Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 11 Ministrante Profª. Drª. Danielle Durski Figueiredo Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da

Ministrante

Profª. Drª. Danielle Durski Figueiredo

Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da Mackenzie

http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Arquivos/Calculo_zero/trigonometria.pdf

12 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1) Resolva as equações. a) cos2x1. b) 2cosx 30. c) 2_sen2_{x senx}3 _2_0_. d) 2 1 4 2        x sen , x[0,2]. e) 4sent 32sent, t[0,2].

f) cos

 

2x sen

 

3x , [Dica: x  senx

      2 cos  ].

g) senx2senxcosx0.

h) 3



tg2x1



2 3tgx.

i) 2cos2 _11cos _5 

13 2) (UCSAL-BA) Se x[0,] a equação 8sen2x40 tem duas soluções reais e distintas a e b . Sabendo que a > b, é verdade que: a) a3b b) a2b c) 2    b a d) 3    b a e) 6    b a

3) (PUC-RJ) A equação tgxcosx tem, para x no intervalo       2 ,

0  , uma raiz xsobre a qual podemos dizer:

a) 4    b) 2 2   sen c) 2 5 1     sen d) 2 1 cos  e) 3   

4) (UNIRIO) O conjunto solução da equação senxcosx, sendo 0 x2 , é:

a)       4  b)       3  c)       4 5 d)       3 4 , 3   e)       4 5 , 4  

Ministrante

Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha

Material elaborado pela

Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha

14

Funções trigonométricas hiperbólicas diretas

Seno hiperbólico e cosseno hiperbólico

Seja t um número real tal que t = 2Ah, onde Ah é a área do setor hiperbólico POQ no

sistema de coordenadas cartesiano abaixo e Q tem coordenadas (1,0).

Seja P um ponto que descreve o ramo direito de uma hipérbole unitária.

Denomina-se seno hiperbólico de t, denotado por senh t, a ordenada OP1, onde P1 é a

projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas; e

cosseno hiperbólico de t, denotado por cosh t, a abscissa OP2, onde P2 é a projeção ortogonal

de P sobre o eixo das abscissas. Exemplo:

O seno hiperbólico de um número real x é definido por

2 x x e e x senh    ,

onde x é denominado argumento do seno hiperbólico;

e o cosseno hiperbólico de um número real x é definido por

2 cosh x x _e e x    ,

onde x é denominado argumento do cosseno hiperbólico. 1 P P2 P1 O Q _x y

15

De forma análoga às relações trigonométricas circulares, define-se:

tgh x = _{x x} x x e e e e x tgh x x       cosh senh cotgh x = _{x x} x x e e e e x gh senh x x x tgh        cosh cot 1 x x e e x h x x h _     sec 2 cosh 1 sec x x e e x x h _    2 senh 1 sec cos

Dessas definições, resultam as seguintes identidades:

cosh2 _{x – senh}2 _{x = 1}

1 – tgh2 _{x = sech}2_{x (basta dividir ambos os membros de cosh}2 _{x – senh}2 _{x = 1 por cosh}2_x)

1 – cotgh2 _{x = -cossech}2_{x (basta dividir ambos os membros de cosh}2 _{x – senh}2 _{x = 1 por -senh}2_x)

Devido a esse comportamento semelhante às funções trigonométricas circulares é que as funções trigonométricas hiperbólicas f(x)=senh x, g(x)=cosh x, h(x)=tgh x,

j(x)= cotgh x, l(x)=sechx e m(x)=cossech x recebem o adjetivo trigonométricas.

O adjetivo hiperbólica deve-se ao fato do ponto P de coordenadas (cosh t, senh t) estar

sobre a hipérbole unitária x2 _{- y}2 _{= 1, uma vez que cosh}2 _{t – senh}2 _{t = 1.}

i.1) Função seno hiperbólico

É toda função do tipo

R e e x senh x f y R f x x x 2 ) ( :     



 O domínio de 2 ) ( x x _e e x senh x f     é D( f ) =

R

e a imagem é Im( f ) =

R

O gráfico de f(x)senhx pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções

auxiliares g(x)= x e 2 1 e h(x)=  x e 2 1 .

16

Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= x

e 2 1 e h(x) =  x e 2 1

(pode ser tracejado) e, posteriormente, soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).

i.2) Função cosseno hiperbólico É toda função do tipo

R e e x x f y R f x x x 2 cosh ) ( :     



 O domínio de 2 cosh ) ( x x e e x x f     é D( f ) =

R

e a imagem é Im( f ) =



1,



.

O gráfico de f(x)coshx pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções

auxiliares g(x)= x e 2 1 e h(x)= x e 2 1 .

Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= x

e 2 1 e h(x) = x e 2 1

(pode ser tracejado) e, posteriormente, soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).

f(x)=senh x

h(x) = g(x) =

g(x) = _{h(x) =} f(x) = coshx

17

A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.

A curva da função f(x) = cosh ( )

a x

, aR, é denominada catenária (do latim: cadeia,

corrente). Seu emprego também se dá na arquitetura, na confecção de arcos.

i.3) Função tangente hiperbólica

É toda função do tipo

R e e e e x tgh x f y R f x x x x x       



) ( : _ O domínio de _{x x} x x e e e e x tgh x f _      ) ( é D( f ) =

R

e a imagem é Im( f ) =



1 ,1



. O gráfico de f(x) = tgh x é dado por:

i.4) Função cotangente hiperbólica É toda função do tipo

R e e e e x gh x f y R f x x x x x       



cot ) ( : *  O domínio de _{x x} x x e e e e ghx x f _      cot ) ( é D( f ) =

R

* _{e a imagem é} 1 -1

18

Im( f ) =



,-1

 

1,



O gráfico de f(x) = cotgh x é dado por:

i.5) Função secante hiperbólica É toda função do tipo

R e e x h x f y R f x x x     



2 sec ) ( : _ O domínio de _{x x} e e x h x f _   sec 2 ) ( é D( f ) =

R

e a imagem é Im( f ) =

 

0 ,1. O gráfico de f(x) = sech x é dado por:

i.6) Função cossecante hiperbólica É toda função do tipo

1

-1

19 R e e x h x f y R x f x x     



2 sec cos ) ( : *  O domínio de _{x x} e e x h x f _   cossec 2 ) ( é D( f ) =

R

* _{e a imagem é Im( f ) =}

R

_*.

O gráfico de f(x) = cossech x é dado por:

j) Funções trigonométricas hiperbólicas inversas

j.1) Função argumento do seno hiperbólico

Se x senh x f y R x R f ) ( :  





, então a inversa de f , denominada função argumento do

seno hiperbólico e denotada por argsenh x, é dada por

y y g x R y R f g senh arg ) ( : 1    

_



Como a função seno hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, então não é necessário restringir um intervalo para definir sua função inversa.

Como y = senh x = 2 x x e e  

, então sua inversa é dada por

x = arg senh y = ln (y + y21) O gráfico de senh x arg :  



g(x) y R x R g  é dado por: x y y

20

j.2) Função argumento do cosseno hiperbólico

Se









x x f y x f cosh ) ( , 1 , 0 :    

_



, então a inversa de f , denominada função argumento do

cosseno hiperbólico e denotada por argcosh x, é dada por









y g(y) x y f g cosh arg , 0 , 1 : 1      

_



Como a função cosseno hiperbólico não é bijetora em todo o seu domínio, então é necessário restringi-la a um intervalo para definir a função inversa, como feito acima.

Como y = cosh x = 2 x x e e  

, então sua inversa é dada por

x = argcosh y = ln (y + y2 1), y 1_ O gráfico de









x g(x) y x g cosh arg , 0 , 1 :    

_

 é dado por:

j.3) Função argumento da tangente hiperbólica

Se





x tgh x f y x R f ) ( 1 , 1 :    

 , então a inversa de f , denominada função argumento da

tangente hiperbólica e denotada por argtgh x, é dada por





y y g x R y f g tgh ) ( 1 , 1 : 1        x y 1

21

Como a função tangente hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, não é necessário restringi-la a um intervalo para definir sua função inversa.

Como y = tgh x = _{x x} x x e e e e    

, então sua inversa é dada por

x = arg tgh y = 2 1         y y 1 1 ln , 1 y1 O gráfico de





x g(x) y R x g tgh arg 1 , 1 :   

_

 é dado por:

j.4) Função argumento da cotangente hiperbólica

Se



 



x gh x f y x R f cot ) ( , 1 1 , : *         

, então a inversa de f , denominada função argumento

da cotangente hiperbólica e denotada por argcotgh x, é dada por



 



y g(y) x R y f g cotgh arg , 1 1 , : * 1         

_

 Como y = cotgh x = _{x x} x x e e e e    

, então sua inversa é dada por

x = arg cotgh y = 2 1         1 1 ln y y , y 1 O gráfico de



 



y g(y) x R y g cotgh arg , 1 1 , : *          é: -1 1 x 1 -1

22

j.5) Função argumento da secante hiperbólica:

Se

 

x h x f y x R f sec ) ( 1 , 0 :     

, então a inversa de f , denominada função argumento

da secante hiperbólica e denotada por argsech x, é dada por

 

y y g x R y f g sech arg ) ( 1 , 0 : 1     



 Como y = sech x = _{x x} e e   2

, então sua inversa é dada por

x = arg sech y =         _{ } y y2 1 1 ln , 0 y1 O gráfico de

 

x g(x) y R x g sech arg 1 , 0 :   



 é dado por:

j.6) Função argumento da cossecante hiperbólica

23 Se x h x f y R x R f sec cos ) ( : * *    

, então a inversa de f , denominada função argumento

da cossecante hiperbólica e denotada por argcosech x, é dada por

y y g x R y R f g cossech arg ) ( : * * 1       Como y =cossech x = _{x x} e e   2

, então sua inversa é dada por:

x = arg cossech y =         _  y y y 2 1 1 ln , y 0 O gráfico de cossech x arg : * * 



y R x R g  é dado por: x y

24

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

1.1 Introdução (falar sobre Histórico, aplicações)

Compare as figuras 1 e 2 a seguir, destacando semelhanças e diferenças entre elas:

X Y

.

O 1 -1 P (x, y) com x = cosh t y = senh t x y x2 _{ y}2 _{= 1 ⇒ cosh t  senh t = 1} t S M

. .

t = 2S, com S = AMOP área do setor hiperbólico MOP

Hipérbole: x = cos t y = sen t

.

P (x, y) com x y X Y 1 -1 -1 1 x2 _{+ y}2 _{= 1 ⇒ cos t + sen t = 1} O

.

.

M t S

t = 2S, com S = AMOP , pois 2π rad → π r

t rad → S

Daí, vem: π r t = 2 π S ⇒ t = 2S para o caso de r = 1 Circunferência:

25 Figura 1 – Hipérbole de equação cartesiana x2 _{– y}2 _{= 1 Figura 2 – Circunferência de equação cartesiana x}2 _{+ y}2 _{= 1}

26 Conforme Thomas (2002), toda função que seja definida em um intervalo centrado na origem pode ser escrita de uma maneira única como a soma de uma função par e de uma função ímpar. A decomposição é:

Assim, escrevendo dessa maneira, tem-se:

As partes par e ímpar de são denominadas, respectivamente, cosseno

hiperbólico de x e seno hiperbólico de x.

Elas descrevem o movimento de ondas em sólidos elásticos e a forma dos fios suspensos da rede elétrica. (THOMAS, 2002)

1.2 Definições

As funções hiperbólicas são definidas da seguinte maneira:



Seno hiperbólico de x:

:

⟶ ,

= ( ) =

ℎ =

( ) =

( ) ( )

+

( )

(

)

parte par parte ímpar

=

+

2

+

−

2

27  Cosseno hiperbólico de x:

:

⟶ ,

= ( ) =

cosh =

 Tangente hiperbólica de x:

:

⟶ ,

=

( )

=

ℎ =

=

ℎ

cosh

=

−

+



Cotangente hiperbólica de x:

:

∗

⟶ ,

= ( ) =

ℎ =

=

ℎ

senh

=

+

−

−

−



Secante hiperbólica de x:

:

⟶ ,

= ( ) = sech =

=

1

cosh

=

2

+



Cossecante hiperbólica de x:

:

∗

⟶ ,

= ( ) =

ℎ =

=

1

senh

=

2

−

1.3 Identidades hiperbólicas

EXERCÍCIO

1) Verifique as seguintes identidades:

a)

ℎ −

ℎ = 1

28

c)

ℎ ( − ) =

ℎ cosh −

ℎ cosh

d)

ℎ ( + ) =

ℎ cosh +

ℎ

ℎ

e)

ℎ ( − ) =

ℎ cosh −

ℎ

ℎ

f)

ℎ 2

=

2

ℎ

ℎ

g)

ℎ

2 =

ℎ

+

ℎ

2

h)

ℎ =

i)

ℎ =

j)

ℎ = 1 −

ℎ

k)

ℎ = 1 +

ℎ

1.4 Gráficos das funções hiperbólicas

EXERCÍCIO

1) Represente graficamente as funções hiperbólicas

Observação:

O gráfico da função cosseno hiperbólico determina uma curva denominada catenária.

29

Utilize um software matemático, por exemplo: Winplot.

2 Funções hiperbólicas inversas

2.1 Definições

As funções hiperbólicas inversas são definidas da seguinte maneira:



Argumento seno hiperbólico de x (denota-se por senh-1 _{x ou arg senh x)}

:

⟶ ,

= ( ) = arg

ℎ

= ln ( +

+ 1)

 Argumento cosseno hiperbólico de x (denota-se por cosh-1 _{x ou arg cosh}

x)

: [1, +∞[⟶ ,

= ( ) = arg cosh = ln ( +

− 1)

 Argumento tangente hiperbólica de x (denota-se por tgh-1 _{x ou arg tgh}

x)

: ] − 1, 1[ ⟶ ,

=

( )

= arg

ℎ =

1

2

ln

1 +

1 −

30



Argumento cotangente hiperbólica de x (denota-se por cotgh-1 _{x ou arg}

cotgh x)

:

− [−1, 1]

⟶ ,

= ( ) = arg

ℎ =

1

2

ln

+ 1

− 1



Argumento secante hiperbólica de x (denota-se por sech-1 _{x ou arg sech}

x)

: ]0, 1] ⟶ ,

= ( ) = arg sech

= ln

1 + 1 −

)



Argumento cossecante hiperbólica de x (denota-se por cossech-1 _{x ou}

arg cossech x)

:

∗

⟶ ,

= ( ) = arg

ℎ = ln

1

+

1 +

)

| |

2.2 Identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas inversas

EXERCÍCIO

1) Verifique as seguintes identidades:

a)

arg

ℎ = arg cosh

b)

arg

ℎ = arg senh

31

2.3 Gráficos das funções hiperbólicas inversas

EXERCÍCIO

1) Represente graficamente as funções hiperbólicas inversas Use um software matemático, por exemplo, o Winplot.

2) A função denominada secante hiperbólica é definida por

:

⟶ ,

= ( ) =

ℎ =

1

cosh

=

2

+

cujo gráfico está representado pela figura 1, a seguir:

Figura 1 – Gráfico da função secante hiperbólica

a) A função secante hiperbólica é uma função par? Justifique. b) A função secante hiperbólica é uma função bijetora em todo seu

32 c) Restringindo o domínio da função secante hiperbólica ao intervalo [0, + [ , defina a função inversa da secante hiperbólica, denominada argumento

secante hiperbólica de x.

3) A partir do gráfico das funções abaixo, verifique:

a) Se trata-se de uma função par, função ímpar ou nenhuma delas. Justifique.

b) Se trata-se de uma função bijetora em todo seu domínio. Justifique.

c) Obtenha a função inversa (domínio, contradomínio, lei de associação) no maior intervalo onde a função seja bijetora. 2.1) seno hiberbólico

2.2) cosseno hiperbólico

REFERÊNCIAS

ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. V. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.

ISTO É MATEMÁTICA. A catenária. Disponível em: <

https://www.youtube.com/watch?v=yBH5ezzY_-0> Acesso em: 23/04/2015.

MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. 2. ed. V. 1. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983. PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. 11 ed. V. I. Porto: Edições Lopes da Silva, 1986

REFATTI, L.; BELTRAME, A. M. Funções hiperbólicas e cabos pendentes. In: Disc. Scientia. Série: Ciências Naturais e Tecnológicas. v. 5. , n. 1., p. 139-162. Santa Maria, 2004. Disponível em: <sites.unifra.br/Portals/36/tecnologicas/2004/Hiperbolicas.pdf> . Acesso em: 23/04/2015. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. V. 1. São Paulo: Makron Books, 1994.