Estudo de casos utilizando o método dos elementos finitos para simulação de reservatórios de petróleo

Texto

(1)ESTUDO DE CASOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO. ÉRICO ALMEIDA SANTOS. MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL. Orientador: Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho Co-Orientador: Leonardo José do Nascimento Guimarães. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO RECIFE – 2002.

(2) ESTUDO DE CASOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO Érico Almeida Santos. TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO DA. UNIVERSIDADE. FEDERAL. DE. PERNAMBUCO. COMO. PARTE. DOS. REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por:. Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho, D.Sc.. Jaime Joaquim da Silva Pereira Cabral, Ph.D.. Lícia Mouta da Costa, D.Sc.. Leonardo José do Nascimento Guimarães, D.Sc.. Recife, PE - Brasil Setembro de 2002.

(3) Santos, Érico Almeida Estudo de casos utilizando o método dos elementos finitos para simulação de reservatórios de petróleo / Érico Almeida Santos. – Recife: O Autor, 2002. xviii, 92 p. il., fig., tab. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Engenharia Civil, 2002. Inclui bibliografia. 1. Engenharia civil. 2. Geotecnia. 3. Reservatórios de petróleo – Simulação - Elementos finitos. I. Título. 624.13. CDU (2.ed.). 624.15136. CDU (21.ed.). UFPE BC2002-345.

(4) DEDICATÓRIA. Aos meus pais Elza e Eufrázio, e à Ariane. iii.

(5) AGRADECIMENTOS. A Ivaldo Pontes pela orientação e confiança na realização deste trabalho. por. tratar-se. de. uma. nova. área. de. pesquisa. dentro. do. departamento. À Lícia Mouta Costa pelo apoio na resolução dos diversos problemas encontrados. A Leonardo Guimarães pela inestimável ajuda com o programa bem como pelas esclarecedoras explicações. À Ana Paula Costa pela amizade, apoio, incentivo e ajuda quanto à definição do tema deste trabalho. À bolsista de graduação da ANP, Laisa Mery Maia, pela ajuda dada nos exemplos do IMEX. Ao Engenheiro Geraldo Martins pela amizade e sem o qual este trabalho não poderia ter sido realizado dado ao seu apoio na obtenção da minha licença da COMPESA. Ao Engenheiro Antônio Carlos pelo apoio dado ao meu pedido de licença da COMPESA. Aos Engenheiros Daniel Genuíno, chefe do GERE e Fernando Lobo, diretor de Operações, pelo apoio prestado na renovação da licença da COMPESA. Ao professor Fernando Jucá por ter me proporcionado a oportunidade de ingressar, como bolsista de iniciação científica, no meio acadêmico e também pela visão na minha aptidão à simulação numérica ao me colocar para trabalhar junto com Ivaldo. Aos professores de Geotecnia pelos conhecimentos transmitidos e por toda ajuda, direta ou indireta. À Laudenice pela ajuda na resolução dos mais diversos problemas burocráticos da pós-graduação. Aos funcionários do Laboratório de Solos e Instrumentação, Antônio, Francisco, João e Severino. Aos colegas do curso, especialmente Adriano, Krishnamara, Marília, Carlúcio, Nilson, Issac, Samuel e Analice, pela amizade e companheirismo. iv.

(6) À Sylvana, Stela, Juliana e Veruschka pela amizade e pelas úteis dicas. Aos funcionários do departamento de Geologia pelo apoio nas questões burocráticas da bolsa. Aos professores do Departamento de Geologia, Mário, Margareth, Lúcia e Virgínio pelo apoio, pelas aulas e explicações que me familiarizaram com a área de petróleo. Aos colegas de Geologia, Danielle, Anna Rosa, Rodrigo, Vitor, Brayer, Kleiton, Fabiana pela amizade e pelas memoráveis viagens a campo e farras afins. Aos amigos do GERE pelo apoio e incentivo. À ANP pelo apoio financeiro. Ao meu pai que sempre prezou pela minha formação pessoal e profissional e que foi, é e será, sem dúvida, minha grande fonte de inspiração. À minha mãe pela compreensão, carinho e dedicação em todos os momentos da minha vida. À minha namorada Ariane pelo amor, carinho, companheirismo, compreensão e incentivo para a conquista deste título. A todos aqueles que injustamente não foram mencionados aqui, mas que acreditaram e me apoiaram nessa conquista de mais uma etapa vencida.. v.

(7) “Só sei que nada sei” (Sócrates) "Somente aquele que se dedica a uma causa com toda força e alma poderá ser um verdadeiro mestre. Por esta razão o conhecimento demanda tudo de uma pessoa”. (Albert Einstein). vi.

(8) RESUMO. A simulação de reservatórios de petróleo é a principal forma de descrever quantitativamente o fluxo multifásico em um reservatório heterogêneo com um esquema de produção determinado não somente pelas propriedades do reservatório, mas também pela demanda do mercado, estratégias de investimento e regulamentações governamentais (MATTAX, 1990). Neste sentido, a simulação como ferramenta de previsão vem se tornando padrão na indústria do petróleo devido principalmente ao avanço da capacidade operacional dos computadores; das técnicas numéricas para resolução de equações. diferenciais. parciais;. das. técnicas. de. caracterização. dos. reservatórios e na generalização dos simuladores que podem modelar casos reais de campo bem como considerar técnicas avançadas de recuperação. O objetivo deste trabalho é avaliar o desempenho do código computacional CODE_BRIGHT. (OLIVELLA. et. al.,. 1996a). para. simular,. nos. casos. apresentados, a recuperação secundária de petróleo através da injeção de água. Para tal foram utilizados um modelo unidimensional, com solução analítica conhecida (BUCKLEY & LEVERETT, 1942), modelos bidimensionais admitindo heterogeneidades no reservatório e o afloramento de Barreiras do Boqueirão, considerado um análogo de reservatório. Para avaliar o desempenho numérico do CODE_BRIGHT foi utilizado o IMEX, programa em diferenças finitas amplamente utilizado e difundido na Engenharia de Petróleo. Os resultados obtidos apresentaram boa concordância com a solução analítica e com o IMEX, para o caso unidimensional e um bom desempenho. do. código. perante. os. problemas. propostos. nos. casos. bidimensionais e no análogo, indicando desta forma, sua aplicabilidade para problemas de engenharia de reservatórios.. vii.

(9) ABSTRACT. Reservoir simulation is the main way to describe quantitatively the multiphase flow in a heterogeneous reservoir having a production schedule determined not only by the reservoir properties, but also by market demand, investment strategy, and government regulations (MATTAX, 1990). Hence, the use of reservoir simulation as a predictive tool is becoming standard in the petroleum industry. Its acceptance can be attributed to advances in computing facilities; advances in numerical techniques for solving partial-differential equations; advances in reservoir characterization. techniques;. and. the. generality. built. into. reservoir. simulators, which can make them useful in modeling field cases as well as to consider complicated enhanced oil-recovery techniques. The aim of this work is to evaluate the performance of the computer code CODE_BRIGHT (OLIVELLA et al., 1996a) to simulate in the cases presented, the oil secondary recovery by waterflooding. An one-dimensional reservoir, with a known analytical solution. (BUCKLEY & LEVERETT, 1942), and two-. dimensional reservoirs with heterogeneities and the Barreiras of Boqueirão outcrop, considered a reservoir analogous, were simulated. The software IMEX, a finite difference reservoir simulator widely used in petroleum engineering, was used to evaluate CODE_BRIGHT numerical performance. The one-dimensional results showed a good accordance with the analytical solution and with the IMEX results. The two-dimensional and the analogous cases results presented a satisfactory performance of the code, indicating its applicability to reservoir engineering problems.. viii.

(10) ÍNDICE. CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 1.1 Considerações Gerais ___________________________________ 2 1.2 Objetivos e Organização da Tese__________________________ 3. CAPÍTULO II. FLUXO EM MEIO POROSO MULTIFÁSICO. 2.1. Introdução__________________________________________ 5. 2.2. Equações Governantes ________________________________ 5. 2.3. Equação da Continuidade ______________________________ 6. 2.4. Equação de Fluxo ____________________________________ 7. 2.5. Relações Constitutivas ________________________________ 8. 2.5.1 Lei de Darcy ______________________________________ 9 2.5.2 Curva de Retenção ________________________________ 10 2.5.3 Permeabilidade Relativa ____________________________ 12. CAPÍTULO III - SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO 3.1 Introdução __________________________________________ 15 3.2 Descrição dos problemas na simulação de recuperação de óleo _ 17 3.3 Modelagem do Fluxo em Diferenças Finitas_________________ 19 3.3.1 Equação de Fluxo Bifásico ___________________________ 19 3.3.2 Discretização da Equação de Fluxo ____________________ 20 3.3.3 Condições de Contorno _____________________________ 29 3.4 Modelagem de Fluxo em Elementos Finitos _________________ 31. ix.

(11) CAPÍTULO IV - SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA TEORIA DE BUCKLEY & LEVERETT 4.1 Introdução __________________________________________ 37 4.2 Equação do Fluxo Fracionário ___________________________ 37 4.3 Teoria de Buckley & Leverett ____________________________ 40 4.4 Validação do Modelo em Elementos Finitos _________________ 45 4.4.1 Descrição do CODE_BRIGHT _________________________ 45 4.4.2 Descrição do Caso Teórico___________________________ 47. CAPÍTULO V -SIMULAÇÃO DE FLUXO BIFÁSICO E BIDIMENSIONAL 5.1 Introdução __________________________________________ 53 5.2 Casos Teóricos _______________________________________ 54 5.2.1 Caso 1 – Reservatório Homogêneo ____________________ 56 5.2.2 Caso 2 – Reservatório com canal _____________________ 60 5.2.3 Caso 3 – Reservatório com Barreira ___________________ 64 5.2.4 Caso 4 – Reservatório com Barreira e Fratura ___________ 68 5.3 Análise dos Resultados ________________________________ 72. CAPÍTULO VI - SIMULAÇÃO DE UM ANÁLOGO DE RESERVATÓRIOS 6.1. Introdução_________________________________________ 74. 6.2. Afloramentos de Alagoas: Barreiras do Boqueirão __________ 74. 6.3. Modelagem de Fluxo no Análogo: _______________________ 78. 6.3.1 Caso Base _______________________________________ 78 6.3.2 Caso Utilizando Óleo Pesado _________________________ 81. x.

(12) CAPÍTULO VII - CONCLUSÕES 7.1 Introdução __________________________________________ 85 7.2 Conclusões das Simulações Realizadas ____________________ 85 7.3 Sugestões para Futuras Pesquisas________________________ 86. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ___________________________ 88. xi.

(13) Lista de Tabelas. CAPÍTULO IV Tabela 4.1 – Resultados do CODE_BRIGHT (80 elementos) e do IMEX (80 blocos). _________________________________________________ 51. CAPÍTULO V Tabela 5.1 – Resumo dos Resultados dos Casos Teóricos _____________ 73. CAPÍTULO VI Tabela 6.1 – Descrição das fáceis relacionadas aos materiais considerados nas análises _____________________________________________ 76 Tabela 6.2 – Propriedades dos materiais __________________________ 76 Tabela 6.3 – Propriedades dos fluidos ____________________________ 76 Tabela 6.4 – Condições Iniciais e de Contorno do Caso Base___________ 77 Tabela 6.5 – Condições Iniciais e de Contorno do Caso com Óleo Pesado _ 77. xii.

(14) Lista de Figuras. CAPÍTULO II Figura 2.1 – Curva de Retenção característica para um sistema óleo/água (Ertekin, 2001) ___________________________________________ 11 Figura 2.2 – Permeabilidade Relativa para um sistema óleo/água (Eterkin, 2001) __________________________________________________ 13. CAPÍTULO III Figura 3.1 – Representação de uma célula em uma malha de Elementos Finitos __________________________________________________ 31. CAPÍTULO IV Figura 4.1 – (a) Curva de retenção; (b) Distribuição da saturação de água em função da distância (Dake, 1978). _________________________ 39 Figura 4.2 – Curva típica do fluxo fracional em função da saturação de água _______________________________________________________ 40 Figura 4.3 – Fluxo através de um volume linear A ⋅ φ ⋅ dx _____________ 41 Figura 4.4 – Avanço da Frente de Saturação (aplicação direta da equação 4.17) ___________________________________________________ 43 Figura 4.5 – Distribuição de saturações demonstrando a existência do choque _________________________________________________ 44 Figura 4.6 – Determinação gráfica da Saturação na Frente de Choque ___ 44 Figura 4.7 – Malha 80 elementos (CODE_BRIGHT) __________________ 49 Figura 4.8 – Avanço da Frente de Saturação (CODE_BRIGHT) _________ 50 Figura 4.9 – Avanço da Frente de Saturação 2.000 dias (Pós-processamento GID) ___________________________________________________ 50 Figura 4.10 – Avanço da Frente de Saturação 2.000 dias _____________ 51. CAPÍTULO V Figura 5.1 – Geometria dos casos bidimensionais ___________________ 54 Figura 5.2 – Malha Reservatório Homogêneo _______________________ 56 xiii.

(15) Figura 5.3 – Saturação de água em 10000 dias _____________________ 57 Figura 5.4 – Pressão de água em 10000 dias _______________________ 57 Figura 5.5 – Volume acumulado no poço produtor ___________________ 58 Figura 5.6 – Vazão de fluidos no poço produtor _____________________ 59 Figura 5.7 – Pressão de água nos poços de injeção e produção_________ 59 Figura 5.8 – Malha Reservatório com Canal ________________________ 60 Figura 5.9 – Saturação de água em 10000 dias _____________________ 61 Figura 5.10 – Pressão de água em 10000 dias ______________________ 61 Figura 5.11 – Volume acumulado no poço produtor __________________ 62 Figura 5.12 – Vazão de fluidos no poço produtor ____________________ 62 Figura 5.13 – Pressão de água nos poços de injeção e produção________ 63 Figura 5.14 – Reservatório com Barreira __________________________ 64 Figura 5.15 – Saturação de água em 10000 dias ____________________ 65 Figura 5.16 – Pressão de água em 10000 dias ______________________ 65 Figura 5.17 – Volume acumulado no poço produtor __________________ 66 Figura 5.18 – Vazão de fluidos no poço produtor ____________________ 67 Figura 5.19 – Pressão de água nos poços de injeção e produção________ 67 Figura 5.20 – Malha Reservatório com Fratura e Barreira _____________ 68 Figura 5.21 – Saturação de água em 10000 dias ____________________ 69 Figura 5.22 – Pressão de água em 10000 dias ______________________ 69 Figura 5.23 – Volume acumulado no poço produtor __________________ 70 Figura 5.24 – Vazão de fluidos no poço produtor ____________________ 70 Figura 5.25 – Pressão de água nos poços de injeção e produção________ 71 Figura 5.26 – Comparação dos Fatores de Recuperação dos Casos Teóricos _______________________________________________________ 72. CAPÍTULO VI Figura 6.1 – Afloramento de Barreiras de Boqueirão: (a) Foto-montagem; (b) Geometria do modelo numérico para fluxo multifásico no Análogo 75 Figura 6.2 – Curva de Retenção _________________________________ 77 Figura 6.3 – Curva de Permeabilidade Relativa _____________________ 77 Figura 6.4 – Inclinação do tensor de permeabilidade intrínseca ________ 78 Figura 6.5 – Malha de Elementos Finitos __________________________ 79 Figura 6.6 – Evolução da saturação de água no Caso Base ____________ 79. xiv.

(16) Figura 6.7 – Volume acumulado no poço produtor ___________________ 80 Figura 6.8 – Vazões no poço produtor ____________________________ 81 Figura 6.9 – Pressão de água nos poços___________________________ 81 Figura 6.10 – Evolução da saturação de água no caso utilizando óleo pesado _______________________________________________________ 82 Figura 6.11 – Volume acumulado no poço produtor __________________ 83 Figura 6.12 – Vazões no poço produtor ___________________________ 83 Figura 6.13 – Pressão de água nos poços__________________________ 84 Figura 6.14 – Comparativo dos Fatores de Recuperação ______________ 84. xv.

(17) Lista de Símbolos Romanos A. – área da seção transversal ao fluxo. A1. - parâmetro de ajuste. Bo. – fator volume de formação do óleo. Bw. – fator volume de formação da água. cr. – compressibilidade da rocha. fα. - termo fonte/sumidouro na fase α. fw. - fluxo fracionário. g. - aceleração da gravidade. h. - carga hidráulica. i. - como subscrito indica número do bloco ou elemento - gradiente hidráulico. I. - erro global na formulação em elementos finitos. j. - fluxo nodal na malha de elementos finitos. k. - permeabilidade intrínseca. k. - permeabilidade intrínseca média. krl. - permeabilidade relativa da fase líquida. kro. - permeabilidade relativa do óleo. krw. - permeabilidade relativa da água. K. - condutividade hidráulica. K(So) - condutividade hidráulica em função da saturação de óleo K(Sw) - condutividade hidráulica em função da saturação de água Kosat - condutividade hidráulica saturada do óleo Kwsat - condutividade hidráulica saturada da água N. - função de interpolação. P. - pressão. Pˆ. - função aproximada da pressão. P0. - pressão inicial. Pb. - pressão de fundo de poço. Pc. - pressão capilar. Po. - pressão de óleo xvi.

(18) Pw. - pressão de água. q. - velocidade de Darcy. Q. - vazão. re. - raio de influência do poço. rw. - raio do poço. R. - resíduo. Sα. - saturação da fase α. Se. - saturação efetiva. Sl. - saturação da fase líquida. Srl. - saturação residual da fase líquida. Sls. - saturação máxima da fase líquida. So. - saturação de óleo. Sro. - saturação residual de óleo. Srw. - saturação residual de água. Sw. - saturação de água. t. - tempo. T. - temperatura. Tx. - transmissibilidade. V. - volume. Wi. - função de resíduos ponderados. Wi. - função de resíduos ponderados. Wi. - total de água injetada. x,y. - coordenadas cartesianas. z. - altura piezométrica. Gregos α. - coeficiente de expansão térmica volumétrica. β. - compressibilidade. φ. - porosidade. γ. - peso específico. λ. - como expoente indica parâmetro de ajuste. λo. - mobilidade do óleo. λw. - mobilidade da água xvii.

(19) µ. - viscosidade. ρ. - densidade. ω. - fração mássica. xviii.

(20) CAPÍTULO I Introdução. 1.1 Considerações Gerais. A análise dos fenômenos relacionados com escoamentos de fluidos em meios porosos é de extrema importância no entendimento de inúmeros processos que ocorrem na crosta terrestre. Transporte em meios porosos, envolvendo transportes de massa ou de fluxos, é comum a várias áreas da engenharia e ciências aplicadas, tais como engenharia de petróleo, meio ambiente (dispersão de poluentes, contaminação), hidrogeologia (águas subterrâneas), geotecnia (COSTA, L., 2000; GUIMARÃES, 2002; MACHADO, 2000), etc. Nestas. áreas,. em. muitas. situações. reais,. freqüentemente. é. necessário tomar decisões que afetam a operação ou a evolução de sistemas constituídos por meios porosos rígidos ou deformáveis em cujos espaços vazios fluem uma ou mais fases (escoamento multifásico) com uma ou mais componentes (multicomponente) em cada fase. No estudo de reservatórios de petróleo nos deparamos com uma grande complexidade de fatores para caracterizar sua geometria e as características físicas dos materiais envolvidos, nas fases sólida e líquida. Neste sentido, a simulação de reservatórios combina física, matemática, engenharia. de. reservatórios. e. programação. computacional. para. o. desenvolvimento de uma ferramenta capaz de prever o desempenho de um reservatório de petróleo nas mais diversas condições operacionais. A necessidade da simulação de reservatórios provém da exigência dos engenheiros de petróleo em obter previsões, mais próximas da realidade, do desempenho de um reservatório submetido a diferentes condições operacionais. Essa necessidade surge devido ao fato de que em um. projeto. de. recuperação. de. petróleo, 2. que. envolve. geralmente.

(21) investimentos muito altos, o risco associado ao plano de exploração escolhido deve ser previsto e minimizado. Os fatores associados a esse risco incluem a complexidade do reservatório devido à heterogeneidade e anisotropia das propriedades da rocha reservatório, às variações regionais das propriedades dos fluidos e à complexidade do mecanismo de recuperação de petróleo. A resposta de sistemas constituídos por meios porosos, como os reservatórios de petróleo, é expressa pela distribuição espacial e temporal das variáveis que descrevem o seu comportamento, tais como pressão, velocidade,. tensão,. deformação,. densidade,. saturações. de. fases. e. concentrações de componentes. Diferentes. modelos,. com. diferentes. graus. de. refinamento. ou. sofisticação podem ser construídos para representar um meio poroso dependendo do objetivo da modelagem. Assim como nas demais áreas da mecânica do contínuo, dada a complexidade dos sistemas, os modelos para fenômenos de transporte em meios porosos são formulados, descritos e analisados em níveis macroscópicos. Desta modelagem resultam modelos matemáticos representados por sistemas de equações diferenciais parciais. Dentro dos limites das hipóteses simplificadoras adotadas a solução destes modelos matemáticos nos fornece previsões para a resposta do sistema real. Entretanto na quase totalidade das aplicações práticas as soluções só podem ser obtidas numericamente. Os modelos numéricos que consideram fluxo em meios porosos na zona não saturada utilizam normalmente a técnica de diferenças finitas ou elementos finitos. Os modelos que utilizam a técnica de elementos finitos permitem uma maior flexibilidade para a análise de problemas com contorno irregular e de geometria multidimensional e também permitem a inclusão de propriedades não homogêneas com maior facilidade.. 1.2 Objetivos e Organização da Tese O objetivo deste trabalho é analisar a aplicabilidade do código CODE_BRIGHT (OLIVELLA et al 1996a) em problemas de simulação de. 3.

(22) reservatórios. de. petróleo. através. de. modelos. unidimensionais. e. bidimensionais admitindo um problema de recuperação secundária por injeção de água. Este trabalho é dividido em 7 capítulos. O segundo capítulo tem como objetivo a descrição dos problemas de fluxo em meios porosos multifásicos, onde são apresentadas as equações básicas que regem o fenômeno através da lei de conservação de massa complementada por equações constitutivas. O terceiro capítulo descreve a simulação numérica do problema de fluxo em meios porosos não saturados aplicado à engenharia de petróleo. São apresentadas as formulações em Diferenças Finitas e Elementos Finitos que correspondem respectivamente às utilizadas pelo IMEX, software comercial. da. CMG. e. o. CODE_BRIGHT,. código. desenvolvido. pela. Universidade Politécnica da Catalunha (UPC). No quarto capítulo, a teoria de BUCKLEY & LEVERETT (1942) é descrita e a solução analítica do problema unidimensional de fluxo bifásico de óleo e água é utilizada para validar o CODE_BRIGHT. Como comparação dos métodos numéricos o mesmo problema é simulado também pelo IMEX. O quinto capítulo apresenta uma série de casos teóricos usados para avaliar o desempenho do código em elementos finitos frente a problemas de heterogeneidade do reservatório. Como aplicação prática para a avaliação do desempenho do código, o sexto capítulo descreve a simulação do afloramento de Barreiras do Boqueirão, da Formação Maceió (LIMA FILHO, 2002), considerado um análogo de reservatório. No sétimo capítulo são comentadas as conclusões obtidas nas simulações e são sugeridas novas linhas de pesquisa para trabalhos futuros.. 4.

(23) CAPÍTULO II Fluxo em Meio Poroso Multifásico. 2.1 Introdução O reservatório de óleo ou gás é uma formação geológica porosa que contém nos poros além da água, pelo menos uma fase de hidrocarboneto no estado líquido ou gasoso (óleo ou gás). Por isso, a simulação de reservatórios, para a engenharia de petróleo, constitui invariavelmente um problema de fluxo multifásico. A descrição macroscópica desse sistema faz uso das propriedades dos sólidos e dos fluidos definidos no meio poroso contínuo (BEAR, 1972) e baseia-se nas leis de conservação de massa aplicadas a cada fase fluida presente. Essas leis de conservação são complementadas por relações constitutivas dos materiais; no caso da zona não saturada, são as relações pressão capilar/saturação e permeabilidade relativa/saturação. A. combinação. das. equações. de. conservação. e. as. relações. constitutivas apropriadas resultam nas equações governantes para o sistema multifásico da zona não saturada. Neste capítulo, serão descritas as equações que regem o fluxo em meios porosos multifásicos.. 2.2 Equações Governantes O movimento dos fluidos em meios porosos é governado pelas leis de conservação de massa e momento das fases (e seus componentes) no sistema. As equações governantes modelam o processo básico que ocorre no sistema físico. Devido ao fato de normalmente não termos um conhecimento total do comportamento do sistema, a maior dificuldade no processo de modelagem é a escolha das equações governantes que descrevam corretamente o complexo processo físico. Quanto mais complexo 5.

(24) o. processo. físico. mais. complicado. será. o. modelo. matemático. e. conseqüentemente mais difícil a solução e análise do problema.. 2.3 Equação da Continuidade Considerando um volume elementar representativo (VER) do meio poroso V, então a conservação de massa diz que a quantidade de massa acumulada em V é igual ao fluxo de massa que atravessa V mais a quantidade de massa injetada em V através de fontes ou sumidouros (poços). Antes de apresentar a equação da continuidade serão definidos dois conceitos básicos: a porosidade e a saturação. Porosidade. ou. porosidade. volumétrica,. uma. propriedade. macroscópica do meio poroso (BEAR, 1972), pode ser expressa como a razão entre o volume de vazios e o volume total. Entretanto, para o estudo de fluxo em meio poroso, somente os poros interconectados devem ser considerados na definição da porosidade, uma vez que os poros isolados não constituem caminhos para o fluxo. Com isso, o conceito de porosidade efetiva pode ser definido como sendo:. φ =. Volume de poros interconectados Volume total. Neste trabalho somente a porosidade efetiva é considerada. A saturação de uma fase pode ser definida como sendo a fração do espaço disponível para o fluxo ocupada pela mesma. A conservação de massa pode então ser descrita pela equação 2.1, onde ρα é a densidade da fase por unidade de volume, ∂V é a fronteira de V com vetor normal exterior n, qα é o fluxo de Darcy da fase e fα é a vazão mássica por unidade de volume injetada ou produzida da fase em V. ∂ ∂t. ∫ Sα ⋅ φ ⋅ ρα (x, t )dx = − ∫ ρα (x, t )qα ⋅ nds + ∫ f. V. ∂V. α. dx ,. V. onde α = w, o, representando água e óleo, respectivamente. Sα = saturação da fase α. 6. (Eq. 2.1).

(25) Aplicando o teorema da divergência:. ∫ ρα ⋅ qα ⋅ nds = ∫ ∇ ⋅ (ρα ⋅ qα )dx. ∂V. (Eq. 2.2). V. Como o VER é fixo no espaço e no tempo (volume de controle): ∂ ∂t. ∫ Sα ⋅ φ ⋅ ρα (x, t )dx = ∫. V. ∂(Sα ⋅ φ ⋅ ρα ) dx ∂t. (Eq. 2.3). Substituindo as equações 2.2 e 2.3 na equação 2.1, obtemos. ∫. V. ∂ (Sα ⋅ φ ⋅ ρα ) dx = ∂t. Admitindo. α ∫ [− ∇(ρα ⋅ qα ) + f ]dx. (Eq. 2.4). V. que. (Eq.. 2.4). é. válida. para. qualquer. volume. V,. caracterizamos a seguinte equação diferencial parcial ∂ (Sα ⋅ φ ⋅ ρα ) = −∇ ⋅ (ρα ⋅ qα ) + f α ∂t. (Eq. 2.5). 2.4 Equação de Fluxo Finalmente, a conservação de massa de cada fase fluida pode ser representada por (BEAR, 1979): ∂ (φ ⋅ ρα ⋅ Sα ) + ∇ ⋅ (ρα ⋅ qα ) = f α , ∂t. (Eq. 2.6). onde: α - indica a fase φ - porosidade [L3/L3] ρα - densidade da fase α [M][L]-3. 7.

(26) Sα - Saturação da fase α qα - Fluxo de Darcy da fase α [L][T]-1 fα - Termo fonte / sumidouro na fase α [M][L]-3[T]-1 O primeiro termo da equação descreve a variação de massa com o tempo em um volume de controle e o segundo o divergente do fluxo de massa. nesse. volume.. Essa. equação. é. resultante. da. equação. da. continuidade podendo ser escrita de diversas formas a depender das variáveis e das relações constitutivas. O tratamento do problema de fluxo em um meio poroso saturado é relativamente simples e pode ser resolvido aplicando diretamente a Eq. 2.6, considerando apenas uma fase fluida ocupando todo meio poroso.. 2.5 Relações Constitutivas As equações anteriormente descritas não são suficientes para modelar fluxos. multifásicos,. sendo. inicialmente. necessário. fazer. algumas. considerações como: as fases fluem simultaneamente, os fluidos são imiscíveis e não há transferência de massa entre as fases. Neste contexto, será admitido um sistema bifásico composto pelos fluidos óleo (sub índice o) e água (sub índice w). Na engenharia de reservatórios a água pode já estar presente no meio poroso, sendo chamada de água conata ou irredutível, ou ser injetada para deslocar o óleo e manter as pressões atuantes no reservatório de petróleo. Essa técnica, utilizando a injeção de água, é denomina recuperação secundária e será o tema dos casos descritos nos capítulos seguintes. A equação 2.6 descreve as condições de fluxo no sistema, sendo necessário para a resolução do caso não saturado determinar as relações constitutivas que relacionam as incógnitas do problema. As relações constitutivas podem ser escritas de diversas formas resultando em diferentes variáveis independentes no sistema. As opções mais comuns para essas variáveis independentes são as pressões e as saturações das fases (BINNING, 1994). 8.

(27) 2.5.1 Lei de Darcy Possivelmente a lei ou correlação mais utilizada que pode ser incorporada em modelos analíticos de fluxo em meio poroso é a Lei de Darcy, desenvolvida em 1856 pelo engenheiro francês Henry D’Arcy. Apesar dos experimentos de D’Arcy trabalharem somente com fluxo laminar de água através de vários meios, eles estabeleceram as relações básicas entre a vazão e o gradiente de pressão. A Lei de Darcy estabelece que a vazão volumétrica Q de um fluido homogêneo através de um meio poroso é proporcional à pressão ou ao gradiente hidráulico e a área da seção transversal A na direção normal ao fluxo e inversamente proporcional à viscosidade µ do fluido. A lei apresenta o coeficiente de proporcionalidade K, que é chamado de condutividade hidráulica do meio poroso. Em um meio isotrópico pode ser definido como a descarga específica por unidade de gradiente hidráulico (BEAR, 1972). Expressa a facilidade com que um fluido é transportado em um meio isotrópico. É, portanto, um coeficiente que depende tanto das propriedades da matriz sólida quanto das propriedades dos fluidos. As propriedades relevantes para os fluidos são a densidade ρ e a viscosidade µ, e para a matriz sólida são a granulometria, formato dos grãos, tortuosidade, superfície específica e porosidade. Desta forma, a condutividade hidráulica K pode ser definida como:. K =. k⋅ρ ⋅g. (Eq. 2.7). µ. Na equação 2.7, ρ é a densidade do fluido, g é a magnitude da aceleração devida à gravidade e k é a permeabilidade intrínseca do meio, cuja unidade é dada em darcy (1D = 10-12 m2). Podemos escrever o fluxo superficial do fluido q por. q =. Q k = − (∇p − ρ ⋅ g ) , µ A. (Eq. 2.8). onde, p é a pressão do fluido. 9.

(28) 2.5.2 Curva de Retenção O primeiro termo da equação da continuidade (Eq. 2.6) diz respeito à parcela de armazenamento de massa da fase. Para um meio poroso não saturado é necessário definir a saturação de cada fase. Admitindo um fluxo bifásico de óleo e água e considerando ainda que ambas as fases estão fluindo, temos: Sw + So = 1. Quando. (Eq. 2.9). dois. fluidos. imiscíveis. estão. em. contato,. uma. descontinuidade na pressão surge na interface que separa os dois fluidos. Isto é uma conseqüência da tensão superficial que existe entre as duas fases em contato. A magnitude da diferença de pressão depende da curvatura da interface naquele ponto, que por sua vez depende da saturação (BEAR, 1987). Em um sistema bifásico, a pressão capilar é por definição a equação de Laplace (DAKE, 1978), dada pela pressão de óleo menos a pressão de água, ou seja: pc (Sw ) = po − pw. (Eq. 2.10). A pressão capilar é função da saturação e do histórico da saturação (drenagem ou umedecimento) para uma dada rocha reservatório e para os fluidos a uma temperatura e composições constantes (ETERKIN, 2001). Considerando que a pressão capilar é uma função não linear dependente da saturação, essa relação pode ser descrita pela Curva de Retenção (Figura 2.1).. A curva de retenção descreve a capacidade do meio poroso em reter líquido para uma dada pressão capilar. Geralmente é modelada por uma relação empírica como a de VAN GENUCHTEN (1980), adotada neste trabalho como:. 10.

(29) Se =. Sl − Srl Sls − Srl.   p − pw  = 1 +  o  P0 . 1  1− λ.   .    . −λ. (Eq. 2.11). Onde λ e P0 são parâmetros do modelo para uma dada série de pressões capilares.. Figura 2.1 - Curva de Retenção característica para um sistema óleo/água (ERTEKIN, 2001) A saturação da água que não pode ser mais deslocada por um dado gradiente de pressão durante a drenagem é representada por Srw, denominada saturação de água irredutível ou água conata. A saturação de óleo que não pode ser mais deslocada por um dado gradiente de pressão durante o umedecimento é representada por Sro (Figura 2.1). Nestas condições, a pressão capilar é usada para determinar a distribuição vertical inicial da saturação do reservatório. Qualitativamente, a curva de retenção indica o grau de saturação da rocha, a natureza da distribuição dos poros e saturação de água conata (ETERKIN, 2001).. 11.

(30) 2.5.3 Permeabilidade Relativa No fluxo multifásico, os fluidos presentes interferem no escoamento uns dos outros fazendo com que a permeabilidade efetiva seja menor ou igual à permeabilidade intrínseca k do meio poroso para uma única fase. Podemos então definir permeabilidade relativa como: Água krw =. K (Sw ) ≤1 Kwsat. (Eq. 2.12). K (So ) ≤1 Kosat. (Eq. 2.13). Óleo kro =. Onde K(Sw) e K(So) são as permeabilidades em função da saturação das fases e Kwsat e Kosat, definidas pela equação 2.7, as condutividades hidráulicas saturadas das fases. Sabe-se que a variação da permeabilidade relativa é não linear e é função do grau de saturação, como está representado na Figura 2.2. A obtenção das curvas de permeabilidade nem sempre é possível através de ensaios de laboratório para cada situação específica, o que resulta na utilização de relações empíricas obtidas em campo ou laboratório. Neste trabalho adotamos: k rl = A1 ⋅ Seλ. (Eq. 2.14). Onde A1 e λ são parâmetros de ajuste da curva para uma dada série de saturações e o sub índice indica a fase líquida (óleo ou água). Usando a equação 2.8 e as relações constitutivas, a Lei de Darcy para a água e para o óleo podem ser representadas respectivamente por:. qw = −. k ⋅ k rw. µw. (∇pw. − ρw g ). (Eq. 2.15). 12.

(31) qo = −. k ⋅ k ro. µo. (∇po. − ρo g). (Eq. 2.16). Figura 2.2 - Permeabilidade Relativa para um sistema óleo/água (ETERKIN, 2001) Admitindo que os fluidos são imiscíveis e que não há transferência de massa entre as fases, as equações governantes devem descrever a conservação de massa das mesmas. Usando as mesmas considerações de (Eq. 2.6) e incorporando as definições dadas pelas equações 2.16 e 2.17, temos as equações de fluxo. Água. ρ kk ∂ (φ ⋅ ρw Sw ) = ∇ ⋅ w rw (∇pw − ρw g ) + fw ∂t µw. (Eq. 2.17). Óleo. ρ kk ∂ (φ ⋅ ρoSo ) = ∇ ⋅ o ro (∇po − ρo g ) + fo ∂t µo. (Eq. 2.18). 13.

(32) CAPÍTULO III Simulação Numérica de Reservatórios de Petróleo. 3.1 Introdução O objetivo da simulação numérica de reservatórios é prever o desempenho de um reservatório e definir meios para otimizar, de forma economicamente viável, sua recuperação final. Sua grande vantagem é permitir. a. incorporação,. na. análise,. de. parâmetros. relativos. às. heterogeneidades geológicas do reservatório e ao fluxo dos fluidos. Através dela é possível considerar parâmetros de produção e operação do campo tais como: datas de abertura e fechamento dos poços, restrições de produção, vazões limites e recompletações, tornando as previsões de produção mais realistas (COSTA, A. 2002). Uma caracterização ótima do reservatório nem sempre é a melhor alternativa sob o ponto de vista econômico. O custo para a aquisição de dados tem que ser compatível com o valor do reservatório e com os benefícios que esses dados irão trazer para aumentar a confiabilidade da previsão de produção. É necessário portanto, uma forte integração entre as equipes de geologia e de reservatórios para avaliar a necessidade de revisão do modelo, da aquisição de novos dados e de novas previsões de produção. A escolha do modelo para representação do reservatório é função principalmente: •. Tamanho da estrutura. •. Tipo de mecanismo atuante. •. Fluidos presentes. •. Heterogeneidades 15.

(33) •. Inclinação da formação. •. Quantidade de dados disponíveis. •. Urgência do estudo e recursos disponíveis. •. Métodos de recuperação que serão utilizados Existem quatro etapas cruciais no processo de modelagem para. simulação de reservatórios (EWING, 1983). Inicialmente, o modelo físico do processo de fluxo é desenvolvido incorporando o máximo da física necessária para descrever o fenômeno. Feito isso, uma formulação matemática do modelo físico é adotado, geralmente envolvendo sistemas acoplados de equações diferenciais parciais não lineares. Definida a formulação matemática do modelo, utiliza-se uma técnica para resolver as equações em derivadas parciais, discretizando-as segundo o método numérico adotado (elementos finitos ou diferenças finitas). A técnica numérica deve ser adotada considerando as propriedades de acurácia e estabilidade para produzir soluções que representem a física do fenômeno. Finalmente, é necessário um código computacional capaz de resolver de forma eficiente o sistema de equações resultante. O processo global da modelagem envolve aspectos de cada uma dessas etapas. Uma vez desenvolvido o código e este apresente resultados quantitativos coerentes com o modelo, é necessário que estes resultados sejam testados com resultados analíticos e/ou com dados reais do processo físico. Atualmente existem simuladores numéricos bastante eficientes a disposição dos engenheiros que permitem a análise de inúmeras opções operacionais e consideram modelos de reservatórios de complexidade crescente, possibilitando dessa forma, a obtenção de diversas informações como: •. •. Previsão de produção o. Estudo de sensibilidade;. o. Avaliação de campos. o. Determinação do fator de recuperação. o. Análise de métodos de simulação. Ajuste de histórico 16.

(34) •. Auxílio na caracterização de reservatórios o. Identificação de barreiras. o. Identificação de propriedades próximas aos poços. •. Entender os mecanismos de fluxo. •. Desenvolvimento de modelos e correlações Neste capítulo serão apresentadas as formulações numéricas dos dois. códigos utilizados neste trabalho. O método das Diferenças Finitas utilizado pelo IMEX da CMG (Computing Modeling Group) e o método dos Elementos Finitos. adotado. pelo. CODE_BRIGHT. desenvolvido. pela. Universidade. Politécnica da Catalunha (UPC).. 3.2. Descrição. dos. problemas. na. simulação. de. recuperação de óleo A fim de entender a complexidade no desenvolvimento de um modelo físico para a simulação de reservatórios, uma breve descrição dos vários fenômenos físicos envolvidos no fluxo em meios porosos será comentada. É. comum,. para. iniciantes,. imaginar. na. recuperação. de. hidrocarbonetos, que o óleo ou o gás encontra-se em enormes piscinas dentro de cavernas subterrâneas e precisam ser bombeados de forma similar ao bombeamento de líquidos dentro de tanques de armazenamento. No entanto, em geral, os hidrocarbonetos encontram-se presos dentro de poros microscópicos da rocha, como arenitos, e fluirão através do reservatório quando submetidos a gradientes de pressão. Uma grande porcentagem dos poros é conectada e os fluidos podem passar por esses canais. Entretanto, os canais são pequenos, irregulares e descontínuos. A razão entre o volume desses poros interconectados, que permitem o fluxo, e o volume total de uma amostra de solo é denominada porosidade efetiva da rocha, variando em geral entre 1% e 20%. O tipo da rocha do reservatório pode influenciar a habilidade do hidrocarboneto de fluir entre seus poros. Da mesma forma, as variações na. 17.

(35) geologia do reservatório produzem áreas de fluxo intenso bem como áreas de fluxo reduzido. Quando as pressões encontradas nos reservatórios são muito altas, suficientes para mover os fluidos residentes através do meio poroso até os poços produtores sem necessidade de bombeamento, a este tipo de recuperação dá-se o nome de recuperação primária. Devido ao processo produtivo, há uma redução das pressões atuantes no reservatório, provocando uma redução do fluxo e um decréscimo na produção. A recuperação primária normalmente retira de 20 a 30% dos hidrocarbonetos do reservatório (Ewing, 1983). Subseqüentemente, é possível utilizar técnicas de recuperação secundárias. Entre elas destaca-se a injeção de água, que visa dois objetivos: o primeiro de manter as altas pressões e vazões no reservatório e o segundo de preencher o meio poroso para mover fisicamente o óleo levando-o para os poços de produção. Neste processo a água não se mistura ao óleo devido aos efeitos da tensão superficial, sendo então denominado de deslocamento imiscível. A injeção de água ainda não é um processo completamente efetivo e quantidades significativas de hidrocarbonetos permanecem no reservatório (50% ou mais). Devido às fortes tensões superficiais uma grande quantidade de óleo fica aprisionada em pequenos poros com canais muito estreitos impossibilitando sua retirada com técnicas usuais de injeção de água. Além disso, o processo de deslocar um óleo com alta viscosidade através do meio poroso usando um fluido menos viscoso como a água é um processo bastante instável. Caso a vazão seja suficientemente alta, a interface entre o petróleo residente e a água de injeção torna-se instável e tende a formar caminhos preferenciais de fluxo que crescem em direção aos poços de produção chegando antes do hidrocarboneto. A fim de aumentar de forma economicamente viável a recuperação de hidrocarbonetos, diversos métodos avançados (Enhanced Oil Recovery EOR) envolvendo processos químicos e térmicos complexos vêm sendo desenvolvidos.. Essas. técnicas. são. apenas. algumas. das. chamadas. recuperações terciárias, existindo ainda os métodos por deslocamento miscível e microbiológico. Basicamente, os métodos avançados EOR atuam 18.

(36) no controle da mobilidade dos fluidos através da alteração das viscosidades, tensões superficiais ou saturação dos mesmos.. 3.3 Modelagem do Fluxo em Diferenças Finitas Na indústria do petróleo, onde a simulação como ferramenta de previsão tem se tornado imprescindível, a discretização das equações de fluxo através do Método das Diferenças Finitas é uma das abordagens mais utilizadas. Grande parte dos simuladores comerciais adota esse método de discretização por ser bastante testado para problemas envolvendo o fluxo de fluidos na engenharia de reservatórios. Será apresentada a discretização segundo KLEPPE (2000) que é basicamente a mesma utilizada pelo IMEX.. 3.3.1 Equação de Fluxo Bifásico Na engenharia de simulação de reservatórios, é importante definir o Fator Volume de Formação (Bα) que corresponde à razão entre o volume que a fase líquida ocupa em condições de pressão e temperatura quaisquer no reservatório e o volume que essa mesma fase ocupa nas condições de superfície (COSTA, A. 1998). Tem como função fazer uma estimativa do volume, em reservatório, necessário para uma determinada produção desejada. É usado para corrigir o volume de óleo ou gás nas condições de reservatório para as condições de superfície. Esse fator entra em ambos os termos da equação de fluxo, no de armazenamento de massa da fase líquida e no de fluxo, ou seja: Óleo ∂ ∂x.  k ⋅ kro ∂Po  ∂  φ ⋅ So       µ ⋅ B ∂x  − fo = ∂t  B  ; o  o   o . (Eq. 3.1). 19.

(37) Água. ∂ ∂x.  k ⋅ krw ∂Pw  ∂  φ ⋅ Sw   − fw =  ∂t  Bw  µw ⋅ Bw ∂x .   , . (Eq. 3.2). Pw = Po − Pc. onde. So + Sw = 1. 3.3.2 Discretização da Equação de Fluxo Termo da esquerda. O termo. ∂ ∂x.  k ⋅ kr ∂P  ∂  ∂P    é da forma f ( x)  , que pode ser discretizado,  ∂x  ∂x   µ ⋅ B ∂x . considerando blocos de tamanhos distintos, como:. ∂ ∂x. ∂P   f ( x) ∂x  =  i. 2f (x )i +1 2. (Pi +1 − Pi ). (∆xi +1 + ∆xi ). − 2f ( x)i −1 2. (Pi. −P i −1 ) (∆xi − ∆xi −1 ). ∆xi. + O(∆x ). Substituindo a função f (x) pelo termo apresentado acima, temos:. ∂ ∂x.  k ⋅ kr ∂P    =  µ ⋅ B ∂x  i.  k ⋅ kr 2  µ ⋅B.  (Pi +1 − Pi ) − 2 k ⋅ kr   µ ⋅B  i +1 2 (∆xi +1 + ∆xi )  ∆xi.  (Pi − Pi −1 )   i −1 2 (∆xi + ∆xi −1 ). + O(∆x ). Definindo a Transmissibilidade como. Transmissibilidade à direita. Tx. 1 i+ 2. =. 2. ∆xi (∆xi +1.  k ⋅ kr  + ∆xi )  µ ⋅ B.   i + 1. (Eq. 3.3). 2. 20.

(38) Transmissibilidade à esquerda Tx. 1 i− 2. =. 2. ∆x i (∆x i −1.  k ⋅ kr  + ∆x i )  µ ⋅ B.   i − 1. (Eq. 3.4). 2. Dessa forma a discretização do termo da esquerda fica:. ∂ ∂x.  k ⋅ kr ∂P    ≈ Tx 1 (Pi +1 − Pi ) + Tx 1 (Pi −1 − Pi ) i+ i−  µ ⋅ B ∂x  i 2 2. (Eq. 3.5). A transmissibilidade é composta de três grupos, tomando como modelo a transmissibilidade à direita, temos: Fator geométrico, função da malha 2. ∆xi (∆xi +1 + ∆xi ). = cte. Valor médio, função das propriedades do reservatório k. i+. 1 2. = k = f (x ). Função das pressões e saturações atuantes  kr   kr (S)     = f (P , S) =   µ ⋅ B  i + 1  µ(P ) ⋅ B(P )  2. É necessário determinar a forma dos dois últimos grupos. Começando pela Lei de Darcy. q = −. k ⋅ A ∂P µ ⋅ B ∂x. Para o fluxo entre dois blocos da malha e admitindo que q = cte e k é função da posição, temos: q. dP dx = −A µ ⋅B k 21.

(39) Permeabilidade. Integrando a equação acima entre os centros dos blocos. i +1. q. ∫ i. i +1. dP dx = −A ∫ µ ⋅B k i. i +1. q. ∫ i.  ∆x ∆x i +1  dx  = q i + ki +1  k  ki. Admitindo permeabilidades constantes nos blocos. Definindo uma permeabilidade média, k , temos:.  ∆x ∆xi + ∆xi +1 ∆ x i +1   = q , q i + ki +1  k  ki. Levando a. k =. ∆xi + ∆xi +1. (Eq. 3.6).  ∆xi ∆xi +1    + ki +1   ki. Para os blocos da malha, temos:. k =k. 1 i+ 2. =. ∆xi +1 + ∆xi ∆xi −1 + ∆xi e k =k 1 = i− ∆xi +1 ∆xi ∆xi −1 ∆xi 2 + + ki +1 ki ki −1 ki. Termo de mobilidade do fluido. Definindo λ =. λ. i+. 1 2. =. kr como mobilidade, podemos dizer que µ ⋅B. (∆xi +1λi +1 + ∆x i λi ) (∆xi +1 + ∆xi ) (Eq. 3.7). λ. 1 i− 2. =. (∆xi −1λi −1 + ∆x i λi ) (∆xi −1 + ∆xi ) 22.

(40) Com isso, a forma discreta do termo da esquerda fica:. ∂ ∂x.  k ⋅ kro ∂Po     µ ⋅ B ∂x  ≈ Txoi + 12 (Poi +1 − Poi ) + Txoi − 12 (Poi −1Poi ) ,  o o i. (Eq. 3.8). para o óleo e. ∂ ∂x.  k ⋅ krw ∂Pw    ≈ Txwi + 1 (Pwi +1 − Pwi ) + Txwi − 1 (Pwi −1Pwi ) , 2 2  µw ⋅ Bw ∂x i. (Eq. 3.9). para a água Onde, por exemplo:. Txoi + 1 = 2. 2λoi + 1 2.  ∆x ∆xi ∆xi  i +1  ki +1 ki.   . e. λo =. kro µo ⋅ Bo. Observe que a mobilidade λ é função da pressão, pois a viscosidade. µ e do fator de volume de formação B dependem da pressão, e da permeabilidade relativa k r , que por sua vez depende da saturação.. Termo da mobilidade “upstream”. Devido a dependência da mobilidade na saturação, é necessário um maior cuidado na aproximação da mesma dada sua influência na resolução das equações. Dois tipos de aproximação são propostos: upstream λoi + 1 = λoi 2. média ponderada λoi + 1 = 2. ∆xi ⋅ λoi + ∆xi +1 ⋅ λoi +1 ∆xi + ∆xi +1. 23.

(41) Para blocos de pequenas dimensões a diferença entre os dois métodos é insignificante. No entanto, para blocos de dimensões práticas, usualmente adotadas em simulações, a diferença é significativa. Pela média, a frente de saturação passa o primeiro bloco, mas na realidade ainda não alcançou o segundo, causando um avanço mais rápido da saturação. Segundo KLEPPE (2000) a explicação física para tal fato, especialmente no caso da média ponderada, é que o fluxo que sai de um bloco depende primeiramente da permeabilidade relativa em relação ao óleo. A mobilidade fica então (upstream) λo → Poi +1 ≥ Poi λoi + 1 =  i +1 2  λoi → Poi +1 < Poi. (Eq. 3.10). λw → Pwi +1 ≥ Pwi λwi + 1 =  i +1 2  λwi → Pwi +1 < Pwi. Termos da direita. Para o óleo. ∂ ∂t.  φ ⋅ So  ∂  φ  φ ∂So      B  = B ∂t + So ∂t  B  , o  o   o. (Eq. 3.11). onde. 1 ∂  ∂  φ  1 ∂φ B +φ ⋅     = ∂t ∂t  B  B ∂P. Sabendo que. dφ = φ ⋅ cr , dP. onde cr é a compressibilidade da rocha.. 24.

(42) Então:. 1 1 d  ∂  ∂  φ  1 ∂φ 1 dφ ∂P B B ∂P +φ ⋅   +φ ⋅   =   = B dP ∂t dP ∂t ∂t ∂t  B  B ∂P 1 d  ∂  φ  φ ⋅ cr ∂P B ∂P +φ ⋅     = B ∂t dP ∂t ∂t  B  d (1 B ) ∂P  cr + dP  ∂t B. φ. é. P t + ∆t − Pit  ∂P  .   ≈ i ∆t  ∂t  i Cpi =. φi  cr. + ∆t  B. discretizado Definindo. o. usando termo. a de. diferença. armazenamento. d (1 B )  , então a aproximação fica: dP  i. d (1 B ) ∂P  cr + ≈ Cpi Pit + ∆t − Pit  dP  ∂t B. (. φ. ). No que resulta, no caso do óleo:. ∂ ∂t. ( )(. d 1   φ  φ c   ≈ i  r + Bo  Poi − Poti B  dPo  ∆t  Bo  o i  . ). Substituindo So por Sw :. ∂Sw ∂S =− o ∂t ∂t. Usando a diferença à esquerda para a derivada no tempo:. (.  φ ∂So  φi t    B ∂t  ≈ − B ⋅ ∆t Sw i − Sw i o i  o . ). 25. à. direita como.

(43) Com isso a forma discreta do termo da direita fica:. ∂ ∂t. (. ). (.  φ ⋅ So  t t    B  ≈ Cpooi Poi − Poi + Cswoi Sw i − Sw i  o i. Onde: Cpooi =. φi ⋅ (1 − Sw i )  cr. (Eq. 3.12). ( ). d B1  o   + dPo   Bo . ∆t. Cswoi = −. ). (Eq. 3.13). φi. (Eq. 3.14). Boi ⋅ ∆ti. Para a água, da mesma forma, temos:. ∂ ∂t.  φ ⋅ Sw   Bw.  ∂  φ  φ ∂Sw  =   + Sw ∂t  Bw   Bw ∂t. (Eq. 3.15). Expandindo o segundo termo. ∂ ∂t.  φ   Bw.  ∂  =  ∂Pw.  φ   Bw.  ∂Pw ∂  = ∂Pw  ∂t.  φ   Bw.  ∂Po ∂Pc   −  ∂t   ∂t. Como a pressão capilar é função somente da saturação ∂Pc dPc ∂Sw = ∂t dSw ∂t. Usando os termos para o fluxo de uma fase e diferenças básicas para as derivadas, o termo da direita para a água fica:. ∂ ∂t.  φ ⋅ Sw   Bw. [. ]. [.   ≈ (Cpow )i (Po )i − (Po )ti + (Csww )i (Sw )i − (Sw )ti i. 26. ]. (Eq. 3.16).

(44) Onde. ( ). φi ⋅ Swi  cr. Cpowi =. d B1  w   + dPw   Bw . ∆t.  dPcow −  Bwi ⋅ ∆t i  dSw. φi. Cswwi =. (Eq. 3.17).   Cpowi i. (Eq. 3.18). As formas discretas para o óleo e a água ficam para o óleo e a água respectivamente:. (. Txoi + 1 (Poi +1 − Poi ) + Txoi − 1 (Poi −1 − Poi ) − qoi′ = Cpooi Poi − Poit 2. (. + Cswoi Swi −. Swit. 2. ). ). (Eq. 3.19). Txwi + [(Poi +1 − Poi ) − (Pcowi +1 − Pcowi )] + Txwi − 1 [(Poi −1 − Poi ) − (Pcowi −1 − Pcowi )] 2. (. ). ,. (. − qwi′ = Cpowi Poi − Poit + Cswwi Swi − Swit. (Eq. 3.20). ). onde: Txoi + 1 = 2. 2λoi + 1 2.  ∆x ∆xi ∆xi  i +1 + ki  ki +1. Txwi + 1 = 2.   . 2λwi + 1 2.  ∆x ∆xi   ∆xi  i +1 + ki   ki +1. Txoi − 1 = 2. 2.  ∆x ∆xi ∆xi  i −1 + ki  ki −1. Txowi + 1 = 2. e. λo =. 2λoi − 1. kro. µo⋅Bo. Com mobilidades upstream λo → Poi +1 ≥ Poi λoi + 1 =  i +1 2  λoi → Poi +1 < Poi λo → Poi −1 ≥ Poi λoi − 1 =  i −1 2  λoi → Poi −1 < Poi 27.   . 2λwi + 1 2.  ∆x ∆xi   ∆xi  i +1 + ki   ki +1.

(45) λw → Pwi +1 ≥ Pwi λwi + 1 =  i +1 2  λwi → Pwi +1 < Pwi. λw → Pwi −1 ≥ Pwi λwi − 1 =  i −1 2  λwi → Pwi −1 < Pwi. Com coeficientes:. Cpooi =. Cpowi =. Cswwi =. As. d B1  o   + dPo   Bo i. ∆t. Cswoi = −. φi Boi ∆ti. φi ⋅ Swi  cr ∆t. ( ). d B1  w   + B dP  w w  i.  dPcow −  Bwi ∆ti  dSw. φi. três. ( ) ,  d ( ).  d B1 o  dP  o. ( ). φi ⋅ (1 − Swi )  cr. 1 Bw.   dPw  i i.   Cpowi i. derivadas e.  dPc     dSw  i. que. aparecem. nas. expressões. acima,. são computadas numericamente para cada. intervalo de tempo baseadas nas tabelas PVT e de pressão capilar.. 28.

(46) 3.3.3 Condições de Contorno Serão citadas apenas as condições de contorno utilizadas nos casos estudados nos capítulos subseqüentes.. 3.3.3.1 Vazão de injeção de água constante Para uma vazão de superfície constante de Qwi (negativo) em um bloco i:. qwi =. Qwi A∆xi. No final do intervalo de tempo, depois de resolvidas as equações, a pressão de fundo de poço dever ser calculada através da equação de poço:. Qwi = WCi ⋅ λoi (Pwi − Pbhi ). (Eq. 3.21). O índice de produtividade (ou índice do poço) é definida da mesma forma que para o fluxo de uma fase. WCi =. 2π ⋅ ki ⋅ h r  ln e   rw . Onde rw é o raio do poço. O raio de influência é definido teoricamente (PEACEMAN, 1978) como:. re =. ∆y ⋅ ∆xi. π. Entretanto, o fluido de injeção sofre resistência para deslocar os fluidos presentes no bloco. Por esse motivo, é usualmente ou normalmente aceito que se use o somatório das mobilidades dos fluidos presentes no bloco na equação do poço. 29.

(47)  kroi krwi Qwi ⋅ Bwi = WCi  + µwi  µoi.  (Pwi − Pbhi ) . ou   Boi λoi + λwi (Pwi − Pbhi ) Qwi = WCi    Bwi. Por esta aproximação, a injeção será controlada pela mobilidade do óleo no estágio inicial quando há pouco ou nenhuma água no bloco. Passada esta etapa inicial, a mobilidade da água tomará o controle. Poços de injeção são geralmente limitados por um máximo de pressão de fundo, a fim de evitar o fraturamento da formação. Isto deve ser verificado ao final de cada intervalo de tempo, e se necessário, reduzir a vazão de injeção ou convertê-la em pressão de fundo de poço constante. Freqüentemente, a capilaridade é desprezada na equação do poço, especialmente em simulações na escala do campo, portanto:.  Boi  λoi + λwi (Poi − Pbhi ) Qwi = WCi   Bwi . (Eq.3.22). 3.3.3.2 Produção a pressão de fundo de poço constante. Usando um poço de produção no bloco i com uma pressão de fundo Pbhi , como exemplo, temos: Qoi = WCi ⋅ λoi (Poi −Pbhi ). (Eq. 3.23). Qwi = WCi ⋅ λoi (Pw i −Pbhi ) Substituindo nos termos de fluxo das equações de fluxo. qoi =. WC i ⋅ λoi ⋅ (Poi − Pbhi ) A ⋅ ∆x i. qwi =. WC i ⋅ λwi ⋅ (Pwi − Pbhi ) A ⋅ ∆x i. (Eq. 3.24). 30.

(48) 3.4 Modelagem de Fluxo em Elementos Finitos Será. feita. aqui. uma. descrição. da. formulação. numérica. do. CODE_BRIGHT e para tal, a equação do balanço de massa da água será discretizada. A notação utilizada será a mesma adotada no manual do programa e na tese de doutorado de OLIVELLA, (1995). Os termos de acumulação ou de armazenamento são computados em uma abordagem de massa conservativa. A conservação de massa no tempo é obtida através da discretização em Diferenças Finitas e o método dos Elementos Finitos garante a conservação de massa no espaço. Essa última afirmação é facilmente verificada somando-se as equações nodais, onde os termos de fluxo são cancelados (devido à definição das funções de forma) e a equação resultante representa a acumulação de massa em todo o domínio (OLIVELLA, 1995). A aproximação em Elementos Finitos utilizada é a de Galerkin, onde o método dos resíduos ponderados é aplicado seguido do teorema de Green (ZIENKIEWICZ AND TAYLOR, 1989). Dessa forma, obtém-se a forma discreta das equações, representando cada uma o balanço em uma célula associada a um nó, por exemplo o nó i (Figura 3.1).. Figura 3.1 – Representação de uma célula em uma malha de Elementos Finitos. 31.

(49) A equação de balanço de massa da água pode ser escrita como: ∂ (Sl ⋅ φ ⋅ ρl ) + ∇ • (ρl ⋅ ql ) = f l ∂t. (Eq. 3.25). Onde o sub índice l indica a fase líquida, no caso, a água, q é representado pela Lei de Darcy:.. ql = −. k ⋅ krl. µl. ⋅ ∇ • (Pl + ρ l ⋅ g ). A permeabilidade relativa, krl, é obtida para o elemento, podendo ser calculada pela média de Pl nos nós ou pela média de Sl nos nós, determinadas pela curva de retenção em função dos valores de Pl nos nós. A média de Sl é a melhor forma de determinar krl no elemento, pois sua variação é pequena (de 0 a 1) enquanto que a pressão Pl pode variar de -∞ a +∞. Considerando uma frente de saturação chegando ao elemento a permeabilidade relativa calculada através da média da pressão resulta em valores muito pequenos e irreais quando comparada aos valores obtidos pela média da saturação (OLIVELLA, 1995). Nos casos apresentados nos capítulos seguintes, usando a formulação do CODE_BRIGHT, as equações adotadas para descrever as propriedades dos fluidos foram: Densidade. [. ρ l = ρ l 0 ⋅ exp β ⋅ (Pl − Pl 0 ) + α ⋅ T + γ ⋅ ωlh. ]. (Eq. 3.26). Onde β é a compressibilidade do fluido em MPa-1; α é o coeficiente de expansão térmica volumétrica para a água em oC-1; T é a temperatura em h C; γ é a variação de soluto e ωl é a fração mássica de sal na fase líquida.. o. Viscosidade B  ,  273.15 + T  . µl = A ⋅ exp. (Eq. 3.27). onde A e B são parâmetros de ajuste do modelo. 32.

(50) Na formulação de Resíduos Ponderados temos que:. A(Pl ) = δ ⋅ Pl + p = 0 em Ω (domínio do problema). (Eq. 3.28). B(Pl ) = η ⋅ Pl + v = 0 em Γ (fronteira do problema). (Eq. 3.29). Onde δ e η são operadores diferenciais lineares e p e v são funções conhecidas. Devido à dificuldade em resolver essa equação de forma analítica, é possível aproximá-la como:. Pl = Pˆl =. M. ∑ (Pl )i ⋅ Ni. (Eq. 3.30). i =1. Onde M é no número de nós da malha, (Pl)i são os valores da função incógnita Pl nos nós da malha de elementos finitos e Ni são as funções de interpolação. Como toda aproximação implica em um erro, então podemos definir o resíduo como:. (). RΩ = A Pˆl ≠ 0. (Eq. 3.31). A minimização do erro global é feita resolvendo as seguintes intergrais. Ii = ∫ Wi ⋅ RΩ + ∫ Wi ⋅ RΓ = 0 , i = 1,2..M Ω. (Eq. 3.32). Γ. Sendo Ii o erro global, Wi e Wi funções de resíduos ponderados.. Aplicando o método dos Resíduos Ponderados na equação (Eq. 3.25).. RΩ =. ∂ (Sl ⋅ φ ⋅ ρ l ) + ∇ • (ρ l ⋅ ql ) − f l = 0 ∂t. 33. (Eq. 3.33).