uν → u fraco * em L∞(0, T ; Hβ(Ω)) u0

ν → u0 fraco em L∞(0, T ; Hα(Ω)) Para _{−1 ≤ α < β ≤ 1. Ent˜ao, teremos que}

(40)

Demonstra¸cão.- Sem perda de generalidade podemos supor que α e β são diferentes de 1/2. Denotemos por r = θα+(1−θ)β. Então usando interpola¸cão teremos para quase todo par de pontos t1 e t2que

kuν(t2)− uν(t1)kHr_(Ω) ≤ C_θku_ν(t₂)− u_ν(t₁)kθ_Hα_(Ω)kuν(t2)− uν(t1)k1−θ_Hβ_(Ω) ≤ Cθ Z t2 t1 ku0 ν(t)kHα_(Ω)dt θ ≤ Cθ|t1− t2| θ 2

Conseqüentemente uν está em C([0, T ]; Hr(Ω)) e como a imersão de Hs(Ω) é compacta em Hr_{(Ω) para s > r, podemos usar o teorema de Ascoli para} concluir nosso resultado. A prova está completa

Exerc´ıcios

1. Mostre que a fun¸cão x7→ cos x é uma distribui¸cão temperada e calcule sua transformada de Fourier

2. Mostre que x _{7→ e}x2

não é uma distribui¸cão temperada, mas é uma distribui¸cão de_D(Rn₎

3. Seja φ_{∈ D(R}n_{) e T}

∈ D0_(Rn_{). Alguma das rela¸c˜}_oes φT = 0, T (φ) = 0 implica a outra

4. Seja u_{∈ D}0_{(R), mostre que} u_{− τ}xu

x → Du, em D

0_(R)

5. Mostre que a fun¸cão x_{7→ e}x_{cos (e}x_{) é uma distribui¸c˜}_{ao temperada.} 6. Mostre que C0∞(Rn) é denso emS(Rn)

7. Seja f_{∈ L}1_(Rn_{), f}

6= 0. Seja λ um n´umero complexo, tal que F(f) = λf. Que pode dizer sobre λ?

8. Suponhamos que exista uma constante C > 0 independente de φ, tal que Z

Rn

uφ dx_{≤ Ckφk}Lp_(Rn₎, ∀φ ∈ C₀∞(Rn)

(41)

9. Calcular a transformada de Fourier da fun¸c˜ao x7→ cos x, x 7→ sen (x − x0)

10. Mostre que a fun¸cão x7→ tg x é uma distribui¸cão temperada.

11. Seja p uma seminorma. Mostre que o conjunto V ={x ∈ E; p(x) = 0} ´e um espa¸co vetorial e que o conjunto C = _{{x ∈ E; p(x) < 1} ´e um} conjunto convexo.

12. Se ϕ_{∈ S(R}n_{) mostre que} lim

|x|→∞q(x)ϕ(x) = 0 ∀ q polinomio

13. Seja p uma seminorma. Mostre que o conjunto{x; p(x) = 0} ´e um sube-spa¸co vetorial de E, e que o conjunto B ={x ∈ E; p(x) < 1} ´e convexo e absorvente. (Veja Exerc´ıcios)

14. Seja Ω⊂ Rn_{. Considere o espa¸co L}p_{(Ω) com 0 < p < 1. Mostre que `}_as bolas Br(0) = f ∈ Lp_(Ω); Z Ω|f| p_{dx < r}

(42)

(43)

Semigrupos e grupos de

operadores

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo estudaremos a teoria de semigrupos com ˆenfase nas aplica¸c˜oes `

as equa¸cões diferenciais parciais. Motivaremos nosso estudo nos perguntando o que de comum tem às seguintes equa¸cões

utt− αuxx= 0, x∈ R (2.1) u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x∈ R ut− αux= 0, x∈ R (2.2) u(x, 0) = u0(x), x∈ R ut− κuxx= 0, x∈ R (2.3) u(x, 0) = u0(x), x∈ R

Ou mesmo a rela¸cão que existe entre às equa¸cões anteriores e o sistema da forma

utt− αuxx+ mθx= 0, x∈ R (2.4) θt− κθxx+ muxt= 0, x∈ R

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) θ(x, 0) = θ0(x), x∈ R

Aparentemente não existe semelhan¸ca nenhuma, pois às equa¸cões acima são do tipo hiperbólico, parabólica ou sistemas acoplados hiperbólicos parabólicos.

(44)

Se quisermos estudar sua boa coloca¸c˜ao ou qualquer outro tipo de propriedades, ter´ıamos que seguir uma motodologia diferente para cada caso. Por´em, todas `

as equa¸cões acima podem ser reduzidas a uma equa¸cão de primeira ordem na variável temporal (na variável t). Por exemplo consideremos a equa¸cão (2.1), fazendo U = u ut ⇒ _dtd u ut = ut utt = ut αuxx Isto é, d dt u ut = 0 I (_·)xx 0 | {z } :=A u ut

Podemos reescrever a equa¸c˜ao (2.1) na forma

Ut= AU, U (0) = U0, (2.5)

onde por U0 estamos denotando o vetor coluna (u0, u1). A equa¸cão (2.2) também pode ser escrita na forma (2.5), para isto basta fazer A = α(·)x. De forma análoga a equa¸cão (2.3), tomando A = κ(·)xx. Finalmente, o sistema acoplado (2.4) pode ser reescrito como

U =   u ut θ   _⇒ d dt   u ut θ   =   ut utt θt   =   ut αuxx− mθx κθxx− muxt   Isto ´e, d dt   uut θ   =   (·)0xx I0 −m(·)0 x 0 −m(·)x κ(·)xx   | {z } :=A   uut θ  

Portanto, o sistema (2.4) também pode ser escrito na forma (2.5). Isto nos leva a conclusão que para estudar a boa coloca¸cão dos modelos (2.1)–(2.4) bastará estudar às propriedades do operador A na equa¸cão abstrata (2.5). Isto é, o que trata a teoria de semigrupos.

2.2 Motiva¸

c˜

ao: Exponencial de uma matriz

(45)

com a, y0∈ R a solu¸cão é dada por y = y0eat. Consideremos agora um sistema de 3 equa¸cões diferenciais de primeira ordem,

y10 = a1,1y1+ a1,2y2+ a1,3y3 y20 = a2,1y1+ a2,2y2+ a2,3y3 y30 = a3,1y1+ a3,2y2+ a3,3y3

y1(0) = y1,0, y2(0) = y2,0, y3(0) = y3,0.

Onde ai,j, yi,0∈ R são dados do problema. Calcular a solu¸cão é um problema mais complexo que no caso escalar. Porém, usando a nota¸cão matricial

Y =   yy12 y3   , A =   aa1,12,1 aa1,22,2 aa1,32,3 a3,1 a3,2 a3,3   , Y0=   yy1,02,0 y3,0   . Podemos reescrever o sistema anterior da forma

Y0= AY, Y (0) = Y0

Esta equa¸cão sugere que a solu¸cão do problema de valor inicial anterior deve ser também uma fun¸cão exponencial. O problema é então extender o conceito de fun¸cão exponencial. Usando as séries de Taylor, podemos expressar a fun¸cão exponencial como uma série de potências.

eat= 1 + at + 1 2!a 2_t2₊ 1 3!a 3_t3₊ · · · +_k!1aktk+· · ·

Apartir desta fórmula, resulta natural estender o conceito de exponencial so-bre o conjunto das matrizes. Considere uma matriz quadrada A, então qual-quer potência de Ak _{é também uma matriz quadrada e ainda a série est´}_{a bem} definida. I + At + 1 2!A 2_t2₊ 1 3!A 3_t3₊ · · · +_k!1Aktk+· · · ,

onde trocamos o número 1 pela matriz identidade I. A série acima é conver-gente para qualquer matriz A e qualquer número real t. Para verificar isto basta mostrar que a série é de Cauchy, no espa¸co das matrizes. Lembremos que para matrizes de ordem n, se verifica

(46)

e consideremos a diferen¸ca kSm− Sµk = k m X i=µ 1 i!A i_ti k ≤ m X i=µ |t|i i! kA i k ≤ m X i=µ |t|i i! kAk i

Por outro lado

etkAk= ∞ X i=0 |t|i i! kAk i_,

é convergente, então às somas parciais da série acima formam uma seqüência convergente, portanto de Cauchy. Logo para todo > 0, existe N > 0 verifi-cando m, µ_{≥ N} _⇒ m X i=µ |t|i i! kAk i_{< .}

Que ´e equivalente a

m, µ_{≥ N} _⇒ _kSm− Sµk < . Assim, a s´erie Sm´e de Cauchy, portanto convergente.

Da discussão anterior conclu´ımos que a série Sm é convergente, portanto seu limite está bem definido. Definiremos este limite como a exponencial da matriz A, portanto eAt= I + At + 1 2!A 2_t2₊ 1 3!A 3_t3₊ · · · +_k!1Aktk+· · · Verifiquemos que d dte At ₌ _{A + A}2_{t +} 1 2!A 3_t2₊ · · · + _(k 1 − 1)!A k_tk−1₊ · · · = A I + At + 1 2!A 2_t2₊ · · · +_(k 1 − 1)!A k−1_tk−1₊ · · · = AeAt.

Portanto, a fun¸cão exponencial matricial, definida no limite, verifica a pro-priedade da diferencia¸cão de fun¸cões exponenciais de variável real.

(47)

Isto ´e para calcular uma derivada de ordem k basta multiplicar (ou compor) a matriz exponencial com a matriz A k-vezes. Assim podemos escrever

dk dtke At_{= [Ae}At/k_]k_, _ou dk dtke At_{= [}d dte At/k_]k_,

Observa¸cão 2.2.2. Outra propriedade importante é que se A é uma matriz de tamanho m×m, então a fun¸cão exponencial S(t) = eAt_{é uma fun¸c˜}_{ao que pode} ser extendida anal´ıticamente a todo o plano complexo. Isto é, o exponencial de uma matriz é uma fun¸cão entera.

2.3 Operadores limitados

Seja X um espa¸co de Banach e L um operador linear e cont´ınuo definido sobre X. Isto ´e,

L : X_{→ X,} x_{7→ Lx ∈ X}

Todo operador cont´ınuo é um operador limitado, isto é, leva conjuntos limitados em conjuntos limitados. De fato, seja O um conjunto limitado, então existe um número positivo M , tal que

kxk ≤ M, ∀ x ∈ O.

Provaremos que a imagem do conjunto _{O por L ´e um conjunto limitado. Pela} continuidade de L em y = 0, para = 1 existe um δ > 0 tal que

kyk < δ ⇒ kL(y)k < 1. Seja x∈ O, ent˜ao

k_Mδ xk < δ ⇒ kL(_Mδ x)k < 1 ⇒ kL(x)k < M_δ . Em resumo, provamos que

kxk ≤ M ⇒ kL(x)k < M_δ Portanto, L leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

O rec´ıproco desta propriedade também é verdadeiro, isto é, se um oper-ador leva conjuntos limitados em limitados, então deve ser cont´ınuo. De fato, suponhamos que L tenha esta propriedade. Mostraremos que L é um operador cont´ınuo. Pela linearidade do operador, bastará demonstrar que L é cont´ınuo em x = 0. Seja > 0. Como L leva limitados em limitados, então existe M > 0, tal que

(48)

Tomemos y como

y = x M A implica¸c˜ao anterior ´e equivalente a

kyk < _M ⇒ kL(y)k <

Em resumo, para > 0 temos encontrado δ = /M , tal que a expressão acima é válida. Isto significa que L é um operador cont´ınuo. Temos mostrado o seguinte resultado.

Teorema 2.3.1. Um Operador ´e cont´ınuo sobre X se, e somente se leva conjuntos limitados de X em conjuntos limitados.

Exponencial de operadores lineares e cont´ınuos

A fun¸cão exponencial de operadores lineares e cont´ınuos está bem definido. De fato, seja X um espa¸co de Banach, e denotemos por L um operador linear e cont´ınuo em X, isto é,

L : X → X.

A composi¸cão dos operadores L_{◦ L está bem definida e é linear e cont´ınuo.} Denotemos por

L(X) = {L : X → X; L linear e cont´ınuo} . ´

E simples verificar queL(X) ´e um espa¸co vetorial. Sobre este espa¸co podemos definir a norma

kLkL= sup{kL(x)kX; kxkX≤ 1}

que faz_{L(X) um espa¸co normado completo. Da defini¸c˜ao, conclu´ımos que} kL ◦ L(x)kX ≤ kLkLkL(x)k ≤ kLk2Lkxk

Tomando supremos, encontramos

kL ◦ LkL≤ kLk2L. Portanto, denotando Lk _{= L}

◦ L ◦ · · · ◦ L, k-vezes, temos kLkkL≤ kLkkL.

(49)

´e convergente, portanto podemos definir exponencial de um operador como eL= I + L + 1 2!L 2₊ 1 3!L 3₊ · · · +_k!1Lk+· · · Tomando t_{∈ R segue} eLt= It + Lt + 1 2!L 2_t2₊ 1 3!L 3_t3₊ · · · +_k!1Lktk+_{· · ·} Derivando com rela¸c˜ao a t, encontramos

d dte

Lt_{= Le}Lt_.

Estes operadores definidos por matrizes e por operadores lineares e cont´ınuos, s˜ao chamados de semigrupos, porque verificam `as seguinte propriedades

• e0L_{= I}

• esL_etL_{= e}(s+t)L_.

O operador L ´e chamado de gerador.

Defini¸c˜ao 2.3.1. Uma fam´ılia de operadores T (s) : X → X, s ∈ R satisfazendo

• T (0) = I

• T (s) ◦ T (t) = T (s + t) ´e chamado de semigrupo.

Este nome se justifica da seguinte forma. Denotemos por G o conjunto formada pela fam´ılia de operadores T (t) : X → X. Isto ´e,

G = {T (s) ∈ L(X); s ∈ R}

Introduzindo a opera¸cão binária T (s)T (t) = T (s+t) o conjunto_{G tem estrutura} de semigrupo abeliano (comutativo) con conjunto unitário dado pela identidade como é simples verificar. O conjunto G será um grupo se os operadores T (s) estiverem definidos para valores negativos.

Neste ponto ´e oportuno extender as observa¸c˜oes 2.2.1 e 2.2.2 feitas para matrizes,

(50)

Portanto, para calcular a derivada de ordem k do operador T , basta compor o semigrupo T com o operador A k-vezes. Assim podemos escrever

dk dtkT (t) = [AT ( t k)] k_, _ou dk dtkT (t) = [ d dtT ( t k)] k_,

Observa¸cão 2.3.2. Outra propriedade importante é que se A é um operador limitado, então o semigrupo T (t) gerado por A é uma fun¸cão que pode ser ex-tendida anal´ıticamente a todo o plano complexo. Into é T poder ser considerado uma fun¸cão anal´ıtica. Logo o semigrupo gerado por um operador limitado é uma fun¸cão entera. Veremos posteriormente que o rec´ıproco desta propriedade é também verdadera.

2.4 Operadores lineares n˜

ao limitados

Em dimensão finita, todo operador linear é cont´ınuo. Isto não é mais verdade nos espa¸cos de dimensão infinita. Os operadores diferenciais são exemplos de operadores não limitados. De fato, denotemos por A o operador definido como

A = d dx.

Consideremos o espa¸co X = L2_{(R). Claramente A é um operador linear, mais} não está definido em todo o espa¸co X. O dom´ınio de A é dado por

D(A) =w_{∈ L}2(R); Aw_{∈ L}2(R) = H1(R). Assim temos que

A : D(A)⊂ L2_(R)

→ L2_(R).

Em geral operadores lineares não limitados não estão definidos sobre todo o espa¸co. Usando os mesmos argumentos podemos mostrar que todo operador diferencial é um operador não limitado. Considere o seguinte exemplo: Exemplo 2.4.1. Encontre o dom´ınio do operador

A = d 2

dx2 sobre L2_(R

+) e mostre n˜ao ´e um operador limitado.

Soluc¸ ˜ao.- O operador A sobre X = L2(R+), possue o seguinte dom´ınio D(A) =w∈ L2_(R

+); Aw∈ L2(R+) = H2(R+). Isto ´e,

A : D(A)⊂ L2_(R

(51)

Finalmente, mostraremos que A não é limitado, para isto definamos a seqüência fmde fun¸cões

fm(x) =√me−mx ´

E simples verificar que fmé uma seqüência limitada em L2(R+), pois kfmk2L2_(R₊₎=

Z ∞ 0

me−2mx_{dx =} 1 2 Por outro lado,

kAfmk2L2_(R₊₎= Z ∞ 0 m3e−2mxdx = m 2 2 → ∞ O que mostra que A ´e n˜ao limitado.

2.5 Semigrupos C

0

Seja X um espa¸co de Banach. Seja T (t) um semigrupo sobre X. Sabemos que se A é um operador limitado, então o semigrupo T (t) = eAt_{é uniformemente} cont´ınuo sobre X. Isto porque podemos representar eAt_{como a série}

eAt= I + tA +_{· · · +}t n_An n! · · · De onde temos eAt_{x = x + tAx +} · · · +t n_An_x n! · · · Tomando norma, encontramos

keAt_x − xk ≤ ∞ X k=1 Ak_xtk k! ≤ ∞ X k=1 kAkk_tk k! kxk ≤ kAkte kAkt kxk. De onde obtemos que

keAt

− IkL(X)≤ kAktekAkt ⇒ keAt− IkL(X)→ 0.

(52)

tem imagem sobre D(A). Logo, a composi¸cão AF está bem definida para todo x∈ X. Então eAhx_{− x =} Z h 0 AeAsx ds = hAF x _{∀ x ∈ X.} (2.6) Por outro lado, da continuidade uniforme temos que

I−_h1 Z h 0 eAsds→ 0 ⇒ kI − 1_h Z h 0 eAsdsk < 1, para |h| < δ De onde segue F = 1/hR₀heAs _{ds ´e invers´ıvel, para} _{|h| < δ fixo. De (2.6),} encontramos eAh − I h = AF ⇒ A = eAh − I h F −1

Logo, A ´e um operador limitado por ser composi¸c˜ao de operadores limitados. Temos mostrado o seguinte Teorema

Teorema 2.5.1. Um semigrupo eAt_{´e uniformemente cont´ınuo se, e} so-mente se A ´e limitado.

Para tratar de semigrupos gerados por operadores n˜ao limitados introduz-imos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 2.5.1. Diremos que um semigrupo T (t) é fortemente cont´ınuo, ou é de classe C0, se

lim

t→0T (t)x = x, forte em X. ´

E simples verificar que todo semigrupo uniformemente limitado é de classe C0. O rec´ıproco como vimos no teorema 2.5.1 não é verdadeiro. Isto é, quando o semigrupo é gerado por um operador não limitado, o limite depende de x.

A defini¸cão de semigrupo de classe C0implica que o semigrupo é continuo em t = 0. Usando a propriedade de semigrupo concluimos que o semigrupo é cont´ınuo sobre toda a semireta R+. De fato: Suponhamos que t > s

lim

t→sT (t)x = limt→s[T (t− s + s) − T (s) + T (s)]x = lim