R2\ {0} é dada por f(r,θ

INSTITUTO DE MATEMÁTICA EESTATÍSTICA

UNIVERSIDADE DESÃO PAULO

MAT-5799 Variedades Diferenciáveis e Grupos de Lie

Terceira Lista de Exercícios - Professor: Alexandre Lymberopoulos 1. Calcule f^∗ωquando

a. a função f : (0,∞)×(0, 2π) → _R²\ {0} é dada por f(r,θ) = (rcosθ,rsinθ) e a 1-forma ω ∈ Λ¹(_R²\ {0})dada porω = _x2+¹_y2(−ydx+xdy);

b. a função f : R² → _R³ é dada por f(x,y) = (x+y,x−y,xy)e a 2-forma ω ∈ _Λ²(_R³) dada por xdy∧dz+ydx∧dz.

2. Dados um campo vetorialX ∈ X(M)e uma forma diferencialω ∈ _Λ^k(M)definimos oproduto interior oucontraçãodeXporωcomo ak−1 forma diferencial dada por

i_Xω(X₁, . . . ,X_k−1) =ω(X,X₁. . . ,X_k−1).

a. Mostre quei_Xωé de fato umak−1 forma diferencial (C^∞(M)-multilinear e alternada).

b. Mostre que

i. iX(fω+gθ) = f iXω+giXθ;

ii. i_X(ω∧θ) = (i_Xω)∧θ+ (−1)^kw∧i_Xθ, seω∈ _Λ^k(M); iii. i_{f X}+gYω = f iXω+gi_Yω;

iv. i_X(d f) =X(f).

c. Sendoω =e^xdx∧dy+e^zdy∧dzeX= x_∂y^∂ −y_∂x^∂ ∈X(_R³), determinei_Xωed(i_Xω)_.

3. Seja f : M→ Numa aplicação diferenciável. Mostre que seX∈X(M)eY∈X(Y)são campos vetoriais f-relacionados então f^∗(i_Yω) =iXf^∗ω.

4. Mostre que seMeNsão variedades orientáveis entãoM×Né orientável. Conclua que o toro é orien- tável. Vale a recíproca deste resultado?

5. Seja I ⊂ _Λ(M)um ideal gerado pelaskforma diferencias de grau 1α₁, . . . ,α_k. Mostre que são equiva- lentes:

i. I é um ideal diferencial, ou seja, seω ∈ Ientãodω∈ I. ii. existem 1-formasω_ij ∈_Λ(M)tais quedα_i =_∑jω_ij∧α_j.

iii. seω =α₁∧_{. . .}α_k entãodω =α∧ωpara alguma 1-formaα∈ _Λ(M)_.

6. Dadosω ∈ _Λ^k(M)e X ∈ X(M) definimos a definimos aderivada de Lie deω ao longo de X como a k-formaL_Xω∈ _Λ(M)definida por

L_Xω =lim

t→0

1

t (φ^t_X)^∗ω−ω . Mostre que a derivada de Lie satisfaz

a. L_X(aω+bθ) =aL_Xω+bL_Xθ;

b. L_X(ω∧θ) =L_Xω∧θ+ω∧ L_Xθ;

c. L_Xf =X(f), para toda f ∈C^∞(M); d. L_Xdω =dL_Xω;

e. L_[X,Y]ω =L_X(L_Yω)− L_Y(L_Xω)_;

f. se f : M → N é uma aplicação diferenciável e X ∈ X(M), Y ∈ X(N) são f-relacionados, então f^∗(L_Yω) =L_X(f^∗ω).

7. SejamX∈X(M)eω∈ _Λ^k(M). Mostre que

L_X ω(X₁, . . . ,X_k) =L_Xω(X₁, . . . ,X_k) +

∑

ω X₁, . . . ,[X,X_i], . . . ,X_k .

8. SejamX∈X(M)eω∈ _Λ(M). Mostre a fórmula mágica de Cartan:L_Xω=i_Xdω+di_Xω.

9. Seja Mⁿuma variedade Riemanniana orientada. Para cadav ∈ T_pM definav^] ∈ (T_pM)^∗ porv^](w) = hv,wi. Claramente a aplicaçãov7→ v^]é um isomorfismo e sua inversa, num abuso de notação também é indicada porα7→ α^].

Definimos então:

• _ogradientede uma função f : M→_Rcomo o campo gradf = (d f)^]_.

• adivergênciade um campoX∈ X(M)como a função, divX, dada pordj= (divX)η, ondeηé uma forma volume ej=i_Xη∈ _Λⁿ⁻¹(M).

• olaplacianode f : M→_Rcomo a função∆f =−div(gradf).

Mostre então que L_Xη = (divX)η e explicite as expressões em coordenadas cilíndricas e esféricas quandoM =_R³com a estrutura Riemanniana usual.

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