= 0,37 = 37% Mas, e se a fração não tiver denominador 100? É só transformarmos essa fração em uma que tenha denominador 100.

(1)

Porcentagem e juros

Teoria

Porcentagem

Porcentagem é uma fração de denominador 100.

Ex.:

₁₀₀³

= 0,03 = 3%

37 100 = 0,37 = 37%

Mas, e se a fração não tiver denominador 100? É só transformarmos essa fração em uma que tenha denominador 100.

Ex.:

²

5

=

⁴⁰

100

= 40%.

Obs.: Se quisermos calcular x% de algum valor y, basta multiplicarmos. Ou seja:

𝑥%

de

𝑦 = 𝑥 100 ⋅ 𝑦

Fatores multiplicativos

Para facilitar o cálculo de um valor resultante de um aumento ou desconto percentual, utilizam-se os fatores multiplicativos.

Imagine uma quantidade C que será aumentada em x%. O resultado desse aumento pode ser calculado por:

• Valor final = 𝐶 +

^𝑥

100

⋅ 𝐶 = 𝐶 (1 +

^𝑥

100

)

Agora imaginemos que C sofra uma redução de x%.

Assim, temos que:

• Valor final = 𝐶 −

^𝑥

100

⋅ 𝐶 = 𝐶 (1 −

^𝑥

100

)

Resumindo:

• Fator de aumento = 1 +

₁₀₀^𝑥

• Fator de desconto = 1 −

^𝑥

100

(2)

Juros

A palavra juros é bem familiar ao nosso cotidiano e está amplamente difundida nos mais variados segmentos.

Por exemplo, se uma pessoa pega empréstimo em um banco ou atrasa alguma conta, sabemos que correm juros em cima dessa aplicação. Normalmente, quando se realiza alguma dessas operações, fica estabelecida uma taxa de juros de x% por período, dia, mês ou ano.

Vejamos a seguir alguns termos muito usados em matemática financeira:

● U.M.: unidade monetária (Real, dólar, euro...).

● C: o capital inicial.

● t: tempo.

● i: a taxa de juros.

● M: montante, que corresponde ao capital acrescido dos juros.

● J: juros, que correspondem ao valor obtido quando aplicamos uma taxa de juros sobre o capital.

É sempre verdade que 𝑀 = 𝐶 + 𝐽.

Juros simples

É a modalidade de juros cuja taxa é aplicada sempre sobre o capital inicial. Sendo a taxa constante e o capital inicial também constante, os juros de cada período também serão constantes.

Para calcularmos os juros, temos:

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑡)ou 𝐽 = 𝐶. 𝑖. 𝑡

• O tempo e a taxa devem estar na mesma unidade de tempo para se calcular os juros. E ainda, a taxa não deve ficar em porcentagem, e sim em decimal.

• As parcelas de um pagamento parcelado a juros simples estão em uma progressão aritmética! Cada parcela é sempre acrescida de um valor fixo que, aqui, chamamos de juros.

Juros compostos

É a modalidade de juros em que a taxa é aplicada sobre o montante do período anterior. Diferente do regime de juros simples, onde se calcula primeiro os juros e posteriormente o montante, nos juros compostos calcula- se diretamente o montante, aplicando ao capital inicial o fator multiplicativo elevado ao número de períodos decorridos:

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)(1 + 𝑖)(1 + 𝑖). . . (1 + 𝑖) por t vezes.

Assim, temos:

𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)

^𝑡

• As parcelas pagas no regime de juros compostos estão em progressão geométrica!

(3)

Exercícios de Fixação

1. Em um grupo, 42% das pessoas são adultas e as demais são crianças. Sabe-se que 30% das crianças não gostam de chocolate, o que corresponde a 126 crianças. Determine quantas pessoas há nesse grupo.

2. Em uma aula na plataforma Descomplica, havia 500 alunos assistindo ao vivo nos seus primeiros minutos. No fim da aula, a audiência subiu para 1200 pessoas. Qual foi o percentual de aumento de espectadores nesse contexto?

3. Um produto, por conta da inflação, passou por um aumento de 12% de seu valor no primeiro semestre do ano. Em seguida, seu valor ainda cresceu em 50% no segundo semestre. Determine:

a) O aumento percentual que o produto teve ao longo de todo o ano.

b) Se ao final do ano o produto custava 𝑅$8,40, qual era seu preço no início do ano?

4. Joana parcelou uma conta de modo que ela paga doze parcelas de 𝑅$605,00 mensais com uma taxa de juros embutida de 10%. Porém, o banco informou que, caso ela queira, ela pode antecipar uma parcela qualquer, reajustando a taxa de juros correspondente. Por exemplo, caso ela queria pagar a quinta parcela junto com a terceira, o valor da quinta parcela será reajustado o equivalente a dois meses da taxa de juros. Joana, ao pagar a décima parcela, deseja pagar também a décima primeira e décima segunda, antecipando-as. Qual o valor total que Joana irá pagar nesse décimo mês?

a) R$1815,00 b) R$1705,00 c) R$1655,00 d) R$1605,00 e) R$1500,00

5. Um capital de 𝐶 reais é aplicado em um fundo que rende 0,9% ao mês. Determine o tempo mínimo, em

meses, necessário para que o montante seja o triplo do capital inicial. Considere 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 1009 = 3,01

e 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 3 = 0,48.

(4)

Exercícios de vestibulares

1. (Enem 2019) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o rendimento médio mensal dos trabalhadores brasileiros, no ano 2000, era de 𝑅$ 1.250,00. Já o Censo 2010 mostrou que, em 2010, esse valor teve um aumento de 7,2% em relação a 2000. Esse mesmo instituto projeta que, em 2020, o rendimento médio mensal dos trabalhadores brasileiros poderá ser 10% maior do que foi em 2010.

IBGE. Censo 2010. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).

Supondo que as projeções do IBGE se realizem, o rendimento médio mensal dos brasileiros em 2020 será de

a) R$ 1.340,00.

b) R$ 1.349,00.

c) R$ 1.375,00.

d) R$ 1.465,00.

e) R$ 1.474,00.

2. (Enem 2014) Os vidros para veículos produzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros desse fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem 𝑃 da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e a película.

De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de 𝑃 é

a) [35; 63].

b) [40; 63].

c) [50; 70].

d) [50; 90].

e) [70; 90].

3. (Enem 2014) Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas.

Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses.

Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser

a) 72%

b) 68%

c) 64%

d) 54%

e) 18%

(5)

4. (Enem, 2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.

Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja.

Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de

a) 15,00.

b) 14,00.

c) 10,00.

d) 5,00.

e) 4,00.

5. (Enem, 2000) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os pontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse valor não será reajustado nos próximos meses.

Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, João deverá esperar:

a) dois meses, e terá a quantia exata.

b) três meses, e terá a quantia exata.

c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$225,00.

d) quatro meses, e terá a quantia exata.

e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$430,00.

6. (Enem PPL 2020) Um imposto é dito cumulativo se incide em duas ou mais etapas da circulação de mercadorias, sem que na etapa posterior possa ser abatido o montante pago na etapa anterior. PIS e Cofins são exemplos de impostos cumulativos e correspondem a um percentual total de 3,65%, que incide em cada etapa da comercialização de um produto.

Considere um produto com preço inicial C. Suponha que ele é revendido para uma loja pelo preço inicial acrescido dos impostos descritos. Em seguida, o produto é revendido por essa loja ao consumidor pelo valor pago acrescido novamente dos mesmos impostos.

Disponível em: www.centraltributaria.com.br. Acesso em: 15 jul. 2015 (adaptado).

Qual a expressão algébrica que corresponde ao valor pago em impostos pelo consumidor?

a) 𝐶 × 0,0365 b) 2𝐶 × 0,0365 c) 𝐶 × 1,0365

²

d) 𝐶 × (1 + 2 × 0,0365)

e) 2𝐶 × 0,0365 + 𝐶 × 0,0365

²

(6)

7. (Enem 2020) O quadro representa os gastos mensais, em real, de uma família com internet, mensalidade escolar e mesada do filho.

Internet Mensalidade

escolar Mesada do filho

120 700 400

No início do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de 20% e 10%. Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família reduzirá a mesada do filho.

Qual será a porcentagem da redução da mesada?

a) 15,0 b) 23,5 c) 30,0 d) 70,0 e) 76,5

8. (Enem 2019) Para construir uma piscina, cuja área total da superfície interna é igual a 40 𝑚

²

, uma construtora apresentou o seguinte orçamento:

1. 𝑅$ 10.000,00 pela elaboração do projeto;

2. 𝑅$ 40.000,00 pelos custos fixos;

3. 𝑅$ 2.500,00 por metro quadrado para construção da área interna da piscina.

Após a apresentação do orçamento, essa empresa decidiu reduzir o valor de elaboração do projeto em 50%, mas recalculou o valor do metro quadrado para a construção da área interna da piscina, concluindo haver a necessidade de aumentá-lo em 25%. Além disso, a construtora pretende dar um desconto nos custos fixos, de maneira que o novo valor do orçamento seja reduzido em 10% em relação ao total inicial.

O percentual de desconto que a construtora deverá conceder nos custos fixos é de a) 23,3%

b) 25,0%

c) 50,0%

d) 87,5%

e) 100,0%

(7)

9. (Enem 2017) Um empréstimo foi feito a taxa mensal de 𝑖%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a 𝑃.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é a) 𝑃 [1 +

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )

+

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )²

] b) 𝑃 [1 +

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )

+

¹

(1+₁₀₀^2𝑖)

] c) 𝑃 [1 +

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )²

+

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )²

]

d) 𝑃 [1 +

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )

+

¹

(1+₁₀₀^2𝑖)

+

¹

(1+₁₀₀^3𝑖)

] e) 𝑃 [1 +

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )

+

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )²

+

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )³

]

10. (Enem 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente 𝑃 submetido a juros compostos com taxa 𝑖, por um período de tempo 𝑛, produz um valor futuro 𝑉 determinado pela fórmula

𝑉 = 𝑃 ⋅ (1 + 𝑖)

^𝑛

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de 𝑅$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para ℓ𝑛 (

⁴₃

) e 0,0131 como aproximação para ℓ𝑛 (1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a a) 56ª

b) 55ª c) 52ª d) 51ª e) 45ª

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(8)

Gabaritos

Exercícios de fixação 1. 1000 pessoas

Seja 𝑥 o total de pessoas no grupo. Logo, 𝑥 ⋅ 0,42 ⋅ 0,3 = 126 ⇒ 𝑥 =

_{0,42 ⋅ 0,3}¹²⁶

= 1.000 pessoas.

2. Aumento de 140%

Sendo 500 referência de 100%, temos que

⁵⁰⁰₁₀₀

=

¹²⁰⁰

𝑥

⇒ 𝑥 = 240.

Isso significa que, passado de 100% para 240%, houve um aumento de 140%.

3. a) Seja o preço inicial do produto 𝑥 reais. Como aumentar 12% corresponde a multiplicar o número por 1 + 0,12 = 1,12 e aumantar 50% a multiplicar por 1 + 0,5 = 1,5. Logo, 𝑥 ⋅ 1,12 ⋅ 1,5 = 1,68𝑥, o que equivale a um aumento de 68%.

b) Fazendo que 1,68𝑥 = 8,40, temos que 𝑥 =

_1,68^8,4

= 5. Ou seja, 𝑅$5,00.

4. C

Se a taxa de juros é de 10%, o fator de aumento é igual a 1 + 0,1 = 1,1. Assim, temos:

Décima parcela: 605

Décima primeira parcela antecipada um mês:

⁶⁰⁵_1,1

= 550 Décima segunda parcela antecipada dois meses:

⁶⁰⁵_1,1₂

= 500 Total pago no décimo mês: 605 + 550 + 500 = 1655 5. 48 meses

Como render 0,9% siginifica multiplicar o capital total mensalmente por 1 + 0,9% = 1 + 0,009 = 1,009, temos que:

𝑀 = 𝐶 ⋅ 1,009

^𝑡

⇒ 3𝐶 = 𝐶 ⋅ 1,009

^𝑡

⇒ 3 = 1,009

^𝑡

⇒𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 3 =𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 1,009

^𝑡

⇒ 0,48 = 𝑡 ⋅𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 (

¹⁰⁰⁹

1000

) 0,48 = 𝑡 ⋅ (𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 1009 −𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 1000 ) ⇒ 0,48 = 𝑡 ⋅ (3,01 − 3) ⇒ 𝑡 =

^0,48

0,01

= 48 meses Exercícios de vestibulares

1. E

A resposta é dada por

1,072 ⋅ 1,1 ⋅ 1250 =

R$

1.474,00.

2. A

Tem-se que 0,5 ⋅ 70% = 35% e 0,7 ⋅ 90% = 63%. Por conseguinte, concluímos que 𝑃 ∈ [35, 63].

3. B

Seja 𝑉 o volume de esgoto gerado, em bilhões de litros. Como 100% − 36% = 64% de 𝑉 são lançados todos os dias nas águas, sem tratamento, temos 0,64 ⋅ 𝑉 = 8 ⇔ 𝑉 = 12,5.

Portanto, a taxa percentual pedida é dada por

^12,5−4

12,5

⋅ 100% = 68%.

4. E

Como o cliente não possui o cartão fidelidade, o valor pago é igual a 0,8 ⋅ 50 = 𝑅$ 40,00. Por outro lado,

se o cliente possuísse o cartão fidelidade, a economia adicional seria de 0,1 ⋅ 40 = 𝑅$ 4,00.

(9)

5. C

20.000 ⋅ 1,02 ≈ 20.400 (primeiro mês) 20.400 ⋅ 1,02 ≈ 20.808 (segundo mês) 20.808 ⋅ 1,02 ≈ 21.224 (terceiro mês)

Portanto, no terceiro mês ele comprará o carro e ainda lhe sobrará aproximadamente 225 reais.

6. E

O produto é revendido para a loja por 1,0365 ⋅ 𝐶 reais. A seguir, o produto é revendido ao consumidor por 1,0365 ⋅ 1,0365 ⋅ 𝐶 = 1,0365

²

⋅ 𝐶 reais.

Portanto, temos

2 2

2

(1 0,0365) C (1 2 0,0365 0,0365 ) C C 2C 0,0365 0,0365 C,

+  = +  + 

= +  + 

ou seja, a expressão algébrica que corresponde ao valor pago em impostos pelo consumidor é 0,0365 ⋅ 2𝐶 + 0,0365

²

⋅ 𝐶.

7. B

Os reajustes com a internet e a mensalidade escolar totalizam 0,2 ⋅ 120 + 0,1 ⋅ 700 =

R$

94,00.

Portanto, o percentual de redução da mesada deve ser de

94

400

⋅ 100% = 23,5%.

8. D

O orçamento inicial totalizou 10000 + 40000 + 40 ⋅ 2500 =

R$

150.000,00. Seja 𝑝 o percentual pedido.

Desse modo, vem

0,5 ⋅ 10000 + 1,25 ⋅ 100000 + (1 − 𝑝) ⋅ 40000 = 0,9 ⋅ 150000 ⇔ 5 + 125 + 40 − 40𝑝 = 135 ⇔

𝑝 = 0,875.

A resposta é 87,5%.

9. A

Calculando:

𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 = 𝑃

No ato da 6ª parcela:

𝑃 +

^𝑃

(1+₁₀₀^𝑖 )

+

^𝑃

(1+₁₀₀^𝑖 )²

= 𝑃 ⋅ [1 +

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )

+

¹

(1+₁₀₀^𝑖 )²