TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL AULA 2 – Revisão de Função e Derivada

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 12 de Março 2014

TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL

AULA 2 – Revisão de Função e Derivada

2

REVISÃO

A desintegração da

persistência da memória

Salvador Dali

Sócrates

(2)

Em várias situações é interessante saber como estão relacionadas diferentes quantidades. Por exemplo:

(1) O preço de uma ação na bolsa de valores no tempo;

(2) A demanda de energia elétrica (ou de um outro produto qualquer) no tempo;

Nos exemplos anteriores deseja-se conhecer a relação entre o valor de uma variável (preço ação, demanda, etc) com o valor de outra variável (tempo).

Valor de ação Demanda de energia Balança Comercial

4

FUNÇÃO

Definição de Função:

Uma função f é uma lei que associa cada elemento x em um conjunto D exatamente a um elemento f(x) em um conjunto E.

Nos exemplos anteriores, ao se fornecer um valor x, correspondente ao tempo, automaticamente fica determinado o valor f(x) (preço, demanda).

x

(entrada)

f

(saída)

Função f(x): x

2

(3)

5

FUNÇÃO

x

f

a

f(a)

D

f

E

Diagrama de flechas

Domínio

Imagem

Variável independente

Variável

dependente

Em geral, considera-se funções tais que D

e E são conjuntos de números reais.

6

FUNÇÃO

Visualizando uma função

0 f(1)

f(2)

f(x)

(x,f(x))

1

2 x

x

domínio

imagem

y=f(x)

(4)

0 ₁

x

1 Exemplo 1:

(A)Encontrar os valores de f(1) e f(5).

(B)Qual o domínio e a imagem de f?

8

FUNÇÃO

0 ₁

₂

₃

₄

₅

₆

₇

x

1

(5)

9

FUNÇÃO

Exemplo 2: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

(A) f(x) = 2x - 1

(B) g(x) = 1/x

10

FUNÇÃO

Exemplo 2: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

(A) f(x) = 2x - 1

(B) g(x) = 1/x

0 1/2

-1

(A) f(x) = 2x – 1

x

y

_f

y = 2x -1

**y = 2*1/2 – 1 = 0**

**y = 2*0 -1 =-1**

x

1/2

0 y

0 -1

x

1/2

0 y

(6)

Exemplo 2: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

(A) f(x) = 2x - 1

(B) g(x) = 1/x

12

FUNÇÃO

Exemplo 2: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

(A) f(x) = 2x - 1

(B) g(x) = 1/x

x

-1

1 2

-2

y = 1/x

y = 1/(1/10)=10

y = 1/(1/100)=100

x

1/10

1/100

y

10

100 y = 1/10=0.1

y = 1/1=1

10

1

0.1

1 y = 1/100=0.01

(7)

13

FUNÇÃO

Exemplo 2: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

(A) f(x) = 2x - 1

(B) g(x) = 1/x

(A)A expressão f(x) = 2x – 1 está definida para

todos os números reais tal que seu domínio é todo

o conjunto dos números reais, denotado por

ℜ

. O

gráfico mostra também que a imagem é

ℜ

.

(B)A expressão g(x) = 1/x é tal que seu domínio é

ℜ

\{0} (não está definida em x = 0). A imagem de g

é R\{0} como pode ser observado no gráfico. Possui

comportamento assintótico: x

→

0, y

→∞

; x

→∞

, y

→

0.

14

FUNÇÃO

Como determinar se uma curva é uma função:

Uma curva no plano XY é considerado o gráfico de uma função f se para todo x₁ existe um único f(x₁). Em termos gráficos isto significa que uma reta paralela ao eixo y só deve passar por um único ponto pertencente a função f:

0 x

y

(a,b)

b=f(a)

x=a

É função

0 x

y

_(a,c)

x=a

(8)

Função Composta:

É possível combinar duas funções para se obter uma nova função. Neste caso, f é função de u e u, por sua vez, é função de x. Por exemplo:

y = f(u) =

√√√√

u

e g(x) = x

2

_{+ 1}

Assim: y = f(u) = f(g(x)) = f(x

2

_{+ 1) =}

_√√√√

_(x

2

_{+ 1)}

Dadas duas funções f e g, a função composta fog (também chamada de composição de fog) é definida por:

(fog)(x) = f(g(x))

16

FUNÇÃO

Exemplo 3: Sejam f(x) = x

2

_{e g(x) = x – 3 encontrar}

as funções compostas f o g e g o f.

(f o g)(x) = f(g(x))

(9)

17

FUNÇÃO

Exemplo 3: Seja f(x) = x

2

_{e g(x) = x – 3 encontrar}

as funções compostas f o g e g o f.

(f o g)(x) = f(g(x)) = f((x-3)) = (x-3)

2

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x

2

_{) = x}

2

_{- 3}

Observações Importantes:

(1)Como observado no Exemplo 3, em geral f o g ≠≠≠≠ g o f.

(2)Cuidado: f o g significa primeiro aplicar a função g e depois aplicar f.

18

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Modelos e Teoria de Estoque

Para se atender a demanda, muitas vezes, as companhias devem empregar produtos disponíveis no estoque. A Teoria de Estoque tenta determinar regras de gerenciamento de modo que ao mesmo tempo o custo de estoque seja minimizado e atenda a demanda. Para tanto, modelos de estoque devem responde a duas perguntas:

(1)Quando uma ordem de produção deve ser realizada?

(2)Quão grande ela deve ser?

(10)

Modelo Determinístico do Lote Econômico de Produção: (1)Custo de pedido ou Setup: O custo de se realizar

um pedido é independente do tamanho do lote. Exemplo: custo de frete.

ou

R$ 100,00

20

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Modelo Determinístico do Lote Econômico de Produção: (1)Custo de pedido ou Setup: Se um produto é

fabricado internamente, ao invés de ser pedido por uma fonte externa, então, o custo de pedido ou setup (preparação) pode ser incluído no custo de produção, mais especificamente, no custo para se ligar ou desligar uma máquina.

Fresadoras

(11)

21

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Modelo Determinístico do Lote Econômico de Produção: (2)Custo de aquisição de uma unidade: Inclui o custo

do trabalho, custo de material e custos operacionais (impostos, anúncio, reparos aluguel, etc). Se a unidade foi pedida para uma fonte externa, então, o custo de aquisição deve considerado como custo de envio.

+

=

22

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Modelo Determinístico do Lote Econômico de Produção: (3)Custo de estoque: Custo de armazenar uma unidade no estoque por um período de tempo. Se o período de tempo for ano, então, o custo será expresso em reais por unidade por ano. O custo de estoque inclui: armazenagem, seguro, custo do dinheiro e custo de obsolecência. Usualmente, o custo mais importante é o

do dinheiro devido a

(12)

Modelo Determinístico do Lote Econômico de Produção: (4)Custo da falta:Ocorre quando a demanda por um

produto não é satisfeita. Se o consumidor aceita que a entrega seja feita depois da data de entrega, então, a demanda é atendida com atraso (back-ordered) com um custo adicional. Se isto não é possível, diz-se que ocorreu uma perda na venda (lost sales) o que pode fazer com que o cliente mude sua preferência e isto afete a demanda futura. Em geral, o custo da falta é difícil de medir em relação aos anteriores.

24

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Modelo Determinístico do Lote Econômico de Produção: Hipótese dos modelos:

(1)Repetição de pedidos: sempre que o estoque atinge um determinado nível a mesma ordem é realizada.

(2)Demanda Constante: Assume-se que a demanda é conhecida e possui uma taxa constante. Ou seja, uma demanda de 1000 unidades por ano implica que a demanda no t-mês será de 1000*t/12.

(3)Tempo de processamento (lead time): O intervalo de tempo entre a realização do pedido e a sua chegada. Por exemplo, se L = 3 meses, então, o pedido chegará 3 meses após a sua requisição.

(13)

25

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: Hipótese dos modelos:

(1)Demanda Constante: determística e ocorre a uma taxa constante. D é o número de unidades demandadas por ano tal que em um intervalo de t anos será demandado um total de Dt unidades.

(2)Custo do Pedido: qualquer que seja o tamanho do pedido (q unidades), o custo de setup é K.

(3)Tempo de processamento (lead time): É zero tal que um pedido só é pedido se o nível de estoque L for igual a zero (L = 0) para evitar custos de estoque desnecessários (L > 0).

(4)Sem falta: toda a demanda é atendida.

(5)Custo de estoque: custo por unidade no período é h.

26

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: Suponha que TC(q) é a função do custo anual ao se pedir q unidades por tempo quando L = 0. Para se determinar o valor de q que minimiza o custo anual (q*), detalha-se TC(q):

TC(q) = custo anual de realização de pedidos + custo anual de compra +

(14)

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico:

custo anual de estoque

Se cada pedido tem q unidades, então, D/q pedidos deverão ser realizados para atender a demanda anual D. Se o custo por pedido é K, então:

Custo pedido

ano

Custo pedido pedidos

ano

=

*

=

KD

q

28

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Para qualquer pedido o custo de compra de cada unidade é p. Se por ano D unidades são compradas, então:

Custo compra

ano

Custo compra

unidade

unidades

ano

(15)

29

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Para calcular o custo anual de estoque, usa-se a seguinte equação:

Custo estoque

ano

=

hq

2

Custo estoque 1 unidade/ano

30

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: Logo combinando os custos de realização de pedidos, compra e estoque:

TC(q) = KD + +

q pD

hq

(16)

TC(q) = KD + +

q pD

hq

2

32

FUNÇÃO

Exemplo 4: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

(17)

33

FUNÇÃO

Exemplo 4: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

**(A) f(q) = h/2*q**

**(B) g(q) = KD*1/q**

y = 2x -1

**y = h/2*1 = h/2**

**y = h/2*0 = 0**

q

1

0 y

h/2

0 q

1

0 y

h/2

0

34

FUNÇÃO

Exemplo 4: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

**(A) f(q) = h/2*q**

**(B) g(q) = KD*1/q**

0

1 h/2

**(A) f(q) = h/2*q**

q

y

f

y = 2x -1

**y = h/2*1 = h/2**

**y = h/2*0 = 0**

q

1

0 y

h/2

0 q

1

0 y

(18)

TC(q) = KD + +

q pD

hq

2

36

FUNÇÃO

Exemplo 4: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

(19)

37

FUNÇÃO

(B) g(x) = 1/x

x

-1

1 2

-2

**KDy = KD1/q**

y = 1/(1/10)=10

y = 1/(1/100)=100

q

1/10

1/100

y

10

100 y = 1/10=0.1

y = 1/1=1

10

1

0.1

1 y = 1/100=0.01

100

0.01 Exemplo 4: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

**(A) f(q) = h/2*q**

**(B) g(q) = KD*1/q**

38

FUNÇÃO

**(A)A expressão f(q) = h/2*q está definida para**

todos os números reais tal que seu domínio é todo

o conjunto dos números reais, denotado por

ℜ

. O

gráfico mostra também que a imagem é

ℜ

.

Exemplo 4: Esboçe o gráfico e encontre o domínio

e a imagem de cada função.

**(A) f(q) = h/2*q**

**(B) g(q) = KD*1/q**

(20)

Graficamente:

Custo anual

q 0

Custo estoque: (h/2)q

40

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q 0

(21)

41

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q 0

Custo pedido: KD/q

42

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = KD + +

q pD

hq

(22)

Graficamente:

Custo anual

q 0

Custo total anual: TC(q)

Custo pedido: KD/q

44

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q

0 q*

Custo pedido: KD/q Menor

(23)

45

Estudo de Caso: Dynamic Pricing

46 Atividade Interdisciplinar:

Estudo de Caso: Dynamic Pricing

• Formar grupos de 2 ou 3 pessoas com diferentes formações e/ou experiências.

• Escolher o tema:

♦Tema 1: “Construindo uma função de dinâmica de preço” (vide texto “A dança dos preços”);

♦Tema 2: “Quando e onde aplicar Dynamic Pricing” (vide texto “Precificação dinâmica: O que é e o que não é”).

• Em 10 minutos, elaborar resumo acerca das discussões.

(24)

Atividade Interdisciplinar:

Tema 1

Grupo

Conclusões

48

Estudo de Caso: Dynamic Pricing

Tema 2

(25)

49

Estudo de Caso: Dynamic Pricing

50 Taxas de Variação:

Seja y uma função de x tal que y = f(x). Se variar de x₁ para x₂, então, ocorrerá uma variação correspondente em y de f(x₁) para f(x₂). Se ∆∆∆∆x = x₂ – x₁ e ∆∆∆∆y = y₂ – y₁, pode-se dizer que a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x₁, x₂] é:

LIMITES E DERIVADAS

1 2

1

2

)

(

)

(

x

f

x

f

x

y

−

=

∆

(3)

O limite dessa taxa de variação média é chamada de taxa instantânea de variação txi de y em relação a x:

1 2 1 2 0

)

(

)

(

lim

1

2

x

f

x

f

x

y

txi

x x x

−

=

∆

(26)

Taxas de Variação:

Portanto, a taxa de variação média pode ser vista como uma generalização do conceito de velocidade, ou ainda, da inclinação da reta secante a uma curva. O limite da taxa de variação média produz a taxa de variação instantânea que pode ser vista como a inclinação da reta tangente, ou ainda, como a derivada de uma função f(x) em um ponto x₁.

0 y

x

₁

x

₂

f(x

₂

)

f(x

₁

)

∆∆∆∆y=y₂-y₁

∆∆∆∆x=x₂-x₁

52 Para encontrar a reta tangente que passa por P, basta fazer o ponto Q tender a P ao longo da curva C. Para tanto, toca uma curva em apenas 1 ponto, ou seja, faz-se x tender a a. Se m_pq tender a um número m, então, no limite a reta e a inclinação mpq da secante PQ tende a reta e a inclinação m da tangente por P.

LIMITES E DERIVADAS

0 y

x

Q

P

Q

x

a

x

a

f

x

f

m

a x

−

=

→

)

(

)

(

lim

pq P Q

m

→

=

lim

Desde que o limite exista

(27)

53

LIMITES E DERIVADAS

A derivada como função:

A derivada de uma função f(x) para um ponto fixo a é dada por:

h

a

f

h

a

f

a

f

h

)

(

)

(

lim

)

(

'

0

−

+

=

→

Esta definição pode ser generalizada para qualquer ponto a tal que:

h

x

f

h

x

f

x

f

h

)

(

)

(

lim

)

(

'

0

−

+

=

→ (6)

Assim, para qualquer x, para o qual o limite existe, atribui-se a x o valor f’(x) e assim, pode-se dizer que f’ é uma função chamada de derivada de f e dada pela Eq.(6).

54

DERIVADAS

Derivadas de funções polinomiais: 1. Derivada de Função Constante:

Seja f(x) = c, então: f’(x) = 0

(28)

Derivadas de funções polinomiais: 2. Derivada de Função Potência:

Seja f(x) = xn_{, onde} _n _{é um inteiro positivo. Então:}

• Se n = 1: f(x) = x, então:

• Se n = 2: f(x) = x2_{, então:}

• Se n = 3: f(x) = x3_{, então:}

• Logo:

1 )

(

=

dx

x

d

x dx x d 2 ) ( 2 = 2 3 3 ) ( x dx x d ₌ 1

)

(

₋

=

n n

nx

dx

x

d

56

Exemplo 4: Calcular as derivadas (f’(x)) para:

(A)f(x) = x

6

DERIVADAS

(B)f(t) = t

4

5 6

6x

dx

)

d(x

(x)

f'

=

3 4

4t

dt

)

d(t

(t)

(29)

57

DERIVADAS

Exemplo 5: A regra anterior também é válida

para os expoentes negativos ou fracionários:

(A)f(x) = (1/x)

(B)

2 2 -1 -1 --1

x

1 -(-1)x

(-1)x

dx

)

d(x

dx

d(1/x)

=

x

2

1 (1/2)x

(1/2)x

dx

)

d(x

dx

)

x

d(

₌

1/2

₌

1/2-1

₌

-1/2

₌

x

f

(

x

)

=

Assim, a regra da potência é válida também para

qualquer n número real.

58

DERIVADAS

Exemplo 6: Derive:

(A)f(x) = (1/x

2

₎

(30)

Exemplo 6: Derive:

(A)f(x) = (1/x

2

₎

(B)

3 3 -1 -2 --2

x

2 -(-2)x

(-2)x

dx

)

d(x

dx

d(f(x))

₌

3 1/3 -1 -2/3 2/3 3 2

x

3

2 (2/3)x

(2/3)x

dx

)

d(x

dx

)

x

d(

₌

3

_x

2

f(x)

=

60 Resumo de Regras de Derivação:

(cf’) = c(f’)

(f+g)’ = (f’) + (g’)

(f-g)’ = (f’) - (g’)

(fg)’ = (f)(g’) + (g)(f’)

(f/g)’ = ((g)(f’)-(f)(g’))/g2

(31)

61

DERIVADAS

Regra da Cadeia:

Seja g for derivável em x e f for derivável em g(x), então, a função composta F = f o g, dada por F(x) = f(g(x)) será dada por:

F’(x) = f’(g(x))*g’(x)

Se y = f(u) e u = g(x) deriváveis, então:

(1)

Ou ainda:

(f o g)’(x) = f’(g(x))*g’(x) (2)

dx

du

dy

dx

dy

₌

62

DERIVADAS

Observação sobre a Regra da Cadeia: Na equação (1):

dy/du refere-se à derivada de y quando esta é

considerada uma função de u (derivada de y em relação à u), ao passo que du/dx se refere à derivada de u quando esta é uma função de x (derivada de u em relação à x).

Na equação (2) significa que primeiro deriva-se a função de fora (f) e depois multiplica-se pela derivada da função de dentro (g):

)

(

'

*

))

(

'

))]

(

[

]

[

x

g

x

g

f

dx

x

g

f

d

dx

y

d

₌

(32)

Exemplo 6: Encontrar F’(x) se F(x) = (x

2

₊₁₎

1/2

_.

64

Exemplo 6: Encontrar F’(x) se F(x) = (x

2

₊₁₎

1/2

_.

DERIVADAS

Solução 1:

Seja F(x) = (x2₊₁₎1/2 ₌ _{(f o g)(x) = f(g(x)), onde:} f(u) = (u)1/2 _e _{u = g(x) = (x}2₊₁₎

Logo f’(u) = (1/2)u-1/2 _e _{g’(x) = 2x}

Então:

(33)

65

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Definição:

Uma função tem máximo absoluto (global) em c se f(c)

≥≥≥≥ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio de f, e f(c) é dito valor máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em D se f(c) ≤ f(x) para todo x em D e f(c) é dito valor mínimo de f. Os valores máximo e mínimo de f são ditos valores extremos.

Máximo Global

Mínimo Global

x

y

f(x)

66 Definição:

Uma função f tem máximo local em c se f(c) ≥≥≥≥ f(x) quando x estiver na vizinhança de c. Analogamente, f tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x está na vizinhança de c.

Máximo local

Mínimo local

x

y

f(x)

Vizinhança

(34)

-1

0 y=x

2

1 y

x

1 Exemplo 7: Seja f(x) = x

2

_{, seu gráfico é dado por:}

f(0)=0 é mínimo, pois

f(0) ≤ f(x) para qualquer x.

Mínimo Global em x = 0

68

-1

0 y=1-x

2

1 y

x

1 Exemplo 8: Seja f(x) = 1-x

2

_{, seu gráfico é dado por:}

f(0)=1 é máximo, pois

f(0) ≥≥≥≥ f(x) para qualquer x.

Máximo Global em x = 0

(35)

69

-1

0 y=x

3

1 y

x

Exemplo 9: Seja f(x) = x

3

_{, seu gráfico é dado por:}

A função f não tem ponto

de máximo nem de mínimo.

Não tem mínimo global ! Não tem máximo global !

MÁXIMOS E MÍNIMOS

70 Definição:

Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f onde f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.

f’(c2) = 0

x

y

f(x)

c

₁

c

₂

c

₃

c

₄

no. crítico

f’(c1) = 0

f’(c3) = 0

f’(c4) = 0

(36)

Máximo Global

Mínimo Global

x

y

f(x)

Definição:

Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então, c é um número crítico de f.

c

₁

c

₂

c

₃

c

₄

no. crítico

f’(c1) = 0

Máximo local

Mínimo local

72

LIMITES E DERIVADAS

-1

0 y=1-x

2

1 y

x

1 Exemplo 10: Para encontrar os números críticos de

f(x) = 1-x

2

_{: f’(x) = 0}

_→

_{–2x = 0}

_→

_{x = 0}

(37)

73

Exemplo 11: Encontrar os pontos críticos da

função de lucro L(x) definida por:

L(x) = R(x) – C(x) onde :

R(x) = -0.01x

2

_{+ 2x + 2000 e}

C(x) = 0,08x + 1000

LIMITES E DERIVADAS

74

Exemplo 11: Encontrar os pontos críticos da

função de lucro L(x) definida por:

L(x) = R(x) – C(x) onde :

R(x) = -0.01x

2

_{+ 2x + 2000 e}

C(x) = 0,08x + 1000

LIMITES E DERIVADAS

Para encontrar os pontos críticos usa-se L’(x)=0:

L’(x)=0→→→→ -0,02*x + 1,92 = 0→→→→ x* = 1,92/0,02→→→→ x*= 96

Para este valor de produção x*=96 o lucro é dado por:

L(96) = R(96) – C(96) = 2099,84 – 1007,68 = 1092,16

Observe que L(97) = 1092,15 o que é coerente com o valor do lucro marginal (L’(96)) em x*=96, indicando que o incremento da produção (de 96 para 97) não

(38)

Observações sobre máximos e mínimos:

Nem todo ponto crítico c de uma função f é um ponto de máximo ou mínimo de f.

Exemplo 12: Para y = x

3

_{, pode-se obter o ponto}

crítico c com y’ = 0:

Se y’ = 3x

2

_{, então, y’ = 0}

_→

_3x

2

_{= 0}

_→

_{x = 0.}

Mas, observe no gráfico, dado a seguir, que

x = 0 não é ponto de máximo nem de mínimo

de y, apesar de ser ponto crítico. Álias, esta

função não possui nem ponto de máximo nem

ponto de mínimo.

76

-1

0 y=x

3

1 y

x

Exemplo 13: Seja y = x

3

_{, seu gráfico é dado por:}

Não tem mínimo global ! Não tem máximo global ! Ponto crítico !

(39)

77

Teste da derivada segunda:

Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c podem ocorrer 3 casos:

Caso 1: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então, f tem um máximo local em c.

Caso 2: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então, f tem um mínimo local em c.

Caso 3: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) = 0, então, f não tem nem máximo nem um mínimo local em c.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

78

Exemplo 14: Análise dos exemplos 7, 8 e 9:

Caso 1

Seja y = 1-x2_:

y’ = -2x →→→→ y’ = 0

→ →→

→ x = 0

y’’ = -2 < 0

Se y’’ em x=0 é -2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico e ponto de máximo.

Caso 2

Seja y = x2_:

y’ = 2x →→→→ y’ = 0

→ → →

→ x = 0

y’’ = 2 > 0

Se y’’ em x=0 é 2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico e ponto de mínimo.

Caso 3

Seja y = x3_:

y’ = 3x2 →→→→ _{y’ = 0}

→ →→

→ x = 0

y’’ = 6x

Se y’’ em x=0 é 0. Logo, x=0

não é ponto de

máximo nem mínimo.

(40)

-1

0 y=1-x

2

1 y

x

1 Exemplo 7: Caso 1, seja f(x) = 1-x

2

_{, então:}

Máximo Global em x = 0

80

-1

0 y’=-2x

1 y

x

2 Exemplo 7: Caso 1, seja f’ = -2x, seu gráfico é:

-2

Troca sinal !

x y’

-2 +4

-1 +2

0 0

1 -2

2 -4

+

(41)

81

0 y

x

Exemplo 7: Caso 1, seja f’ = -2x, seu gráfico é:

Observe que o ponto onde f’(x) troca de sinal (de + para -) é em

x=0. Assim, este ponto é de

máximo (Caso 1). Troca sinal !

+

-MÁXIMOS E MÍNIMOS

82

Exemplo 14: Análise dos exemplos 7, 8 e 9:

Caso 1

Seja y = 1-x2_:

y’ = -2x →→→→ y’ = 0

→ →→

→ x = 0

y’’ = -2 < 0

Se y’’ em x=0 é -2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico e ponto de máximo.

(42)

-1

0 y=x

2

1 y

x

1 Exemplo 8: Caso 2, seja f(x) = x

2

_{, então:}

f(0)=0 é mínimo, pois

f(0) ≤ f(x) para qualquer x.

Mínimo Global em x = 0

84

-1

0 y’=2x

1 y

x

2 Exemplo 8: Caso 2, seja f’ = 2x, seu gráfico é:

-2

Troca sinal !

x y’

-2 -4

-1 -2

0 0

1 +2

2 +4

(43)

85

0 y

x

Exemplo 8: caso 2, seja f’ = 2x, seu gráfico é:

Observe que o ponto onde f’(x) troca de sinal (de -para +) é em

x=0. Assim, este ponto é de

mínimo (Caso 2). Troca sinal !

+

-MÁXIMOS E MÍNIMOS

86

Exemplo 14: Análise dos exemplos 7, 8 e 9:

Caso 2

Seja y = x2_:

y’ = 2x →→→→ y’ = 0

→ → →

→ x = 0

y’’ = 2 > 0

Se y’’ em x=0 é 2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico e ponto de mínimo.

(44)

-1

0 y=x

3

1 y

x

Exemplo 9: Caso 3, seja f(x) = x

3

_{, então:}

Não tem mínimo global ! Não tem máximo global !

88

-1

0 y’=3x

2

1 y

x

1 Exemplo 9: Caso 3, seja f’ = 3x

2

_{, seu gráfico é:}

Não Troca sinal !

x y’

-2 +12

-1 +3

0 0

1 +3

2 +12

+

(45)

89

0 y

x

Exemplo 9: Caso 3, seja f’ = 3x

2

_{, seu gráfico é:}

Troca sinal !

+

Observe que em x = 0 f’(x) não troca de sinal (de + para +). Assim, não é ponto de

máximo nem mínimo

(Caso 3).

MÁXIMOS E MÍNIMOS

90

Exemplo 14: Análise dos exemplos 7, 8 e 9:

Caso 3

Seja y = x3_:

y’ = 3x2 →→→→ _{y’ = 0}

→ →→

→ x = 0

y’’ = 6x

Se y’’ em x=0 é 0. Logo, x=0

(46)

-1

0 y=-x

3

1 y

x

Exemplo 9: Caso 3, seja f(x) = -x

3

_{, então:}

Não tem mínimo global !

Não tem máximo global !

1 -1

92

-1

0 y’=-3x

2

1 y

x

1 Exemplo 9: Caso 3, seja f’ = -3x

2

_{, seu gráfico é:}

Não Troca sinal !

x y’

-2 -12

-1 -3

0 0

1 -3

2 -12

--1

(47)

93

0 y

x

Exemplo 5: Caso 3, seja f’ = 3x

2

_{, seu gráfico é:}

Observe que em x = 0 f’(x) não troca de sinal (de – para -). Assim, não é ponto de

máximo nem mínimo

(Caso 3).

-

-Não Troca sinal !

MÁXIMOS E MÍNIMOS

94

Exemplo 14: Análise dos exemplos 7, 8 e 9:

Caso 3

Seja y = x3_:

y’ = 3x2 →→→→ _{y’ = 0}

→ →→

→ x = 0

y’’ = 6x

Se y’’ em x=0 é 0. Logo, x=0

(48)

Teste da derivada segunda:

Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c podem ocorrer 3 casos:

Caso 1: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então, f tem um máximo local em c.

Caso 2: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então, f tem um mínimo local em c.

Caso 3: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) = 0, então, f não tem nem máximo nem um mínimo local em c.

96 Definição:

Um ponto P na curva y = f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de

côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa no ponto P.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

-1

0 y=x

3

1 y

x

Côncava para cima

Côncava para baixo

(49)

97

Exemplo 15: Seja f(x) = 3x

4

_{– 12x}

2

_{, encontrar os}

pontos críticos e determinar quais são os pontos de

máximo, mínimo e inflexão:

MÁXIMOS E MÍNIMOS

98

Exemplo 15: Seja f(x) = 3x

4

_{– 12x}

2

_{, encontrar os}

pontos críticos e determinar quais são os pontos de

máximo, mínimo e inflexão:

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Para encontrar os pontos críticos usa-se f’ = 0:

f’(x) = 12x3 _{– 24x = 0} → _12x_(x2 _{– 2)} _{= 0}

Assim:

12x = 0 → x₁ = 0

x2 _{– 2 = 0} → _{x =} ±₍₂₎1/2 → _x

2 = +(2)1/2 e x3 = -(2)1/2

Para classificar os pontos usa-se f’’(x):

(50)

Aplicando os pontos x₁, x₂ e x₃ em f’’(x):

(i) x₁ = 0: f’’(x1) = 36x21 – 24 = 0 - 24 < 0, logo x1 é ponto de máximo.

(ii) x₂ = +(2)1/2 _{: f’’(x}

2) = 36x22 – 24 = 36(21/2)2 - 24 = 72 – 24 = 48 > 0, logo x₂ é ponto de mínimo.

(iii) x₃ = -(2)1/2 _{: f’’(x}

3) = 36x23 – 24 = 36(-21/2)2 - 24 = 72 – 24 = 48 > 0, logo x₃ é ponto de mínimo.

100

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Gráfico de f(x) = 3x4 _{– 12x}2_:

0 _y=3x

₄

_-12x

₂

y

x

-12

Máximo Local em x = 0

2 −

2

(51)

101

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q

0 q*

Custo pedido: KD/q Menor

custo

102

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = + +

Para achar q que minimiza TC(q), usa-se TC’(q) = 0: KD

q pD

hq

(52)

Resumo de Regras de Derivação:

(cf’) = c(f’)

(f+g)’ = (f’) + (g’)

(f-g)’ = (f’) - (g’)

(fg)’ = (f)(g’) + (g)(f’)

(f/g)’ = ((g)(f’)-(f)(g’))/g2

0 )

(

=

dx

c

d

1

)

(

₋

=

n n

nx

dx

x

d

104

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = + +

Para achar q que minimiza TC(q), usa-se TC’(q) = 0:

TC’(q) = - + = 0

(53)

105

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: A fórmula encontrada para q* é denominada de lote econômico de compra (Economic Order Quantity – EOQ).

Pode ser demonstrado q* minimiza TC(q). Para tanto, se TC’’(q) = 2KD/q3 _{> 0, para todo} _{q > 0, então,} TC(q) é uma função convexa. Assim, q* minimiza o custo anual total.

106

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Observações:

(1) O EOQ não depende do preço de compra por unidade p, pois o tamanho do lote não modifica este valor. Assim, o custo de compra anual independe de q. Essa hipótese será modificada mais para frente.

(2) Se cada lote tem q* unidade, então, no ano será realizado um total de D/q* pedidos.

(3) Pelo EOQ o tamanho do lote aumenta conforme K (custo de setup) aumenta, mas diminui se h (custo de estoque) aumenta. Se D (demanda) aumenta 4x, então, q* só aumenta 2x devido ao fator de D1/2_.

1/2

h

2KD

q*



(54)

Observações:

(4) Para q* o custo anual de estoque e de pedido são iguais. Isto é:

Custo estoque = = =

Custo pedido = = =

hq* 2 1/2

h

2KD

2 h

_











KD q 1/2

h

2KD

KD













1/2

2 KDh













1/2

2 KDh

_











108

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente:

Custo anual

q

0 q*

Custo estoque: h(q/2)

(55)

109

Estudo de Caso: Commodities x Fast Fashion

• Formar grupos de 2 ou 3 pessoas com diferentes formações e/ou experiências.

• Escolher o tema:

♦Tema 1: “Commodities: estratégias de redução de custos” (vide vídeos sobre commodities e a Vale);

♦Tema 2: “O conceito fast fashion e suas

implicações logísticas” (vide texto “Roupas à prova de crise”).

• Em 10 minutos, esboçar a função lote econômico para as empresas abordadas de acordo com o tema.

• Cada grupo deve em 2 minutos apresentar aos demais grupos suas conclusões.

110

(56)

OBRIGADO !!!

112

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

ANEXO I

(57)

113

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Para calcular o custo anual de estoque, suponha que o período considerado é de [0,T], o custo por unidade por ano é igual à h e em média I_M unidades são

armazenadas por ano, então, o custo de estoque no período é: hTI_M. Se I(t) é o nível de estoque no instante t, então, I_M(T) no período de 0 até T é:

Assim, o custo de estoque de 0 até T é: hTI_M(T).

T

dt

t

I

T

I

T M

∫

=

0

)

(

)

(

∫

=

T M

T

hTI

dt

t

hI

0

)

(

)

(

114

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: Para melhor determinar hTIM(T) é necessário examinar o comportamento de I ao longo do tempo assume-se que:

(i) Um pedido de tamanho q chega no instante t = 0.

(ii)Se a demanda por ano é D, então leva q/D anos para o estoque chegar a zero de novo.

(58)

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: Graficamente:

t

I(t)

q

q/D

2q/D

3q/D

(i)Em t = 0 chega pedido tamanho q

(i)Em q/D anos o estoque é zero (iii)Declinar com inclinação -D

116

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Definição de ciclo:

Qualquer intervalo que comece com a chegada de um pedido e termine no instante anterior a chegada de outro pedido é chamado de ciclo.

t

I(t)

q

q/D

2q/D

3q/D

Ciclo Os ciclos têm tamanho:(q/D) Um ano contém:

(59)

117

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Exemplo de Ciclo e Número de Ciclos em um Ano: Suponha que a demanda D em um ano é de 900 unidades e que o tamanho dos lotes q é 300. Os ciclos têm

tamanho q/D = 1/3 ano e o ano tem D/q = 3 ciclos.

t

I(t)

300 1/3

2/3

1

Ciclo Tamanho ciclo:(q/D) = (1/3) Um ano contém:

(1)/(1/3)ciclos = 3/1 ciclos

118

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Ciclo:

I(t)

q

O volume médio de produtos em estoque qM em um ciclo é apenas a metade do máximo atingido no ciclo: q/2. Esta afirmação é válida para qualquer modelo com demanda constante e no qual a falta não é permitida.

q

_M

(60)

Para calcular o custo anual de estoque, usa-se:

Custo estoque

ano

Custo estoque

ciclo

ciclos

ano

=

*

Custo estoque

ciclo

=

q

2

*

q

D

*

h

Estoque médio no ciclo Duração do ciclo

Custo 1 unidade

=

q2_h

2D

D

q

Custo estoque

ano

=

hq