~
-BENTO DE JESUS CARAÇA
CÁLCULO VECTORIAL
I
3.A EDIÇÃO
LISBOA
1 9 6
o
Composto • Impresso na TIPOGRARIA MATEMÁTICA, LDA. R. Dl6rlo de Noticies, 134, 1."-Esq. TKLEl'ONE 2 94 49 - LI s 8 o A-2
BENTO DE JESUS CARAÇA
CÁLCULO VECTORIAL
J.A EDIÇÃOLISBOA
1
9 6
o
OBRAS DE MATEMÁTICA
DO MESMO AUTOR
Lições de Algebra e Análise, Vol. 1- 1935, 1945 e 1956. Lições de Algebra e Análise, Vol. 11 - 1940, 1954 e 1957. Interpolação e Integração Numérica - 1933 {esgotado). Cálculo Vectorial - 1937, 1957 e 1960.
Conceilos Fundamentais da Matemática, I Parte - Junho 1941, Agosto 1941, 1942, 1944 e 1946.
Conceitos Fundamentais da Matemática, 11 Parte- 1942 e 1944. Conceifos Fundamentais da Malemática, I, 11 e III Partes- 1951,
..
A primeira ediçtlo desta obra apa1·eceu em 1937 e constitui a primeira das publicações do Núcleo de .Matemática, Fisica e Quim?·ca, congregação de antigos bolseiros no estrangeiro do Instituto de Alta Cultu1·a.
A 2.a ediçao deve a revis11o das suas provas aos Ex.mot S1·s. Drs. Alfredo da Gosta Mú·anda e Augusto de Macedo Sá da Gosta.
A revisao das p1·ovas desta 3.4
ed1'çao foi feita pelos Ex.'"0 ' Srs. Drs. Alfredo da Costa Mtranda, Jaime da G1·uz Campos Fert·eira e Joaquim José Paes Motaes.
Para todos a expressao sincera do maior agradecimento.
J. M. G. Lisboa, Junho de 1960 .
•
CITAÇÕES
As referências a números de fórmulas, parágrafos e capítulos são dadas em tipos e corpos diferentes, de acordo com os seguintes exemp:os:
Pág. 118, linha 10:
f2.
9) -+ parágrafo 9 do capitulo II.Pág. 82, linha 17: [1. 7, 45)]-+ fórmula 45) do parágrafo 7 do capítulo I. Dentro de cada parágrafo, a referência a uma fórmula do mesmo parágrafo faz-se pela simples indicação do seu número.
TÁBUA DE MATÉRIAS
Capitulo 1.0
- .Álgeln-a Vectorio! I. Fundamento!! . II. Produtos e operadores. III. !\fomentos
Bibliografia. Exercícios •
Capítulo 2.0 - .Álgebra Teti80I'Üll I. Transformações lineares II. Álgebra tensorial •
Bibliografia. Exercícios •
Capítulo 3.0- Análise Vectorial I. Infinitésimos. • II. Derivação ordinária • III. Aplicações geométricas
IV. Derivação tensorial e derivação dirigida Bibliografia.
Exercícios . Capítulo 4.0
- Teon·a do. Cantpos • I. Operadores diferenciais II. Fluxo e circulação .
Resumo • Bibliografia. Exercícios . Indice de nomes .
Indice alfabético de matérias •
Pdg. 1 1 59 72 77 77 79 79 114 123 123 125 125 135 167 186 189 190 193 193 21:> 240 242 242 245 241
Cap.
I.
,
Algebra Vectorial.
I.
FUNDAMENTOS
.
1.
1.
Histórica.
O cálculo vectorial é de constituição relativamente recente
e
anda ligado, na sua origem, à procura duma possível represen -tação g~ométrica dos números imaginários. Por isso, os vectores aparecem, considerados como linhas dirigidas, na obra de C. Wes -sel, Essai sur la rep?'éllentation de la direction (1797) e de J. A rgand, E.1sai sur ume maniere de t·eprésenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques ( 1 ~06). Com a pu bli-caçào das obras de G. 13~llavitis sobre as eqoipolências (a partir de 1832) da Atudehnung.~leltt·e de H. Grassmann (a partir de 1844) e dos trabalhos de W. Hamilton sobre os Quaterniões (a partir de 184.}), pode considerar-se fechado o primeiro ciclo, o ciclo pre-paratório, da história do Cúlculo Vecto1·ial.Deve·se principalmente a J. W. Gibbs e O. Heaviside (ambos na segunda metade do século
xu)
a estruturação deste ramo das ciências matemáticas com a forma que hoje apresenta.Define-se ainda hoje, frequentemente, vector como um segmento de recta orientado, tomando-o, portanto, como uma entidade de carácter geométrico, como o era para os iniciadores do cálculo vectorial. Mas os modernos pontos de vista sobre este corpo de doutrina não se compadecem com tal critério fundamental-há que, a partir do conceito geométri..:o de segmento orientado, deduzir outro, de carácter analítico, que fará., propriamente, o objecto de estudo do ramo de Análise que designamo!! por Cálculo Vectorial. É essa orientação, seguida, por exemplo, por M. Lagally-Vektor-Rechnttng, a adoptada nos parágrafos seguintes.
2 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
1.
2.
Segmento orientado. Translacção.
Definições. Consideremos uma recta R) e a partir dum ponto arbitrário O, fixemos sobre ela um sentido positivo e um sentido negativo (fig. 1).
A coa venção da existência de sentidos opostos numa mesma recta é fundamental em tudo que vai seguir-se. Ela permite-nos, a partir de cada segmento ou porção da recta, definido por dois pontos
A B
Flg. 1
A e B, distinguir dois segmentos dirigidos ou orientados - o seg-mento de A para B, origem A e extremidade B, que representa-remos por A B, e o segmento de B para A, origem lJ e extre· midade A, que representaremos por B A.
Um segmento dirigido ou 01·ientado é, por consequência definido por dois pontos quaisquer do espaço, A e B, e pela adjunção do conceito de ordem a que se sujeitam esses dois pontos.
Dois segmentos dirigidos que diferem um do outro apenas pela ordem dos pontos que os definem, dizem-se opostos: o segmento dirigido B A é o oposto do segmento dirigido A B.
Chama-se módulo dum segmento orientado A B à distância, em valor absoluto, dos dois pontos A e B; representá-lo-amos por modA B.
Atribuamos a modA B o sinal
+ ou
o sinal - , conforme o sentido de A para B coincidir ou não com o sentido positivo da recta sobre a qual existe A B; ao número assim obtido dá-se o nome de medida algébrica de A B e representá-lo-em os por med A B; tem-se portanto med A B=
+modA B conforme o sentido de A B for positivo ou negativo, em relação ao eixo sobre o qual se encontra:1) med A B
=
{
+
mod .JA
A BB +-
A BA
B
tem sentido positivo ·.1 • - mo•.b - tem senttuO negatwo. Qualquer que seja o sinal do sentido de AB, é sempre verdade que 2) med A B= -
med B A •Dá.se o nome de translacçlto a todo o movimento dum corpo no espaço tal que as posições inicial e final de cada um dos seus pontos definem segmentos orientados paralelos e com as mesmas medidas algébricas (igualdade de módulos e de sentidos).
PARÁGRAFO 2
Uma translacção fica conhecida portanto desde que se conheça o segmento orientado definido pelas posições inicial e final dum dos pontos do corpo considerado; as posições finais dos outros pontos são determinadas por
segmen-tos orientados paralelos e de medidas algébricas iguais ao primeiro.
Este facto vem chamar a atenção
para o papel importante que desem· penha a existência de segmentos or ien-tados nas condições indicadas, a que chamaremos segmentos equipolentes.
Flg. 2
Dois segmentos equipolentes A B e A' B' (fig. 2) são portanto tais que os quatro pontos
A,
B,
A',
B',
definem um paralelo-gramo, a não ser que A B e A' B' existam sobre a mesma recta; neste caso a equipolência é definida simplesmente pela concordância de sentidos e igualdade de módulos.Sempre que nos quisermos referir, indistintamente, ao segmento orientado A B e aos seus equipolentes, diremos que A B é definido ou dado a menos duma equipolência.
Estas definições permitem-nos agora dizer que toda a translacçtlo no espaço é, independentemente do local em que se realiza, determi-nada univocamente por um segmento orientado, dado a menos duma equipolência; representaremos a translacção, determinada pelo segmento A B, por tAs.
Daqui resulta que se
A B
é equipol~nte a ..4.1B', A B
se pode fazer coincidir com A' B' por meio da translacçãot..u
(v. fig. 2). Consideraremos ainda como iguais todas as translac«:ões que só diferem pelo local do espaço em que se efectuam, isto é, que são determinadas pelo mesmo segmento orientado, definido a menos duma equipolência:3) tA n
=
tA' B' +- A B equipolente a A' B' .Chama-se translact;tlo nula aquela em que a origem coincide com a extremidade e escreve-se
4)
Ao segmento orientado correspondente chama-se, ainda, seg-mento nulo, e escreve-se
.
4 CAP. I. ALGEBRA VECTORIAL
Propriedades. Do que está dito deduz-se que as propriedades da igualdade de translacções são a resultante imediata, o decalque das da equipolência e reclprocamE>nte. Ocupemo-nos destas.
1. • (reflexiva). Todo o segmento orientado é equipolente a si mumo,· é uma consequência imediata da definição.
2. a (simétrica). Se A B é equipolente a A' B', também A' B'
é equipolente a A B ; com efeito, o paralelogramo definido por
A, B, A', B' é o mesmo que o definido por
A',
B', A, 8. 3.a (transitiva.). Se A B éequi'polente a A'B' e .A'B' eqwpo-lente a A" B", é A B equipolente a A" B"; com efeito, da defini-ção resulta que A'' B'' é paralelo a. A B (por ser paralelo a A' B' e este a A B) que os sentidos coincidem e que émodA'' B" =modA' B' =modA B.
1. 3. Composição de translacções.
A). Translacções com a mesma direcção. Definição. Sejam dadas duas translacções pm·alelas; como os segmentos orientados que as definem são definidos a menos duma. equipolência
[1.
2], pode sempre supor-se que eles estão sobre a mesma recta e que, além disso, a origem dom coincide com a extremidade do outro. Sejam então A B e B C esses segmentos e tAn e tJJu as translacçõos correspondentes.Consideremos a translacçlio t.Ao cuja origem é a vrigem da primeim e cuja extremidade é a extremidarle da segunda.
A
opera-ção pela qual às translacções tAs e t8 o se faz corresponder t.Ao chama-se composiçllo ou adição de trnnslacções; à trao lacção t.Ao chama-se resultante ou soma das translacções t..~ 8 e t8o e escreve-se6)
ao segmento orientado AG chama-se, ainda, soma doa segmento~ orientados A B e B G e escreve-se
PARÁGRAFOS 2 e 3
As igualdades 6) a 7) não são, afinal, mais rlo que tradoções diferentes da mesma operação fuodame.ntal-a da composição de duas translacçõea ou dos segmentos orientados correspondente8. Como se vê, a operação é de efecti vaçiio simples : faz-se
coinci-du·
a origem duma (a segunda) com aA-.a
c
extremidade da outra (a primeira) e toma-se n transla.cção deterrninad11 pela origem da primeira e extremidade da seguorla. Na figura jontn estão figu-rados casos que podem apresentar-se qunnto aos sentidos dos segmentos orientados.
A:....__~C:...-_ ___,.,.B
A B
Fig. 3 As setas inferiores representam os
sentidos dos segmentos a compor; as superiores o do segmento soma. Em particular, tem-se imediatamente a partir da definição e de [1. 2, 4)]
8) tAB +toA= (u =
0
on 9)
que nos indica que a soma de dois segmentos orientados opostos é nula. A coo trução da soma mostra ainda que entre as medidas algé-bricas se verificam, quaisquer que sejam os sentidos dos segmentos considerados, as relações
10) med A O = med
A
B+
medB C ,
e, em particular,
11) med A B
+
med B A = Oque coincide, aritmàticnmente, com [1. 2, 2)].
A composição de mais de duas transl11cções define-se como babitualmontose defi.oe a adição de mais de duas parcPias: compõem-se as duas primeiras, a translação obtida com põe-se com a terceira e assim 13ucessivamente. Resulta daqui que tAn
+
tBo+
tan=
t.tn e, em geral,12) i.tr
A
,
+
t.dtA,+
·
· •
+
tA,_1 .A. =t.A,
4
0 ,igualdade à qual corresponde, para os segmentos orientadoS' corres-pondentes,
6 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 13)
relação válida, pelo que está dito, qualquer que seja a pow;ao relativa, sobre a recta, dos pontos A1 , . • • An. Em particular tem-se, como consequência imediata de 13) e 9),
14) A, Aa
+
As As+
·.
· +
An-1 A»+
AnA,=
O.Para as medidas algébricas verificam-se as relações gerais 15) med A, Az
+
·
·
·
+
med An-1 An=
med A, An16) med A, As
+
-. ·
+
med A,._1 An+
med An A1 =O. A justificação do nome adiçtlo dado, também, à operação que estamos estudando, está nos resultados do estudo, a que vamos proceder, das suas propriedades.Propriedades. 1. a - A operaçiio é umforme. Com efeito de tAs=(~· B' e ta a = ta' O' resnlta imediatamente, em virtude da defi-nição, tA a+ tso = t~! B'
+
tn'O' e relação análoga para os segmentos orientados.2.1 - É tAs+ O= t~~.B. Com efeito:
tAs+ O= tAn
+
tnn=
tAn.3.3-A operaçllo é comutatit·a. A igualdade: t,~~n+taD-=
=
toD+
tAB, que exprime a comutatividade, é, como fàcilmeote se reconhece, uma consequf\ncia imediata da construção por meio daqual foi definida a operação.
4. a - A operaçllo é associativa. Anàlogamente, da construção
resulta que
tAs+ (tno
+
tcD) =(tAs+ tno)+
toD.5. a -De tAB +te o= tA' 0' +te D ?·esulta tAs= tA' O'. Somemos,
com efeito, a ambos os membros da igualdade, a translacção tDo; a igualdade mantém-se, pela propriedade 1. •, e vem t.tts + foD
+
t De==
tA' B'+
laD+
tDo donde, pela associatividade, t.t~n+
(tcD+
fDo)==
tA' D'+
(toD+
iDa) donde [8)] tAs+
O = tA' a• +O, donde,final-mente, pela propriedade 2.a, t.<J.B .= tA' B'·
PARÁGRAFO 3 7 a adição ordinária, à parte aq!lelas que se prendem coro os conceitos de maior que e menor que, que aqui não foram intToduzidos ruas que não são essenciais no algoritmo soma (vide, por exemplo, as pro-priedades da soma de números complexos, L1"ções (1), Vol. I, 8, 3).
É fácil definir, agora, subtracção de duas trunslacções. Chama-se diferença das ,duas translacções tAu
e
tco e escreve-se tAB - tco , à soma tAs+
toe :17) t.tto - taD = tAB
+
tro •Verifica-se imediatamente que a diferença é aquela translacção que somada com o subtractivo icD reprodoz o aditivo t..ttn; efecti-vamente, (t.Ao
+
tDa)+
toD=
t.4.o+
(tDa+
taD) =t,w
+
O= t..Ao. Com esta propriedade fica estabelecida a analogia com a sabtracção ordinária; as doas operações podom fundir-11e numa só, a soma algébrica, regida por um conjunto de leis análogas às da soma algébric.a ordinária, cuja verificação omitimos por ser longa e fastidiosa.B). T ronslocções com direcções diferentes. Definição. Dadas duas transtucções não paralela q uaisq oer,
define--se duma maneira inteiramente análoga à anterior, a operação d!a. composiçêlo : faz-se coincidir a origem da segunda com a extremidade da pri -meira e considera-se como resultante ou soma das duas translacções dadas aquela translacção cuja origem é a da primeira e c•1ja extremidade ó a
LJC
A B
Fig. 4
da segunda (v. fig. 4, as setas indicam os sentidos dos segmentos orientados).
Escreve·se ainda
6)
t..tll+
taa=
t.J.o a 7) AB +BC= AG,contiuuando, também, a chamar-se a
A C
soma dos dois segmentos orientados A B e B O.A adição, ou comvosic;ã.o, de mais de duas translacções define--se como habitualmente; na fig. 5 está construída a eoma de três translncções t1
=
l.dB, t11 = tBo , ta = toD.(1) A desig11ação Liçõett refere-se a Lições de Álgebra e Análise do at~tor [2.• Oll 3.• edição].
8 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL Propriedades. 1. • - A operaçllo é unifo1'1ne. Resulta imediata-mente da construção.
2! - Ê tAs
+
O = tAs. Foi já estabelecida atl·ás. 3.8- A operaçlio é comutativa. É o que resulta da figura 6, visto que AB é equipolente a D C e B C equipolente a AD. 4. • - A operaçflo é a.~sor.ialiva. Com efeito, da figura f> resulta que é AD= t1
+
t2 + ta e que, por outro lado, se tem AD= t1+
+
(t2+
ts) e AD = (t1+
t2)+
ts.õ.•-
De
t1+
t3 = t2+
t5 resulta t1=
t2 • Demonstraçãointei-ramente análoga il. da propriedade 5.8
anteriormente estabelecida. Em conclusi1o, a o-peração goza D das propriedades da adição or
di-~ nária, com o que se justifica o C emprego da designação soma. Quando as translacções tiverem todas a mesma direcção, a opera -ção reduz-se à anteriormente estu-Flg. IS dada, com todas as conclusões
que lá foram deduzidas.
Verificam.se aqui as igualdades 12), 13) e 14), mas as ig ualda-des 10), 15) e 16), sobre as relações entre as medidas algébricas, são privativas do caso em que as translações têm todas a mesma direcção.
Aquelas são, portanto, mais gerais que estas.
Pode ainda definir-se sublracçllo de translacções com direcções diferentes e, para o fazer,
adoptare-mos a mesma definição: C
A figura 7 mostra como se cons -trui a diferença.
A diferença das translacções t1=AB A
(aditivo) e t2 = B C é a traoslacção t1 - ta = t.Ao' •
Fig. 8
Vê-se na figura que a soma de t1- ts
=
tAo•= tA'B com t!il=tBc é-t...,.
0=
tA 8 = t1 o que moRtra que a diferença é ainda aquela translacção que somada com a translacção subtractivo reproduz oPARÁGRAFOS 3 e 4 9
aditivo. Com isto fica estabelecida a identidade da operação agora definida com a subtracção ordinária.
1.
4. Produto por um número real.Na definição e estudo da multiplicação duma translacção, ou um segmento orientado, por um número real, seguiremos as étapes seguintes: a) o número é inteiro e po
si-tivo; b) o número é fraccionário positivo da C'
1
forma - ; c) o número é racional
posi-n
tivo qualquer; d) o número é real
posi-tivo qualquer; e) o número é real nega- A-r--...:--.y ti v o.
A). Número inteiro e positivo n.
Definição. D~finiremos a opera<;ào, cujo resultado se representa por n . tAs, pela igualdade.
(n)
"""' 18) n ·tAs= l..ts +tAs+ .. · +tAs
Fig, 7
à qual corresponde, operando sobre os segmentos orientados, a defi-nição de n · A B pela igualdade
(n)
19) n. A B = A B
+
A B+
...
+
AB.Se n =O ou t..t8 =O, põe-se, por definição,
20) O· t.&s = O, n · t.d.d =O.
Propriedades. 1. a - O p1·oduto n · tA B é uma nova transl acçtfo com a mesma direcçllo e sentido que tAs e com módulo igual a n • mod tAB. Resulta imediatamente da definição e das propriedades da soma; a relação
21) mod (n • t..48 ) = n · mod t..ts é consequência directa de [1 3, lô )] •
A operação de que estamos tratando consiste, portanto, na dilataçélo duma translacçiio na sua direcção e sentido.
10 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
2. a - A operaçtlo é uniforme. É consequência imediata da
uni-formidade da soma. Notemos, em particular, que esta propriedade significaque: de n= n' resulta n-tAs=n'·t..u; de tAB=tA'B' resulta n ·tAs= n · t.&'B'.
3.
a -Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo menos, um dos jacto1·es. Efectivamente, se nenhum dos factores é nulo, a soma 18) é neceasàriamente diferente de zero.A
4.a-se n=f=O, de n · tAn=
=
n · te o resulta tAs = te o ;se tAs=/=0, de n · tAs=o' • tAn
resulta n=n'. É consequência imediata da uniformidade. Fig. 8 5. a - A operaçao é dist1·i.
hutiva em relaçtlo à soma de nú-meros. Com efeito, das propriedades da soma tem-se
(m
+
n) (m) (n). . . - - - " " - - - . . , ..-_... ,....---·_...._ (m
+
n) · t.& 8 = l.&s+ · · · +t..u=
(t .. u+ ...
+ tAB)+
(t.ts+ · .. + t.AB)donde
22) (m
+
n) · t_.8 = m . tAs+ n · t.~.s .6. a - A operação é distributiva em 1·elaçao à soma de t'·anslacções. A figura 8, em que se fez n =
3,
mostra que a igualdade23)
é uma consequência da definição, da construção da soma e das
propriedlides da semelhança de triângulos.
7. a - A operação é comutativa, e associativa no sentido da se,quinte i,gualdade
24) m · (n ·i.& o)= n · (m · t.&8)
=
(m · n) · t.&s. É de verificação imediata.PARÁGRAFO 4 11
B). Número fraccionário positivo da lorma
n Definição. Dd a a a trnns l acçao ~ t48 e o numero ' f racc10nar10 -. , . 1 , c h ama-se
n
produto do número pela translacção, e representa-se por
_!_
.
t.iln, n àquela translacçii.o (se existir) cujo produto por n é t.11n:25) -1 n · Ctn = t:ry - n · t.,11 = t.fn •
A demoustração da existência de t.,11 , satisfazendo à igualdade
de condição, é fácil: basta tomar para 4,11 aquela translação com
a mesma direcção e sentido que t.ll.8 e tal que n. mod fxy = mod t.11n•
É claro que esta translação é única, em virtude da uniforn.idade da operação da multiplicação por um número inteiro e positivo. Propriedades. Verifica-se fàcilmeu te, a partir da definição, que
se mantêm as propriedades atrás estabelecidas.
C). Número racional positivo qualquer. Seja a translação tA.n e o número racional positi,•o
.!'!:.
Define·se produto de~
n n
m
por (tn, que se representa por - · tAn, por meio da igualdade n
26)
~
· tAB- m ·(!
·
(~
B
)
em virtude da qual a operação fica reduzida às estudadas nos dois casos anteriores.
É óbvio que se mantêm as propriedades.
D). Número real posilivo quelquer. Definição. Seja a trans-lacção t.u e o numero real positivo ), • definido pelo corte (L, M) no conjunto dos números racionais. Fixado um ponto arbitrário O como origem sobre uma recta, formemos os produtos r. tA. o e
.a·
t.J.n onde r é um número qualquer deL
e s um número qual-qaOl' de
M.
Como é r<s,
tem·se r· mod t.J.n<
s. mod t.JJ.n; se chamarmosR
eS
as classes dos pontos extremidadesrespecti-vamente dos produtos r. A B e s. A B, com origem em O, é
12 CAP. I. ÁlGEBRA VECTORIAl Completemos as classes R e S do modo seguinte: construi-se
a classe R que tem: a) todos os pontos de R; b) todos os pon-tos da recta tais que todos os pontos de
S
lbe estão à direita;construi-se a classe
S
com os pontos que nrw formamR.
As cla~ses R e S formam um corte na recta; seja P o ponto por ele definido ; por definitjlo, toma-se o seg111ento orientado O P como produto ). . A B e, correspvndentemente, a t1·anBlacção top como
p1·oduto ). · tAn:
27) ). · t.~~a
=
lopDa definição resulta, claro, que a translacção top existe sempre
e
é única.Propriedades. Da definição e das propriedades gerais dos
números reais [Lições, Vol. I, 5] resulta que a propriedades roen· cionadas nos casos anteriores se mantêm; omitimos, por ser longa, a verificação respectiva.
E). Número real neg.,livo qualquer. Definição. Seja o seg
-mento orientado A B e o número real e negativo ). . Façamos ,..._ = -)., p. >O. Por dPjinição, chama-IJe produto de ). por A B,
que continua a rep1·esentm·-se por ). . A B, ao segmento o1·ientado oposto
[
1.
2] do segmento o1·ientado p. • A B •É claro que o oposto de p.·AB é p.-BA, visto que p.. A B
+
p.. B A= p. ·(A 8+
B A)= p.. O= O, logo, tem-se28)
Anàlogaroente se tem
28a)
Propriedades. Da definição resulta imediatamente ue se man·
têm todas as anteriores, excepto a primeira, que aqui toma o aspecto
seguinte: o produto ). . tAn, ~<O, é uma nova translacçl'lo com a mesma direcção que hs, sen~ido oposto, e de módulo tal que
29) mod (). · tAs)=
I
!.I
·
mod tJJ.s,PARÁGRAFOS 4 e 5 13 l,
5.
Sistemas lineares.
As considerações feitas nos dois parágrafos anteriores podem ser resumidas do modo seguinte: Partiu-se da entidade transliJcçllo t1 = tAs (ou do segmento orientado correspondente A B) e defini -ram-se duas operações- a composição ou adiçilo t1
+
ta e o l'ro· duto ~. t1 da translacção por um número real. Provou-se que essas operações gozam das propriedades seguintes:1) A soma de duns trauslacções é uma translacção:
t1
+
t3 =is.2) Existe uma translacção especial, denominada transl~tcção nula, t.d.A =O, tal que t1
+
t.dA=
t1 •3) A adição é comutativa: t1
+
t2 = t3+
t1 •4) É associati,·a: t,
+
(t2+
t8) = (t,+
t2)+
ts • 5) De t,+
ts =ta+ ls resulta t1 = t3 ;de t,
=
t2 resulta lt+
ts = ta+
is .6) O produto p • t1 é uma translacção: p • t1
=
t:~ . 7) De p =a resulta p · t1 = a . t1 ;de t1 = ta resulta p • t1 = p · t:~ .
8) Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo menos, um dos factores :
~
.
t,
=o --
p
=
o
out,
=
o.
9) Se p=/=0, de p. t1=
p · t2 resulta t,=
t,;se t1
=f=O,
de p·t1=a·t1 resulta p=a.10) A operação é distributiva em relação à soma de números reais: (p
+
a) · t1 = p · t1+
a · t, .11) É distributiva em relação à soma de trauslacções:
12) É comutativa e associativa no sentido da igualdade
Pois bem; sempre que, dada uma classe U de ontidades quaisquer u,:
'
14 CAP. I. ALGEBRA VECTORIAL
a) se define uma operação de composiçao ou adiçdo, por meio da qual de u; e Uk se determina Ut (também pertencente a U) a que se dá o nome de soma de ui com uk:
b) se define uma operação f · u;, de multiplicação de eleme,ntos dessa classe vor núro(>ros dum corpo R;
c) além disso, essas duas operações gozam das doze proprie-dades ·Cujo resumo acabamos de dar; diz-se IJ.Ue a classe U constitui mn sistema linear, no co1po R, em relaçll.o à ope1·ação da adiçtlo ou composiçdo.
Em virtude destas definições, podemos então di?.er que a classe das translacçlJes no espaço constitui um sistema linear, no co1·po dos
números reais, em relaçdo à operaçllo de composição.
Dependência e independência linear. Dimensões do sistema. SE>jnm u1 , 1t2 , • • • u11 , n elementos do sistema linear U e R o
corpo de números no qual ele é definido.
Diz-se combinaçl'lo linear desses n elementos de U, no corpo R,
de coeficientes 1.1 , ).2 , · •• À0 {1Hí71le1'0S de R), ao elemento u de
U
definido por
"
30) U = ~À;·U;.
A combinação diz-se linea1· e homogénea quando tt =O, isto é,
quando 31)
Quando esta igualdade se verifica, sem que sejam todos nulos
os coeficientes da combinação, diz-se ainda que os n elementos u1 são linearmente depend~ntes no corpo R .
Quando, qualquer que seja o conjunto de n números de R, não todos llulos, não tem nunca lugar a relação 31) ou, por outras
palavras, quando 31) só é poss[vel se os À; forem todos nulos,
PARÁGRAFO 5 15 Sempre que oito se fa?; menção do corpo de números ao qual pertencem os )., , entender-se·á que eles s/J,o números reais quais-quer; é o que suporemos daqui em diante.
Um
sistema linear diz-se a n dimensões quando:a) existem nele n elementos linearmente independentes;
b) quaisquer que sejam os n
+
1 elementos u1 , ••• u,., u,~+,, eles são sempre linearmente dependentes.Em todo o sistema linear U a n dimensões, há sempre n ele-mentos linea1·mente independentes u1 , i =
1,
2,
.
· ·
n , tais que, dado um elemento qualquer u de U , exiRte um conjunto ú11ico denúme-ros reais p1 , • • • Pn não iodo., 1mlos, satíifazendo à relaçao n
32) tt
=
~P• · u, ·,_,
Com efeito, sejam u,, u2, ... u,., n elementos linearmente inde-pendentes, os quais existem sempre porque o sistema tem, por hipótese, n dimensões.
a) De serem u, u1 , • •. Un linearmente1ldependentes, resulta que
À1 · u1
+ · ·
·
+
).n • u,.+
Àn1-1 • u =O com À,.+t=I=
O, porque se fosse).,.+,=O os n elementos u, seriam linearmente dependentes
con-tra a hipótese; resolvendo esta igualdade em ordem a u, tem-se
À·
32), onde é P•
=
-
- ' -
.
Àn+J
b) Ü conjunto dos
ri
1 i = 1121 • • • n, é único; se hOU\'Osse outro conjunto de n números reais, sejam a,, i= 1, 2, · ·. n,"
tal que u
=
~ ~~. u.1 , ter-se-ia ~ a,. u,=
~ p1 • u1 donde~ (p,- a,) . u, = O; ora estes n co~ficientes têm que ser todos nulos, porque se o não fossem os u, não seriam linearmente inde -pendentes, logo p1
=
a1 , i= 1, 2, ... n .Aos 11 olementos u1, linearmente independentes (e que, quanto
ao resto, são escolhidos arbitràriamente) nos quais se exprimem,
segundo 32), todos os outros elementos de U, dá-se o nome de base do sistema linear U; aos p; • u,, i = 1, 2, .•. n , dá-se o nome de componentes de tt e aos P• o de coeficientes de u na base Ut 1 Uz 1 • • • Un.
16 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL As definições dadas levantam a seguinte questão: a quantas dimensões é o sistema linem· das translacções 110 espaço? A resposta será dada num dos parágrafos seguintes [1. 7].
1.
6. Definição de vector.O conceito de translacção é de carácter flsico; o de segmento orientado, ao qual reduzimos o seu estudo, é de carácter geomé-trico. Convém ainda, se possível, introduzir uma nova entidade, não de carácter físico ou geométrico, mas aritmético, entidade que possa ser sujeita aos métodos gerais da A oálise, cuja fecundidade em tantos domínios tem sido posta à prova.
Isso é possível, e faz-se pela introdução dum novo conceito -o vect-or lim·e - definido como segue:
Dados dois pontos A e B e o se11 segmento orientado A B,
-chama-se vector livre de .A B, e representa-se por A B, a uma função dos dois pontos A e B, e portanto de A B
-A B =f(AB) satisfazendo às condições seguintes:
1. a - Essa função toma o me mo valor para todos os segu.entos ol'ientados equipolentes a A B e só para esses.
A igualdade de \ectores livres, tradução aritmética do conceito geométrico de equipolência de segmentos orientados, é, portanto, reflexiva, simétrica e transitiva.
2. a -Põe-se f(AA) =0 e por esta igualdade se define vecto1· nulo. 3. a - Sobre essa função é definida a operação de adiçtlo do seguinte modo: dados os dois segmentos orientados A B e CD e
-
-os vectores livres correspondeutes AB=f(AB), CD=j(CD),
-
- -
-define-se soma A B
+
CD de A B com CD, pela igualdade33) AB+ CD=f(AB+ CD).
Desta definição resulta que a soma de vectores livres é um vec· tor livre e que a operaçi\.o goza de todas as propriedades estabele-cidas em [1. 3] para a soma de translacções ou segmentos orientados.
PARÁGRAFO 6 17
4.a-Sobre a mesma função define-se a operação de
multipli-cação por nm número real, do modo seguinte: dado o número real
~ __...
p e o vector livre A B = j(A B), chama-se p1·oduto de p por A B,
~
e representa-se por p. A B, ao vector livre definido pela igualdade
~
34-) p • A B = f(p · A B).
Daqui resulta que o produto dum vector livre por um número
real é um vectvr livre e que a operação gosa de todas as proprie-dades estabelecidas em
[
1
.4]
para o produto de translacções por um número real.As vantagens da introdução desta nova entidade serão aprecia-das nos desenvolvimentos que \'ãO st>guir-se. Por agora,
insisti-remos apenas em que o vector livre é de carácter wwlítico e não geométrico (I); o vector não é o segmento orientado, é uma função
do segmento (e dos seus equipolentes) que o determina univocamente, como ele determina o segmento, a menos duma equipolência.
Rigorosamente, deve dizer-se sempre-seja dado o vector livre ~
A B, função do segmento orientado A B; simplesmente, a esta maneira de dizer substitui-se habitualmente esta outra, mais abre·
~
viada -seja dado o vector livre A B-como se entre ele e o
segmento houvesse ident1ficação e não, apenas, correspond~ncia.
Na prática corrente trataremos o vector livre como se ele fosse
o segmento- não há. mal em o fazer, desde que a consideração
permanente daquilo que os une não faça e~quecer o que, no fundo,
os separa - os dominios diferentes a que pt>rtencem.
Dá-se, aqui, uma coisa parecida (não idêntica) ao que se passa com as funções : na linguagem, confunde-se correntemente a função com a sua expressão aoalitica, dizendo, por exemplo-seja dada a função y = x · sen x, qu'\ndo deveria dizer-se-11eja dada a função
cuja expressão analitíca é y=x. senx. Aqui passa-se coisa análoga,
tomando uma imagem geométrica pela entidade abstracta; é assim
(1) Contràriamente às definições dadas na maior parte dos trabalhos. Vid., oo entanto, M. Lagally - Vektor Rechnung (Leipzig, 1928) pág. 3 e 4; a mesma
orientação é adoptada por R. Bricard-Le Catcul Vectoriel, Paris, 1929, pág. 10. O.Ú.COLO VEOTOUIAL
18 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
que, por exemplo, a figura 4 [1. 3] se considera como significando, de facto·, a adição de vectores, quando é apenas a imagem concreta. da operação abstracta adição de vectores livres.
Do mesmo modo, a direcção, o sentido, a origem, a extremidade, o módulo, a medida algébrica. do segmento orientado A B, dizem--se dú·ecçtlo, sentido, origem, extremidade, módulo, medida algébrica
----+-
"""*
do vector livre AB=f(AB); o módulo do vector livre .ABrepre-~
senta-se por modA B. Fala-se, ainda, em equipolência de vecto1·es como significando a equipolência dos segmentos orientados respec· ti vos.
No Cálculo Vectorial fala-se frequentemente, não só em vec· tores, mas em grandezas vectoriais em oposição a grandezas esca· lareR.
Estas, as eBcalares, são grandezas cujos estados podem ser ordenados biunivoca e contlnuamente, pelo menos do ponto de vista teórico, ao conjunto dos números reais; os seus estados são, por conse4uência, determináveis por números dum certo conjunto ou escala numérica; tais são, por exemplo, a temperatura, o tempo, o módulo dnm vector, etc. Pelo contrário, para o estudo das grandezas vectoriais não basta um conjunto numérico; intervém a direcçllo e o sentido dos segmentos orientados do espaço a cuja totalidade pode ser ordenado por correspondência biunivoca (a menos de equipolências) e continua, o conjunto dos vectores definidos como atrás fizemos. É grandeza vectorial, por exemplo, oma velocidade, uma aceleração, etc.
-Notações. Além da notação já introduzida, A B, usaremos também para representar um vector, uma letra minúscula em nor· mando a, r , s , u; . • . e, ainda, a notação de Hamilton B- A onde A é o ponto origem e B o ponto extremidade.
Da igualdade B-A= a tira-se a consequência aritmética 35)
a qual se interpreta do modo seguinte: a soma do vector livre a = f(A B) com o ponto A, soa origem, é o ponto B, soa extremidade.
Deftnições. Diz-se vector unitário todo o vector de módulo igual à unidade.
PARÁGRAFO 6 19
Diz-se vector unitário dum eixo o vector unitário que tem a direcção e sentido desse eixo.
Dois vectores livres dizem-se opostos lJUando os seus Fegmentos orientados o são - módulos iguais, direcções paralelas, sentidos opostos.
Dois vectores livres dizem-s~ colineares quando as suas direc-ções são paralelas; três vectores livres dizem-se coplanares quando as suas direcções são paralelas a um plano.
Chama-se tlngulo de dois vectores livres ao ângulo,
compreen-,dido entre O e n 1 formado pelas direcções dos dois vectores, tendo em atenção os seus sentidos.
Vectores ligados a uma base e vectores fixos. É conve-niente introduzir, ao lado do conceito de vector livre, ainda o de vecto1· ligado a uma ba.~e. Esse conceito de vector difere do de vector livre apenas no âmbito da equipolência do segroendo orien-tado A 8 de que o vector é funçiio. Se essa equipolência joga em todo o espaço, tem-se o vector livre; se apenas joga sobre uma certa recta de posição fixa R), tem-se o que se chama o vector ligado à base R). Deste, pode ser dada uma definição análoga à. do vector livre (pág. 16) com a modificação seguinte: dados dois pontos A e B sobre a recta R) e o correspondente segmento orientado A B, chama-se vector ligado à base R),
definido por A B, a uma fun<;ão dos dois pontos A e B e da recta R), satisfazendo às condições segniotes: 1.8
, essa. função
toma o mesmo valor para todos os segmentos orientados equipo-lentes a A B existentes sobre a recta R) e só para esses; o resto da definição segue nos mesmos moldes.
Como se vê, o segmento orientndc A B pode apenas deslizar sobre a recta R)-a sua linha de acção on suporte; por isso a estes vectores se pode chamar vectores deslizantes.
U1.0 último grau de perda de liberdade dum vector é
consti-tuido pelos chamados vectores fixos ou localizados - aq neles para os qoais é fixa a origem e a extremidade.
Como se vê, tJstas limitações não atingem, propriamente~ a essência da entidade vector.
Q1Jando se disser simplesmente - vector-entender-se-á sem·
20 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
1. 7.
Multiplicidade
linear vectorial.
Dimensões. Oa definição de vector e das considerações feitas no parágrafo 1, 5, resulta imediatamente que o conjunto dos vectores do espaço forma um ;~útema linear ou, como também se diz habi-tualmente, uma mttltiplicidade lineat· vectorial.
A pergunta feita no final desse parágrafo transforma-se agora nesta- a quantas dimensões é es~a multiplicidade'?
É a essa pergunta que vamos agora responder.
Antes, porém, de o fazer, lembraremos que, em \·irtude do que foi dito nesse parágrafo sobre os sistemas lineares, se verificam as seguintes propriedades.
1. a - Se a multiplicidade vectorial linear é a n dimensões, e i1 . i2 , ···i., é a sua base, entdo i1 , ~, • • • Ín 8(10 Uneat·mente indepen-dentes e qualquer vector u da multiplicidade se expt·ime neles segundo
..
36) u
=
~ )i. Íjj .. J
que põe em evidência as componentes
>
1 • ii e os coeficientes l1 . Esta relação contém a chamada decomposiçdo de u segundo osvectores da base.
2. a - Dados dois vectores
n a
u = ~ 11 . i1 e v
=
~ p.1 • i1 tem-se u = v sempre que e só quandoAlém disso: 3.a- 37) Àj
=
iJ.j 'J
= 1 , 2 ' •.. 11 • n u ±v= ~ (11·+I'
i). Íj. f-1"
4.a -Dado u
=
~).i. i1 e o número real p, tem-s~ i-1n
38) p • u = ~ (p. j:i) • Íj. i•l
PARÁGRAFO 7 21 Deixamos ao leitor o cuidado de verificar a filiação destas duas últimas propriedades nas propriedades formais do parágrafo 1. 5 (e suas correspondentes para os vectores livre~). Lembraremos
apenas, para o caso da diferença em 37), que ela se reduz à soma
com o vector oposto do subtractivo e que este é, afinal, igual a (-1)·V.
Posto isto, vamos responder à pergunta feita no começo deste parágrafo, considerando, sucessivamente, três casos: colinear idade,
coplanaridade, caso geral (no espaço ordinário).
I -Colinearidade. 'I'EORE.IIA 1.0 - Dados dois vectores colinea· res
[
1. 6]
u e i, 71110 nulo, ea:iste um e só ttm número real l tal qtte39) o= À -i e esse número é 40) À= 6 . modu rnod i onde 6 =
+
1 se u e tidos contrârios.têm o mesmo sentido e e: = - 1 se têm
sen-. mod u . ·
Efectuemos, com efeito, o produto ), . 1 = s . - - .• 1 [1. 6, 34),
modi
com referência a 1. 4, D) e E)]. É ele um novo vectur com a direcção de i - e portanto de u - com o sentido de i ou o contrário
con-forme 6
=
+
1 ou 6 = -1 (portanto, sempre com o sentido de u)e de módulo igual a
[
1
.
4, 29)]
mod (). · i)=I
l
i
·
mod i= mod~
. mod i = mod1=modo. Isto é, Ài=u.
O
número ). é único porque de À· i = f..l. i resulta, por seri=f=O,').=p. [1. 5, prop. 9)].
A igqaldade 39) pode pôr se sob a forma
39a)
que mostra
ll.
5, 31 )] que os vectores colinea,·es u e i são linearmentedepende11..tes.
A reciproca é igualmente verdadeira:
TEOREMA 2.0 - 8emp1·e que dois vectores a e b silo linea1·mente depe?~dentes eles sdo colínem·es.
22 CAP. I. ÂLGE.BRA VECTORIAl
Excluindo o caso de nulidade de algum dos vectores, suponha·
mos que entre eles ee verifica a relação ~· a+ a. b =O com p e a diferentes de zero (se um fosse nulo e-lo-ia o outro também);
desta igualdade tira-se a=-~. b qne mostra que a e b são
para-p
lelos (porque a multiplica~:ão por um nó. mero real não altera a
dirt>cçlio ).
Tudo quanto está dito pode resumir-se no enunciado seguinte:
TEottEMA 3. o -O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos
a ttma direcçdo dada é um sistema vectorial linear a uma dz'menstlo. Se i for um vector unitário, tem-se de 40),
41) ). = e · mod u = med u ;
se, além disso, i tiver o sentido de u, será À= modu, donde
4~) u =i. modu
igualdade que reluciona um vector com o vector unitário do seu
eixo e com o mesmo sentido. Escrevendo, abreviadamente, u em
vez de mod u , tem-se
43) u = u ·i i =~.
u
II.-Coplanoridade. TEOREMA 4.0- Dados dois vecto1·es m!o
nulos e nllo paraleloll i e j e outro vecto1· u coplanar a eles, e:r!ist~
sempre um e um só par de números reais ). e p., neto ambo8 nulo1 (a nao ser que u = ÜJ, taú que
44) I / I _ _ _.L. _ _ A Fig. 9 p
Suponhamos que os trêB vectores
i, j , u têm a mesma origem O, o que
é sempre possivel, por serem ve('torE"s livres. Tiremos (fig. O) pela extremi-dade P de u paralelas às direcçOes de i e j; determinam-se assim dois
PARÁGRAFO 7 23
___.. ~
Mas [39))
O
A=),· i,O B
=
p. · j, o que demonstra-
44). ~Em face da construção, é evidente q o e O A e O B são úuicos
e, portanto, únicos ). e p..
À
mesma conclusão se chega por via anaHtica: dados ).' e ,..., tais que u=
),' ·
i+ ,..., .
j, tem-se ). . i+
p. • j = ).' . i+
1-l' • j donde (À - Ã') • i+
(p. - p.') . j = O e e ta igualdade exige que sejam I.- ).' =O, 1-'-- p.'=O
pois, caso con-trário, pelo teor.2.
01 i e j seriam paralelos, contra a hipótese.
A igualdade 44) pode ser posta sob a forma
44a)
a qual nos mostra [1.
5,
31)] que os trils vectorescoplanares i,j eu allo linearmente dependentes. E como o são, a fortiori, se dois deles forem paralelos [basta pOr o coeficiente do terceiro igual a zero e verifica-se então uma relação da forma 39 a)], tem·se:TEOR~MA 5.0 -Trila -vectores coplanares quai8quer sil.o linea1·-menle dependentes.
A reciproca é igmalmente verdadeira:
TEOREmA 6.0 - Sempre que trils vecto1·es a, b e c são linear. mente dependentes, eles sélo coplana1·es.
Suponhamos, com efeito, que há entre a, b e c, não nulos,
{se algum deles o fosse ficava implkcitamente estabelecida a
copla-naridade) o ma. relação da forma /. • a+ p. · b
+v.
c= O. Se algum dos coeficiellltes é nulo, está-se no caso do teorema 2.0 e cai-se logo na coplanaridade; afustemos esse caso. Da relação tira-se a=~. b+a.
c que mostra imediatamente que a é coplanar a b e c visto que as multiplicações por números reais conservam as direcções e a adição conserva o plano.O teorema 5.0 mostra que a multiplicidade dos vectores parale-los a um dado plano não pode ter mais de duas dimensões, mas
como, por outro lado, é sempre posdvel escolher no plano dois v,ectores i e j não paralelos, e portanto linearmente independen-te:~, tew-se o
TEOR~HA 7.0
- O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos a 1Wt dado plano é um sistema linear vectorial a duas dimensões.
24 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
III. - Caso geral. Comecemos por notar que a multiplicidade
dos vectores do espuço tem um número de dimensões maior que 2.
É o que imediatamente resulta do teorema 6.0
; ef~ctivumento, dados três vectm·es não nulos nna coplanares, a, b, c ele:~~ sflo, necessà?·ia-me?lte, linea1·mente independentes, pois, se o não fossem, seriam coplnnuree como lá se demonstrou.
Vamos agora provar que númPro de dimensões da multipJi..
cidade não pode ser maior que 3. Dernoostraremos para isso o
Uéttr'O •
TEORE~IA 8.0
- -lfflt'tdo vectores quauquer do espaço sêto sempre
linearmente dependentes.
Ponhamos de parte os casos simples em que haja paralelismo
de dois \'ectores ou c o planaridade de três q uaisq oer de entre ele
- em qualquer de tes casos há dependência linear dos quatro,
com aoulamente de coeficientes convenientes-- para nos
ocupar-mos do caso mais em geral: haver quatro vectores não nulos i, j,
k, u, sem paralelismo nem coplanaridade entre quaisquer g!'llpos
deles. Pois bem, vamos demonstr~r que e:eiste um e um só terno de números reais l , p. , v , tais que
4ó) Seja O a Cr
-o
Fig. 10 45a) u=l·i +p.·j +v·k.origem comum dos quatro vectores, o que é sempre
possivel, e tiremos por P, extremidade de u ,
uwa paralela a k (fig. HJ); st-ja B o ponto em
que ela encontra o plano definido por i e j.
-
-
-Tem·se u = O B
+
BP; mas [39)] BP= v . k-e [44)] O B = l. i + 1-1. .j, logo verifica-se 4ó).
A dewon tra~ã.o de que ). , f, v são únicos
faz-se durua maneira inteiramente análoga oquola
por que e procedeu oo teorema 4.0
• A relação
45), posta sob a forma
À·i +f.l·i +Y·k-u=O,
mostra que o quatro vectores são linearmente depend ntes, com
o que fica demonstrado o teorema. Dele, e das considerações
PARÁGRAFOS 7 e 8 25 TEORE,IoJA 9. 0- A multiplicidade linear vectorial de todos os vectores do espaço ordinário é um si tema linear a tr~s dimensCJes.
Decomposição. É claro que a relação 45) é absolutamente
g~ral; vale qualquer que s('ja a posição relativa de u para com os vectores i, j e k -se houvet' particularidades nessa posição, elas traduzir-se-ão no anulamento de coeficientes.
E sa relação traduz a decomposição dum vector qualquer u segundo a base i, j e k; para esta podem tomar-se três vectores quaisquer desde que não sejam nem nulos nem coplanares.
Representarem os, para obter maior simetria nas fórm olas, os vectores da base por i1 , is, is; a decomposiçào de u escreve-se
então
8
46) u =~)i. Íj.
j = l
Se ii são vectores unitários dos seus eixos, o~ coeficientes
'A1 das componentes ).i. ii são as medidas algéb1·icas [ 41)] dessas componentes.
Quando o vector u fôr qualquer dos vectores i1 da base, a fórmula geral 46) toma o aspecto
8
47) ii= ~ õik ·h-,
k-1
onde os OJk -símbolos de f(,.onecker-são definidos por
48) OJ k -=-{ O +-
~
-=!= k1 +-J=k.
1.
8.
Possibilidade duma teoria analítica das
multiplici-dades vectoriais
(I)
As conclusões a que se chegou no parágrafo anterior mostram que, uma vez escolhida uma base no espaço ordinário, todo o vector do espaço fica unlvocamente determinado por três números reais
li>j
-=
1,2,3.
(1) Para a colllpretu~ão tia matéria Uf:l$tf:l parágrafo, cuja leitura não é indispensável para seguir os desenvolvimentos Bubsequentes, o leitor deve estar familiarizado com os elementos da teoria das l\Iatrizes e das f•'ormas Lineares. Ver, por ex., Lições, Vol. 1.0
, cap. 12 e 13. Para outros desenvolvimentos sobre este assunto, ver, por ex., J. 'Vedderburo, Leclures on Mat1·ices, New-York, 1934.
26 CAP I.
Á
GEBRA VECTORIALIsto sugere a possibilidade de se estabelecer uma teoria geral, de carácter aaalitico, das multiplicidades vectoriais nos espaços n-dimeasionais. Vamos iad'car, brevemente, como essa teoria se
pode desenvolver.
I. - Define-se vector num espaço eoclideano n-dimensional como o conjunto de n números reais p1, p2, • • •
Pn,
por esta ordem; usa-se a notação u = (p1 , pz, · · · p,) .Diz-se nttlo o vector em que p1 = O , i
=
1 , 2 , · · · n e escreve· se(0,0, ... O)= O.
II. - Dados dois vectores u
=
(pt, p2, · · · Pn) e v=(at,
a2, · · ·O'n) diz-se que são iguais, e escreve-se u =v, quando existem ns rela-ções p1=
a1 , i=1,
2, · · · n •Verifica-se que esta definição satisfaz às condições de ser refie· xiva, simétrica e transitiva.
m. -
Define-se soma dos dois vectores u e v, e escreve-seu + v, pela igualdade u
+
v =(p
1+
a1 , pa+
a a, · · · Pn+
an). Prova-se que esta operação goza das propriedad~s da adição ordinária-1. 5, prop. 1) a õ) (mudando a palavra translacçtto em vector).lV.-Define-se prodt,to de
u
pelo número real ~,e
&screve-·:!e ~ • u ou u · ~ , pela igualdadeDemon tra-se que esta opera~ii.o goza das prorrie-dndes ho.bi-tuai - 1. 5, prop. 6) a 12).
V. - Define· se· sistema linear ou multiplicidade linear como foi feito no parágrafo
1.
5.
Da definicãu resulta, por virtude de III e IV, que a totalidade dos vectores do espaço o-dimensional é uma multi-plicidade Unear.VI.-De III e IV resulta ainda que todo o vector o da mui. tiplicidade se pode pôr, duma única maneira, sob a forma
u
=
pt
•
(1, O,··· O)+
pg ·(O, 1, ···O)+
· · ·
+
~~~ ·(O, O, · · · 1) ou, •abreviadamente, n =
L
Pi. e;, onde os vectores ~ são definidos i=lpela igualdade eJ = ( ài1 , à;2 , · •• à;.) e os à i" são dados por 1. 7, 4B).
PARÁGRAFO 8 27
lineares nos ei. Estes, por sua vez, podem pôr·se também sob a
forma. anterior, visto que
n
e1 = ~ OJI, • ek •
k-1
VII. - Define-se combinaçlfo linear de vectores, do modo
se-guinte: dados os vectores u, u1 , u.a, ···Um, diz-se que u é uma combinação linear dos restantes, quandv existem m números reais
m
À;, i= 1, 2, · · · m, tais que u = ~ À1 • Ut.
Vlii. -- Define-se dependência e independência linear coroo habi-tualmente: os m vectores Ut, u2, ·. · u,4 dizem-se linearmente
de-pendentes quando existirem m números reais À;, i= 1, 2, ·. · m, m
não todos nulos, tais que ~À;. Ui= O.
i = l
Se esta relação só for possível quando todos os À; forem nulos,
os m vectores dizem-se linearmente independentes.
IX.-Da teoria das formas lineares resulta imediatamente que
a co~dição necessária e suficiente pam que de entre os m vectorea
Ut =pu . 6t
+
pr.a • e2+ ...+
Ptn • e,.Um
=
Pmt . el+
~..
a . es+
...
+
Pmn • e,.haja r e não mais de r linearmente independentes, é que a caracte
-rística da matriz
((pj~r))
=
pu ~IB " • ~III fjt Pia •" PinI
~~;
~m3
" •p,.,.l
sija igual a r .
Os ro - r vectores cujos coeficientes não figuram no determinante principal são combinações lineares dos outros.
28 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
X.- Conclui-se daqui que os n vectores ej, j
=
i , 2, ... o,4(10 linearmente independentes, visto que a sua matriz
((ajk))= 1
o ... o
o
J ...o
o u .
..
Jé a mal.l"iz identidade e tem, portunto, característica n.
Aos vectores ej dá-se o nome de vectores-unidade e ao seu con-junto chama-se base da multiplicidade.
De Vl resulta que todo o vector da multiplicidade se exprime, duma só maneira, nos vectore da base.
XI. - 8do linearmente dependentes guai.~qtter o
+
il. vectores da multiplicidade. Efectivamente a caracter[stica da matri:Gpu
não pode ser muior que n.
XIL - Define-se ordem ou número de dimensões da multiplicidade
do mo do seguinte: diz-se que a multiplicidade é de ordem r, ou tem
r dimensões, quando há nela r vecto?·es li-nem·mente independentes
e
r+
1 qzw·isq~ter silo linearment~ depende1~if;~;.De X e
Xr
conclui-se imediatamente que a multiplicidade wtal dos t•ectores do espaço a-dimensional é de ordem n •Com isto, ficam estabelecidas as propriedades atê aqui estudadas para os vectore6 ordinários, e por via meramente analitica. O leitor notará a analogia desta teoria com a dos números complexos a n unidades [Uções Vol. 1.0
, 9. 12] o que vem confirmar a 11firmação atrás feita [1. 6 de que uw vector é uma entidade analitica e cão
geométrica.
1. 9.
Coordenadas cartesianas.
É sabido, dos elementos da Geometria Annlitica1 como a. posi-ção dum ponto Do espaço pode ser fixada com a ajuda do método das coordenadas cartesianas.
PARÁGRAFOS 8 e 9 29
Toma-se, como sistema de referência, o conjunto de três eixos não c(lplanares O x, O y, O z, que, por sim plícidade, se supõem tri-ortogonais; o seu ponto de encontro O denomina-se o1·igem das coordenadas e os eixos chamam-se eixos co01·denados.
O sistema diz·se de disposiçao positiva ou de:r:t1·orsum se o con-siderarmos orientado do modo seguinte (fig. 11): um observador colocado ao longo de O z com os pés em
O e a cabeça para o sentido positivo de O z e virado para o interior do triedro, deixa o semi-ei:xo positivo O x à direita e o semi-eixo positivo O y à esquerda. No plano O x y toma·se como sentido positivo das 1·otaçrJes aquele pelo qual a rotação de menor amplitude ( ; ) que leva o semi-eixo positivo O :r: à coin ci-dência com o semi-eixo positivo O y se
X
z
y
Fig, 11
faz no sentido directo (contrário ao sentido do movimento dos pon-teiros dum relógio)- é o sentido indicado pela seta curva na fig. 11.
Dos seis sistemas determinados pelas seis permutações das letras :r:, y, z, três deles -os que correspondem a permutações part>s-são orientados como o da fig. 11, cada um deles é um sistema
z
.Y XFig 12
dextrorsum; os outros três- os qnA correspondem a permntuções ímpares- são orientados de modo que o observador, nas condições acima indicudas, Yê à esquerda Ox e à. direita Oy- cada um deles diz·se de dispostçtlo negatiya ou sim'strorsum.
30 CAP. I ÁLGEBRA VECTORIAL
e os três inferiores de disposição negativa. Como se vê, dentro de
cada um dos dois grupos, os sistemas derivam uns dos outros por
permutações circulares das letras, e cada um dos negativos deriva
de um positivo pela troca de dois eixos. Pode, é claro, fazer-se coincidir um negativo com o correspondente positivo desde que se
lhe troque o sentido de um eixo(l).
Posto isto, a posição de qualquer ponto M do espaço é fixada
univocamente por três números reais-as suas três coordenadaB,
O A =:c, U 1:J
=
y, O C= z obtidos pela construção da fig. 13e q111e é, exactamente, a mesma do parágrafo 1.
7, III,
para adecom-posição do vector
OM
=
u. Tem-se portanto, sendo i, j , k osvectores unitários dos eixos, como estão indicados na figura, e
visto que os ). , p., 11 de 1. 7, 4:'>) são, respectivamente, iguais a
~
-
-med O A = :c , med O B
=
y , med O C=
z ,49) M(:c, y, z)-O= u = :c· i+ y · j
+
z • kque mostra que os coeficientes da decomposiçao de u segundo os
eixos são precisamente as coordenadaB da sua e:ctren.idade; por isso se dá, também, a ::c,y,z,
o nome de coordenadas do
vec-z
tor. C
Como se vê, 49) é oro caso
particular de
1.
7, 45) e,por-tanto, de 1. 7, 36) e dai resnha
que são aplicáveis à soma de ~
vectores e ao produto deles
por um número real as regras
ordinárias da Álgebra, por
virtude de
1.
7, 37) e 38); e que Flg. 15 a igualdade de dois vectoresexige a igualdade das suas coordenadas homónimas e reclprocamente.
Se o vector não tiver a origem em O mas sim num ponto M1 (x1 , y1 , z1) , tem-se, sendo M2 (:cs, !}2, zs) a sua ex tremida de,
-
-
--
--
-
-OMs= OM1
+
M, Ma donde M1 Mil= O Ms- OAJ1 =(x2 · i+Ys · j+
(') Tudo o que et~tá dito a respeito da orientação dos sistema tri-ortogo-nais se mantém, ipsis ve1·bis, se eles o não são.
