Capítulo Formalização do conceito de limite

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Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜

ao do conceito de limite

2.3.1 - Limite de uma fun¸cão de uma variável 2.3.3 - Limite de uma fun¸cão de n variáveis 2.3.2 - Limite de uma fun¸cão de duas variáveis

Este cap´ıtulo é dedicado à formaliza¸cão do conceito de limite, tanto daquele visto para fun¸cões de uma variável real quanto para fun¸cões de duas ou mais variáveis reais. É um cap´ıtulo de aprofundamento, com conceitos um pouco mais complexos do que normalmente é ensinado em alguns cursos de Cálculo.

2.3.1 - Limite de uma fun¸c˜

ao de uma vari´

avel

Para definir de forma mais rigorosa o que é um limite de fun¸cões de duas ou mais variáveis é necessário aprofundar o conceito de limite visto até então. Antes de mostrar a defini¸cão formal do limite de uma fun¸cão f = f (x) quando x → x0, é bom lembrar que, embora o Cálculo Diferencial e Integral tenha surgido com Isaac

Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717) no século XVII, foi somente no século XIX que essa defini¸cão foi formalizada pelo francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e pelo alemão Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897).

Dado um limite lim

x→x0

f (x) = L, a defini¸c˜ao formal baseia-se em construir dois intervalos abertos: um em torno do limite L e outro em torno do ponto x0, como mostra a primeira figura a seguir. O intervalo em torno

de x0 tem que ser pequeno o suficiente para que a sua imagem esteja contida no intervalo em torno do limite

L (segunda figura a seguir).

x y x0 L b c b c b c bc x y x0 L b c b c b c bc

Prova-se que o limite é verdadeiro se, para qualquer intervalo em torno de L, não importa o quão pequeno ele seja, for sempre poss´ıvel encontrar um intervalo em torno de x0 de modo que a imagem desse intervalo esteja

contida no intervalo em torno de L. A figura a seguir mostra um caso em que isto não é poss´ıvel, mostrando que o limite é falso.

x g(x) 0 x0 L b bc b c b c b c bc x g(x) 0 x0 L b bc b c b c b c bc

Determinando que o intervalo em torno de L ´e dado por (L − ǫ, L + ǫ) e o intervalo em torno de x0´e dado

(2)

correto se, para y ∈ (L − ǫ, L + ǫ), existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0− δ, x0+ δ). Isto tem que ser verdade

para qualquer valor de ǫ que escolhermos. Um exemplo mais espec´ıfico ´e dado a seguir.

Isaac Newton (1642-1727): Newton foi um dos maiores gênios da humanidade. Nasceu na pequena cidade de Woolsthorpe, na Inglaterra, e estudou na Universidade de Cambridge, tornando-se depois professor nessa mesma universidade. Ele era f´ısico, matemático, astrônomo e alquimista, tendo contribu´ıdo significativamente para todos esses campos. Ele foi o criador da mecânica racional e da lei da gravita¸cão universal. Foi um dos criadores do Cálculo Diferencial e Integral, juntamente com Leibniz. Desenvolveu vários trabalhos em óptica, tendo revolucionado essa área da F´ısica. Também foi dele a inven¸cão do telescópio refletor, que é usado em observatórios do mundo inteiro e no espa¸co. Newton também exerceu importantes cargos públicos e foi sagrado sir (cavalheiro) pela rainha da Inglaterra na época. Morreu como uma celebridade em seu pa´ıs, embora já mostrasse vários sinais de demência senil.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717): matemático, filósofo, f´ısico e estudioso das leis alemão. Nasceu em Leipzig e estudou na prestigiosa universidade de mesmo nome. Junto com Newton, foi o criador do Cálculo Diferencial e Integral. Também foi responsável por boa parte da nota¸cão matemática usada até hoje. Além disso, foi um grande filósofo, tendo tecido uma visão de um universo baseado em princ´ıpios fundamentais e racionais, sem rejeitar as concep¸cões cristãs. Sua conviçcão de que tudo podia ser demonstrado racionalmente quando utilizada uma nota¸cão coveniente levou-o a organizar várias expressões matemáticas em termos de s´ımbolos. Leibniz sofreu revezes com a rivalidade entre ele e Newton devida à controvérsia sobre quem teria sido o criador do Cálculo Diferencial e Integral.

Exemplo 1: tentaremos mostrar que lim x → 1x2_{= 1 usando o novo crit´erio que acaba de ser descrito. Tomando}

um

intervalo que inclui todos os números que estão a distâncias menores que ǫ = 1 do ponto y = 1, temos que esse intervalo vai de y = 0 até y = 2. Este intervalo tem comprimento 2ǫ = 2 e pode ser escrito como (0, 2). Se considerarmos agora um intervalo centrado em x = 1 de comprimento 2δ = 0, 4, isto é, o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2), este produzirá a seguinte imagem em y: para x = 0, 8 temos f (0, 8) = 0, 64; para x = 1, 2, f (1, 4) = 1, 44. Portanto, a imagem produzida pelo intervalo em x centrado em x = 1 e de comprimento 2δ = 0, 4 produz uma imagem em y dada pelo intervalo (0, 64 , 1, 44), que está contido no intervalo (0, 2).

x y −2 −1 0 1 2 1 2 3 4 b c b c 2ǫ = 2 x y −2 −1 0 1 2 1 2 3 4 b c b c b c bc 2ǫ = 2 2δ = 0, 4

Do mesmo modo como escolhemos 2δ = 0, 4 ⇒ δ = 0, 2, poder´ıamos ter escolhido δ = 0, 1 ou δ = 0, 4, que a imagem produzida pelo intervalo (1 − δ, 1 + δ) ainda estaria contida no intervalo (0, 2). Na verdade, contanto que δ seja menor ou igual a√2 − 1 ≈ 0, 414, o intervalo produzido em x leva a uma imagem que está contida em (0, 2). Vamos mostar que também para valores menores de ǫ conseguimos encontrar valores de δ satisfazendo essas condi¸cões. Escolhendo ǫ = 0, 5, temos o intervalo (1 − 0, 5 , 1 + 0, 5) = (0, 5 , 1, 5) em y. O que temos que fazer agora é encontrar um valor de δ para o qual o intervalo (1 − δ, 1 + δ) em x produza uma imagem que esteja contida no intervalo em y. Tomando δ = 0, 2, teremos o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2) em x que, como já vimos, produz a imagem (0, 64 , 1, 44), que está contida no intervalo (0, 5 , 1, 5).

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x y −2 −1 0 1 2 1 2 3 4 b c b c 2ǫ = 1 x y −2 −1 0 1 2 1 2 3 4 b c b c b c bc 2ǫ = 1 2δ = 0, 4

Tomemos agora um valor ainda menor para ǫ: 0,25. Para este valor, temos o intervalo (1 − 0, 25 , 1 + 0, 25) = = (0, 75 , 1, 25) em y. Escolhendo δ = 0, 1, temos o intervalo (1 − 0, 1 , 1 + 0, 1) = (0, 9 , 1, 1) em x, que tem como imagem o intervalo (0, 81 , 1, 21), que est´a contido no intervalo (0, 75 , 1, 25).

x y −2 −1 0 1 2 1 2 3 4 b c b c 2ǫ = 0, 5 x y −2 −1 0 1 2 1 2 3 4 b c b c b c bc 2ǫ = 0, 5 2δ = 0, 2

Assim, podemos intuir que, para qualquer valor de ǫ que escolhermos, será sempre poss´ıvel escolher um valor de δ tal que o intervalo (1 − δ, 1 + δ) em x produzirá uma imagem em y que estará contida no intervalo (1 − ǫ, 1 + ǫ). Diremos que o limite existe e está correto quando isto puder ser provado.

Voltemos, agora, à defini¸cão formal de um limite. Podemos dizer que o limite de uma fun¸cão f (x) quando x tende a x0 é L, lim

x→x0f (x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0− δ, x0+ δ) ⇒ ⇒ f(x) ∈ (L − ǫ, L + ǫ).

Agora, podemos escrever |x − x0| < δ no lugar de x ∈ (x0− δ, x0+ δ). Isto porque

|x − x0| < δ ⇔ −δ < x − x0 < δ ⇔ x0− δ < x < x0+ δ .

De modo semelhante, podemos escrever |f(x) − L| < ǫ no lugar de f(x) ∈ (L − ǫ, L + ǫ). Isto porque |f(x) − L| < ǫ ⇔ −ǫ < f(x) − L < ǫ ⇔ L − ǫ < f(x) < L + ǫ .

Portanto, a defini¸c˜ao de limite fica dada a seguir. lim

x→x0

f (x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.

Defini¸c˜ao 1 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto x}0 de I, dizemos que

o limite de f (x) quando x tende a x0 existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim x→x0

f (x) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.

(4)

Observa¸cão: uma defini¸cão mais formal de limite é feita na Leitura Complementar 2.3.3 e necessita do conceito de ponto de acumula¸cão, que é visto na Leitura Complementar 2.3.2.

A defini¸c˜ao 2 ´e usada a seguir para provar dois limites. Exemplo 2: mostre que lim

x→3(x + 2) = 5.

Solu¸c˜ao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 3, f (x) = x + 2 e L = 5, de modo que a express˜ao fica

|x − 3| < δ ⇒ |x + 2 − 5| < ǫ ⇔ |x − 3| < δ ⇒ |x − 3| < ǫ ⇔ .

Podemos ver da expressão acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ, essa rela¸cão será válida, pois se |x − 3| < δ e δ ≤ ǫ, então |x − 3| < ǫ. Portanto, o limite está provado.

Exemplo 3: mostre que lim

x→1(2x − 1) = 1.

Solu¸c˜ao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 1, f (x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a express˜ao fica

|x−1| < δ ⇒ |2x−1−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |2x−2| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ 2|x−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |x−1| < ǫ 2 . Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ

2, essa rela¸cão será válida, pois se |x − 1| < δ e

δ ≤ ǫ

2, ent˜ao |x − 1| < ǫ. Portanto, o limite est´a provado.

A defini¸cão de limites que acabamos de desenvolver não é válida para limites infinitos ou limites envolvendo o infinito. Para esses limites e outros são necessárias novas defini¸cões. Na verdade, são necessárias nove delas (isto é feito na Leitura Complementar 2.3.3).

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matemático francês responsável pela formula¸cão mais precisa do conceito de limites e por várias contribui¸cões de fundamental importância na teoria de fun¸cões de variáveis complexas e em equa¸cões diferenciais. Cauchy teve uma infância atribulada, tendo vivido na época da Revolu¸cão Francesa. Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napoleão e teve várias tentativas de obter posi¸cões em universidades recusadas, muitas vezes por motivos pol´ıticos. Católico devoto, teve atritos com seus colegas partidários do ate´ısmo. Quando o rei da Fran¸ca voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seu trabalho após o rei ter sido novamente deposto.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1789-1857): matemático nascido na Prússia (atual Alemanha). Embora fosse apaixonado pela matemática, estudou finan¸cas por desejo de seu pai. Desinteressado do assunto, levou uma vida despreocupada de estudante até que resolveu, contrariando seu pai, estudar matemática. Tendo abandonado a universidde, formou-se professor do segundo grau. Exerceu essa profissão até publicar um artigo sobre inversão de fun¸cões hiperel´ıpticas, o que lhe valeu uma posi¸cão na universidade. É considerado o pai da análise matemática por ter introduzido o rigor atual no Cálculo e na teoria de fun¸cões de variáveis complexas. Fez muitas contribui¸cões à matemática, sobretudo nesses dois últimos campos. Suas aulas eram muito apreciadas e ele tinha estudantes vindos de várias partes do mundo.

2.3.2 - Limite de uma fun¸c˜

ao de duas vari´

aveis

Podemos, agora, expandir o conceito de limite para o caso de uma fun¸cão de duas variáveis reais. Relem-brando, uma fun¸cão f = f (x, y) leva elementos de R2 _{a elementos de R (primeira figura a seguir).}

(5)

b x y x0 y0 z f (x0, y0) f R2 R

Para definirmos um limite lim

(x0,y0)

f (x, y) = L, precisamo primeiro determinar uma regi˜ao em torno do ponto (x0, y0) e um outro intervalo aberto em torno do limite L. Podemos, por exemplo, desenhar um quadrado

ou uma circunferˆencia em torno de (x0, y0) (duas figuras a seguir) e dizer que (x, y) tem que estar dentro do

subconjunto de R2 _{constitu´ıdo pela regi˜}_{ao interna a esse quadrado ou a essa circunferˆencia, excluindo as suas}

bordas (isto ´e representado pelas linhas pontilhadas nas figuras a seguir).

b x y x0 y0 z L f b c b c b x y x0 y0 z L f b c b c

Como é mais fácil determinar a equa¸cão da região circular em torno do ponto (x0, y0), escolheremos esse

tipo de região, que chamaremos de bola aberta em torno do ponto, pois ela não inclui a superf´ıcie do c´ırculo. Podemos, então, dizer que a região limitada pela bola aberta é dada pelo c´ırculo

(x − x0)2+ (y − y0)2 < δ2 =p(x − x0)2+ (y − y0)2 < δ ,

onde δ ´e o raio da bola aberta.

Lembrando agora que _{p(x − x}0)2+ (y − y0)2 = ||(x − x0, y − y0)||, podemos dizer que a bola aberta ´e

definida por ||(x − x0, y − y0)|| < δ. Podemos, ent˜ao, utilizar a seguinte defini¸c˜ao de limite.

Defini¸c˜ao 2 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x, y) definida em um intervalo I ⊂ R}2 e um ponto (x0, y0) ∈ I,

dizemos que o limite de f (x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e ´e igual a L, o que pode ser

escrito como lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.

Vamos usar esta defini¸c˜ao para provar um limite bem simples, a seguir. Exemplo 1: prove que lim

(x,y)→(x0,y0)

x = x0.

Solu¸c˜ao: temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que

||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ ⇔p(x − x0)2+ (y − y0)2< δ ⇒ |x − x0| < ǫ .

Sabemos quep(x − x0)2≤p(x − x0)2+ (y − y0)2⇔ |x−x0| ≤p(x − x0)2+ (y − y0)2. Portanto, escolhendo

qualquer δ ≤ ǫ, temos quep(x − x0)2+ (y − y0)2< δ ⇒ |x − x0| < ǫ, o que prova o limite.

Em geral, é muito dif´ıcil provar limites envolvendo fun¸cões de duas variáveis. Podemos, no entanto, calcular alguns limites utilizando nossos conhecimentos de limites de fun¸cões de uma variável, como mostra o exemplo a seguir.

(6)

Exemplo 2: calcule lim

(x,y)→(0,0)

sen (x2+ y2) x2_{+ y}2 .

Solu¸c˜ao: usando a simetria do problema, podemos fazer a mudan¸ca de vari´avel x2_+y2_{= r}2_{. Quando (x, y) → (0, 0),}

teremos r → 0, tamb´em, de modo que podemos escrever lim (x,y)→(0,0) sen (x2_{+ y}2₎ x2_{+ y}2 = lim_r_→0 sen r2 r2 .

Se aplicarmos r = 0, este limite fica da forma 0₀, de modo que podemos aplicar a ele a regra de L’Hˆopital: lim (x,y)→(0,0) sen (x2+ y2) x2_{+ y}2 = lim_r_→0 sen r2 r2 = lim_r_→0 2r cos r2 2r = limr→0cos r 2_{= cos 0 = 1 .}

Vamos, agora, provar que um limite n˜ao existe. Exemplo 3: calcule lim

(x,y)→(0,0)

x2_{− y}2

x2_{+ y}2.

Solu¸cão: o procedimento que adotaremos é fazer o limite de uma das variáveis e depois o limite da outra. Come¸cando pelo limite x → 0, temos

lim (x,y)→(0,0) x2− y2 x2_{+ y}2 = lim_y_→0 −y2 y2 = lim_y_→0(−1) = −1 .

Se fizermos primeiro o limite em y e depois o limite em x, obtemos lim (x,y)→(0,0) sen (x2_{+ y}2₎ x2_{+ y}2 = lim_x_→0 x2 x2 = lim_x_→01 = 1 .

Note que os dois limites não são iguais. Isto já basta para provar que não existe esse limite.

Na verdade, os exemplos 2 e 3 não estão formalizados da maneira correta. A Leitura Complementar 2.3.4 mostra como fazê-lo.

2.3.3 - Limite de uma fun¸c˜

ao de n vari´

aveis

Vamos, agora, definir limites para o caso de uma fun¸cão de três variáveis reais. A generaliza¸cão para fun¸cões de n variáveis reais poderá ser feita facilmente a partir da´ı. Uma fun¸cão f = f (x, y, z) leva elementos de R3 a elementos de R (figura a seguir). Podemos considerar uma bola aberta em trono de R3 dada por uma esfera de raio menor que δ levando a um interavalo |f(x, y, z) − L| < ǫ na imagem (segunda figura a seguir).

b x y z x0 _y 0 z0 w f (x0, y0, z0) f R3 R b x y z x0 _y 0 z0 w L f R3 R b c b c

Podemos escrever a regi˜ao dentro dessa bola aberta pela equa¸c˜ao _{p(x − x}0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 < δ,

que é a equa¸cão de uma esfera de raio δ com exce¸cão de sua superf´ıcie. Novamente, podemos trocar a raiz por uma norma: ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ. A defini¸cão de limite fica, então, como a dada a seguir.

(7)

Defini¸c˜ao 3 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R}3 e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I,

dizemos que o limite de f (x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe e ´e igual a L, o que pode

ser escrito como lim

(x,y,z)→(x0,y0,z0)

f (x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.

A generaliza¸cão para o limite de uma fun¸cão de n variáveis reais é direta.

Defini¸c˜ao 4 - Dada uma fun¸c˜ao f (x1, · · · , xn) definida em um intervalo I ⊂ Rn e um ponto

(x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende a (x01, · · · , x0n)

ex-iste e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim

(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

f (x1, · · · , xn) = L, quando, para

qual-quer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1−x10, · · · , xn−xn0)|| < δ ⇒ ⇒ |f(x1, · · · , xn)−L| < ǫ.

Resumo

• Limite de uma fun¸cão f : R → R. Dada uma fun¸cão f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto x0 de I, dizemos que o limite de f (x) quando x tende a x0 existe e é igual a L, o que

pode ser escrito como lim

x→x0

f (x) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.

• Limite de uma fun¸cão f : R2 → R. Dada uma fun¸cão f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e um ponto (x0, y0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e é igual

a L, o que pode ser escrito como lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.

• Limite de uma fun¸c˜ao f : R3_{→ R. Dada uma fun¸c˜ao f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R}3

e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe

e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim

(x,y,z)→(x0,y0,z0)

f (x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.

• Limite de uma fun¸c˜ao f : Rn → R. Dada uma fun¸c˜ao f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo

I ⊂ Rne um ponto (x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende

a (x01, · · · , x0n) existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim

(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

f (x1, · · · , xn) = L,

quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1 − x10, · · · , xn− xn0)|| < δ ⇒

(8)

Leitura Complementar 2.3.1 - Desigualdades

e m´

odulo

Os s´ımblos < (menor), > (maior), ≤ (menor ou igual) e ≥ (maior ou igual) estabelecem rela¸cões de ordem no conjunto dos números reais. Isto também vale para os subconjuntos N, Z e Q. Uma rela¸cão de ordem entre dois números reais também é chamada de desigualdade.

Exemplos: _{2 < 7 , −4 > −8 , 3, 4 ≤ 5 ,} 3₂ _≥√2 .

Existem certas regras quando se opera com desigualdades. Para quaisquer n´umeros reais a e b, valem as seguintes propriedades: P1) a < b ⇔ a + c < b + c , c ∈ R; P2) a < b e c < d ⇔ a + c < b + d , c ∈ R e d ∈ R; P3) a < b ⇔ ac < bc , c ∈ R e c > 0; P4) a < b ⇔ ac > bc , c ∈ R e c < 0; P5) a < b ⇔ 1a > 1b , a 6= 0 e b 6= 0.

Exemplos dessas regras s˜ao dados a seguir.

Exemplo 1: _{2 < 3 ⇔ 2 + 4 < 3 + 4 ⇔ 6 < 7 (por P1).}

Exemplo 2: _{1 < 4 ⇔ 1 + 3 < 4 + 6 ⇔ 4 < 10 (por P2).}

Exemplo 3: _{2 < 3 ⇔ 2 · 3 < 3 · 3 ⇔ 6 < 9 (por P3).}

Exemplo 4: _{2 < 3 ⇔ 2 · (−1) < 3 · (−1) ⇔ −2 > −3 (por P4).}

Exemplo 5: _{2 < 4 ⇔} 1₂ > 1₄ (por P5).

a) M´odulo de um n´umero real

O módulo ou valor absoluto de um n´_{umero real a, escrito |a|, é definido como} |a| = a se a ≥ 0 ; |a| = −a se a < 0 . Outra defini¸cão é dada em termos da raiz quadrada de um número ao quadrado:

|a| =√a2 _.

Exemplos: _{|2| = 2 , | − 4| = 4 , | − 3| =}p(−3)2₌√_{9 = 3 .}

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0 a |a|

b 0

|b|

Usamos esta interpreta¸cão para estabelecer algumas rela¸cões para um n´_{umero x ∈ R com rela¸cão a um} número a > 0. Primeiro,

|x| = a ⇔ x = ±a .

Exemplo 1: _{calcule x quando |x| = 2.}

Solu¸c˜ao: |x| = 2 ⇔ x = ±2, ou seja, x = 2 ou x = −2.

A segunda rela¸c˜ao ´e a seguinte:

|x| < a ⇔ −a < x < a .

Isto pode ser visto da figura abaixo. O módulo de x será menor que a quando x estiver dentro do intervalo aberto (−a, a) (outra nota¸cão usada para o intervalo aberto é ] − a, a[ ).

0 −a a b c bc x |x|

Exemplo 2: _{calcule x quando |x| < 4.}

Solu¸c˜ao: |x| < 2 ⇔ −2 < x < 2, ou seja, x ∈ (−2, 2).

A terceira rela¸c˜ao ´e:

|x| > a ⇔ x < −a ou x > a .

Isto pode ser visto da figura abaixo. O m´odulo de x ser´a maior que a quando x estiver dentro do intervalo aberto (−∞, a) ou no intervalo aberto (a, ∞).

0 −a a b c bc x |x| 0 −a a b c bc x |x|

Exemplo 3: _{calcule x quando |x| > 3.}

Solu¸c˜ao: |x| > 3 ⇔ x < −3 ou x > 3, ou seja, x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞).

De modo semelhante, podemos escrever

|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a , _{|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a .}

Exemplo 4: _{calcule x quando |x| ≤ 3.}

Solu¸c˜ao: |x| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3, ou seja, x ∈ [−3, 3].

O m´odulo de um n´umero real apresenta as seguintes propriedades: P1) |ab| = |a| · |b|; P2) a b = |a| |b|, b 6= 0;

(10)

Demonstra¸c˜ao:

P1) podemos escrever |ab| =p(ab)2₌√_a2_b2₌√_a2√_b2_{= |a| · |b|.}

P2) temos a_b = q a b 2 =qa2 b2 = √ a2 √ b2 = |a| |b|.

P3) dados dois n´umeros reais, sabemos que −|a| ≤ a ≤ |a| e −|b| ≤ b ≤ |b|. Portanto, temos −|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇔ − (|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇔ |a + b| < |a| + |b| .

Exemplo 5: _{|3 · (−2)| = | − 6| = 6 = |3| · |2|.} Exemplo 6: −1 2 = −1 2 = 1 2 = |−1| |2| . Exemplo 7: _{|3 + (−2)| = |3 − 2| = |1| = 1 e |3| + | − 2| = 3 + 2 = 5. Portanto, |3 + (−2)| ≤ |3| + | − 2|.}

(11)

Leitura Complementar 2.3.2 - Vizinhan¸ca e ponto

de acumula¸c˜

ao

Nesta se¸cão, veremos dois tópicos da topologia dos números reais: os conceitos de vizinhan¸ca e de ponto de acumula¸cão. Dado um n´_{umero real a qualquer pertencente a um subintervalo I ⊂ R, definimos uma vizinhan¸ca} desse ponto como sendo um conjunto de pontos pertencentes a I que estejam a uma distância menor que um número ǫ > 0 de a, isto é, uma vizinhan¸ca de a é o intervalo

{x ∈ I | a − ǫ < x < a + ǫ} = {x ∈ I | |x − a| < ǫ} .

a

a − ǫ a + ǫ

b

c bc

Exemplo 1: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma vizinhan¸ca do ponto x = 2 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2 − 1, 2 + 1) = (1, 3), ou seja, pelo conjunto

{x ∈ I | 1 < x < 3} = {x ∈ R | |x − 2| < 1} .

0 1 2 3 6

b

c bc bc bc

Exemplo 2: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma outra vizinhan¸ca do ponto x = 2 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2 − 0, 4 , 2 + 0, 4) = (1, 6 , 2, 4), ou seja, pelo conjunto

{x ∈ I | 1, 6 < x < 2, 4} = {x ∈ R | |x − 2| < 0, 4} .

0 1,6 ₂ 2,4 ₆

b

c bc bc bc

Exemplo 3: _{dado o intervalo I = {x ∈ R | x < 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma vizinhan¸ca do ponto} x = 5 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (5 − 0, 5 , 5 + 0, 5) = (4, 5 , 5, 5), ou seja, pelo conjunto

{x ∈ I | 4, 5 < x < 5, 5} = {x ∈ R | |x − 5| < 0, 5} .

0 2 4 4,5 ₅ 5,5

b

c b bc bc

Exemplo 4: _{dado o intervalo I = {x ∈ R | x < 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma outra vizinhan¸ca do} pon-to x = 5 pode ser dada escolhendo ǫ = 4, de modo que a vizinhan¸ca ser´a composta por todos os pontos pertencentes ao intervalo {x ∈ I | 1 < x < 9} = (1, 2) ∪ [4, 9) . 0 1 2 4 5 9 b c b bc bc b bc

(12)

Exemplo 5: _{dado o intervalo I = {2} da reta dos reais, o ponto x = 2 tem {2} como sua ´unica} vizinhan-¸ca.

2

b

Dado um intervalo I ⊂ R e um ponto a ∈ R, dizemos que a é um ponto de acumula¸cão do conjunto I quando todo intervalo aberto (a − ǫ, a + ǫ), de centro a, contém algum ponto x ∈ I diferente de a. Em termos de simbologia matemática, a é um ponto de acumula¸c˜_{ao de um conjunto I ⊂ R quando, para qualquer ǫ > 0,} existir um x ∈ I tal que 0 < |x − a| < ǫ.

a

a − ǫ a + ǫ

b

c b bc

Exemplo 6: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 3 é um ponto de acumula¸cão desse intervalo, pois para qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3 − ǫ, 3 + ǫ) ∪ (1, 5) que pertencem a I e que não são o ponto x = 3.

1 3 − ǫ 3 3 + ǫ 5

b

c bc bc bc

Exemplo 7: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 1 é um ponto de acumula¸cão desse intervalo, pois para qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3 − ǫ, 3 + ǫ) ∪ (1, 5) que pertencem a I e que não são o ponto x = 1.

1 1 + ǫ 4 5

b

c bc

bc bc

Exemplo 8: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 0 não é um ponto de acumula¸cão desse intervalo, pois podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (0 − 0, 5 , 0 + 0, 5) = (−0, 5 , 0, 5) centrado em 0 não existem pontos x ∈ I. 0 1 5 b c bc b c bc -0.5 0.5

Exemplo 9: _{dado um intervalo I = {3}, o ponto x = 3 não é um ponto de acumula¸cão desse intervalo, pois} podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (3 − 0, 5 , 3 + 0, 5) = (−2, 5 , 3, 5) centrado em 3 não existem pontos x ∈ I diferentes de 3.

b

c 3 bc

2.5 3.5

Exemplo 10: _{dado um intervalo I = {x ∈ R | x 6= 3}, o ponto x = 3 é um ponto de acumula¸cão desse} intervalo, pois para qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3 − ǫ, 3 + ǫ) que pertencem a I e que não são o ponto x = 3.

3

3 − ǫ 3 + ǫ

bc bc bc

Portanto, se x = a é um ponto de acumula¸cão de um intervalo I, então é poss´ıvel escolher uma seqüência de números pertencentes a esse intervalo que se aproximem cada vez mais desse ponto sem nunca alcan¸cá-lo.

De posse desses conceitos, podemos agora partir para a defini¸c˜ao formal de limite, dada na pr´oxima leitura complementar.

(13)

Leitura Complementar 2.3.3 - Defini¸c˜

ao formal

de limite

A defini¸cão formal de limite é dada logo a seguir. É uma das defini¸cões mais dif´ıceis do Cálculo e pesadelo da maioria dos estudantes, mas fica mais fácil depois do que vimos nas leituras complementares anteriores.

Defini¸cão 5 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸cão} a de I, dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a existe e é igual a L, o que pode ser escrito como lim

x→af (x) = L, quando, para qualquer n´umero ǫ > 0, existir sempre um n´umero δ > 0 tal que, se

|x − a| < δ, ent˜ao |f(x) − L| < ǫ.

Usando os exemplos da Leitura Complementar 2.3.1, pudemos mostrar o porque da necessidade de uma defini¸cão tão precisa, por ela ter que funcionar para diversos casos de limites. Note que na defini¸cão é explicitado o fato de o número a do limite lim

x→af (x) n˜ao estar necessariamente dentro do intervalo em que se analisa o limite.

Este é o caso do limite da fun¸cão f (x) = x0 _{quando x → 0, pois x = 0 não pertence ao dom´ınio desta fun¸cão} (isto levando em conta a conven¸cão por nós adotada). Podemos usar essa defini¸cão na demonstra¸cão de diversos limites, o que será feito a seguir.

x→1x = 1.

Solu¸c˜ao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ para qualquer valor de

ǫ > 0. No nosso caso, temos a = 1, f (x) = x e L = 1, de modo que a express˜ao fica

|x − 1| < δ ⇒ |x − 1| < ǫ .

Podemos ver da expressão acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ, essa rela¸cão será válida, pois se |x − 1| < δ e δ ≤ ǫ, então |x − 1| < ǫ. A figura ao lado ajuda a ilustrar esta situa¸cão.

b c bc x 1 1 − δ 1 + δ bc bc y 1 1 − ǫ 1 + ǫ

Então, se tomarmos, por exemplo, ǫ = 1, podemos escolher qualquer 0 < δ < 1 que a rela¸cão será satisfeita. Se escolhermos ǫ = 0, 1, qualquer 0 < δ < 0, 1 tornará a rela¸cão verdadeira. Portanto, para qualquer valor de ǫ > 0, podemos encontrar valores de δ > 0 para os quais a rela¸cão é verdadeira. Assim, o limite está provado.

x→2(x + 3) = 5.

ǫ > 0. Temos a = 2, f (x) = x + 3 e L = 5, de modo que a express˜ao fica

|x − 2| < δ ⇒ |x + 3 − 5| < ǫ ⇔ |x − 2| < δ ⇒ |x − 2| < ǫ . Podemos ver da expressão acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ, essa rela¸cão será válida, pois se |x−2| < δ e δ ≤ ǫ, então |x−2| < ǫ. Portanto, o limite está provado.

b c bc x 2 2 − δ 2 + δ bc bc y 2 2 − ǫ 2 + ǫ

(14)

x→1(2x − 1) = 1.

ǫ > 0. Temos a = 1, f (x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a express˜ao fica

|x − 1| < δ ⇒ |2x − 1 − 1| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ |2x − 2| < ǫ ⇔ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ 2|x − 1| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ |x − 1| <₂ǫ . Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ

2, essa

rela¸cão será válida, pois se |x − 1| < δ e δ ≤ ǫ

2, ent˜ao |x − 1| < ǫ.

Portanto, o limite est´a provado.

b c bc x 1 1 − δ 1 + δ bc bc y 1 1 − ǫ/2 1 + ǫ/2

x→2(5x − 4) = 6.

ǫ > 0. Temos a = 2, f (x) = 5x − 4 e L = 6, de modo que a express˜ao fica

|x − 2| < δ ⇒ |5x − 4 − 6| < ǫ ⇔ |x − 2| < δ ⇒ |5x − 10| < ǫ ⇔ ⇔ |x − 2| < δ ⇒ 5|x − 2| < ǫ ⇔ |x − 2| < δ ⇒ |x − 2| < ǫ

5 . Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ

5, essa

rela¸cão será válida, pois se |x − 2| < δ e δ ≤ ǫ

5, ent˜ao |x − 1| < ǫ.

Portanto, o limite est´a provado.

b c bc x 2 2 − δ 2 + δ bc bc y 2 2 − ǫ/5 2 + ǫ/5

x→1(2x − 1) = 4.

Solu¸cão: para tentarmos provar esse resultado (que está errado), temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 4, de modo que a expressão fica

|x − 1| < δ ⇒ |2x − 1 − 4| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ |2x − 3| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ 2|x − 1, 5| < ǫ ⇔ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ |x − 1, 5| <₂ǫ .

Isto significa que para qualquer valor de ǫ > 0, existe sempre um δ > 0 tal que, se x estiver dentro do intervalo aberto no eixo x dado por (1 − δ, 1 + δ), ent˜ao f(x) estar´a sempre dentro do intervalo aberto 1, 5 − ǫ

2 , 1, 5 + ǫ

2 no eixo y. Para mostrar que

isto n˜ao est´a correto, basta achar um contra-exemplo. A figura ao lado facilita isto.

b

c 1 bc x

1 − δ 1 + δ

bc 1, 5 bc y

1, 5 − ǫ/2 1, 5 + ǫ/2

Da figura, podemos ver que escolhendo ǫ/2 < 0, 5, isto é, ǫ < 1, não há forma de escolher um intervalo (1−δ, 1+δ) de modo a garantir que, se x está dentro desse intervalo, então f (x) estará dentro do intervalo (1, 5−ǫ/2 , 1, 5+ǫ/2). Portanto, o limite está incorreto.

Há ainda a possibilidade de demonstrar alguns limites mais complicados, como os que envolvem fun¸cões quadrática,s mas isso foge da inten¸cão desta leitura complementar.

A defini¸cão de limite feita aqui é apenas aquela que é adequada a limites finitos quando se tende a números finitos. A seguir, veremos algumas defini¸cões de limites envolvendo o infinito.

a) Limites no infinito

Quando tomamos os limites x → ∞, a defini¸c˜ao 5 de limite torna-se inapropriada, pois n˜ao podemos tomar um intervalo |x − a| < δ quando a → ±∞. Substituindo a por ∞ nessa desigualdade, temos

(15)

pois x − ∞ = −∞ para qualquer x ∈ R. De forma semelhante, substituindo a por −∞, temos |x − a| < δ ⇒ |x − (−∞)| < δ ⇒ |x + ∞| < δ ⇒ |∞| < δ ⇒ ∞ < δ ,

pois x + ∞ = ∞ para qualquer x ∈ R. Como não existe um número real δ tal que δ > ∞, temos que usar uma outra defini¸cão para esse tipo de limite.

Pensemos o seguinte: o limite lim

x→∞f (x) = L existe quando, fazendo x tender a infinito, o intervalo |f(x) − ǫ|

tender a zero. Isto pode ser escrito da seguinte forma: para qualquer ǫ > 0, existe um número N tal que, toda vez que x > N , automaticamente, |f(x) − L| < ǫ. Esta idéia é formalizada na defini¸cão a seguir.

Defini¸cão 6 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto no ∞, dizemos que o} limite de f (x) quando x tende a ∞ existe e é igual a L, o que pode ser escrito como lim_x→∞f (x) = L, quando, para qualquer número ǫ > 0, existir sempre um número N > 0 tal que, se x > N , então |f(x) − L| < ǫ.

De modo semelhante, podemos dizer que o limite lim

x→−∞f (x) = L existe quando, fazendo x tender a menos

infinito, o intervalo |f(x) − ǫ| tender a zero, isto é, que dado um ǫ > 0, existe um número N < 0 tal que x < N ⇒ |f(x) − L| < ǫ. A defini¸cão seguinte formaliza esta idéia.

Defini¸cão 7 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que o} limite de f (x) quando x tende a −∞ existe e é igual a L, o que pode ser escrito como lim_x→−∞f (x) = L, quando, para qualquer número ǫ > 0, existir sempre um número N < 0 tal que, se x < N , então |f(x) − L| < ǫ.

b) Limites infinitos

Primeiro, veremos os caso de limites que v˜ao para infinito ou menos infinito quando x tende a um valor finito:

lim

x→af (x) = ∞ ou limx→af (x) = −∞ .

O motivo de não termos definido esses limites no texto principal foi porque ainda não vimos fun¸cões que apresentam esse comportamento. No entanto, para que as defini¸cões fiquem completas, faremos aqui as duas que restam.

Defini¸cão 8 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸cão} a de I, dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a é igual a ∞, o que pode ser escrito como

lim

x→af (x) = ∞, quando, para qualquer M > 0, existir sempre um δ > 0 tal que, se |x − a| < δ, ent˜ao

f (x) > M .

Defini¸cão 9 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸cão a} de I, dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a é igual a −∞, o que pode ser escrito como

lim

x→af (x) = −∞, quando, para qualquer M < 0, existir sempre um δ > 0 tal que, se |x − a| < δ, ent˜ao

f (x) < M .

c) Limites infinitos no infinito

Resta agora definir os limites no infinito das fun¸cões de potências naturais f (x) = xn com n > 0. Esses limites são infinitos, de modo que as defini¸cões 2 e 3 n˜_{ao são mais apropriadas, pois quando o limite for ∞,} teremos

(16)

e, quando o limite for −∞,

|f(x) − L| < ǫ ⇒ |f(x) − (−∞)| < ǫ ⇒ |∞| < ǫ ⇒ ∞ < ǫ .

Como n˜_{ao existe ǫ real tal que ǫ > ∞, não podemos aplicar essas defini¸cões aos casos em que o limite tende a} infinito. Podemos dizer, no entanto, que o limite quando x → ∞ de uma fun¸cão tende a ∞ quando, quanto maior for o valor de x, maior será o valor de f (x). Podemos também dizer isto da seguinte forma: para todo valor M > 0, existe sempre um valor N > 0 tal que x > N ⇒ f(x) > M. Como existem diversas situa¸cões dependendo do limite que tomamos, é necessário fazer as quatro defini¸cões a seguir.

Defini¸cão 10 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o} limite de f (x) quando x tende a ∞ é igual a ∞, o que pode ser escrito como lim_x→∞f (x) = ∞, quando, para qualquer número M > 0, existir sempre um número N > 0 tal que, se x > N , então f (x) > M .

Defini¸cão 11 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o} limite de f (x) quando x tende a ∞ é igual a −∞, o que pode ser escrito como lim_x→∞f (x) = −∞, quando, para qualquer número M < 0, existir sempre um número N > 0 tal que, se x > N , então f (x) < M .

Defini¸cão 12 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o} limite de f (x) quando x tende a −∞ é igual a ∞, o que pode ser escrito como lim_x→−∞f (x) = ∞, quando, para qualquer número M > 0, existir sempre um número N < 0 tal que, se x < N , então f (x) > M .

Defini¸cão 13 - Dada uma fun¸c˜_{ao f (x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que} o limite de f (x) quando x tende a −∞ é igual a −∞, o que pode ser escrito como lim_x→−∞f (x) = −∞, quando, para qualquer número M < 0, existir sempre um número N < 0 tal que, se x < N , então f (x) < M .

(17)

Leitura Complementar 2.3.4 - Alguns teoremas

para limites

A presentaremos nesta leitura complementar dois teoremas que facilitam o cálculo de alguns limites impor-tante envolvendo fun¸cões de duas ou mais variáveis. Esse teoremas são seguidos de exemplos que os utilizam, entre eles formas mais corretas dos exemplos 2 e 3 da se¸cão 2.3.2 deste cap´ıtulo.

O primeiro teorema, enunciado a seguir, diz que um limite existe se, seguindo qualquer caminho poss´ıvel até ele, o resultado for sempre o mesmo. Tais caminhos podem ser parametrizados por curvas que são imagens de fun¸cões vetoriais de um parâmetro real.

Teorema 1 - Considere que lim

(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

f (x1, · · · , xn) = L. Dada uma fun¸c˜ao vetorial F (t) de

R em Rn_{, cont´ınua em t = t}

0 e tal que F (t0) = (x10, · · · , xn0) e F (t) 6= (x10, · · · , xn0) se t 6= t0, e tal

que F (t) ∈ D(f), ent˜ao, lim_t→t 0

f (F (t)) = L.

(x,y)→(0,0)

sen (x2+ y2) x2_{+ y}2 = 1.

Solu¸cão: este é o mesmo exemplo 3 da se¸cão 2.3.2 deste cap´ıtulo, só que formulado de maneira mais rigorosa usando o teorema 1. Consideremos uma curva que é a imagem da fun¸cão vetorial F (t) = (t cos θ, t sen θ), onde t é um parâmetro real positivo e θ é um ângulo qualquer. Tal curva parametriza caminhos radiais em dire¸cão à origem vindos de ângulos θ distintos e é tal que F (0) = (0, 0) para todo o valor de θ e tal que F (t) 6= (0, 0) para t 6= 0.

Portanto, pelo teorema 1, podemos considerar x(t) = t cos θ e y(t) = t sen t, que nada mais s˜ao que coordenadas polares (Leitura Complementar 1.1.4). Como x2_{+ y}2 _{= t}2_cos2_{t + t}2_sen2_{t = t}2_(cos2_{t + sen}2_{t) = t}2_{, podemos}

escrever o limite da seguinte forma:

lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = limt→0

sen t2

t2 .

Tal limite pode ser resolvido usando L’Hˆopital: lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = limt→0

cos t2_{· 2t}

2t = limt→0cos t

2_{= cos 0}2_{= 1 .}

Como esse resultado é válido para qualquer ângulo θ, então por qualquer caminho que possamos usar, o limite é o mesmo, o que prova que o limite está correto.

Este mesmo racioc´ınio pode ser utilizado para outros problemas que exibam simetria radial, como o do exemplo a seguir.

(x,y)→(1,−2) e

−x2_−y2_+2x−4y−5 = 1.

Solu¸c˜ao: completando quadrados, podemos escrever

−x2− y2+ 2x − 4y − 5 = −(x2− 2x) − (y2+ 4y) − 5 = −(x − 1)2_{− 1 − (y + 2)}2_{− 4 − 5 =}

= −(x − 1)2+ 1 − (y + 2)2+ 4 − 5 = −(x − 1)2− (y + 2)2.

Escolhendo a fun¸c˜ao F (t) = (1 + t cos θ, −2 + t sen θ) para qualquer valor de θ, teremos (x − 1)2_{+ (y + 2)}2₌

(1+t cos theta−1)2_{+(−2+tsent+2)}2_{= t}2_{, um resultado que independe de θ. Essa fun¸c˜}_{ao ´e tal que F (0) = (1, −2)}

e F (t) 6= (1, −2) para t 6= 0. Do teorema 1, lim (x,y)→(1,−2)e −x2_−y2_+2x−4y−5 = lim (x,y)→(1,−2)e −(x−1)2_−(y+2)2 = lim t_→0e −t2 = e0= 1 . Esse resultado é válido para qualquer ângulo θ, o que prova que o limite está correto.

(18)

A seguir, utilizamos o teorema 1 para provar que um dado limite n˜ao existe. Exemplo 3: mostre que lim

(x,y)→(0,0)

x2_{− y}2

x2_{+ y}2 n˜ao existe.

Solu¸cão: nossa estratégia será mostrar que podemos obter resultados diferentes através de duas curvas distintas. Come¸camos pela curva associada à fun¸cão vetorial F (t) = (t, 0), que é tal que F (0) = (0, 0) e F (t) 6= (0, 0) para t 6= 0. Então, o limite pode ser escrito trocando x = t e y = 0, de modo que

lim (x,y)→(0,0) x2_{− y}2 x2_{+ y}2 = limt_→0 t2_{− 0} t2_{+ 0} = limt_→01 = 1 .

Considerando agora uma curva associada à fun¸cão vetorial F (t) = (0, t), que é tal que F (0) = (0, 0) e F (t) 6= 6= (0, 0) para t 6= 0, então o limite pode ser escrito trocando x = 0 e y = t, de modo que

lim (x,y)→(0,0) x2_{− y}2 x2_{+ y}2 = lim_t_→0 0 − t2 0 + t2 = lim_t_→0(−1) = −1 .

Como os dois limites n˜ao coincidem, podemos afirmar que o limite dado n˜ao existe.

O teorema a seguir afirma que, quando podemos quebrar uma fun¸cão em duas outras, onde o limite da primeira é zero e a segunda fun¸cão é limitada, então o limite da fun¸cão original é zero.

Teorema 2 - Dado um limite tal que lim (x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0) f (x1, · · · , xn) = lim (x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0) g(x1, · · · , xn)h(x1, · · · , xn) , onde lim (x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0) g(x1, · · · , xn) = 0 e |h(x1, · · · , xn)| ≤ M, M ∈ R e M > 0, dentro do intervalo ||(x1, · · · , xn) − (x10, · · · , xn0)|| < r, r ∈ R e r > 0, ent˜ao lim (x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0) f (x1, · · · , xn) = 0.

Exemplo 4: prove que lim

(x,y)→(0,0)

x3

x2_{+ y}2 = 0.

Solu¸c˜ao: podemos escrever

lim (x,y)→(0,0) x3 x2_{+ y}2 = lim (x,y)→(0,0)x · x2 x2_{+ y}2 .

Temos que lim

(x,y)→(0,0)x = 0 e x2 x2_{+ y}2

≤ 1, pois um número positivo (quadrado) dividido por ele mais outro número positivo sempre será menor ou igual a 1. Então, pelo teorema 2, lim

(x,y)→(0,0)

x3

x2_{+ y}2 = 0.

Exemplo 5: prove que lim

(x,y)→(∞,∞)

sen (x2_{+ y}2₎

x2_{+ y}2 = 0.

Solu¸c˜ao: podemos escrever lim (x,y)→(∞,∞) sen (x2_{+ y}2₎ x2_{+ y}2 = lim (x,y)→(∞,∞) 1 x2_{+ y}2 · sen (x 2_{+ y}2_{) .}

Uma vez que lim

(x,y)→(∞,∞) 1 x2_{+ y}2 = 0 e sen (x2+ y2)

≤ 1, ent˜ao, pelo teorema 2, lim

(x,y)→(∞,∞)

sen (x2_{+ y}2₎

(19)

Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.3

N´ıvel 1

Limites de fun¸c˜oes de uma vari´avel

Exemplo 1: escreva o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao f (x, y) = e−x2−y2.

Solu¸cão: o dom´ınio dessa fun¸cão é D(f ) = R2_{, enquanto sua imagem é Im(f ) = [0, 1], pois a fun¸c˜}_{ao exponencial}

só pode assumir valores positivos ou nulos e a fun¸cão chega a um valor máximo em f (0, 0) = 1.

E1) Escreva os dom´ınios e as imagens das fun¸c˜oes dadas a seguir.

a) f (x, y) = 4x2+ 4y2, b) f (x, y) = 2x2+ 3y2, c) f (x, y) =p9 − x2_{− y}2_{, d) f (x, y) =} _√ 1 1−x2_−y2, e) f (x, y) = 3x2_{− 2y}2, f) f (x, y) = x4+ y4, g) f (x, y) = ln(x2+ y2), h) f (x, y) = ln(x2_{− y}3). Limites

Exemplo 2: calcule lim

(x,y)→(1,0)(3xy − y 3_).

Solu¸c˜ao: lim

(x,y)→(1,0)(3xy − y

3

) = 3 · 1 · 0 − 03= 0.

E2) Calcule os seguintes limites: a) lim

(x,y)→(2,1)(2xy − x

2_{), b)} _lim (x,y)→(1,0)

sen xy

y , c)(x,y,z)→(1,0,0)lim (yz

2_{+ ln x),}

d) lim

(x,y,z)→(0,0,0)ln(x

2_{+ y}2_{+ z}2_).

N´ıvel 2

E1) Verifique se f (x, y) = sen (x

2_{+ y}2₎ x2_{+ y}2 ´e cont´ınua em (0, 0). E2) Verifique se f (x, y) =    sen (x2+ y2) x2_{+ y}2 , (x, y) 6= (0, 0) 1 , (x, y) = (0, 0) , ´e cont´ınua em (0, 0).

N´ıvel 3

E1) Prove que lim

x→1(4x − 2) = 2.

E2) Prove que lim

(x,y)→(0,0)(x

2_{+ y}2_{) = 0.}

E3) Prove que lim

(x,y)→(x0,y0)

(20)

E4) Considere a fun¸c˜ao CES (Constant Elasticity of Substitution - Elasticidade de Substitui¸c˜ao Constante) P (K, L) = A [αKρ_{+ (1 − α)L}ρ]1/ρ.

a) Calcule o limite de z = ln P quando ρ → 0. (Dica: use a regra de L’Hôpital.) b) Mostre que o limite da fun¸c˜_{ao CES quando ρ → 0 é a fun¸cão de Cobb-Douglas.} E5) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim

(x,y)→(∞,∞)

1

x2_{+ y}2 = 0.

E6) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim

(x,y)→(0,0)

sen (x2_{− y}2) x2_{− y}2 = 1.

(x,y)→(0,0)

xy

x2_{+ y}2 = 0.

(x,y)→(0,0)

x

px2_{+ y}2 = 0.

(x,y)→(0,0)

x + y

x − y n˜ao existe.

Respostas

N´ıvel 1

E1) a) D(f ) = R2_{, Im(f ) = R}+_{= {x ∈ R | x ≥ 0}. b) D(f) = R}2_{, Im(f ) = R}+_.

c) D(f ) =_{(x, y) ∈ R}2 _{| x}2_{+ y}2_{≤ 9}_{, Im(f ) = [0, 3].} d) D(f ) =(x, y) ∈ R2_{| x}2_{+ y}2_{< 1 , Im(f ) = R}+ ∗ = {x ∈ R | x > 0}. e) D(f) = R2, Im(f ) = R. f) D(f ) = R2_{, Im(f ) = R}+_{. g) D(f ) =}_{(x, y) ∈ R}2 _{| (x, y) 6= (0, 0)}_{, Im(f ) = R.} h) D(f ) =_{(x, y) ∈ R}2_{| x}2_{− y}3_{> 0 , Im(f ) = R.} E2) a) 0, b) 1, c) 0, d) −∞. N´ıvel 2

E1) Não é cont´ınua em (0, 0), pois f (0, 0) não existe. E2) É cont´ınua em (0, 0), pois lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = f (0, 0) = 1.

N´ıvel 3

E1) Como |f(x) − L| < ǫ ⇔ |4x − 2 − 2| < ǫ ⇔ |4x − 4| < ǫ ⇔ |x − 1| <₄ǫ, ent˜ao para qualquer ǫ > 0, sempre existe um 0 < δ ≤ ₄ǫ tal que |x − 1| < δ ⇒ |f(x) − 2| < ǫ.

E2) Como |f(x, y) − L| < ǫ ⇔ |x2+ y2− 0| < ǫ e ||(x − x0), (y − y0)|| =p(x − x0)2+ (y − y0)2=px2+ y2, ent˜ao para

qualquer 0 < δ ≤ ǫ teremos px2_{+ y}2 _{< δ ⇒ |x}2_{+ y}2_{| < ǫ ⇔ −ǫ < x}2_{+ y}2 _{< ǫ. Como 0 <} _px2_{+ y}2 _{< δ, ent˜}_ao

x2_{+ y}2_{< δ}2_{. Com isto, podemos dizer que}_px2_{+ y}2_{< δ ⇒ −ǫ < x}2_{+ y}2_{< ǫ ⇔ δ}2 _{≤ ǫ e δ > 0, de modo que devemos}

ter δ <√ǫ. Portanto, sempre que δ <√ǫ, teremos ||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ, o que prova o limite.

E3) Temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que

||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ ⇔p(x − x0)2+ (y − y0)2< δ ⇒ |k − k| < ǫ ⇔ 0 < ǫ .

Como, por hipótese, ǫ > 0 sempre, então para qualquer δ > 0 a afirma¸cão acima é verdadeira, o que prova o limite. E4) a) lim

ρ_→0z = ln AK

α_L_1−α

b) lim

ρ_→0P = limρ_→0exp(ln P ) = exp

ln lim ρ_→0P

= expln AKα_L1−α_{= AK}α_L1−α_{. O limite pode ser deslocado para}

(21)

E5) Escolhendo F (t) = (t cos θ, t sen θ), temos lim

(x,y)→(∞,∞)

1

x2_{+ y}2 = limt_→∞

1

t2 = 0 para qualquer valor de θ, o que prova o

limite.

E6) Escolhendo F (t) = (t cosh θ, t senh θ), temos lim

(x,y)→(0,0) sen (x2_{− y}2₎ x2_{− y}2 = lim_t_→0 sen t2 t2 = lim_t_→0 cos t2_{· 2t} 2t = cos 0 = 1 para qualquer valor de θ, o que prova o limite.

E7) lim (x,y)→(0,0)x = 0 e y x2_{+ y}2

< 1, de modo que lim

(x,y)→(0,0) xy x2_{+ y}2 = 0. E8) lim (x,y)→(0,0)x = 0 e 1 px2_{+ y}2

< 1, de modo que lim

(x,y)→(0,0)

x

px2_{+ y}2 = 0.

E9) Escolhendo F (t) = (t, 0), ent˜ao lim

(x,y)→(0,0) x + y x − y = limt→0 t + 0 t − 0 = 1. Escolhendo F (t) = (0, t), ent˜ao lim (x,y)→(0,0) x + y x − y = limt→0 0 + t