Métodos Matemáticos I. Primitivas. Nos capítulos anteriores interessámos-nos por problemas do tipo:dada uma função, determinar a sua derivada.

(1)

M´etodos Matem´aticos I

Cap´ıtulo 3

Primitivas

2006/2007

1

Nos cap´ıtulos anteriores interess´amos-nos por problemas do tipo:dada uma fun¸c˜ao, determinar a sua derivada.

Ao longo deste cap´ıtulo daremos ênfase ao problema inverso, ou seja, determinar uma fun¸cão sendo conhecida a sua derivada. Em suma, iremos desenvolver a opera¸cão inversa da diferencia¸cão, conhecida por primitiva¸cão ou integra¸cão.

2

Suponha que se pretende encontrar uma fun¸c˜ao F cuja derivada ´e f (x) = 2x.

Dos conhecimentos de derivadas, provavelmente dir-se-´a que:

F (x) = x2 porque d

dx

x2= 2x

A fun¸c˜ao F (x) ´e uma primitiva ( ou antiderivada ) de f (x)

3

Deﬁni¸c˜ao

Seja f uma fun¸cão definida de I → IR em que I é um intervalo de IR .

Chama-se primitiva ou antiderivada de f a toda a fun¸c˜ao F diferenci´avel em I tal que

F(x) = f (x), para todo o x ∈ I

Resulta da defini¸cão anterior que toda a primitiva de uma fun¸cão é uma fun¸cão cont´ınua.(pq ?)

(2)

Notas...

Se f admite uma primitiva dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao

primitiv´avel.

Existem fun¸cões que não são primitiváveis.

Relativamente ao exemplo apresentado, note-se que F ´e chamada uma primitiva de f e n˜ao a primitiva de f .

De facto, tamb´em

F₁(x) = x2 F₂(x) = x2+ 5 F₃(x) = x2− 3 s˜ao todas primitivas de f.

5

Teorema

Sejam f : I → IR uma fun¸c˜ao e F e G duas primitivas de f. Ent˜ao existe C ∈ IR tal que,

G (x) = F (x) + C, para todo o x ∈ I.

Deste teorema resulta que se F ´e uma primitiva de f , ent˜ao toda a primitiva de f se pode exprimir na forma F (x) + C , com C ∈ IR.

6

Sabendo que d dx

x3= 3x2, pode-se representar a fam´ılia de todas as primitivas de f (x) = 3x2 por G (x) = x3+ C .

Esta fam´ılia de fun¸cões G é a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial G(x) = 3x2.

Deﬁni¸c˜ao

Uma equa¸cão diferencial é uma equa¸cão que envolve derivadas de uma fun¸cão incógnita.

Deﬁni¸c˜ao

Uma fun¸cão f é uma solu¸cão de uma equa¸cão diferencial se verifica a equa¸cão.

Deﬁni¸c˜ao

Chama-se integral indeﬁnido da fun¸c˜ao f (x), e denota-se por

f (x)dx , a toda a express˜ao da forma F (x) + C ,com C ∈ IR, em que F (x) ´e uma primitiva de f (x).

Assim

f (x)dx = F (x) + C se F(x) = f (x)

No integral

f (x)dx , diz-se quef é a fun¸cão integranda ex a variável de integra¸cão.

Podemos denotar a primitiva de uma fun¸c˜ao f (x) por Pf (x) ou

f (x)dx .

O processo que permite determinar a primitiva de uma fun¸cão chama-seprimitiva¸cãoou integra¸cão.

(3)

Exemplo

Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial y= −2

Resolu¸c˜ao:

Em primeiro lugar procurar-se-á uma fun¸cão cuja derivada seja−2. Uma tal fun¸cão poderá ser y =−2x.

Como a fam´ılia de primitivas é a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial conclui-se que a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial dada é y =−2x + C

9

Exemplo

Determine a fam´ılia de primitivas de f (x) = cos(x).

Resolu¸cão:A fam´ılia de primitivas da fun¸cão f (x) = cos(x) é

cos(x)dx = sin(x) + C, com C ∈ IR, porque (sin(x) + C )= cos(x), para todo o x ∈ IR

10 Teorema 1. dx = x + C, com C ∈ IR 2. af (x)dx = a

f (x)dx, onde a é uma constante. 3. Sejam f e g duas fun¸cões definidas em I eα e β duas

constantes reais.

Se f e g são fun¸cões primitiváveis, então αf + βg é primitivável e (αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx +β g (x)dx)dx. 11 Exemplo

Determine a fam´ılia de primitivas de f (x) = 3 sin(x) + 2x

Resolu¸c˜ao:

A fam´ılia de primitivas da fun¸c˜ao f ´e (3 sin(x) + 2x)dx = 3 sin(x)dx + 2 xdx =−3 cos(x)+x2+C 12

(4)

A maneira mais simples de calcular a primitiva de uma fun¸cão f é procurar na tabela de derivadas, uma fun¸cão F tal que

F(x) = f (x)

Nesta seçcão serão apresentadas as primitivas de certas fun¸cões elementares, conhecidas porprimitivas imediatas, que se obtêm (de imediato) por “inversão”das regras de diferencia¸cão.

13

Teorema

Sejam f uma fun¸c˜ao diferenci´avel e C uma constante real. 1. ffpdx = f p+1 p + 1 + C, p = −1. 2. f f dx = ln|f | + C. 3. fefdx = ef + C. 4. fafdx = a f ln(a) + C, a constante. 5. fsin(f )dx =− cos(f ) + C. 6. fcos(f )dx = sin(f ) + C. 14 Teorema (cont.) 7. ftan(f )dx =−ln| cos(f )| + C. 8. fcot(f )dx = ln| sin(f )| + C. 9. fsec2(f )dx = tan(f ) + C. 10. fcosec2(f )dx =− cot(f ) + C. 11.

fsec(f ) tan(f )dx = sec(f ) + C. 12.

fcosec2(f ) cot(f )dx =−cosec(f ) + C.

Teorema (cont.)

13.

fsec(f )dx = ln| sec(f ) + tan(f )| + C. 14.

fcosec(f )dx =−ln|cosec(f ) + cot(f )| + C. Note-se que os resultados do teorema anterior podem ser demonstrados por deriva¸c˜ao, ou seja, ao derivar o membro da direita tem que se obter a fun¸c˜ao a integrar.

(5)

Exemplo

Determine

(3x + 1)4dx.

Resolu¸c˜ao:

Considerando f = 3x + 1 e p = 4, vem que f= 3. Para se aplicar o primeiro caso do teorema anterior é necessário multiplicar e dividir a fun¸cão integranda por 3,

(3x + 1)4dx = 1₃ 3(3x + 1)4dx = 1₃(3x+1)₄₊₁4+1 + C = (3x+1)₁₅ 5 + C com C ∈ IR 17 Exemplo Determine sin(1− 2x)dx. Resolu¸c˜ao:

Apliquemos o caso 5 do teorema anterior e considere-se f = 1− 2x. Como f= −2 é necessário multiplicar e dividir a fun¸cão integranda por−2,

sin(1− 2x)dx = −1₃ −2 sin(1 − 2x)dx = 1₃cos(1− 2x) + C com C ∈ IR