Análise_de_estruturas_-_Estruturas_e_máquinas

Objetivo Objetivo



 _{Mostrar como determinar as forças em Mostrar como determinar as forças em componentes de estruturas e máquinascomponentes de estruturas e máquinas} 

 _{Analisar as forças em ação em componentes de estruturas e máquinasAnalisar as forças em ação em componentes de estruturas e máquinas} conectadas por pinos (pivotadas)

conectadas por pinos (pivotadas) 1.

1. Estruturas contendo elementos submetidos a várias forçasEstruturas contendo elementos submetidos a várias forças

Estruturas e máquinas são sistemas compostos por elementos submetidos a várias forças. As Estruturas e máquinas são sistemas compostos por elementos submetidos a várias forças. As estruturas projetadas para suportar cargas geralmente são estacionárias e

estruturas projetadas para suportar cargas geralmente são estacionárias e completamente vinculadas.completamente vinculadas. As máquinas são projetadas para transmitir e modificar forças; podem ser ou

As máquinas são projetadas para transmitir e modificar forças; podem ser ou não estacionárias, masnão estacionárias, mas sempre com partes móveis.

sempre com partes móveis. 1.1.

1.1. Análise de uma estruturaAnálise de uma estrutura

Consideremos o guindaste a seguir, suportando uma dada carga P. O diagrama de corpo livre da Consideremos o guindaste a seguir, suportando uma dada carga P. O diagrama de corpo livre da estrutura inteira é ilustrado na figura 1.b. Este diagrama pode ser usado para determinar as forças estrutura inteira é ilustrado na figura 1.b. Este diagrama pode ser usado para determinar as forças externas que agem sobre a estrutura. Somando os momentos em relação a A, primeiro externas que agem sobre a estrutura. Somando os momentos em relação a A, primeiro determinamos a força T exercida pelo cabo. Somando as componentes x e y, determinamos as determinamos a força T exercida pelo cabo. Somando as componentes x e y, determinamos as componentes A

componentes Axx e Ae Ayyda reação da articulação A.da reação da articulação A.

Figura 1 Figura 1 Para determinar as forças que mantêm unidas

Para determinar as forças que mantêm unidas as várias partes de estrutura, as várias partes de estrutura, devemos desmembrá-la edevemos desmembrá-la e desenhar o diagrama de corpo livre para cada componente - figura 1.c. Primeiro consideramos as desenhar o diagrama de corpo livre para cada componente - figura 1.c. Primeiro consideramos as peças submetidas a apenas duas forças (no caso apenas a barra BE).

peças submetidas a apenas duas forças (no caso apenas a barra BE). Estas forças devem ter Estas forças devem ter a mesmaa mesma intensidade, a mesma direção e sentido opostos

intensidade, a mesma direção e sentido opostos  –  –  respectivamente Frespectivamente FBEBE e - e - FFBEBE. A correção desta. A correção desta

hipótese será verificada pelo sinal obtido para o

hipótese será verificada pelo sinal obtido para o valor comum das duas forças.valor comum das duas forças. A seguir consideramos as peças submetidas a várias forças. De

A seguir consideramos as peças submetidas a várias forças. De acordo com a terceira lei acordo com a terceira lei de Newton,de Newton, a força exercida por BE sobre o ponto B da barra Ad deve ser igual e oposta à for

a força exercida por BE sobre o ponto B da barra Ad deve ser igual e oposta à for ça Fça FBEBE e assim pore assim por

diante com as demais forças e

Em C estão unidas duas barras submetidas a várias forças. Como não se conhece nem as direções Em C estão unidas duas barras submetidas a várias forças. Como não se conhece nem as direções nem o módulo destas forças que agem neste ponto, elas serão representadas por sua componente nem o módulo destas forças que agem neste ponto, elas serão representadas por sua componente horizontal C

horizontal Cxx e vertical Ce vertical Cyy também arbitrariamente dirigidas. As forças exercidas entre si pelastambém arbitrariamente dirigidas. As forças exercidas entre si pelas

barras CF e AD serão também iguais e opostas. Mais uma vez as correções serão verificadas pelos barras CF e AD serão também iguais e opostas. Mais uma vez as correções serão verificadas pelos sinais obtidos para os valores comuns das forças. Por exemplo, se a força Cx

sinais obtidos para os valores comuns das forças. Por exemplo, se a força Cx está realmente dirigidaestá realmente dirigida para a direita, o sinal positivo validará a hipótese. Caso contrário o sinal negativo indicará que ela para a direita, o sinal positivo validará a hipótese. Caso contrário o sinal negativo indicará que ela está errada.

está errada.

As forças internas podem ser determinadas considerando-se o diagrama de corpo livre das barras. As forças internas podem ser determinadas considerando-se o diagrama de corpo livre das barras. Por exemplo, para CF teremos as equaç

Por exemplo, para CF teremos as equaç ões Σ Mões Σ MCC = 0, Σ M= 0, Σ MEE = 0 e Σ F= 0 e Σ Fxx = 0, que fornecem= 0, que fornecem

respectivamente os valores F

respectivamente os valores FBEBE, , CCyy e e CCxx, que podem ser comprovados com a verificação do, que podem ser comprovados com a verificação do

equilíbrio da barra AD. equilíbrio da barra AD.

Os diagramas de corpo livre não das articulações não forma trabalhados, pois os pinos foram Os diagramas de corpo livre não das articulações não forma trabalhados, pois os pinos foram considerados como partes integrantes da barras. Isto simplifica a análise. Entretanto, quando uma considerados como partes integrantes da barras. Isto simplifica a análise. Entretanto, quando uma articulação une três ou mais barras ou

articulação une três ou mais barras ou liga um vínculo externo e liga um vínculo externo e duas ou mais barras ou duas ou mais barras ou quando umaquando uma carga estiver aplicada em uma articulação devemos avaliar com cuidado a qual

carga estiver aplicada em uma articulação devemos avaliar com cuidado a qual elemento atribuí-la.elemento atribuí-la. 1.2.

1.2. Estruturas que deixam de ser rígidas Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas de seus vínculos externos.quando separadas de seus vínculos externos. Muitas estruturas deformar-se-ão quando separadas de seus vínculos externos

Muitas estruturas deformar-se-ão quando separadas de seus vínculos externos  –  –  não podem sernão podem ser consideradas como corpos rígidos. A estrutura representada na figura 2.a, que consiste em duas consideradas como corpos rígidos. A estrutura representada na figura 2.a, que consiste em duas barras AC e CB suportando cargas P e Q em seus pontos médios, vinculadas ao solo por barras AC e CB suportando cargas P e Q em seus pontos médios, vinculadas ao solo por articulações em A e B e articuladas em C. Separada de seus vínculos externos a estrutura não articulações em A e B e articuladas em C. Separada de seus vínculos externos a estrutura não manterá sua forma e deverá ser

manterá sua forma e deverá ser tratada como composta de duas partes rígidas distintas AC tratada como composta de duas partes rígidas distintas AC e CB.e CB.

Figura 2 Figura 2 As equações

As equações Σ FΣ Fxx= 0, Σ F= 0, Σ Fyy= 0 e Σ M = 0 expressam as condições de equilíbrio de um corpo rígido= 0 e Σ M = 0 expressam as condições de equilíbrio de um corpo rígido

e devem ser aplicadas aos diagramas de corpo livre de AC e CB. Como estas barras estão e devem ser aplicadas aos diagramas de corpo livre de AC e CB. Como estas barras estão submetidas a várias forças e são articuladas tanto nos vínculos externos quanto na junta, as reações submetidas a várias forças e são articuladas tanto nos vínculos externos quanto na junta, as reações em A e B e as forças em C devem ser representadas por suas componentes horizontais e verticais. em A e B e as forças em C devem ser representadas por suas componentes horizontais e verticais. Deste modo teremos quatro forças incógnitas atuando nos corpos livres de AC e CB e somente três Deste modo teremos quatro forças incógnitas atuando nos corpos livres de AC e CB e somente três equações para comprovar os equilíbrios. Entretanto, somente seis diferentes incógnitas estão equações para comprovar os equilíbrios. Entretanto, somente seis diferentes incógnitas estão envolvidas na análise das duas barras e seis equações em conjunto estão disponíveis para expressar envolvidas na análise das duas barras e seis equações em conjunto estão disponíveis para expressar

o equilíbrio das barras. O método de resolução mais prático para este tipo de problema utiliza tanto o equilíbrio das barras. O método de resolução mais prático para este tipo de problema utiliza tanto o diagrama

o diagrama de corpo livre ACB e quanto de AB e CB. Escrevendo Σ Mde corpo livre ACB e quanto de AB e CB. Escrevendo Σ MCC = 0 e Σ M= 0 e Σ MBB = 0 para o= 0 para o

corpo livre ABC obtemos B

corpo livre ABC obtemos Byye Ae Ayy. Com Σ M. Com Σ MCC = 0, Σ F= 0, Σ Fxx = 0 e Σ F= 0 e Σ Fyy= 0 para AC, = 0 para AC, obteremos Aobteremos Axx, C, Cxxee

C

Cyy. Finalmente com Σ F. Finalmente com Σ Fxx= 0 para ABC, acharemos B= 0 para ABC, acharemos Bxx..

Está análise envolve incógnitas e seis equações independentes de equilíbrio e comprovamos que Está análise envolve incógnitas e seis equações independentes de equilíbrio e comprovamos que todas as incógnitas poderiam ser determinadas e todas as equações satisfeitas. A estrutura todas as incógnitas poderiam ser determinadas e todas as equações satisfeitas. A estrutura considerada é estaticamente determinada e indeformável - manterá

considerada é estaticamente determinada e indeformável - manterá sua forma enquanto permanecersua forma enquanto permanecer ligada a seus apoios. Se existirem mais incógnitas que equações a estrutura será considerada ligada a seus apoios. Se existirem mais incógnitas que equações a estrutura será considerada estaticamente indeterminada. Mais equações que

estaticamente indeterminada. Mais equações que incógnitasincógnitas –  – será considerada deformável.será considerada deformável.

Se por causa de uma disposição imprópria das barras e apoios, não for possível determinar todas as Se por causa de uma disposição imprópria das barras e apoios, não for possível determinar todas as incógnitas e tampouco satisfazer todas as equações a estrutura será estaticamente indeterminada e incógnitas e tampouco satisfazer todas as equações a estrutura será estaticamente indeterminada e deformável.

1.3.

1.3. Exercícios resolvidosExercícios resolvidos 1.3.1.

1.3.1. Na estrutura da figura as barras ACE e BCD são articuladas por um pino em C e pelaNa estrutura da figura as barras ACE e BCD são articuladas por um pino em C e pela barra DE. Determine a força na barra DE e as componentes da força exercida em C pela barra DE. Determine a força na barra DE e as componentes da força exercida em C pela barra BCD.

barra BCD.

Solução Solução



 _{Estrutura inteiraEstrutura inteira}

Como as reações externas envolvem apenas três incógnitas, determinaremos as reações Como as reações externas envolvem apenas três incógnitas, determinaremos as reações consideran

considerando o diagrama de do o diagrama de corpo livre da estrutura toda.corpo livre da estrutura toda.





      300300NN m m 16 16 ,, 0 0 m m 1 1 ,, 0 0 x x N N 480 480 B B 0 0 m m 1 1 ,, 0 0 x x P P m m 16 16 ,, 0 0 x x B B 0 0 M M_AA N N 300 300 A A 0 0 A A N N 300 300 A A B B 0 0 F F_xx    _xx   _xx   _xx 





  _BarrasBarras

Como apenas duas barras são articuladas em C, as componentes das forças desconhecidas que agem Como apenas duas barras são articuladas em C, as componentes das forças desconhecidas que agem em ACE e BCD são i

em ACE e BCD são iguais, porém de sentidos opostos e supostamente orientadguais, porém de sentidos opostos e supostamente orientadas como a ilustração.as como a ilustração. Supondo a barra DE tracionada e forças iguais em D e E, com sentidos opostos

Supondo a barra DE tracionada e forças iguais em D e E, com sentidos opostos



ºº 07 07 ,, 28 28 150 150 80 80 tg tg 11      

Barra BCD - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos Barra BCD - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos

 



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MM_CC 00 FF_DEDEsensen xx00,,2525mm 300300NNxx00,,0606mm480480NNxx00,,11mm00

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FF sensen



264264NN m m 25 25 ,, 0 0 m m 1 1 ,, 0 0 x x N N 480 480 m m 06 06 ,, 0 0 x x N N 300 300 sen sen F F_{DEDE DEDE} N N 561 561 ºº 07 07 ,, 28 28 sen sen N N 264 264 F F_DEDE   



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556611NNcoscos2288,,0077ºº



330000 NN 00 C C 0 0 N N 3 30000 cos cos F F C C 0 0 F F_xx   _xx  _DEDE     _xx    

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N N 795 795 C C_xx 

 



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FF_yy 00CC_yy FF_DEDEsensen480480NN00CC_yy  561561NNsensen2828,,0707ºº 480480NN00

N N 216 216 C C_xx 

Barra ACE - Os cálculos serão verificados Barra ACE - Os cálculos serão verificados considerando-se o utilizando o diagrama de considerando-se o utilizando o diagrama de corpo livre, teremos:

corpo livre, teremos:

N N 795 795 C C_xx  N N 216 216 C C_xx 





FF sensen





xx00,,11mm





FF cossco



xx00,,33mm CC xx00,,2222mm 00 0 0 M M_CC   _DEDE   _DEDE   _xx 

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

561561NNsensen2828,,0707ºº



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xx00,,11mm







561561NNsensen2828,,0707ºº



xx00,,33mm795795NNxx00,,2222mm00 1.3.2.

1.3.2. Determinar as componentes das forças que agem em cada Determinar as componentes das forças que agem em cada barra da estruturabarra da estrutura

Solução Solução



 _{Estrutura inteiraEstrutura inteira}

Como as reações externas envolvem apenas três incógnitas, determinaremos as reações Como as reações externas envolvem apenas três incógnitas, determinaremos as reações consideran

considerando o diagrama de do o diagrama de corpo livre da estrutura toda.corpo livre da estrutura toda.

kN kN 8 8 ,, 1 1 m m 8 8 ,, 4 4 m m 6 6 ,, 3 3 x x kN kN 4 4 ,, 2 2 F F 0 0 m m 8 8 ,, 4 4 x x F F m m 6 6 ,, 3 3 x x kN kN 4 4 ,, 2 2 0 0 M M_EE       









FF_yy 0022,,44kNkN11,,88kNkNEE_yy 00EE_yy 00,,66kNkN 0 0 E E 0 0 F F_xx   _yy 





  _BarrasBarras

Como apenas duas barras estão acopladas em cada nó, a estrutura pode ser desmembrada e os Como apenas duas barras estão acopladas em cada nó, a estrutura pode ser desmembrada e os

componente

componentes iguais e contrários são s iguais e contrários são representados sobre cada barra e em cada nó.representados sobre cada barra e em cada nó.

Barra BCD - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos Barra BCD - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos

kN kN 6 6 ,, 3 3 m m 4 4 ,, 2 2 m m 6 6 ,, 3 3 x x kN kN 4 4 ,, 2 2 C C 0 0 m m 4 4 ,, 2 2 x x C C m m 6 6 ,, 3 3 x x kN kN 4 4 ,, 2 2 0 0 M M_BB    _yy   _yy  



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kN kN 2 2 ,, 1 1 m m 4 4 ,, 2 2 m m 2 2 ,, 1 1 x x kN kN 4 4 ,, 2 2 B B 0 0 m m 4 4 ,, 2 2 x x B B m m 2 2 ,, 1 1 x x kN kN 4 4 ,, 2 2 0 0 M M_CC    _yy   _yy  

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

0 0 C C B B 0 0 F F_xx   _yy  _yy 





Bx e Cx

Bx e Cx não podem ser obtidos considerando-se somente a barra BCD. Os valores positivos não podem ser obtidos considerando-se somente a barra BCD. Os valores positivos obtidosobtidos para By e Cy i

para By e Cy indicam que estas componentes estão indicadas corretamenndicam que estas componentes estão indicadas corretamente.te.

Barra ABE - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos Barra ABE - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos

0 0 B B 0 0 m m 7 7 ,, 2 2 x x B B 0 0 M M_AA   _xx   _xx 





0 0 A A 0 0 A A B B 0 0 F F_xx   _xx  _xx   _xx 

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kN kN 8 8 ,, 1 1 A A 0 0 kN kN 6 6 ,, 0 0 kN kN 2 2 ,, 1 1 A A 0 0 E E B B A A 0 0 F F_yy   _yy  _yy  _yy   _yy     _yy 





Barra BCD

Barra BCD –  – retornando, teremos:retornando, teremos:

0 0 C C 0 0 C C 0 0 0 0 C C B B 0 0 F F_xx   _yy  _yy    _yy   _yy 





Barra ACF (verificação)

Barra ACF (verificação) –  – todas as componentes incógnitas já todas as componentes incógnitas já foram encontradas. Para comprovarforam encontradas. Para comprovar os resultados basta verificar o seu equilíbrio.

os resultados basta verificar o seu equilíbrio.

0 0 m m 4 4 ,, 2 2 x x kN kN 8 8 ,, 1 1 m m 4 4 ,, 2 2 x x kN kN 8 8 ,, 1 1 0 0 m m 4 4 ,, 2 2 x x A A m m 4 4 ,, 2 2 x x F F 0 0 M M_cc    _yy    





1.4.

1.4. Exercícios propostosExercícios propostos 1.4.1.

1.4.1. Determine as componentes horizontal e vertical da força que o pino em C exerce noDetermine as componentes horizontal e vertical da força que o pino em C exerce no componente BC da estrutura.

componente BC da estrutura.

1.4.2.

1.4.2. Um elevador de 500 kg capacidade éUm elevador de 500 kg capacidade é acionado pelo motor A utilizando o sistema de acionado pelo motor A utilizando o sistema de polias ilustrado. Se a cabine se desloca com polias ilustrado. Se a cabine se desloca com velocidade constante, determine a força velocidade constante, determine a força desenvolvida nos dois cabos. Desconsidere os desenvolvida nos dois cabos. Desconsidere os pesos dos cabos e polias.

pesos dos cabos e polias.

1.4.3.

1.4.3. A estrutura ao lado sustenta um cilindroA estrutura ao lado sustenta um cilindro de 50 kg. Determine as componentes horizontal de 50 kg. Determine as componentes horizontal e vertical da reação em A e da força em C

1.4.4.

1.4.4. Uma força P é aplicada nos cabos doUma força P é aplicada nos cabos do alicate. Determine a força desenvolvida no pino alicate. Determine a força desenvolvida no pino liso B e a reação que o pino A exerce nos dois liso B e a reação que o pino A exerce nos dois cabos acoplados cabos acoplados Dados: Dados: P = 35 N; P = 35 N; a = 30 mm; a = 30 mm; b = 125 mm b = 125 mm c = 40 mm c = 40 mm 1.4.5.

1.4.5. O gancho com olhal tem a propriedadeO gancho com olhal tem a propriedade de trava quando suporta a carga, pois seus dois de trava quando suporta a carga, pois seus dois componentes são conectados por um pino em A componentes são conectados por um pino em A e eles são forçados um contra o outro em B. e eles são forçados um contra o outro em B. Determine a força resultante no pino e a força Determine a força resultante no pino e a força normal em B quando o olhal suporta a carga F. normal em B quando o olhal suporta a carga F. Dados: Dados: F = 3.600 N; F = 3.600 N; a = 6 mm; a = 6 mm; b = 75 mm; b = 75 mm; c = 50 mm; c = 50 mm;  _{= 30º= 30º}