Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI
Instituto de Física & Química – IFQ
Universidade Aberta do Brasil – UAB
Curso de Licenciatura em Física – EaD
Textos Auxiliares para as disciplinas:
Física Experimental
Metodologia Científica
Prof. Gabriel Rodrigues Hickel
Baseado em material didático criado por
Prof. Agenor Pina da Silva & Profa. Mariza Grassi
Ano 2019
Todos os direitos reservados à UNIFEI e UAB. O uso deste material para fins didáticos, não lucrativos, é permitido, desde que mantidos os créditos.
Conteúdo deste texto:
XI – Notação Científica e Prefixos
XII – Operações com Algarismos Significativos
Referências Bibliográficas recomendadas para este texto
Livros:
1 - Vuolo, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard Blücher LTDA, 2a
Edição, São Paulo, SP, 2000.
Endereços eletrônicos:
1 – ON-MCT; “Usando números muito pequenos e números muito grandes”
http://www.pousadavilatur.com.br/observatorio/documents/AstrofisicaEstelarON/c03_usando_num_pequenos_num.pdf
(acesso em 01/Abril/2019)
2 – CEFET-SP; “Algarismos Significativos (AS)”
http://www.cefetsp.br/edu/okamura/algarismos_significativos.htm (acesso em 15/Setembro/2016)
3 – Lapolli, A.L.; Canelle, J.B.G.; Marinho, J.R.; “Física Básica Experimental” http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/fisGelExpII/laboratorio/apostilaAgostinho.pdf (acesso em 01/Abril/2019)
4 – Bidoia, E.D. - UNESP; “Erros”
http://www.rc.unesp.br/ib/bioquimica/aula2ederio.pdf (acesso em 26/Março/2014)
XI – Notação Científica e Prefixos
As medidas de algumas grandezas físicas resultam em números que podem ser muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo:
Distância média da Terra ao Sol = 149.500.000 km Volume da Terra = 1.083.230.000.000 km³
Nanometro = 0,000000001 m
Massa do próton = 0,00000000000000000000000000167 g.
A dificuldade em trabalhar com esses números na forma real, levou ao estabelecimento de uma notação simplificada para representá-los: a notação cientifica. O uso da notação científica facilita escrever números muito grandes ou muito pequenos, evita a representação com muitos zeros não significativos e facilita a mudança ou conversão de unidades. Para escrever um número em
notação científica deve-se proceder do seguinte modo:
Colocar a vírgula após o primeiro algarismo não-nulo, a partir da esquerda;
Multiplicar por uma potência de 10, para indicar a real posição da vírgula. Exemplos: Corretamente escritos: 1) 0,00000352 m 3,52 x10-6 m ou 3,52
·
10-6 m 2) 3524,32 kg 3,52432 x103 kg ou 3,52432·
103 kg 3) 4500,0 oC 4,5000 x103 oC ou 4,5000·
103 oC 4) 0,00000352 m 3,52 x10-6 m ou 3,52·
10-6 m Incorretamente escritos: 1) 0,00000352 m 3,5210-5 m;falta o “
·
” ou o “x”, gerando confusão entre o número e a notação 2) 352432,26 kg 35,2·
10-6 m;deve existir apenas um A.S. antes da vírgula 3) 4500,0 oC 4,5
·
103 kgzeros após um A.S. são significativos e não podem ser suprimidos
OBS: Nunca suprima A.S. quando for expressar uma medida em notação
345,35 m = 3,4535 x102 m , mantendo os 5 A.S. originais 0,0000350025 g = 3,50025 x10-5 g , 6 A.S.
60,200 N = 6,0200 x101 N , 5 A.S. 0,00000005 h = 5 x10-8 h , 1 A.S.
Uma outra notação para expressar medidas, muito comum no nosso dia-a-dia e de uso relativamente difundido nas engenharias é a utilização de
prefixos, que indicam múltiplos e sub-múltiplos de uma determinada grandeza.
Por exemplo, quando medimos em centímetros, não estamos utilizando a unidade oficial do sistema internacional de medidas (o metro), mas sim, um sub-múltiplo dela. O prefixo “centi” quer dizer a “centésima parte”. Da mesma forma, o quilômetro ou kilômetro (as duas formas são corretas) é um múltiplo do metro. O prefixo “kilo” quer dizer “vezes mil”. A Tabela 3.1 fornece a relação entre a notação científica (em potências de 10) e os prefixos respectivos.
Tabela 3.1 – Relação entre Prefixos e Notação Científica.
Múltiplos Sub-múltiplos
Potência Nome Prefixo Potência Nome Prefixo
101 deca da 10-1 deci d 102 hekto h 10-2 centi c 103 kilo k 10-3 mili m 106 mega M 10-6 micro 109 giga G 10-9 nano n 1012 tera T 10-12 pico p 1015 peta P 10-15 femto f 1018 exa E 10-18 ato a 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1024 yotta Y 10-24 yocto y Alguns exemplos:
Idade da Terra – 4,2×109 anos = 4,2 Ganos
Capacidade atual dos maiores HDs – 1,2×1016 bytes = 12 PBy
Diâmetro do disco da nossa Galáxia - 1×1021 m = 1 Zm
Largura típica de uma unha humana - 1×10-2 m = 1 cm
Velocidade do crescimento do cabelo - 3×10-9 m/s = 3 nm/s
Unidade de massa atômica – 1,66×10-24 g = 1,66 yg
Note que algumas unidades oficiais podem ser, na verdade, escritas com prefixo. É o exemplo do quilograma ou kilograma, no Sistema Internacional.
XII – Operações com Algarismos Significativos
Todas as medidas carregam informação numérica e não meros valores aritméticos. Operações com medidas exigem cuidados! Assim, quando uma medida não pode ser feita diretamente, mas tem que ser obtida a partir de cálculos que envolvam outras medidas diretas; precisamos saber até que ponto o resultado das operações matemáticas envolvidas é significativo (ou confiável) com relação à informação contida nas medidas primárias.
Por exemplo:
Determinar a velocidade média a partir de medidas de distância percorrida e tempo de percurso;
Determinar o volume de uma esfera com base na medida de seu diâmetro.
Tomemos o último exemplo. Se o diâmetro da esfera é conhecido de forma limitada, ao se calcular o volume, não se pode imaginar que ele seja conhecido perfeitamente, e sim de forma limitada. Mas qual é este limite?
A questão do grau de aproximação (conhecimento) do valor de uma medida indireta, obtida a partir de um modelo físico (operações matemáticas) e medidas diretas, é determinada a partir de algumas regras para operações com algarismos significativos, como veremos a seguir:
a) Adição e Subtração: Sejam duas medidas primárias M1 = (m1 1) e
M2 = (m2 2), com m1 e m2, valores das medidas; 1 e 2, seus respectivos
erros. Vamos supor que queiramos obter uma nova medida secundária M3, que
é o resultado de uma adição ou subtração das medidas primárias M1 e M2.
Então, esta medida secundária é obtida arredondando-se o resultado à casa decimal da parcela mais pobre em decimais, após efetuar a operação aritmética. Ou em outras palavras, o resultado deve conter o mesmo número de
casas decimais da parcela de menor precisão.
Exemplos:
2,53 g + 0,120 g + 450,34112 g = 452,99(112) g = 452,99 g
O resultado é significativo até o centésimo de grama, pois a medida de menor precisão (2,53 g) só vai até esta casa decimal. O resultado foi arredondado até o centésimo de grama, já que os algarismos entre parênteses não são significativos para todas as parcelas da soma. Mas qual a razão desta regra? Vamos proceder esta operação de forma a alinhar as medidas por casas decimais:
2,53???
+ 0,120?? 450,34112 452,99???
Note que, na falta de informação (?), não podemos efetuar a soma das parcelas fisicamente. Matematicamente (aritmética) não haveria o menor problema, mas fisicamente a primeira medida (2,53 g) limita esta adição à segunda casa decimal, uma vez que não temos informação de valores (A.S.) além dela. Em suma, podemos dizer que a precisão do resultado de uma soma ou subtração de medidas é limitada pela pior precisão entre as parcelas somadas ou subtraídas.
Outros exemplos:
27,8 s + 1,326 s + 0,66 s = 29,7(86) s = 29,8 s
11,45 cm + 93,1 cm + 0,333 cm = 104,8(83) cm = 104,9 cm 28,5383 s – 28,520 s = 0,018 s
b) Multiplicação e Divisão: Sejam duas medidas primárias M1 = (m1 1) e
M2 = (m2 2), com m1 e m2, valores das medidas; 1 e 2, seus respectivos
erros. Vamos supor que queiramos obter uma nova medida secundária M3, que
é o resultado do produto ou quociente das medidas primárias M1 e M2. Então,
esta medida secundária é obtida de modo que o resultado da operação deve possuir o mesmo número de algarismos significativos da medida participante (parcela) com o menor número de algarismos significativos, procedendo-se o devido arredondamento. Ou em outras palavras, o resultado deve conter o
mesmo número de algarismos significativos da parcela com menor número de algarismos significativos.
Exemplos:
4,1432 cm x 2,3 cm = 9,5(2936) cm2 = 9,5 cm2
Note que houve uma imensa perda de informação no último exemplo. De 6 e 5 A.S das parcelas, respectivamente, ficou-se com apenas 2 A.S.! Isto ocorre frequentemente em subtrações.
O resultado tem 2 algarismos significativos, a mesma quantidade que a parcela mais pobre em A.S., no caso 2,3 cm.
2,43 g x 2,200 g x 450,320 g= 2407,41072 g3 =
= 2,40(741072) x 103 g3 = 2,41 x 103 g3
Neste exemplo foi necessário o uso de notação científica (fato comum), para escrever o resultado com o mesmo número de A.S. da parcela mais pobre (2,43 g -> 3 A.S.)
128,35 m / 34,5 s = 3,72(0289855) m/s = 3,72 m/s 345,253 cm x 1,2 g / 8,35 g = 49,(6171976) cm = 50 cm 4,1 cm / 3,33 cm 45,2 cm2 = 55,(65165165) cm2 = 56 cm2
Mas qual a razão da regra do produto/quociente? Como antes, vamos proceder esta operação de forma a alinhar as medidas por casas decimais, para o primeiro exemplo que vimos:
4,1432 2,3??? ????? + ????? + ????? + 124296 + 82864 952936????
Note que, na falta de informação (?), não podemos efetuar a soma das parcelas resultantes das multiplicações de cada casa decimal. Matematicamente (aritmética) não haveria o menor problema, mas fisicamente a segunda medida (2,3 cm) limita a multiplicação à apenas dois A.S. (9,5), uma vez que não temos informação confiável de valores (A.S.) além dela.
c) Demais operações: (radiciação, potenciação, funções trigonométricas, multiplicação ou divisão de uma medida por um número, etc.). Seja uma medida primária M1 = (m1 1), sendo m1, o valor da medida; 1, seu erro.
Vamos supor que queiramos obter uma nova medida secundária M3, que é o
resultado de uma operação, dentre as indicadas acima. Então, esta medida
secundária é obtida efetuando-se a operação e mantendo-se o mesmo número de algarismos significativos da medida primária.
Exemplos: (4,26 m/s)2 = 18,1(476) m2/s2 = 18,1 m2/s2 (3 A.S.) Sen 65° = 0,90(631) = 0,91 (2 A.S.) (0,7893 s3)1/3 = 0,9241(6042) s = 0,9242 s (4 A.S.) 2
(12,35 cm) = 77,59(733854) cm = 77,60 cm (4 A.S.)Importante lembrar que quando efetuamos um conjunto de operações
com medidas, é preciso efetuá-las passo-a-passo, levando-se em conta as
regras que aprendemos e com a mesma hierarquia utilizada na aritmética: 1) parênteses; 2) colchetes; 3) chaves; 4) fatoriais; 5) funções; 6) potenciação e radiciação; 7) multiplicação e divisão; 8) adição e subtração. Exemplos: * 32,12 g / (35,6 cm3 - 7,7 cm3)
1o passo: subtração no parênteses 35,6 cm3 - 7,7 cm3 = 27,9 cm3
2o passo: divisão 32,12 g / 27,9 cm3 = 1,15 g/cm3
* 13,87 cm sen2(0,675 rad - 0,223 rad) + 3,21 cm
1o passo: subtração no parênteses
0,675 rad - 0,223 rad = 0,452 rad 2o passo: função seno
sen(0,452 rad) = 0,437
3o passo: potenciação, quadrado do seno
0,437 2 = 0,191
4o passo: multiplicação
13,87 cm 0,191 = 2,65 cm 5o passo: adição
* {37,564 m - [1,232 m cos(0,554 rad - 0,028 rad)]} / [1 - (5678,2 km/s)2/(299792,458 km/s)2]1/2
1o passo: operações nos três parênteses
0,554 rad - 0,028 rad = 0,526 rad (5678,2 km/s)2 = 3,2242107 (km/s)2
(299792,458 km/s)2 = 8,987551791010 (km/s)2
2o passo: operações internas aos colchetes
2o passo A: função cosseno no primeiro colchetes
cos(0,526 rad) = 0,865
2o passo B: divisão no segundo colchetes
3,2242107 (km/s)2/8,987551791010 (km/s)2 = 3,587410-4
2o passo C: multiplicação no primeiro colchetes
1,232 m 0,865 = 1,07 m
2o passo D: subtração no segundo colchetes (atenção que o “1”
é só um número da fórmula e não, uma medida, portanto, a limita-ção será dada pelo número de casas decimais da parcela que resul-ta da razão das medidas)
1 – 0,00035874 = 0,99964126 3o passo: chaves
{37,564 m - 1,07 m} = 36,49 m
4o passo: radiciação do segundo colchetes
[0,99964126]1/2 = 0,99982061
5o passo: divisão final
36,49 m / 0,99982061 = 36,50 m
Neste último exemplo, a complexidade das operações leva a uma aparente inversão de hierarquia, pois para resolver os colchetes é necessário efetuar as operações internas. Mas isto pode acontecer várias vezes na aritmética e não caracteriza uma inversão. Note que no exemplo, os colchetes foram resolvidos na sequência certa, o que ocasionou operações internas aos mesmos. Também vale comentar que o “1” no início do segundo colchete não é uma medida e sim um número, de forma que a subtração [1 - 3,587410-4]
manteve o mesmo número de casas decimais de 0,00035874. Isto acontece com frequência em fórmulas matemáticas e físicas; por exemplo, ao calcular o perímetro de um círculo, utilizamos a fórmula P = ∙D, na qual o perímetro “P” é uma medida secundária, o diâmetro “D” é a medida primária, mas “” é apenas um número da fórmula. Existem inúmeros outros casos e sempre é preciso discernir nas fórmulas quais são de fato, medidas com A.S..
A seguir, a Tabela 3.2 apresenta o resumo de como proceder ao efetuar as operações aritméticas mais básicas, com algarismos significativos (A.S.):
Tabela 3.2 – Quadro resumo das operações com A.S.
Operação Regra
Adição ou Subtração
Resultado deve ter o mesmo
número de casas decimais da parcela mais pobre em casas decimais.
Multiplicação ou Divisão Resultado deve ter o mesmonúmero de A.S. da parcela mais pobre em A.S.
Outras Operações
Resultado deve ter o mesmo
número de A.S. da medida original que sofrerá a operação.
Sejam as medidas A = (117,8 0,1) cm e B = (8,12 0,05) cm, então teremos as seguintes operações:
A + B
A + B = 117,8 cm + 8,12 cm = 125,9 cm
1 casa decimal 2 casas decimais 1 casa decimal A – B
A – B = 117,8 cm – 8,12 cm = 109,7 cm
1 casa decimal 2 casas decimais 1 casa decimal A B
A B = 117,8 cm 8,12 cm = 957 cm2
4 A.S. 3 A.S. 3 A.S. A / B
A / B = 117,8 cm / 8,12 cm = 14,5 4 A.S. 3 A.S. 3 A.S.
A3 A3 = (117,8 cm)3 = 1,635106 cm3 4 A.S. 4 A.S. B B = 8,12 cm = 25,5 cm 3 A.S. 3 A.S. Log(A)
Log(A) = Log (117,8 cm) = 2,071 Log(cm) 4 A.S. 4 A.S.
