SISTEMAS DE OSCILADORES

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S

ISTEMAS DE OSCILADORES Mec ˆanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pel ´a

IEFF-ITA

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Roteiro

1 Osciladores Acoplados Introduc¸ ˜ao

Formulac¸ ˜ao geral

Massas iguais e molas iguais Acoplamento fraco

2 _{Superposiç ão de dois MHS’s} Mesma direç ão

Direc¸ ˜oes perpendiculares 3 Exemplos

P ˆendulo duplo

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Roteiro

1 _{Osciladores Acoplados} Introduc¸ ˜ao

Formulac¸ ˜ao geral

Massas iguais e molas iguais Acoplamento fraco

2 _{Superposic¸ ˜ao de dois MHS’s}

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Modelo

k1 m1 x1 q m2 x2 k2

Aplicando a 2a lei de Newton ( m1x¨1 = −kx1− qx1+ qx2 m2x¨2 = −kx2+ qx1− qx2 SEDOLH Sendo X = x1 x2 , M = m1 0 0 m2 , K = k1+ q −q −q k2+ q

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Soluc¸ ˜ao

Soluc¸ ˜ao tentativa: X(t) = aeiωt, sendo a uma matriz coluna −M ω2aeiωt = −Kaeiωt

(K − ω2M )a = O

Este ´e um problema (generalizado) de autovalores/autovetores. OBS.: De forma equivalente:

(M−1K − ω2I)a = O

Sempre é poss´ıvel encontrar autovalores reais e autovetores ortogonais, pois M e K s ão sim étricas.

Soluc¸ ˜ao do SEDO

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Modos normais

As soluç ões a1sin(ω1t + φ1)e a2sin(ω2t + φ2)s ão

chamadas demodos normais de vibrac¸ ˜ao.

As frequ ências ω1 e ω2s ão asfrequ ências normais de vibraç ão.

De forma geral,o sistema oscila como uma combinac¸ ˜ao dos modos normais.

Isto quer dizer que, em geral,as oscilaç ões n ão s ão harm ônicas, e n ão h á uma única frequ ência de vibraç ão definida.

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Modos normais

t x1 (t ) x2 (t )

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Modos normais

Se as condiç ões iniciais s ão tais que c2= 0e c16= 0, ent ão

X(t) = c1a1sin(ω1t + φ1)

Logo, o sistema permanece neste modo para t ∈ [0, ∞), com uma frequ ˆencia ω1 bem definida.

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Massas iguais e molas iguais

Caso de interesse: m1 = m2 , m, e k1= k2 , k. M = m 0 0 m = mI K = k + q −q −q k + q = kI + qA sendo A = 1 −1 −1 1

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Massas iguais e molas iguais

Para obter os modos normais:

(K − ω2M )a = O [qA − (ω2m − k)I]a = O Como os autovetores de A s ˜ao

1 1 e 1 −1 , associados aos autovalores 0 e 2, temos

a1 = 1 1 , ω1= r k m a2 = 1 −1 , ω2 = r k + 2q m

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An álise da soluç ão

Seja a matriz de mudanc¸a de base Ξ = 1 1 1 −1 . Y , u v , Ξ−1X = Ξ−1 x1 x2 Assim: ¨ Y = ¨ u ¨ v = −ω₁2 0 0 −ω2 2 u v

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An álise da soluç ão

( ¨ u = −ω₁2u ¨ v = −ω₂2v

Trata-se de duas equaç ões de MHS desacopladas e admitem as soluç ões gerais:

(

u = A1sin(ω12t + φ1)

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Modos normais

Voltando `as coordenadas x1e x2:

(

x1(t) = u(t) + v(t)

x2(t) = u(t) − v(t)

As 4 constantes arbitr ´arias (A1, A2, φ1, φ2) devem ser

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Modos normais

As soluç ões n ão correspondem, em geral, a um MHS para x1e x2.

Entretanto, h á duas coordenadas u e v, combinaç ões lineares de x1 e x2, que oscilam harmonicamente. Essas

coordenadas chamam-se coordenadas normais.

Neste caso, u e v admitem uma interpretaç ão f´ısica muito simples: u é o deslocamento do CM e 2v é o

deslocamento relativo das massas.

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Modos sim ´etrico e anti-sim ´etrico

Para condic¸ ˜oes iniciais apropriadas, temos ( A2= 0 A1= 0 ∼ ( x1(t) = x2(t) = A1sin(ω1t + φ1) x1(t) = −x2(t) = A2sin(ω2t + φ2)

Nestes dois casos, as part´ıculas oscilam harmonicamente com uma frequ ência bem definida em fase ou em oposiç ão de fase. Estes s ão os modos normais de vibraç ão. A soluç ão geral é uma superposiç ão dos modos normais de vibraç ão.

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Modos sim ´etrico e anti-sim ´etrico

1o modo: x1(t) = x2(t)(modo sim ´etrico).

A mola que liga as duas massas n ão é nem comprimida nem esticada: é como se ela n ão existisse.

2o modo: x1 = −x2 (modo anti-sim ´etrico).

A frequ ência de oscilaç ão é maior que no caso anterior pois h á uma forma restauradora que n ão havia antes: a da mola do meio.

Note que ω2 > ω1, isto ´e, o modo anti-sim ´etrico tem

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Modos sim ´etrico e anti-sim ´etrico

Situaç ão de interesse: massas partem do repouso, e uma delas é deslocada da posiç ão de equil´ıbrio

x1(0) = a, x2(0) = 0, ˙x1(0) = ˙x2(0) = 0 Soluc¸ ˜ao x1(t) = a 2[cos ω1t + cos ω2t] x2(t) = a 2[cos ω1t − cos ω2t] Reescrevendo x1(t) = a cos ∆ωt 2 cos(¯ωt) x2(t) = a sin ∆ωt 2 sin(¯ωt)

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Batimentos

Se considerarmos o caso em que o acoplamento ´e pequeno (i.e. q k), temos: ¯ω ∼= ω1e ∆w ∼=

ω2 q

ω1

, em que ω_q2 = q/m. Temos ent ão uma situaç ão t´ıpica de batimentos, modulados por a cos ∆ωt

2

para x1e por a sin

∆ωt 2

para x2, ou seja, a

modulaç ão das amplitudes est á em quadratura: os m áximos de uma correspondem aos zeros da outra.

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Batimentos

t x1 (t ) x2 (t )

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Roteiro

1 Osciladores Acoplados

2 _{Superposiç ão de dois MHS’s} Mesma direç ão

Direc¸ ˜oes perpendiculares

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Introduc¸ ˜ao

H á diversas situaç ões em que MHS’s se superp õem gerando um movimento resultante.

Exemplo: 2 diapas ˜oes vibrantes produzem tons musicais puros (que correspondem a MHS’s) que atingem

simultaneamente o t´ımpano de nosso ouvido, fazendo-o vibrar com uma combinac¸ ˜ao de 2 MHS’s.

Vamos analisar agora algumas formas poss´ıveis de como a superposic¸ ˜ao pode ocorrer.

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Mesma frequ ˆencia

x(t) = A1cos(ωt + ϕ1) + A2cos(ωt + ϕ2)

= RehA1ei(ωt+ϕ1)+ A2ei(ωt+ϕ2)

i

= Reeiωt A1eiϕ1 + A2eiϕ2

= A cos(ωt + β) sendo Aeiβ = A1eiϕ1 + A2eiϕ2

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Frequ ˆencias diferentes: batimentos

x1(t) = A1cos(ω1t + ϕ1)e x2(t) = A2cos(ω2t + ϕ2)

A diferenc¸a de fase θ = (ω2− ω1)t + (ϕ2− ϕ1)varia com o

tempo de modo que podemos tomar por t = 0 o instante em que a diferenc¸a de fase ´e multipla de 2π, o que equivaleria a considerar: ϕ1 = ϕ2= 0

Para w1 e w2 quaisquer, o movimento resultante

x(t) = x1(t) + x2(t)n ˜ao ser ´a em geral sequer um

movimento peri ´odico (para ser peri ´odico, ω1 e ω2 precisam

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Mesma direç ão e frequ ências diferentes

Caso importante: quando ω1 e ω2 s ˜ao muito pr ´oximas

(ocorre batimento). Supondo A1 = A2= A.

x(t) = 2A cos ∆ωt 2 | {z } a(t) cos(¯ωt)

∆ω ¯ω, podemos supor que x(t) ´e regido pelo cos ¯ωtcom uma amplitude que varia no tempo como |a(t)|

x

(t

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Mesma frequ ˆencia

x(t) = A cos(ωt + ϕx) y(t) = B cos(ωt + ϕy) Rearranjando e sendo ∆ϕ = ϕy− ϕx: y B = cos (ωt + ϕx+ ∆ϕ) = x

Acos(ϕy−ϕx)−sin(ωt+ϕx) sin(∆ϕ) hy B − x Acos(∆ϕ) i2 = sin2(ωt+ϕx) sin2(∆ϕ) = 1 − x 2 A2 sin2(∆ϕ) x2 A2 + y2 B2 − 2xy ABcos(∆ϕ) = sin 2_(∆ϕ)

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Mesma frequ ˆencia

x y −A A B −B _{∆ϕ = 0} x y −A A B −B _{∆ϕ = π} x y −A A B −B _{∆ϕ = π/2} x y −A A B −B _{∆ϕ = −π/2}

(29)

Frequ ˆencias diferentes

Nesse caso, observam-se as curvas de Lissajous

x y

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Frequ ˆencias diferentes

Se ω1 e ω2s ão comensur áveis, a curva é fechada. Do

contr ´ario, a trajet ´oria nunca se fecha.

x y

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Roteiro

1 Osciladores Acoplados

2 _{Superposic¸ ˜ao de dois MHS’s}

3 _Exemplos P ˆendulo duplo

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Enunciado

Obtenha os modos e as frequ ências normais de oscilaç ão do p êndulo duplo φ2 m1 m2 l1 l2 φ1

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Soluc¸ ˜ao

Diagrama de forças (atenç ão: forças de in ércia em vermelho) T1 T2 α m1g m1 α = φ2− φ1 T2 m2φ˙2₁l1 m2l1φ¨1 φ1 φ2 m2g m2

(34)

Soluc¸ ˜ao

Aplicando a 2a lei de Newton para m1 na direc¸ ˜ao polar:

m1g sin φ1+ T2sin(φ2− φ1) = m1l1φ¨1

Aplicando a 2a lei de Newton para m2 (direc¸ ˜oes polar e radial):

(

T2− m2g cos φ2− m2φ˙21l1cos(φ2− φ1) = ml22φ˙22

(35)

Soluc¸ ˜ao

Linearizando (assumindo pequenas oscilac¸ ˜oes)      T2 = m2g m1l1φ¨1 = −m1gφ1+ m2g(φ2− φ1) l2φ¨2 = −gφ2− l1φ¨1 Reescrevendo ( m1l1φ¨1 = −(m1+ m2)gφ1+ m2gφ2 m1l2φ¨2 = (m1+ m2)gφ1− (m1+ m2)gφ2

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Soluc¸ ˜ao

Definindo τ = ω1t, ω1 = p g/l1, r = m2/m1, α2= l1/l2 ( φ00₁ = −(1 + r)φ1+ rφ2 φ00₂ = (1 + r)α2φ1− (1 + r)α2φ2

em que φ0 = dφ/dτ. Para encontrar os modos e as frequ ˆencias normais, precisamos resolver

det(K − ω2I) = 0 em que K = (1 + r) −r −α2(1 + r) (r + 1)α2 .

(37)

Soluc¸ ˜ao

Para melhor insight da F´ısica, ´e conveniente considerar α = 1 e r = 1

p(ω) = det(K − ω2I) = ω4− 4ω2+ 2, cujas ra´ızes s ˜ao

ω1 = q 2 − √ 2 ω2= q 2 + √ 2 O primeiro modo tem frequ ˆencia ω1 =

q

2 −√2e satisfaz a φ2 =

√

2φ1. Neste modo, as oscilaç ões dos p êndulos est ão em

fase.

O segundo modo tem frequ ˆencia ω2=

q 2 +

√

(38)

Enunciado

Obtenha os modos e as frequ ˆencias normais de carro acoplado ao p ˆendulo k m x L M θ

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Soluc¸ ˜ao

Diagrama de forc¸as kx m T θ T M ¨x M g θ θ

Aplicando a 2a lei de Newton 

 

T sin θ − kx = m¨x

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Soluc¸ ˜ao

Reescrevendo as equaç ões e desprezando termos n ão lineares (para pequenos ângulos)

   m¨x = −kx + M gθ ¨ θ = k mLx − M m + 1 g Lθ Definimos: r = M/m, u = x/L, ¯ω = g/L, k = α2m¯ω2, τ = ¯ωt ( u00= −α2u + rθ θ00= α2u − (r + 1)θ 00 00

(41)

Soluc¸ ˜ao

Para encontrar os modos e as frequ ˆencias normais, precisamos resolver det(K − ω2I) = 0 em que K = α2 −r −α2 _{(r + 1)}

. Para melhor insight da F´ısica, ´e conveniente considerar α =√2e r = 1

p(ω) = det(K − ω2I) = ω4− 4ω2+ 2, cujas ra´ızes s ˜ao

(42)

Soluc¸ ˜ao

O primeiro modo tem frequ ˆencia ω1 =

q 2 −

√

2e satisfaz a θ =√2u. Neste modo, as oscilaç ões do carro e do p êndulo est ão em fase.

O segundo modo tem frequ ˆencia ω2=

q

2 +√2e satisfaz a θ = −√2u. Neste modo, as oscilaç ões do carro e do p êndulo est ão em oposiç ão de fase.