UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
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ResumoResumo Aula Aula - - MMT5207 MMT5207 - - Cálculo Cálculo para para Engenharia Engenharia de de Materiais Materiais 3 3 – – 03233 03233 2014-12014-1
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SEQÜÊNCIAS SEQÜÊNCIAS
Informalmente, uma “seqüência” significa uma sucessão de coisas em uma determinada Informalmente, uma “seqüência” significa uma sucessão de coisas em uma determinada ordem – cronologicamente, de tamanho, ou lógica por exemplo. Na matemática o termo ordem – cronologicamente, de tamanho, ou lógica por exemplo. Na matemática o termo “seqüência” é utilizado para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada “seqüência” é utilizado para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função.
por uma lei ou função.
Seqüências Numérica
Seqüências Numérica: Uma seqüência numérica ( ou progressão ) é uma sucessão de: Uma seqüência numérica ( ou progressão ) é uma sucessão de números, chamados termos ou elementos. Colocados numa ordem com primeiro termo, números, chamados termos ou elementos. Colocados numa ordem com primeiro termo, segundo termo, terceiro termo, e assim por diante.
segundo termo, terceiro termo, e assim por diante. Se chamarmos cada termo de
Se chamarmos cada termo de aaii ( onde i representa a posição do termo na seqüência) ( onde i representa a posição do termo na seqüência) podemos representar uma seqüência por:
podemos representar uma seqüência por: aa11,,aa22,,aa33,,aa44,,LL
Exemplos: Exemplos: (1)(1) 11,,22,,33,,LL (2)(2) 11,,22,,33,,44,,66,,1212 (3)(3) LL 55 11 ,, 44 11 ,, 33 11 ,, 22 11 ,, 11 (4) (4) 22,,44,,66,,88LL (5)(5) 11,,−−11,,11,,−−11LL (6)(6) 44 11 ,, 11 ,, 33 11 ,, 11 ,, 22 11 ,, 11 Seqüência Finita
Seqüência Finita: Uma seqüência é dita finita quando “pára” em um determinado termo,: Uma seqüência é dita finita quando “pára” em um determinado termo, ou seja, tem um último elemento.
ou seja, tem um último elemento.
Exemplos:
Exemplos: As seqüências (2) e (6) do exemplo anterior. As seqüências (2) e (6) do exemplo anterior.
Seqüência Infinita
Seqüência Infinita: Uma seqüência é dita infinita quando continua indefinidamente (ou: Uma seqüência é dita infinita quando continua indefinidamente (ou não tem um último termo). Nesse caso são usadas reticências (...) para indicar que o padrão não tem um último termo). Nesse caso são usadas reticências (...) para indicar que o padrão continua.
continua.
Exemplos:
Exemplos: As seqüências (1), (3), (4) e (5) do exemplo anterior. As cheias do Nilo. As seqüências (1), (3), (4) e (5) do exemplo anterior. As cheias do Nilo.
Termo geral:
Termo geral: É uma regra ou um fórmula a partir da qual é possível gerar os elementosÉ uma regra ou um fórmula a partir da qual é possível gerar os elementos dessa sequencia.
dessa sequencia.
No exemplo acima, cada uma das seqüência tem um padrão definido, e seguindo–o No exemplo acima, cada uma das seqüência tem um padrão definido, e seguindo–o torna-se fácil gerar termos adicionais. Mas, um padrão pode ser ilusório, dessa forma é torna-se fácil gerar termos adicionais. Mas, um padrão pode ser ilusório, dessa forma é importan
importante ter te ter oo termo geral.termo geral. Para isso, o objetivo é procurar uma função que relacionePara isso, o objetivo é procurar uma função que relacione cada termo da seqüência a sua posição.
cada termo da seqüência a sua posição.
Exemplos:
Exemplos: (1) Na seqüências (4) cada termo é o dobro do número da sua posição: isto é, o (1) Na seqüências (4) cada termo é o dobro do número da sua posição: isto é, o
n-ésimo
n-ésimo.termo da seqüência é dado pela fórmula.termo da seqüência é dado pela fórmula 2n2n.. (2) Determine o termo geral da seqüência:
(2) Determine o termo geral da seqüência:
− − − − ,...,... 3125 3125 77 ,, 625 625 66 ,, 125 125 55 ,, 25 25 44 ,, 55 33 Exercícios Exercícios
1. Em cada uma das seqüências a seguir, determine o termo geral: 1. Em cada uma das seqüências a seguir, determine o termo geral: (a) (a) LL 55 44 ,, 44 33 ,, 33 22 ,, 22 11 (b)(b) LL 16 16 11 ,, 88 11 ,, 44 11 ,, 22 11 (c) (c) LL 55 44 ,, 44 33 ,, 33 22 ,, 22 11 −− −− (d)(d) { { 11,,33,,55,,77LL}}
2. Considere a seqüência cujo termo geral é
2. Considere a seqüência cujo termo geral é aann== ((33 55 66 ))
33 11 22 33 nn nn nn++ −− − − . Calcule os três. Calcule os três
primeiros termos e faça uma conjectura sobre o quarto termo. Verifique se a sua conjectura primeiros termos e faça uma conjectura sobre o quarto termo. Verifique se a sua conjectura foi correta.
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ResumoResumo Aula Aula - - MMT5207 MMT5207 - - Cálculo Cálculo para para Engenharia Engenharia de de Materiais Materiais 3 3 – – 03233 03233 2014-12014-1
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Seqüências e Funções Seqüências e Funções
Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros
Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros {{11,,22,,33,,44LL,,nn,,LL}}. Os. Os números na imagem de uma seqüência são chamados elementos da seqüência. Se o
números na imagem de uma seqüência são chamados elementos da seqüência. Se o n-ésimon-ésimo
termo for denotado por
termo for denotado por f(n), f(n), então a seqüência será o conjunto de pares ordenados da forma então a seqüência será o conjunto de pares ordenados da forma
(n, f(n));
(n, f(n)); onde ondenn é um inteiro positivo. é um inteiro positivo.
DEFINIÇÃO 01
DEFINIÇÃO 01: Uma sequência de números reais é uma função: Uma sequência de números reais é uma função f:IN f:IN →→ IR, IR,que associa aque associa a
cada número
cada número naturalnatural n n um número um número realreal f(n f(n).).
Notação
Notação: Como o domínio de toda seqüência é o mesmo, a notação: Como o domínio de toda seqüência é o mesmo, a notação {{ f f ((nn)})}pode ser usadapode ser usada para denotar uma seqüência. Outra notação encontrada é a notação de subíndice
para denotar uma seqüência. Outra notação encontrada é a notação de subíndice {{aann}}, ou, ou seja seja f f ((nn)) ==aann.. Exemplos Exemplos: 1) Se: 1) Se )) 11 22 (( )) (( + + = = nn nn nn f
f , determine os 5 primeiros termos., determine os 5 primeiros termos.
2) Dadas as seqüências, identifique o termo geral e escreva os três primeiros termos: 2) Dadas as seqüências, identifique o termo geral e escreva os três primeiros termos:
a) a) ∞ ∞ = = + +11 11 nn nn nn b) b)
{
{
nn −−33}}
∞∞nn==33 c)c) ∞ ∞ = = 00 66 cos cos nn nnπ π d) d) ∞ ∞ = = −− ++ 11 33 )) 11 (( )) 11 (( nn nn nn nn Gráfico de SeqüênciasGráfico de Seqüências: como uma seqüência é uma função, podemos esboçar o gráfico: como uma seqüência é uma função, podemos esboçar o gráfico com seus pontos.
com seus pontos.
Exemplo
Exemplo: 1) Se: 1) Se (( )) == 11 ,,nn==11,,22,,33,,LL
nn nn f
f , esboce o gráfico com os 5 primeiros termos., esboce o gráfico com os 5 primeiros termos.
Exercícios Exercícios
1.
1. Esboce o gráfico da seqüênciaEsboce o gráfico da seqüência ,, 11,,22,,33,,LL
)) 11 22 (( )) (( == + + = = nn nn nn nn f f 2.
2. Esboce a seqüência definida porEsboce a seqüência definida por 11,,22,,33,,LL
22 22 11 )) (( == + + = = nn par par for for nn se se nn ímpar ímpar for for nn se se nn f f Igualdade
Igualdade: Dizemos que a seqüênc: Dizemos que a seqüênciaia aa11,,aa22,,aa33,,aa44,,LL é igual à seqüência é igual à seqüência bb11,,bb22,,bb33,,bb44,,LL
se e somente se
se e somente se aaii ==bbii, para todo, para todo ii inteiro positivo. inteiro positivo.
OBS
OBS: Uma seqüência consiste em uma ordenação de elementos. Dessa forma, é possível: Uma seqüência consiste em uma ordenação de elementos. Dessa forma, é possível que duas seqüências tenham os mesmos elementos e não serem iguais.
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Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233 2014-1
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DEFINIÇÃO 02: A sequência {an } tem limite L se para qualquer ε>0 existir um número N>0, se n for inteiro positivo e se n>N, então para todo |an-L|<ε e escrevemos
DEFINIÇÃO 03: Se a sequência {an } tiver um limite L, dizemos que ela é convergente , e {an } converge para o limite L. Se não existir o limite a sequência é dita divergente.
