Mostre que a sequência v1

MAT5730 - ÁLGEBRA LINEAR Segundo semestre de 2016 Lista 6

Nesta listaVé umK-espaço com produto internoh, i,ondeK=_RouK=_C.

1. Seja T: W → Zuma transformação linear injetoraentreK-espaços vetoriais. Suponha que h, i, é um produto interno em Z. Mostre que hhw₁,w₂ii = hT(w₁)_,T(w₂)i_para todosw₁,w₂∈W define um produto interno emW.

2. Mostre que a sequência v₁, . . . ,v_n ∈ V é linearment independente se, e somente se, a matrizA= (γ_ij)é invertível, ondeγ_ij = hv_j,v_ii.

3. (a) SeK =R, mostre que parau,v∈V,hu,vi=₀⇔ ku+_vk²=kuk²+kvk². (b) Mostre que (a) é falso seK=_C.

(c) SeK = C, mostre que parau,v ∈ V,hu,vi = 0 ⇔ kαu+βvk² = kαuk²+kβvk², para todosα,β∈_C.

4. Mostre que vale alei do paralelogramo:

ku+vk²+ku−vk²=2kuk²+2kvk², para todosu,v∈V.

5. Se K = R, mostre que, para u,v ∈ V, kuk = kvkse, e somente se, u+v eu−v são ortogonais. Discuta a afirmação paraK=_C.

6. SeVum espaço vetorial sobreC, mostre que vale aidentidade de polarização, para todos u,v ∈V: 4hu,vi=ku+vk²− ku−vk²+iku+ivk²−iku−ivk².

Mostre que seVé um espaço vetorial sobreRentão vale aidentidade de polarização, para todosu,v∈V: 4hu,vi= ku+vk²− ku−vk².

7. Encontre uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços S e determine também, em cada caso, o subespaçoS^⊥.

(a) Sé o subespaço deC³gerado pelos vetores v₁ = (_{1, 0,}i)_ev₂ = (_{2, 1, 1}+i)_{, com o} produto interno usual.

(b) S={(x,y,z)∈_R³|x+y+z=0}, com o produto interno usual.

(c) S={p(t)∈ P₃(_R)| tp⁰(t) = p(t)}ehp,qi= R1

0 p(t)q(t)dt.

(d) S={A∈ M₃(_R)| tr(A) =0}ehA,Bi=tr(AB^t).

8. Prove que se| hu,vi |=kukkvk, entãouevsão linearmente dependentes.

9. SejamW um subespaço deV e v ∈ V. Seja E : V → V a função tal que E(v) = w, a projeção ortogonal devemW. (Assuma que, para todov∈V, existe talw.) Prove que

(a) Eé um operador linear emV.

(b) Eé idempotente.

(c) ImE=We kerE=W^⊥. (d) V=W⊕W^⊥.

10. SejaW um subespaço de dimensão finita deV. Mostre que (W^⊥)^⊥ = W. O resultado continua verdadeiro se a dimensão deW não é finita? ConsidereR[x]com o produto internohp,qi=R1

0 p(x)q(x)dxe sejaUo subespço constituído por todos os polinômios com termo constante igual a zero. Mostre queU^⊥ = {0}e então U^⊥⊥ = _R[x] 6= P.

TambémR[x]6=U⊕U^⊥. (Dica: U= {xq(x)|q(x)∈_R[x]}). Também podem encontrar uma prova no livro W. K. Nicholson, Álgebra Linear, 2a edição, página 338.

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11. Desigualdade de Bessel:Seja{e₁, . . . ,e_n}um conjunto ortonormal deV. Então

∑

|hx,e_ki|² ≤ kxk² para todox∈ V.

Além disso, seW = he₁,e₂, . . . ,e_nientão são equivalentes:

(a) x∈W;

(b) ∑ⁿk=1|hx,e_ki|²= kxk²; (c) x= _∑ⁿ_k=1hx,e_kie_k;

(d) hx,yi=_∑ⁿ_k=1hx,e_kihe_k,yipara todoy∈V.

12. Identidade de Parseval:Suponha que{e₁, . . . ,en}é uma base ortonormal deV. Mostre que hx,yi=_∑ⁿ_k=1hx,e_kihe_k,yipara todosx,y∈V.

13. SejaW um subespaço de dimensão finita deV. Existem, em geral, várias projeções cuja imagem éW. Uma delas, a projeção ortogonal, tem a propriedade que kE(v)k ≤ kvk, para todov ∈ V. Prove seE∈ L(V)é uma projeção cuja imagem éWekE(v)k ≤ kvk_, para todov∈V, entãoEé a projeção ortogonal emW.

(Sugestão: Prove quehE(v),v−E(v)i= 0, para todov∈Vse, e somente se,hu,E(v)i= 0, para todou ∈kerEev∈V. )

14. SejamW um subespaço de dimensão finita deV eEa projeção ortogonal de VemW. Prove quehE(v),ui= hv,E(u)ipara todosu,v∈V. Ou seja,Eé autoadjunto.

15. Seja V = C([0, 1]) o espaço das funções contínuas no intervalo [0, 1] com o produto internohf,gi=R1

0 f(t)g(t)dt.

(a) Exiba uma base ortonormal do subespaço deVgerado pelos polinômios 1,tet². (b) Encontre o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima f(t) =cost

no intervalo[_{0, 1}]_.

16. Sejam V e W espaços vetoriais de mesma dimensão (finita) sobre K e com produtos internos h, i_V e h, i_W, respectivamente. Seja T : V → W uma transformação linear.

Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) hT(u)_,T(v)i_W =hu,vi_Vpara todosu,v∈V.

(b) Tlevatodabase ortonormal deVem uma base ortonormal deW.

(c) Tlevaumabase ortonormal deVem uma base ortonormal deW.

(d) kT(v)k_W =kvk_Vpara todov ∈V.

(e) T◦T^∗ = I_W. (f) T^∗◦T= I_V.

TalTé umisomorfismo de espaços com produto interno.

17. Uma matrizA∈ M_n(K)é chamadaortogonalseAA^t= I_neunitáriaseAA^∗= I_n. Encon- tre um exemplo de uma matriz complexa unitária que não é ortogonal e um exemplo de uma matriz que é ortogonal e não é unitária.

18. Seja T o operador linear emC² (com o produto interno usual) definido por: T(_{1, 0}) = (1+i, 2)eT(0, 1) = (i,i). Determine a matriz deT^∗ em relação à base canônica deC². Vale queTT^∗ =T^∗T?

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19. SejaTum operador linear emVque possui um adjuntoT^∗. (a) Mostre que kerT^∗ = (ImT)^⊥e que ImT^∗ ⊂(kerT)^⊥. (b) Mostre que se dimV <_∞, então ImT^∗ = (kerT)^⊥.

(c) SejaV =C([0, 1],R)eT∈ L(V)definida por: f 7→ T(f), comT(f)(t) =t f(t)para todot ∈[_{0, 1}]. DetermineT^∗ e mostre que ImT^∗ 6= (_kerT)^⊥_.

20. SejaT∈ L(V). Prove que seTé inversível, entãoT^∗é inversível e(T^∗)⁻¹= (T⁻¹)^∗. 21. Dados doisK-espaços vetoriaisA,Bdizemos que uma função f: A→Bé umatransfor-

mação conjugadase

f(x+y) = f(x) + f(y), f(λx) =λf(x) para todosx,y∈V,λ∈ K.

DadosVeW dois espaços vetoriais com produto interno de dimensão finita sobreK, mostre queL(V,W)→ L(W,V),T →T^∗, define um isomorfismo conjugado.

22. Suponha queVé de dimensão finita. DefinimosΦV: V→V^∗,v7→ h−,xi. (a) Mostre queΦVé um isomorfismo conjugado.

(b) SejaW um K-espaço vetorial de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear. Mostre queT^∗: W → V é a única transformação linear tal que ΦV◦T^∗ = T^t◦_ΦW.

23. Suponha queV é de dimensão finita e sejaT: V → V um operador linear. Dado um subespaçoWdeV, mostre queWéT-invariante se, e somente se,W^⊥éT^∗-invariante.

24. Seja n um inteiro positivo. Consideremos Kⁿ com o seu produto interno usual. Seja T: Kⁿ →Kⁿ,T(z₁, . . . ,z_n) = (0,z₁, . . . ,z_n−1). Encontre uma fórmula paraT^∗(z₁, . . . ,z_n). 25. Suponha que V é de dimensão finita. Sejam T: V → V um operador linear e ∈ K.

Mostre queλé um autovalor deTse, e somente se,λé um autovalor deT^∗. 26. SejamV,W K-espaços vetoriais de dimensão finita eT ∈L(V,W). Mostre que

(a) Té injetora se, e somente se,T^∗é sobrejetora;

(b) Té sobrejetora se, e somente se,T^∗é injetora.

(c) dim(kerT^∗) =dim(kerT) +dimW−dimV.

(d) dim(ImT^∗) =dim(ImT).

27. Suponha queK=_Ce dimV<_{∞. Seja}T: V →Vum operador linear. Definimos T₁= ¹

2(T+T^∗)_, T₂= ¹

2i(T−T^∗)_. Mostre que

(a) T₁eT₂são autoadjuntos;

(b) T= T₁+iT₂;

(c) SeT=S₁+iS₂ondeS₁,S₂∈ L(V)são autoadjuntos, entãoT₁=S₁eT₂=S₂. (d) T é normal se, e somente se, T₁ e T₂ comutam, se, e somente se TT^∗ = T^∗T =

T₁²+T₂².

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