Experimento2 K Força

Roteiro: Experimento #2

Medidas de Constante Elástica e Força Edição: 3º Quadrimestre 2017

IT IS THE WEIGHT, NOT NUMBERS OF EXPERIMENTS THAT IS TO BE REGARDED. (ISAAC NEWTON)

Objetivos:

• Utilizar métodos diferentes para medir o mesmo parâmetro: a constante elástica de uma mola.

• Avaliar a contribuição das grandezas de influência nos diversos métodos, determinar os coeficientes de sensibilidade e calcular a incerteza combinada em cada caso.

• Comparar os resultados obtidos em cada método.

• Utilizar aplicativo para ajuste de dados experimentais a funções matemáticas. • Adquirir familiaridade com equipamento para medida de força: o dinamômetro. • Estudo sobre Repetitividade e Reprodutibilidade de uma medição (a aceleração da

gravidade)

1- Fundamentação Teórica 1.1- Constante elástica da mola

Força é uma grandeza vetorial cuja definição clássica vem da Segunda Lei de Newton, ou seja [1,2]:

.

F

=

m a

r

_r

(1)

No sistema internacional, SI, a unidade da força é o newton (N). Outras unidades são utilizadas para a força, como o dina ou o kgf. Neste experimento será sempre utilizado o N.

Note que a força expressa nesta relação e que está relacionada diretamente com a aceleração do corpo é a força resultante (vetorialmente) e não uma única força que age sobre o corpo. Por este motivo, nem sempre observamos a ação de uma única força sobre um corpo. Por exemplo, quando estamos parados, a força da gravidade atua sobre nós sem que, necessariamente, estejamos em movimento no sentido desta força, porque a força de reação da superfície da Terra (a força normal neste caso) é igual em módulo, mas em sentido contrário à

2

força de gravidade sobre nosso corpo e o resultado é uma força resultante nula e por isto a aceleração do corpo é zero. Quando você empurra um grande bloco de pedra, está aplicando uma força sobre o mesmo sem conseguir movê-lo porque a força de atrito entre o bloco de pedra e o chão é igual em módulo, mas em sentido contrário à força que você produz; mais uma vez a força resultante sobre a pedra é zero e por isto não há aceleração da pedra. Não se esqueça, para aplicar a segunda lei de Newton corretamente, é necessário conhecer todas as forças que atuam sobre o corpo.

Além da aceleração, outra consequência possível da aplicação de uma força é a deformação de um corpo. Um dos exemplos mais fáceis de visualizar é a deformação elástica de uma mola (Figura 1). Em molas, pode-se relacionar a deformação ou deslocamento da mola com a força de restauração, pela seguinte relação (lei de Hooke) [3]:

.

F

= −

k x

r

_r

(2)

onde: k = constante elástica da mola, que depende do material e da geometria com que é construída a mola;

x = deslocamento.

Na Figura 1, a condição de equilíbrio ocorre quando o peso da massa é igual à força de restauração, em x = X0.

Figura 1- Sistema massa-mola

Note-se que quanto maior a constante elástica da mola, k, maior é a resistência com que a mola se opõe ao deslocamento da massa.

Deve-se notar também, conforme ilustrado na animação em [3], que a Lei de Hooke é válida em uma região limitada em que a mola não se encontra nem muito comprimida e nem muito distendida. Ou seja, a proporcionalidade entre a força de restauração da mola e o seu deslocamento vale para condições limitadas da posição da mola.

1.2- Movimento harmônico simples

Caso o sistema massa-mola opere sem atrito e na vertical, a força peso age no movimento. Assim, pode-se equacionar, para o sistema estático em equilíbrio (sem movimento), considerando-se apenas a direção vertical:

Fpeso = m g = - k X0 (em equilíbrio) X₀ - X_max X₀ X₀ +X_max Fpeso k m

3

Fpeso = m.g = -k. X0 (3)

X0 = m.g/k

Caso o sistema opere a partir de um valor diferente de X0, é possível demonstrar que ele deve oscilar. Estamos interessados aqui em um movimento que se repete de uma forma particular: o Movimento Harmônico Simples (MHS) cuja equação é dada por:

x (t) = Xmax . cos (ωt +φ) (4)

onde Xmax é o deslocamento máximo do corpo em relação à posição de equilíbrio (X0) (Figura 1); ω, a frequência angular do movimento; e Φ, a fase inicial.

Como a força da mola depende de x(t), a aceleração varia com o tempo. Podemos usar a segunda lei de Newton para descobrir qual força deve agir na massa ao longo do tempo.

Supondo que a equação oscilatória (posição "x" em função do tempo) seja do tipo da equação 4, temos que a aceleração, a, vale

a = d2x(t)/dt2 = - Xmax. ω2 cos (ωt +φ) (5)

Se combinarmos a segunda lei de Newton com a equação da aceleração do movimento, encontramos, para o MHS,

F = m.a = - m. Xmax. ω2 cos (ωt +φ) (6) com

, onde T é o período do movimento. (7)

O sistema massa-mola na vertical estará sujeito a uma força resultante igual ao peso da massa menos a força restauradora da mola, expressa pela Lei de Hooke, ou seja:

F = Fpeso - k(x(t) - X0) (8)

Mas pela equação 3, Fpeso = -k. X0

Portanto: F = -k.x(t) = m.a = m. d2x(t)/dt2, resultando:

m. d2x(t)/dt2 + k. x(t) =0 (9)

que é a equação diferencial que rege o MHS do sistema massa-mola. Substituindo nesta expressão as equações 4 e 5, resulta:

-m. Xmax. ω2 cos (ωt +φ) + k. Xmax . cos (ωt +φ) = 0 (10) onde

(11) Sabendo disso, podemos encontrar a frequência angular do movimento,

(12)

4

(13)

Isolando a constante elástica k encontramos:

(14)

Se for medido um intervalo de tempo tn contendo N oscilações do movimento do sistema, teremos, tn = N.T, e portanto:

k = 4.π2

. m.N2/tn2 (15)

Ou seja, o coeficiente de elasticidade da mola pode ser determinado apenas a partir das medidas da massa m, do número de oscilações N e do tempo tn de duração destas oscilações.

Quanto maior a constante elástica da mola, maior será a frequência de oscilação do MHS e menor será o período desta oscilação.

O movimento harmônico simples realizado pelo sistema massa-mola também pode ser visualizado na animação em [3]. Se a massa for deslocada com uma amplitude muito grande, pode-se notar que o comportamento da mola afasta-se do modelo linear previsto pela Lei de Hooke.

Em termos de energia, tem-se que num sistema massa-mola ideal (isto é, sem atrito e sem amortecimento na mola) em MHS, haverá uma contínua transformação da energia potencial (armazenada na mola) em energia cinética da massa. Se houver atrito ou perdas, a energia mecânica pode se transformar em outra forma de energia (por exemplo, calor) durante o movimento [4]. No caso sem perdas, em qualquer instante a energia total será dada por:

E = mv2/2 + kx2/2 = kXmax2/2 (16)

onde (mv2/2) é a energia cinética da massa (depende da velocidade v) e (kx2/2) é a energia potencial elástica da mola, cujo valor máximo é atingido quando o deslocamento é máximo (Xmax), ponto em que a velocidade é nula.

1.3- Associação de molas

Quando duas molas são combinadas em série ou em paralelo, suas constantes elásticas são associadas conforme indicado na Figura 2 [5]. As expressões de keq podem ser obtidas partindo-se do princípio de que as molas em série estão sujeitas à mesma força e as molas em paralelo sofrem o mesmo deslocamento.

5

sensor Figura 2- Associação de molas em série e em paralelo [5]

1.4- Dinamômetros

Neste experimento será utilizado um dinamômetro, equipamento projetado para realizar medidas de força. Os primeiros dinamômetros operavam utilizando o princípio de deformação de uma mola, obedecendo a equação (2). Um exemplo de dinamômetro analógico é mostrado na Figura 3a.

Atualmente, devido à facilidade de uso e precisão, os dinamômetros digitais são os mais utilizados (Figura 3b). O princípio de funcionamento destes aparelhos normalmente baseia-se em um sensor piezelétrico, que é um material capaz de gerar uma diferença de potencial elétrico quando deformado [6]. Há também os que funcionam utilizando um "strain gage" (extensômetro elétrico– sensor cuja resistência elétrica varia de acordo com sua deformação), sendo montado como elemento de uma ponte de Wheatstone. Este conjunto é denominado “célula de força ou célula de carga” [7].

(a) (b) Figura 3 - Dinamômetros analógico e digital

6 2- Procedimento Experimental

O objetivo do experimento é realizar medidas de força e efetuar o cálculo da constante elástica de algumas molas, tanto em tração quanto em compressão. Para tanto, serão utilizados diferentes métodos, empregando os conceitos da segunda lei de Newton, da lei de Hooke, com auxilio de um dinamômetro digital e as equações do movimento harmônico massa-mola.

O experimento está dividido em 4 partes:

1- determinação de constante de mola de compressão, utilizando-se uma escala graduada e diversas massas;

2- determinação de constante de mola de tração, utilizando-se um dinamômetro e um paquímetro;

3- determinação de constante de mola de tração, utilizando-se as equações do movimento harmônico simples (MHS).

Nesta parte também será avaliado o efeito da combinação de duas molas (série e paralelo).

4- determinação experimental da aceleração da gravidade g.

2.1- Parte 1: Determinação da constante elástica da mola de compressão

Objetivo: Construir um gráfico (força versus deslocamento) a partir de dados experimentais e calcular a constante elástica da mola.

Materiais e Equipamentos:

• 1 mola de compressão

• 2 peças cilíndricas de alumínio • 1 peça cilíndrica de cobre

• tubo guia de plástico com uma escala milimetrada • balança

Procedimento:

1) Anote a marca e o modelo da balança digital disponível no laboratório, e sua incerteza. Meça e anote a massa das três peças fornecidas.

2) Posicione o tubo guia sobre a bancada na posição vertical, com a mola no seu interior e sem nenhuma peça comprimindo a mola (Figura 4).

3) Marque sobre a escala milimetrada, o nível de extremidade da mola. Esse ponto equivale ao ponto de referência ou de deslocamento zero, isto é, F=0 e x=0.

4) Em seguida, aplique uma força sobre a mola usando as peças fornecidas. Para o cálculo da força peso, adote a aceleração da gravidade g=9,8 m/s2 (investigue qual a incerteza associada a este valor) ou use o valor que será determinado experimentalmente no item 2.4. Para obter várias forças, use uma combinação de peças. Para cada força aplicada,

7

marque o deslocamento sobre a escala milimetrada, considerando sempre o ponto de referência marcado na mola.

Sugestão de combinação de peças: 1 peça de alumínio,

2 peças de alumínio, 1 peça de cobre,

1 peça de cobre e 1 peça de alumínio 1 peça de cobre e 2 peças de alumínio

Figura 4- Montagem da Parte 1 do experimento

Cuidados durante o experimento: Não solte a peça estando o tubo na posição vertical. Inicialmente coloque a mola e as peças com o tubo na posição horizontal e lentamente posicione o tubo na vertical. Faça a leitura do comprimento da mola sempre no mesmo segmento da mola (ponto de referência) a fim de minimizar erros de leitura.

Resultados:

1- Construa uma tabela com os valores das massas, forças (em N) e deslocamentos. Nota: Não se esqueça de incluir o ponto de referência (0,0).

2- Faça uma lista das fontes de incertezas na determinação da constante elástica nesse procedimento.

3- Faça o cálculo da constante elástica k, e da incerteza associada ao valor de k para cada ponto experimental (Ver ANEXO ao final da apostila) e inclua estes valores na tabela. Expresse k em [N/m].

4- Construa um gráfico (força (em N) versus deslocamento) com os pontos experimentais.

8

5- Faça o ajuste de uma reta do tipo y=ax para o gráfico obtido (Ver ANEXO E TUTORIAL [11] e [12]) e estime a constante elástica da mola, juntamente com a incerteza associada.

Atenção: O procedimento de ajuste deverá resultar no valor mais provável do parâmetro a (que corresponde à constante k), acompanhado de sua respectiva incerteza. A incerteza em k NÃO deve ser obtida como a média das incertezas da Questão 3 acima !

2.2- Parte 2: Determinação da constante elástica da mola de tração

Objetivo: Nesta parte, serão determinadas as constantes elásticas de duas molas semelhantes, a partir de ensaio de tração. Será utilizado um dinamômetro digital para a medição da força. A Figura 5 mostra a montagem da célula de força, da mola e da massa para os ensaios seguintes. Materiais e Equipamentos:

• 2 molas de tração • 2 peças de cobre • outras peças de metal

• dinamômetro digital com célula de força (sensor) • paquímetro de 200mm

• sargento de fixação Procedimento:

1) Anote a marca e o modelo do dinamômetro digital disponível no laboratório, e estime sua incerteza.

Nota: A incerteza especificada pelo fabricante é de (0,5% + 2 unidades) para cargas entre 10kg e 100kg. A resolução do equipamento é de 0,2N.

A partir dos valores das massas utilizadas neste experimento, e do fato de que o dinamômetro tem um visor digital, avalie qual deverá ser a incerteza a ser considerada na medida de força com este equipamento.

2) Monte o sistema da figura 5, utilizando o dinamômetro digital, uma mola de tração e uma peça de cobre. Esta será considerada a posição inicial (X0) do sistema.

Nota: Esta massa não nula na posição inicial é necessária para descomprimir a mola e colocá-la na região de operação onde vale a Lei de Hooke.

3) Utilizando o paquímetro, meça o comprimento inicial X0 da mola. Lembre-se de fazer marcas nas extremidades da mola (referências) para permitir a medição correta na mesma posição (espira) da mola.

4) Meça agora a força, utilizando o dinamômetro. Como esta será considerada a posição de referência (isto é, (0,0)), anule o visor do aparelho, utilizando a tecla “zero”.

5) Adicione outra peça de cobre e meça o novo comprimento (X1) da mola. 6) Meça a força nesta nova condição, utilizando o dinamômetro.

9

7) Utilizando outras peças de metal, obtenha outros pontos experimentais (Fi, Xi)

8) Construa gráficos (FxX) (força versus comprimento da mola) e (Fx∆X) (força versus deslocamento da mola).

9) Através da equação (2), adaptada ao experimento: F=-k.∆x, calcule o “k” da mola a partir dos deslocamentos (variação do comprimento) da mola e das forças correspondentes medidas.

10)Repita o procedimento para a outra mola de tração.

sensor

Figura 5 - Sistema para determinação da constante elástica em tração, com célula de força (sensor do dinamômetro)

Resultados:

6- Quais são as fontes de incertezas na estimativa da constante elástica nesse procedimento? Faça o cálculo da incerteza associada ao valor obtido experimentalmente (Ver ANEXO).

7- A incerteza resultante permite concluir que os "k" das duas molas usadas sejam diferentes?

2.3- Parte 3: Determinação da constante elástica da mola utilizando o MHS

Objetivo: Nesta parte do experimento, uma montagem semelhante à da figura 5 será realizada, mas o sistema será colocado para oscilar. A partir do equacionamento do MHS, o valor de k será obtido, com as duas molas de tração separadamente e depois com as duas molas, conectadas inicialmente em série e depois em paralelo.

Materiais e equipamentos: • 2 molas de tração • 2 peças de cobre

10 • balança

• sargento de fixação

• célula de força (utilizada agora apenas como suporte) • cronômetro

Procedimento:

1) Com a balança, meça a massa de cada uma das peças de cobre.

2) Monte o sistema semelhante ao da figura 5, utilizando uma das molas de tração e as duas peças de cobre (massa), prendendo a mola junto da bancada com o auxílio do sargento e da célula de força.

3) Inicie um movimento vertical do sistema, de forma que a massa não encoste no solo, e o movimento oscilatório mantenha uma direção o mais linear possível .

4) Deixe o sistema oscilando (movimento harmônico simples - MHS). Conte N (entre 30 e 50) oscilações e cronometre o tempo decorrido (tn).

5) Repita o procedimento para a outra mola de tração.

6) Utilizando as equações do MHS (equação 15) calcule as constantes elásticas das duas molas de tração (k1 e k2).

7) Repita o procedimento para as duas molas em série, e calcule a constante elástica do conjunto (keqsérie).

8) Faça um arranjo com as molas conectadas em paralelo e repita o procedimento para determinar a constante elástica do conjunto (keqparalelo)

Resultados:

8- Quais são as fontes de incertezas na estimativa da constante elástica nesse procedimento? Avalie a incerteza na determinação de k (ver ANEXO).

9- As incertezas nas medições justificam as diferenças entre os valores de k obtidos nas partes 2 e 3 desta experiência para uma única mola? Explique.

Sugestão: Use o conceito de erro normalizado e compatibilidade entre medidas. 10-Compare os valores obtidos experimentalmente para keqsérie e keqparalelo, com os valores

teóricos indicados na Figura 2, com base nos valores de k1 e k2 medidos para as molas. Comente eventuais diferenças.

Questões gerais:

11-Explique em termos de ligações químicas, qual a origem das deformações elásticas dos corpos.

11

2.4- Parte 4: Determinação experimental da aceleração da gravidade

Objetivo: Nesta parte do experimento, deverá ser determinada a aceleração da gravidade g, com respectiva incerteza, através da medida do período de oscilação de um pêndulo fixado ao teto do laboratório. Este parâmetro será utilizado em várias outras ocasiões na disciplina. Materiais e equipamentos:

• pêndulo composto por uma esfera e fio fino, fixado ao teto do laboratório. • cronômetro

Procedimento:

1) Cada membro da equipe deverá medir com o cronômetro, o intervalo de tempo correspondente a dez períodos de oscilação do pêndulo, após provocar no mesmo, oscilações estáveis de pequena amplitude.

2) A aceleração da gravidade pode ser calculada a partir da expressão:

2 L

T

g

π

= (17)

que fornece o período de oscilação de um pêndulo simples de comprimento L, em condição de oscilação de pequena amplitude (isto é, tal que senθ≈θ).

Resultados:

13-Demonstre a expressão (17), utilizando a hipótese de que as oscilações são de pequena amplitude. Observe que neste caso, o período de oscilação não depende da massa m da esfera.

14-Qual é o objetivo prático de se medir dez oscilações do pêndulo, ao invés de apenas um período de oscilação?

15- Avalie e estime todas as incertezas associadas ao método utilizado para obtenção do valor de g.

16-Calcule qual é o erro cometido na obtenção do valor de g ao se considerar como comprimento do pêndulo apenas o comprimento do fio (e não o comprimento do fio mais o raio da esfera como é o correto).

L θ

12

17- Faça o cálculo da incerteza aleatória (tipo A) que afeta o valor de g, a partir das medidas realizadas por todos os membros da equipe.

18-Forneça o valor obtido para g com sua respectiva incerteza (combinada). 5- Lista de Equipamentos e Materiais

• Paquímetro (fundo de escala > 200mm) • Balança

• Cronômetro

• Dinamômetro com célula de força (sensor)

• tubo guia de plástico com uma escala milimetrada • 2 molas de tração

• 1 mola de compressão • 1 peça cilíndrica de cobre • 2 peças cilíndricas de alumínio

• 2 peças de cobre (aproximadamente 1kg cada) • 1 sargento de fixação

• 1 pêndulo fixado ao teto do laboratório 6- Bibliografia

[1] SERWAY, R. A.; JEWETT Jr., J. W. Princípios de Física, Volume 1; Thomson, 3ª Ed.; 2002.

[2] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física; LTC, 7a Ed.; 2006.

[3] Animação sobre a Lei de Hooke:

http://webphysics.davidson.edu/applets/animator4/demo_hook.html , acessado em 24/08/2015.

[4] Energia no sistema massa-mola:

http://rived.mec.gov.br/atividades/fisica/EXTERNOS/ufpb_ondas/anima/massa/fis1_ativ3.ht ml , acessado em 24/08/2015.

[5] http://pt.wikipedia.org/wiki/Associa%C3%A7%C3%A3o_de_molas , acessado em 24/08/2015.

[6] CALLISTER Jr., W. D.; Fundamentos da Ciência e Engenharia de Materiais; LTC, 2ª Ed.; 2006.

[7] Células de carga, em https://sites.google.com/site/ufabcmeebc1707/material-de-referencia

[8] VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria dos Erros, 2a ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

[9] Expressão de valores experimentais, disponível em:

13

[10] Avaliação de dados de medição — Guia para a expressão de incerteza de medição. Tradução da versão original de 2008. INMETRO. Disponível em:

http://www.inmetro.gov.br/noticias/conteudo/iso_gum_versao_site.pdf, acessado em: 24/08/2015.

[11] Apostila “Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)”, disponível em https://sites.google.com/site/esto01717/material-didatico

[12] Tutorial sobre Ajuste de Curva, disponível em:

https://sites.google.com/site/esto01717/material-didatico

7- Autores

Apostila elaborada pelos professores C.H. Scuracchio e H. Tanaka e revisada pelos Profs. J.C. Teixeira e D. Consonni.

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ANEXO –CÁLCULO DAS INCERTEZAS E AJUSTE DE RETA

Para o cálculo das incertezas nos vários procedimentos desse Experimento, é necessário conhecer (ou estimar) as incertezas das diversas grandezas de influência do mensurando. A partir destas incertezas, pode-se utilizar a teoria de propagação de incertezas discutida a seguir [8,9,10].

Observa-se, nas equações deduzidas a seguir, que as incertezas relativas (ou as incertezas percentuais) poderão ser utilizadas de forma a simplificar o cálculo da propagação de incertezas. (uk/k).100 = uk% (uN/N).100= uN% (um/m).100 = um% (ug/g).100 = ug% (uF/F).100 = uF % (utn/tn).100 = utn % Parte 1 • Equação básica: k = m.g/ x

Supondo-se que as grandezas de influência sejam apenas as ligadas à massa, aceleração da gravidade e à medida do deslocamento da mola:

uk2 =uk(m)2 + uk(g)2 + uk(x)2 com

uk(m) = Cm.um (lê-se: a contribuição da incerteza de m em k, uk(m), é dada pelo produto do coeficiente de sensibilidade de m (Cm) pela incerteza de m (um).

uk(g) = Cg.ug uk(x) = Cx.ux

Lembrando [8,9] que os coeficientes de sensibilidade podem ser aproximados pelas derivadas parciais de k em relação a cada grandeza de influência:

Cm = ∂k/∂m = g/x=k/m Cg = ∂k/∂g = m/x=k/g Cx = ∂k/∂x = (-mg)/x2 = -k/x Assim:

uk2 =(k.um /m)2 + (k.ug /g)2 + (-k.ux /x)2= k2 ((um /m)2 + (ug /g)2 + (ux /x)2) ou seja:

15 2 2 2 2 g k m u x u u u k m g x         = +  +              

Em valores relativos (ou percentuais) resulta: (uk%)2 =(um%)2 + (ug%)2 + (ux%)2

• Ajuste de reta

Uma reta que passa pela origem (0,0) é descrita com uma expressão do tipo: y=ax

O processo de se ajustar uma função como esta a um conjunto de n dados experimentais é denominado de regressão linear [11].

O coeficiente angular da reta, ou seja, o parâmetro a, e sua respectiva incerteza, ua , podem

ser obtidos a partir dos coeficientes angulares de cada ponto : ai = yi/xi e das incertezas

associadas, isto é, uai , através das seguintes expressões [8]:

2 1 2 1

1

1

a

u

a

u

=

∑

∑

1

1

u

u

=

∑

Verificar no Tutorial sobre ajuste de curva [12] o uso de aplicativo para este procedimento, com respectivo cálculo das incertezas associadas.

Parte 2 • Equação básica

k = F/x

da mesma forma que na parte 1, pode-se calcular: uk2 =uk(F)2 + uk(x)2 com uk(F) =CF.uF uk(x) =Cx.ux, e CF = ∂k/∂F = 1/x=k/F Cx = ∂k/∂x = -F/x2= -k/x Assim: uk2 = (k.uF/F)2 + (-k.ux/x)2

16 de onde se chega a: 2 2 2 k F x u u u k F x       =  +          

ou, em valores relativos (ou percentuais) (uk%)2 =(uF%)2 + (ux%)2

Parte 3 • Equação básica

k = 4.π2

.m.N2/tn2

Naturalmente, existem incertezas na medição das grandezas de influência m, N e tn, respectivamente um, uN e utn. Outras podem estar presentes, mas não serão tratadas aqui. Assim:

uk2 =uk(m)2 + uk(N)2 + uk(tn)2

Cada uma destas incertezas padrão contribui para a incerteza, uk, na determinação de k. Supondo que a contribuição das incertezas de m, N e tn em k possam ser estimadas por: uk(m) =Cm.um (lê-se: a contribuição da incerteza de m em k, ±uk(m), é dada pelo produto do coeficiente de sensibilidade de m (Cm) pela incerteza de m (um).

uk(N) =CN.uN uk(tn) =Ctn.utn

Lembrando que os coeficientes de sensibilidade podem ser aproximados pelas derivadas parciais de k em relação a cada grandeza de influência:

Cm = ∂k/∂m = 4.π2.N2/tn2=k/m

CN = ∂k/∂N = 8.π2.m.N/tn2 = 2.k/N

Ctn = ∂k/∂tn = -8.π2.m.N2/tn3 = -2.k/tn Assim:

uk2 = (k.um/m)2 +(2.k.uN/N)2+(-2.k.utn/tn)2 ou seja: 2 2 2 2 2 2 k m N tn u u u u k m N tn         = + +                

ou, em valores relativos (ou percentuais): (uk%)2 =(um%)2 + (2.uN%)2 + (2.utn%)2