EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ª ORDEM

Texto

(1)

Capítulo II

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE

2ª ORDEM

Digitally signed by Maria Alzira Pimenta Dinis DN: cn=Maria Alzira Pimenta Dinis, o=Universidade

(2)

Capítulo II

Até agora já conhecemos uma série de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Definiremos e consideraremos agora equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Equações Lineares Homogéneas.

Uma equação diferencial de segunda ordem é chamada linear se pode ser escrita na forma y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=r

( )

x e não linear se não pode ser escrita nesta forma. O traço característico desta equação consiste no facto de ser linear na função desconhecida y e nas suas derivadas, enquanto que p e q, bem como r à direita podem ser quaisquer funções dadas de x . Se o primeiro termo for, digamos, f

( )

x y′′ ,

temos que dividir por f

( )

x para obter a forma padrão, com y ′′ como o primeiro

termo, o que é exequível. Se r

( )

x ≡0 - isto é, r

( )

x =0 para todo o x considerado – então y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x torna-se simplesmente

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y e é chamada homogénea. Se r

( )

x ≠ 0 então é chamada não

homogénea. Isto é similar ao que vimos anteriormente. As funções p e q são

chamadas os coeficientes das equações. Um exemplo de uma equação diferencial linear não homogénea é y′′+4y=exsinx. Um exemplo de uma equação linear homogénea é

(

1−x2

)

y′′−2xy′+6y=0. Exemplos de equações diferenciais não lineares são x

(

y′′y+y′2

)

+2yy=0 e y′′= y′2+1. Suporemos que x varia num intervalo aberto I , e todas as suposições e afirmações se referem a I , que não

necessita de ser especificado em cada caso. (Recordemos que I pode compreender todo o eixo dos x .) Uma solução de uma equação diferencial – linear ou não

linear – de segunda ordem num intervalo aberto a< x<b é uma função y=h

( )

x que tem derivadas y′=h

( )

x e y′′=h′′

( )

x e satisfaz aquela equação diferencial para todo o x no intervalo I ; isto é, a equação torna-se uma identidade se substituirmos a

função desconhecida y e as suas derivadas por h e pelas suas correspondentes

(3)

Equações Homogéneas: Princípio de Superposição ou Linearidade.

Exemplo - y= e ex y=ex são soluções da equação diferencial linear homogénea

0 = − ′′ y

y para todo o x porque para y= obtém-se ex

( )

ex ″−ex =exex =0 e similarmente para y=ex. Podemos ir até um pouco mais além. Pode multiplicar-se

x

e e ex por diferentes constantes, digamos, -3 e 8 – ou quaisquer outros números – e depois tomar a soma y=−3ex +8ex e verificar que esta é outra solução da nossa equação homogénea porque

(

−3ex +8ex

) (

″− −3ex +8ex

)

=−3ex +8ex

(

−3 +8

)

=0

x − x

e

e .

Este exemplo ilustra o facto extremamente importante de que de uma equação linear

homogénea y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0, podemos obter sempre novas soluções de

soluções conhecidas por multiplicação de constantes e por adição. É evidente que isto é de grande vantagem porque deste modo pode obter-se mais soluções de soluções dadas. No caso acima para y1 (=e ) e x y2 (=ex) obtém-se uma solução da forma

2 2 1 1y c y

c

y= + (c , 1 c constantes arbitrárias). Chamamos a isto uma combinação 2

linear de y1 e y2. Utilizando este conceito, podemos agora formular o resultado sugerido pelo nosso exemplo, frequentemente denominado de princípio da

superposição ou princípio da linearidade.

Teorema – Para uma equação diferencial linear homogénea y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0. qualquer combinação linear de duas soluções num intervalo aberto I é novamente uma solução da equação anterior em I. Em particular, para uma tal equação, somas e múltipos constantes das soluções são novamente soluções → Teorema fundamental.

Demonstração – Sejam y1 e y2 soluções de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 em I . Então, pela substituição de y=c1y1+c2y2 e as suas derivadas em y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 e usando a regra já familiar

(

c1y1+c2y2

)

′ =c1y1′+c2y2, etc, obtém-se

(

c1y1 c2y2

)

p

(

c1y1 c2y2

)

q

(

c1y1 c2y2

)

qy

y p

(4)

0

= , uma vez que na última linha,

( )

= porque 0 y1 e y2 são soluções, por assim se assumir. Isto mostra-nos que y é uma solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 em I.

Atenção! - Relembremos sempre este importante teorema mas não esqueçamos que

não se verifica para equações lineares não homogéneas ou equações não lineares como o exemplo a seguir demonstra.

Exemplo – A substituição mostra que as funções y=1+cosx e y=1+sinx são soluções da equação diferencial linear não homogénea y′′ y+ =1, mas as funções seguintes 2

(

1+cosx

)

e

(

1+cosx

) (

+ 1+sinx

)

, não são soluções desta equação diferencial.

Exemplo – A substituição mostra que as funções y= x2 e y=1 são soluções da equação diferencial não linear y′′yxy′=0, mas as seguintes funções − e x2 x2+1

não são soluções desta equação diferencial.

Problema de Valor Inicial. Solução Geral. Base.

Para uma equação diferencial de primeira ordem, uma solução geral envolvia uma constante arbitrária c , e num problema de valor inicial utilizava-se uma condição inicial y

( )

x0 = y0 para encontrar uma solução particular na qual c assumia um valor determinado. A ideia de uma solução geral era encontrar todas as condições possíveis, e para equações lineares, éramos bem sucedidos, porque não existiam soluções singulares. Vamos estender agora esta ideia a equações de segunda ordem: para equações lineares homogéneas de segunda ordem y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0, uma solução geral será da forma y=c1y1+c2y2, uma combinação linear de duas soluções

envolvendo duas constantes arbitrárias c1, c2. Um problema de valor inicial consiste agora na equação y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 e duas condições iniciais y

( )

x0 =K0,

( )

x0 K1

y′ = , estabelecendo valores K e 0 K da solução e da sua derivada – declive 1

da curva – para o mesmo valor x dado no intervalo aberto considerado. Usaremos 0

( )

x0 K0

(5)

( )

′+

( )

=0 +

′′ p x y q x y

y , na qual c1 e c2 assumem valores definidos. Ilustremos isto com um exemplo simples que nos ajudará também a ver a necessidade de impor uma condição em y1 e y2 em y=c1y1+c2y2.

Exemplo – Resolva o problema de valor inicial y′′− y=0, y

( )

0 =5, y

( )

0 =3.

O primeiro passo da resolução consiste no seguinte: e e x ex são soluções – já o vimos – e tomemos y=c1ex +c2ex. 2º passo: da condição inicial, uma vez que

x x e c e c y′= 12 − , obtemos y

( )

0 =c1+c2 =5, y

( )

0 =c1c2 =3. Assim, c1 =4, 1 =

c . A resposta será então dada substituindo na condição geral y=c1ex +c2ex os valores obtidos, isto é, tem-se y= 4ex +ex.

Nota: Se no exemplo acima tivessemos assumido y1 =ex e y2 =lex, obtendo assim

(

c c l

)

e y

le c e c

y= 1 x + 2 x = 1+ 2 x = ′, a nossa solução não teria sido suficientemente geral para satisfazer as duas condições iniciais e resolver o problema. Vejamos porquê: y e 1 y são proporcionais, 2 y1 y2 =1l, enquanto que os anteriores não o eram, y1 y2 =ex ex =2ex. Esta é a questão principal, motivando as definições seguintes, bem como a sua importância em relação aos problemas de valor inicial.

Definição (Solução Geral. Base. Solução Particular.).

Uma solução geral de uma equação y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 num intervalo aberto I é uma solução y=c1y1+c2y2 com y1 e y2 soluções não proporcionais de

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y em I e c , 1 c constantes arbitrárias. 2 y e 1 y são então 2

chamados uma base – ou sistema fundamental – de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 em I . Uma solução paticular de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 em I é obtida se tomarmos valores específicos para c e 1 c em 2 y=c1y1+c2y2. y e 1 y são chamados proporcionais em 2 I se y1 =ky2 ou y2 =ly1 se verificam para todo o x em I , onde k e l são números. Na verdade, podemos também formular a nossa definição de base em

(6)

linearmente independentes num intervalo onde são definidas se k1y1

( )

x +k2y2

( )

x =0 em I implica k1 =0, k2 =0, e dizemos que elas são linearmente dependentes em I

se a equação também se verifica para algumas constantes k1, k2 não ambas nulas. Então, se k1 ≠0 ou k2 ≠0, podemos dividir e resolver, obtendo 2

1 2 1 y k k y =− ou 1 2 1 2 y k k

y =− . Assim, y1 e y2 são proporcionais, enquanto que no caso de independência linear, não o são. Tem-se assim o seguinte: uma base de soluções de

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y num intervalo I é um par y1, y2 de soluções linearmente independentes de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 em I.

Exemplo - ex e ex no exemplo anterior formam uma base da equação diferencial

0 = − ′′ y

y para todo o x . Assim uma solução geral é y=c1ex +c2ex. A resposta obtida no exemplo anterior constitui uma solução particular da equação.

Na prática, utiliza-se normalmente uma solução geral para encontrar soluções particulares, através da imposição de duas condições iniciais, porque é a solução particular que descreve o comportamento único de um determinado sistema físico ou outro. Para já fixemos o seguinte: se os coeficientes p e q de

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

y′′+ ′+ = e a função r são contínuas em algum intervalo I, então

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

y′′+ ′+ = tem uma solução geral em I , da qual se obtém a solução

de qualquer problema de valor inicial y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=r

( )

x, y

( )

x0 =K0,

( )

x0 K1

y′ = em I , que é única. y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x não tem soluções singulares – isto é, soluções não obtidas de uma solução geral.

Equações Homogéneas com Coeficientes Constantes.

Veremos aqui como resolver equações lineares homogéneas y′′+ay′+by=0 cujos coeficientes a e b são constantes. Estas equações têm aplicações importantes, especialmente no que diz respeito a vibrações mecânicas e eléctricas. Para resolver

0 = + ′ + ′′ ay by

(7)

0 = + ′ ky

y com k como coeficiente constante tem uma função exponencial como solução, y=ekx, o que nos dá a ideia de tentar como solução de y′′+ay′+by=0 a função y=eλx. Substituindo y=eλx e as derivadas y′=λeλx e y′′=λ2eλx na equação y′′+ay′+by=0, obtém-se

(

λ2 +aλ+b

)

eλx =0. Assim, y=eλx é uma solução de y′′+ay′+by=0, se λ é uma solução da equação quadrática

0

2+ + =

b aλ

λ . Esta equação é chamada a equação característica – ou equação

auxiliar – de y′′+ay′+by=0. As suas raízes são

(

a a 4b

)

2 1 2 1 = − + − λ ,

(

a a 4b

)

2 1 2 2 = − − −

λ . A derivação mostra que as funções y e1x 1 λ = e y e 2x 2 λ = são soluções de y′′+ay′+by=0. Directamente de

(

a a 4b

)

2 1 2 1 = − + − λ e

(

a a 4b

)

2 1 2 2 = − − −

λ vemos que, dependendo do sinal do discriminante a2−4b, obtém-se: Caso I – 2 raízes reais se a2− b4 >0

Caso II – uma raíz dupla real se a2− b4 =0

Caso III – raízes conjugadas complexas se a2 − b4 <0

Caso I – Duas raízes reais distintas λ1.e λ2.

Neste caso, y e 1x 1 λ = e y e2x 2 λ

= constituem uma base de soluções de y′′+ay′+by=0

num qualquer intervalo - porque y1 y2 não é constante. A correspondente solução geral é y ce 1x c e 2x 2 1 λ λ + = .

Exemplo – Podemos agora resolver y′′ y− =0 de uma forma sistemática. A equação característica é λ2 −1=0. As suas raízes são λ1 =1 e λ2 =−1. Assim, uma base é ex

e ex e, como anteriormente, tem-se a solução geral x x

e c e c

(8)

Caso II – Raíz real dupla λ=−a 2.

Quando o discriminante a2 − b4 =0, então

(

a a 4b

)

2 1 2 1 = − + − λ ,

(

a a 4b

)

2 1 2 2 = − − −

λ permite apenas obter uma raíz λ =λ12 =−a 2, obtendo-se inicialmente somente uma solução y1=e−( )a2x. Para encontrar uma segunda solução, necessária para uma base, utiliza-se o método de redução de ordem. Isto é, define-se y2 =uy1 e as suas derivadas y2 =uy1+uy1′ e

1 1 1 2 u y 2uy uy y′′= ′′ + ′ ′+ ′′ em y′′+ay′+by=0. Obtém-se

(

u′′y1+2uy1′+uy1′′

)

+

(

1+ 1

)

+ 1 =0

+auy uy buy . Agrupando os termos, tem-se u′′y1+u

(

2y1′+ay1

)

+

(

1′′+ 1′+ 1

)

=0

+u y ay by . A expressão no último parenteses é nula, uma vez que y é 1

uma solução de y′′+ay′+by=0. A expressão no primeiro parenteses é nula, também, uma vez que 2y1′ =−aeax2 =−ay1. Ficamos assim com u′′y1 =0. Assim

0 = ′′

u . Através de duas integrações, u=c1x+c2. Para encontrar uma segunda solução independente y2 =uy1, pode simplesmente tornar-se u= . Então x y2 = xy1. Uma vez que estas soluções não são proporcionais, formam uma base. O resultado é que, no caso de uma raíz dupla de λ2 +aλ+b=0 uma base de soluções de

0 = + ′ + ′′ ay by

y em qualquer intervalo é eax2, xeax2. A correspondente solução

geral é

(

)

2 2 1 ax e x c c y= + − . Exemplo – Resolva y′′+8y′+16y=0.

A equação característica tem a raíz dupla λ =−4. Assim uma base é e−4x e xe−4x e a

correspondente solução geral é y=

(

c1+c2x

)

e−4x.

Caso III – Raízes complexas. Função Exponencial Complexa.

Para equações diferenciais lineares homogéneas com coeficientes constantes

0 = + ′ + ′′ ay by

(9)

tem raízes a a 4b 2 1 2 1 2 1 =− + − λ , a a 4b 2 1 2 1 2 2 =− − −

λ que são complexas. As

duas equações anteriores (λ1 e λ2) mostram que isso acontece se o discriminante

b

a2−4 é negativo. Neste caso, é prático retirar da raíz −1=i e 1 4 2 1 = debaixo da raíz, escrevendo λ =− a+iω 2 1 1 , λ =− aiω 2 1 2 onde 2 4 1 a b− = ω . Podemos

ver que eλ1x e eλ2x são agora soluções complexas de y′′+ay′+by=0. No caso III,

uma base de soluções reais de y′′+ay′+by=0 em qualquer intervalo é

x e

y1 = −ax2cosω , y2 =eax2sinωx. Por diferenciação e substituição podemos ver que y e 1 y acima constituem soluções da equação diferencial. 2 y2 y1 =tanωx não é constante, pois ω ≠0, portanto y1 e y2 não são proporcionais. A correspondente solução geral é y=eax2

(

Acosωx+Bsinωx

)

.

Exemplo – Encontre uma solução geral da equação y′′−2y′+10y=0.

A equação característica λ2−2λ+10=0 tem as raízes complexas conjugadas

i 3 1 10 1 1 1 = + − = +

λ

, λ2 =1−3i. Tem-se assim a base y excos3x

1 = ,

x e

y xsin3

2 = e a correspondente solução geral y e

(

A x B x

)

x cos3 + sin3

= .

Função Exponencial Complexa.

Vamos simplesmente ver agora como podemos comprovar que y1 e y2 podem ser soluções no caso III. Mostraremos que isso deriva da função exponencial complexa. A função exponencial complexa ez de uma variável complexa z= s+it é definida por ez =es+it =es

(

cost+isint

)

. Para z real igual a s , esta expressão torna-se a familiar função exponencial real e de Análise porque então s cost=cos0=1 e

1 0 sin

sint= = . e tem propriedades bastante semelhantes às da função exponencial z

real; em particular, pode mostrar-se que é diferenciável e que satisfaz ez1+z2 =ez1ez2.

(10)

expressão, tomamos agora z1x com λ =− a+iω 2 1 1 . Tem-se assim x i ax x it s z= + =λ =− + ω 2 1 1 . Então de e e e

(

t i t

)

s it s z sin cos + = = + vem ( ) e ( )

(

x i x

)

ea2x+iωx = −a2x cosω + sinω . Similarmente, uma vez que sin

( )

−α =−sinα, tem-se para eλ2x, com λ =− aiω

2 1

2 ,

( ) e ( )

(

x i x

)

ea2xiωx = −a2x cosω − sinω . Adicionando as duas fórmulas e dividindo a soma por 2, encontramos à direita, como se viu atrás, y2 =eax2sinωx. Do teorema fundamental para a equação homogénea que vimos anteriormente segue-se que y e 1 y são novamente soluções, o que 2

confirma que y=eax2

(

Acosωx+Bsinωx

)

é uma solução geral de y′′+ay′+by=0 no caso de raízes complexas. Lembramos que para s=0, eit =cost+isint é a chamada fórmula de Euler.

Exemplo – Resolva o problema de valor inicial y′′+2y′+5y=0, y

( )

0 =1,

( )

0 =5 ′

y .

A equação característica

λ

2 +2

λ

+5=0 tem as raízes complexas −1± 1−5 =

i

2 1± −

= . Tem-se assim y

( )

x =ex

(

Acos2x+Bsin2x

)

. A primeira condição dá

( )

0 = A=1

y . A derivada da solução geral é y′ x

( )

=

(

A x B x A x B x

)

e xcos2sin22 sin2 +2 cos2

= −

, e a segunda condição inicial permite obter, uma vez que sin0= , 0 y

( )

0 =−A+2B=−1+2B=5. Então B=3 e a resposta é y=ex

(

cos2x+3sin2x

)

.

Exemplo – Uma solução geral da equação y′′+ω2y=0, ω=constante≠ , é 0

x B x A

y= cos

ω

+ sin

ω

. Para ω=1 tem-se o mesmo resultado que obteríamos anteriormente para y′′ y+ =0, isto é, y=c1cosx+c2sinx.

É interessante que em aplicações em sistemas mecânicos ou circuitos eléctricos os três casos atrás correspondem a três formas diferentes de movimentos ou fluxos de corrente, respectivamente.

(11)

De seguida apresenta-se um resumo dos três casos:

Caso Raízes de λ2+aλ+b=0 Base de y′′+ay′+by=0 Solução geral de y′′+ay′+by=0 I Distintas reais λ , 1 λ 2 eλ1x, eλ2x y=c1eλ1x +c2eλ2x II Real dupla a 2 1 − = λ ax2 e− , xeax2

(

1 2

)

2 ax e x c c y= + −

III Complexas conjugadas

x eax2cosω x eax2sinω y e

(

A x B x

)

ax2 cosω + sinω = −

Problemas de Valor Fronteira.

As aplicações conduzem-nos por vezes a condições do tipo y

( )

P1 = , k1 y

( )

P2 =k2. Estas são conhecidas por condições fronteira, uma vez que se referem aos pontos terminais P , 1 P - pontos fronteira 2 P , 1 P - de um intervalo 2 I no qual a equação

0 = + ′ + ′′ ay by

y é considerada. A equação y′′+ay′+by=0 e as condições

( )

P1 k1

y = , y

( )

P2 =k2 em conjunto constituem o que é conhecido por problema de

valor fronteira. Refere-se a seguir um exemplo típico:

Exemplo – Resolva o problema de valor fronteira y′′+y=0, y

( )

0 =3, y

( )

π =−3.

Uma base é y1 =cosx, y2 =sinx. A correspondente solução geral é

( )

x c x c x

y = 1cos + 2sin . A condição de fronteira esquerda dá y

( )

0 = c1=3. Da condição de fronteira direita vem y

( )

π =c1cosπ +c2⋅0=−3. 1cosπ =− e c1 =3, portanto esta equação mantém-se e vemos que não gera qualquer condição para c2. Assim uma solução do problema é y=3cosx+c2sinx. c continua a ser arbitrário. 2

Isto é uma surpresa. A razão, é claro, é que sin é nulo em zero e x π. Pode concluir-se que a solução de um problema de valor fronteira é único se e somente se nenhuma solução y≠0 de y′′+ay′+by=0 satisfazer y

( ) ( )

P1 = Py 2 =0.

(12)

Equação de Euler-Cauchy.

As equações de coeficiente constante são resolvidas sem integração, como vimos. Similarmente, as equações de Euler-Cauchy x2y′′+axy′+by=0 podem ser também resolvidas puramente por manipulações algébricas. Na verdade, substituindo y=xm e as suas derivadas na equação diferencial x2y′′+axy′+by=0, tem-se

(

1

)

2 1 0

2mmxm− +axmxm− +bxm =

x . Omitindo x , que não é nulo se m x0,

obtém-se as equações auxiliares m2 +

(

a−1

)

m+b=0 .

Caso I – Raízes reais distintas.

Se as raízes m1, m2 de m2 +

(

a−1

)

m+b=0 são reais e distintas, então

( )

1 1 m x x y = e

( )

2 2 m x x

y = constituem uma base de soluções da equação diferencial 0

2y′′+axy′+by=

x para todo o x para o qual estas funções são definidas. A correspondente solução geral é 1 2

2 1 m m x c x c y= + (c1, c2 arbitrários).

Exemplo – Resolva a equação de Euler-Cauchy x2y′′−2,5xy′−2,0y=0.

A equação auxiliar é m2−3,5m−2,0=0. As raízes são 0,5

1 =−

m e m2 =4. Assim uma base de soluções reais para todo o x positivo é

x

y1 = 1 , y2 = x4 e a correspondente solução geral para todo o x é 1 c2x4

x

c + .

Caso II – Raízes duplas.

Se m2 +

(

a−1

)

m+b=0 tem uma raíz dupla m=

(

1−a

)

2 1

, tem-se uma primeira solução y1= x(1−a)2 e uma segunda solução y pelo método de redução de ordem. 2

Assim, substituindo y2 =uy1 e as suas derivadas em x2y′′+axy′+by=0, obtém-se

(

1 2 1 1

)

(

1 1

)

1 0 2 ′′ + ′ ′+ ′′ + ′ + ′ + = buy y u y u ax y u y u y u

(13)

(

2 1 1

)

(

2 1 1 1

)

0

1

2 + ′ ′+ + ′′++ =

′′x y ux xy ay u x y axy by

u . A última expressão é nula pois y1

é uma solução de x2y′′+axy′+by=0. De (1 )2 1

a

x

y = − tem-se na última expressão

(

)

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1

2xy′+ay = −a xa +axa =xa = y . Isto reduz a expressão

(

2 1 1

)

(

2 1 1 1

)

0 1 2 + ′ ′+ + ′′+ ′+ = ′′x y ux xy ay u x y axy by u a

(

u′′x2+ux

)

y1 =0. Dividindo por 1

y (≠ ), separando as variáveis e integrando tem-se, para 0 x >0,

x u u =1 ′ ′′ , x u ln ln ′ =− , x

u′= 1, u=lnx. Assim y2 = y1lnx, que não é proporcional a y1. Então no caso de uma raíz dupla de m2 +

(

a−1

)

m+b=0, uma base de

0 2 ′′+ ′+ = by y ax y

x para todo o x positivo é y1 =xm, y2 = xmlnx com

(

a

)

m= 1−

2 1

, obtendo-se a solução geral y=

(

c1+c2lnx

)

x(1−a)2 com c1, c2 arbitrários.

Exemplo – Resolva x2y′′−3xy′+4y=0.

A equação auxiliar tem a raíz dupla m=2. Então uma base de soluções reais para todo o x positivo é x , 2 x ln2 x, e a correspondente solução geral é

(

)

2

2 1 c lnx x

c

y= + .

Caso III – Raízes complexas conjugadas.

Se as raízes m1 e m2 de m2 +

(

a−1

)

m+b=0 são complexas elas são também conjugadas, digamos m1 =µ+iν, m2 =µ−iν. Neste caso, uma base de soluções de

0 2 ′′++ = by y ax y

x para todo o x positivo é y1 =xµcos

(

νlnx

)

, y2 = xµsin

(

νlnx

)

. Na verdade estas funções não são proporcionais, e são soluções de

0

2y′′+axy′+by=

x por diferenciação e substituição. A correspondente solução geral

é y= xµ

[

Acos

(

νlnx

)

+Bsin

(

νlnx

)

]

. Outra questão tem a ver com o facto de como se concluiu que y1 e y2 acima poderiam ser soluções. Para responder a isso vejamos o seguinte: a fórmula xk =

( )

elnx k =eklnx verifica-se assim para k real até k=iν

(14)

(

x

)

i

(

x

)

e

xiν = iνlnx =cosνln + sinνln

, xiν =eiνlnx =cos

(

νlnx

)

isin

(

νlnx

)

. Agora multiplique-se por x e adicione-se e subtraia-se. Tem-se µ 2 y e 1 2iy , 2 respectivamente. Dividindo por 2 e por 2i, tem-se y1 =xµcos

(

νlnx

)

,

(

x

)

x

y2 = µsinνln .

Exemplo – Resolva x2y′′+7xy′+13y=0.

A equação auxiliar m2 +

(

a−1

)

m+b=0 é m2+ m6 +13=0. As raízes desta equação

são m1,2 =−3± 9−13=−3±2i. Através de y= xµ

[

Acos

(

νlnx

)

+Bsin

(

νlnx

)

]

, a resposta é y= x−3

[

Acos

(

2lnx

)

+Bsin

(

2lnx

)

]

.

Teoria da Existência e da Solução Única. Wronskiano.

Veremos uma teoria geral para equações lineares homogéneas

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y com coeficientes arbitrários variáveis p e q contínuos. Isto

tem a ver com a existência de uma solução geral y=c1y1+c2y2 de

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y bem como com problemas de valor inicial que consistem na

equação anterior e em duas condições iniciais y

( )

x0 =K0, y

( )

x0 =K1, com x , 0 K e 0

1

K dados.

O seguinte Teorema da Existência e da Solução Única para problemas de valor inicial é importante:

Teorema – Se p

( )

x e q

( )

x são funções contínuas num qualquer intervalo I e x 0 pertence a I , então o problema de valor inicial y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0, y

( )

x0 =K0,

( )

x0 K1

y′ = tem uma única solução y

( )

x no intervalo I .

(15)

Independência Linear de Soluções. Wronskiano.

O teorema acima tem implicações importantes de soluções gerais y=c1y1+c2y2 de

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y . Como sabemos, estas são constituidas por uma base y1 e y2

dizem-se linearmente independentes no intervalo I se k1y1

( )

x +k2y2

( )

x =0 em I implicar 0k1 = , 0k2 = e dizemos que y e 1 y são linearmente dependentes em I se 2 esta equação também se mantiver para k1, k2 não simultaneamente nulos. Neste caso, e somente neste caso, y1 e y2 são proporcionais em I , isto é, y1 =ky2 ou y2 =ly1. Para esta discussão o critério de independência e dependência linear de soluções explicitado servirá de auxílio. Este critério utiliza o chamado determinante wronskiano, ou, mais brevemente, o wronskiano, de duas soluções y1 e y2 de

( )

′+

( )

=0 + ′′ p x y q x y y , definido por

(

)

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1, y y y y y y y y y y W = ′ − ′ ′ ′ = .

Teorema – Suponha-se que y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 tem coeficientes p

( )

x e q

( )

x

contínuos num intervalo aberto I . Então duas soluções y1 e y2 de

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y em I são linearmente dependentes em I se e somente se o

seu wronskiano W for nulo para algum x em 0 I . Para além disso, se W =0 para

0

x

x= , então W ≡0 em I ; assim se existe um x1 em I para o qual W ≠0, então

1

y , y2 são linearmente independentes em I .

Demonstração – Se y1 e y2 são linearmente dependentes em I em y1=ky2 e

1 2 ly

y = verifica-se em I , obtendo-se para y1 =ky2, W

(

y1, y2

)

=W

(

ky2, y2

)

= 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = ′ ′ = ky y y ky y y k y ky e similarmente para y2 =ly1.

Da mesma forma, assume-se que W

(

y1, y2

)

=0 para algum x=x0 em I e mostra-se que y1, y2 são linearmente dependentes. Considere-se o sistema de equações lineares

( )

( )

( )

( )

⎩ ⎨ ⎧ = ′ + ′ = + 0 0 0 2 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 x y k x y k x y k x y k

(16)

( )

( )

[

y1 x0 , y2 x0

]

W , que é nulo por admissão de hipótese. Assim o sistema tem uma

solução k , 1 k onde 2 k e 1 k não são ambos nulos. Usando estes números 2 k , 1 k , 2 introduzimos a função y

( )

x =k1y1

( )

x +k2y2

( )

x . Pelo teorema fundamental a função

( )

x

y é uma solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 em I . Do sistema de equações lineares atrás vemos que satisfaz as condições iniciais y

( )

x0 =0, y′ x

( )

0 =0. Agora outra solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 que satisfaça as mesmas condições iniciais é

0

*≡

y . Uma vez que p e q são contínuas, o teorema anterior aplica-se e garante a solução única, isto é, yy*, ou, escrevendo, k1y1+ yk2 2 ≡0 em I . Uma vez que k1 e k2 não são ambos nulos, isto significa dependência linear de y1, y2 em I .

Prove-se a última afirmação do teorema. Se W =0 num x em I , tem-se 0 dependência linear de y1, y2 em I pela última parte da demonstração, assim W =0

pela primeira parte da demonstração. Então W ≠0 num x1 em I não pode acontecer no caso de dependência linear, de modo que W ≠0 em x1 implica independência linear.

Exemplo – Mostre que y1=cosωx, y2 =sinωx formam uma base de soluções de 0

2 =

+

′′ y

y ω , ω≠0, em qualquer intervalo.

A substituição mostra que são soluções e a independência linear segue-se do teorema,

uma vez que

(

)

ω

(

ω ω

)

ω

ω ω ω ω ω ω ω ω = + = − = x x x x x x x x W cos2 sin2 cos sin sin cos sin , cos .

Uma Solução Geral de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 Inclui Todas as Soluções.

Provaremos isto em duas etapas, mostrando primeiro que a solução geral existe sempre:

Teorema – Se os coeficientes p

( )

x e q

( )

x são contínuos num intervalo aberto I , então y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 tem uma solução geral em I .

(17)

Demonstração – Pelo penúltimo teorema, a equação y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 tem uma solução y1

( )

x em I satisfazendo as condições iniciais y1

( )

x0 =1, y1′ x

( )

0 =0 e uma solução y2

( )

x em I satisfazendo as condições iniciais y2

( )

x0 =0, y2′ x

( )

0 =1. Daqui vemos que o wronskiano W

(

y1, y2

)

tem em x o valor 1. Então 0 y , 1 y são 2 linearmente independentes em I , pelo último teorema; formam uma base se soluções de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 em I , e y =c1y1+c2y2 com c1, c2 arbitrários é uma solução geral de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 em I .

De seguida prova-se que uma solução geral de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 é tão geral como pode ser, nomeadamente, inclui todas as soluções de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0.

Teorema – Suponha-se que y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 tem coeficientes p

( )

x e q

( )

x

contínuos num intervalo aberto I . Então toda a solução y=Y

( )

x de

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y em I é da forma Y

( )

x =C1y1

( )

x +C2y2

( )

x onde y1, y2 formam uma base de soluções de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 em I e C , 1 C são 2 constantes adequadas. Assim y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 não tem soluções singulares – isto é, soluções não obteníveis a partir de uma solução geral.

Demonstração – Pelo teorema acima, a nossa equação tem uma solução geral

( )

x c y

( )

x c y

( )

x

y = 1 1 + 2 2 em I . Temos que encontrar valores adequados de c1, c2 tais que y

( )

x =Y

( )

x em I . Escolhe-se um determinado x em 0 I e mostra-se primeiro que podemos encontrar c1, c2 tais que y

( )

x0 =Y

( )

x0 , y

( )

x0 =Y

( )

x0 , ou, escrevendo, c1y1

( )

x0 +c2y2

( )

x0 =Y

( )

x0 e c1y1

( )

x0 +c2y2

( )

x0 =Y

( )

x0 . De facto, este é um sistema de equações lineares com c1 e c2 desconhecidos. O seu determinante é o wronskiano de y1 e y2 em x=x0. Uma vez que y

( )

x =c1y1

( )

x +c2y2

( )

x é uma solução geral, y e 1 y são linearmente independentes em 2 I e portanto o seu wronskiano é diferente de zero. Assim o sistema tem uma única solução c1 =C1,

2 2 C

c = que pode ser obtido pela regra de Cramer. Utilizando estas constantes obtém-se de y

( )

x =c y

( )

x +c y

( )

x a solução particular y*

( )

x =C y

( )

x +C y

( )

x .

(18)

Uma vez que C1, C2 são soluções de c1y1

( )

x0 +c2y2

( ) ( )

x0 =Y x0 e

( )

0 2 2

( )

0

( )

0

1

1y x c y x Y x

c ′ + ′ = ′ e daqui vemos que y*

( )

x0 =Y

( )

x0 ,

( )

( )

0 0 * x Y x y ′ = ′ .

Deste teorema e do teorema de solução única conclui-se que y* e Y devem ser iguais em I , e a demonstração está completa.

Redução de Ordem: Como Obter Uma Segunda Solução?

Na tentativa de encontrar uma base de soluções, pode frequentemente encontrar-se uma solução por observação ou por algum método. Os casos que já vimos para equações de coeficientes constantes e equações de Euler-Cauchy foram apenas casos particulares de um método geral, o método de redução de ordem aplicável a qualquer equação. Seja y1 uma solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 num intervalo I . Substitua-se y2 =uy1 e as suas derivadas y2 =uy1+uy1′ e y2′′=u′′y1+2uy1′+uy1′′

em y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 e ordenem-se os termos, obtendo

(

2 1 1

) (

1 1 1

)

0

1+ ′ ′+ + ′′+ ′+ =

′′y u xy py u y py qy

u . Uma vez que y1 é solução de

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y , a expressão do último parenteses é nula. Dividindo a

expressão que resta por y1 e definindo u′=U. Então u′′=U′ e tem-se 0 2 1 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ′ + ′ p U y y

U . Separando as variáveis e integrando, escolhendo a constante de

integração de forma que seja nula - uma vez que não é necessária qualquer constante arbitrária - obtém-se lnU =−2lny1

pdx e tirando os expoentes vem

∫ = e− pdx y U 2 1 1

. U = . Assim a segunda solução pretendida é uy2 =uy1 = y1

Udx. Uma vez que y2 y1 =u =

Udx não pode ser constante, vemos que y1 e y2 formam uma base.

Exemplo -

(

x2 −1

)

y′′−2xy′+2y=0 tem y1 = x como primeira solução. Encontre outra solução independente.

(19)

Define-se y2 =uy1 e usa-se = e− pdxy

U 2

1

1

, é crucial que se escreva primeiro a

equação na forma padrão, 0

1 2 1 2 2 2 − ′+ − = − ′′ y x y x x y porque = e− pdxy U 2 1 1 foi

derivada com base neste pressuposto. Então

= − − = − ln 1 1 2 2 2 dx x x x pdx . Assim

(

2

)

2 2 1 1 − − = =x x x U e u=

Udx= x+x−1. Assim,

(

1

)

2 1 1 2 = = + = + − x x x x uy y .

Equações Não Homogéneas.

Começamos agora a tratar de equações não homogéneas y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x

onde r

( )

x ≢0. Antes de considerarmos os métodos de resolução, exploremos primeiro o que realmente é necessário para passarmos da correspondente equação homogénea

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y para a equação não homogénea. A chave que relaciona as

duas e nos permite resolver a equação não homogénea é o seguinte teorema:

Teorema – A diferença de duas soluções de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=r

( )

x num intervalo aberto I é uma solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0. A soma de uma solução de

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

y′′+ ′+ = em I e uma solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 em I é uma solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x em I .

Esta situação sugere os seguintes conceitos:

Solução Geral e Solução Particular.

Uma solução geral da equação não homogénea y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x num intervalo I é uma solução da forma y

( )

x = yh

( )

x +yp

( )

x onde

( )

x c y

( )

x c y

( )

x

yh = 1 1 + 2 2 é uma solução geral da equação homogénea

( )

′+

( )

=0 + ′′ p x y q x y y em I e yp

( )

x é qualquer solução de

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

y′′+ ′+ = em I não contendo constantes arbitrárias. Uma solução

(20)

( )

x y

( )

x y

( )

x

y = h + p atribuindo valores específicos às constantes arbitrárias c e 1 c 2

em yh

( )

x . Se os coeficientes de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=r

( )

x e r

( )

x são funções contínuas em I , então y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=r

( )

x tem uma solução geral em I

porque yh

( )

x existe em I, e a existência de yp

( )

x será mostrada quando falarmos no método de variação de parâmetros. Um problema de valor inicial para

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

y′′+ ′+ = tem uma única solução em I . Na verdade, se são dadas as condições iniciais y

( )

x0 =K0, y

( )

x0 =K1 e y foi determinado, existe, pelo p

teorema, uma solução única da equação homogénea y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =0 em I

satisfazendo ~y

( )

x0 =K0yp

( )

x0 , ~y

( )

x0 =K1yp

( )

x0 e y= ~y+ yp é a única solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=r

( )

x em I satisfazendo as condições iniciais dadas.

Para além disso, justificando a terminologia, demonstramos agora que uma solução geral de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x inclui todas as soluções; então a situação é a mesma que para a equação homogénea:

Teorema – Suponha-se que os coeficientes e r

( )

x em y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=r

( )

x são contínuos num intervalo aberto I. Então toda a solução de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x

em I é obtida atribuindo valores adequados às constantes arbitrárias numa solução geral y

( )

x = yh

( )

x + yp

( )

x de y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x em I .

Conclusão – Para resolver a equação não homogénea y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y =r

( )

x ou um problema de valor inicial para a equação anterior, temos que resolver a equação homogénea y′′+ p

( )

x y′+q

( )

x y=0 e encontrar qualquer solução particular y de p

( )

′+

( )

=0

+

′′ p x y q x y

y .

Exemplo – Resolva o problema de valor inicial y′′−4y′+3y=10e−2x, y

( )

0 =1,

( )

0 =−3 ′

y .

A equação característica

λ

2−4

λ

+3=0 tem as raízes 1 e 3. Isto permite obter como solução geral da equação homogénea a equação x x

h ce c e

y 3

2 1 +

(21)

tem derivadas múltiplas de e−2x, tenta-se como solução particular x p Ce y = −2 . Então x p Ce y′ =−2 −2 , x p Ce

y′′ =4 −2 . Por substituição vem x =−

(

− − x

)

+ − x =

Ce Ce Ce 2 4 2 2 3 2 4 x Ce 2 10 − = . Assim, 4C+8C+3C=10, 3 2 =

C , e uma solução geral da equação não

homogénea é y yh yp c1ex c2e3x e 2x 3 2 − + + = + = . Por diferenciação,

( )

x x x e e c e c x y 1 2 3 2 3 4 3 − − + =

′ e das condições iniciais, vem

( )

1

3 2 0 =c1+c2 + = y ,

( )

3 3 4 3 0 = 1+ 2 − =− ′ c c y . Tem-se 3 4 1 =

c , c2 =−1. Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é y ex e3x e 2x

3 2 3

4 +

= .

Solução por Coeficientes Indeterminados.

Uma solução geral de uma equação linear não homogénea é uma soma da forma

p

h y

y

y= + onde y é uma solução geral da equação homogénea correspondente e h

p

y é qualquer solução particular da equação não homogénea. Já vimos isto. Assim

falta discutir métodos. Existe um método muito simples, especial, e de interesse prático, que discutiremos agora. É chamado o método dos coeficientes indeterminados

e aplica-se a equações y′′+ay′+by=r

( )

x com coeficientes constantes e membros direitos r

( )

x especiais, nomeadamente, funções exponenciais, polinómios, cossenos, senos, ou somas ou produtos de tais funções. Este tipo de funções r

( )

x têm derivadas similares à própria função r

( )

x , o que nos dá a ideia chave: escolhe-se para y uma p

forma parecida à de r

( )

x e envolvendo coeficientes desconhecidos a serem determinados por substituição da escolha para yp em y′′+ay′+by=r

( )

x . Seguem-se as regras do método:

(A) Regra Básica – Se r

( )

x em y′′+ay′+by=r

( )

x é uma das funções na primeira coluna da tabela abaixo, escolhe-se a função correspondente yp na segunda coluna e

(22)

determina-se os seus coeficientes indeterminados por substituição de y e das suas p

derivadas em y′′+ay′+by=r

( )

x .

(B) Regra da Modificação – Se um termo escolhido para y é, por acaso, uma p

solução da equação homogénea correspondente para y′′+ay′+by=r

( )

x , então multiplica-se essa escolha de y por x - ou por p x2 se esta solução corresponde a uma raíz dupla da equação característica da equação homogénea.

(C) Regra da Soma – Se r

( )

x é uma soma das funções listadas na tabela abaixo – primeira coluna – então escolhe-se para y a soma de funções nas linhas p

correspondentes da segunda coluna.

A regra básica diz-nos o que fazer em geral. A regra da modificação visa resolver as dificuldades que ocorrem no caso indicado. Temos sempre que resolver a equação homogénea primeiro. A regra da soma é utilizada se repararmos que a soma de duas soluções de y′′+ay′+by=r

( )

x com r= e r1 r= , respectivamente, é uma solução r2

de y′′+ay′+by=r

( )

x com r=r1+r2.

Método dos Coeficientes Indeterminados Termo em r

( )

x Escolha para y p

x keγ Ceγx

(

n=0,1,…

)

kxn Knxn+Kn1xn−1+ +K1x+K0 x kcosω x ksinω x M x Kcosω + sinω ⎭ ⎬ ⎫ x keaxcosω x keaxsinω

(

K x M x

)

eax cosω + sinω ⎭ ⎬ ⎫

O método corrige-se a si mesmo no sentido de que uma escolha falsa de y ou uma p

(23)

necessária, e uma escolha com demasiados termos dará origem a um resultado correcto, com os coeficientes supérfluos acabando por se tornarem nulos.

Exemplo (regra A) – Resolva a equação não homogénea y′′+4y=8x2.

A tabela sugere a escolha 2 1 0 2x K x K

K

yp = + + . Então yp′′ =2K2. Por substituição obtém-se 2K2+4

(

K2x2 +K1x+K0

)

=8x2. Equacionando os coeficientes de x2, x e

0

x em ambos os lados, tem-se 4K2 =8, 4K1 =0, 02K2+ K4 0 = . Assim, K2 =2, 0

1 =

K , 1K0 =− . Então y = x2 2−1

p , e uma solução geral de

2 8 4y x y′′+ = é 1 2 2 sin 2 cos + + 2− = + = y y A x B x x y h p .

Exemplo (regra B) – Resolva y′′−3y′+2y=ex.

A equação característica

λ

2 −3

λ

+2=0 tem as raízes 1 e 2. Assim yh =c1ex +c2e2x. Normalmente, a nossa escolha seria x

p Ce

y = . Mas podemos ver que ex é uma

solução da equação homogénea corespondendo a uma raíz – nomeadamente, 1. Assim a regra (B) sugere yp =Cxex. Necessitamos yp =C

(

ex +xex

)

, yp′′ =C

(

2ex +xex

)

. Por substituição obtém-se C

(

2+x

)

ex3C

(

1+x

)

ex +2Cxex =ex. Os termos xex são

anulados, restando −Cex =ex. Então C =−1. Uma solução geral é

x x x xe e c e c y= 1 + 2 2 − .

Exemplo (regra B e regra C) – Resolva o problema de valor inicial y′′−2y′+ y=

(

−1

)

2 = + ,

( )

0 =1, ′

( )

0 =0

= D y ex x y y .

A equação característica tem a raíz dupla λ =1. Assim yh =

(

c1+c2x

)

ex. Determina-se uma solução particular y . Pela tabela, o termo x indica uma escolha p

de solução particular K1x+K0. Uma vez que 1 é uma raíz dupla da equação característica

(

λ−1

)

2 =0, pela regra (B) o termo e pede a solução particular x Cx2ex

Imagem

Referências