Tópicos de Ensino de Matemática, Geometria I, vol. 2, 1990.

(1)

VOLUMES DA SÉRIE

TÓPICOS

DE ENSINO DE MATEMÁTICA

1 -

Números Naturais

2 -

Geometria I

3 -

O Conceito de Fração

4 -

Operações com Números Fracionários

5 -

O Problema da Medida

6 -

Números Decimais

7 -

Geometria

11

8 -

Números Inteiros

9 -

Cálculo Literal

10 -

quações

de 1

2 Grau

11 -

Istemas de Equações de 12

Grau

1

2 -

Proporcionalidade

l

:il

om

etrla

111

14 Á

~

as e Perfmetros

1 Nt'lm ro

s Irracionais

Hl

-

quaçOes

de 22 Grau

~

DELTA

XIS

U X

rolTOnA L TOA

l~lIcr

Mw lo Lu

lza

Mls

sio

Mingone. 1

84

1

31 00 -

C

a

mpinas -

SP

MATEMATICA

2 -

Geometria I

Delta Xis Editora Ltda

ADAIR MENDES NACARATO ANTONIO MIGUEL

MANOEL AMARAL FUNCIA MARIA ÂNGELA MIORIM

(2)

APRESERTAcAo

Desde 1982, um grupo de professores de Matemática de Campi-nas, insatisfeitos com os resultados obtidos n~ Sua pritica pedag5gi ca, vem se reunindo com o oojetivo de elaborar projetos de ensino-a= prendizagem que possam. a0S poucos. alterar a situação existente.

Esses projetQs são aplicados em escolas das redes pública e particular e avaliados periodicamente. A avaliação dos resultados oh tidos na prática levanta críticas e sugestões que impõem, frequente=-mente, aprofundamento teórico e reformulações dos projetos já produ-zidos, além da produção d~ novos projetos. Essa é a principal carac-terística desse material: o fato de estar sendo continuamente refei-to. Outra característica dele é que, embora englobe o conteúdo de 5~ a 8? séries, é apresentaJo em fasciculos, permitindo ao professor es colher o momento mais adeql\ado para traba1har um certo tema junto a seus alunos.

Contamos atualmente com 16 projetos que compõem os volumes' da série "Tõpicos de Ensino de Matemática". Esses fascic·llos repre -sentam a mais recente versão do trabalho mas, certamente, não a últi ma.

Um trabalho dessa natureza, só foi e continua sendo possi -vel, graças ã participação continua de professores que aplicam os projetos. Queremos r.egistrar, portanto, o nosso agradecimento aos s~ guintes professores que. durante esses anos, tim contribuido na el a-boração e reformulação dos projetos, trazendo criticas e sugestões participando de reuniões e encontros com O propôsito de repensar e ~ profundar questões referentes ao ensino da ~~temática:

Ana Maria C.Coimbra, Ana Regina P.B.Angi, Aurora S. Santana, Beatriz V.B.de Carvalho, Carmem Lúcia B.Passos, Cláudia V.C.Miguel,Divina A. de Aquino, Eliza A.Mukai, Elizabeth A.Carrara, Celson J.Jacobucci,He

loisa de Carvalho H.Debiazzi, Jane M.da Silva Vidal, José Amaury AI=-ves, Hargali A.de Nadai, ~laria Aparecida 8.Pinheiro, Maria Clélia F. Jacobucci, Maria Lúcia Negri, Marília B.Pereira, Harisa S.Pinheiro ' Travaini, Harta I. de Almeida, Neusa B.Ferraz, Regina Celi Ayres, Ro naldo Nicolai, Rosana Fávero, Rosemeire N.R.Silva, Sandra LCardoso--:-Suei)' H.Gimenis, Susy H.Fadel, Teresa Neide G.Guimarães, \'ilma H. N. Silva, Yara P.P.Bueno e Zuleide G. Paulino.

(3)

...

_,.a

....

.;

~

ti'

,)

..

~ ~ ~

,

a

}

J

i INTRODUÇÃO 01 - Curvas . . . ••..•.•.. .•..•..•..•. . . ... 06 2 - Superficies . . . .•. . . . ... . . . ... . . 0 . 0 06 3 - Sólidos ... . . . ... . . . ... . 10

4 - Os objetos como cornjunto de Pontos 11 5 Diferenciação entre objetos planos e não-planos. 13 6 Uma nova maneira de definir curva e

classifica-çao das curvas . . . • . ...••.•.•••....•...•.•... 16

7 - A noçao de segmento de reta ...•..•..•...•.•.... 19

8 - A noçao de polígono 21

9 - Classificação dos polígonos quanto ao número de lados ... . . . ... ...•... . . . .... 22

10 - O conceito do poliedro... ... 25

11 - Segmentos paralelos •.. . . ... . . . . ... 28 12 - Traçado de segmentos paralelos com régua e es

-quadro ... . . . ....•.... ... 30

13 - Segmentos concorrentes 33

14 - Segmentos perpendiculares 34

15 - Classificação dos quadriláteros: Trapézios e Pa -ralelogramos ...•... 39

16 - Classificação dos paralelogramos: Retân~ulos,

Losangos e Quadrados ... 41

17 - Segmentos reversos ...•... 43

Anexo 48

(4)

•

j ~

;

,

~ j ~ ~

..

~ ~

..

~ ~

...

..

,li

~

...

01 INTRODUcAo

Muito antes de Jesus Cristo nascer, pór volta de 600 A.C., um rei egípcio chamado Sesóstris dividiu, em porções I-guais e retangulares, as terras às margens do rio Nilo, locali zado no Egi to.

Essas terras foram divididas entre os egípcios para que eles ali de senvol vessern a agricul tura. Em troca, cada ca m-pones devia pagar, por ano, um certo impos to ao rei.

Nas acontecia que, em determinada epoca do ano, o rio Ni lo enchia, transbordava, as terras eram invadidas pelas a guas e todas as demarcações ou separações eram apagadas, além de destruir a colheita ali existente.

Os sacerdotes da antiguidade, ao observarem o ceu, ad quiriram conhecimentos suficientes para determinar os períodos de cheia do rio Nilo. Viam que essas cheias aconteciam para d~ terminada fase da lua e sempre que as estrelas no céu formavam determinada configuração .

Achavam, então, que todo bem e todo mal provinham do ceu e, dessa forma, os povos antigos supunham que os deuses criados por eles habitavam o céu e as suas religiões estavam todas relacionadas com os fenâmenos da natureza: com as catas -trofes ou com as dádivas.

A partir dessas experi~ncias de estudar o ceu e as transformações dos mapo.s celestes, surgiu a Astronomia.

(5)

Esses estudos foram desenvolvidos a partir das neces-sidades priticas de-calcular a ~poca de cheia do rio Nilo.

Como, com as cheias do Nilo, as divisões das terras e ram apagadas, o rei Sesóstris mandava ao lacai os medidores de terra que tinham a tarefa de verificar de quanto cada porção I df~ terra havia sido diminuída pela águas.

Esses medidores foram adquirindo um saber prático que continha vários princípios ou regras para a medição de linhas, dE.: ângulos , de áreas de algumas figuras e de volumes de obje

-los mais simples.

Esse conhecimento era ocultado da maioria da popula -çao, pelos sacerdotes da época, justamente para que o povo a CTL'ditasse que eles eram enviados pelos deuses para governá-lo justificando, dessa forma, a dominação que as famílias dos fa-ral)S e os sacerdotes exerciam sobre a grande massa de escravos trabalhadores.

Pura i lus trar esse fato, ccn ta-nos Aniba I Pance: 11 Havia no Egito antigo um dispositivo admirável para n '-'poc.a, chamado Nílômctro, que permitia conhecer com boa

exa-tidão o crescimento das águas do Nilo e prognosticar o volumel da futura colheita. De acordo com essas informações, que eram mantidas em segredo, os sacerdotes aconselhavam os lavradores. As classes inferiores recebiam desse modo um excelente serviço, que a própria ignorância em que viviam, provocada por um trab! lho ininterrupto, impossibilitava que realizassem. Has, o oil,ª-metro servia duplamente as classes dirigentes, ainda que o ob -jetivo fosse um s6. Por um lado, quanto maior fos~e a colheita, maiores os impostos, por outro lado, aquelas informações preci sas a respeito da iminência do crescimento das águas -

(6)

infor-03

maçoes essas que 50 as autoridades estavam em condições de po~ suir -- emprestavam ao soberano a ascendência das divindades: no momento oportuno, o Faraó lançava no rio 3S suas ordens es -critas e, então -- só então -- as aguas obedientes começavam a

subir. .. " (Anibai Ponce, Educação e Luta de Cinsses; p.34). De uma forma ou de outra, entretanto, esses conheci mentos ultrapassavam as fronteiras do Egito, atingindo a Gré -ela.

Coube aos gregos a tarefa de elaborar esse saber pra-tico transformando-o em teoria. Essa teoria recebeu dos gregos o nome de Geometria.

Geo, em grego, significa terra, e metria significa me dida. Assim, a palavra geometria significa, ao pé da letra, me dida da terra.

Foi Euclides, um matemâtico. que viveu no século ' 111 A.C., que escreveu, com base nesse saber prático dos egípcios,

13 livros com nome de "Elementos".

Para escrever esses livros, Euclides teve que fazer ~ ma série de suposições e com isso, provou muitos princípios de grande aplicação para a agrimensura, arquitetura e astronomia' da época. Esses princípios continuam válidos e aplicáveis até nossos dias.

Daí em diante, a geometria foi se desenvolvendo a tra-ves dos tempos e hoje, o que ela estuda, está bastante afasta-do dos obj etos que fazem parte do mundo real, isto

é,

do mundo físico.

Vamos estudar neste livro um pOllCO de' geometria escrl ta por Euclides, mas niío da mesma forma como ele> a escreveu.De

(7)

vemos antes de maIS nada, conhecer um pouco da tenninologia u-sada por esta ciência. Ê este o nosso objetivo. Para isso, va -mos começar a classificar os objetos existentes no espaço que nos rodeia. Classificar, significa separar os objetos em grupos ou conjuntos de acordo com critérios ou regras prêvia _ ment~ estabelecidas.

o

primeiro crit~rio que vamos utilizar, sera o crit~ rio do corte. Quando cortamos um objeto em duas partes, utili-zando um instrumento qualquer, o conjunto de pontos do objeto' 'lUl' entram em contato com o instrumento que o cortou

é

chamado de seçao.

Veremos nas atividades seguintes como podemos utili _ zar este crit~rio para classificar objetos.

•

_í i

•

ií

li

iiI

til

•

fi til ~

"

iiI

...

..

.. ..

..

.. .. .. ..

...

(8)

os

I~

ATIVIDADE:

Pegue os objetos I, 2 e 3 recebidos do profesor. Util~zando uma tesoura, corte cada um desses objetos em duas I

partes.

a) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto I ?

b) Represente, atraves de um desenho, a seçao deixada pelo cor te efetuado no objeto I.

c) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetundo no objeto 2 ?

d) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor te efetuado no objeto 2.

e) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 3 ?

f) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor

te efetuado no objeto 3.

g) Você percebeu semelhanças ou diferenças nns seçoes deixadas

(9)

I? ATIVIDADE: Pegue os objetos 1, 2 e 3 recebidos do profesor.

til~zando uma tesoura, corte cada um desses objetos em duas I

partes.

a) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 1 ?

b) Represente, atraves de um desenho, a seçao deixada pelo cor te efetuado no objeto 1.

c) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 2

?

d) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor te efetuado no objeto 2.

e) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 3

?

f) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor te efetuado no objeto 3.

g) Você percebeu semelhanças ou diferenças nas seçoes deixadas

(10)

06

1 - Curvas

Durante a realização da atividade anterior, voce

per-cebeu que qualquer que seja o corte efetuado em cada um dos ob

jetas, a seção deixada por ele

é

um ponto ou então dois ou ma1S pontos isolados.

Todo objeto que se comportar desta maneira em relação ao corte sera chamado de curva.

2ª ATIVIDADE : Observe a mola que voce recebeu.

a) Essa mola pode ou não ser classificada como curva? Por quê?

b) Estique o máximo po·ssível essa mola. O objeto assim trans -formado poderia ser classificado corno curva? Por quê?

(') Dê uma outra forma qualquer a esse objeto. O objeto assim

transformado poderia ser classificado como curvà ? Por quê?

d) Se você modificar a forma original de urna curva, vece sem -pre obteria uma curva ? Justifique sua resposta.

3ª ATIVIDADE: Pegue os objetos 1, 2, 3 e " recebidos -do pro -fessor. Sem a1 terar a forma dos objetos dados, corte cada um I

(11)

"

~

i"

~

• _•

_,

•

_~

,

•

• _i

t

• ,

• _•

t

•

07

deles em duas partes, utilizando para isso uma tesoura:

a) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto ?

b) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor

c) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 2 ?

d) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor

I e) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 3 ?

f) Represente, atravês de um desenho, a seçao deixada pelo cor

g} Q\la1 foi a seçao dC'ixada pelo corte efe'tuado no objeto 4 ?

h) Represente, atraves de um desenho, a seçao dpixada pelo cor te efetuado no objeto 4.

(12)

08

i) voc~ percebeu semelhanças ou diferenças nas seçoes deixadas

pelos cortes efetuados nos três objetos? Quais?

2 - Superfícies

Durante a realização da atividade anterior, voce pe

r-cebeu que qualquer que seja o corte efetuado em cada um dos ob

jetos, a seção deixada por ele é uma CUl~a ou então duas ou

n181S curvas separadas.

Todo objeto que se comportar desta maneira em relaçã? ao corte sera chamado de superfície.

4'! ATIVIDADE : Pegu" lima folha de papel sulfite.

a) Essa folha pode ou não ser classificada como superfície? Por quê ?

b) Dê a essa folha a forma de uma lata de óleo redonda. O obj.r:.

to assim transformado, pode ser classificado como superfi -eic ? Por quê?

c) Dobre ao meio a folha de papel sulfi te e abrindo-a, dê a e

-la a forma do telhado de uma casa. O objeto assim transfo r-mado pode ser classificado como superfície? Por qui ?

•

I

d) Se voce modificar a forma original de lima superfície, VQce ,

,

(13)

-It ~

•

it i i i

•

• ,

,

•

I 09

sempre obteria uma superficie ? Justifiqtle sua resposta.

5~ ATIVIDADE: Pegue os objetos 1, 2, 3 e 4 recebidos do pro

-fessor. Sem alterar a forma dos objetos dados, corte cada um

deles em duas partes, utilizando para iSSO lima faca.

a) Qual foi a seçio deixada pelo corte efetllado no objeto ? b) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor

c) Qual foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 2

?

d) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor te efetuado no objeto 2.

e) Qual foi a seçao deixada pelo corte eFetuado no objeto 3 ?

f) .Represente, através de um desenho, a seçno deixada pelo cor te efetuado no objeto J.

(14)

10

g) Q"al foi a seçao deixada pelo corte efetuado no objeto 4

?

h) Represente, através de um desenho, a seçao deixada pelo cor

te efetuado no objeto

4 .

i) voc~ percebell semelllanças ou diferenças nas seçoes deixadas

pelos cortes efetuados nos tr~s objetos ? Quais?

3 - Sólidos

Durante a realização da atividade anterior, voce

per-cebeu que qualquer que seja o corte efetuado em cada um dos ob

jelos, a seção deixada por ele

é

uma superficie ou então duas'

011 mais superfícies separadas. Todo objeto que se comportar

desta maneira em relação ao corte será chamado de sólido.

6"

ATIVIDADE: Pegue uma massa de modelar.

a) Essa massa podt.~ ser classificada como sólido? Por que?

b) O~ a essa massa a forma de uma bola. O objeto assim ttallS

-formado pode ser classif iendo como sóL ido? Por quê ?

,

•

i

•

i i

•

111 111 111

•

(15)

r!

~

wiiI

.-wíii

,iI

riI

ri'

• .,

"

_•

•

• íi

..

a

~

•

j j

•

c)

Dê

a essa massa uma outra forma qualquer. O objeto assim

transformado pode ser classificado como sólido? Por quê?

/., '

d) Se você modificar a forma original de uma sU'fH'rfíeie voce

I~,' : .

sempre obteria urnfl. superf-rcll? ? Justifique sua resposta.

7ª ATIVIDADE : Observe os objetos mostrados pelo professor. F~

ça neles um corte imaginário e classifique-os como curvas, su

-perfícies ou sólidos.

objeto - (fio de cabelo) :

objeto 2 - ( bolinha de ping-pong):

objeto 3 - (cubo de madeira): objeto 4 - (cubo feito de papel):

objeto 5 - (triângulo de cartolina): objeto 6 - (mola ou espiral de caderno): objeto 7 - (círculo de papel):

objeto 8 - (anelou argola):

objeto 9 - (um pedaço de casca de Ôyo) :

~ objeto 10 - (uma pirâmide de madeira):

;

)

4 -

Os objetos como conjunto de pontos

Voc~ j~ verificou que existem muitas maneiras diferen

(16)

-1 2

rias nw.oeÍ.ras de se efetuar o corte dependem do local da linha

isto e, do ponto escolhido para se fazer o corte.

Este fato nos leva à possibilidade de im"aginar uma li nha ou uma outra curva qualquer como um conjunto formado por

infinitos pontos bastante próximos uns dos outros.

O mesmo acontece com urna superfície.

Já

que podemos I

cortá-la de diferentes maneiras de acordo com um caminho ou

curva escolhidas previamente, podemos também imaginá-la como

sendo formada por infinitas curvas. Como as curvas são forma

-das por infinitos pontos, então, as superfícies tambêm o serao .

O mesmo acontec'e com um sól ido. Podemos cortá-lo de

infinitas maneiras. As seções deixadas pelos cortes são super

-ficies. Essas superficies sao constituidas de infinitos pontos .

Logo, podemos imaginar os sólidos como um conjunto infinito de

pontos. Até mesmo o "espaço vazio" entre os objetos, poderá

ser imaginado como cheio de pontos invisiveis, que não

perten-cem aos objetos considerados.

Na verdade, imaginar os objetos (curvas, superfícies,

s<..)l idos) como um aglomerado de infinitos pontos, é uma necessi

dade que se coloca para melhor podemos estudar as suas propri..

cdades geométricas e continuar a classificá-los de acordo com

essas propriedades.

Para distinguinnos os pontos uns dos outros, daremos' nOI11(' a cada um dcles, lIsando letras maiúsculas do nosso alfabe

to: A, B, C, D, ...

8é! ATIVIDADE : Pegue uma caixinha de pasta de dente e um qua -drado de papel cartão. Com um alfinete, faça v~rios furinllos '

em vários locais dessas duas superfícies para visualizar aI

~ til til

til

..

•

• ..

_..

..

_..

..

.. .. ..

_~

..

_{.. ..}

.. .. ..

..

-

_{.. ..}

fi'

.. ..

ti

..

~

(17)

guns dos pontos que as compoem. Apoie essas duas superfícies na

superfície de sua carteira e assinale com um X as afirmações '

que forem corretas:

a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( El( ) )

Todos os pontos da caixinha estão em contato com a su perfície da carteira.

Todos os pontos do quadrado estão em contato com a su perf icie da carteira.

Existem infinitos pontos da superfície da caixinha que nao estão em contato com a superf Íc ie da carteira. ) Existem infinitos pontos da superfície da caixinha

que estão em contato com a superfície da carteira.

) Existem infinitos pontos da superfície da carteira

que nao estao em contato nem com a caixinha e nem com

o quadrado.

) Existem infinitos pontos do espaço que nao estao em contato nem com a caixinha, nem com o quadrado e nem com a superfície da carteira.

5 - Diferenciação entre objetos planos e nao planos

O critério do corte permitiu-nos classificar os obje

-tos do espaço em curvas, superfícies e sólidos. Um outro cri

-tério para continuarmos esta classificação baseia-se na noção'

de planicidade. Esse critério divide os objetos em duas elas

-~es: planos e n~o-rlanos.

(18)

14

Quando nao possuir ondulaç~es, depress~es, dobras ou

rugas idades em qualquer de suas partes.

Existe uma maneira fácil de testar a planicidade dos objetos. Essa maneira será chamada de "teste da mesa". Para a-plicarmos esse teste, devemos col~car o objeto considerado,sem deformá-lo sobre uma mesa. Caso exista pelo menos uma forma de apoiá-lo de maneira que todos os seus pontos fiquem em contato com a superfície da mesa, então, o objeto será considerado PLA

NO.

Caso conlrário, ele será

NÃo-PLANO.

9(1 ATIVIDADE: Complete a tabela abaixo, classificando os obj.'!.

tos dados de acordo com o critério do corte e de acordo com o

critério de planicidade.

obj eLos tipo sólidos,superfí- planos ou

eiesou curvas não-planos

1 bolinha de ping-pong

2 bola de i sopar 3 lâmina de barbear

4 mola

5 triângulo de papel

6 disco de papel 7 pirâmide de madeira 8 estrela de papel

9 conchinha do mar

10 lata de ôleo vazia

10i.' ATIVIDADE: Pegue uma folha de papel sulfite e marque ne-la dois pontos A e B distintos.

(19)

a) Coloque mais 10 pontos nessa superfície e dê nome a cada um

deles utilizando letras maiüsculas diferentes do nosso alfa

beta.

b) Você poderia colocar outros pontos nessa superfície? Quan

-tos ?

c) ma formiga está "no ponto

A

e quer chegar ao ponto B. Trace em cores diferentes, 5 caminhos que a formiga pode fazer p~

ra sair do ponto A e chegar ao ponto B.

d) A formiga poderia fazer outros caminhos diferentes

?

Quan

-tos ?

e)

A

formiga fazer um caminho passando por um mesmo ponto da superfície maIS de uma vez? Se for possível , trace esse ca

minha.

f) Qual o caminho maIS curto para a formiga Ir de A ate B ?

Trace esse caminho.

g} Por quantos pontos da superfície a formiga passara quando '

fizer o menor caminho-?

1 H' ATIVIDADE : Util izando o anexo 1, faça o que se pede:

a) Trace um caminho partindo do ponto A, passando pelos pontos

B e C e retornando ao ponto A.

b) Seria possível traçar um caminho diferente do anterior, e

m-bora obedecendo as mesmas condições? Se posslvel, trace es

se caminho em cor diferente.

(20)

16

E, F e Co, retornando ao ponto D, de forma que voce passe por um mesmo ponto da superfície mais de uma vez.

d) Qual ê o caminho mais curto que pode ser feito partindo do

ponto J, passando pelos pontos H e I e ret~rnando ao ponto'

.J

?

Trace esse caminho.

l') Um pernilongo esta no ponto A e quer voar até um ponto K si

tuado no teto de sua sala de aula.

1) Quantos caminhos diferentes o pernilongo pode fazer?

2) Por quantos pontos do espaço o pernilongo passa para

fa-zer um caminho qualquer ?

3) O pernilongo pode fazer um caminho, passando mais de uma

vez por um mesmo ponto do espaço ? _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4) Qual ~ o caminho mais curto que o pernilongo pode fazer?

6 - Uma nova maneira de definir curva e classificação das cu

r-vaso

Ao executar as atiyidades 6 e 7, voce observou que e sempre possivel ligar dois pontos de uma superfície ~trav~s de

lUn caminho contínuo, isto

ê

,

sem interrup~,qes. Se efetuarmos'

!J, I

cf corte/nesses caminhos, verificamos que eles são curvas, pois para cortá-los

é

necessârio utilizar apenas um ponto ou um con

junto finito de pontos. Podemos então dizer que todo caminho'

I I I C

4

•

4i

4

•

• _•

• ..

_,

t

,

í1

fi!

.-ti

,

ti

•

_,j!

..

•

• ti

ti

'li

..

'

.

,.

(21)

contínuo que liga dois pontos e uma curva.

Você observou também, ao resolver as atividades 6 e 7,

que existem vários tipos de caminhos contínuos ou curvas. Pode mos rlassificar esses vários tipos de curvas em:

1) PLANAS OU NÃO-PLANAS

Uma curva é chamada plana quando

é

possível, sem deformá-la,

colocar todos os seus pontos em contato com uma superficie'

plana. Caso isto não seja possívef, dizemos <]ue a curva e

não-plana.

2) ABERTAS OU FECHAPAS

Uma curva

é

chamada fechada quando, partindo de um ponto

qualquer da curva, você puder percorrê-la inteiramente e

voltar ao ponto de partida, passando mais de uma vez apenas

pelos pontos d·e cruzamento. Caso contrário a curva sera a

-berta.

~) SUIPLES OU NÃO-SIHPLES

Uma curva

é

simples quando ao percorrê-la inteiramente pas -samos apenas uma vezpor qualquer um dos seus pontos. Caso I

contrãrio, isto

é,

se existir um ou mais pontos de cruzamen to ela será chamada não-simples.

12ª ATIVIDADE: Classifique as curvas seguintes em:planas ou não-planas, abertas Ol! fechadas e simp1C's ou não-simples

(22)

18 a)

~

C)

[LA

n

e) g)

n

(l

n

uO---i)

~

~1

I ) curva aZtll mostrada pelo professor nl curva vermelha mostrada pelo professor b)

V

d)

(

f)

~

h)

~

j)

W

m) curva amarela mostrada pelo professor o) espiral de um caderno j I «

«

4 ..

•

• ,

•

• _..

-I

•

• _•

• ..

..

li

(23)

.-•

•

₎

I

19

13~ ATIVIDADE : Utilizando fios de linhas coloridas, faça e co

le em uma folha. de papel sulfite:

a) uma curva espacial, aberta e simples

b) uma curva espacial, fechada e simples

c) uma curva espac ia 1, aberta e não-simples

d) uma curva espacial, fechada e não-simples

e) uma curva plana, aberta e simples

O

uma curva plana, fechada e 'não-simples

g) uma curva plana, aberta e não-simples

h) uma curva plana, fechada e simples

7 - A noçao do segmento de reta.

tJ

,

Ao executar as atividades n9 &,' e ?/, VQce verificou

,

que o menor caminlio possível entre dois pontos de uma supe

rfÍ-C~e plana

é

o caminho reto. Esse caminho reto pode ser

encara-do como uma curva plana, aberta e simples em relação aos pan

-·tos da superfície considerada. Daqui para a frente, o caminho'

mais curto entre dois pontos de uma superficie plana será cha

-mado de Segmento de Reta.

Um segmento de reta possui duas extremidades, que sao

os pontos de partida e de chegada do caminho mais curto

consi-derado. Para dar nome a um segmento de reta, escrevemos os no

-mes dos seus pontos extremos um ao lado do outro, em qualquer'

ordem, e colocamos um pequeno traço sobre essas letras. Assim,

o segmento de reta abaixo, que e

o menor caminho entre os pontos A

(24)

20

papel, pode ser nomeado das seguintes maneiras: AB Ou BA.

14'-' ATIVIDADE: Considere os pontos L, H, N, 0, P , repre·sent~.

dos abaixo, e responda:

. H

• P

. L • N

.

°

a ) Quantos segmentos de reta voe e pode obter ligando os pon -tos L, M, N, O , dois a dois? Quais sio eles? Utilizando

uma rpgu<l) trace todos esses segmentos.

I j I f ~

•

4

~

•

• i

..

ti t!

b ) Quantos segmentos de reta, contidos na superfície desta fo '.

lha de papel, você poderia imaginar passando pelo ponto P? ~

Trace alguns. ,

..

c) Considere que a extremidade do ponto- de seu lápis seja um ,.

ponto

Q

do espaço. Quantos segmentos de reta você poderia' • imagillar no espaço, passando pelo ponto

Q ?

•

15'-' ATIVIDADE Considere a curva fechada abaixo e responda: l J M L-- -- - - ' N

..

• ..

_..

til

• ..

..

(25)

,-~

. . 21

.;a

.

• a ) Quantos sao os segmentos de reta que -formam esta curva?

• Quais são eles ? ~ ~

• _a

,.

•

• ,

)

lé? ATIVIDADE: Trace no espaço a direita, duas curvas planas' que sejam fechadas, -simples

e formadas apenas por seg

-mentos de reta. Pinte de

vermelho as superfícies li

-mitadas por essas curvas.

8 - A noçao do Polígono

As duas figuras que voe e traçou na atividade anterior

chamam-se polígonos. Chamamos de polígono toda superfície plana limitada por uma curva fechada, simples e formada apenas

por segmentos de reta. Os diversos segmentos de reta que limi-tam essa superfície, chamam-se LADOS do polígono.

Os pontos de encontro dos lados (bicos ou pontas) cha mam-seVÉRTICES do polígono.

Diga quantos lados e quantos vértices possui cada um dos polígonos que você traçou na atividade anterior.

1 H ATIVIDADE : U t i I izando uma regua, trace:

a) 3 pOlígonos diferentes de 4 lados

b) 2 polígonos diferentes de 3 vérticC's

c) polígono com lado apenas

(26)

22

e) polígono com 4 lados e 5 vértices

f) polígono com 6 lados e 3 vértices

9 - Classificação dos polígonos quanto ao numero de lados. Ao executar a atividade anterior, você constatou que e impossível construir um polígono cujo número de lados seja I

diferente do número de vêrtices. Logo, em todo pOlígono o nume

ro de lados deve ser igual ao número de vértices. Constatou também ser impossível construir polígonos que possuam apenas 2 lados ou apenas 1 lado. Logo, só podemos construir polígonos I

que possuam um numero de lados maior ou igual a 3. De acordo P

com o numero de lados (ou vértices) os pol ígonos recebem nomes

especiais:

3 lados

-

triângulos 8 lados

-

octogonos 4 ludos quadriláteros 9 lados eneagonos

5 lados

-

pentagonos 10 lados decágonos

fI

6 lados

-

hexágonos 12 lados

-

dodecágonos

7 lados

-

heptágonos 20 lados icoságonos

18~ ATIVIDADE: Diga quais das superfícies desenhadas a seguir

Sôo polígonos e, caso seja, diga quantos lados e quantos vérti

(27)

,

• _•

I (1) (2) ( 5) (9 ) (13 )

~

(17)

23 (8 ) ( 6)

( 5

(10) (ll ) (12 ) (14 ) (15 )

(

16)

(18 ) (19 ) (20)

(28)

24

19~ ATIVIDADE : Observe a configuração plana abaixo: em segui- ~

da, dê nome a cnda um dos seguintes polígonos nomeados por •

seus vértices.

f

a)

ACE

h)

OGB

c)

_SRQPNN

E d)

GP

H

O

e)

AOFN

f)

FBRS

g)

FGIEM

h)

ADRCQBP

i)

AOCQBP

F j)

HBQ

20~ ATIVIDADE Considere os seguintes sólidos numerados de 1

a 9

1- esf era 5- prisma reto de base triangular 2- cilindro 6- pirâmide re ta- de base triangular

3 -

cone 7- pirâmide reta de base quadrada

1,- cubo

8-

ba ta ta

9- poliedro nao-convexo

Observe as partes qlle formam a sllperficie de cada um de]cs,rc~

ponda:

a ) Quais sao os sólidos cUJa superfície e formada apenas de

,.

!li

f

• _•

• ..

_..

ti

"

ti

..

"

• _ti

ti

• '"

..

--"

" ~ ~---

(29)

-partes planas ?

b ) Quais são os sólidos cuja superfície nao e formada("peIlas-~

por partes planas

?

c ) Quais são os sólidos cUJa superfície

é

formada tanto por

partes planas como por partes não-planas ?

d ) Chame de face de tDD sólido a qualquer uma das partes pIa

-nas que compoem a sua superf íc ie. Quantas faces possui o sólido n'? 4 ?

e ) Quantas faces possui o sólido n'? 5 ?

f ) Quantas faces possui o sól ido ne;> 6 ?

g ) Quantas faces possui o sól ido n'? 7 ?

h ) Quantas faces possui o sólido n'? 9 ?

i ) Coloque V ou F nas afirmações seguintes:

( ) o sólido n'? 6 possui 4 faces triangulares

) o sólido ne;> 6 possui apenas 3 faces triangulares

( ) _{Todas as faces}do sólido n'? 4 sao quadriláteros

( todas as faces do sólido n'! 5 sao quadrilâteros

( o sólido ne;> 5 possui 2 faces triangulares e 3 faces'

que são quadriláteros

( ) o sólido n'? 7 possuí 4 faces triangulares e 1 face

,

que ê quadrilátero

10 - O conceito do Poliedro

Ao executar a atividade anterior, você verificou que

existem sólidos cUJa superfície é formada apenas por partes planas chamadas faces. Além disso, essas faces são sempre poli

(30)

26

Todo sólido, cuja superfície

é

formada apenas por paE

tes pl,mas que são pol ígonos

é

chamado de POLIEDRO. Os demais

sólidos serão cnamados de NÃO-POLIEDROS.

Os poliedros mais comuns na geometria que estamos es

-tudando, são os prismas e as pirâmides. Os nno-poliedros mais

comuns, sao a esfera, o cilindro e o cone.

Em todo poliedro, os lados dos polígonos de cada face

chamam-se ARESTAS DO POLIEDRO e os pontos de encontro das ares ,.

tas (os bicos do [oliedro) chamam-se VÉRTICES DO POLIEDRO 4

Essa termologia não

é

empregada para os corpos redon- ~

dos. Uma esfera, um cilindro ou um cone, não possuem faces ou

arestas.

ZI~ ATIVIDADE Considere os seguintes poliedros numerados de' a 8.

! uba

2 - _para_l_e_l_e_píp_e_d_o

3

-

prisma reto de base triangular

4

-

prisma reto de base hexagonal

5 - pirâmide reta de base triangular

6

-

pirâmide reta de base quadrada

7 - pirâmide reta de base hexagonal

8 - octaedro

Complete o quadro da página seguinte:

(31)

,-.,

~

• _•

•

I 27

POLIEDROS N9 FACES DO N9 VeRTICES N9 ARESTAS NOME DOS POLIGO

-POLIEDRO DO POLIEDRO DO POLIEDRO NOS DAS FACES N9 1 N9 2 N9 3 N9 4 N9 5 N9 6 N9 7 N9 8

22~ ATIVIDADE : Considere os pontos A, B, C, D e E pertencen

-tes

ã

superfície desta folha de papel.

.

A

• B

E

C

D

a ) Utilizando uma regua trace: AR CD e DE

b ) Utilizando uma regua prolongue o segmento AR no sentido de

A para B e também no sentido de B para A. Até onde esse

prolongamento pode chegar ?

c ) Prolongue o segmento CD em ambos os sentidos: de C para D e de D para C. Faça o mesmo para o segmento DE.

(32)

28

,.

• .fi

·d ) Se você imaginar um prolongamento ilimitado para os segmeE. . .

tos AR e DE , esses prolongamentos deverão se cruzar ~m aI gum ponto da superfície da folha de papel ?

e ) Se vo'cê imaginar um prolongamento ilimitado para os segme~

-

-tos AB e CD , esses prolongamentos deverão se cruzar em aI

gum ponto ?

11 - Segmentos paralelos

~ claro que

é

sempre possível, em nossa imaginação prolongar um segmento de reta ilimitadamente embora, na práti-ca, esse prolongamento sempre tenha um limite.

Ao executar a atividade anterior, você observou que' os prolongamentos de dois segmentos de reta contidos numa

mes-•

.-

..

• "

'

.

_•

• '"

•

• ,

n" ~:llperficie plana podem ou nao se interseccionarem (cruzarem "

-se) .

Dizemos que dois segmentos de reta, contidos numa me~ ma superfície plana, estão numa mesma direção quando seus

pro-longamentos coincidem ou quando eles jamais se cruzam. Caso contrário, os segmentos nao estão numa mesma direção.

Dizemos ainda, que dois ou mais segmentos sao PARALE-LOS, quando obedecerem às seguintes condições:

1) Estão contidos numa mesma superfície plana.

2) Estão numa mesma direção mas seus prolongamentos '

,

• _f

f

• .f

•

não coincidem.

f

•

/ 23" TIVIDADE : Na f'igura o scgu ir. suponha que as linhas re -

!

tas representem trajetos. Uma formiga F1 saiu do ponto A·e es

(33)

-•

I

tá caminhando em linha reta

em direção ao ponto B. Uma'

fanniga F, saiu do ponto C

e está caminhando em linha'

reta em direção ao ponto B.

Uma formiga F, saiu .da D e

está caminhando em linha re

ta em direção ao ponto E. ~

ma fonniga F4 saiu do ponto

F

e está caminhando em-li

-29

A

_c

F _E

_o

nha reta em direção ao ponto A. Complete com V ou F as afirma

-çoes seguintes:

1) ( ) As formigas F1 e F, estao caminhando na mesma direção

e no mesmo sen tido.

2) ( ) As fonnigas F 1 e F, estao caminhando na mesma direção e em sentidos contrários.

3) ( As fonnigas F, e F, estao caminhando na mesma direção

e no mesmo sentido.

4) ( _As _{fonnigas F1} _e _F, estão caminhando na mesma direção

e em sen tidos contrários.

5) ( _{As formigas} _F1

,

F, e F, estão caminhando na mesma di

reçao.

6)

( ) As fonnigas F, e _F4estao caminhando na mesma direção.

7) ) As formigas F1 e F, estão caminhando em direções· par~

leIas.

8) ( _As formigas _Fj e F, estão caminhando em direções par~

lelas.

-

(34)

---30

12 - Traçado de segmentos paralelos com regua e esquadro.

o

esquadro é um instrumento que tem a forma de um tri

~ngulo. POSSlli portanto, 3 lados. Dentre outras utilidades, um

esquadro serve para traçar ~egmentos ou linhas que sejam para-lelas entre si.

Suponhamos que se queira traçar um segmento de reta I

CD que passe pelo ponto P e seja paralelo ao segmento AS. Se

-gllindo as instruç5es abaixo voc~ dever~ efetuar esse traçado. 19 passo: Coloque o lado maior

do esquadro de maneira que es

-te lado passe, ao mesmo tempo, pelas duas extremidades A e B' do segmento dado.

2~ p~sso: Apoie um dos outros'

lados do esquadro em urna rêgua. 39 passo: Nantenha fixa a ré

-A

P

S

gua, desloque o esquadro sobre ela até que o lado maior do es

-quadro passe pelo ponto P. Nessa posição do esquadro, trace o

segmento desejado.

Observe que, ao manter a regua fixa, você fixou uma I direção. Desse modo, qualquer movimento do esquadro sobre ela, no!'> daria segmentos paralelos ao segmento AB dado.

Entretanto, apenas um deles (aquele que voce traçou),

53tisfaz a condição de passar pelo ponto P.

Responda você: Por um ponto fora de um segmento de r~

(35)

•

t l I

•

31 çados ?

24~ ATIVIDADE: Utilizando regua e esquadro:

a) Construa 5 segmentos paralelos a cada um dos seguintes seg

-mentos:

A c

B D

E F

b) Trace: um segmento paralelo a HN passando por A; um se gmen-to paralelo a OP passando por B e um segmento paralelo a QR passando por C.

o

P M Q • A

c

B N R

(36)

32

2S{I ATIVIDADE Considere os segmentos abaixo:

A

_

_ -'\

- -

D

c

_

E G H B F

a ) Existem pontos que pertencem tanto ao segmento AB quanto ' ~

ao segmento CD ? ~

b ) Caso você tenha respondido afirmativamente o ítem a), indi

que c nomeie tais pontos na figura.

(' ) Existem pontos que pertencem tanto ao segmento CO quanto '

ao segmento EF ?

d ) Caso você tenha respondido afirmativamente o ítem c), indi

que e nomeie tais pontos na f igura.

e ) Existem pontos que pertencem tanto ao segmento EF quanto'

ao segment o FG ?

f ) Caso você tenha respondido afirmativamente o Ítem e), indi

que e nomeie tais pontos na figura.

g ) ExistC'1n pontos que pertencem tanto ao segmento AB quanto

ao segmcn to IIB ? _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _

(37)

que e nomeie tais pontos na figura.

i Trace dois segmentos que tenham apenas um ponto comum.

J ) Trace dois segmentos que nao tenham pontos comuns.

1 ) Trace dois segmentos que tenham infinitos pontos comuns. m ) Trace dois segmentos que tenham apenas dois pontos comuns.

13 - SegmentQs Concorrentes

Ao executar a atividade anterior, você verificou que dois segmentos de reta podem ou não ter pontos comuns. Verifi -eou tambêrn, que se os segmentos tiverem pontos comuns, ou pos-·

suem apenas um ponto comum ou possuem infinitos. pontos comuns.

Não há possibilidade de dois segmentos possuírem dois, três ou

um número finito (diferente de 1) de pontos comuns.

Chamamos de Segmentos Concorrentes todo par de segme~

(38)

34

26ª ATIVIDADE Observe os dois pares de segmentos concorre0 -tes abaixo:

Q

R

o

N

s

z

M p

Utilizando um esquadro, responda:

a·) É possível fazer

coinci9ir

o ponto comum dos dois lados me

--

--oores do esquadro com o ponto comum dos ~egrnentos PQ e RS, de forma que, ao mesmo tempo, os dois lados menores do es-quadro se encaixem perfeítamente em todas as aberturas

de-terminadas por esses dois segmentos

?

b ) O mesmo poderia ser feito para os segmentos ~m e OZ

?

14 - Segmentos Perpendiculares

Ao executar a atividade anterior, voce percebeu que e xistem segmentos concorrentes para os quais

é

possível encai xar perfeitamente bem os lados menores de um esquadro em todas as aberturas determinadas por esses segmentos. Dois segmentos'

concorrentes para os quais isso acont0ce serão chamados SEGMEN

TOS PERPENDICULARES .•

•

4

•

A

•

A

(39)

27'1 ATIVIDADE; Utilizando um esquadro, verif i.que quais pares' de segmentos abaixo são perpendiculares. J A

c

F

G

H

D B E _T M

o

Q L R N _P

u

28'1 ATIVIDADE; Utilizando um esquadro, para cada polígono a

-baixo, diga quais pares de lados são perpendiculares.

~c,..,..,.,

,..,."""

..

c-.

~,-,.,,=

B .. ,_ . ...

_.

' .. • o ' ,

:,

-:':«::~;' ~:.:: A P"..,..,-,-,.-,-

_".

_ - , - -...,-, O ' . .. . .

.

. . ... ,' .: :-,,:',":',:.':':-::-.:' · ', -o, ' • • ••• ,' . ' , ' o :

..

....

. .

...

..

:. · .,. . . . , ' . . · .. ' . . ', " : .: . ': .', : ~'

..

: ';

..

...

M _N

s

(40)

.

,

.

G

F~~,..,--,-;-:-c~S

- ' o . ' . ' , ' , . " .-: .--.. ', " . _'.

:-

. . '. :' .. ;". R· . .... .', " . : . . . . ' , . . ~", , ' , .',;" . ... O " " , " " " , ' , , ', .: . .

.

",.: .. ' , • • ; " , ' o . " . K

z

x

T 29\' ATIVIDADE : 36

a.) O poliedro que você. recebeu

é

um prisma reto de base trian

guiar. Ele está desenhado abaixo. Utilizando um esquadro,

diga quais pares de arestas desse poliedro são

perpendicu-lares.

E

("---.---'1

(41)

• _..

~

•

_~

I

• J

J

•

• _t

• _f

J'

37

b ) Os homens precisam utilizar o paralelismo e o perpendicul~

rísmo na construção de co~sas que lhe são üteis. Observe a

construção de sua sala de aula e os objetos nela existen -teso Faça uma lista de objetos e identifique neles a

exis-tência de segmentos perpendiculares e paralelos.

30<} ATIVIDADE :

a) A figura ao lado representa um pe

da-ço de madeira. Um I marceneiro deseja I cortá-la em duas' partes, de modo que o corte passe pelo ponto P e seja per-pendicular ao lado AS da chapa. Utili- B

zando um esquadro, trace o caminho sobre o qua1 a serra deverá passar.

(42)

38

c ) Utilizando o esquadro, verifique se o caminho sobre o qual

a serra deverá passar

é

perpendicular ao lado CD do pedaço de madeira.

31~ ATIVIDADE : Dados os segmentos

AB

a') Trace um segmento per

-pendicular a AB passando' pelo ponto

Q.

b ) Trace um segmen to per

-pendicular a AB passando pelo ponto P. A e os pontos P e

Q:

P Q

37~ ATIVIDADE : Observe o triângulo

ABe

abaixo: ULilizando um esquadro trace

3 segmentos que partam dos

vértices do triingulo e que'

cheguem perpendicularmente I

ao lado oposto ao vértice de onde partiu. Caso necessário

prolongue os lados do

triân-gulo.

c

33~ ATIVIDADE Considere os quadriláteros seguintes:

B ,FI @li

.. ..

_..

..

_..

.. ..

-...

..

.. ..

-..

.. .. ..

_.

_fI'

".

~ ~

,.

f!'

.-B

..

r

fi'

f!'

,.

_.,.

ftt!I

..

_..

..

_f!'

~

""

(43)

":,' .

~

.. ... ... ...-.. .. .: .. . . .

1 ,/"

~ ... ~

.

... : ..

:

:>.)

.

!

~/

i\;:;:

·:

::·:····

. ... : ... ':' . " ::":-:.~.'.

:~:

.:.<.:

:'::-5. .

:

.:

.

• ...

• ;:

>~

:

.. ' '.: : .: : : : ", " .

-..

' ... -:', -. . .... ' ..

.

"

.

."s'::

;

·.

< .. ::, .

..

.

: ... ::: ; : .

Utilizando regua e esquadro, responda:

a ) Quais são os quadriláteros que possuem apenas um par de la dos paralelos ?

b ) Quais sao os quadriláteros que possuem dois pares de lados

paralelos ?

c ) Quais sao os quadriláteros que nao pOS.suem nenhum. par de

•

lados paralelos ?

15 - Classificação dos Quadriláteros: Trapézios e Paralelogra

-mos.

(44)

40

existem quadriláteros que possuem apenas um par de lados

para-lelos. Esses quadriláteros são chamados TRAP~ZIOS. Verificou' também que existem quadriláteros que possuem dois pares de

la-dos paralelos. Esses quadriláteros são chamados PARALELOGRAMOS.

34'i' ATIVIDADE Considere os paralelogramos abaixo:

. .' .. ... .: '. .

..

...

' . ' . '. ' . . . 0 • • 3 . . ', : . . '

..

... .. : ... : ... :. :. . . . . : . ' . .. .'.:: · .. ··5·· :'::: .... o. .: .: ..•• 0 . : . • • • . . .. .' .: . . .

.

" " ." ' . : . ' . ' ." ..

_.

_..

_•..

_ti

.... " . . .. . .

:::

.. '. . ... . . . ' .' .'; . . .

.

. .' . . ' " . . . . ': .. _._' _'_. . '" .' ... ~ .. ' ~.'. . .... . . ' . : .' ' . : . .

• ₄

•

• t

•

• ..

.f

..

"

_•

I

(45)

Utilizando compasso e esquadro, responda:

a ) Quais são os paralelogramos cujos lados não paralelos são' perpendiculares ?

b ) Quais sao os paralelogramos cUJos lados possuem, todos, o

mesmo tamanoo ?

---

----

---c ) Quais saú os paralelogramos cujos lados oao paralelos sao

perpendiculares e todos ,os seus lados possuem o mesmo ta

-manha ?

16 - Classificação dos Paralelogramos: Retãngulos, Losangos e Quadrados.

Ao executar a atividade anterior, você verificou que existem paralelogramos cujos lados não paralelos são perpendi-culares. Esses paralelogramos são chamados RETÂNGULOS.

Verifi-cou também que existem paralelogramos cujos lados possuem,

to-dos, o mesmo tamanho. Esses paralelogramos são chamados LOSAN-GOS. Finalmente, você verificou que existem paralelogramos pa-ra os quais essas duas condições são válidas, isto

é,

paralel~

gramos que são retângulos e também losangos. Esses paralelogr~ mos são chamados QUADRADOS.

35~ ATIVIDADE : Observe a configuração plana:

(46)

-~

..

42

..

"li

literos seguintes:

..

"

:;.':::::': o::::: I~ .::::>

_I""

..

:.;.;. . :.:.:.: . . I ::::::::':' : .

L:/::'

'

d!:

!

"

: :

::::. : :

_..

. .

: : B O E

~

...

a) ABNl' g) ACNP

..

,

..

b) BCNN h) ADLP

.

..

c) CDUl

i)

EGHJ

..

.

".

d) DEJL j) AGIIP

_#'

ci ':1 !J 1) CE.n1

fi'

f!'

f) FGIII m) AFIP

_r

".

..

.

..

36" ATIVIDADE : Co loque V ou F nas afinnações abaixo:

) ( Todo quadrado e um quad ri lã tero.

_li!'

2 ( ) Todo trapêz ia e um quadrilátero

..

3 ) ( ) Todo losango é um quadrado

..

4 ) ( ) Todo trapéz ia e um paralelogramo

"

5 ) ( ) _Todo_{paralelogramo}_{e um} _trapézio

..

.".

..

6 ) ( ) Todo quadrado é um re tângu lo

7 ) ( ) Todo quadrilátero e um paralelogramo

8 ( ) Todo losango

é

um paralelogramo

..

quadrilátero e um quad rado

.. ..

..

(47)

~

..

_...

...

_{.. ..}

...

_...

...

_..

...

.-

..

.-til

.-.. .-..

-43

10) ( ) Todo quadrilátero e um redingulo

'. t.

11) ( ) Todo quadrilátero e um polígono

12) ( ) Todo retângulo

ê

um paralelogramo

37~ ATIVIDADE : A figura seguinte, representa um cubo de

ares-tas. Utilizando um modelo real deste cubo e uma cartela de

pa-pelão para representar uma superfície plana, responda:

a ) É possível colocar, aO,mesmo tempo, todos os pontos das a-restas AB e De numa mesma superfície plana?

b ) É possível colocar, ao

mesmo tempo, todos os

pon-tos das arestas BC e CF nu

ma mesma superfície plana?

c ) É possível colocar, ao

;E~ ____________ ~F

D~---+--~~C

riíI

pon-tos das arestas BC e EH nu ~H~ __

-+

__________

~G . . ma mesma superfície plana?

• _•

• _..

• _•

•

• _•

d ) t possível colocar, ao

pon-A B

tos das arestas AB e EH numa mesma superfície plana ?

17 - Segmentos Reversos

Ao executar a atividade anterior, você verificou que

• nem sempre

é

possível colocar todos os pontos de duas arestas' • de um cubo numa mesma superfície plana. Quando dois segmentos'

• de reta estiverem dispostos no espaço de forma que não exista'

•

(48)

44

uma superfície plana que os contenha ao mesmo tempo, então, e

-les serão chamados SEGMENTOS REVERSOS.

38~ ATIVIDADE : Observe novamente o cubo de arestas da ativida

de anterior. Utilizando um esquadro, assinale com X as afirma-o

ções verdadeiras (pode haver mais que uma): 1) As arestas BG e CF do cubo são:

( (

concorren tes

) reversas

( (

) paralelas

) perpendiculares

2) As arestas EH e AH do cubo sao:

concorrentes ( ) reversas 1) _As _arestas_{DE e}_BG _d_o ( ) concorrentes ( ) reversas

4)

As arestas AH e EF do ( ) concorrentes ( ) reversas cubo cubo ( ( ( ( ( ) paralelas ) perpendiculares sao: ) paralelas ) perpendiculares 530: ) paralelas ) perpendiculares j j I .f

•

• ..

t

,t

.t

5) As arestas de cada face de um cubo sempre formam um quadra-

«

do ( ) ,

J9~ ATIVIDADE: Observe a configuração plana seguinte.Utiliza~

do régua e esquadro:

a ) Cite 4 pares de segmentos paralelos.

b ). Cite 4 par('s de segmentos concorrentes.

,

•

(49)

~

,.

.-

_..

• _iJ

•

_it

•

_J

• _•

•

₎

,

I A oc---<B Lr--_---, K M ~---,D C '-"J _ _ _ , " I F~-~~E---~H G

c) Cite 4 pares de segmentos perpendiculares.

d) Cite par de segmentos reversos.

40~ ATIVIDADE : Considere as superfícies poliédricas numeradas

de 1 a 4. Algumas arestas estão tracejadas a fim de ind~car li

nhas invisíveis nas posições em que se encontram estas superfi

cies. p Q _-_---_-_~p / MO" N A B

(50)

"

46

_L E J G F A

c

A B B SUf'('f'fj('ic ,,\ .:

1 ) As superficies 1, 2,3 e 4 estio planificadas no anexo 2,

lSto

é

,

foram tornadas planas sem deformação de suas faces

e arestas. Recorte as 4 superfícies do anexo 2, monte-as e estabeleça a correspondência entre elas e as superfícies