RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

(1)

2022

edição

2ª

Revista atualizada ampliada

JOSIMAR PADILHA

RACIOCÍNIO

LÓGICO-MATEMÁTICO

900

QUESTÕES COMENTADAS

Alternativa por alternativa Mais de

COORDENAÇÃO Duda Nogueira

Raciocinio_Log_Matematico-Padilha_00.indd 3

Raciocinio_Log_Matematico-Padilha_00.indd 3 07/10/2021 15:36:4207/10/2021 15:36:42

(2)

Capítulo I – Fundamentos de Matemática – Teoria de Conjuntos • Questões 13

Capítulo I – Fundamentos de Matemática – Teoria de Conjuntos

01. (MPE-GO / Auxiliar Administrativo/ 2019). Uma pesquisa realizada entre os 80 formandos de uma turma de Direito, constatou que 20 deles cursaram a matéria optativa de Criminalística; 30 frequentaram a de Medicina Legal e 15 estudaram tanto Criminalística quanto Medicina Legal. Quantos alunos não fizeram nenhuma das duas matérias?

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50 e) 60

COMENTÁRIO:

Nota do autor: Teoria de conjuntos tem sido um assunto muito cobrado nos processos seletivos, além de ser um dos principais fundamentos da matemática e do desenvolvimento do raciocínio, logo sugiro ao leitor uma atenção especial a este capítulo. Uma dica é que, quando tivermos elementos que pertencem a mais de um conjunto, iremos construir diagramas de Venn com interseção. Vejamos:

Nessa questão iremos construir os diagramas de Euller Venn, vejamos:

Vamos verificar a linguagem das quantidades em cada conjunto:

a) Criminalística = 20 b) Apenas Criminalística = 5

c) Criminalística e Medicina legal = 15 d) Medicina legal = 30

e) Apenas Medicina Legal = 15 f) Nenhum dos dois 45.

g) Medicina Legal ou Criminalística: 5 + 15 + 15 = 35 Resposta: C

02. (IF-ES / Assistente em Administração/2019). Um shopping realizou uma pesquisa sobre a preferência do público quanto à premiação para quem realizar compras de final de ano nas lojas parceiras. Nessa pesquisa, foram entrevistadas 250 pessoas, entre homens e mulheres, escolhidas aleatoriamente. Desse grupo, 100 eram mulheres e dessas, 40 não preferem carro como premiação. Se o total de pessoas pesquisadas que

Revisaco-Padilha-Raciocinio Log Matematico-2ed.indb 13

Revisaco-Padilha-Raciocinio Log Matematico-2ed.indb 13 07/10/2021 15:32:5607/10/2021 15:32:56

(3)

têm preferência por carro foi de 170 pessoas, o número de homens que não têm preferência por carro como premiação de final de ano é igual a:

a) 150 b) 110 c) 60 d) 40 e) 20

COMENTÁRIO:

Nota do autor: Nesta questão, iremos construir uma tabela para melhor interpretarmos a situação dada, uma vez que temos conjuntos disjuntos, ou seja, homens ou mulheres, bem como pessoas que preferem carro como premiação ou pessoas que não preferem carro como premiação. Os conjuntos são ditos disjuntos quando não possuem interseção, ou seja, A∩B = ø.

Segundo as informações dadas pela questão, iremos preencher as células:

HOMENS MULHERES

Têm preferência por carro 170

Não têm preferência por carro ? 40

100 Total= 250

Segundo as informações acima podemos inferir os dados abaixo que estão nas células hachuradas:

HOMENS MULHERES

Têm preferência por carro 110 60 170

Não têm preferência por carro ?=40 40 80

150 100 Total=250

Desta forma podemos inferir que a quantidade de homens que não têm preferência por carro é igual a 40.

Resposta: D

03. (IDECAN/ AGU – Administrador / 2019). Luna é uma menina muito esperta e possui 27 colegas meninos e 34 colegas meninas. Todas essas crianças juntas formam uma turma de alunos muito diferente, pois cada aluno ou adora matemática ou adora português. Sabendo que, nessa turma, 21 meninas adoram matemática e um total de 38 alunos adoram português, o número de meninos que adoram matemática é

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

COMENTÁRIO:

Nota do autor: Nesta questão, também iremos construir uma tabela para melhor interpretarmos a situação dada, uma vez que temos conjuntos disjuntos, ou seja, meninos ou meninas, bem como pessoas que ou adoram matemática, ou adoram português, ou seja, não temos elementos em comum devido o conectivo de disjunção exclusiva. Os conjuntos são ditos disjuntos quando não possuem interseção, ou seja, A∩B = ø.

Segundo as informações dadas pela questão, iremos preencher as células:

MENINOS MENINAS

Adoram matemática ? 21

Adoram português 38

27 35 Total = 27 +34 +1 = 62

(4)

Capítulo I – Fundamentos de Matemática – Teoria de Conjuntos • Questões 15 Obs.: Não esquecer de incluir Luna na turma de alunos, assim o total é de 62 alunos. Segundo as informa- ções acima podemos inferir os dados abaixo que estão nas células hachuradas:

MENINOS MENINAS

Adoram matemática ? = 3 21 24

Adoram português 24 14 38

27 35 Total = 27 +34 +1 = 62

Resposta: C.

04. (AOCP /Soldado Combatente BM /2018). 70 soldados se inscreveram em três cursos, em que cada curso é direcionado para uma área de atuação de suas funções: Combate a Incêndio, Busca e Salvamento ou Atendi- mento Pré-hospitalar. Cada soldado podia optar por se inscrever em um, em dois ou nos três cursos disponibi- lizados e todos os soldados se inscreveram em pelo menos um dos três cursos oferecidos, da seguinte maneira:

• 59 soldados optaram por cursar Combate a Incêndio;

• 56 soldados optaram por cursar Busca e Salvamento;

• 33 soldados optaram por cursar Atendimento Pré-hospitalar;

• 50 soldados optaram por cursar Combate a Incêndio e Busca e Salvamento;

• 23 soldados optaram por cursar Busca e Salvamento e Atendimento Pré-hospitalar;

• 25 soldados optaram por cursar Atendimento Pré-hospitalar e Combate a Incêndio;

• 20 soldados optaram por cursar as três áreas oferecidas.

Dessa forma, o número de soldados que optaram por cursar somente uma das três áreas de atuação é igual a

a) 7.

b) 8.

c) 9.

d) 10.

e) 12.

COMENTÁRIO:

Nota do autor: Teoria de conjuntos tem sido um assunto muito cobrado nos processos seletivos, além de ser um dos principais fundamentos da matemática e do desenvolvimento do raciocínio, logo sugiro ao leitor uma atenção especial a este capítulo.

Temos uma questão de aplicação de conjuntos (diagramas de Venn):

(5)

A questão solicita o número de soldados que optaram por cursar somente uma das três áreas de atuação, ou seja, a soma das exclusividades dos conjuntos, região destacada na figura abaixo:

Somente um dos cursos: 4 + 3 + 5 = 12 Resposta: E

05. (IAUPE-UPENET /Soldado– PM –PE /2018). Dos 500 aprovados em um concurso, 205 falam inglês, 210, espanhol, e 65, ambos os idiomas. Escolhendo ao acaso um dos aprovados, qual a probabilidade de ele não falar nenhum desses idiomas?

a) 40%

b) 25%

c) 30%

d) 45%

e) 35%

COMENTÁRIO:

Nota do autor: Como já dito, a Teoria de conjuntos tem sido um assunto muito cobrado nos processos seletivos, além de ser um dos principais fundamentos da matemática e do desenvolvimento do raciocínio, logo iremos resolver uma questão de probabilidade aplicando tais conhecimentos, vejamos:

Vamos construir os diagramas para melhor interpretar a questão:

Falam ambos idiomas = 65

Falam apenas Inglês = 205 - 65 = 140 Falam apenas Espanhol = 210 - 65 = 145

Não falam nenhum dos dois: 500 - 145 - 140 - 65 = 150

(6)

Capítulo I – Fundamentos de Matemática – Teoria de Conjuntos • Questões 17 Essa questão é de probabilidade, porém a sua resolução fica mais fácil quando aplicamos conhecimentos de teoria de conjuntos.

Agora é só aplicar a definição de probabilidade:

( )⁼ ^{( ) 150}⁼ ⁼0,3 100 30%^× ⁼

( ) 500

casosfavorávieis serve P n casos possíveis tudo

Resposta: C

06. (VUNESP/ Investigador de Polícia Civil / 2018). Uma enquete foi realizada com 427 pessoas, que haviam lido pelo menos um dentre os livros J, K e L. Dentre as pessoas que leram apenas um desses livros, sabe-se que 116 leram o livro K ou o livro L e que 55 pessoas leram o livro J. Dentre as pessoas que leram dois desses livros e apenas dois, sabe-se que 124 leram os livros J e L ou os livros J e K e que 65 pessoas leram os livros K e L.

A diferença entre o número de pessoas que leram o livro J e o número de pessoas que não leram esse livro é

a) 71.

b) 65.

c) 68.

d) 82.

e) 77.

COMENTÁRIO:

Nota do autor: Observe como os diagramas de Euler oferecem uma interpretação concreta da situa- ção, mesmo não possuindo todos os valores.

Faremos de maneira bem prática esta questão, apenas com os diagramas, vejamos:

Resposta: B.

07. (VUNESP/Escrivão de Polícia Civil / 2018) Pertencer ao conjunto A, pode ser apenas A ou pode ser ape- nas A e B ou pode ser A e B e C, mas não pode ser apenas A e C. Pertencer ao conjunto B, pode ser apenas B ou pode ser B e A ou pode ser B e C ou pode ser B e A e C. Pertencer ao conjunto C, pode ser C e B ou pode ser C e B e A, mas não pode ser C e A e não pode ser apenas C. Quanto às quantidades, e obedecendo às condições apresentadas, pertencer a apenas um conjunto, 5 elementos em cada caso; pertencer a apenas dois conjuntos, 10 elementos em cada caso; pertencer aos três conjuntos, 15 elementos. O número de elementos que pertencem aos conjuntos B ou C supera o número de elementos que pertencem ao conjunto A em um número igual a a) 20.

b) 15.

c) 10.

d) 25.

e) 5.

(7)

COMENTÁRIO:

Nota do autor: Observe que a questão introduz algumas condições, pertinência dos elementos aos seus respectivos conjuntos, sendo assim, para melhor compreensão, definiremos os elementos para os conjuntos A, B e C.

Vamos construir os conjuntos com seus elementos, conforme condições de pertinência citadas no comando:

Observar que B ∪ C é igual a soma das letras {z+ y+ w+ k} , ou seja, 40. O conjunto A é igual a soma das letras { x +y + w}, ou seja, 30.

O número de elementos que pertencem aos conjuntos B ou C supera o número de elementos que pertencem ao conjunto A em um número igual a 10.

Resposta: C

08. (CESPE/ EBSERH / Ano: 2018) Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta apenas por casais e seus filhos. Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A∪B∪C, em que

A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade};

B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade};

C = {casais com pelo menos 4 filhos}.

Considerando que n (P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha que n(A) = 18;

n(B) = 20; n(C) = 25; n(A∩B) = 13; n(A∩C) = 11; n(B∩C) = 12 e n(A∩B∩C) = 8. O diagrama a seguir mostra essas quantidades de elementos.

Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir.

A referida comunidade é formada por menos de 180 pessoas.

(8)

Capítulo I – Fundamentos de Matemática – Teoria de Conjuntos • Questões 19

COMENTÁRIO:

Para que possamos encontrar a quantidade de pessoas temos que calcular os números de casais A, B e C e seus respectivos filhos:

Pelo diagrama temos:

Vamos iniciar pelo diagrama com a possibilidade da maior quantidade de filhos:

Conjunto C:

25(casais) x 2 = 50 (pais e mães) 10 x 4 + 4 x 4 + 8 x 4 + 3 x 4 = 100 (filhos) Exclusivo do A:

2 x 1 = 2 (filhos) Exclusivo do B:

3 x 1 = 3 (filhos)

Intersecção exclusiva do A e B:

5 x 2 = 10 (5 com + 20 anos e 5 com – 20 anos) = 10 (filhos) Casais restantes:

2+ 5 + 3 = 10 casais – 20 (pais e mães) Soma total: 185 pessoas

Resposta: Errado.

09. (CESPE/ EBSERH / 2018) Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comuni- dade composta apenas por casais e seus filhos. Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A∪B∪C, em que

A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade};

B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade};

C = {casais com pelo menos 4 filhos}.

Considerando que n (P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha que n(A) = 18;

n(B) = 20; n(C) = 25; n(A∩B) = 13; n(A∩C) = 11; n(B∩C) = 12 e n(A∩B∩C) = 8. O diagrama a seguir mostra essas quantidades de elementos.

Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir.

Pelo menos 30 casais dessa comunidade têm 2 ou mais filhos COMENTÁRIO:

No conjunto C temos 25 casais que tem pelo menos 4 filhos, logo têm 2 ou mais. Na exclusividade da inter- seção do A e B temos 5 casais que tem filhos com mais de 20 anos e menos de 10 anos, ou seja, pelo menos 02 filhos. Total de casais igual a 30.

Resposta: Certo

(9)

10. (FUNDEP/ CODEMIG/ 2018). Observe a tabela que mostra o resultado de uma pesquisa de mercado feita por um sacolão para identificar a preferência de seus fregueses na compra de legumes, verduras e frutas.

80 pessoas gostam de legumes 78 pessoas gostam de verduras 85 pessoas gostam de frutas

42 pessoas gostam de legumes e verduras 36 pessoas gostam de verduras e frutas 39 pessoas gostam de legumes e frutas 25 pessoas gostam de verduras, legumes e frutas O número de entrevistados foi:

a) 128.

b) 151.

c) 284.

d) 385.

COMENTÁRIOS

Nota do autor: Teoria de conjuntos tem sido um assunto muito cobrado nos processos seletivos, além de ser um dos principais fundamentos da matemática e do desenvolvimento do raciocínio, logo sugiro ao leitor uma atenção especial a este capítulo.

Nessa questão temos três conjuntos e elementos que podem pertencer a mais de um deles simultanea- mente, logo temos que construir diagramas para melhor interpretação. Vejamos a figura abaixo:

Passos a serem realizados para preencher o diagrama acima:

1º - Começa com verduras, legumes e frutas = 25 2º - Legumes e frutas = 39 - 25 = 14

3º - Verduras e frutas = 36 - 25 = 11 4º - Legumes e verduras = 42 - 25 = 17 5º - Somente frutas = 85 - 25 - 14 - 11 = 35 6º - Somente verduras = 78 - 25 - 17 - 11 = 25 7º - Somente legumes = 80 - 25 - 17 - 14 = 24

(10)

Revisaço – Raciocínio Lógico-Matemático – Josimar Padilha 54

DICAS

Propriedades da União

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A ∪ A = A. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A.

2. Comutativa: A ∪ B = B ∪ A.

3. Elemento Neutro: Ø ∪ A = A ∪ Ø = A. O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos.

4. Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Propriedades da Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A ∩ A = A 2. Comutativa: A ∩ B = B ∩ A

3. Elemento Neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos: A ∩ U = A 4. Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Propriedades da União e Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:

1. A ∪ (A ∩ B) = A 2. A ∩ (A ∪ B) = A

3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 4. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Propriedades da Complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:

1. C^B_A∩ = ∅B e C^B_A∪ =B A 2. C^A_A= ∅ e C^∅_A=A 3. C^C_A^B^A=B

4. C^{(B C)}_A^∧ =C^B_A∪C^C_A 5. C^{(B C)}_A^∨ =C^B_A∩C^C_A

Número de Subconjuntos

Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto:

A = {a, b} = {a}, {b}, {a, b}, { }; temos neste caso 4 subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos.

Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e está contido em qualquer conjunto. Repre- sentação: Ø ou { }, nunca { Ø }.

Conjunto das partes:

Denotado por P(A) e possui todos os subconjuntos de A. n(P(A)) = 2n(A) (número de elementos do conjunto). C= {a, b, c} = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 2³= 8 subconjuntos.

Intervalos

Abordaremos agora o conceito de intervalo na reta real R, ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:

Se a e b pertencem a A⊂R, a ≤ b, então para todo c tal que a ≤ c ≤ b, então c pertence a A.

Podemos representar da seguinte maneira:

A = {c ∈ R | a ≤ c ≤ b}

(11)

Os intervalos podem ser classificados:

I – Características topológicas: abertos, fechados e semiabertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita).

II – Características métricas: comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação

Utilizam os colchetes – “[” e “]” – para indicar que um dos limites do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[” – para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados x e y números reais, com x ≤ y, o intervalo W = (x, y] = ]x, y] representa o conjunto dos a ∈ R, tal que x < a ≤ y. Note que x não faz parte do intervalo.

CONCEITOS:

01- Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos: A ∪ B = {X ∈U | X ∈ A ou X ∈ B};

02- Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido: A ∩ B = {X ∈U| X ∈ A e X ∈ B};

03- Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Logo, A – B = {X ∈U | X ∈ A e X ∉ B}

04- Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:C^B_A= = −A A B .