Uma função de uma variável real x é denominada polinômio com coeficientes no corpo K se puder ser representada como

(1)

Cap´ıtulo

3

´

Algebra (an´

eis) de

polinˆ

omios

Uma fun¸cão de uma variável real x é denominada polinômio com coefici-entes no corpoK se puder ser representada como

f (x) = a0+ a1x +· · · + anxn, ai2 K, 1  i  n.

B Exerc´ıcio 87: Mostre que os coeficientes aiacima s˜ao ´unicosC

Os polinômios formam uma subálgebra da álgebra das fun¸cões reais, de-notada por R[x]. Para o caso de polinômios sobre um corpo K arbitrário, usaremos uma defini¸cão mais apropriada e geral.

B Exemplo 16: Os polinˆomios p(x) = x e q(x) = x3 _{sobre o corpo} _Z 3

tomam os mesmos valores, enquanto que os polinˆomios p(x) = x e q(x) = x2

sobre o corpoZ2 tamb´em tomam os mesmos valoresC

Tome o espa¸co vetorial _K1 _{das sequˆencias de elementos sobre um corpo}

K onde somente um número finito de entradas são não nulas. Enumeramos

(2)

48 3. ÁLGEBRA (AN ÉIS) DE POLIN ÔMIOS

os termos de tais sequˆencias de tal maneira que uma base_{e0, e1, . . . , ek, . . .}

para K1 _{pode ser obtida denotando por e}

k a sequencia cujo k-´esimo termo

é igual a um e os demais termos são nulos. Tal espa¸co vetorial munido de um produto — denotado aqui por justaposi¸cão — eiej= ei+j é uma álgebra,

comutativa e associativa, onde e0 faz o papel de identidade. Tal ´algebra ´e

denotada porK[x].

Convencionamos agora identificar elementos do tipo be0 da ´algebra K[x],

b2 K, com os elementos de K. Denotamos tamb´em ek = xk e

(a0, a1, a2, . . . , an0, . . .) = n X i=0 aiei= n X i=0 aixi (3.1)

Os números a0, a1, a2, . . . , an são denominados coeficientes do polinômio, e

o último coeficiente não nulo é chamado de coeficiente l´ıder, sendo que seu ´ındice é o grau do polinômio p, denotado por deg p. Um polinômio é deno-minado mônico se o coeficiente l´ıder associado é igual a um.

B Exerc´ıcio 88: Mostre que deg (p + q)  max{deg p, deg q} e que deg pq = deg p + deg q C

O produto entre polinômios com coeficientes ai e bjé outro polinômio com

coeficientes ck=Pk_i=0aibk i.

I Teorema 22: Considere p, q 2 K[x] e q 6= 0. Existem polinˆomios s e r tais que p = sq + r e, ou r = 0 ou deg r < deg q J

Demonstra¸c˜ao: (Dizemos que p ´e divis´ıvel por q se r = 0). Se deg q > deg p, tomamos s = 0 e r = p. Se deg q deg p, considere p =Pni=0aixn i

e q =Pmi=0aixm i, onde a0, b06= 0, e defina

p1= p

a0

b0

xn m_q,

que possue o grau menor do que o grau de p. Se o grau de p1 for menor do

que o grau de q, podemos tomar s = a0

b0x

n m _{e r = p}

1. Se n˜ao, podemos

fazer o mesmo procedimento sucessivamente, at´e obtermos um polinˆomio do tipo

s = c0xn m+ c1xn m 1+· · · + cn m.

tal que deg (p sq) < deg (q). Esse é o quociente da divisão de p por q e r = p sq é o resto. Tais polinômios são únicos, pois dados

p = s1q + r1 s2q + r2, onde deg r1< deg q e deg r2< deg q.

Isso implica que r1 r2= (s2 s1)q e supondo que s16= s2, ent˜ao deg (r1 r2)

= deg (q2 q1) + deg q deg q, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto s1= s2

(3)

49

A divisão de um polinômio pelo monômio (x a) com resto, significa que o resto tem grau menor que um, ou seja, o resto é um elemento deK. Portanto, p(x) = (x a)s(x)+r, o que implica que p(a) = r, e este é o chamado teorema de Bezout. Dizemos agora que um elemento a2 K é uma raiz do polinômio p2 K[x] se p(a) = 0.

O teorema de Bezout implica que

I Teorema 23: O elemento a 2 K é uma raiz do polinômio p 2 K[x] se e somente se p é divis´ıvel por x a J

que usaremos para provar o seguinte:

I Teorema 24: O número de ra´ızes de um polinômio não nulo nunca excede o grau do polinômio J

Demonstra¸c˜ao: Considere a1 uma raiz de p2 K[x]. Ent˜ao

p = (x a1)p1, p12 K[x].

Considere agora a2 uma raiz de p12 K[x]. Ent˜ao

p1= (x a2)p2, p22 K[x],

e portanto p = (x a1)(x a2)p2. Sucessivamente, encontramos finalmente

p = (x a1)(x a2)· · · (x am)q, (3.2)

onde q _{2 K[x] não possui ra´ızes do polinômio p. Os elementos a}i são todos

ra´ızes de p, pois para qualquer a_{2 K, p(a) = (a a}1)(a a2)· · · (a am)q(a)

e j´a que g(a)_{6= 0, p(a) = 0 se e somente se a = a}j para algum j entre 1 e m.

Portanto o n´umero de ra´ızes nunca excede m. Al´em disso, m = deg p deg q _{ deg p 3}

I Obs.16: Uma raiz a do polinômio p é denominada raiz simples se p não for divis´ıvel por (x a)2_{. A multiplicidade da raiz a é o máximo k}

2 N tal que p seja divis´ıvel (x a)k_{. Uma raiz simples possui portanto multiplicidade}

igual a umJ

Podemos agora enunciar o teorema anterior de uma forma mais completa. I Teorema 25: O número de ra´ızes de um polinômio levando-se em conta suas multiplicidades nunca excede o grau do polinômio. Tal número é igual se e somente se o polinômio for um produto de fatores lineares J

Demonstra¸c˜ao: Podemos reescrever (3.2) agrupando os mesmos fatores, como

(4)

onde as ra´ızes a1, a2, . . . , ac s˜ao distintas. Podemos da´ı escrever

p = (x aj)kjgi, onde gj(aj)6= 0,

o que significa que aj ´e uma raiz de multiplicidade kj. Assim, o n´umero de

ra´ızes contadas juntamente com suas multiplicidades ´e igual a k1+ k2+· · · + kc = deg p deg q.

3

B Exerc´ıcio 89: Considere o polinˆomio p = b0xn+b1xn 1+· · ·+bn 1x+bn

que cinde em fatores lineares, ou seja, p = b0(x a1)(x a2)· · · (x an), onde

a1, a2, . . . , an s˜ao ra´ızes de p. Comparando os coeficientes de xp em ambas

as expressões para p, mostre as fórmulas de Viète: a1+ a2+· · · + an = b1 b0 a1a2+ a2a3+· · · + an 1an = b2 b0 .. . ... X j1<j2<···<jk aj1aj2· · · ajk = ( 1) kbk b0 .. . ... a1a2· · · an = ( 1)nbn b0 (3.3) C B Exemplo 17: O polinômio p = x4_{+ a} 1x3+ a2x2+ a3x + a4 que tem a

raiz x = 1 com multiplicidade dois e raizes simples x = 2 e x = 3, pode ser escrito pelas f´ormulas de Vi`ete como [?]

p = x4 7x3+ 17x2 17x + 6 C

Nosso objetivo agora é demonstrar o teorema fundamental da álgebra de C. Para tanto necessitaremos de uma série de lemas e corolários.

I Defini¸cão 5: Uma sequência de números complexos zk onde k 2 N

converge a um n´umero complexo z (denotaremos zk ! z) se |zk z| ! 0 J

(5)

51

Demonstra¸c˜ao: Isso vem do fato de que se zk ! z e wk ! w, ent˜ao

zkwk ! zw. 3

I Lema 3: Se _|zk| ! 1 e p 2 C[z] ´e um polinˆomio de grau positivo,

ent˜ao|f(zk)| ! 1 J

Demonstra¸c˜ao: Considere o polinˆomio p = b0xn+ b1xn 1+· · · + bn 1x +

bn, com bn6= 0. Ent˜ao |f(zk)| = |zk|n b0+ b1 zk +· · · + bn 1 z_kn 1+ bn zn k |b0| ✓ |b1| |zk| · · · |bn 1| |zn 1_| k |bn| |zk|n ◆

O termo entre parˆenteses tende a b0e portanto|f(zk)| ! 1 3

I Lema 4: (d’Alembert) Seja p_{2 C[x] um polinˆomio de grau positivo e} z0 2 C tal que p(z0)6= 0. Ent˜ao em qualquer vizinhan¸ca de z0 existe z 2 C

tal que_{|p(z)| < |p(z}0)| J

Demonstra¸c˜ao: Em geral, p(z)

p(z0)

= 1 + dj(z z0)j+ dj+1(z z0)j+1+· · · + dn(z z0)n, dj 6= 0. (3.4)

Provaremos agora que o módulo da expressão acima é menor que um. Escolha z = z0+ tz1, t2 (0, 1) e z12 C tal que djz1j= 1. A Eq.(3.4) implica que

p(z) p(z0)

= 1 tj+ tj+1q(t),

onde deg q = n j 1. Se A é o valor máximo dos coeficientes de q, então |q(t)|  (n j)A, o que implica em

p(z) p(z0)  1

tj_{+ (n} _j)Atp+1 _{= 1} _tj₍₁ _(n _{j)At) < 1,}

para t < _{(n j)A}1 3

De posse desses resultados podemos ent˜ao provar o teorema fundamental da ´algebra:

I Teorema 26: Todo polinˆomio de grau positivo sobre o corpo dos com-plexos possui raiz J

(6)

Demonstra¸c˜ao: Considere p_{2 C[z] um polinˆomio de grau positivo. Seja} M = inf

z |p(z)|. Pela defini¸cão de ´ınfimo, existe uma sequência de números

complexos zk tal que|p(zk)! M. Se a sequˆencia zkfor ilimitada, ela cont´em

uma subsequˆencia que tende ao infinito. Isso contradiz o Lema acima que antecede o Lema de d’Alembert. Portanto existe B > 0 tal que_|zk|  B, 8k 2

N. Escrevendo zk = xk+ iyk, ent˜ao|xk|  |zk|  B e |yk|  |zk|  B. Pelo

teorema de Bolzano-Weierstrass, a sequencia (xk) possui uma subsequencia

(xk`) convergente e portanto (xk`)! x0. Da mesma maneira (yk`)! y0 e

portanto (zk) ! z0, o que implica em |p(zk)| ! |p(z0)| = M. Se M > 0

isso contradiz o lema de d’Alembert, pois se p(z0)6= 0, tal lema nos diz que

|p(z)| < |p(z0)| em uma vizinhan¸ca pr´oxima de z0. Portanto M = 0 e da´ı

p(z0) = 0 3

B Corolário 3: Em C[x] qualquer polinômio cinde em fatores lineares C Demonstra¸cão: Na Eq.(3.2) o polinômio q deve ter grau zero, pois ele pode cindir em polinômios de grau menor e assim sucessivamente, até que p seja o produto de fatores lineares e portanto q_{2 C 3}

Pelo Teorema anterior, segue-se o

B Corol´ario 4: Todo polinˆomio de grau n sobre C possui n ra´ızes, contadas juntamente com suas multiplicidadesC

(7)

Cap´ıtulo

4

Operadores Lineares e

Dualidade

4.1 Preliminares

Uma aplica¸c˜ao linear : W _{! V ´e unicamente determinada pelas imagens} dos vetores da base de W . Com efeito, dada uma base_{ei} de W , para todo

vetor v =P_iaiei temos

(v) =X

i

ai (ei)

Se vi 2 V são vetores arbitrários, então : W ! V definido como (v) =

P

iaivi ´e linear, e (ei) = vi. Considerando :Kn ! Kmum mapa linear,

aplicando a e1, e2, . . . , en2 Kn, temos que

(ej) = (a1j, a2j, . . . , amj)|2 Km, j = 1, 2, . . . , n.

A matriz do operador na base_{ei} ´e a matriz (aij) determinada por (ei) =

P

jaijej.

(8)

54 4. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE

B Exemplo 18: A rota¸cão de um vetor por um ângulo ✓ é um operador linear emR2_{. Em uma base ortonormal sua matriz é dada por}

⇧(✓) = ✓

cos ✓ sin ✓ sin ✓ cos ✓

◆

Em particular, uma rota¸c˜ao de ⇡/2 nessa base corresponde `a matriz ✓

0 1

1 0

◆ . Encontremos a matriz de tal operador na base

e01 = 2e2

e02 = e1 e2

A matriz mudan¸ca de base B ´e dada por B = ✓ 0 1 2 1 ◆ ) B 1₌ ✓ 1/2 1/2 1 0 ◆ Portanto ⇧(✓)0 = B 1⇧(✓)B = ✓ 1/2 1/1 1 0 ◆ ✓ 0 1 1 0 ◆ ✓ 0 1 2 1 ◆ = ✓ 1 1 2 1 ◆ C

I Defini¸c˜ao 6: Um subespa¸co vetorial U ⇢ V ´e invariante com respeito a um operador linear 2 End(V ) se (U) ⇢ U J

A restri¸cão _|U de ao subespa¸co invariante U é uma aplica¸cão linear em U .

Se escolhemos uma base_{e1, . . . , en} de V , tal que U = he1, . . . , eki — o que

´e sempre poss´ıvel — ent˜ao a matriz de tem a forma ✓

A B

0 C

◆

(4.1) onde A ´e a matriz do operador _|U na base{e1, . . . , ek}, C ´e uma matriz de

ordem (n k) e B ´e uma matriz k_{⇥ (n} k).

No caso em que V = U W , onde U e W são dois subespa¸cos invariantes, se{e1, . . . , ek} é base de U e {ek+1, . . . , en} é base de W , então {e1, . . . , en}

´e base de V , e nessa base podemos escrever a representa¸c˜ao matricial de

como _✓

A 0

0 C

◆

onde A ´e a matriz do operador _|U na base {e1, . . . , ek} e C ´e a matriz do

(9)

4.2. TRANSFORMAC¸ ˜OES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE 55

V como a soma direta de k subespa¸cos invariantes V = V1 V2 · · · Vk,

ent˜ao na base de V , formada por bases dos subespa¸cos Vi, a matriz de ´e

da forma ₀ B B B @ A1 0 · · · 0 0 A2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · An 1 C C C A onde Ai ´e a matriz do operador |Vi.

B Exemplo 19: Similarmente, a rota¸c˜ao em torno de um eixo por um ˆ

angulo ✓ ´e um operador linear emR3_{. Numa base ortonormal}_{e

1, e2, e3} tal

que e3seja colinear com o eixo de rota¸c˜ao, o operador tem a seguinte forma:

✓

⇧(✓) 0

0 1

◆

Isso concorda com a maneira pela qual R3 _{´e cindido na soma direta} _R3 ₌

he1, e2i he3i C

B Exerc´ıcio 90: Seja : K3

! K3 _{dada por} _{(x, y, z) = (x + z, 2x +}

y, x + 2y + 4z). A matriz de em rela¸cão à base canônica de_K3_{é dada por}

0

@ 12 1 00 1 1 2 4

1 A

Seja uma outra base_{f1, f2, f3} de K3 dada por f1= (1, 0, 1), f2= ( 1, 2, 1)

e f3= (2, 1, 1). Determine a matriz de na base{fi}C

4.2 Transforma¸c˜

oes Gradiente e Contragradiente

A diferen¸ca entre vetores e covetores pode ser bem explorada quando con-sideramos por exemplo, o efeito de uma mudan¸ca de base. Vamos consi-derar uma mudan¸ca B B! B0 _{descrita por e}0

j =

Pn

i=1Bijei. Um vetor v

tem coordenadas {vi_{} na base B e coordenadas {v}0i_{} na base B}0_{, de modo}

que v = Piviei = Piv0ie0i. A rela¸c˜ao entre essas coordenadas ´e portanto

vj ₌P iB

j iv0i.

Sejam agora B⇤ = {ei

} e B0⇤ ₌_{e0i_{} as bases respectivamente duais `as}

bases B = _{ei} e B0 = {e0i}, respectivamente. Temos portanto ei(ej) =

e0i_(e0

j) = ij. Como vimos acima, as coordenadas de um funcional ↵ 2 V⇤

nas bases B⇤ _{e B}0⇤ _{s˜ao dadas pelo valor desse funcional nas bases B e B}0_,

(10)

56 4. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE e0 j = P iBijei ent˜ao ↵0j = P iBij↵i e da´ı ej =PiB j ie0i. Em resumo, numa

mudan¸ca de base as coordenadas de um covetor transformam-se da mesma maneira que os vetores da base, ou seja, enquanto que as coordenadas de um vetor transformam-se da mesma maneira que os covetores da base dual.

`

As vezes se denomina a transforma¸cão dos vetores da base de gradiente e a transforma¸cão das coordenadas de contragradiente. Segundo essa deno-mina¸cão então os vetores da base dual se transformam de maneira contra-gradiente enquanto as coordenadas dos covetores se transformam de maneira gradiente.

B Exemplo 20: Sejam B = {ei} a base canˆonica de R3, ou seja, e1 =

(1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1), e B0 ={e0i} uma outra base tal que

e0

1= ( 1, 1, 1), e02= ( 1, 0, 1) e e03= (2, 1, 1). Dado um vetor v = viei =

v0i_e0

i, a rela¸cão entre suas coordenadas{vi} e {v0i} com rela¸cão à estas bases

pode ser expressa na forma 0 @v 1 v2 v3 1 A = 0 @ 11 01 21 1 1 1 1 A 0 @v 01 v02 v03 1 A , 0 @v 01 v02 v03 1 A = 0 @10 11 11 1 0 1 1 A 0 @v 1 v2 v3 1 A , enquanto a rela¸c˜ao entre os vetores das bases ´e

e01= e1 e2+ e3, e1= e01+ e03,

e0₂= e1+ e3, e2= e01+ e02,

e03= 2e1+ e2 e3, e3= e01+ e02+ e03.

Seja B⇤₌_{ei

} ´e a base dual de B. Escrevendo os vetores {ei} como

e1= (1, 0, 0)|, e2= (0, 1, 0)|, e3= (0, 0, 1)|,

ent˜ao a base dual ´e escrita como

e1= 1 0 0 , e2= 0 1 0 , e3= 0 0 1 . Seja agora B0⇤₌_{e0i_{} a base dual de B}0_{. Devemos ter portanto e}0i_(e0

j) = ij,

ou seja, e01_(e0

1) = 1, e01(e02) = e01(e03) = 0, etc. Para acharmos a rela¸c˜ao

entre os vetores das bases duais podemos, por exemplo, agir com e0i sobre os vetores ej expressos em termos de B0. Por exemplo:

e01(e1) = e01(e01+ e30) = e01(e01) + e01(e03) = 1,

e01(e2) = e01( e01+ e02) = e01(e01) + e01(e02) = 1,

(11)

4.2. TRANSFORMAC¸ ˜OES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE 57

de onde conclu´ımos que e01_{= e}1 _e2_{+ e}3_{. O procedimento an´}_{alogo pode ser}

usado para expressar ei_{em termos da base B}0⇤_{. Os resultados que}

encontra-mos s˜ao

e01= e1 _e2_{+ e}3_, _e1₌ _e01 _e02_{+ 2e}03_,

e02= e2+ e3, e2= e01+ e03, e03= e1+ e3, e3= e01+ e02 e03. Seja agora o funcional linear ↵ tal que

↵(v) = ↵1v1+ ↵2v2+ ↵3v3,

onde_{↵i} s˜ao as componentes de ↵ na base B⇤. Se escrevemos as

componen-tes de v em termos de uma matriz-linha, ent˜ao as componente do funcional linear ↵ podem ser escritas em termos da matriz-coluna [↵]B⇤ = ↵1, ↵2, ↵3 .

Com isso ↵(v) = ↵1, ↵2, ↵3 0 @v 1 v2 v3 1 A = ↵1v1+ ↵2v2+ ↵3v3. Se ↵0

i s˜ao as componentes de ↵ na base B0⇤, ou seja, ↵ = ↵iei = ↵0ie0i,

encontramos a seguinte rela¸c˜ao entre as componentes: ↵1, ↵2, ↵3 = ↵01, ↵02, ↵03 0 @10 11 11 1 0 1 1 A , ↵0 1, ↵02, ↵03 = ↵1, ↵2, ↵3 0 @ 11 01 21 1 1 1 1 A

Com isso vemos que, ao multiplicar uma matriz pela direita por um vetor-coluna, estamos relacionando as coordenadas de um vetor em uma base A em termos das coordenadas em uma base B, enquanto ao multiplicar essa mesma matriz pela esquerda por um vetor-linha, estamos relacionando as coordenadas de um covetor na base B em termos das coordenadas na base A. C

B Exemplo 21: Seja F o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas f : R ! R. A integral L(f ) = Rx1

x0 f (x)d x define um funcional linear L sobre F. Vamos

agora considerar o subconjunto _P2 de F formado pelas fun¸c˜oes polinomiais

P de grau menor ou igual a 2, ou seja, P (x) = a + bx + cx2_{. Uma base para}

este espa¸co ´e portanto B ={1, x, x2_{}, e denotaremos}

(12)

58 4. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE

Vamos definir os seguintes funcionais lineares sobre _P2:

Li(P ) = Z i 0 p(x)d x, i = 1, 2, 3 . Temos explicitamente L1(P ) = a +1 2b + 1 3c, L 2_{(P ) = 2a + 2b +}8 3c, L 3_{(P ) = 3a +}9 2b + 9c. Se{ei_{} ´e a base dual de {e}

i} ent˜ao da equa¸c˜ao acima podemos concluir que

L1= e1+1 2e 2₊1 3e 3_, _L2_{= 2e}1_{+ 2e}2₊8 3e 3_, _L3_{= 3e}1₊9 2e 2_{+ 9e}3_.

Seja {Li} a base da qual {Li} ´e a base dual, ou seja, Li(Lj) = ij, Como

Li _{= e}j_Li_(e

j) e ej = Li(ej)Lj, e da express˜ao acima temos diretamente

{Li_(e

j)}, segue de imediato a express˜ao de {ei} em termos de {Li},

e1= L1+ 2L2+ 3L3, e2= 1 2L1+ 2L2+ 9 2L3, e3= 1 3L1+ 8 3L2+ 9L3. A rela¸cão inversa pode ser obtida com as manipula¸cões usuais e o resultado é L1= 3 5x + 3 2x 2_, _L 2= 3 2 + 4x 3 2x 2_, _L 3= 1 3 x + 1 2x 2_.

Esta ´e portanto a base de P2 da qual a base{Li} ´e a base dual. Uma vez

que Li= ej(Li)ej e ej = ej(Li)Li, segue da express˜ao acima a rela¸c˜ao para

{ei } em termos de {Li }, ou seja, e1_{= 3L}1 3 2L 2₊1 3L 3_{, e}2₌ _5L1_{+ 4L}2 _L3_{, e}3₌3 2L 1 3 2L 2₊1 2L 3_.

Finalmente, um funcional arbitr´ario L, L(P ) =

Z x1

x0

p(x)d x, pode ser escrito, por exemplo, na forma

L = 1e1+ 2e2+ 3e3= l1L1+ l2L2+ l3L3 onde 1= (x1 x0), 2=x 2 1 x20 2 , 3= x3 1 x30 3 ,

enquanto as coordenadas {li} s˜ao dadas por

l1 l2 l3 = 1 2 3 0 @ 35 3/2 1/34 1 3/2 3/2 1/2 1 A C

(13)

4.3. FUNCIONAIS BILINEARES 59

4.3 Funcionais Bilineares

Os axiomas de espa¸co vetorial não incorporam a geometria dos vetores no espa¸co euclidiano pois não há como se definir comprimento e ângulo entre vetores sem introduzir o conceito de métrica no seu espa¸co. Consideramos nesta Se¸cão fun¸cões que generalizam o produto interno.

I Defini¸cão 7: Um funcional bilinear (ou forma bilinear) em um K-espa¸co vetorial V é uma fun¸cão B : V _{⇥ V ! K que é linear em cada argumento J} Por bilinearidade entendemos a linearidade em cada um dos argumentos da aplica¸cão, ou seja, dados a, b 2 K e u, v, w 2 V , então B(av + bu, w) = aB(v, w) + bB(u, w) e B(v, au + bw) = aB(v, u) + bB(v, w).

I Obs.17: Adotaremos de agora em diante a nota¸cão B para uma forma a princ´ıpio arbitrária, g para uma forma bilinear simétrica e para uma forma bilinear alternada J

B Exemplo 22: O produto interno em R3 _{´e uma fun¸c˜ao bilinear em} _R3_.

A fun¸c˜ao g(f1, f2) =R b

af1(x)f2(x)dx é uma fun¸cão bilinear em C[a, b]. Já a

fun¸cão g(X, Y ) = Tr(XY ) é uma fun¸cão bilinear no espa¸co M(n,_{K) C} O núcleo de uma fun¸cão bilinear B é o subespa¸co ker g =_{{v 2 V | B(u, v) =} 0, _{8u 2 V }. Dizemos que B é não-degenerada se ker B = {0}. Pode-se} mostrar que o funcional bilinear g é não-degenerado se e somente se para cada vetor v_{6= 0 existir um vetor u 6= 0 tal que B(v, u) 6= 0.}

O espa¸co vetorial equipado com um funcional bilinear g : V _{⇥ V ! K é} dito um espa¸co com produto escalar. A quantidade simétrica g(v, u) é muitas vezes chamada produto escalar entre os vetores v e u se além das propriedades acima citadas, g satisfizer g(v, v) 0. Se g(v, u) = 0 dizemos que os vetores v e u são ortogonais em rela¸cão a g. Num caso arbitrário um vetor não-nulo v pode ser ortogonal a si próprio, ou seja, g(v, v) = 0. Tais vetores são ditos isotrópicos.

Um funcional bilinear g é dito simétrico se g(v, u) = g(u, v). Um espa¸co vetorial equipado com um funcional bilinear simétrico é dito um espa¸co quadrático. Um funcional bilinear simétrico é completamente determinado pela forma quadrática Q(v) = g(v, v) através do processo de polariza¸cão. De fato, usando a propriedade de bilinearidade para calcularmos Q(v + u) = g(v + u, v + u), podemos escrever

g(v, u) = 1

2(Q(v + u) Q(v) Q(u)).

Formalmente, dizemos que um espa¸co quadrático é um par (V, Q) onde V é um _{K-espa¸co vetorial de dimensão finita e Q : V ! K é a aplica¸cão que}