AUTOMAÇÃO em sistemas elétricos

AUTOMAÇÃO

em sistemas elétricos

AS201 – INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

MATLAB

Prof. Dr. Estevan M. Lopes estevan@inatel.br Campinas 2015

MATLAB - INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

CONTEÚDO

1 – Fundamentos Matlab

2 – Fundamentos de Trigonometria 3 – Números Complexos

4 – Fasor

5 – Probabilidade

6 – Fundamentos: Transformada de Fourier

1 - Fundamentos Matlab

Exercícios

1. Construa uma matriz 2x3, onde os elementos tenham a precisão do formato Long.

2. Faça a concatenação do vetor m=[1 2 3] com a matriz n=[10 20 30 ; 40 50 60], obtendo uma nova matriz p.

3. Crie V1 de 0 a 10, com incremento de 3.5. V2 de 0 a 20, com incremento de 0.9. Transforme o vetor linha v1 em vetor coluna.

4. Resolva as expressões:

( )

3

. 3 2 cos

1

3 5

) 2

45 3.

) 1 12 log(

)

π

=

+

= y b

x a

MATLAB - INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

Gráficos

Conjunto de recursos disponíveis no Matlab para criação e manipulação de figuras para apresentação de resultados em formato gráfico

• Passo 0 – Preparação dos dados

• Passo 1 – Seleção da janela ou sub-janela de exibição

• Passo 2 – Chamada das funções de criação de gráficos (2D e 3D)

• Passo 3 – Configuração da aparência dos gráficos

• Passo 4 – Impressão e exportação do gráfico.

MATLAB - INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

Funções Básicas de Geração de Gráficos

• Plot (Gráfico 2D – X e Y lineares)

• Loglog (Gráfico 2D – X e Y logarítmicos)

• Semilogx (Gráfico 2D – X logarítmico e Y linear )

• Semilogy (Gráfico 2D – X linear e Y logarítmico)

• Polar (Gráfico em Coordenadas Polares)

• Grid – (Habilita/Desabilita exibição de grade)

• Hold – (Habilita/Desabilita exibição de gráficos na mesma janela

• Subplot - (Gera vários eixos em uma mesma janela ) Atributos de Eixos

MATLAB - INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

Anotações e Textos

• Title – (Configura título do gráfico)

• Xlabel – (Configura label do eixo X)

• Ylabel – (Configura label do eixo Y)

• Zlabel – (Configura label do eixo Z)

• Gtext – (Cria um texto em uma posição indicada pelo usuário)

• Legend – (Cria texto de legenda no gráfico)

Detalha funções de criação de textos de anotações

MATLAB - INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

Funções Gráficas 2D Especiais

• Area – gráfico de área

• Bar – gráfico de barra vertical

• Stairs – gráfico escada

• Scatter – gráfico discreto que indica pontos com marcadores

• Stem – gráfico discreto que indica pontos com hastes

• Comet – dados X e Y, gera gráfico com exibição de trajetória animada

MATLAB - INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

Funções Gráficas 3D

• Meshgrid – dados dois vetores X e Y , contendo as coordenadas dos eixos X e Y, retorna duas matrizes, MX e MY, contendo a ‘malha’ de coordenadas necessária para geração de superfícies. Gera dados para todas as outras funções 3D.

• Mesh – Gera malha a partir de coordenadas 3D

• Surf – Gera coordenadas a partir de coordenadas 3D

• Meshc – Gera gráfico com curva de nível

• Surfc – Gera gráfico de superfície com curva de nível

Funções Gráficas 3D Especiais

• Contour – Gera gráfico de curvas de nível

• Contourf – Gera gráfico de curvas de nível

• Contour3 – Gera gráfico de curvas de nível

MATLAB - INTEGRAÇÃO E NIVELAMENTO MATEMÁTICO

2 - Fundamentos de Trigonometria

MATLAB - Fundamentos de Trigonometria

( ) ( ) ( )

cos tg = sen

( ) ( )

( )

α sen

g cos

cot =

( )

( )

2 α + α =

sen

( )

( )

2 1

sec = +tg

( )

( )

2 1 cot

sec

cos = + g

Matlab: help elfun (Elementary math functions)

( )

( )

( )

( ) ^cos ( ) ¹

) ^sen

α +

α = a

1) Faça a representação gráfica da expressão:

2) Prove a seguinte identidade trigonométrica usando o Matlab:

( ^{π π} ) ( ) ( ) ^{π π sen} ( ) ( ) ^{π sen π}

a ) cos 2 − = cos 2 cos + 2

3) Faça a redução para o primeiro quadrante usando o Matlab e calcule os valores para os seguintes ângulos:

3 2 4

3 5 4

) 5

6 5 2 2

6 ) 5

π π π

π

π π π

π

≤

≤

∴

∴

 

 





≤

≤

∴

∴

 

 





quadrante sen

b

quadrante sen

a

o o

MATLAB - Fundamentos de Trigonometria

4) Faça o gráfico de um seno com 2 Hz com amplitude de 2 volts com a fase inicial zero mostrando o intervalo de 1 segundo.

5) Faça o gráfico de um cosseno com 5 Hz com amplitude unitária com fase inicial zero mostrando o intervalo de 1 segundo.

6) Faça o gráfico de um cosseno com 5 Hz com amplitude unitária com fase inicial zero e sobreponha a este gráfico um cosseno com 5 Hz com amplitude unitária e com uma fase inicial de 45º. Tudo isto deve ser mostrado em um intervalo de 1 segundo de simulação.

7) Faça o gráfico da soma de um cosseno de 2 Hz com amplitude unitária com fase inicial zero e sobreponha a este gráfico um seno com 2 Hz com amplitude unitária e com uma fase inicial de 90º. Tudo isto deve ser mostrado em um intervalo de 1 segundo de simulação. Depois faça a soma das duas funções, mostrando o gráfico resultante.

MATLAB - Fundamentos de Trigonometria

8) Faça o gráfico das funções:

( ) ( ) ( )

( ) ^exp ( ) ^{* cos} ( ) ^{2 π π 2 π π}

)

2 2

cos

* )

≤

≤

−

= ⇒

≤

≤

−

= ⇒

x x

x x

f b

x x

x sen x

f a

9) Utilize uma função que permita a visualização real de duas curvas com diferentes escalas simultaneamente no mesmo gráfico.

10) Refaça o exercício 9, utilizando dois gráficos em duas posições diferentes na mesma figura. Utilize a função subplot do matlab.^.

( ) ^{x = cosh} ( ) ( ) ^{x ∴ g x = sen} ( ) ^{2 x ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 π}

f

11) Represente graficamente e determine o valor instantâneo da tensão para o sinal:

v(t) = 2.sen(300t), t=10ms

MATLAB - Fundamentos de Trigonometria

12) Construa os gráficos da funções:

13) Faça as seguintes derivadas:(matlab: polyder)

( ) ^{x = x}

^{− 5 x − 10}

f

( ) ^{x y y e}

f , = .

( ) ^{x = x}

^{− 5 x − 10}

f

( ) ^{x = 2 x}

^{− 2 x}

^{− 10 x}

^{+ 23}

f

MATLAB - Fundamentos de Trigonometria

3 – Números Complexos

MATLAB - Números Complexos

1j 2j 3j 4j 5j 6j

-6j -5j -4j -3j -2j -1j

Imaginário

Real

1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1

-6

A

B

C

I II

III IV

2+j6

-4-j2

3-j5

θ θ

θ

ej

M Z

M Z

a arctg b b

a M

x aginaria b

x al a

jb a

x

=

∠

=

= +

=

=

= +

=

2 2

) ( Im

) ( Re

( 1 2)

2 1

2 1 2

1

θ θ θ

θ ⋅ ^j = ^j +

j M e M M e

e M

( 1 2)

2 1

2 1 2

1 θ θ

θ

θ −







=  ^j

j j

M e M e

M e M

• Módulo = abs(x)

• Fase = angle(x)

• Real = real(x)

• Imaginário = imag(x)

• help elfun

( ) ( )

( ^{cos θ j sen θ} )

M jb

a + = +

( ) ^{x j} ( ) ^x

e

= cos + sen

jb a

Z jb

a

Z = + ⇒

= −

1) Utilizando o matlab, localize no plano complexo os seguintes

números. Use a função axis para visualizar todos os números de modo que a representação gráfica da parte real e imaginária inicie em -5 e termine em 5.

j x

d

j x

c

j x

b

j x

a

2 1

)

3 2

)

3 2

)

2 1

)

4 3

2 1

−

=

+

−

=

−

= +

=

2) Utilizando o matlab, faça a conversão para coordenada polar dos valores ilustrados no gráfico da questão 1. Após a conversão empregando os conceitos estudados estabeleça novamente os pontos no plano complexo, porém deste vez usando os valores polares calculados.

MATLAB - Números Complexos

3) Utilizando o matlab, faça os seguintes cálculos:

4 1

4 3

2 1

2 1

. .

x x multipli

x x multipli

x x

Divisao

x x

soma

=

=

= +

=

( ) ( )

( ) ( )



 

 + 



 



= 

+

=

+

=

+

=

4 cos 4

)

) ( cos

)

) 2 ( 2

cos )

5 . 1 5

. 1 cos )

4 2

5 . 1

π π

π π

π π

π π

π

sen j

e d

jsen e

c

jsen e

b

sen j

e a

j j j j

4) Utilizando o matlab, mostre que o resultado da igualdade é verificada:

MATLAB - Números Complexos

j x

b

j x

a

3 2

)

2 1

)

2 1

−

=

+

=

5) Utilizando o matlab, calcule o valor do conjugado e faça o gráfico com os valores dos complexos conjugados:

6) Utilizando o matlab e o conceito de número complexo, gerar um cosseno com amplitude unitária, fase zero e frequência de 4 Hz.

7) Utilizando o matlab e o conceito de número complexo, gerar um seno com tensão 10 V, fase zero e frequência de 60 Hz.

MATLAB - Números Complexos

8) Avalie as raízes dos seguintes polinômios: Utilize a função roots.

0 1

5 2

4 )

0 3

4 )

0 2

)

2 3

5 7

2 4

2

=

− +

+ +

+

=

− +

= +

x x

x x

x c

x x

b

x x

a

9) Encontre os coeficientes do polinômio característico de X, que possui as seguintes raízes: Utilize a função poly.

8956 .

0 ,

145 .

2 4356

. 0 ,

145 .

2 4356

. 0 )

3 1 ,

3 1 ,

2 )

2 ,

2 )

3 2

1

3 2

1

2 1

=

−

−

= +

−

=

+

=

−

=

−

=

=

−

=

x j

x j

x c

j x

j x

x b

x x

a

MATLAB - Números Complexos

4 – Fasor

( ) ^θ

sen hipotenusa

oposto

cat = × ^{V = V}

^{× sen} ( ) ^θ

MATLAB - Fasor

( ) ^{t V}

^sen ( ^t

)

v = × ω + 45

o

V

V

= ∠ 45

MATLAB - Fasor

1) Circuito Resistivo com alimentação DC.

( )

 

 



=

−

−

−

=

−

−

= +

+

0 . .

. .

3 2

1

2 3

3 2 2

3

2 1

2 3 1

4 1

i i

i

V V

i R i

R

V V

i R i

R R

 







 







−

−

=

 







 







 







 







−

−

− +

0 .

1 1

1 0

0

2 3

2 1

3 2 1 2

3 3 4

1

V V

V V

i i i R

R R R

R

O formato matricial é a representação ideal para operar no Matlab, uma vez que as operações realizadas pelo Matlab tem características matriciais do tipo A.I = B. No Matlab: I = A\B: é o mesmo que A^-1*B.

MATLAB - Fasor

Circuito em regime senoidal

O conceito de fasor é grande importância na análise de circuitos no

regime senoidal, já que as maioria das grandezas tem a forma dada por:

O fasor da grandeza g(t) é dado por:

( ) ^{t = A} ( ^{ω t + φ} )

g . cos

∧

G

( ) ^{t = A} ( ^{ω t + φ} ) ^{= A e}

^e

^{⇔ G}

^{= A e}

^{∴ G}

^{= A ∠ φ}

g . cos Re{ .

.

} .

Deste modo, podemos entender um fasor como sendo um número complexo que guarda a informação sobre a amplitude e o ângulo de fase de uma grandeza senoidal.

MATLAB - Fasor

2) Encontrar o fasor da corrente que circula no circuito a seguir em regime senoidal.

Ω

= k

R 200

mH L = 50

F C =¹⁰µ

(

)

V_S =10cos 1000

0

10 ∠

∧

= V

∧

∧ ∧

=

−

= I

C I j

X j

V

1 .

. ω

∧

∧ ∧

=

= j X I j L I

V

. ω .

∧ ∧

= R I V

.

( ^{+ −} ) ^⇒

= + ⇒

+

=

∧

I jX

jX R

V V

V V

V

.

(

)

S

jX jX

R I V

−

= +

∧ ∧

MATLAB - Fasor

3) Considere dois sinais senoidais de tensão:

Mostre o seu diagrama fasorial e utilizando o Matlab construa os gráficos sobrepondo os sinais com fases e amplitudes distintas. Use cores

diferentes no gráficos para mostrar os sinais.

( ^t

)

V

= 10 . cos 2 π 50 − 90

( ^t

)

V

= 10 . cos 2 π 50 + 45

MATLAB - Fasor

5 – Probabilidade

1) Determinar a função de probabilidade de massa (fpm) e a função de distribuição cumulativa (fdc) correspondente a variável aleatória X. Em seguida será construído o gráfico de probabilidade (fpm) e de distribuição (fdc). A condição é estabelecida a seguir:

( ) ( ) ( ) ( )

4 1 4

1 4

1 4

1 = = =

= P CK P KC P KK

CC P

( ) ( )

4 0 = = 1

= P KK X

P ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 4 1 4

1 = ∪ = ∪ = 1 + =

= P CK KC P CK P KC X

P ( ) ( )

4 2 = = 1

= P CC X

P

( )











∞

<

≤

<

≤

<

≤

<

<

∞

−

=

x x x

x x

F_X

2 1

2 1

4 / 3

1 0

4 / 1

0 0

1/2

1/4

0 1 2 x

p_X(x)

F_X(x) 1

3/4

1/4

0

1/4 1/2

1/4

1 2 x

MATLAB - Probabilidade

2) A função de distribuição de uma variável aleatória X é:

Determine:

a) O gráfico da função de distribuição (FDC).

b) A probabilidade de .

c) A probabilidade de .

( ) 

 



<

≥

= −

0 ,

0

0 ,

1

x x x e

F

x X

> 2 X

4 3 < ≤

− X

MATLAB - Probabilidade

3) Faça o gráfico da fpd de uma gaussiana, usando a função normpdf do Matlab: Estude como a média e o desvio padrão modificam esta curva de probabilidade.

y = normpdf(variável aleatória,média,desvio padrão) a) Média = 0; desvio padrão = 1

b) Média = 2; desvio padrão = 1 c) Média = 0; desvio padrão = 2 d) Média =0; desvio padrão = 3 e) Média = 0; desvio padrão = 6

MATLAB - Probabilidade

6 – Fundamentos: Transformada de Fourier

MATLAB – Transformada de Fourier 1) Encontre o espectro de amplitudes dos sinais:

( ) ^{cos( 2 * * 60 * )}

1

t pi t

f =

( ) ^{t pi t} ( ^{pi t} )

f

= cos( 2 * * 60 * ) + cos 2 * * 120 *

2) Encontre o espectro de amplitudes do sinal:

MATLAB – Transformada de Fourier

3) Um sinal elétrico senoidal com 127 volts e 60 Hz sofre a ação de um ruído térmico e aditivo com distribuição de probabilidade uniforme na faixa de –a até a. Considere Vr como a tensão do ruído e Vs como a tensão do sinal. Estude, usando o matlab, como é a influência deste sinal de ruído sobre o sinal de tensão para as seguintes condições:

a) Vr entre (-10 e 10 volts) b) Vr entre (-100 e 100 volts)

c) Verifique o espectro de frequências do sinal resultante.

d) Verifique o comportamento do sinal resultante no tempo.

gerar números no intervalo de [a,b], r = a + (b-a).*rand(1,length(t))

FIM