Módulo 3 - OC - Apostila de Matemática Básica

INTRODUÇÃO ... 01 1. NÚMEROS INTEIROS ... 02 1.1 Adição ... 02 1.2 Subtração ... 02 1.3 Multiplicação ... 03 1.4 Divisão ... 03 2. NÚMEROS DECIMAIS ... 08 2.1 Adição ... 08 2.2 Subtração ... 09 2.3 Multiplicação ... 09 2.4 Divisão ... 10 3. NÚMEROS RELATIVOS ... 11 4. NÚMEROS PRIMOS ... 13

5. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ... 14

6. FRAÇÕES ... 14

6.1 Tipos de fração ... 14

6.2 Simplificação de fração ... 15

6.3 Transformação de fração ... 15

6.3 Transformação de número misto em fração imprópria ... 15

6.4 Operações fracionárias ... 16 7. REGRA DE TRÊS ... 19 7.1 Regra de três simples ... 19 7.2 Regra de três composta ... 20 8.EQUAÇÃO DO 1° GRAU ... ... 22 9. POTENCIAÇÃO ... 23 10. RADICIAÇÃO ... 25

11. PERIMETRO E AREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS ... 26

12. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ... 29

12.1 Elementos do Triângulo Retângulo ... 29

12.2 Teorema de Pitágoras ... 30

12.3 Seno de um ângulo ... 34

12.4 Cosseno de um ângulo ... 34

12.4 Tangente de um ângulo ... 34

INTRODUÇÃO

A indústria metal-mecânica ou metalurgia mecânica incorpora todos os segmentos responsáveis pela transformação de metais nos produtos desejados, desde a produção de bens até serviços intermediários, incluindo máquinas, equipamentos, veículos e materiais de transporte.

Dentro dos campos de estudo da metal-mecânica encontram-se os processos de deformação plástica, soldagem, fundição e usinagem, estudo das propriedades e a resistência dos materiais utilizados.

A indústria metal-mecânica impulsiona as economias dos países mais importantes. Toda a tecnologia gerada por este setor garante produtos inovadores e mantém a evolução dos processos.

1.

NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros são constituídos dos números naturais {0, 1, 2, 3,...} e de seus simétricos {-1, -2, -3, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros.

1.1 Adição

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

A adição é chamada de operação. A soma dos números é chamada de resultado da operação.

Relembrar: 32 + 7 = 39

32 e 7 são as parcelas; 39 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima se denomina ADIÇÃO.

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição.

1.2 Subtração

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto.

Relembrar: 27 – 15 =12

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 27 e 15 são os termos da diferença 27 - 15. Ao número 27 dá o nome de minuendo e 15 é o subtraendo.

O valor da diferença 27 – 15 é 12, este número é chamado de resto ou excedente de 27 sobre 15.

1.3 Multiplicação

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

Ex: 7 x 5 = 35 pois, 7+7+7+7+7=35

1.4 Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

A divisão exata Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto.

A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto.

Exercícios:

a) 147+15+39=

b) 1158+793+19=

c) 1952+21385=

e) 373-198=

f) 1586-795=

g) 137452-98412=

h) 358x15=

j) 935x8=

k) 456÷12=

l) 1428÷34=

2) Numa escola existem 228 alunos e 12 professores. Foram contratados, para uma excursão, 3 ônibus com 45 lugares cada um e 5 microônibus com 28 lugares cada um. Haverá lugar para todos os alunos e professores da escola?

3) Um comerciante colocou 385 litros de óleo em latas de 15 litros cada uma. a) Quantas latas cheias foram obtidas?

b) Houve alguma lata incompleta? Em caso afirmativo, quantos litros continha essa lata?

4) 148 carros estão em fila à espera para atravessar um rio. A balsa pode transportar, no máximo, 25 carros de cada vez.

a) Quantas viagens, com lotação máxima, poderão ser feitas?

2. NÚMEROS DECIMAIS

Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente após o algarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem das décimas, ou casas decimais. Todos os números decimais finitos ou infinitos e periódicos podem ser escritos na forma de fração, porém, os números decimais irracionais, como o PI, por exemplo, não podem ser escritos na forma de fração pois são infinitos e não têm período.

2.1 Adição

Quando se adiciona um número decimal com outro número decimal, a regra deve ser "Número inteiro abaixo de número inteiro, vírgula abaixo de vírgula e casa decimal abaixo de casa decimal.

Exemplo: 4, 879 + 13,14

Obs.: Na soma de 4 centésimos com 7 centésimos é igual a 11 centésimos, assim fica um e “vai um”. Exemplo: 2 + 1, 751 + 2, 0 0 0 1, 7 5 1 3, 7 5 1 1 1 + 1 3, 1 4 0 4, 8 7 9 1 8, 0 1 9

Acrescentamos o zero para completar casas decimais

2.2 Subtração

Para subtrairmos dois números decimais, devemos, semelhante à adição, colocar vírgula embaixo de vírgula, sendo que o diminuendo deve ser sempre maior que o subtraendo e o resultado recebe o nome de resto ou diferença.

Exemplo:

7,37 – 2,8 Diminuendo e Subtraendo nessa mesma ordem.

_

0,25 – 0,18 Diminuendo e Subtraendo nessa mesma ordem.

_

Para multiplicar números decimais devemos agir como se fossem números inteiros, desconsiderando a vírgula em um primeiro momento. Depois de concluída a operação, contamos as casas decimais, a partir da direita no resultado final, referente à quantidade de casas decimais que tenham o multiplicando e o multiplicador juntos.

DIMINUENDO SUBTRAENDO RESTO OU DIFERENÇA DIMINUENDO SUBTRAENDO RESTO OU DIFERENÇA

Exemplo: 253,66 x 2,34 X 2 5 3, 6 6 2, 3 4 1 0 1 4 6 4 7 6 0 9 8 + 5 0 7 3 2 + 5 9 3, 5 6 4 4 2.4 Divisão

Ao dividirmos dois números decimais devemos igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros à direita do que tiver menor número de casas decimais. Depois as vírgulas devem ser eliminadas e efetuamos a divisão como se fossem números inteiros.

Exemplo: 7,32 ÷ 2,345

7,320 ÷ 2,345 7320 ÷ 2345

O resultado desta operação é ≅ 3,12

EXERCÍCIOS

a) 17,352 – 15,2 = e) 7,329 x 5,21 =

Os dois números somam 4 casas decimais, portanto o resultado final fica 593,5644

b) 35,25 – 4,85 – 1,23 = f) 95,02 x 13,18 =

c) 15 + 3,25 + 2,7 + 4,08 = g) 128,164 ÷ 2 =

d) 20,3 + 4,75 + 1,2 + 2,38 = h) 0,98 ÷ 0,4 =

3. NÚMEROS RELATIVOS

Os números inteiros podem ser negativos (-1, -2, -3... ) ou positivos ( 1, 2 ,3 , 4...). No caso do zero ele não é considerado nem um número negativo e nem positivo. O conjunto desses números (... -2, -1, 0, 1, 2... ) é chamado de números relativos inteiros que é representado pela letra Z. As operações desses números relativos inteiros são adição, subtração, multiplicação e divisão

Regra de Sinais: como é que isto funciona na prática? Adição/Subtração

→ _{menos com menos: soma e conserva o sinal;} → _{mais com mais: soma e conserva o sinal;}

→ _{menos com mais: subtrai e conserva o sinal do "maior".} Multiplicação/Divisão

→ _{menos com menos: dá mais;} → _{mais com mais: dá mais;} → _{mais com menos: dá menos.}

EXERCÍCIOS:

a) 15- (-28-3) x (7+3) =

b) 3+ (-5) – (+15-6) + (-19+3) =

c) 2 + [2 – (3 + 2) – 1] x 2 + (2 – 5 – 1) =

4. NÚMEROS PRIMOS

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também são utilizadas como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).

Os 100 primeiros números primos positivos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 1 13, 127, 131, 137, 139, 149, 151...

Múltiplos e divisores comuns

Os cálculos envolvendo MC e DC são relacionados com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por Múltiplo, o produto gerado pela multiplicação entre dois números. Observe:

Dizemos que 30 é múltiplo de 5, pois 5 * 6 = 30. Existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30. Veja mais alguns números e seus múltiplos:

M(3) = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... M(4) = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,... M(10) =10, 20, 30, 40, 50, 60,... M(8) = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,... M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, 120,... M(11) =11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,...

Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito de elementos.

Divisores

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Observe alguns números e seus divisores:

D(10) = 1, 2, 5, 10. D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. D(25) = 1, 5, 25.

5. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120,... M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180,...

Outra maneira de se descobrir o m.m.c é através da fatoração e consiste numa decomposição em números primos, vejamos:

M.m.c entre 12 e 28

m.m.c 2x2x3x7= 84

6. FRAÇÕES

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si.

6.1 Tipos de fração

Frações próprias: são aquelas cujo numerador é menor do que o denominador, ou seja, são partes tomadas de um inteiro.

Frações impróprias: são aquelas cujo numerador é maior do que o denominador, ou seja, representa mais do que um inteiro (uma unidade) dividido em partes iguais.

Frações aparentes: são aquelas cujo numerador é um múltiplo exato do denominador, e correspondem aos números inteiros.

Frações equivalentes: representam uma mesma parte de um inteiro; quando multiplicamos os termos de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos uma quantia infinita de frações que constituem um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.

6.2 Simplificações de fração

Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes, ou você pode simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o máximo divisor comum dos dois termos.

6.3 Transformações de fração

Transformar fração imprópria em numero misto

Basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente da operação será a parte inteira e o resto será o numerador:

Assim temos 347 6.4 Transformar número misto em fração imprópria

Basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar com o numerador formando a fração:

6.5 Operações fracionárias

A adição e subtração de fração devem respeitar duas condições de operação:

1ª condição: denominadores iguais.

Quando os denominadores são iguais, os numeradores devem ser somados ou subtraídos de acordo com os sinais operatórios e o valor do denominador mantido. Observe o exemplo:

2º condição: denominadores diferentes.

Nas operações da adição ou subtração envolvendo números na forma de fração com denominadores diferentes, devemos criar um novo denominador através do cálculo do mínimo múltiplo comum – MMC dos denominadores fornecidos. O novo denominador deverá ser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando o quociente pelo numerador correspondente, constituindo novas frações proporcionalmente iguais as anteriores e com denominadores iguais. Observe os cálculos:

Multiplicação

A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições.

A simplificação deve ser feita sempre que possível:

Observe:

Divisão

A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: “repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.

Exercícios

1) Simplifique as frações tornando-as irredutível:

a) 12/32

b) 15/18

c) 27/63

d) 105/210

e) 28/68

2) Transforme as frações impróprias para números mistos:

4) Calcule as frações:

5) Qual o comprimento total do parafuso?

6) Qual o comprimento da cabeça do parafuso?

7. Regra de Três

Podemos definir regra de três ao cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais, que são classificadas em regra três simples ou compostas.

7.1 Regra de três simples

Exemplo:

Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de tintas serão necessários para pintar 450m², nas mesmas condições?

Litros m2 18 60

2° escrever na mesma coluna as grandezas de mesma e spécie;

Litros m2 18 60 X 450

3° determinar se as grandezas são diretamente ou in versamente proporcionais;

Litros m2 18 60 X 450

Obs.: sendo diretamente proporcionais multiplica-se em x

4° resolver a equação.

60. X = 18. 450 60X = 8100 X =8100 ÷ 60 X = 135

Resposta: serão necessários 135 litros de tinta.

7.2 Regra de três composta

Exemplo:

Em uma empresa, 10 funcionários produzem 3 000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 7 000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, será de:

1° passo: escrever numa mesma linha as grandezas de espécie diferentes que se correspondem;

Funcionários peças horas dias 10 3000 8 5

2° passo: escrever na mesma coluna as grandezas de mesma espécie;

Funcionários peças horas dias 10 3000 8 5 X 7000 4 15

3° passo: determinar quais são as grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, analisando sempre de duas em duas sendo uma delas sempre a grandeza que contém a incógnita;

Funcionários peças horas dias 10 3000 8 5 X 7000 4 15

4° passo: formar as proporções; (ao formar as proporções deve se considerar o inverso da razão correspondente às grandezas inversamente proporcionais isolando a proporção com o x).

10 = 3000 x 4 x 15 X 7000 8 5

5° passo: resolver a equação.

10 = 180000 X 280000 180000. X = 280000. 10 180000 X = 2800000 X = 2800000 ÷ 180000 X ≅ 16

Resposta: são necessários 16 funcionários.

Exercícios

a) Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km?

b) Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média?

c) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?

d) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabrica 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

e) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

f) Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

8. EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Exemplo: X + 3 = 12 – 4

Obs. Devemos analisar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual

1° membro 2° membro X + 3 = 12 – 4 X + 3 = 12 – 4 X + 3 = 8 X = 8 – 3 X = 5 Exercícios: a) 2x + 5 = 15-2 b) 3x – (28 ÷ 2) = -3 + 4

c) 5x + (-5 + 2) = 3x + 17

d) 23x - 16 = 14 - 17x

e) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20

9. POTENCIAÇÃO

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais.

Exemplo:

5x5x5, indicada por 5³ ou seja, 5³= 5x5x5=125

onde:

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente (o número de vezes que repetimos a base) 125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :

a) 7²= 7x7=49 b) 4³= 4x4x4=64 c) 5⁴= 5x5x5x5=625 d) 25 = 2x2x2x2x2=32

O expoente 2 é chamado de quadrado O expoente 3 é chamado de cubo

O expoente 4 é chamado de quarta potência. O expoente 5 é chamado de quinta potência.

Assim:

a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo

c) 5⁴Lê-se: cinco elevado a quarta potência d) 2⁵ Lê-se: dois elevado a quinta potência

Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

Exemplo: a) 8¹ = 8 b) 15¹ = 15

2) Todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1. Exemplo:

a) 4º=1 b) 12º=1

Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24 ÷ 2 = 24-1 = 23 2) 35 ÷ 32 = 35-2 = 32 3) 46 ÷ 43 = 46-3 = 43

Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24 x 2 = 24+1 = 25 2) 35 x 32 = 35+2 = 37 3) 46 x 43 = 46+3 = 49

Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

1) (23)4 = 212 , pois = 23 x 23 x 23 x 23 2) (32)3 = 36 , pois = 32 x 32 x 32

3) (42)5 = 410 , pois = 42 x 42 x 42 x 42 x 42

Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência

10. RADICAÇÃO

Radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se elevarmos um número X à quinta potência e depois tirar a raiz quinta do resultado, voltamos ao número X.

Por exemplo: achar a raiz quadrada de 9, é imaginar um número que multiplicado por ele mesmo seja igual à 9;

Raiz cúbica de 125 é 5, pois, 5x5x5= 125

Exercícios:

a) (5)3 =

b) (12)2 =

c) (3)3 + (-3)3 =

e) ∛1728 + (4 x 2)4 =

f) 25 - √169 =

11. PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGIONOS E CÍRCULO

Perímetro é a medida do comprimento de um contorno. Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:

15+ 31+ 26+ 53= 125

Já a medida interna de um polígono ou de uma superfície plana chama-se área

EX: calcular a área de um quadrado de 18 mm de lado:

A= L.L ou A= L2

A= 18.18

A= 324 mm2

Para calcular a área de um retângulo de 23 mm/ 9 mm temos:

A= C.L

A= 23.9

A= 207 mm2

Para calcular a área de um triangulo de base 29 mm e altura de 15 mm temos:

A=

b. h2

b. h2

b. h2

b. h2

29.152

29.152

29.152

29.152

Para calcular a área de um trapézio temos: A=

B+b.h2

B+b.h2

B+b.h2

B+b.h2

47+32.122

47+32.122

47+32.122

47+32.122

79.122

79.122

79.122

79.122

9482

9482

9482

9482

Para calcular a área de um hexágono (sextavado)

A=

P.ap2

P.ap2

P.ap2

P.ap2

A=

138.202

138.202

138.202

138.202

27602

27602

27602

27602

Para calcular a área de uma circunferência temos a seguinte fórmula:

A= r2

. π

π

π

π

A= 352. 3,14 A= 1225. 3,14 A= 3846,5 mm2

Calcule a área do círculo abaixo:

Calcule a área do trapézio abaixo onde sua altura é metade da base menor:

Calcule a área restante da figura abaixo após fresar um sextavado de dentro do círculo:

Calcule a área restante da figura abaixo:

12. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso de (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

12.1 Elementos do triângulo retângulo

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°. Hipotenusa

Hipotenusa: significa "contrário a...", é um termo que designa o lado mais longo de um triângulo retângulo, por ser oposto ao ângulo reto, que define este tipo de triângulo.

Ângulo reto

É o ângulo formado pelos dois catetos Ângulo agudo

É um ângulo menor que 90° formado pela hipotenusa e um dos catetos A soma dos ângulos internos de um triângulo retângulo é sempre de 180°

12.2 Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação métrica entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.” a2+b2=c2 Ou c =√a2 + b2

Vejamos um exemplo na prática:

Neste triângulo retângulo temos as medidas referentes aos catetos, a medida que precisamos descobrir, é referente à hipotenusa. Vamos ao cálculo:

Cateto A= 37 C= √A2+B2 Cateto B= 28 C= √372+282 Hipotenusa C=? C= √1369+784 C= √2153 C= 46,4

Na metal mecânica é muito comum a necessidade de descobrir medidas desconhecidas. Por isso, torneiros, fresadores, retificadores, ajustadores e ferramenteiros têm de dominar esse conhecimento com muita segurança para poder realizar bem seu trabalho.

Veja um exemplo de como o Teorema de Pitágoras pode ser usado na mecânica:

O desenho indica que você terá de tornear um tarugo cilíndrico para que o fresador possa produzir uma peça cuja extremidade seja um perfil quadrado. Porém, o desenho apresenta apenas a medida do lado do quadrado. O que você tem de descobrir é a medida do diâmetro do cilindro que, ao ser desbastado pelo fresador, fornecerá a peça desejada. Como você resolve esse problema?

Em primeiro lugar, você tem de identificar as figuras geométricas que estão no desenho. Se você prestou bem atenção, deve ter visto nela uma circunferência e um quadrado. Em seguida, é necessário ver quais as medidas que estão no desenho e que poderão ser usadas no cálculo, neste caso é a do lado do quadrado de 30 mm.

A Geometria diz que, sempre que você tiver um quadrado inscrito em uma circunferência, o diâmetro da circunferência corresponde à diagonal do quadrado.

Assim temos: A= 30 C= √A2 + B2 B= 30 C= √302+302 C=? C= √900 + 900 C= √1800 C= 42, 426

Calcule o diâmetro que o tarugo deve ter para fresar um sextavado de 38 mm de altura e 132 mm de perímetro:

Calcule a distância entre os centros dos furos A e C:

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno,

Cosseno e Tangente.

12.3 Seno de um ângulo

É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa.

12.4 Cosseno de um ângulo

É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

12.5 Tangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

Exemplo: Calcular o ângulo α e a hipotenusa do triângulo abaixo: Cateto oposto= 19

Cateto adjacente= 42 Hipotenusa=?

Para calcular o ângulo usamos a relação de tangente, que envolve os dois catetos:

Tg α ₌

cat opcat adj

Tg α ₌

1942

Tg α _{= 0,4523 24° 20’}

O ângulo referente a essa relação encontramos na tabela da tangente veja:

Calcule agora o valor da hipotenusa:

Obs. Para calcular a hipotenusa temos três opções:

Teorema de Pitágoras, pois temos os dois catetos.

Relação de seno, pois temos o ângulo α _{e o cateto oposto.}

Relação de cosseno, pois temos o ângulo α _{e o cateto adjacente.}

Lembrando que se escolher seno ou cosseno a relação do ângulo deve ser encontrada na tabela correspondente

2) No desenho abaixo calcule:

a) o ângulo α de inclinação das polias

b) a distância dos centros das polias A e B

3) Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.

REFERENCIAS

SENAI. Apostila de cálculo técnico, telecurso 2000

http://www.coladaweb.com. Exercícios de regra de três, acesso em 13 set. 2011

http://www.cncmania.com.br/site/tabelas.asp. Tabelas de relações trigonométricas, acesso em 19 set. 2011