1. Mesopotâmia Introdução Histórico Temporal Contextualização Geográfica

1.

Mesopotâmia

1.1.

_{Introdução Histórico Temporal}

1.1.1. Contextualização Geográfica

A Mesopotâmia, como a própria tradução do nome indica, era uma região situada entre dois rios, nomeadamente o rio Eufrates e o rio Tigre. A capital da Mesopotâmia era a Babilónia, tendo de seguida como cidades principais, Ur e Susa.

Por se encontrar no meio de dois rios, o seu solo era fértil proporcionando condições ideais para o desenvolvimento da agricultura. A sua localização também proporcionava as actividades de pesca e da pecuária. Desta forma o povo vivia essencialmente do cultivo, criação de gado, pesca e comercialização de bens.

Situada no actual Irão, a Babilónia encontrava-se sensivelmente 96,56 km a sul da actual cidade de Bagdad. Podemos visualizar nos seguintes mapas as localizações geográficas das cidades acima mencionadas.

Figura 1.2 – Mapa Actual zona da Mesopotâmia (Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/iraq.htm)

1.1.2. Os Vários Povos

A Mesopotâmia era governada através de várias aldeias, que à medida do seu crescimento se tornaram cidades-estado. Sendo uma terra de solo produtivo, encontrava-se bastante deencontrava-senvolvida ao nível da agricultura e comércio, o que encontrava-se traduzia em toda a sua actividade financeira. Consequentemente, esta região produtiva foi alvo de cobiçada ao longo dos milénios por diversos povos.

Tal cobiça deu origem a numerosas conquistas, tendo sido ocupada por muitos povos ao longo dos tempos. Ao contrário do que poderíamos esperar (com base no que aconteceu na História mais recente da Humanidade), à medida que as várias ocupações se iam realizando, a cultura do povo, em vez de dizimada e oprimida, era salvaguardada e acolhida como uma riqueza, pelos novos habitantes.

Uma das realidades que mais sustenta esta percepção é o facto de todos esses povos, apesar de cada um ter o seu dialecto próprio, terem partilhado da mesma escrita. Esta escrita denominou-se cuneiforme devido a ser realizada em placas de barro, sendo por isso necessária a utilização de estiletes, que tinham o formato de cunha.

A conservação de uma única escrita ao longo de tantas conquistas evidencia a unidade cultural que aí vigorava, o que nos permite hoje falar da civilização mesopotâmica ou, de forma equivalente, da civilização babilónica. Desta forma não é necessário referir constantemente qual dos povos ocupava a região num determinado momento.

Podemos contudo listar, por ordem cronológica para facilitar a compreensão do desenvolvimento da história desta Civilização, alguns dos povos que a ocuparam. Assim sendo, podemos destacar:

• Por volta de 4000 a.C. a Mesopotâmia era habitada pelos Sumérios;

• Em 2400 a.C. aproximadamente, foi conquistada pelos Acádios, sendo posteriormente conquistada por uma série de povos, de entre os quais podemos enumerar os Elamitas, Amorritas, Hititas, Cassitas, Assírios e Medos.

• Em 539 a.C. foi conquistada pelo rei da Pérsia, deixando de estar em seu poder a partir de 330 a.C.

• Em 330 a.C. foi conquistada por Alexandre o Grande, o qual naquele tempo tentava expandir e unificar todos os países vizinhos, por forma a obter um só estado, dividido e governado através de várias cidades-estado, que seguiriam todas um mesmo esquema político de acordo com o que o rei proferisse.

• Ficou nesse momento a fazer parte do território Grego, integrando-se no que hoje denominamos a Grécia Helenista.

• Contudo esta dependência perdeu-se sete anos mais tarde, aquando da morte do seu conquistador. Alexandre, não conseguia deixar de tentar conquistar novos territórios, o que ia contra o facto do seu exército estar exausto e saturado de se encontrar longe das suas famílias e em digressão há já sete anos consecutivos. Alexandre faleceu após uma batalha sangrenta travada na Índia, a seguir à qual tomara a resolução de voltar com os seus homens às respectivas casas.

• Quando Alexandre faleceu, o seu império foi dividido em quatro grandes áreas e entregues cada uma a um dos seus melhores generais. A área relativa à Mesopotâmia foi entregue ao general Selêuco, daí o período de 300 a.C. até à era cristã ser denominado por Período Selêucida.

De qualquer modo, e como veremos de seguida, esta “divisão” por povos, não é significativa na avaliação das fontes históricas daqui provenientes, pelo que será posteriormente introduzida uma separação por períodos cronológicos não interligados de forma intrínseca com esta ordem.

1.2.

_{A Matemática na Mesopotâmia}

1.2.1. Exemplares de Artefactos Arqueológicos

A grande maioria dos artefactos arqueológicos que chegaram até à actualidade e nos colocam a par do que eventualmente se conhecia, e aplicava naqueles tempos, são placas de barro gravadas com escrita cuneiforme.

Ao longo dos tempos foram encontradas milhares destas placas, embora no início o seu conteúdo fosse totalmente desconhecido, uma vez que ainda não fora feita a decifração da escrita utilizada. Contudo, e apesar de não conhecerem o seu conteúdo, estas foram sendo guardadas em várias colecções, muitas das quais particulares. Apesar desta observação não parecer relevante, na realidade é nela que reside a explicação do nome de cada placa. Por exemplo, a placa Plimpton 322 possui esse nome porque faz parte da colecção Plimpton, na qual tem a numeração 322 – voltaremos posteriormente a falar nesta placa.

A interpretação da escrita cuneiforme só teve lugar no séc. XIX, pelo que o estudo da civilização Mesopotâmica é bastante recente. A decifração desta escrita deve-se a Henry Rawlinson, cônsul britânico em Bagdad no seu tempo. Foi ele que descobriu a rocha de Behistun, situada a Sudoeste do actual Irão. Nesta rocha estavam gravados em três línguas diferentes o mesmo texto (persa antigo, elamítico e acádio). Henry

Rawlinson escalou até ao local onde se encontrava a dita rocha, ou seja a 90m acima do solo, copiando o seu conteúdo. Mais tarde, com base nos seus conhecimentos e na comparação das traduções das várias escritas, conseguiu entre 1835 e 1851 decifrar a escrita cuneiforme. Só a partir desta altura se começaram a entender os conteúdos de algumas das diversas placas até então encontradas.

Existem ainda milhares de placas por decifrar, o que se deve não somente à recente decifração da escrita, mas principalmente à diversidade dos conteúdos das placas (como veremos no sub-capítulo que se segue), e da necessidade de se fazer uma interligação com a sociologia da época. Na realidade, a informação nelas contidas têm um valor muito relativo se não se tiver em conta a integração cultural e respectiva reinterpretação dos conteúdos.

1.2.2. Conteúdos Relevantes de Algumas Placas – A Placa de Larsa

À medida que foram decifrando e interpretando os conteúdos das placas, começaram a ter noção da sua riqueza e diversidade temática. Na realidade existem placas que contêm apenas simples contagens do número de tijolos colocados por um trabalhador num dia de serviço, até placas sobre dados da astronomia, tabelas de somas, multiplicações, tabelas de potências de um número, quadrados perfeitos, resolução de equações de primeiro e segundo grau, problemas compostos aplicando método da falsa posição e por fim, tendo neste trabalho uma importância muito relevante, problemas envolvendo o conhecimento do Teorema de Pitágoras e tabelas dos primeiros ternos pitagóricos.

A placa de Larsa (Figura 1.4) é um exemplo da sabedoria já adquirida na época. Para podermos ter alguma ideia do que se trata o conteúdo desta placa, faremos uma breve introdução ao sistema de contagem utilizado naquele período.

Por volta do séc. XXI a.C. o sistema usado era um sistema posicional sexagésimal, o qual pode ser de certa forma considerado até mais rico do que o que utilizamos na actualidade (decimal).

Segundo este sistema posicional sexagésimal, para representar um número, utilizava-se um sistema repetitivo de um mesmo símbolo. Para representar o número um utilizava-se o símbolo , os números do 2 até ao 9 obtinham-se da repetição deste do seguinte modo:

.

O número dez era representado pelo símbolo , e os múltiplos de 10 até 50 obtinham-se utilizando múltiplos deste símbolo, como no processo de construção dos números 2 até 9:

.

Os números até ao 59 eram obtidos através da combinação dos anteriores, do mesmo modo que fazemos no sistema decimal, ou seja, escrevendo-os da esquerda para a direita. Assim sendo, por exemplo, o número 11 era escrito como , enquanto que 70 representava-se por .

Podemos assim construir todos os 59 símbolos utilizando apenas conjugações dos símbolos e (Figura 1.3).

Figura 1.3 – Numerais na Antiga Babilónia

(Extraído de www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_numerals.html)

Se houvesse no número alguma posição que não possuísse valor, poderia ser deixado um espaço em branco para o representar (até 300 a.C.). Mais tarde, por volta de 300 d.C. passou-se a utilizar o símbolo para representar os espaços em vazio, ou

seja, para representar o zero; de qualquer modo, tal só sucedia para preencher espaços em vazio entre símbolos e nunca utilizado no fim do número, pelo que o valor absoluto do número continuava a ser de ponto flutuante. A introdução deste símbolo causou algumas confusões a nível da interpretação da placa Plimpton 322, como veremos posteriormente.

O modo convencional dos historiadores representarem números no sistema sexagésimal de vírgula flutuante é utilizando virgulas como separadores, ou seja 1,33 é

60 33 93+ = na notação decimal e 1, 2,3 é 1 60× 2+ ×2 60 3 3600 120 3 3723+ = + + = . Havia ainda um pequeno problema com a interpretação dos números escritos neste sistema. Uma vez que o número 2 é representado por 2 caracteres, onde cada um representa a unidade e o número 61 também é representado por dois caracteres: um primeiro para representar a unidade e um segundo, idêntico ao anterior, para representar a potência de expoente um de 60; ou seja o 2 e o 1,1 tinham praticamente a mesma representação na escrita cuneiforme. Contudo tal dificuldade era facilmente ultrapassada, uma vez que o espaço deixado entre os caracteres deixava perceber que número se estava a mencionar. Na realidade, no símbolo para o 2 os caracteres, representando a unidade, tocam-se formando um único símbolo, enquanto que em 61 tal não sucede.

O sistema utilizado pelos babilónicos, sendo posicional mas de ponto flutuante, permite ainda uma grande flexibilidade nos cálculos. Como não existem as vírgulas para nos indicar qual o expoente da potência, cada placa contém muita mais informação do que à partida possa aparentar, pois cada numeral aí representado, não representa apenas um número, mas todas as suas potências base 60, uma vez que trabalhando com potências, fracções, números de dimensões muito grandes ou muito pequenas, o numeral que os representa continua a ser o mesmo.

Visualizemos, então, a Placa de Larsa:

Figura 1.4 – Fotografia da Placa de Larsa (Extraído de http:// ancientneareast.tripod.com)

Analisando as inscrições nesta tábua, consegue-se identificar e reconstruir o que nela se encontra escrito.

Figura 1.5 - Placa de Larsa (Extraído de Fauvel, 1987)

A placa parece consistir em quatro colunas, das quais a segunda e a quarta não sofrem qualquer alteração ao longo das respectivas linhas, aparecendo um grupo de caracteres que podemos pensar não se tratar de representações numéricas mas literais. A terceira coluna altera-se de uma forma tão regular, que se torna fácil inferir que se trata de uma coluna de números sucessivos. Pelo que analisamos da numeração e simbologia utilizada na época, entende-se que o primeiro número representado é o 49, seguindo-se

o 50, 51, ...59 terminando com o 1, que como não podemos esquecer estarmos no sistema sexagésimal de ponto flutuante, pode representar o número 60! Quanto à primeira coluna, não se altera de uma forma tão regular, contudo se analisarmos de forma mais pormenorizada podemos observar que:

representa o número 2500 que por sua vez é o quadrado de 50, o número representado na terceira coluna da mesma linha . Se repetirmos o processo para as restantes sequências observamos que na primeira coluna se encontra sempre o quadrado do número representado na terceira coluna.

Podemos, portanto, inferir que se trata de uma placa de quadrados perfeitos e de raízes quadradas, uma vez que a podemos utilizar nos dois sentidos (da direita para a esquerda e vice-versa).

As placas foram diferenciadas em três grandes períodos em termos cronológicos, e não propriamente respeitando as diversas invasões ocorridas na Babilónia, como já tínhamos referido no primeiro sub-capítulo. Neugebauer, um historiador de Matemática, definiu os seguintes períodos:

• Período antigo (1990-1600 a.C.), também denominado período da Antiga Babilónia;

• Neo-assírio (700 a.C.);

• Neo-babilónico e selêucida (600 a.C. até à era cristã).

As placas astronómicas pertencem todas a este último período e revelam conhecimentos semelhantes aos contidos no livro Almagesto de Cláudio Ptolomeu (século II a.C.). A partir do conteúdo das placas, podemos supor que em 2500 a.C., já existiam escolas de escribas. Na realidade existem placas que indicam claramente ter sido escritas por discípulos, não só pela falta de precisão na escrita (os caracteres aparecem marcados com imperfeições), como também pela existência de problemas cuja resolução contém erros. Para além deste facto, placas como a Plimpton 322, de que falaremos de seguida, ilustram a preocupação de se fazerem tabelas que permitissem aos professores colocarem problemas aos alunos, de forma a terem a certeza que a resolução era possível e que os cálculos davam “valores simpáticos”, isto é, resultados cuja escrita na base sexagésimal seria finita.

Existem ainda várias placas que apresentam tabelas de números inversos ou de conversão de números fraccionários nos seus equivalentes sexagésimais (dependendo da interpretação dada por cada historiador). Números regulares, designados assim por Neugebauer, números cuja decomposição em factores primos se compõem apenas da combinação de expoentes de bases 2, 3 e 5, ou seja números que admitem inversos com representação finita quando escritos na base sexagésimal.

É de salientar que muitas vezes na análise das placas, se toda uma conjectura só falha pela falta de um símbolo, muitas vezes esse símbolo é introduzido pelos historiadores, pelo que, as fontes não são consideradas mais verosímeis pela sua antiguidade. É claro que este tipo de alterações nos conteúdos das placas iniciais só podem ser executadas tendo-se em conta a estrutura matemática da época. Se uma placa se encontrar demasiado danificada, só pode ser reconstruída com base nas percepções que se têm desse período, podendo vir a alterar-se a sua interpretação aquando de novas descobertas. Daí a extrema importância, do pensamento do conhecimento geral e em particular do conhecimento matemático da época em que as placas foram datadas. Surgem também, por vezes, opiniões divergentes em relação a uma mesma placa, como estudaremos no caso da Plimpton 322.

1.2.3. A Plimpton 322 – Descrição

Na descrição da placa de Larsa pretendeu-se destacar o nível, espírito e flexibilidade de cálculo na Matemática da Babilónia no tempo a que nos estamos a referir.

Vamos agora estudar o conteúdo de uma placa cujo processo de construção parece ser de grande interesse e sustenta, inclusive, opiniões divergentes. A Plimpton 322, foi descrita por Neugebauer como “ um dos documentos históricos mais notáveis da antiga Matemática Babilónica”. A placa tem o nome da pessoa que a comprou, por volta de 1923, a um outro senhor de nome Banks que vivia na Florida. Desconhece-se a forma como o Sr. Banks a adquiriu, pensa-se apenas que deverá ter sido descoberta em alguma escavação feita em Larsa na Mesopotâmia.

O lado esquerdo da tábua encontra-se partido e desaparecido pelo menos até ao momento! Contudo, podem-se visualizar vestígios de cola actual, sugerindo que a

quebra da placa se deu aquando, ou imediatamente após, a sua descoberta nas escavações.

Vejamos uma fotografia desta placa:

Figura 1.6 – Fotografia da Plimpton

(Extraído de www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_Pythagoras.html)

Observando a placa (Figura 1.6) podemos distinguir quatro colunas de números com cabeçalhos de palavras no topo de cada uma das colunas.

Quanto aos números, depois de termos estudado o tipo de sistema numérico usado na época e os símbolos utilizados para representar cada um, não é difícil de apresentar o conteúdo no sistema sexagésimal e passá-lo para o sistema decimal com o qual estamos habituados a trabalhar na actualidade.

Relativamente aos cabeçalhos das colunas, o que consta na primeira não foi ainda traduzido devido ao seu grau de danificação, na segunda coluna aparece a palavra “comprimento” que segundo Neugebauer seria o comprimento do lado de um quadrado, na terceira coluna inclui a palavra “diagonal” que estaria relacionada com a diagonal do quadrado e na quarta coluna encontra-se escrito “onde se lê” que novamente segundo a interpretação deste matemático seria uma enumeração das respectivas linhas.

No seguimento, passamos a apresentar um conjunto de tabelas reproduzindo a reconstrução realizada por Neugebauer. Os números obtidos por interpolações serão representados a verde e as correcções executadas aparecem a vermelho. Ou seja, o conteúdo da próxima tabela não é uma leitura do que se encontra na placa, mas sim uma restauração dos seus conteúdos, quer a nível das imprecisões originadas pelos danos que

a placa apresenta dada a sua antiguidade, quer como da correcção de alguns números que não faziam sentido de ai se encontrarem. De qualquer modo, ainda voltaremos a falar do porquê e do sentido destas correcções e interpolações.

1.3.

Teorema de Pitágoras

1.3.1. O Teorema de Pitágoras e a Plimpton 322 – Várias Interpretações

No sub capítulo anterior fizemos uma observação rápida do conteúdo da Plimpton, sem no entanto tentarmos entender o seu significado e com que interligação a podemos visualizar.

Antes de mais, devemos lembrar que esta placa, aquando da sua descoberta, e até ser estudada por Neugebauer, parecia tratar-se de uma placa, como tantas outras, com conteúdos comerciais, em que os números não têm interligação aparente, para além de simples registos numéricos.

O que é certo é que várias foram as interpretações feitas do seu conteúdo, consoante cada historiador. O facto de algumas das entradas da tabela se encontrarem danificadas o suficiente para se tornarem ilegíveis, permitiu obter um maior leque de hipóteses a serem seguidas pelos matemáticos que sobre ela se debruçaram. Sendo assim, e acrescendo o facto de no tempo em que a placa foi escrita o cálculo numérico não estar desenvolvido como actualmente, proporcionou erros de arredondamento e erros de realização, que puderam ser interpretados de formas divergentes pelos respectivos historiadores.

1.3.1.1. Interpretação de Neugebauer

Um dos primeiros historiadores a tentar perceber uma eventual interligação do conteúdo das várias colunas da Plimpton foi Neugebauer. Até então, esta placa estava catalogada como uma tabela de conteúdos comerciais.

Comecemos por traduzir a Plimpton ao jeito de Neugebauer.

A Plimpton encontra-se partida no extremo superior direito, pelo que o título da quinta coluna está ilegível. Contudo, conjectura-se que aí estivesse o que se poderia

traduzir pela palavra número. As entradas escritas a verde foram interpolações realizadas para completar alguns símbolos da tábua que se deterioraram ao ponto de se tornarem ilegíveis.

Temos então, na quinta coluna a sequência dos números naturais até ao 15 inclusive.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Figura 1.7 - 5ª Coluna da Plimpton 15

Note-se que, depois do que foi visto no estudo do sistema numérico babilónico, basta-nos agora escrever o conteúdo das placas no sistema sexagésimal, passando posteriormente para o sistema decimal.

Neste momento apresentamos a parte da fotografia da placa (Figura 1.7) correspondente à coluna a que nos estivemos a referir, seguindo-se a sua escrita em base sexagésimal (utilizando a notação actual) e a sua equivalência na base decimal nas respectivas colunas do lado direito.

É óbvio que na primeira coluna não diferenciamos as bases sexagésimal e decimal, uma vez que estas coincidem até ao número 59!

Os “Erros”, assim denominados por Neugebauer, serão escritos a vermelho com a correcção por ele introduzida. Todos os zeros serão também interpolações realizadas, uma vez que, como já vimos, no tempo a que se remete a Plimpton, os babilónicos não possuíam um símbolo para o designar.

O título da segunda coluna inclui a palavra comprimento, 1,59 119 56,7 3367 1,16,41 4601 3,31,49 12709 1,5 65 5,19 319 38,11 2291 13,19 799 9,1 [8,1] 541 [481] 1,22,41 4961 45 45 27,59 1679 7,12,1[2,41] 25921[161] 29,31 1771 Figura 1.8 - 2ª Coluna 56 56

Na da terceira coluna a palavra diagonal,

2,49 169 3,12,1 [1,20,25] 11521 [4825] 1,50,49 6649 5,9,1 18541 1,37 97 8,1 481 59,1 3541 20,49 1249 12,49 769 2,16,1 8161 1,15 75 48,49 2929 4,49 289 53,49 3229 Figura 1.9 - 3ª Coluna 53 [1,46] 53 [106]

Como já mencionamos o lado esquerdo da placa encontra-se partido com vestígios de cola, o que sugere que a placa já estava partida ou se partiu aquando das escavações, e que alguém tentou remediar o facto sem sucesso. A placa encontra-se, assim, sem a sua parte esquerda, o que nos sugere a eventualidade de inicialmente possuir outras colunas com informação, que foram perdidas juntamente com a parte que se tentou colar e da qual mais ninguém soube o paradeiro.

Na primeira coluna o título não se consegue discernir, 1,59,0,15 1,9834… 1,56,56,58,14,50,6,15 1,94916… 1,55,7,41,15,33,45 1,9188… 1,53,10,29,32,52,16 1,88625… 1,48,54,1,40 1,81501… 1,47,6,41,40 1,78519… 1,43,11,56,28,26,40 1,71998… 1,41,33,59,3,45 1,6928… 1,38,33,36,36 1,64267… 1,35,10,2,28,27,24,26 1,58612… 1,33,45 1,5625… 1,29,21,54,2,15 1,48942… 1,27,0,3,45 1,45002… 1,25,48,51,35,6,40 1,43024… Figura 1.10 - 1ª Coluna 1,23,13,46,40 1,38716

Portanto, reescrevendo os dados da tabela, já com as traduções implementadas, obtemos:

??? Comprimento Diagonal Número?

1,59,0,15 2,49 1,59 1 1,56,56,58,14,50,6,15 3,12,1 [1,20,25] 56,7 2 1,55,7,41,15,33,45 1,50,49 1,16,41 3 1,53,10,29,32,52,16 5,9,1 3,31,49 4 1,48,54,1,40 1,37 1,5 5 1,47,6,41,40 8,1 5,19 6 1,43,11,56,28,26,40 59,1 38,11 7 1,41,33,59,3,45 20,49 13,19 8 1,38,33,36,36 12,49 9,1 [8,1] 9 1,35,10,2,28,27,24,26 2,16,1 1,22,41 10 1,33,45 1,15 45 11 1,29,21,54,2,15 48,49 27,59 12 1,27,0,3,45 4,49 7,12,1 [2,41] 13 1,25,48,51,35,6,40 53,49 29,31 14 1,23,13,46,40 53 [1,46] 56 15

Ou analogamente, na base decimal, com a qual passaremos agora a trabalhar:

??? Comprimento Diagonal Número?

1,9834… 169 119 1 1,94916… 11521 [4825] 3367 2 1,9188… 6649 4601 3 1,88625… 18541 12709 4 1,81501… 97 65 5 1,78519… 481 319 6 1,71998… 3541 2291 7 1,6928… 1249 799 8 1,64267… 769 541 [481] 9 1,58612… 8161 4961 10 1,5625… 75 45 11 1,48942… 2929 1679 12 1,45002… 289 25921 [161] 13 1,43024… 3229 1771 14 1,38716 53 [106] 56 15

A partir deste momento consideremos as interpolações e correcções realizadas por Neugebauer como lícitas, para conseguirmos entender como, segundo ele, terá sido construída a tabela.

Observando agora a tabela: y 2 d y       x _d # 120 1,9834… 119 169 1 3456 1,94916… 3367 4825 2 4800 1,9188… 4601 6649 3 13500 1,88625… 12709 18541 4 72 1,81501… 65 97 5 360 1,78519… 319 481 6 2700 1,71998… 2291 3541 7 960 1,6928… 799 1249 8 600 1,64267… 481 769 9 6480 1,58612… 4961 8161 10 60 1,5625… 45 75 11 2400 1,48942… 1679 2929 12 240 1,45002… 161 289 13 2700 1,43024… 1771 3229 14 90 1,38716 56 106 15

Em cada caso aparece uma raiz quadrada perfeita, indicada na coluna y , sendo que

a outra coluna representa o quociente

2

d y    

  . Este quociente, por outro lado, deu uma pista de como teria sido construída a tabela.

Por definição um terno pitagórico é

(

)

podemos começar por dividir todos os ternos por _{y , obtendo-se:} 2

2 2 2 2 2 2 x y d y + y = y 2 2 2 1 2 x d y y ⇔ + =

Façamos agora umas pequenas mudanças de variável para facilitar os cálculos. x d y Figura 1.11 - Triângulo Rectângulo Seja u x y = e v d y

= , então a nossa equação passa a ter o seguinte aspecto:

2 ₁ 2

u + =v , esta equação é por sua vez equivalente a

2 2 ₁

u v

⇔ − =

(

)(

)

⇔ + − =

Então, dado o valor de u v+ , podíamos encontrar o valor de u v− numa tabela de inversos, uma vez que os números que constam da tabela são todos números regulares, ou seja, números que o inverso tem uma expressão finita na base sexagésimal (segundo Neugebauer). Por exemplo, se 1 2 :15 2 4 u+v= _= _   o seu inverso é 4 0 : 26, 40 9 u− =v _= _  .

Resolvendo em ordem a u e v obtínhamos os valores 65 0 : 54,10 72 u= _= _   e 25 1: 20,50 1 72 v= _= _   , os quais multiplicados por y=1: 72

(

)

linha 5.

Assumiu-se, assim, que os babilónicos estavam interessados em encontrar triângulos rectângulos de formatos diferentes, cujos lados tivessem um comprimento com representação finita na base em que utilizavam, ou seja a sexagésimal.

Na verdade esta tabela contem todos os triângulos rectângulos onde 31º≤α≤45º aproximadamente. Começa na primeira linha com um ângulo de amplitude 45º, diminuindo gradualmente 1º por linha, correspondendo os valores da última linha da tabela, a um triângulo rectângulo, com um ângulo de 31º. Sendo assim estão listados nesta tabela todos os casos de triângulos rectângulos onde os comprimentos dos lados são números regulares na base sexagésimal e um dos ângulos internos tem amplitude

31º≤α ≤45º.

1ª Linha 15ª Linha

Figura 1.12 - Triângulos rectângulos correspondentes aos dados da tabela

Esta interpretação feita por Neugebauer levou a algumas falsas suposições realizadas por outros historiadores, que passaram a interpretar o conteúdo da Plimpton como se tratasse de uma tábua de trigonometria. O que, como relataremos posteriormente, não tem qualquer sentido, uma vez que segundo Eleonor Robson, o conceito de ângulo não existia na época a que se remete a tábua.

Isto sucede porque 2 2 sec d y α   =     e 2 d y    

  está na segunda coluna da tabela, nas condições acima referidas de números regulares.

x d

y

Figura 1.13 - Triângulo Rectângulo

Na realidade a única palavra que consta na tábua que introduz uma possível relação geométrica é a palavra “diagonal”, que figura numa das entradas do cabeçalho.

Após verificação tanto da leitura do conteúdo da tábua, como da metodologia aparentemente usada na sua construção, aceitou-se como razoável a explicação dada por Neugebauer para os quatro erros, que foram aqui substituídos desde o início pelos valores respectivos a essa mesma conjectura.

Assim sendo:

Na linha nove, onde aparece [9:1], deveria estar então [8:1], e neste caso Neugebauer justifica o erro como um equívoco de transcrição.

Na linha treze, o valor [7:12,1] é o quadrado de [2:41] que seria o valor correcto, e como tal, uma incongruência simples de justificar, uma vez que nesta tábua também aparecem os quadrados dos respectivos números (segundo esta conjectura).

Na linha quinze [53], deveria ser [1:46] que é precisamente o seu dobro.

Finalmente na linha dois, onde figura [3:12,1] deveria encontrar-se [1:20,25]! No que diz respeito a este último erro surgiram várias sugestões de como teria sido cometido, mas nenhuma suficientemente convincente para aqui ser referida.

Ao longo de toda a sua pesquisa, Neugebauer começou a admitir que os babilónicos, não só já teriam o conhecimento de como construir ternos pitagóricos da forma:

(

)

p +q p −q pq como também escolheriam os valores de p e q de forma a obterem números regulares, o que como já vimos é preponderante nesta “construção” da tabela, especialmente na coluna número dois, onde são apresentados os valores de

2 2

d y .

De facto temos que:

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

o que se obtém com facilidade através das tabelas de inversos.

A hipótese dos babilónicos já conhecerem este método de construção de ternos pitagóricos fica ainda justificada pelo facto de, em algumas das linhas onde foram cometidos “erros” nos valores de x e d , não existir “erro” onde figura o valor correspondente a

2 2 2

d

d −x , sugerindo portanto que, este último valor teria sido calculado com base noutras tabelas, e obtidos directamente a partir dos valores de p e q .

1.3.1.2. Interpretação de Jöran Friberg

Outra interpretação bastante sugestiva foi a apresentada pelo historiador Jöran Friberg, que defende que a tábua seria uma tabela de “ajuda ao professor”, ou seja, uma relação que permitia ao professor saber antecipadamente os resultados de um certo enunciado, propondo deste modo, aos seus discentes, apenas problemas que envolvessem triângulos que possuíssem um ângulo recto.

Assim, se um professor pretendesse colocar um problema do tipo: “Uma escada de comprimento c, encontra-se encostada a uma parede, com uma distância ao nível da base b da mesma, determine até que altura da parede se consegue subir pela escada?”, escolhendo os números b e c na tábua de Plimpton, o professor estaria seguro que a

é, um número com representação sexagésimal finita, que segundo a definição de Neugebauer se designa, como já mencionamos, por um número regular.

Temos de ter em conta que esta interpretação se suporta na concepção de que as tábuas teriam sido produzidas em função de dois tipos de contexto:

 Placas de texto;  Placas de problemas.

Existiriam, portanto, tábuas de números quadrados, cubos, inversos e composição das anteriores. Ou seja, as placas funcionariam para os Babilónicos como a actual máquina de calcular.

Sendo assim, estas tábuas seriam utilizadas essencialmente nas Escolas de Escribas, onde se ensinava o essencial para uma sociedade, onde era indispensável saber escrever, contar, fazer alguns cálculos, entre outras competências. Na realidade, existem inclusivamente tábuas de problemas resolúveis através de equações de segundo grau; é claro que não podemos pensar que um escriba desta época tivesse um conhecimento de Teoria Elementar de Números, equivalente aos dias de hoje (ou do mesmo nível do utilizado por Neugebauer para explicar a sua teoria de como, eventualmente, foi construída a placa de Plimpton), mas tinham de facto uma capacidade razoável de resolução de problemas.

Outro factor preponderante para a boa percepção de como eram inseridos e interpretados certos conteúdos, é a cultura em que estiveram embutidos e a função para que eram preconizados no seu tempo. Ao examinarmos as instruções dadas nas placas escritas pelos babilónicos, torna-se notável que o essencial era a sistematização da resolução de cada “tipo” de problema e não propriamente o resultado final obtido. Temos como exemplo deste facto, algumas placas nas quais por vezes um número é multiplicado pela unidade, o que nos poderia parecer insólito e desnecessário, visto que esse é o elemento neutro da multiplicação; contudo, essa multiplicação pela unidade serve para relembrar ao estudante que estivesse a utilizar a tábua, que na resolução daquele “tipo” de problema, o processo passava por uma multiplicação, eventualmente por um número diferente da unidade consoante os dados do respectivo enunciado.

O facto de algumas das tábuas referentes a esta época serem descrições pormenorizadas dos passos a seguir para resolver certos e determinados problemas (usuais na sociedade decorrente deste período) sustenta de algum modo a teoria proposta por Jöran Friberg.

1.3.1.3. Interpretação de Leonor Robson

À medida que os anos foram passando, e não aparecendo nenhuma proposta mais convincente do que a dada por Neugebauer, a Plimpton passou a ser interpretada segundo a teoria deste historiador como sendo a original. De tal forma que, na maioria dos livros de História de Matemática, a Plimpton não é apresentada como se encontra na origem, mas sim com as correcções e interpolações sugeridas por Neugebauer como sendo as originais, não sendo tão pouco chamada à atenção para o facto de não serem aqueles os números que figuram na tabela original. As justificações deste matemático foram aceites como verdades indubitáveis, e a sua teoria, por algum tempo, passou a ser considerada como realidade, como um dado adquirido, onde não havia lugar para dúvidas ou outras conjecturas.

Assim, permaneceu durante alguns anos até que Eleonor Robson em 1997 contrapôs (Old Babylonian Mathematics, Seminário do SNHM, Coimbra), afirmando que a teoria baseada na interpretação geométrica tinha de ser colocada de lado uma vez que, do estudo que fizera de alguns textos desse tempo se inferia que os matemáticos desta época não tinham noção de ângulo.

Vejamos como Eleonor Robson chegou a esta conclusão.

Em “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322”, Eleanor Robson começa por chamar à atenção para a importância da interligação entre os artefactos encontrados e o contexto histórico que os envolve. Segundo a historiadora, tal como num estudo policial, também na matemática os mistérios podem e devem ser resolvidos por análise de nada mais se não o seu conteúdo.

Muitas vezes o mundo real, histórico e linguístico, não é tido em conta e acabam por surgir várias interpretações de um mesmo trabalho. A fiabilidade da interpretação da Plimpton, bem como de qualquer outro artefacto, deve depender inteiramente do contexto em que este se encontra inserido. Ao contrário do que muitas vezes sucede, tem de se ter o cuidado especial de não interpretar os factos encontrados com base na actualidade, para não se correr o risco de procurar tesouros de sabedoria fora da realidade vigente. Foi exactamente isto que sucedeu, na concepção de Eleonor Robson, com todo o desenvolvimento feito em torno da Plimpton. Os historiadores viram o que pretendiam e não, na realidade, o que se lá encontrava exposto. A aceitação tornou-se tão óbvia que, como já dissemos anteriormente, a modernização e domesticação da placa, fez com que esta passasse a ser apresentada, não com o seu conteúdo original,

mas apenas com todas as correcções realizadas por um historiador que as achou válidas. Assim sendo, qualquer leitor passa pela dificuldade de interpretar como lícito o que o autor pressupôs ser verdade, passando assim a tomar como realidade o que aí está exposto, sem qualquer acesso à informação original, nem tão pouco ao facto de que o que aí se lê ser uma interpretação de uma outra pessoa e não o objecto original.

Actualmente pode construir-se uma ideia da cultura milenar da época em estudo, pois tanto quanto mais soubermos sobre uma sociedade, maior a credibilidade da análise dos seus “produtos”, pelo que, não se justifica a incongruência de vermos o que queremos, e não o que na realidade foi executado.

Uma das primeiras críticas que Eleonor Robson realizou, foi o facto da placa ter sido simplesmente traduzida através da comparação com outras tábuas, muitas delas, que apesar de terem sido encontradas na mesma época, não possuíam qualquer conteúdo matemático.

Evidencia ainda o facto de na altura da descoberta das tábuas, haver o pressuposto que se estas se encontrassem danificadas (partidas, ou com falta de alguns conteúdos legíveis) a sua venda seria mais proveitosa uma vez que os preços atingidos eram deveras mais elevados. Como a Plimpton é um destes casos, torna-se impossível determinar o que lá se encontrava senão por pura especulação.

Segundo a mesma, os títulos das colunas, estando escritos num misto de quatro línguas de diferentes povos, nomeadamente Sumério, Acádios, Assírios e Persas, privilegiando a língua Suméria a e Acádia, fazem com que a tabela possa ser lida nos dois sentidos. Contudo, é mais simples utilizar a leitura da direita para a esquerda.

Tal como Neugebauer, Eleonor refere também conteúdo dos lados e das diagonais dos triângulos, no entanto questiona o porquê das colunas possuírem como cabeçalhos as palavras quadrado, diagonal e comprimento, quando na realidade as restantes entradas da tabela só contêm comprimentos de linhas. Segundo ela, a resposta reside no facto de em Acádio a palavra “mithartun” derivar do verbo “mohärun”, que define “ser igual e em simultâneo ser oposto”, o que significa literalmente “ coisa que é igual e oposta a si própria em simultâneo”.

Em Acádio e em outras línguas, a palavra “quadrado”, também se pode referir ao seu lado, ou seja, à sua raiz quadrada.

Por tudo isto “mithartun” não deve ser traduzido por “quadrado”, mas sim por “lado do quadrado” ou analogamente “raiz quadrada”. Segundo a Matemática, esta dualidade de significado da palavra não seria tão obscura quanto à partida poderia

parecer. Na realidade, na época existia uma lógia métrica, ou seja, medidas distintas para dimensões distintas, como era o caso de comprimentos e de áreas, o que tornava impossível para um escriba, qualquer tipo de ambiguidade quanto ao conteúdo do que estivesse a trabalhar.

Quanto aos erros, Eleonor menciona que provavelmente três deles não são erros, argumentando que apenas foram assim considerados devido à interpretação dada pelo matemático que apresentou a respectiva teoria (Neugebauer). Acrescenta ainda que, uma vez que a tábua se encontra escrita no sistema sexagésimal de vírgula flutuante, os números serão por ela tomados como sendo números inteiros.

Eleonor Robson para refutar a teoria proposta pelos historiadores, onde se supõe que a tábua teria sido realizada com base no conhecimento prévio dos p e q , indica que tal não é propriamente viável, uma vez que, na tábua existem 44 números diferentes, o que dá uma possibilidade de escolhas de 44 43 946

2

× = pares por onde escolher. Se supusermos que os babilónicos tinham familiaridade com a concepção de números pares e números ímpares, poder-se-iam eliminar 12 11 66

2

× = possibilidades de pares por onde escolher, deixando assim 880 pontos de partida! Mesmo que levássemos mais longe e considerássemos que os escribas tinham conhecimento sobre números primos entre si, ficariam ainda 159 pares admissíveis. Como teria descoberto o escriba, quais destes 159 deveria escolher? Aleatoriamente?! Não faz muito sentido.

Para além desta falha, existe ainda uma outra que torna mais evidente que a tábua não foi construída através desse processo. Admitindo a ordem das colunas, e considerando que na coluna I se encontra

₍

₎

p q pq

 ₊ 

  , torna-se estranho o método de cálculo proposto. Uma vez que, aparecendo à esquerda da coluna II e coluna III, 2 2

p −q e p2+q2 respectivamente, seria de esperar, segundo o modo de escrita da Babilónia antiga que contivesse os cálculos intermédios para os resultados da coluna II e III, ou mesmo de ambas. Por exemplo, seria de esperar que aparecesse 2

p e q2, mas em vez disto, temos os resultados derivados da coluna III; nem tão pouco podemos interligar o cabeçalho da coluna I de forma a encaixar-se na interpretação dos p e q .

Em terceiro lugar temos ainda a análise dos “erros” da tábua. Não contando com os erros provavelmente ocorridos na transferência de dados da tábua de cálculo para a cópia da Plimpton, ou seja, erros de cálculo, está ainda por fundamentar os restantes três

erros, cuja explicação tem sido realizada através da coluna III, que não possui relação simples com o valor correcto de 2 2

p +q na teoria dos p e q !

A adicionar a tudo isto, Eleonor refuta ainda a ideia de que de algum modo a tábua pudesse ser de conteúdo trigonométrico, dizendo que esta interpretação só surgiu por alguns historiadores terem interpretado mal o comentário realizado por Neugebauer.

Para enfatizar um pouco mais a falta de sentido desta interpretação, Eleonor mostra, como já referimos, que na realidade a noção de ângulo não existia ainda na antiga Babilónia.

A Geometria /Área na antiga Babilónia era baseada na definição de componentes. A área de uma figura era definida e calculada através da curva externa que a circunscrevia, podendo ser segmentos de recta ou curvas. Em muitos casos, o nome que define a componente e a figura propriamente dita (que se considera a área da figura) são idênticos. Por exemplo, “círculo” e “circunferência” na antiga Babilónia eram ambos designados por “kippatum” do verbo “kapâpum” – curvar. Tanto “quadrado” como o seu lado eram designados por “mithartum” (como vimos previamente). “Rectângulo” e a sua diagonal também tinham a mesma designação, apesar de neste caso a diagonal de um rectângulo não ser suficiente para definir unicamente o seu rectângulo circundante, somente a configuração mais simples, ou seja a do quadrado.

O conceito de “círculo” e “circunferência” é revelada não só na sua terminologia mas também no modo como os círculos eram tratados em geometria.

Dois exemplos dados por Eleonor Robson são os dois círculos que se encontram numas tábuas, provavelmente encontradas em Larsa, pertencentes agora à Universidade de Yale. As tábuas têm, elas próprias, formato circular, com cerca de 8 cm de diâmetro, (“quase como pequenos biscoitos”, Robson 2001), o que sugere que tenham sido realizadas por estudantes nos seus trabalhos.

Na notação moderna elas aparecem com a seguinte figura.

Figura 1.15 - Placas YBC 7302 e YBC 11120 (Extraído de Robson, 2001)

Os números do primeiro círculo são fáceis de ler e como são inferiores a 60, podemos tratá-los como números representados na base decimal, assim, rapidamente se observa que ₃2 ₉

= e que 45 5 9= × . Como 45 se encontra no meio do círculo, podemos “deduzir” que designa a sua área, a qual podemos designar por A . Também podemos sugerir que o 3 e o 9, na parte interior do círculo estão relacionados com a circunferência, que designaremos por C .

Sabemos que 2

A=πr , mas não temos nenhum raio marcado no círculo.

Também sabemos que C=2πr, e como tal, através de alguma manipulação algébrica moderna podemos ver que

2 2 2 2 4 C C A πr π π π   = = _{ } =   .

Assim, parece que 3 é o comprimento da circunferência, 9 é o seu quadrado, ou seja

2

C . Substituindo valores temos então:

2 _{9 9} 9 0;05 0; 45 4 4 4 3 C A π π = = = × = × 

esta fórmula com a do segundo círculo, tomando C =1;30, obtemos:

2 1;30 2;15 2;15 0;05 0;1115 4 4 3 A π = = × = ×  ou seja 11 15 3 60 3600 16+ = em fracções actuais.

Em outras palavras, a circunferência que é metade do comprimento da primeira circunferência, é uma quarta parte da área da primeira.

Aparte da diferença aritmética de trabalhar em base decimal ou sexagésimal, estes dois exemplos ilustram elegantemente a distinção fundamental entre o conceito geométrico de círculo actual e o círculo na época a que nos referimos.

Enquanto que actualmente conceptualizamos o círculo como sendo a figura gerada pela rotação do raio em torno do centro da circunferência, no período da Antiga Babilónia, ele era visto como a figura circunscrita à circunferência. Mesmo quando era conhecido o diâmetro do círculo, a sua área era calculada por este processo descrito.

Isto não significa que o raio numa circunferência não fosse considerado, pois ele aparece em problemas sobre semicírculos.

Este tipo de raciocínio “apenas” nos dá a clara noção de que, naquele tempo, apesar de o círculo poder ser desenhado com compasso, a definição não era realizada em função do raio.

Sem uma definição de centro e de raio da circunferência, não podia existir uma concepção ou mecanismos para medir ângulos.

Portanto, qualquer hipótese sobre a criação da Plimpton 322, tem de recair inicialmente na primeira coluna e respectivos valores, não como objectivo, mas sim como ponto de partida.

A comunidade matemática teve de se render às evidências e abrir as suas mentes a uma nova interpretação para a Plimpton.

Na concepção de Eleonor Robson são utilizadas apenas noções de geometria de áreas. Sendo assim, Eleonor sugeriu a seguinte conjectura para a criação da Plimpton.

Através das tábuas de inversos era fácil encontrar um rectângulo cuja área fosse um, bastava que para tal se considerasse um lado cuja medida fosse n e o outro lado tivesse de comprimento 1

n. Obter-se-ia algo como:

Figura 1.16 – Rectângulo de lados com comprimenton e 1 n

Seguidamente e utilizando geometria das áreas, podemos dividir o rectângulo em três partes como se analisa na figura que se segue.

Figura 1.17 – Utilização de geometria das áreas no rectângulo considerado Teríamos assim um quadrado de lado 1

n, e dois rectângulos de altura 1 n e comprimento n 1 : 2 n   −     , cada um.

Reagrupando estes rectângulos num gnómon, podemos redesenhar a figura com o seguinte formato: 1 n

n

Figura 1.18 – Gnomo correspondente ao rectângulo considerado

Podemos ainda considerar um quadrado com os lados com comprimento igual ao da figura anterior, ou seja,

Figura 1.19 – Quadrado de lado 1 1 2 n n   +     Onde 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 n n n n n n n n n n   + _ − _= + − =   = + =   = _ + _   1 _{: 2} n n   −     1 : 2 n n   −     1 n 1 n 1 1 2 n n   +     1 1 2 n n   +    

Sendo assim o nosso rectângulo inicial teria a mesma área que a obtida pela diferença de dois quadrados, nomeadamente

2 2 1 1 1 1 2 n n 2 n n       + − −      _{ }  _{ }

    , o que facilmente se verifica por manipulação algébrica: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 4 4 1 1 1 1 1 1 4 2 4 4 2 4 1 1 n n n n n n n n n n n n n n       + − − =                     = _ + + _− _ − + _=     = + + − + − = = = ×

Que é a área do rectângulo inicial.

A igualdade que acabamos de obter é definida por Friberg como sendo um rectângulo normalizado, ou seja

um rectângulo em que “o flanco” é um, a hipotenusa é 1 1 2 n n   +     e o cateto menor é 1 1 2 n n   −  

 . Figura 1.20 – Triângulo rectângulo _considerado

Através de uma tabela de recíprocos obtém-se uma listagem dos triângulos rectângulos de lados racionais, que mais uma vez vem coincidir com a proposta de Friberg de a Plimpton poder ser uma tábua de ajuda aos professores, para colocarem apenas problemas resolúveis aos seus alunos!

1 x d 1 1 2 n n   −     1 1 2 n n   +    

2.

Egipto

2.1.

Introdução Histórico Temporal

2.1.1. _{Localização Geográfica}

Quando falamos do Egipto, temos de ser um pouco específicos quanto à altura a que nos referimos. Na realidade a Civilização Antiga Egípcia é frequentemente dividida em três períodos distintos de modo a facilitar a localização/identificação da época a que nos referimos:

Antigo Reinado – entre sensivelmente 2700 a.C. e 2200 a.C.;
Egipto Médio – entre sensivelmente 2100 a.C. e 1700 a.C.;
Novo Egipto – de 1600 a.C. a 1000 a.C.

O Egipto atingiu muito cedo um nível de civilização bastante alto. Podemos questionar por que terá sucedido tal facto! A explicação não é difícil de encontrar por qualquer um que se debruce sobre o assunto. A terra era generosa para com o seu povo; o solo era muito fértil devido à presença do Nilo, o qual todos os anos, sofria cheias transbordando as suas margens e alagando os

campos que o circunscreviam. Para além deste pormenor, o clima era aprazível facilitando o desenvolvimento da agricultura com boas colheitas.

Sendo um país rico, o único problema residia na possibilidade de ocorrência de guerras com outros países que poderiam atentar contra tanta sus tansa. Contudo o Egipto possuía fronteiras de ordem natural, uma vez que se encontrava rodeado de desertos, providenciando assim uma barreira às forças invasoras tal como podemos confirmar num mapa da época (Figura2.1).

Figura2.1 - Mapa Antigo Egipto (Extraído de http://www.ancient-egupt.org/topography/giza/index.html)

Figura 2.2 - Mapa Actual Egipto

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

2.1.2. O Povo

Por volta de 3000 a.C. as duas nações mais antigas desta região tinham-se unificado e formado uma nação única, o Egipto, no qual as regras eram iguais em todo o seu território.

A agricultura tinha sido desenvolvida de forma a tirar proveito dos períodos regulares, secos e húmidos, ao longo do ano.

Como o Nilo se comportava de forma disciplinada, transbordando durante as estações de chuva e providenciando uma terra fértil, tornou-se possível fomentar o crescimento de óptimas colheitas implementando-se um complexo sistema de irrigação que permitia que as terras se tornassem mais ricas, mesmo nos períodos de seca.

É de notar que para este desenvolvimento era fundamental saber em que época se iniciariam as chuvas que fariam transbordar o Nilo, o que acabou por fundamentar o desenvolvimento da Astronomia, no intuito de desenvolver um calendário informativo fidedigno (sobre qual nos debruçaremos mais tarde).

A larga área que a nação Egípcia cobria, requeria uma administração complexa, incluindo inclusive sistemas de impostos de forma a poderem ser mantidos os exércitos que orientavam, entre outras, a boa cidadania. É de notar que uma das bases de tributação era a área de terra de cultivo.

À medida que a sociedade se tornava mais complexa, tornava-se necessário a existência de escrita e de numerais, de forma a ser possível registarem-se os ganhos e as transacções que se efectuavam diariamente.

Em 3000 a.C., os Egípcios já tinham desenvolvido a sua escrita hieroglífica, e foi este facto que demarcou o início do período do Antigo Reinado, que ficou imortalizado pela construção das Pirâmides, por exemplo a Pirâmide de Giza, que foi construída por volta de 2650 a.C., denotando um vasto, conhecimento Arquitectónico e de Engenharia. Este artefacto demonstra já claramente o elevado nível de conhecimentos que esta sociedade possuía no tempo a que nos referimos.

2.1.3. _{O Calendário Egípcio}

Como observamos anteriormente, era vital para o povo Egípcio ter noção de quando as enchentes do Nilo começariam a ocorrer, uma vez que disso dependia o sucesso da agricultura, bem como a subsistência dos habitantes. A existência de um calendário, o mais fidedigno possível, era portanto fundamental.

Na realidade este povo, era também a nível da astronomia muito avançado, e se aqui fazemos uma incursão sobre algo que aparentemente nada tem a ver com o conteúdo do nosso trabalho, é de facto pela magnificência do mesmo.

O início do ano era marcado pela subida heliacal da estrela Sirius (a primeira vez que esta aparecia no céu após um período da sua ausência). Sirius trata-se da estrela mais brilhante do céu, também conhecida por estrela do Norte. No calendário actual, isto ocorre em Julho, o Nilo transbordava pouco depois desta data, pelo que fazia sentido o início do ano coincidir com o início de toda uma época de trabalho. A subida heliacal de Sirius chamaria, assim, a atenção da população para o início das cheias.

O ano era constituído por 365 dias e isto era certamente sabido por volta de 2776 a.C. pois este valor foi utilizado num calendário civil de registo de datas importantes. Mais tarde surgiu um valor mais aproximado, 365 dias e 1

4 de dia, que era a duração exacta de um ano. No entanto, este valor nunca foi utilizado para actualizar o calendário Egípcio, pelo que não existiram anos bissextos como na actualidade.

Para além deste calendário, era tido em conta um outro calendário em paralelo, o calendário lunar, o qual sabemos ser um dos modos de prever as alterações a nível

meteorológico. O calendário civil era dividido em 12 meses, todos eles compostos por 30 dias, tendo no final do ano um período de 5 dias para festejos, formando assim os 365 dias.

Para além da magnitude de um conhecimento desta envergadura ser um dado adquirido naquele tempo (e como tal, merecer este lugar de destaque), é ainda de notar que, apesar do calendário Egípcio ter sofrido várias alterações ao longo dos tempos, acabou por constituir a base para os Calendários Gregoriano e Romano. Introduzido por Júlio César, em Roma, por volta do ano 46 a.C. é também deste calendário que provém o calendário actual!!!

Tudo isto demonstra o nível de conhecimento já atingido pela civilização Egípcia há mais de quase 5000 anos!

2.2.

_{A Matemática no Egipto}

2.2.1. Os vários tipos de escrita e numeração

Há que considerar três tipos diferentes de escrita da Antiguidade Egípcia.

O primeiro tipo de escrita foi através dos hieróglifos, ou seja, a escrita hieroglífica realizada à base de figuras, às quais correspondiam significados. É fácil de perceber como seria denotado por exemplo a palavra “pássaro”, contudo este tipo de escrita não consegue representar muitas palavras. Os Egípcios ultrapassaram esta dificuldade utilizando não apenas o que cada figura demonstrava, mas associando sons a cada uma delas, podendo estas ser conjugadas de forma a obter outros significados. Isto tinha a desvantagem da escrita depender essencialmente do contexto em que se encontrava inserida, suscitando assim algumas dúvidas ou falsas interpretações.

Este tipo de escrita esteve presente desde 3000 a.C., resistindo até aos primeiros séculos da era cristã, apesar de a partir de uma certa altura ser utilizada apenas em inscrições formais ou registos em pedra.

Após a descoberta do papiro, tendeu-se a simplificar a escrita hieroglífica, a qual era morosa, uma vez que por vezes para representar um certo conceito era necessário “desenhar” várias figuras. Tentando então tornar mais rápida a escrituração, que deixava

agora de ser realizada apenas em pedra, irrompeu assim a escrita hierática, a qual começou a ser utilizada por volta de 2000 a.C. É geralmente neste tipo de escrita que se encontram registados a maioria dos papiros que possuem conteúdos históricos, nomeadamente os de índole matemática.

Mais tarde surgiu ainda a escrita demótica, que como a própria palavra denota, se destinava à população em geral. Tratava-se de uma simplificação da escrita hierática, destinada a ser utilizada pelo povo nos seus apontamentos diários como registos ligados ao trabalho, transacções comerciais, entre outros.

O sistema numérico Egípcio também sofreu as suas alterações. Possuíam um sistema numeral hieroglífico decimal, mas com esta afirmação, pretendemos apenas dizer que possuíam dez símbolos separados, um para representar a unidade, um para as dezenas, e assim sucessivamente até a ₁₀6_{. Na tabela seguinte podemos observar este}

primeiro sistema:

Figura 2.3 - Primeiro sistema numérico

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

A escrita dos números tornava-se simples uma vez que bastava repeti-los as vezes necessárias consoante o número que se pretendesse representar.

Para uma melhor percepção apresentamos dois exemplos desta escrita, gravados num artefacto arqueológico de nome Pedra de Karnac, a qual data de 1500 a.C., (encontra-se actualmente no museu do Louvre em Paris) apresentando a representação dos números 276 e 4622, respectivamente.

Figura 2.4 - Representação do nº276 Figura 2.5 - Representação do nº 4622 (Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

Note-se que a escrita hieroglífica era realizada da direita para a esquerda, começando-se pelos símbolos que representavam um valor mais elevado e diminuindo sucessivamente até aos de menor importância.

Por incrível que possa parecer, os Egípcios já trabalhavam com fracções, quase exclusivamente unitárias (há excepção da fracção 2

3utilizada frequentemente e da fracção 3

4utilizada menos vezes) tendo, inclusive, representação hieroglífica para as mesmas. A necessidade de decompor uma fracção como soma de fracções unitárias encontra-se vinculada aos algoritmos, por eles desenvolvidos, para realizarem as quatro operações básicas, como observaremos posteriormente.

Assim sendo, para diferenciarem as fracções dos números inteiros, quando pretendiam representá-las, colocavam um símbolo por cima do número que constaria do actual denominador, representativo de uma “boca” que designava “parte”.

Ter-se-ia por exemplo:

Figura 2.6 - Representação de 1/3 Figura 2.7 - Representação de 1/5 (Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

para representar as respectivas fracções. Quando o número continha muitos símbolos, o símbolo que designava “parte” (a “boca”), era colocado por cima do primeiro hieróglifo representativo do número.

Não esquecendo que a escrita era realizada da direita para a esquerda, por exemplo:

Figura 2.8 - Representação do nº 1/249

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

À semelhança do que sucedeu com a escrita hieroglífica, também o sistema de numeração foi sendo alterado. Aquando da introdução da escrita hierática (devido à invenção do papiro), introduziu-se também uma escrita numérica hierática.

Porém, com este sistema era possível escrever os mesmos números utilizando-se muito menos símbolos, economizando-se tempo e espaço. Por exemplo, o número 9999 passava agora a ser representado apenas por quatro símbolos, enquanto que com a escrita anterior seriam necessários trinta e seis.

Esta representação numérica permitia aos escribas escreverem os números de forma muito mais compacta, não necessitando de desenhar tantos símbolos para representar um mesmo número.

Contudo passou a existir um outro senão, é que passaram a ter de conhecer e memorizar mais símbolos. O próximo quadro apresenta esse tipo de escrita.

Passou-se assim de 10 símbolos que representavam todos os números, por a necessidade de se utilizarem 36 símbolos, para se poderem representar os mesmos que anteriormente.

Figura 2.9 - Outro sistema numérico (Extraído de

http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

Uma das grandes diferenças entre a escrita hierática e o nosso sistema numérico é que a escrita hierática não era posicional, pelo que os numerais podiam ser escritos segundo qualquer ordem; por exemplo, o número 2765 pode ser representado como:

Figura 2.10 - Uma Representação de 2765 ou

Figura 2.11 - Outra Representação de 2765 (Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

Ou ainda, qualquer outro tipo de combinação entre estes quatro símbolos.

Da mesma forma que a escrita hierática sofreu alterações ao longo dos tempos, o mesmo sucedeu com a numeração hierática, só que nesta sucedeu com maior frequência; podemos dividir estas alterações em seis períodos distintos, enquanto que a escrita só sofreu três mudanças. Sendo assim, é natural que se encontre noutros livros outros sistemas de numeração da época hierática Egípcia; o que aqui tem vindo a ser apresentado data de cerca de 1800 a.C.

É de notar ainda que, tal como com a escrita hieroglífica, também com a numeração sucedeu algo de semelhante, os dois sistemas (hieroglífico e hierático) foram utilizados em simultâneo ao longo de 2000 anos, sendo que, mais uma vez, os hieroglíficos eram utilizados para gravar na rocha, enquanto que a escrita hierática era usada para a escrita em papiro.

2.2.2. _{Exemplares de Artefactos Arqueológicos}

Os numerais hieroglíficos podem ser encontrados em diversos lugares desde templos, monumentos em pedra e até em vasos. Nestes exemplares encontra-se pouco conhecimento sobre como os cálculos matemáticos eram desenvolvidos com o seu sistema numérico.

Enquanto os hieroglíficos foram cravados em pedra, não foi necessário desenvolver símbolos que pudessem ser escritos de forma mais rápida. Contudo, e como já foi referido no sub capítulo sobre a escrita e a numeração hieroglífica e hierática, a partir do momento em que os Egípcios começaram a utilizar folhas de papiro seco e a escrita